Cho đến nay, ta đã xét các mặt từ các điểm của tính khả vi. Trong phần này, ta bắt đầu nghiên cứu về cấu trúc hình học xa hơn nữa của mặt. Quan trọng nhất chính là các dạng cơ bản thứ nhất mà ta sẽ mô tả ngay bây giờ.
Hiển nhiên tích vô hướng của R3⊃S cảm sinh trên từng mặt phẳng tiếp xúc
Tp(S) của một mặt chính quy S. Một tích vô hướng được kí hiệu là hw1, w2ip.
Nếu w1, w2 ∈ Tp(S) ⊂ R3. Khi ấy hw1, w2ip bằng tích vô hướng của w1 và w2
như vectơ trong R3. Tích vô hướng này mà có song tuyến đối xứng tính dạng (hw1, w2i,hw2, w1i và hw1, w2i là tuyến tính trong cả hai w1 và w2) có tương ứng một dạng toàn phương Ip :Tp(S)→R cho bởi
Ip(w) =hw, wi=|w|2 >0. (2.1) Định nghĩa 1. Dạng toàn phương Ip trên Tp(S) xác định bới biểu thức (2.1) được gọi là dạng cơ bản thứ nhất của mặt chính quy S ⊂R3 tại p∈S.
Dạng cơ bản thứ nhất đơn giản là biểu thức của mặt S như thế nào kế thừa tự nhiên tích vô hướng trong R3. Dạng cơ bản thứ nhất cho phép ta thực hiện phép đo trên mặt (độ dài của các đường cong, góc của các vectơ tiếp xúc, diện tích của thiết diện) mà không đề cập trở về mặt xung quanh R3.
quan tới một tham số hóa X(u, v) tại p. Vì một vectơ tiếp xúc w ∈ Tp(S) là vectơ tiếp xúc của đường tham số α(t) = X(u(t), v(t)), t ∈ (−ε, ε) với p= α(0) =
X(u0, v0) ta có Ip(α0(0)) =α0(0), α0(0) p =Xu.u0+Xv.v0, Xu.u0+Xv.v0 p =hXu, Xuip(u0)2+ 2hXu, Xvipu0.v0+hXv, Xvip(v0)2 =E(u0)2+ 2F u0, v0+G(v0)2
trong đó các giá trị của các hàm liên quan được tính tại t = 0 và
E(u0, v0) =hXu, Xuip;
F(u0, v0) = hXu, Xvip;
G(u0, v0) =hXv, Xvip;
là các hệ số của dạng cơ bản thứ nhất trong cơ sở{xu, xv}củaTp(S). Để chopchạy trong lân cận tọa độ tương ứng vớiX(u, v)ta được các hàmE(u, v), F(u, v), G(u, v)
khả vi trong lân cận này. Từ bây giờ, ta sẽ hạ chỉ số dưới p để biểu thị cho tích vô hướng h , i hoặc dạng toàn phương Ip khi nó rõ ràng trong tình huống mà điểm ta đề cập tới. Nó cũng thật hữu ích để biểu thị tích vô hướng tự nhiên của R3 bằng kí hiệu h , i chứ không phải là dấu chấm trước.
Ví dụ 1. Một hệ tọa độ cho bởi một mặt phẳngp⊂R3 đi qua p0= (x0, y0, z0)
và gồm các vectơ trực chuẩn w1 = (a1, a2, a3), w2= (b1, b2, b3) cho bởi
X(u, v) =p0+uw1+vw2,(u, v)∈R2.
Để tính dạng cơ bản thứ nhất cho bởi điểmptùy ý ta thấy rằngXu =w1, Xv =
w2. Vì w1 và w2 là pháp vectơ đơn vị, các hàm E, F, G là các hằng số cho bởi
E = 1, F = 0, G= 1.
Trong các trường hợp không quan trọng, dạng cơ bản thứ nhất về bản chất là định lý Pytago: bình phương độ dài một của vectơ w mà có các tọa độ a, b
trong cơ sở {Xu, Xv} bẳng a2+b2.
Ví dụ 2. Mặt trụ với đáy là đường tròn x2+y2 = 1 chứa một tham số hóa
X :U →R3 (Hình 2.26) trong đó X(u, v) = (cosu, sinu, v);
Hình 2.26:
Để tính dạng cơ bản thứ nhất ta chú ý rằng
Xu= (−sinu, cosu,0), Xv = (0,0,1).
cho nên
E =sin2u+cos2u= 1, F = 0, G= 1.
Ta lưu ý rằng, mặc dù mặt trụ và mặt phẳng là các mặt phân biệt nhưng ta nhận thấy rằng kết quả giống nhau trong cả hai trường hợp.
Ví dụ 3. Đường xoắn ốc (Helix) cho bởi (cosu, sinu, au). Qua một điểm của đường xoắn ốc về một đường thẳng song song với mặt phẳng xy và giao với trục
z. Mặt sinh bởi các đường thẳng này được gọi là mặt Helicoid và có một tham số hóa dạng:
X(u, v) = (vcosu, vsinu, au),0< u <2π,−∞< v < ∞.
X chỉ có thể áp dụng vào một mảnh mở với chiều rộng 2π của mặt phẳng uv
lên trên phần đó của đường xoắn ốc mà tương ứng với một phép quay 2π dọc theo đường xoắn ốc (Hình 2.27).
Thử lại, ta được đường xoắn ốc là mặt chính quy không phức tạp. Việc các hệ số của dạng cơ bản thứ nhất ở trên tham số hóa cho bởi
E(u, v) = v2+a2, F(u, v) = 0, G(u, v) = 1.
Như ta đề cập từ trước, dạng cơ bản thứ nhất là quan trọng. Thật vậy, nếu biết I ta có thể xử lý các vấn đề trên một mặt chính quy mà không cần đến không gian R3. Do đó độ dài S của một đường tham số hóa α:I →S cho bởi
S(t) = t Z 0 α0(t)dt= t Z 0 p I(α0(t))dt.
Hình 2.27:
Đặc biệt, nếu α(t) = X(u(t), v(t))gồm một lân cận tọa độ tương ứng với tham số hóa X(u, v) ta có thể tính độ dài của α. Giả sử từ 0 đến t
S(t) = t Z 0 q E(u0)2+ 2F u0v0+G(v0)2dt. (2.2)
Như vậy, góc giữa hai đường tham số chính quy α:I →S, β :I →S cắt nhau tại t =t0 cho bởi
cosθ = hα0(t0), β0(t0)i |α0(t0)|.|β0(t0)|.
Đặc biệt, góc ϕ của các đường tọa độ của một tham số hóa làX(u, v) là
cosϕ= hXu, Xvi |Xu|.|Xv| =
F
√
EG.
Từ đây ta thấy các đường tọa độ của một tham số trực giao nhau khi và chỉ khi F(u, v) = 0 tại tất cả (u, v). Một tham số hóa như vậy gọi là tham số hóa trực giao.
Chú ý. Do đẳng thức (2.2) nên nhiều nhà toán học nói về yếu tố phân tử có độ dài dS của S và viết:
dS2=Ed2u+ 2F dudv+Gd2v.
có nghĩa là nếu α(t) = X(u(t), v(t)) là một đường cong trên S và S = S(t) là độ dài cung của nó thì
dS dt 2 =E du dt 2 + 2Fdu dt. dv dt +G dv dt 2 .
Ví dụ 4. Ta tính dạng cơ bản thứ nhất của một mặt cầu tại một điểm lân cận tọa độ cho bởi tham số hóa (Ví dụ 1 phần 2.2)
X(θ, ϕ) = (sinθcosϕ, sinθsinϕ, cosθ).
Đầu tiên ta thấy
Xθ(θ, ϕ) = (cosθcosϕ, cosθsinϕ,−sinθ);
Xϕ(θ, ϕ) = (−sinθsinϕ, sinθcosϕ,0).
Do đó
E(θ, ϕ) =hXθ, Xθi= 1;
F(θ, ϕ) =hXθ, Xϕi= 0;
E(θ, ϕ) =hXϕ, Xϕi=sin2θ.
Như vậy nếu w là một vectơ tiếp xúc của mặt cầu tại điểm X(θ, ϕ) được đưa ra trong cơ sở liên hợp đến X(θ, ϕ) bởi
w=aXθ+bXϕ.
Khi đó bình phương có độ dài của w cho bởi
|w|2=I(w) =Ea2+ 2F ab+Gb2 =a2+b2sin2θ.
Như một ứng dụng, hãy xác định các đường cong trong lân cận tọa độ của mặt cầu mà làm gócβ không thay đổi với kinh tuyến ϕ=const. Các đường cong này được gọi là đường tà hình của mặt cầu.
Ta có thể giả sử rằng đường cong cần thiết α(t) là ảnh bởiX của một đường cong (θ(t), ϕ(t))của mặt phẳngθϕ. Tại điểm X(θ, ϕ)ở đó đường cong gặp đường kinh tuyến, ϕ=const, ta có:
cosβ = hX0, α0(t)i |X0|.|α0(t)| = θ0 q (θ0)2+ (ϕ0)2sin2θ0 .
Vì trong cơ sở {X0, Xϕ} vectơ α0(t) có các tọa độ (θ0, ϕ0) và vectơ Xθ có các tọa độ (1,0). Suy ra rằng (θ0)2tan2β−(ϕ0)2sin2θ= 0; hoặc θ0 sinθ =± ϕ 0 tanβ0
Do đó bằng tích phân ta thấy rằng phương trình của đường tà hình:
logtan(θ
2) =±(ϕ+C)cotβ.
trong đó hằng số C được xác định bằng một điểm X(θ0, ϕ0) mà đường cong đi qua.
Một vấn đề khác liên quan đến metric mà cũng nhờ vào dạng cơ bản thứ nhất, để tính được diện tích của các miền bị chặn của một mặt chính quy S. Miền mở của S là một tập mở và liên thông của S mà có biên là ảnh của đường tròn qua một phép đồng phôi khả vi chính quy (nghĩa là đạo hàm khác 0) chỉ trừ một số hữu hạn điểm. Miền củaS là hợp của miền mở và biên của nó (Hình 2.28). Một miền mở của S ⊂R3 được gọi là bị chặn nếu S chứa trong một hình cầu nào đó của R3.
Ta xét các miền bị chặn R mà có lân cận tọa độ X(U) của một tham số hóa
Hình 2.28:
X :U ⊂R2 →S. Nói cách khác R là ảnh của X của miền bị chặn Q⊂U.
Hàm |Xu∧Xv| xác định trên U, số đo diện tích của hình bình hành sinh ra bởi vectơ Xu và Xv. Ta có tích phân
Z
Q
|Xu∧Xv|dudv
là không xác định trên tham số hóa X.
Thật vậy, cho X : U ⊂ R2 → S là tham số hóa khác với R ⊂ X(U) và tập
Q=X−1(R). Cho ∂(u, v)
∂(u, v) là Jacobian có đổi tham số h:X−1◦X. Khi đó Z Z Q Xu∧Xvdudv = Z Z Q |Xu∧Xv|. ∂(u, v) ∂(u, v) dudv= Z Z Q |Xu∧Xv|dudv.
trong đó đẳng thức cuối cùng là từ định lý đổi các biến của bội số tích phân. Khẳng định được chứng minh và ta có thể có các định nghĩa sau.
Định nghĩa 2. Cho R⊂S là một miền bị chặn của một mặt chính quy chứa trong lân cận tọa độ của tham số hóa X :U ⊂R2 →S. Số dương:
Z Z
Q
|Xu∧Xv|dudv=A(R), Q=X−1(R);
được gọi là diện tích của R. Ta thấy rằng
|Xu∧Xv|2+hXu, Xvi2=|Xu|2.|Xv|2.
và biểu thức dưới dấu tích phân của A(R) có thể viết
|Xu∧Xv|=pEG−F2.
Chú ý rằng trong hầu hết các ví dụ, hạn chế rằng miền R chứa trong một số lân cận tọa độ là không quan trọng vì tồn tại các lân cận tọa độ mà phủ toàn bộ mặt trừ một số đường cong mà không ảnh hưởng tới diện tích.
Ví dụ 5.Tính diện tích mặt xuyến T. Xét lân cận tọa độ tương ứng với tham số hóa
X(u, v) = (a+rcosu)cosv,(a+rcosu)sinv.rsinu),0< u <2π,0< v < 2π;
Lân cận toạ độ này phủSchỉ trừ một đường kinh tuyến và một vĩ tuyến. Ta tính được hệ số của dạng cơ bản thứ nhất như sau E =r2, F = 0, G= (rcosu+a)2.
Do đó
p
EG−F2 =r(rcosu+a).
Xét miền Rε là ảnh của Qε qua X với (Hình 2.29)
Hình 2.29:
Miền Rε phủ gần hết T chỉ trừ hai dải nhỏ chứa đường kinh tuyến và vĩ tuyến nêu trên. Khi ε dần về không thì A(Rε) dần về diện tích của T. Ta tính A(Rε).
A(Rε) = Z Z Qε r(rcosu+a)dudv = 2π−ε Z 0+ε (r2cosu+ra)du 2π−ε Z 0+ε dv =r2(2π−2ε)(sin(2r−ε)−sinε) +ra(2π−2ε)2. Cho ε →0 ta được A(T) = lim ε→0A(Rε) = 4π4ra. BÀI TẬP
1. Tính dạng cơ bản thứ nhất của mặt tham số chính quy sau: a) X(u, v) = (asinucosv, bsinusinv, ccosu) là ellipsoid;
b) X(u, v) = (aucosv, businv, u2) là ellipticpaboloid;
c) X(u, v) = (aucoshu, businhv, u2) là hyperbolic paraboloid; d) X(u, v) = (asinucosv, bsinhusinv, ccoshu) là hypebolic hai tầng.
2. Cho X(ϕ, θ) = (sinθcosϕ, sinθsinϕ, cosθ) là tham số hóa của mặt cầu đơn vị
S2. Cho P là mặt phẳng x =zcotα,0< α < π và β là góc nhọn mà đường cong
P ∩S2 với ϕ=ϕ0. Tính cosβ.
3. Cho dạng cơ bản thứ nhất của mặt cầu có tham số hóa cho bởi phép chiếu nổi.
4. Cho mặt tham số hóa
X(u, v) = (ucosv, usinv, logcosv+u),−π
2 < v <
π
2
Chứng minh rằng hai đường cong X(u1, v), X(u2, v) xác định đoạn thẳng bằng độ dài trên tất cả các đường cong X(u, const).
5. Chứng minh rằng diện tích A của một miền bị chặn R của mặt z =f(x, y) là
A= Z Z Q q 1 +f2 x +f2 ydxdy
trong đó Q là phép chiếu vuông góc của R lên mặt phẳng xy.
6. Chứng minh rằng
là một tham số hóa của mặt nón với 2α như góc ở đỉnh tương ứng với lân cận tọa độ. Chứng minh rằng đường cong X(vsinα, cotβ, v), c = const, β = const cắt nhau tạo ra một mặt nón dưới với góc β không đổi.
7. Đường cong tọa độ của một tham số hóax(u, v)tạo thành một Lưới Tchebyshef nếu độ dài các cạnh đối của tứ giác bất kì bằng nhau. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ là ∂E
∂v = ∂G
∂u = 0.
8.Chứng minh rằng bất kì đường cong tọa độ nào cũng tạo thành một Lưới Tchebyshef nó có thể là tham số hóa lân cận tọa độ với hệ số của dạng cơ bản thứ nhất là:
E = 1, F =cosθ, G= 1
trong đó θ là góc quay của đường cong tọa độ.
9. Chứng minh rằng mặt tròn xoay luôn là tham số hóa sau
E =E(v), F = 0, G= 1.
10. Cho p =(x, y, z)∈R3, z = 0 trên mặt phẳng xy và cho X : U → P là một tham số hóa của p cho bởi
X(p, θ) = (pcosθ, psinθ)
trong đó
U =(p, θ)∈R2:p > 0,0< θ <2π .
Tính các hệ số của dạng cơ bản thứ nhất của p trong tham số hóa này. 11. Cho S là một mặt tròn xoay và C là đường sinh. Cho s là độ dài của C và kí hiệu p=p(S) là khoảng cách tới phép quay trục của điểm C tương ứng với s.
a) Chứng minh rằng diện tích S là 2πRl
0p(s)ds trong đó l là độ dài của C.
b) Áp dụng phần a) để tính diện tích của mặt xuyến tròn xoay.
12. Chứng minh rằng diện tích của một mặt ống có bán kính r xung quanh đường cong α là 2πr lần độ dài của α.
13. Không mất tính tổng quát, hai mặt tròn xoay và đinh ốc như đã cho. Cho một mặt cong chính quy C mà không giao với trục E trên mặt phẳng, phép dời hình đinhh ốc rắn quanh E nghĩa là mỗi điểm của đường đinh ốc C di chuyển với E giồng như trục. Tập S cho bởi phép dời hình C được gọi là "Helicoid mở rộng" với trục E và đường sinh C. Nếu di chuyển đinh ốc chỉ là xoay quanh E,
S chính là mặt tròn xoay. Nếu C là một đường thẳng trực giao với E, S là chân đinh ốc.
Chọn trục tọa độ sao cho E là trục z và C là đường trong mặt phẳng xy. Chứng minh rằng:
a) Nếu (f(s), g(s)) là tham số hóa của C cho bởi độ dài s, a < s < b, f(s)>0 thì
X :U →S
với
U =(s, u)∈R2, a < s < b,0< u <2π .
và X(s, u) = (f(s)cosu, f(s)sinu.g(s) +cu), c=const là một tham số hóa của S. Kết luận S là mặt chính quy.
b) Đường tọa độ của tham số hóa ở trên là trực giao khi và chỉ khiX(U) là mặt tròn xoay hoặc chân đinh ốc.
14. Gradient của một hàm khả vi f : S → R3 và với mỗi p ∈ S vectơ hạng
f(p)∈Tp(S)⊂R3 sao cho
hgradf(p), vip =dfp(v),∀p∈Tp(S).
Chứng minh rằng:
a) Nếu E, F, G là hệ số của dạng cơ bản thứ nhất trong tham số hóa X : U ⊂
R2 →S thì hạng f trên X(U) cho bởi
gradf = fuG−fvF
EG−F2 Xu+ fvE−fuF EG−F2 Xv.
Trường hợp đặc biệt, nếu S =R2 với tọa độ x, y. gradf =fxe1+fye2;
trong đó {e1, e2} là cơ sở chính tắc của R2.
b) Nếu cho p∈ S là cố định và v biến thiên trên hình tròn đơn vị |v| = 1 trong
Tp(S) thì dfp(v) là giá trị lớn nhất khi và chỉ khi v = gradf
gradg.
c) Nếugradf 6= 0tại mọi điểm của đường cong nằm ngangC ={q∈S, f(q) =const}
thì C là đường cong chính quy trênS và gradf là trực giao với C tại mọi điểm của C.
15.
a) Cho E, F, G là các hệ số của dạng cơ bản thứ nhất của mặt S trong tham số hóa X : U ⊂R2 → S. Cho ϕ(u, v) = sonst và ψ(u, v) = const là hai họ của đường cong chính quy trên x(U) ⊂ S. Chứng minh rằng hai họ là trực giao khi và chỉ khi E.ϕvψv−F(ϕu.ψv+ϕv.ψu) +Gϕu.ψu = 0.
b) Áp dụng phần a) chứng tỏ rằng lân cận tọa độ X(U) của đinh ốc của Ví dụ 3 là hai họ của đường cong chính quy
vcosu =const, v 6= 0;
(v2+a2)sin2u=const, v 6= 0, v 6=π.
là trực giao.