Định nghĩa của mặt chính qui cho thấy với mọi p∈S đều thuộc vào một lân cận toạ độ (địa phương) nào đó của mặt. Điều này cho phép ta sử dụng hệ tọa độ địa phương để mô tả một số tính chất địa phương của mặt trong lân cận của điểm p.
Ví dụ: Cho một hàm f :S→R là khả vi tại một mặt chính quy S. Chọn một lân cận toạ độ của p với các tọa độ u, v và nói rằng f là khả vi tại p nếu biểu thức trong các tọa độ u và v nhận các đạo hàm riêng liên tục mọi cấp.
Tuy nhiên, cùng một điểm thuộc S có thể thuộc vào lân cận toạ độ khác nhau (trong phạm vi của Ví dụ 1 phần 2.2 bất kì điểm nằm trong góc phần tám thứ nhất thuộc về ba trong số những lân cận toạ độ đã cho). Hơn nữa những hệ tọa độ khác có thể chọn một lân cận của p (các điểm trong phạm vi ở trên đã được tham số hóa bởi hệ tọa độ địa phương hoặc phép chiếu nổi Bài tập 16 phần 2.2), để các định nghĩa trên có nghĩa, nó không phụ thuộc vào hệ tọa độ đã chọn. Nói cách khác, nó cho thấy rằng khip thuộc về hai lân cận toạ độ với tham số (u, v)
và (ξ, η) nó có thể đi qua một trong số những cặp tọa độ này đến những tọa độ khác bằng phép trung gian biến đổi khả vi.
Mệnh đề dưới đây sẽ cho thấy rằng điều này là đúng.
Mệnh đề 1. Cho S ⊂ R3 là một mặt chính quy, p ∈S, X :U ⊂ R2 → S và
Y :V ⊂R2→S là hai tham số hóa địa phương của S sao cho p∈X(U)∩Y(V) =
W. Khi đó phép đổi tọa độ h =X−1◦Y :Y−1(W) →X−1(W) (Hình 2.14) là vi phôi nghĩa là h là khả vi và hàm ngược h−1 cũng khả vi.
Hình 2.14:
X(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)),(u, v)∈U;
Y(ξ, η) = (x(ξ, η), y(ξ, η), z(ξ, η)),(ξ, η)∈V;
sau phép đổi hệ tọa độ h cho bởi
u=u(ξ, η), v =v(ξ, η),(ξ, η)∈Y−1(W);
với hàm số u và v có đạo hàm riêng liên tục tại mọi cấp và ánh xạ h có thể nghịch đảo
ξ =ξ(u, v), η =η(u, v),(u, v)∈X−1(W).
trong đó hàm số ξ và η cũng có đạo hàm riêng mọi cấp. Vì ∂(u, v)
∂(ξ, η).
∂(ξ, η ∂(u, v) = 1.
Điều này cho thấy rằng định thức Jacobian của h và h−1 đều khác 0 mọi nơi. Chứng minh. h = X−1 ◦Y là một đồng phôi do X và Y là các đồng phôi. Lấy
r∈Y−1(W) và đặt q=h(v). DoX(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))là một tham số hóa của mặt chính qui, ta có thể giả sử
∂(x, y)
∂(u, v)(q)6= 0.
Ta mở rộng X thành ánh xạ F :U×R→R3 xác định bởi
Có thể hình dung F là ánh xạ từ hình trụ C xác định trên U vào hình trụ xác định trênX(U) biến thiết diện của C với cao đột thành mặt X(u, v) +te3 với e3
là vectơ đơn vị định hướng của trục Oz (Hình 214). Ta có định thức của ma trận Jacobian { F−1(q)} ∂x ∂u ∂x ∂v 0 ∂y ∂u ∂y ∂v 0 ∂z ∂u ∂z ∂v 1 = ∂(x, y) ∂(u, v)(q)6= 0.
Do đó theo Định lý Hàm ngược, tồn tại một lân cận M của X(q) trong R3 sao cho F−1 tồn tại và khả vi trên M. Do Y liên tục, tồn tại lân cận N của r trong
V sao cho Y(N)⊂M ∩S. Từ đây ta có
F−1◦Y|N =X−1◦Y|N =hN.
Vì F−1 và Y là các ánh xạ khả vi nên ta suy ra h khả vi trên N. Nói riêng, h
khả vi tại r. Do r là điểm bất kì ta suy ra h là khả vi trên Y−1(W).
Một cách hoàn toàn tương tự, ta có thể chứng minh h−1 cũng là hàm khả vi. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Định nghĩa 1. Cho f :V ⊂S →R là một hàm xác định trên một tập mở V
của một mặt chính quy S. Hàm f được gọi là khả vi tại p∈ V nếu với tham số hóa X :U ⊂ R2 →S với p ∈X(U)⊂ V, thì hàm hợp X : U ⊂ R2 → R là khả vi tại X−1(p). Hàm f được gọi là khả vi trên V nếu nó khả vi tại mọi điểm của V.
Nó kéo theo mệnh đề sau mà định nghĩa đã cho không phụ thuộc vào việc chọn tham số hóa X. Thật vậy nếu Y : V ⊂ R2 → S là một tham số hóa khác
p∈X(V) và nếu h=X−1◦Y, khi đó f◦Y =f◦X◦h cũng khả vi. Từ đó khẳng định nó là độc lập.
Nhận xét 1.Ta sử dụng các kí hiệuf và f◦X bằng f(u, v)và nói rằngf(u, v)
là biếu diễn của f trong hệ tọa độ X. Sự tương đương này để xác địnhX(U) với
U và liên hệ với (u, v), cũng như một điểm của U và như một điểm của X(U) với tọa độ (u, v).
Ví dụ 1. Cho S là một mặt chính quy và V ⊂R3 là một tập mở mà S ⊂V. Lấy f : V ⊂R3 → R là một hàm khả vi. Khi đó, phép thu f tới S là một hàm khả vi trên S. Thật vậy, cho bất kì p ∈ S và bất kì tham số X : U ⊂ R2 →
1. Hàm độ cao đối với một vectơ đơn vị v ∈ R3, h : S → R cho bởi h(p) =
pv, p ∈ S trong đó những điểm thể hiện tích vô hướng trong R3, h(p) là độ cao của p so với mặt phẳng vuông góc với v đi qua gốc O trong R3.
2. Bình phương của khoảng cách từ một điểm cố định p0 ∈ R3, f(p) = |p−
p0|2, p∈ S. Ta phải lấy bình phương vì trên thực tế khoảng cách |p−p0| là không khả vi tại p=p0.
Hình 2.15:
Nhận xét 2. Việc chứng minh Mệnh đề 1 có bản chất là sử dụng tính chất là ánh xạ ngược của một tham số hóa là liên tục. Vì nếu ta cần Mệnh đề 1 xác định các hàm khả vi trên các mặt (một khái niệm quan trọng) thì ta không thể đặt điều kiện này vào định nghĩa của một mặt chính quy (Nhận xét 1 phần 2.2). Từ định nghĩa vi phân có thể dễ dàng mở rộng ra ánh xạ giữa hai mặt, một ánh xạ liên tục ϕ:V1 ⊂ S1 →S2 của một tập mở V1 của một mặt chính quy S1 đến một mặt chính quy S2 được gọi là khả vi tại p∈V nếu các tham số hóa cho bởi
X1 :U1 ⊂R2 →S1, X2 :U2⊂R2 →S2
với p∈X1(U) và ϕ(X1(U1))⊂X2(U2)
Ánh xạ X2−1◦ϕ◦X1 :U1→U2 là khả vi tại q=X1−1(p) (Hình 2.16).
Nói cách khác, ánh xạ ϕlà khả vi khi và chỉ khi các hàm thành phần của biểu diễn địa phương của ϕ trong các lân cận toạ độ địa phương có đạo hàm riêng liên tục mọi cấp.
Việc chứng minh định nghĩa này không phụ thuộc vào các tham số hoá đã chọn. Ta cần kể đến bản chất khái niệm về sự liên kết tương đương với khái niệm vi phân là khái niệm của vi phôi. Hai mặt chính quy S1 và S2 là vi phôi nếu tồn tại một ánh xạ khả vi ϕ:S1 →S2 và tồn tại ánh xạ ngượcϕ−1:S2 →S1
cũng khả vi. Như vậy ϕ được gọi là một phép vi phôi từ S1 vào S2.
Hình 2.16:
chính quy giống vai trò của khái niệm về phép đẳng cấu tuyến tính giữa các không gian vectơ hoặc khái niệm về đồng vôi thức trong hình học Euclid. Nói cách khác theo quan niệm về vi phân, hai mặt chính qui vi phôi với nhau được xem là như nhau.
Ví dụ 2.NếuX :U ⊂R2 →Slà một tham số hóa,X−1:X(U)→R2là khả vi. Thật vậy, với p bất kì thuộc X(U) và bất kì tham số hóa Y :V ⊂R2 →S trên p
ta có X−1◦Y :Y−1(W)→X−1(W), với W =X(U)∩Y(V) là khả vi.
Điều này cho thấy rằng U và X(U)là vi phôi với nhau (mỗi mặt chính quy là vi phôi địa phương với một mặt phẳng) và sự chứng minh định nghĩa thực hiện trong Nhận xét 1.
Ví dụ 3. Cho S1 và S2 là các mặt chính quy. Giả sử rằng S1 ⊂ V ⊂ R3, với
V là một tập mở trong R3, ϕ:V →R3 là một ánh xạ khả vi và ϕ(S1)⊂S2. Khi đó ánh xạ hạn chế ϕ|S1 : S1 → S2 là ánh xạ khả vi. Thật vậy, giả sử p ∈ S1 và tham số hóa X1 : U1 → S1, X2 : U2 → S2 với p ∈ X1(U1) và ϕ(X1(U1)) ⊂ X2(U2). Ta có ánh xạ X2−1◦ϕ◦X1 :U1→U2 là khả vi .
Dưới đây là trường hợp đặc biệt của ví dụ này.
1. ChoSlà đối xứng qua mặt phẳngxytức là nếu(x, y, z)∈Sthì(x, y,−z)∈S. Khi đó ánh xạ σ : S → S biến p∈ S thành điểm đối xứng qua mặt phẳng
xy là ánh xạ khả vi vì δ là hạn chế của phép đối xứng qua mặt phẳng xy (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
trong R3.
quy bất biến qua phép quay này, tức là p∈ S thì Rz,θ : S → S là một ánh xạ khả vi.
3. Cho ϕ : R3 → R3 bởi ϕ(x, y, z) = (xa, by, cz) trong đó a, b, c là các số thực khác 0. Hiển nhiên ϕlà khả vi và hạn chế ϕ|S2 là ánh xạ khả vi từ mặt cầu.
S2(x, y, z)∈R3 :x2+y2+z2= 1 . vào ellipsoid E = (x, y, z)∈R3: x 2 a2 + y 2 b2 + z 2 c2 = 1 .
Nhận xét 3. Có thể xây dựng lí thuyết đường theo quan điểm như các mặt chính qui.
Ta sẽ định nghĩa một đường cong chính qui trong R3 là tập con C có tính chất là với mọi p ∈ C, tồn tại lân cận V của p trong R3 và một đồng phôi khả vi α :I ⊂ R →R3 sao cho Dα là đơn ánh với mọi t ∈T (I là khoảng mở trong R) (Hình 2.17).
Tương tự như mặt, ta có thể chứng minh rằng các phép đổi tham số là một vi phôi. Điều này cho thấy có thể định nghĩa hàm khả vi trên một đường chính qui và ánh xạ khả vi giữa các đường chính qui. Các tính chất địa phương của
C là các tính chất của đường cong tham số mà không phụ thuộc vào tham số hoá. Cho nên các kết quả của đường tham số đều có thể xem là các kết quả địa phương của các đường chính qui. Ngược lại các kết quả địa phương của đường chính áp dụng được cho đường tham số.
Hình 2.17:
Ví dụ 4. (Mặt tròn xoay) Cho C là một đường cong chính quy trong mặt phẳngxz không cắt trục z. Quay C quanh trụcz ta nhận được một tập S ⊂R3.
Giả sử
x=f(v), z =g(v), a < v < b, f(v)>0.
là một tham số hóa củaC và ulà góc quay quanh trục z. Như vậy, ta có ánh xạ:
X(u, v) = (f(v).cosu, f(v)sinu, g(v));
từ tập mở U =(u, v)∈R2 : 0< u <2π, a < v < b vào S (Hình 2.18).
Hình 2.18:
Ta có thể chứng minh X là một tham số hóa của S và do đó S có thể được phủ bởi ảnh của các tham số hoá như vậy nên S là một mặt chính quy. Mặt S
được gọi là mặt tròn xoay. Đường cong C được gọi là đường sinh của trục z là trục quay của S. Các đường tròn xác định bởi các điểm củaC được gọi là các vĩ tuyến của S và các vị trí của C theo các góc quay u khác nhau gọi là các kinh tuyến của S.
Để thấy được X là một tham số hóa của S ta phải kiểm tra điều kiện i), ii)
và iii)của Định nghĩa 1 phần 2.2. Điều kiện i)và iii) là hiển nhên. Để thấy X là một phép đồng phôi, đầu tiên thấy rằng X là đơn ánh. Thật vậy, vì (f(v, g(v))
là tham số hóa củaC, cho bởi z và x2+y2 = (f(v))2, ta có thể xác định v là duy nhất. Do đó X là đơn ánh.
Ta lưu ý rằng vì (f(v), g(v)) là một tham số hóa của C, v là hàm liên tục của
z và của px2+y2 và do đó một hàm liên tục của (x, y, z).
Để chứng minh rẳng X−1 là liên tục, ta lại thấy u là một hàm liên tục của
ta được tanu 2 = sinu 2 cosu 2 = 2sinu 2cos u 2 2cos2u 2 = sinu 1 +cosu = y f(v) 1 + x f(v) = y x+px2+y2 Do đó u= 2tan−1 y x+px2+y2.
Như vậy nếu 6=π, u là một hàm liên tục của (x, y, z). Thêm vào đó nếu u nằm trong một khoảng nhỏ quanh π, ta có:
u= 2cot−1 y
−x+px2+y2.
Như vậy, u là hàm liên tục của (x, y, z). Điều này cho thấy rằng X−1 là liên tục suy ra điều phải chứng minh.
Nhận xét 4. Nếu C là một đường cong phẳng đóng chính qui nhận đường thẳngd làm trục đối xứng thì khi quay quanhd ta cũng nhận được một mặt mà ta có thể chứng minh là một mặt chính qui. Đối với những mặt như vậy ta phải loại bỏ đi hai điểm, đó là giao của C với d. Ta sẽ gọi những mặt như vậy là mặt tròn xoay mở rộng. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Do mong muốn xem xét các tính chất toàn cục đồng thời với các tính chất địa phương, chúng ta xét các mặt chính qui thay cho mặt tham số. Nếu chỉ xét các tính chất địa phương thì chỉ cần xét lớp các mặt tham số (ta sẽ có định nghĩa ngay sau đây tương tự như định nghĩa của đường tham số). Sau này ta sẽ thấy, nếu chỉ xét lớp các mặt tham số thì các khái niệm cũng như tính chất toàn cục sẽ phải bị bỏ qua hoặc được xử lý một cách không đầy đủ. Tuy vậy, khái niệm mặt tham số đôi lúc cũng tỏ ra hữu ích.
Định nghĩa 2. Một mặt tham số là một cặp(X, S), trong đóX :U ⊂R2→R3
với U là tập mở, là một ánh xạ khả vi và S =X(U). Tập mở X(U) được gọi là vết của mặt tham số còn ánh xạ X được gọi là một tham số hoá của mặt. Tương tự như đường tham số ta có các khái niệm mặt tham số liên tục, mặt tham số khả vi,... Ta cũng sẽ đồng nhất mặt tham số với X hoặc S nếu không có gì gây nhầm lẫn.
q ∈ U. Một điểm q ∈U mà DXq không phải là đơn ánh được gọi là điểm kì dị. Điều kiện DXq đơn ánh tương đương với {Xu(q), Xv(q)} độc lập tuyến tính. Chú ý rằng, một mặt tham số ngay cả khi chính qui cũng có thể tự cắt.
Ví dụ 5. Cho α:I →R3 là một đường tham số. Đặt
X(t, v) =α(t) +vα0(t),(t, v)∈I×R.
Ta có X là một mặt tham số và được gọi là mặt tiếp xúc của α (Hình 2.19).
Hình 2.19:
Giả sử rằng độ cong k khác không tại mọi t ∈I, nghĩa là k(t), t ∈I. Xét ánh xạ X trên miền U ={(t, v)∈T ×R, v 6= 0}. Ta có ∂X ∂t =α 0(t) +v.α00(t),∂X ∂v =α 0(t). Do k(t)6= 0,∀t∈I nên ∂X ∂t ∧ ∂X ∂v =v.α 00(t)∧α0(t)6= 0,(t, v)∈U.
Như vậy hạn chế X : U → R3 là một mặt tham số hóa chính quy, vết của nó gồm hai mảnh liên thông có biên chung là vết α(I) của đường tham số α.
Mệnh đề 2. Cho X : U ⊂ R2 → R3 là một mặt tham số chính quy và cho
q ∈U. Khi đó tồn tại một lân cận V của q trong R2 sao cho X(U)⊂R3 là một mặt chính quy.
Chứng minh. Đây là một hệ quả của Định lý Hàm ngược. Giả sử X(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)).
Xét ánh xạ F :U ×R→R3 cho bởi
F(u, v, t) = (x(u, v), y(u, v)), z(u, v) +t),(u, v)∈U, t∈R.
Do det(dFq) = ∂(x, y)
∂(u, v)(q) 6= 0. nên theo Định lý Hàm ngược, tồn tại lân cận W1
của q và W2 của F(q) sao cho F :W1 →W2 là một vi phôi.
Đặt V =W1∩U ta có F|V =X|V. Do X(V) vi phôi với V nên là một mặt chính quy.
BÀI TẬP
1. Cho S2 = (x, y, z)∈R3:x2+y2+z2 = 1 là mặt cầu đơn vị và A :S2 →S2