HÌNH HỌC VI PHÂN GIÁO TRÌNH DÙNG CHO SINH VIÊN CÁC TRƯỜNG

ĐỖ NGỌC DIỆP - NƠNG QUỐC CHÍNH HÌNH HỌC VI PHÂN GIÁO TRÌNH DÙNG CHO SINH VIÊN CÁC TRƯỜNG ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG THÁI NGUYÊN NĂM 2006 HÌNH HỌC VI PHÂN Đỗ Ngọc Diệp Nơng Quốc Chính GIÁO TRÌNH DÙNG CHO SINH VIÊN CÁC TRƯỜNG ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG Giới thiệu Ở trường phổ thơng, hình học dạy học theo quan điểm hình học Euclid [Ơclid] Các vật thể hình học cấu thành từ mảnh phẳng mảnh cầu Quan hệ so sánh vật thể hình học thực phép dời hình; hai vật thể hình học xem chúng chồng khít lên qua phép dời hình Đại số tuyến tính hình học giải tích xét vật thể hình học cấu thành từ mảnh phẳng mảnh bậc nói chung Các quan hệ so sánh xét phép biến đổi tuyên tính afin Các đường bậc hai đưa dạng tắc, mặt bậc hai khơng gian 3-chiều đưa 17 dạng tắc Trong hình học đại số phương pháp phân loại nghiên cứu đường mặt siêu mặt bậc hay, tổng quát hơn, bậc Phép biến đổi cho phép phép biến đổi đa thức song hữu tỉ Quan điểm nói phát triển hình học vi phân mà vật thể cấu tạo từ mảnh tham sơ hố tọa độ địa phương, nói chung hàm tọa độ địa phương hàm trơn Các phép biến đổi phép vi phơi Do vật thể hình học hình học vi phân đa dạng hơn, nhiều chiều theo nghĩa định trơn chu vật thể hình học mơn hình học Phương pháp nghiên cứu hình học vi phân tương đối đa dạng Trước hết hình học vi phân sử dụng phép tính vi phân tích phân không gian Euclid Ra để xây dựng phép tính vi phân tích phân tương ứng vật thể hình học Đồng thời vận dụng phương pháp tổng, tổng đại số, phương pháp tổ hợp, phương trình vi phân thường phương trình đạo hàm riêng ,… để tìm tính chất đối tượng hình học Giáo trình biên soạn khn khổ chương trình 90 tiết cho sinh viên năm cuối đại học Tác giả thứ dạy chương trình cho lớp Đại Học Thái Nguyên, Đại Học Quy Nhơn Thực tế giảng dạy gợi ý cho tác giả chọn lọc nội đung Giáo trình gồm có chương sau: Chương dành cho việc nhìn lại lý thuyết đường mặt bậc Mục đích chương tạo khởi điểm hình học cho việc học tiếp tục Chương dành cho việc nghiên cứu đường cong không gian Euclid n-chiều Chương dành cho việc xây dựng lại khái niệm tensơ đại số tensơ Chương chương trọng tâm, dành cho lý thuyết mặt cong không gian Euclid R3 Trong chương chúng tơi trình bày phép tốn vi phân nhiều chiều cho ánh xạ trơn, đồng thời chương nhấn mạnh định lí ánh xạ ẩn định lí ánh xạ ngược Hai định lí đóng vai trò trung tâm việc nghiên cứu đa tạp Rn xác định hệ phương trình hàm Trong chương chúng tơi trình bày lý thuyết tổng qt đa tạp khả vi Đó đối tượng trung tâm hình học vi phân Cuối chương có số tập bổ sung cho phần lí thuyết Các tập luyện tập bản, cần giảng viên chọn từ nguồn khác Giáo trình biên soạn lần đầu khơng tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận nhiều lí kiến đóng góp cho việc biên soạn nội dung hình thức giáo trình, Các tác giả Chương Đường mặt bậc hai Trong chương hệ thống hoá lại khái niệm kết nghiên cứu đường mặt Đại số tuyến tính Hình học giải tích cách nhìn thống tham số hố tọa độ hố Cách nhìn thống cho hình dung sơ phương pháp nghiên cứu hình học vi phân cổ điển 1.1 Siêu phẳng afin Trong Đại số tuyến tính, siêu phẳng afin đóng vai trò - m-phẳng xem giao hệ siêu phẳng afin Trong hình học afin, siêu mặt afin đối tượng Các giao siêu mặt bậc cho ta đối tương kiểu nhát cắt cầu, nhát cắt ellipsoid, v.v… 1.1.1 Thuật khổ Gauss-jordan giải hệ phương trình tuyến tính Đây cơng cụ Đại số tuyến tính cho phép đưa hệ phương trình tuyến tính dạng dễ giải tới mức đọc nghiệm dạng xếp dòng thu gọn Chúng tơi khơng nhắc lại thuật giải mà lưu ý đọc giả xem công cụ hữu hiệu xem lại cảm thấy cần thiết 1.1.2 Đa tạp tuyến tính phương pháp toạ độ Ta xét toán nghiên cứu tập nghiệm (hạt nhân) phương trình véctơ φ(x) = b, φ : V → W ánh xạ tuyến tính Khơng gian nghiệm m-phẳng afin dạng x0 + L với L mặt phẳng qua gốc toạ độ, không gian nghiệm (hạt nhân) ánh xạ tuyến tính φ(x) = Tọa độ hố khơng gian véctơ V W cách chọn không gian sở tuyến tính, ta quy tốn giải hệ phương trình tuyến tính Xét hệ phương trình tuyến tính tổng qt với ~l biến m phương trình Ax = b, với x = phải b = cột vế Theo Định lý Kronecker-kapelli, hệ phương trình có nghiệm rank [A] = rank [A|b] Nghiệm hệ không gian afin Nếu ta chọn toạ độ hoá cách chọn sở không gian nghiệm bổ sung thành sở tồn Rn ta nói rằng: Có thể tách biến x = (x, y) với x = (xl,…, xn-r), y = (y1,…, yr) cho r = rank [A] ma trận khả nghịch Các biến xl,…, xn-r biến tự Các biến y1,…, yr biến phụ thuộc, hàm tuyến tính theo xl,…, xn-r theo quy tắc Cramer cho hệ Như ta tìm sở khơng gian nghiệm mà véctơ nghiệm tương ứng với x = (xl,…, xn-r) x0 + L Nói cách khác, ta có đẳng cấu afin Rn-r không gian afin x0 + L Nên xem không gian afin vật thể hình học độc lập phép biến đổi hình học cho phép phép biến đổi afin Việc chọn cách tách biến cho phép "tọa độ hố " khơng gian (đa tạp) afin Một ví dụ khác hình thu nhờ compa Theo quan điểm trừu tượng compa cơng cụ có tác dụng vẽ đường tròn cung Một lý thuyết tổng quát mặt bậc nghiên cứu phần cuối giáo trình đại số tuyến tính Trong trường hợp phép biến đổi cho phép phép biến đổi bảo toàn dạng bậc , tức phép biến đổi afin trực giao Ví dụ với mặt cầu phép biến đổi cho phép phép biến đổi không gian Euclid (các phép quay, phép phản xạ, tịnh tiến) Bài toán quy việc nghiên cứu hệ hay nhiều (bất) phương trình bậc 2, ví dụ dạng tồn phương Lại lần nữa, câu hỏi tự nhiên đặt là: nghiên cứu mặt tổng quát mặt bậc 2? Bài toán việc làm nói thực hay khơng hệ phương trình phi tuyến (khơng tuyến tính phương trình có bậc lớn 2) Trả lời câu hỏi này, hình học vi phân dùng tồn cơng cụ vi tích phân giải tích Đó nội dung hình học đa tạp khả vi Tuy nhiên để có điều ta phải huy động tồn phép tính vi tích phân RA dạng tổng quát 1.1.3 Các phép biến đổi (tuyến tính) hình học Trong không gian, điều quan trọng chấp nhận phép biến đổi Nếu chấp nhận đủ nhiều phép biến đổi coi biến đổi tương đương có đủ nhiều vật thể hình học đồng với Nếu hạn chế xét phép biến đổi hình học tuyến tính có nhóm biến đổi nhóm tun tính tổng qt G = GL(Rn) = GLn.(R) không gian, gồm tất phép biến đổi tuyến tính khả nghịch Chúng ta thu hình học afin [aphin] Nếu hạn chế hẹp hơn, chấp nhận phép biến đổi bảo tồn khoảng cách, tích vơ hướng, có nhóm O(n) biến đổi trực giao hình học hình học Euclid [ơclid] 1.2 Đường hác hai với phương trình tắc 1.2.1 Ellipse Trong hình học giải tích, ellipse [elips] định nghĩa quỹ tích điểm M mà tổng khoảng cách đến hai điểm F1 F2 cho trước đại lượng khơng đổi 2a Các điểm F1 F2 gọi tiêu điểm Gọi khoảng cách hai điểm Fl F2 2d Chọn trung điểm đoạn F1F2 uuur gốc O hệ tọa độ Descartes, chọn véctơ e1 cho OF = de1 Bổ sung thêm véctơ e2 để có sở trực chuẩn thuận hướng có hệ tọa độ Descartes O, e1, e2 Trong hệ tọa độ điểm M có tọa độ (x, y) ta có phương trình đường ellipse 1.2.2 Hyperbola Trong hình học giải tích, hyperbola định nghĩa quỹ tích điểm ~ mà trị tuyệt đối hiệu khoảng cách đến hai điểm F1 F2 cho trước đại lượng không đổi Gọi khoảng cách hai điểm F1 F2 2d Chọn trung điểm đoạn F1F2 uuur gốc O hệ toạ độ Descartes, chọn véctơ e1 cho OF = de1 Bổ sung thêm véctơ e2 để có sở trực chuẩn thuận hướng có hệ tọa độ Descartes O, e1, e2 Trong hệ tọa độ điểm M có tọa độ (x, y) ta có phương trình đường hyperbola 1.2.3 Parabola Trong hình học giải tích, parabola [parpabol] định nghĩa quỹ tích điểm M mà khoảng cách đến điểm F đường thẳng l mặt phẳng cho trước Qua điểm F, ta hạ đường vng góc với đường thẳng l điểm P Gọi trung điểm đoạn PF gốc tọa độ O Chọn véctơ trực chuẩn e1 e2 cho uuur OF = pe2 Gọi (x, y) tọa độ điểm M hệ tọa độ O, e1, e2 Khi ta có phương trình đường parabola 1.3 Đưa phương trình đường bậc hai mặt phẳng dạng tắc Định lí 1.3.1 (Định lí phân loại) Bằng phép biến đổi toạ độ thích hợp, đường bậc hai tổng quát mặt phẳng Euclid afin 2-chiều đưa số đường tắc sau: Đường ellipse Đường ellipse ảo: Đường hyperbola Đường parabola Cặp hai đường thẳng song song cặp hai đường thẳng ảo song song: Cặp hai đường thẳng ảo cắt nhau: Cặp hai đường thẳng thẳng cắt nhau: Cặp hai đường thẳng trùng nhau: Chứng minh Đọc giả dễ dụng tìm thấy chứng minh định lí giáo trình Hình học giải tích 1.4 Phân loại siêu mặt bậc khơng gian chiều Định lí 1.4.1 (zĐịnh lí phân loại) Bằng phép biến đổi tọa độ thích hợp, mặt bậc hai tổng quát không gian Euclid ba chiều đưa số 17 mặt tắc sau: Mặt ellipsoid: Mặt ellipsoid ảo: Mặt nón ảo : Mặt elliptic hyperboloid tầng Mặt elliptic hyperboloid hai tầng Mặt nón bậc hai: Mặt elliptic paraboloid Mặt trụ elliptic Mặt trụ elliptic ảo: 10 Cặp mặt phẳng ảo cắt nhau: 11 Mặt hyperbolic paraboloid: 12 Mặt trụ hyperbolic: 13 Cặp hai mặt phẳng cắt nhau: 14 Mặt trụ parabolic 15 Cặp hai mặt phẳng song song: 16 Cặp hai mặt phẳng ảo song song: Cặp hai mặt phẳng trùng nhau: Chứng minh Định lí chứng minh cách chọn phép đổi toạ độ thích hợp làm biến phần tuyến tính Dạng toàn phương hệ số tự định động mặt cong Trường hợp 1: Dạng tồn phương có ba giá trị riêng khác 0: Phương trình đưa dạng 1a Các giá trị : dấu, quy λ1>0, λ2 >0, λ3>0 Nếu c > ta đặt Nếu c < 0, ta đặt Nếu c = ta đặt 1b Các giá trị riêng khác dấu, quy λ1>0, λ2 >0, λ3 ta đặt Nếu c < 0, ta đặt Nếu c = ta đặt Trường hợp : Có giá trị riêng khơng, ví dụ λ1≠0, λ2 ≠0, λ3≠0: 10 trúc trơn khơng tương đương Kịch tính ta kể tới định lí phân loại cấu trúc trơn R4 Định lí 7.1.4 Trên Rn n ≠ có cấu trúc trơn thơng thường Trên R4 có continuum cấu trúc trơn không tương đương vi phôi với Lý đâu có tượng lạ kì đó? Tốn học chưa có câu trả lời thật xác đáng ? 7.2 Ánh xạ trơn đa tạp Định nghĩa 7.2.1 Giả sử ta có ánh xạ f : M → N hai đa tạp khả vi (M, {(Uα ,ϕα)} α∈ I) (N, {(Vβ ,ψ β)} β∈ J) Ta nói ánh xạ khả vi (trơn), với ánh xạ trơn Nhận xét 7.2.2 Từ định nghĩa ta thấy, ánh xạ trơn hàm đổi tọa độ địa phương ánh xạ khả vi Mệnh đề 7.2.3 Mỗi hệ toạ độ địa phương xác định ánh xạ khả vi từ Rn vào đa tạp M Chứng minh Xem ánh xạ tọa độ ánh xạ đa tạp Rn M, hệ tọa độ địa phương có hàm chuyển ánh xạ trơn chúng liên hệ với cách trơn Định nghĩa véctơ tiếp xúc với đa tạp x ∈ M véctơ Giả sử ϕ: X → Y ánh xạ trơn hai đa tạp x ∈ X, y = ϕ(x) ∈ Y Nếu x(t) đường cong X qua điểm x, x(0) ϕ(x(t)) đường cong Y, qua y Do có véctơ tiếp xúc Tương ứng xác định đạo ánh Một người có đóng góp đáng kể sáng giá Donaldson, làm thời gian làm nghiên cứu sinh Oxford Anh ta giải thưởng Fields nhờ kết 71 Đạo ánh ánh xạ tuyến tính, ánh xạ đối ngẫu ánh xạ tuyến tính Định lí 7.2.4 (Vi phơi địa phương) Các mệnh đề sau tương đương nhau: Ánh xạ ϕ: X → Y vi phôi địa phương (tức vi phôi lân cận mở, dù đủ bé.) Đạo ánh Tx(ϕ): Tx →TyY đảng cấu Ánh xạ đối ngẫu T*x(ϕ): T*y Y →T*x X đẳng cấu Chứng minh Định lí ánh xạ ngược 7.3 Phân thớ tiếp xúc, đối tiếp xúc 7.3.1 Không gian tiếp xúc Phân thớ tiếp xúc Trong lân cận toạ độ điểm x ∈ X đa tạp X, không gian tiếp xúc Tx X đẳng cấu tuyến tính với Bởi nên ta xây dựng đồng phôi tự nhiên tập mở R2n Mệnh đề 7.3.1 Khơng gian có cấu trúc đa tạp trơn Chứng minh Giả sử {(Uα , ϕα)}α∈I tập đồ địa phương, xác định cấu trúc đa tạp Khi ta thay đổi toạ độ địa phương từ đồ (Uα , ϕα) sang đồ (Uβ , ϕβ), miền giao Uα ∩ Uβ ta có phép biến đổi toạ độ trơn toạ độ theo công thức đạo ánh ánh xạ hợp: Nhận xét 7.3.2 Phép chiếu tự nhiên từ TX lên X cho tương ứng véctơ tiếp xúc với điểm gốc cho ta ánh xạ trơn đa tạp p : TX → X 72 Định nghĩa 7.3.3 Bộ ba (TX, p, X) gọi phân thớ tiếp xúc với đa tạp X Mỗi ánh xạ trơn s : X → TX cho tương ứng với điểm x ∈ X véctơ tiếp xúc ξ(x) ∈ Tx X tức p o s = IdX gọi trường véctơ trơn đa tạp X ảnh Ví dụ Giả sử điểm x có toạ độ địa phương (x1, … , xn) Ta kí hiệu véctơ Chúng ta có quy tắc đổi biến theo đạo hàm cua hàm hợp: Nhận xét 7.3.4 Tại điểm đa tạp, trường véctơ ảnh đẳng cấu Bởi chúng độc lập tuyên tính Một véctơ tiếp xúc sở trực chuẩn ei,i = phân tích thành tổ hợp tuyên tính theo chúng Chúng ta có dạng tổng quát trường véctơ viết toạ độ địa phương Chúng ta kí hiệu khơng gian vào trường véctơ trơn đa tạp X Vect(X) 7.3.2 Không gian đối tiếp xúc Phân thớ đối tiếp xúc Định nghĩa 7.3.5 Giả sử X đa tạp trơn, x ∈ X điểm tuỳ ý, Tx X không gian tiếp xúc với đa tạp điểm x Chúng ta kí hiệu T*x X = HomR(Tx X, R) không gian đối ngẫu với không gian véctơ Tx X gọi không gian đối tiếp xúc Nhận xét 7.3.6 Khái niệm không gian tiếp xúc không phụ thuộc vào việc chọn hệ toạ độ dài phương, tức khái niệm hình học Do khơng gian đối tiếp xúc khái niệm hình học Nhận xét 7.3.7 Trong lân cận toạ độ địa phương điểm x đa tạp, không gian đối tiếp xúc đẳng cấu với đẳng cấu tuyên tính với không gian Euclide n-chiều Rn Bởi nên có đồng phơi tập mở vi phơi R2n Mệnh đề 7.3.8 Khơng gian có cấu trúc đa tạp trơn 73 Chứng minh Giả sử {(Uα , ϕα)}α∈I tập đồ địa phương, xác định cấu trúc đa tạp Khi ta thay đổi hệ toạ độ địa phương từ đồ (Uα , ϕα) sang đồ (Uβ , ϕβ), phần giao chúng, ta có phép biến đổi trơn toạ độ theo công thức vi phân hàm hợp Nhận xét 7.3.9 Phép chiêu tự nhiên từ T*X lên X cho tương ứng véctơ đôi tiếp xúc với điểm gốc cho ta ánh xạ trơn đa tạp p: T*X → X Định nghĩa 7.3.10 Bộ ba (T*X, p, X) gọi phân thớ đối tiếp xúc với đa tạp X Mỗi ánh xạ trơn ω : X → T*X cho tương ứng với điểm x ∈ X véctơ đối tiếp xúc ξ(x) ∈ Tx X tức p o s = IdX gọi dạng vi phân trơn đa tạp X Ví dụ Giả sử điểm x có toạ độ giạ phương (x1, … , xn) Ta kí hiệu dxi sở Tx X T*x X đối ngẫu sở Chúng ta có quy tắc đổi biến theo vi phân hàm hợp: 7.4 Đa tạp Đa tạp thương 7.4.1 Điều kiện dìm điều kiện ngập Định lí 7.4.1 (Điều kiện dìm) Giả sử ϕ: X → Y ánh xạ trơn hai đa tạp, điều kiện sau tương đương nhau: Tx(ϕ) : Tx X→ Ty Y đơn cấu Tồn lân cận mở U chứa x X, lân cận mở V chứa y Y, lân cận mở W chứa Rn-m vi phôi ψ : V → U x W cho (a) ϕ(U) ⊂ V, (b) Sơ đồ sau giao hoán Tồn đồ địa phương Ũ với toạ độ x1, … , xn lân cận điểm x toạ độ địa phương y1, … , ym lân cận điểm y = ϕ(x) cho 74 Tồn lân cận mở U điểm x lân cận V điểm y, ánh xạ trơn σ : V → U cho ϕ(U) = V, σ ϕ = IdU Chứng minh Chúng ta chứng minh định lí theo sơ đồ sau: (1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ (4) ⇒ (l) Các mệnh đề (2) ⇒ (3) ⇒ (4) ⇒ (1) hiển nhiên Bây ta chứng minh (1) ⇒ (2) Ta định nghĩa ϕ' : X x W → Y ∩ V → Rn theo công thức ϕ' (x, ω =ϕ(x) + ω V lân cận mở đủ nhỏ Y, W = Rn-m, T(x, ω)ϕ'=Tx x Id đơn cấu theo (1) nên ϕ' vi phôi địa phương Vậy ψ = ϕ' -l ánh xạ cần tìm Định nghĩa 7.4.2 Ánh xạ thoả mãn điều kiện tương đương gọi ánh xạ qui Định nghĩa 7.4.3 Đa tạp X ⊆ Y gọi đa tạp Y, nên phép nhúng tự nhiên X→ Y ánh xạ quy hai đa tạp Nhận xét 7.4.4 Đa tạp X Y ln đóng địa phương Y Định lí 7.4.5 (Điều kiện ngập) Giả sử ϕ: X → Y ánh xạ trơn hai đa tạp, điều kiện sau tương đương : Txϕ ~ : TxX → TyY toàn cấu Tồn lân cận mở U chứa x X, lân cận mở V chứa y Y, lân cận mở W chứa Rm-n vi phôi ψ : V → U x W cho (a) ϕ(V) ⊃ U (b) Sơ đồ sau giao hoán Tồn đồ địa phương Ũ với toạ độ x1, … , xn lân cận điểm x toạ độ địa phương y1, … , ym lân cận điểm y = ϕ(x) cho Tồn lân cận mở U điểm x lân cận V điểm y ánh xạ trơn σ : V → U cho ϕ(U) = V, ϕ o σ = IdV Định nghĩa 7.4.6 Ánh xạ thoả mãn điều kiện tương đương 75 gọi ánh xạ đối qui hay phép ngập Định nghĩa 7.4.7 Đa tạp Y ⊇ X gọi đa tạp thương đa tạp X, phép chiếu tự nhiên X→ Y ánh xạ đối quy hai đa tạp 7.4.2 Cấu trúc vi phân cảm sinh Định lí 7.4.8 Giả sử X không gian tổng, Y đa tạp trơn, f : X→ Y ánh xạ liên tục Khi hai mệnh đề sau tương đương: Trên X xây dựng cấu trúc vi phân (duy nhất) để f ánh xạ quy Với x ∈ X tồn lân cận mở U ⊆ Rm, ϕ(U) ⊆ X tồn tập mở V Rn đồ ψ : V→ Y Y cho : Chứng minh (l) ⇒ (2) hiển nhiên theo định nghĩa ánh xạ quy (2) ⇒ (1) : Chọn phủ mở {ϕα(Uα)} X cho với α tồn đồ ψα : Rn →Vα ⊆ Y cho đồng phôi, Nhận xét 7.4.9 Cấu trúc vi phân cảm sinh X để f trở thành ánh xạ quy, nên tồn tại, 7.4.3 Định lí Godeman Giả sử X đa tạp trơn, R ⊆ X x Y quan hệ tương đương Kí hiệu X/R tập lớp tương đương theo quan hệ R kí hiệu p : X → X/R phép chiếu tự nhiên Trang bị cho X/R tôpô thương sau: mở p-1(U) mở X Nhận xét 7.4.10 Nếu X có cấu trúc đa tạp để phép chiếu p : X → X/R đối quy cấu trúc Định nghĩa 7.4.11 Cấu trúc đa tạp trơn X/R để phép chiếu p : X → X/R đối quy gọi cấu trúc đa tạp thương X theo quan hệ R Sự tồn cấu trúc đa tạp thương dựa định lí sau Định lí 7.4.12 (Định lí Godeman đa tạp thương) X/R đa tạp trơn 76 R ⊆ X x Y đa tạp phép chiếu lên thành phần thứ hai pr2 : R→X đối quy Chúng ta bỏ qua chứng minh định lí 7.4.4 Ví dụ Đồ thị hàm y = sin(1/x) , < x < đa tạp R2 hợp với đoạn giới hạn I = {(0, y); - ≤ y ≤ 1} không đa tạp Trong mặt phẳng E2 ≈ R2 xét đường thẳng qua gốc toạ độ, nghiêng với trục hồnh góc vơ tỉ α ∈ R \ Q Ảnh xuyến T2 = R/Z đường cong trù mật xuyến khơng thể thoả mãn điều kiện qui Mặt cầu xem khơng gian thương nhóm ma trân trực giao SO (n + 1, R) theo nhóm gồm ma trân trực giao bảo toàn điểm mặt cầu, đẳng cấu với SO(n, R) Nhóm SO(n, R) cho ta quan hệ tương đương đóng ứng với tổng mặt cầu Cho nên mặt cầu trở thành đa tạp, biết 7.5 Tôpô đa tạp Một toán thú vị toán phân loại đa tạp Các kết đẹp đẽ sau thu được: Định lí 7.5.1 Mỗi đa tạp -chiều liên thông compắc vi phôi với [0, 1] ⊂ R1 , vòng tròn S1 Các đa tạp không compắc thu từ chúng cách bỏ số điểm Định lí 7.5.2 Mỗi đa tạp 2-chiều compắc không biến liên thông vi phôi với mặt thu cách gắn k mặt trụ, xoắn mặt sơi vòng gắn l Mobius, vào mặt cầu S2 khoét 2k + l lỗ thủng Các đa tạp không compắc thu từ cách bỏ số điểm Một vấn đề toán học đương thời : Có hay khơng cách làm tương tự cho đa tạp 3-chiều? Bằng cách làm tương tư với hình cầu hình trụ, người ta thu đủ nhiều đa tạp chiều Nhưng tiếc lý thuyết tông đa tạp 3chiều lý thuyết xa tới phân loại tương tự 7.6 Bài tập củng cố lý thuyết Hãy viết tên chữ IN HOA KHONG CHAN khơng dấu 77 Có chữ đa tạp, đa tạp đóng, đa tạp có biên Mặt nón Vì sao? Rp+q khơng đa tạp Hình hộp đóng không đa tạp Rn Chứng minh Tích Tchikhonov đa tạp trơn, nói chung không đa tạp trơn Chứng minh Không gian chiều Tìm khơng gian tiếp xúc với điểm đa tạp tìm số Tìm khơng gian tiếp xúc với mặt cầu điểm không gian tiếp xúc với Mobius điểm Chứng minh mặt trụ Rn đa tạp Hãy tìm phân thớ tiếp xúc 7.7 Sơ lược hình học Riemann tổng quát Hình học Riemann xem lý thuyết đa tạp mà khơng gian tiếp xúc có metric Euclid, tức dạng song tuyến tính đối xứng xác định dương không gian tiếp xúc Với cấu trúc người ta nghiên cứu toán tương tự lí thuyết đường lí thuyết mặt Bài tốn tìm mặt tích phân có khơng gian tiếp xúc cho trước việc nghiên cứu hệ vi phân tổng quát Bài toán mặt cực tiểu theo phiếm hàm thể tích toán thú vị trường hợp nhiều chiều Bài toán phân loại đa tạp Riemann toán khó Ví dụ đơn giản chứa nhiều tốn hóc búa tốn Poincaré: Đa tạp đơn liên đồng luân với mặt cầu có phải đồng phôi với mặt cầu hay không Đa tạp Riemann thường dùng làm không gian ràng buộc chuyển động Mơ hình chuyển động chất điểm xem mơ hình đường cong đa tạp Riemann Mơ hình gần chuyển động có đối xứng lý thuyết sợi dây (string theory), có mơ hình mặt hai chiều đa tạp Riemann n chiều 7.8 Sơ lược hình học symplectie tổng quát Nếu không gian tiếp xúc ta cho tích vơ hướng phản xứng khơng suy biến, ta có đối tượng la đa tạp symplectic Hình học đa tạp symplectic nghiên cứu nhiều lí ứng dụng cho hình thức luận Hamilton cho hệ 78 học Hình học symplectic dùng làm không gian pha cho hệ học chuyển động Trên thực tế chuyển động đặc trưng hai đại lượng : vị trí xung lượng (khối lượng nhân với tốc độ) Giữa biến vi trí qi = xi biến xung lượng có hệ thức khơng xác định theo mo óc Poisson pj= Đó hệ thức xác định cấu trúc symplectic phân thớ đối tiếp xúc 79 Câu hỏi ôn tập Thuật khử Gauss-jordan đa tạp tuyến tính Phân loại đường bậc mặt phẳng Phân loại mặt bậc khơng gian Đinh tí tổng qt phân loại siêu mặt bậc Độ dài đường cong Rn Đường trắc địa Bài toán biến phân cho đường trắc địa Mục tiêu trực chuẩn Mục tiêu Frenet Độ cong Độ xoắn Các định lí Mục tiêu Darboux đường cong mặt dìm Dạng tồn phương Độ cong pháp dạng độ cong trực đặc đường cong mặt Phương độ cong Gauss 10 Các định tí tí thuyết mặt dìm 11 Định lí ánh xạ ngược định tí ánh xạ ẩn 12 Đa tạp khả vi tập nghiệm hệ phương trình hàm 13 Ví dụ đa tạp: Đĩa mở, Sn, Tn, Mobius, chai Klein, RPn, CP2n-2 P P 14 Đại số hàm C∞(M) : hàm trơn đa tạp Định nghĩa đa tạp tổng quát: Bản đồ, tập đồ tương thích, cấu trúc trơn 15 ánh xạ đa tạp Phân thớ tiếp xúc Phân thớ đối tiếp xúc 16 Điều kiên quy đa tạp 17 Điều kiện đối quy đa tạp thương 18 Đa tạp compắc định hướng chiều Bài tập ơn tập • Các ví dụ bài, • Các tập củng cố lí thuyết 80 Tài liệu tham khảo M Spivak, Giải tích đa tạp (Bản dịch tiếng Việt) , NXB ĐH & THCN, 1985 H Cartan, Phép tính vi phân Dạng vi phân (Bản dịch tiếng Việt), NXB ĐH & THCN, 1981 Nguyễn Thúc Hào, Hình học vi phân, NXB Giáo dục, 1968 Đồn Quỳnh, Hình học vi phân, NXB Giáo dục, 1989 81 Chỉ số -dạng vi phân 91 dạng II 67 -dạng vi phân trơn 135 đa tạp 121 2-dạng vi phân 92 ánh xạ ẩn 118 ánh xạ qui 137 ánh xạ đối qui 138 đa tạp 137 ánh xạ khả vi 111 ánh xạ khả vi (trơn) 129 ánh xạ Weingarten 63 đồ toạ độ địa phương 123, 128 bó cấu trúc 121 tính chất bó 120 đồ tương thích với 128 cấu trúc trơn 128 sở trực chuẩn 105 công thức Meusnier 86 cung quy 37 dạng liên kết 79 dạng I 67 đa tạp khả vi (trơn) 128 đa tạp thương 139 đạo ánh 111, 131 đạo ánh theo hướng 112 đạo hàm riêng 111 đạo hàm thuận biến theo trường véctơ 75 điểm quy 37, 60 điểm cầu 66 điểm dẹt 66 điểm elliptic 66 điểm hyperbolic 66 điểm kì dị 60 điểm parabolic 66 điểm rốn 66 độ cong 43 82 độ cong 65, 87 độ cong Gauss 65 độ cong pháp dạng 85, 86 mặt trực đặc 44 độ cong trung bình 65 độ đài cung 39 độ xoắn 44 đường cong quy 37 đường cong dìm 38 đường cong tham số hố 36 pháp tuyến 61 nhóm tuyến tính tổng qt 15 nhóm biến đổi 110 pháp tuyến 85 phân thớ đối tiếp xúc 135 phép biến hình 110 phép biến hình 110 đường độ cong 89 phương tiệm cận 88 đường toạ độ 59 phương trình 80 đường tiệm cận 88 phương trình cấu trúc 80 đường trắc địa 39, 89 hệ quy chiếu Frenet 44 hệ toạ độ địa phương 128 hình cầu đóng 107 phương trình đối xứng 80 hình cầu mở 108 phương trình Gauss 81 hình hộp đóng 108 tập đồ khả vi (trơn) 128 hình hộp đóng-mở 108 ten sơ độ cong Riemman 76 hình hộp mở 108 ten sơ Ricci 78 ký hiệu Christoffel 71 tích vơ hướng 104 khơng gian đối tiếp xúc 134 tham số hoá tự nhiên 41 ma trận Jacobi 113 tham số hoá địa phương mảnh tham số hố 59 tham số hố tương thích mặt cầu 107 tơpơ thương 140 mặt dìm 62 véctơ pháp tuyến 43, 44, 61 mặt mật tiếp 44 véctơ trùng pháp tuyến 44 mặt pháp diện 44 vi phân toàn phần 114 phương trình Gauss 81 phương trình Peterson-kodazi 81 83 Mục lục Chương Đường mặt bậc hai 1.1 Siêu phẳng afin 1.1.1 Thuật khổ Gauss-jordan giải hệ phương trình tuyến tính 1.1.2 Đa tạp tuyến tính phương pháp toạ độ 1.1.3 Các phép biến đổi (tuyến tính) hình học 1.2 Đường hác hai với phương trình tắc 1.2.1 Ellipse 1.2.2 Hyperbola 1.2.3 Parabola 1.3 Đưa phương trình đường bậc hai mặt phẳng dạng tắc 1.4 Phân loại siêu mặt bậc không gian chiều 1.5 Đưa phương trình mặt bậc hai tổng qt dạng tắc 12 1.6 Phân loại dời hình đường bậc hai mặt phẳng Euclid 14 l.7 Phân loại dời hình mặt bậc hai khơng gian Euclid chiều 14 1.8 Phương pháp toạ độ cong 14 1.8.1 Các đường bậc tham số hoá 15 1.8.2 Các mặt bậc hai tham số hoá 16 1.9 Bài tập củng cố lý thuyết 16 Chương Lý thuyết đường cong Rn 17 2.1 Cung tham số hố cung quy 17 2.2 Độ dài đường cong Rn Đường trắc địa 18 2.3 Mục tiêu trực chuẩn Mục tiêu Frenet Độ cong Độ xoắn 20 2.4 Định lí 23 2.5 Bài tập củng cố lý thuyết 26 Chương Đại số tensơ, đại số ngoài, tensơ đối xứng 27 3.1 Tích ten sơ khơng gian véctơ 27 3.3 Đại số tensơ 29 3.4 Đại số 30 Chương Lý thuyết mặt cong R3 31 4.1 Mảnh tham số hố quy mặt tham số hoá 31 4.2 Mục tiêu Darboux đường cong mặt dìm 31 4.3 Dạng toàn phương 32 4.4 Đạo hàm Weingarten ký hiệu Christoffel 37 4.5 Đạo hàm thuận biến 40 4.6 Độ cong Riemann 41 4.7 Các định lí tí thuyết mặt dìm 43 Chương Đường cong mặt cong 46 5.1 Đường cong mặt 46 5.2 Độ công pháp dạng độ cong trắc địa đường cong mặt 46 5.3 Phương độ cong Gauss 48 5.4 Một Số tính chất đặc trưng đường mặt cong 49 5.5 Định lí Gauss - Bonnet 50 5.6 Bài tập củng cố lý thuyết 55 Chương Định lí ánh xạ ngược Định lí ánh xạ ẩn 57 6.1 Định nghĩa đạo ánh tính chất 57 6.2 Đạo hàm riêng vi phân 61 6.3 Định lí hàm (ánh xạ) ngược 65 6.4 Định lí hàm (ánh xạ) ẩn 66 6.5 Bó hàm trơn 67 84 6.6 Bài tập củng cố lý thuyết 69 Chương Đa tạp khả vi 70 7.1 Định nghĩa Ví dụ 70 7.2 Ánh xạ trơn đa tạp 71 7.3 Phân thớ tiếp xúc, đối tiếp xúc 72 7.3.1 Không gian tiếp xúc Phân thớ tiếp xúc 72 7.3.2 Không gian đối tiếp xúc Phân thớ đối tiếp xúc 73 7.4 Đa tạp Đa tạp thương 74 7.4.1 Điều kiện dìm điều kiện ngập 74 7.4.3 Định lí Godeman 76 7.4.4 Ví dụ 77 7.5 Tôpô đa tạp 77 7.6 Bài tập củng cố lý thuyết 77 7.7 Sơ lược hình học Riemann tổng quát 78 7.8 Sơ lược hình học symplectie tổng quát 78 Câu hỏi ôn tập 80 Tài liệu tham khảo 81 Chỉ số 82 85 ...HÌNH HỌC VI PHÂN Đỗ Ngọc Diệp Nơng Quốc Chính GIÁO TRÌNH DÙNG CHO SINH VI N CÁC TRƯỜNG ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG Giới thiệu Ở trường phổ thơng, hình học dạy học theo quan điểm hình học Euclid... trơn Các phép biến đổi phép vi phơi Do vật thể hình học hình học vi phân đa dạng hơn, nhiều chiều theo nghĩa định trơn chu vật thể hình học mơn hình học Phương pháp nghiên cứu hình học vi phân. .. tổ hợp, phương trình vi phân thường phương trình đạo hàm riêng ,… để tìm tính chất đối tượng hình học Giáo trình biên soạn khn khổ chương trình 90 tiết cho sinh vi n năm cuối đại học Tác giả thứ