Tích phân 2 dạng vi phân với giá trị trong r2 trên đa tạp RIEMANN

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐÀO CHÂU THÀNH TÍCH PHÂN 2-DẠNG VI PHÂN VỚI GIÁ TRỊ TRONG R 2 TRÊN ĐA TẠP RIEMANN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Vinh 2010 1 MụC LụC Trang Mục lục 1 Lời nói đầu .2 Chơng 1. Kiến thức cơ sở .4 1.1. Dạng k- tuyến tính với giá trị trong 2 Ă 4 1.2. k- dạng vi phân với giá trị trong 2 Ă trên đa tạp Riemann8 1.3. ánh xạ đối tiếp xúc .10 Chơng 2. Tích phân 2- dạng vi phân với giá trị trong 2 Ă trên đa tạp Riemann .15 2.1. Phân hoạch đơn vị.15 2.2. Tích phân 2 - dạng vi phân với giá trị trong 2 Ă trên đa tạp Riemann.22 2.3. Một số ứng dụng của tích phân 2 - dạng vi phân với giá trị trong 2 Ă trên đa tạp Riemann.25 Kết luận34 Tài liệu tham khảo 35 2 Lời nói đầu Phép lấy tích phân các dạng vi phân với giá thực có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực Vật lý và các ngành khác nhau của Toán học nh: giải tích, hệ động lực, hình học-tôpô. Vấn đề này đợc nhiều tác giả trong và ngoài nớc quan tâm nghiên cứu và đã đợc trình bày trong các tài liệu nh: Mở đầu về Hình học Riemann của Nguyễn Hữu Quang [3], Hình học vi phân của Đoàn Quỳnh [6], Phép tính vi phân các dạng vi phân của H.Cartan [2] Mục đích của đề tài này là trình bày một cách có hệ thống các khái niệm và các tính chất cơ bản của tích phân 2-dạng vi phân với giá trị trong 2 Ă trên đa tạp Riemann, và một số ứng dụng của nó. Luận văn đợc trình bày trong 2 chơng: Chơng 1. Kiến thức cơ sở Trong chơng này, chúng tôi trình bày một số tính chất dạng k-tuyến tính phản xứng, các phép toán của k-dạng vi phân với giá trị trong 2 Ă trên đa tạp Riemann. Chơng này là cơ sở cho việc trình bày chơng 2. Chơng 2. Tích phân 2-dạng vi phân với giá trị trong 2 Ă trên đa tạp Riemann Chơng 2 là nội dung chính của luận văn. Để thuận lợi cho việc trình bày tích phân 2-dạng vi phân với giá trị trong 2 Ă trên đa tạp Rieman, trớc hết, chúng tôi trình bày về phân hoạch đơn vị, tiếp theo, chúng tôi trình bày về tích phân của 2-dạng vi phân với giá trị trong 2 Ă trên ngăn trong n Ă . Cuối cùng chúng tôi chỉ ra một số ứng dụng của nó. Luận văn đợc hoàn thành tại Khoa sau Đại học trờng Đại học Vinh, với sự hớng dẫn của PGS.TS Nguyễn Hữu Quang. Tác giả xin đợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, ngời đã đặt vấn đề hớng dẫn một cách tận tình. 3 Nhân dịp hoàn thành luận văn, tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo trong tổ bộ môn Hình học-Tôpô, các thầy cô giáo trong khoa Toán, khoa đào tạo Sau đại học, trờng Đại học Vinh, đã nhiệt tình giảng dạy, tạo điều kiện cho tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Cũng nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn Phòng GD Hậu lộc BGH Trờng THCS Đa lộc- Hậu lộc -Thanh Hóa, đồng nghiệp, bạn bè và gia đình đã động viên, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn này. Vinh, tháng 12 năm 2010 Tác giả 4 Chơng 1: Kiến thức cơ sở Trong chơng này, ta luôn giả thiết M là đa tạp Riemann n-chiều có cơ sở đếm đợc với hệ bản đồ { } , I U X và U là tập mở trong M, ký hiệu: p T M là không gian tiếp xúc với M tại p, p M ( )B M = { \X X là trờng véc tơ khả vi trên M } 2 ( , ) k M =Ă { \ là k - dạng vi phân với giá trị trong 2 Ă } ( , ) k M =Ă { \ là dạng vi phân thực} 2 ( ) { | : . k p p p A T M f f T M T M R = ì ì là k - tuyến tính, phản xứng với giá trị trong 2 Ă } 2 2 ( , ) { \ :F M f f M= Ă Ă là hàm khả vi trên M với giá trị trong 2 Ă } ( , ) { \ :F M f f M= Ă Ă là hàm khả vi trên M} 1.1. Dạng k- tuyến tính với giá trị trong r 2 1.1.1. Định nghĩa. Ký hiệu E là một không gian vectơ Ơclit trên IR. . Một ánh xạ f : E ì ì E IR 2 (x 1 ,, x k ) a f(x 1 ,, x k ) = (f 1 (x 1 ,, x k ); f 2 (x 1 ,, x k )) đợc gọi là ánh xạ k- tuyến tính nếu f tuyến tính theo từng biến. Ký hiệu L k (E) = 2 { \ : .f f E E Rì ì là dạng k-tuyến tính trên E} Ta trang bị hai phép toán trên L k (E) nh sau: f + g :(x 1 , , x k ) a f(x 1 ,, x k ) + g(x 1 ,, x k ); f (x 1 , x k ) a .f (x 1 , x k ) ; f,g L k (E), R. 1.1.2. Mệnh đề. a) L k (E) là một không gian tuyến tính. 5 b) Dim L k (E) = n k . Chøng minh: a) ⊕ L k (E) lµ mét kh«ng gian tuyÕn tÝnh: • Víi ∀ f ∈ L k (E), tån t¹i mét ¸nh x¹ 0: E × … × E → 2 R ®Ó f + 0 = f (x 1 ,…, x k ) a 0 • Víi ¸nh x¹ f: E × … × E → 2 R (x 1 ,…, x k ) a f (x 1 ,…, x k ) = (f 1 (x 1 , .,x k ),f 2 (x 1 , .,x k ) cã ¸nh x¹ - f: E × … × E → 2 R (x 1 ,…, x k ) a - f (x 1 , ., x k ) = -(f 1 (x 1 , .,x k ),f 2 (x 1 , .,x k ) §Ó f + (-f) = 0 • Víi ∀ λ ∈ R ; f: E × … × E → 2 R (x 1 ,…, x k ) a f(x 1 , ., x k ) = (f 1 (x), f 2 (x)) vµ g: E × . × E → 2 R (x 1 , ., x k ) a g(x 1 , ., x k ) =(g 1 (x), g 2 (x)) Khi ®ã : ( λ (f+g)) (x 1 ,…, x k ) = λ (f+ g) (x 1 , .,x k ) = λ (f(x 1 , ., x k ) + g(x 1 ,…, x k )) = λ f(x 1 ,…, x k ) + λ g(x 1 ,…, x k )) = ( λ f+ λ g)(x 1 ,…, x k ) ⇒ λ (f 1 + f 2 ) = λ f+ λ g DÔ thÊy 5 tiªn ®Ò cßn l¹i ®óng. VËy L k (E) lµ mét kh«ng gian tuyÕn tÝnh b) XÐt ¸nh x¹: 1 . k i i f k - tuyÕn tÝnh 1 . k i i f ( 1 , ., k j j e e ) = 1 nÕu i 1 = j 1 ,…, i k = j k 0 trong c¸c trêng hîp cßn l¹i 6 { } 1 1 . 1 k k i i i i n f < có n 2 phần tử Ta cần chứng minh { } 1 1 . 1 k k i i i i n f < là cơ sở của L k (E) Chứng minh { } 1 1 . 1 k k i i i i n f < độc lập tuyến tính. Xét 1 1 1 . . 1 k k k i i i i i i n f < = 0, ta có 1 1 1 . . 1 k k k i i i i i i n f < ( 1 , ., k j j e e ) = 0( 1 , , k j j e e ) = 0 1 , , k j j = 0 ( 1, 2j = ) Vậy { } 1 1 . 1 k k i i i i n f < độc lập tuyến tính. Chứng minh { } 1 1 . 1 k k i i i i n f < là hệ sinh. Với f L k (E), ta đặt 1 2 .j j b = f ( 1 , ., k j j e e ) và a 1 ,, a k E thì 1 a = 1 1 1 , n j j j x e = , 2 k k n k j j j a x e = = Ta có f(a 1 ,, a k ) = f( 1 1 1 n j j j x e = ,, k k n j j j k x e = ) = 1 1 1 , ., ( , ., ) k k n j j j j j x x f e e = = 1 1 . 1 , ., k k n j j j j j x x b = Mặt khác : 1 . k j j f ( a 1 ,, a k ) = 1 . k j j f ( 1 1 1 n j j j x e = ,, k k n j j j k x e = ) = 1 1 1 . 1 , ., ( , ., ) k k k n j j i i j j j x x f e e = = 1 , ., k j j x x Khi đó f(a 1 ,, a k ) = 1 1 . 1 . 1 ( , ., ) k k n j j k j j j f a a b = 7 f = 1 1 . . 1 k k n j j j j j f b = Vậy { } 1 1 . 1 k k i i i i n f < là hệ sinh. { } 1 1 . 1 k k i i i i n f < là cơ sở của L k (E) Có n k cách chọn bộ 1 ( , ., ) k i i Dim L k (E) = n k W 1.1.3. Định nghĩa. Giả sử n E = Ă là một không gian vectơ Ơclit trên Ă . Một ánh xạ f : 2 .E Eì ì Ă x = (x 1 ,,x k ) a f(x) = (f 1 (x), f 2 (x)) đợc gọi là ánh xạ k-tuyến tính, phản xứng với giá trị trong 2 Ă nếu f là k- tuyến tính và thỏa mãn điều kiện: f(x 1 , ,x i ,,x j , .x k ) = - f(x 1 ,,x j ,,x i ,,x k ) 1.1.4. Ví dụ: Cho f : 2 2 2 ì Ă Ă Ă 1 2 2 1 2 1 1 2 ( , ) ( , ) ( , )x y f x y x y x y x y x y= a với x = (x 1 , x 2 ), y = (y 1 , y 2 ). Khi đó f là ánh xạ song tuyến tính phản xứng. Ký hiệu: ( ) k A E = { |f f : E .ì ì E I 2 Ă là k-tuyến tính, phản xứng } 1.2.5. Mệnh đề: ( ) k A E là không gian vectơ con trong ( ) k L E . Chứng minh: ( ) k A E là không gian vectơ con trong ( ) k L E Thật vậy: Với ,f g k A ta có: + 1 ( )( , ., ) k f g x x+ = 1 ( , ., ) k f x x + 1 ( , ., ) k g x x = - 1 ( , ., ) k f x x - 1 ( , ., ) k g x x = - 1 ( )( , ., ) k f g x x+ f g + k A + ( f ) 1 ( , ., ) k x x = . f 1 ( , ., ) k x x = - . f 1 ( , ., ) k x x 8 = -( f ) 1 ( , ., ) k x x f k A Vậy ( ) k A E là không gian vectơ con trong ( ) k L E . 1.2. k-dạng vi phân trên đa tạp Riemann với giá trị trong r 2 1.2.1. Định nghĩa. ánh xạ 2 : ( , ) k p p M U A T M R U p p a đợc gọi là k-dạng vi phân với giá trị trong 2 Ă , trong đó 2 : . p p p T M T M ì ì Ă 1 2 1 1 2 2 1 2 ( ( ), ( ), ., ( )) ( ( ( ), ( ), ., ( )), ( ( ), ( ), ., ( )) k k k X p X p X p X p X p X p X p X p X p a là k-dạng tuyến tính, phản xứng. 1.2.2. Định nghĩa. Giả sử ánh xạ d: 2 1 2 ( , ) ( , ) k k M M + Ă Ă 1 2 1 2 ( , ) ( , )d d d = =a đợc gọi là vi phân ngoài của k-dạng vi phân với giá trị trong 2 Ă trên đa tạp M, trong đó 1 2 ,d d là vi phân ngoài của k-dạng vi phân thực. 1.2.3. Định nghĩa. Giả sử 2 ( , ) k M Ă ; 2 ( , ) l M Ă . Tích ngoài của và ký hiệu và đợc xác định bởi: ( )(X 1 , ., X k+l ) = (1) ( ) ( 1) ( ) k k k l < < + < < + ( )sign ( (1) ( ) , ., k x x ). ( ( 1) ( ) , ., k k l x x + + ) với mọi X j B(M), j = 1 , , k+l. 1.2.4. Mệnh đề. Giả sử 2 ( , ) k M Ă , = ( 1 , 2 ); 2 ( , ) l M Ă , 9 = ( 1 , 2 ). Khi đó = ( 1 1 2 2 , ). Chứng minh. Theo định nghĩa ta có: ( )(X 1 , ., X k+l ) = (1) ( ) ( 1) ( ) k k k l < < + < < + ( )sign ( (1) ( ) , ., k x x ). ( ( 1) ( ) , ., k k l x x + + ) = 2 1i= [ (1) ( ) ( 1) ( ) k k k l < < + < < + ( )sign i ( (1) ( ) , ., k x x ). i ( ( 1) ( ) , ., k k l x x + + )]E i = ( 2 1i= ( i i )E i )(X 1 , ., X k+l ), X 1 , X 2 ,,X k+l B(M). Suy ra = ( 1 1 2 2 , ). 1.2.5. Ví dụ Giả sử M= 3 Ă , 2 2 ( , )M Ă , ta xét ( , )xdy xydz = . Khi đó ( , )d dx dy ydx dz xdy dz = + 1.2.6. Mệnh đề. Giả sử 2 ( , ) k M Ă , 2 ( , ) l M à Ă . Khi đó i) ( ) ( 1) k d d d à à à = + ; ii) 2 0d = . Chứng minh i) Giả sử 2 ( , ) k M Ă , =( 1 , 2 ) và 2 ( , ) l M à Ă , ),( 21 ààà = Ta có: à = ( 1 à 1 , 2 à 2 ) d( à ) = (d( 1 1 à ), d( 2 2 à )) = (d 1 1 à + (-1) k 1 d 1 à , d 2 à 2 +(-1) k 1 d 2 à ) = (d 1 1 à , d 2 2 à ) + ((-1) k 1 d 1 à ,(-1) k 1 d 2 à ) = d à +(-1) k d à . Vậy ( ) ( 1) k d d d à à à = + ii) Giả sử = ( 1 , 2 ) ; 1 , 2 ( , ) k M Ă , ta có: d = (d 1 ,d 2 ) d(d) = d (d 1 ,d 2 ) = (dd 1 ,dd 2 ) = (0,0) = 0 10 . 2. 1. Phân hoạch đơn vị.15 2. 2. Tích phân 2 - dạng vi phân với giá trị trong 2 Ă trên đa tạp Riemann .22 2. 3. Một số ứng dụng của tích phân 2 - dạng vi phân. phân với giá trị trong 2 Ă trên đa tạp Riemann8 1.3. ánh xạ đối tiếp xúc .10 Chơng 2. Tích phân 2- dạng vi phân với giá trị trong 2 Ă trên đa tạp Riemann. 15