Hình học vi phân của mặt cầu trong e3

Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học vinh ------------------------ Nguyễn Thị thu Nga Hình học vi phân của mặt cầu trong E 3 Chuyên ngành: Hình học tô pô Mã số: 60 46 10 luận văn thạc sỹ toán học Ngời hớng dẫn khoa học: TS. Phạm Ngọc Bội TS. Nguyễn Duy Bình Vinh 2007 1 Mục lục Mục lục.1 Mở đầu .2 Chơng 1: Một số kiến thức chung về đờng và mặt trong E 3 4 Đ1. Đờng trên E n 4 Đ2. Mặt trong E 3 5 Đ3. ánh xạ giữa các mặt 6 Chơng 2. hình học vi phân của mặt cầu trong E 3 Đ1. Một số yếu tố hình học trên mặt cầu Đ2. Một số đờng trên mặt cầu. Đ3. Phép biến đổi đẳng cự trên mặt cầu Đ4. Siêu cầu trong không gian Ơclit n chiều Kết luận. Tài liệu tham khảo 2 Lời Mở Đầu Nói đến hình học vi phân là nói đến hình học vi phân cổ điển, là hình học nghiên cứu các đối tợng quen thuộc trên không gian đơn giản nhất, đó là đờng và mặt trong không gian Euclid hai, ba chiều. Trên cơ sở các kiến thức chung về đờng trên mặt và mặt (đa tạp Riman hai chiều), đề tài nhằm nghiên cứu tính chất về hình học và tôpô của mặt cầu; các đờng đặc biệt trên mặt cầu và một số yếu tố của hình học cầu. Với mục đích đó, chúng tôi đã trình bày một cách chi tiết và có hệ thống các kiến thức về một số yếu tố hình học trên mặt cầu, các đờng trên mặt cầu, đồng thời nêu lên các phép biến đổi trên mặt cầu, chúng tôi cũng đa ra một số mở rộng cho siêu cầu trong không gian Ơclit n chiều. Nội dung chính của luận văn đợc trình bày trong hai chơng: Chơng I: Một số kiến thức chung về đờng và mặt trong E 3 Trong chơng này chúng tôi trình bày các khái niệm về đờng, mặt, ánh xạ giữa các mặt và một số tính chất cơ bản để phục vụ cho việc trình bày chơng sau. Chơng II: Hình học vi phân của mặt cầu trong E 3 Đây là chơng trọng tâm của luận văn với các nội dung sau: 3 Đ1. Một số yếu tố hình học trên Đ2. Một số đờng trên mặt Đ3. Các phép biến đổi trên mặt cầu Đ4. Một số mở rộng cho siêu cầu trong không gian Ơclid n chiều Vì năng lực và thời gian có hạn nên luận văn này không thể tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong các thầy cô và các bạn vui lòng góp ý. Luận văn đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn tận tình của thầy giáo, Tiến sĩ Phạm Ngọc Bội và Tiến sĩ Nguyễn Duy Bình cùng sự giúp đỡ, động viên của các thầy, cô trong tổ bộ môn Hình học Tôpô, Ban chủ nhiệm khoa Toán, khoa Sau đại học trờng Đại học Vinh cùng các bạn học viên lớp cao học 13 Hình học. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy cô và các bạn. Vinh, tháng 11 năm 2007 Nguyễn Thị Thu Nga 4 Chơng i. Một số kiến thức chung về đờng và mặt trong E 3 Đ1. Đờng trên E n 1.1. Định nghĩa. S (mặt n S ) gọi là cung nếu tồn tại :r J R S sao cho ( ) Jr = . Khi đó r cũng đợc gọi là tham số hoá của cung . Điểm Jt o sao cho ( ) 0 o tr đợc gọi là điểm chính quy . Nếu ( ) 1 = o tr , t thì r đợc gọi là tham số hoá tự nhiên. 1.2. Định nghĩa . Cho cung xác định bởi tham số hoá :r J S . Trờng vectơ dọc là phép đặt tơng ứng mỗi t J một vectơ ( ) ( ) St tr :r J S , ( ) trt là một cung tham số trong S thì ( ) ( ) ( ) ( ) trtrtrt = , là một tr- ờng vectơ dọc r , ký hiệu r . 1.2. Độ dài cung 1.1.1. Định nghĩa. Cho cung tham số : [ ] n ba , xác định trên đoạn thẳng ( kể cả các mút ) [ ] ba, và giả sử liên tục. Với mỗi phép chia btttta m =<<<<= . 210 , lập tổng = m i ii tt 1 1 )()( . Nếu các tổng đó có cận trên 5 với mọi phép chia nh vậy thì nói cung tham số đó có độ dài cung ( còn nói khả trờng ) và độ dài cung đó là cận trên ấy . Nói một cách hình học: độ dài cung đó là cận trên của độ dài mọi đờng gấp khúc nội tiếp cung tham số . 1.1.2. Định lý. Nếu [ ] n ba ,: khả vi lớp C 1 thì có độ dài cung và độ dài cung ấy là dtt b a )( . Chứng minh (Xem [1]). 1.1.3. Chú ý a. Ta có định lý mạnh hơn, [ ] n ba ,: có độ dài cung khi và chỉ khi liên tục tuyệt đối, tức khi và chỉ khi có hàm vectơ [ ] n ba ,: khả tích Lơbe mà dttt t a += )(0)( và cũng khi và chỉ khi có đạo hàm hầu khắp nơi với hàm số )(tt khả tích Lơbe và khi có độ dài cung là dtt b a )( b. Nếu hai cung tham số [ ] n ba ,: , )(tt và [ ] n bar ~ , ~ : , )(uru đều khả vi lớp C 1 bởi rtut == ),(: thì độ dài cung của chúng bằng nhau theo định nghĩa ( hình học ) của độ dài cung nói trên hoặc do công thức đổi biến số của tích phân: do đồng biến nên duurdtttrdttrdtt b a b a b a b a = = = ~ ~ )()())(()()()( Từ đó nếu định nghĩa cung đoạn là cung xác định bởi các cung tham số xác định trên đoạn thẳng ( đóng, bị chặn trong R ) thì có thể nói đến độ dài của cung đoạn nh thế (luôn giả thiết khả vi lớp C k ( k 1 ). Đ2. Mặt trong E 3 6 2.1. Định nghĩa. Mặt S E n xác định bởi S = ( ) Ur , SRUr 2 : , r đợc gọi là tham số hoá của S. . Điểm ( ) ( ) ( ){ } oovoouoo vurvurUvu ,,,:, độc lập tuyến tính đợc gọi là điểm chính quy . S gọi là mặt chính quy nếu mọi ( ) vu, là điểm chính quy. 2.2. Định nghĩa. S E n đợc gọi là mảnh hình học nếu nó là ảnh của một dìm, đồng phôi lên ảnh SUr : từ một tập mở 2 RU vào S ; r gọi là một tham số hoá của mảnh hình học S. 2.3. Định nghĩa. Tập con không rỗng S của E n gọi là một đa tạp hai chiều trong E n nếu mỗi p S có lân cận mở là một mảnh hình học; mỗi tham số hoá của mảnh hình học này gọi là một tham số hoá địa phơng của S. 2.4. Định nghĩa. Một hớng trên đa tạp hai chiều S trong E n là việc đặt tơng ứng mỗi điểm Sp một hớng của không gian vectơ thực hai chiều S p sao cho với mọi Sp o có tham số hoá địa phơng SUr : của S, ( ) o pUr và với mọi ( ) Uvu , , ( ) r vu, biến hớng chính tắc của R 2 thành hớng của ( ) S vur , , tức với mọi ( ) Urp , hớng của S p xác định bởi cơ sở ( ){ } pRpR vu ),( (tham số hoá này đợc gọi là tơng thích với hớng đó). S gọi là định hớng đợc khi S có hớng và S gọi là đa tạp (đã) định hớng (hay có hớng) nếu đã chọn một hớng trên S. 2.5. Định lý. Đa tạp hai chiều S trong E 3 định hớng đợc khi và chỉ khi có tr- ờng vectơ pháp tuyến đơn vị (khả vi) trên S (Xem [1]). 2.6. Định nghĩa. S n , n SS ì= gọi là không gian các vectơ tiếp xúc của S. Với Sp , kí hiệu n p pS ì= và gọi nó là không gian vectơ tiếp xúc của S tại p . 2.7. Các phơng trình cơ bản của lý thuyết mặt trong trong E 3 7 S là một mặt trong E 3 định hớng bởi trờng vectơ pháp tuyến đơn vị n; { } 21 ,UU là trờng mục tiêu tiếp xúc trực chuẩn trên tập mở V trong S; { } 21 , là trờng đối mục tiêu của { } 21 ,UU . Gọi { } 321 ,, UUU là trờng mục tiêu trực chuẩn dọc V tơng ứng với S nếu V nU = 3 ; ; { } 321 ,, là trờng đối mục tiêu của { } 321 ,, UUU . Các dạng vi phân bậc một l k ( ) 3,2,1. = lk xác định dới đây đợc gọi là các dạng liên kết của S trong { } 321 ,, UUU . ( ) ( ) ( ) ( ) pnpUUD . 3 12 2 11 += ( ) ( ) ( ) ( ) pnpUUD . 3 21 1 22 += ( ) ( ) ( ) ( ) pUpUUD 2 2 31 1 33 += Với mọi S p , p V. Từ đó ta có k l l k = Các phơng trình cơ bản của lý thuyết mặt (ứng với { } 321 ,, UUU trên V S) 21 2 1 = d , 12 1 2 = d ; 0 23 2 11 3 =+ 3 2 1 3 1 2 = d ; 2 3 1 2 1 3 = d ; 1 3 1 2 2 3 = d Đ3. ánh xạ giữa các mặt. 3.1. ánh xạ khả vi. ánh xạ 21 : SSh ( 21 , SS là các đa tạp hai chiều trong E n ) gọi là khả vi nếu h liên tục và với mọi tham số hoá địa phơng 111 : SUr , 222 : SUr ( 21 ,UU là các tập mở trong R 2 mà )())(( 2211 UrUrh , ánh xạ 211 1 2 : UUrhr là khả vi Nhận xét: Nếu 21 : SSf , 32 : SSg (giữa các đa tạp hai chiều trong E n ) là những ánh xạ khả vi thì 31 : SSfg là khả vi. 3.2. ánh xạ tiếp xúc của 21 : SSf 8 Cho ánh xạ (khả vi) 21 : SSf (giữa các đa tạp hai chiều trong E n ). Với mỗi p 1 S có ánh xạ, kí hiệu là ( ) 21 : SSf pfpp xác định bởi: cho 1 S pp , coi ( ) op t = , 1 : SJ là một cung tham số, thì ( ) ( ) ( ) opp tff = . Hay còn dùng kí hiệu p f * thay cho f p và khi p đã rõ, đôi khi viết tắt f hay * f . ánh xạ f p gọi là ánh xạ tiếp xúc tại p của f . 3.3. Vi phôi ánh xạ khả vi 21 : SSf (giữa các đa tạp hai chiều trong E n ) gọi là một vi phôi nếu có 12 : SSg khả vi mà 1 = fg . Tức 21 , SS idgfidfg == Nếu SUr : là một tham số hoá địa phơng của đa tạp hai chiều S trong E n thì r là một vi phôi từ U lên ( ) Ur . 3.4. ánh xạ đẳng cự 3.4.1. Định nghĩa. 21 , SS là các đa tạp hai chiều trong E n , ánh xạ (khả vi) 21 : SSf gọi là một ánh xạ đẳng cự nếu với mọi điểm 1 Sp , 2)(1 : SSf pfpp bảo tồn tích vô hớng (tức là một ánh xạ tuyến tính trực giao), tức 1 , S p , ta có ( ) ( ) ,, = ff pp Nếu f là vi phôi và f là ánh xạ đẳng cự thì f đợc gọi là một vi phôi đẳng cự. 3.4.2. Tính chất 1. f là một ánh xạ đẳng cự thì: a, f là một trải; b, f bảo tồn góc giữa các phơng tiếp xúc, tức nếu 1 , S p thì ))(),(cos(),cos( ff pp = c, f bảo tồn độ dài cung trên đa tạp, tức nếu [ ] 1 ,: Sba = là một cung đoạn trên 1 S thì ( ) ( )( ) fldttfdttl b a b a = = = )()()( 2. f là vi phôi đẳng cự thì: 9 a. 1 f cũng là vi phôi đẳng cự; b. f bảo tồn diện tích các miền compact với bờ 3. Tích các ánh xạ đẳng cự là ánh xạ đẳng cự, tích các vi phôi đẳng cự là vi phôi đẳng cự Chứng minh. 1. a, f là một trải vì f p không suy biến với mọi p; từ đó, với mọi 1 Sp , có lân cận V chứa p mà )(: VfVf V là một vi phôi đẳng cự; b, f là ánh xạ đẳng cự thì với 1 , S p ta có ( ) ( ) ff pp = ,, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ffff pppp = ,cos ,cos Mặt khác, do ( ) ( ) ff pp = ,, nên ( ) f p = ( ) ( ) ( ) ff pp = ,cos(,cos Vậy f bảo tồn góc giữa các phơng tiếp xúc c, Giả sử có cung xác định bởi tham số [ ] 1 ,: Sba = , ( ) tt , độ dài cung [ ] ( ) ( ) ( ) dttfdtt b a b a ba = = = , bằng độ dài cung ảnh của qua f (vì với mỗi [ ] bat , thì )()()()( tfft ppp === ) 2. a, f vi phôi hiển nhiên 1 f cũng vi phôi 21 : SSf , 12 1 : SSf Với ( ) 1 , S pf , )()( 11 tf = , )()( 22 tf = ( ) )()()()( 111 11 ttfff pf = = ( ) )())(()( 222 11 ttfff pf == ( ) ( ) ,)()(),()()(),()(),( 221121 11 = = = tftfttff pfpf Vậy 1 f là vi phôi đẳng cự. b, Hiển nhiên. 3. Giả sử gf , là ánh xạ đẳng cự, 21 : SSf , 32 : SSg với 1 , S p ta có 10