một vectơ tiếp xúc của cung tham số khả vi có vết nằm trên S
α: (−ε, ε)→S;
với α(0) =p. Tập tất cả vectơ tiếp xúc của S tại p gọi là mặt phẳng tiếp xúc của
S tại p, kí hiệu là TpS.
Mệnh đề sau cho thấy mỗi không gian tiếp xúc TpS là một không gian vectơ hai chiều.
Mệnh đề 1. Giả sử X :U ⊂R2 →S là một tham số hóa của mặt chính quy
S với q ∈ U. Khi đó không gian vectơ hai chiều dXq(R2) ⊂ R3 chính là không gian tiếp xúc với S tại X(q).
Chứng minh. Giả sử w là vectơ tiếp xúc tại X(q), nghĩa là w = α0(0) với α : (−ε, ε) →X(U) ⊂ S, α(0) = X(q). Khi đó β = X−1◦α : (−ε, ε)→ U là một ánh xạ khả vi. Như vậy dXq(β0(0)) =w, do đó w∈dXq(R2) (Hình 2.23).
Ngược lại, giả sử w=dXq(v), v ∈R2. Xét đường tham sốβ : (−ε, ε)→U, t7→
vt+q.
Dễ thấy β(0) = q và β0(0) = v. Xét đường tham số α = X ◦β : (−ε, ε) → S. ta có α0(0) =DXq(v) =ω Dễ thấy hệ ∂X ∂u(q), ∂X ∂v (q)
gồm các vectơ tiếp xúc với các đường toạ độ đi qua p là một cơ sở của TpS.
Giả sử ω là vectơ tiếp xúc với đường cong α = X ◦ β với β : (−ε, ε) → U,
β(t) = (u(t), v(t)). Ta có
α0(0) = d
dt(X◦β)(0) = d
dt(u(t), v(t))(0)
=Xu(q)u0(0) +Xv(q)v0(0) =w.
Như vậy toạ độ của w đối với cơ sở {Xu(q), Xv(q)} là (u0(0), v0(0)) trong đó
Hình 2.23:
vectơ tại t = 0 là w. Cho S1 và S2 là hai mặt chính quy và cho ϕ:V ⊂S1 →S2
là ánh xạ khả vi của tập mở V từ S1 đến S2. Lấy p∈ V và w ∈Tp(S1), tức là w
là vectơ tiếp xúc của một đường tham số khả vi α: (−ε.ε)→V với α(0) =p. Xét đường congβ =ϕ◦α sao cho β(0) =ϕ(p), do đó β0(0) là một vectơ của Tϕ(p)(S2). Ta có mệnh đề sau: (Hình 2.24).
Hình 2.24:
Mệnh đề 2. Vectơ β0(0) không phụ thuộc vào phần tử của α.
Chứng minh. Cho X(u, v), X(u, v) là tham số hóa trong lân cận của p và ϕ(p)
một cách tương tự. Giả sử ϕ(u, v) = (ϕ1(u, v), ϕ2(u, v)). và α(t) = (u(t), v(t)), t∈(−ε, ε). Khi đó β(t) = (ϕ1(u(t), v(t)), ϕ2(u(t), v(t))).
Do đó β0(0) = (∂ϕ1 ∂u .u 0(0) + ∂ϕ1 ∂v .v 0(0),∂ϕ2 ∂u .u 0(0) + ∂ϕ2 ∂v .v 0(0)).
Điều này cho thấy rằngβ0(0)chỉ phụ thuộc vào ánh xạϕvà các tọa độ(u0(0), v0(0))
của w trong cơ sở {Xu, Xv}. Do đó β0(0) không phụ thuộc vào α.
Mệnh đề 3. Ánh xạ dϕp : Tp(S1) →Tϕ(p)(S2) xác định bởi dϕp(w) =β0(0) là tuyến tính. Theo trên ta có: β0(0) =dϕp(w) = ∂ϕ1 ∂u ∂ϕ1 ∂v ∂ϕ2 ∂u ∂ϕ2 ∂v u0(0) v0(0) ! .
nghĩa là ánh xạ tuyến tính từ Tp(S1) vào Tϕ(p)(S2)mà ma trận đối với cặp cơ sở
{Xu, Xv} của Tp(S1) và Xu, Xv của Tϕ(p)(S2) chính là ∂ϕ1 ∂u ∂ϕ1 ∂v ∂ϕ2 ∂u ∂ϕ2 ∂v .
Ánh xạ tuyến tính dϕp xác định bởi Mệnh đề 2 được gọi là vi phân của ϕ tại
p∈S1. Tương tự ta xác định vi phân một hàm f :U ⊂S →R tại p∈U cũng là ánh xạ tuyến tính dfp:Tp(S)→R.
Ví dụ 1. Cho v ∈R3 là một vectơ đơn vị và cho h:S → R.h(p) = v.p, p∈ S, hàm cao xác định trong Ví dụ 1 trong phần 2.3. Để tínhdhp(w), w ∈Tp(S), chọn một đường khả vi α : (−ε, ε)→ S với α(0) = p, α0(0) = w. Vì h(α(t)) =α(t).v. Ta có dhp(w) = d
dth(α(t))|t=0 =α0(0).v =w.v.
Ví dụ 2. Cho S2 ⊂R3 là mặt cầu đơn vị.
S2 =(x, y, z)∈R3 :x2+y2+z2 = 1
và cho Rz,θ :R3 →R3 là một phép quay góc θ quanh trục z. Khi đó Rz,θ bị giới hạn bởi S2 là ánh xạ khả vi của S2 (Ví dụ 3 phần 2.3). Ta tính (dRz,θ)(w), p ∈
S2, w ∈Tp(S2). Cho α: (−ε, ε)→S2 là một đường khả vi với α(0) =p, α0(o) =w. Khi đó vì Rz,θ là tuyến tính.
(dRz,θ)p(w) = d
Chú ý rằng Rz,θ theo cực bắc N = (0,0,1) cố định và (dRz,θ)N : TN(S)→ TN(S)
chính là phép quay một góc θ trong mặt phẳng TN(S).
Dựa vào những gì ta đã có, để mở rộng các khái niệm của phép tính vi phân trong R2 của các mặt chính quy từ các phép tính có bản chất là lý thuyết địa phương, ta xác định một đối tượng mà quỹ tích là một mặt phẳng đến vi phôi và sự mở rộng này trở nên hiển nhiên. Chắc chắn rằng hàm cơ sở Định lí Hàm ngược mở rộng ra ánh xạ khả vi giữa hai mặt.
Ta nói rằng: ánh xạ ϕ:U ⊂S1 →S2 có vi phôi địa phương tại p∈U nếu tồn tại một lân cậnV ⊂U củapsao choϕgiới hạnV là vi phôi trên tập mởϕ(V)⊂S2.
Mệnh đề 4. Nếu S1 và S2 là các mặt chính quy và ϕ: U ⊂S1 → S2 là một ánh xạ khả vi của tập mở U ⊂S1 sao cho vi phân dϕp của ϕ tại p ∈ U là phép đẳng cấu khi đó ϕ được gọi là vi phôi địa phương tại p.
Việc chứng minh là dễ dàng khi áp dụng Định lý Hàm ngược trong R2.
Trong bài này, tất cả các khái niệm của phép tính giống như điểm tới hạn, giá trị chính quy, . . . hiển nhiên mở rộng cho các hàm và các ánh xạ xác định trên mặt chính quy.
Mặt tiếp xúc cũng cho ta nói về góc của hai mặt cắt nhau tại một điểm trong sự giao nhau.
Cho một điểm p trong mặt chính quy S, có hai vectơ đơn vị của R3 là trực giao của mặt phẳng tiếp xúc Tp(S) được gọi là một vectơ pháp tuyến đơn vị tại
p. Đường thẳng đi qua p và chứa một vectơ pháp tuyến đơn vị tại p được gọi là đường trực giao tại p. Góc của hai mặt phẳng cắt nhau tại điểm p là góc của mặt phẳng tiếp xúc của nó tại p (Hình 2.25).
Cố định một tham số hóaX :U ⊂R2 →S tại p∈S chúng ta có thể xác định
phần tử của một vectơ pháp tuyến đơn vị tại mỗi điểm q∈X(U)bởi nguyên tắc
N(q) = Xu∧Xv
|Xu∧Xv|(q).
Như vậy, ta có được một ánh xạ khả vi N : X(U)→ R3. Ta sẽ tìm hiểu sau (Phần 2.6 và 3.1) và không phải lúc nào cũng có thể mở rộng ánh xạ khả vi một cách nguyên vẹn tới mặt phẳng S.
Trước khi kết thúc phần này, ta sẽ đặt một số câu hỏi về tính khả vi.
Định nghĩa cho rằng một mặt chính quy yêu cầu rằng các tham số hóa là cấp
C nghĩa là, chúng có đạo hàm riêng liên tục tại mọi cấp. Các câu hỏi trong hình học khả vi ta cần đầy đủ sự tồn tại và liên tục của các đạo hàm riêng trên cấp nào đó với sự thay đổi theo hướng tự nhiên của bài toán.
Ví dụ, sự tồn tại và liên tục của định nghĩa mặt phẳng tiếp xúc tức là chỉ tồn tại và liên tục tại đạo hàm riêng thứ nhất. Nó có thể xảy ra, bởi vậy, đồ thị của một hàm z = f(x, y) chứa một mặt phẳng tiếp xúc tại điểm bất kì nhưng không đủ thỏa mãn định nghĩa khả vi của một mặt chính quy. Ta sẽ thấy điều này trong ví dụ dưới đây.
Ví dụ 3. Xét đồ thị của hàm z = 3 q
(x2+y2)2 sinh ra bằng cách quay đường cong z =x43 quanh trục z. Vì đường cong là đối xứng qua trục z và có đạo hàm liên tục trừ điểm gốc, rõ ràng đồ thị của z = 3
q
(x2+y2)2 nhận mặt phẳng xy
như là một mặt phẳng tiếp xúc tại gốc. Tuy nhiên đạo hàm riêng zxx không tồn tại tại gốc và đồ thị được xét không phải là một mặt chính quy như định nghĩa ở trên.
Giả sửC trong định nghĩa là áp dụng một cách chính xác để tránh việc nghiên cứu các điều kiện tối thiểu về tính khả vi cần tìm trong mỗi trường hợp riêng.
BÀI TẬP
1. Chứng minh rằng phương trình của mặt phẳng tiếp xúc tại(x0, y0, z0)của mặt chính quy cho bởi f(x, y, z) = 0 trong đó 0 là giá trị chính quy của f là
fx(x0, y0, z0)(x−x0) +fy(x0, y0, z0)(y−y0) +fz(x0, y0, z0)(z−z0) = 0.
2. Mặt phẳng tiếp xúc giới hạn bởi x2+y2−z2= 1 tại các điểm (x, y,0), chứng minh rằng chúng song song với trục z.
mà đồ thị của hàm khả vi z =f(x, y) tại điểm p0= (x0, y0) cho bởi
z =f(x0, y0) +fx(x0, y0)(x−x0) +fy(x0, y0)(y−y0).
Nhớ lại định nghĩa vi phân df của hàm f :R2 →R.
4. Chứng minh rằng các mặt phẳng tiếp xúc của mặt phẳng cho bởi z =
xf(y/x), x6= 0 trong đó f là một hàm khả vi tất cả đi qua gốc (0,0,0).
5. Nếu một lân cận tọa độ của một mặt chính quy là tham số hóa dạng
X(u, v) = α1(u) +α2(v) trong đó α1, α2 là các đường tham số hóa chính quy, chứng minh rằng các mặt tiếp xúc thuộc một đường tọa độ cố định của lân cận này đều song song với một đường.
6. Choα :I →R3 là một đường tham số chính quy độ cong ở khắp mọi nơi khác 0. Xét một mặt phẳng tiếp xúc của α (trong Ví dụ 5 của phần 2.3)
X(t, v) = α(t) +v.α0(t), t∈I, v6= 0.
Chứng minh rằng mặt phẳng tiếp xúc thuộc đường congX(const, v) đều bằng nhau.
7. Cho f :S → R xác định bởi f(p) = |p−p0|2 trong đó p ∈ S và p0 là điểm cố định củaR3 (Ví dụ 1 phần 2.3). Chứng minh rằng dfp(w) = 2w(p−p0), w ∈Tp(S).
8. Chứng minh rằng nếu L : R3 → R3 là ánh xạ tuyến tính và S ⊂ R3 là một mặt chính quy bất biến dưới L, L(S)⊂S. Khi đó, hạn chế L|S là ánh xạ khả vi và dLp(w) = L(w), p∈S, w ∈Tp(S).
9. Chứng minh rằng mặt tham số hóa X(u, v) = (vcosu, vsinu, au), a6= 0 là chính quy.
Tính vectơ pháp tuyến N(u, v) và chỉ ra rằng đường tọa độ u=u0 thuộc mặt phẳng tiếp xúc X quay quanh đường này trong đó. Tiếp tuyến của góc của nó với trục z là tỉ lệ về khoảng cách v =px2+y2 của điểm X(u0, v) đến trục z. 10. (Mặt ống) Choα :I →R3 là đường tham số hóa chính quy với độ cong khác 0 khắp mọi nơi và độ dài là tham số hóa.
ChoX(s, v) =α(s)+r(n(s)cosv+b(s)sinv), r =const6= 0, s∈I là một mặt tham số, trong đónlà pháp vectơ vàblà vectơ phó pháp tuyến củaα. Chứng minh rằng khiXlà chính quy thì nó có pháp vectơ đơn vị làN(s, v) = −(n(s)cosv+b(s)sinv). 11. Chứng minh rằng pháp tuyến của mặt tham số cho bởi
X(u, v) = (f(u)cosv, f(u)sinv, g(u)), f(u)6= 0, g06= 0
đều đi qua trục z.
12. Chứng minh rằng mỗi phương trình (a, b, c6= 0) sau
x2+y2+z2 =by;
x2+y2+z2 =cz;
xác định một mặt chính quy và trực giao nhau.
13. Một điểm tới hạn của hàm khả vi f : S → R xác định trên một mặt chính quy S là điểm p∈S sao cho dfp= 0.
a) Cho f : S → R cho bởi f(p) = |p−p0|, p ∈ S, p0 6∈ S. Chứng minh rằng p∈ S
là một điểm tới hạn của f khi và chỉ khi đường nối p với p0 là trực giao với
S tại p.
b) Choh :S →R xác định bởih(p) = pv, trong đóv ∈R3 là vectơ đơn vị. Chứng minh rằng mỗi p∈S là một điểm tới hạn củaf khi và chỉ khi v là pháp vectơ của S tại p.
14. Cho Qlà hợp của ba mặt phẳng tọa độ x= 0, y = 0, z = 0. Cho p= (x, y, z)∈
R3\Q.
a) Chứng minh rằng phương trình trên t x2 a−t + y2 b−t + z2 c−t =f(t) = 1, a > b > c >0;
có ba nghiệm phân biệt t1, t2, t3.
b) Chứng minh rằng mỗip∈R3\Q, tập cho bởif(t1)−1 = 0, f(t2)−1 = 0, f(t3)−
1 = 0 là mặt chính quy đi qua p mà đôi một vuông góc.
15. Chứng minh rằng nếu pháp tuyến tới một mặt đóng đi qua một điểm cố định thì mặt đó chứa trong mặt cầu.
16. Chowlà vectơ tiếp xúc của mặt chính quy S tại p∈S và cho X(u, v), X(u, v)
là hai tham số hóa tại p. Chứng minh rằng biểu thức của w trong cơ sở liên kết
X(u, v) và X(u, v) là
w=α1Xu+α2Xv;
w=β1Xu+β2Xv.
Chứng minh rằng các tọa độ của w là liên kết
β1 =α1∂u ∂u +α2 ∂v ∂u +α2 ∂v ∂v;
trong đó u=u(u, v) và v =v(u, v) là biểu thức đổi tọa độ.
17. Hai mặt chính quyS1 và S2đường giao cắt nhau nếu mỗip∈S1∩S2 thì Tp(S1)6=
chính quy.
18. Chứng minh rằng một mặt chính quy S giao một mặt phẳng P tại điểm đơn
p thì mặt phẳng P trùng với mặt phẳng tiếp xúc của S tại p.
19. Cho S ⊂R3 là một mặt chính quy và P ⊂R3 là mặt phẳng. Nếu tất cả các điểm của S nằm về một phía của p, chứng minh rằng p là tiếp tuyến của S tại mọi điểm của P ∩S.
20. Chứng minh rằng hình chiếu vuông góc của tâm(0,0,0)của ellipsoid lên mặt phẳng tiếp xúc của nó tạo thành một mặt chính quy xác định bởi
(x, y, z)∈R3 : (x2+y2+z2)2=a2x2+b2y2+c2z2 \ {(0,0,0)}.
21. Cho f :S →R là hàm khả vi trên một mặt chính quy kín S. Giả sử dfp = 0
tại mọi p∈S. Chứng minh rằng f là hằng số (số không đổi) trên S.
22. Chứng minh rằng nếu tất cả các đường trực giao của một mặt chính quy kín
S giao với một đường thẳng cố định thì S là mặt xoay.
23. Chứng minh rằng ánh xạ F : S2 → S2 xác định trong Bài tập 16 phần 2.3 chỉ có hữu hạn số điểm tới hạn.
24. Chứng minh rằng nếu ϕ:S1 → S2 và ψ :S2 →S3 là ánh xạ kả vi và p ∈S1. Khi đó
d(ψ◦ϕ)p =dψϕ(p) ◦dϕp.
25. Chứng minh rằng nếu hai đường cong chính quy C1 và C2 của mặt chính quy S tiếp xúc tại điểm p∈S và nếu ϕ:S →S là vi phôi thì ϕ(C1) và ϕ(C2) là đường cong chính quy mà tiếp xúc tại ϕ(p).
26. Chứng minh rằng nếu p là một điểm của mặt chính quy S nó có thể cho bằng cách chọn các tọa độ (x, y, z) thích hợp, tương ứng với một lân cận của p
trong S có dạng z=f(x, y) sao cho f(0,0) = 0, fx(0,0) = 0, fy(0,0) = 0.
27. Cho hai mặt chính quy S và S trong R3 có điểm p chung, tiếp điểm của cấp lớn hơn hoặc bằng 1 tại p nếu tồn tại tham số hóa với miền giống nhau
X(u, v), X(u, v) tại p của S và S tương ứng Xu = Xu, Xv = Xv tại p. Hơn nữa nếu một số đạo hàm riêng cấp hai khác nhau tại psự tiếp xúc được nói đến của mệnh lệnh chính xác bằng 1. Chứng minh rằng:
a) Mặt phẳng tiếp xúc Tp(S) của mặt chính quy S tại điểm p là tiếp điểm của cấp lớn hơn bằng hoặc 1 với mặt tại p.
b) Nếu một mặt phẳng có tiếp điểm cấp lớn hơn hoặc bằng 1với mặt S tạip khi đó mặt phẳng này trùng với mặt phẳng tiếp xúc S tại p.
c) Hai mặt chính quy có tiếp điểm của cấp lớn hơn hoặc bằng 1 khi và chỉ khi chúng có một mặt tiếp tuyến chung tại p, chúng tiếp xúc tại p.
d) Nếu hai mặt chính quyS và S của R3có tiếp điểm của cấp lớn hơn hoặc bằng 1 tại p và nếu F :R3→R3 là phép vi phôi của R3. Khi đó ảnh F(S) và F(S)
là mặt chính quy mà có tiếp điểm của cấp lớn hơn bằng 1 tại f(p) (nghĩa là khái niệm của tiếp điểm của cấp lớn hơn bằng 1 là bất biến dưới vi phôi). e) Nếu hai mặt có tiếp điểm của cấp lớn hơn hoặc bằng 1 tại p, thì giới hạn
lim r→0
d
r = 0 trong đó d là độ dài của đoạn thẳng mà giới hạn cho bởi đường giao với các mặt của đường song song nào đó tới đường vuông góc chung tại một khoảng cách R từ đường vuông góc này.
28.
a) Xác định giá trị chính quy là một hàm khả vi f :S →R trên một mặt chính quy.
b) Chứng minh rằng nghịch ảnh của giá trị chính quy của một hàm khả vi trên mặt chính quy S là đường cong chính quy trên S.