K dạng vi phân với giá trị véc tơ

-1- Lời nói đầu K - dạng vi phân với giá trị thực có nhiều ứng dụng lĩnh vực Vật lí ngành khác Toán học nh-: giải tích, hệ động lực, hình học - tôpô K - dạng vi phân công cụ để nghiên cứu toán biến phân thể tích miền compact đa tạp Riemann Vì đ-ợc nhiều nhà Toán học n-ớc quan tâm Các k - dạng vi phân với giá trị thực đ-ợc trình bày nhiều tài liệu chuyên khảo giải tích hình học đại Trong luận văn này, trình bày cách xây dựng khảo sát số tính chất k - dạng vi phân với giá trị véc tơ t-ơng tự nh- việc khảo sát k - dạng vi phân thực Luận văn đ-ợc trình bày ch-ơng: Ch-ơng 1: ánh xạ k - tuyến tính phản xứng Trong ch-ơng này, trình bày khái niệm không gian Rn, tr-ờng véc tơ tiếp xúc Rn, ánh xạ k - tuyến tính, ánh xạ k - tuyến tính phản xứng tính chất ánh xạ k - tuyến tính phản xứng với giá trị véc tơ Ch-ơng gồm kiến thức sở chuẩn bị cho việc trình bày ch-ơng sau Ch-ơng 2: K - dạng vi phân với giá trị véc tơ Ch-ơng nội dung luận văn đây, cách t-ơng tự nh- cách xây dựng k-dạng vi phân thực, trình bày k - dạng vi phân với giá trị véc tơ, tích k-dạng vi phân với giá trị véc tơ theo dạng song tuyến tính xác định, vi phân k - dạng vi phân Ngoài ra, trình bày ph-ơng pháp tìm nguyên hàm dạng đóng tập Rn, mối quan hệ độ cong, độ xoắn với kdạng vi phân -2- Luận văn đ-ợc hoàn thành vào Khoa sau Đại học tr-ờng Đại học Vinh, với h-ớng dẫn PGS.TS Nguyễn Hữu Quang Tác giả xin đ-ợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc với h-ớng dẫn tận tình Thầy Nhân dịp hoàn thành luận văn, tác giả xin chân thành cảm ơn thầy, cô giáo tổ môn Hình học-Tôpô, thầy cô giáo khoa Toán, khoa đào tạo Sau đại học, tr-ờng Đại học Vinh, nhiệt tình giảng dạy, tạo điều kiện cho tác giả trình học tập hoàn thành luận văn Cũng này, tác giả xin chân thành cảm ơn BGH tr-ờng THCS Đông Vĩnh, phòng GD Thành phố Vinh, bạn bè, đồng nghiệp gia đình động viên, giúp đỡ tác giả suốt trình học tập hoàn thành luận văn Vinh, tháng 12 năm 2007 Tác giả -3- Ch-ơng ánh xạ k - tuyến tính phản xứng Trong ch-ơng này, trình bày không gian Rn, tr-ờng véc tơ tiếp xúc Rn, ánh xạ k- tuyến tính, ánh xạ k - tuyến tính phản xứng tính chất chúng I Không gian R n: Nh- ta biết (Xem [4]) : Rn = { x = (x 1,x 2, ,xn) | xi R, i =1, ,n } Và với hai phép toán Rn: Phép cộng: x+y = ( x1 +y1, x2+y2 , , xn+yn ) Phép nhân vô h-ớng : .x = ( x1 , x 2, , x n), ( x = (x1,x 2, ,x n) , y = (y1 ,y2 , ,yn) Rn với R) Khi đó: Rn không gian véc tơ n-chiều với sở tự nhiên là: e 1(1, 0, , 0) e (0,1, , 0) e (0, 0, ,1) n Rn không gian véc tơ ơcơlít với tích vô h-ớng tự nhiên: xy = n xi yi ; n x = (xi ) , y = (yi ) R i Đôi khi,trong luận văn Rn đ-ợc xem nh- không gian ơcơlit với không gian 1.1 Mệnh đề Mọi không gian ơclít n- chiều đẳng cấu trực giao với R n Chứng minh: Ta chọn mục tiêu trực chuẩn En gồm gốc mục tiêu I véc tơ uur : i uur En : = { I ; } (1) R n: = { ; uur i e i } (2) -4- Khi có phép Afin f f : En Rn I a uur : Và ánh xạ Nếu điểm X(x i) n (1) E uur a i e f(X) - (xi) i n (2) R Đặt f(X) = X : uuuur OX ' uur IX (xi) uur e i a uur (xi) i Dễ thấy: ánh xạ tuyến tính bảo tồn tích vô h-ớng đẳng cấu trực giao.Suy f đẳng cấu trực giao Vậy En đẳng cấu trực giao với Rn Bây ta kí hiệu : Tập B(x,r) ={ y R n | d(x,y) 0} lập thành sở tôpô Rn Chứng minh: Ta có Rn = B(x,r) x n R r0 Giả sử : B(x,r1), B(x,r2 ) B B(x,r1) B(y,r 2) Khi đó: z B(x,r 1) B(y,r2 ), ta có :d(x,z) < r1,d(y,z) < r2 Đặt: r = Min{r1 - d(x,z), r2 - d(y,z)} > Thì với u B(z,r), ta có : d(z,u) < r r1 - d(x,z) Nên: d(x,u) d(x,z) +d(z,u) < r1 Nghĩa u B(x,r 1) T-ơng tự ta chứng minh đ-ợc u B(y,r 2) Do : B(x,z) B(x,r1) B(y,r 2) -5- Vậy B sở Tôpô Rn 1.3 Định nghĩa Tôpô T Rn nhận B làm sở đ-ợc gọi tôpô tự nhiên T = { U= ,U = Ui ; Ui B , iI } iI i, Nếu U T U đ-ợc gọi tập mở Rn ii, Nếu R n\U T U đ-ợc gọi tập đóng R n Rn với tôpô tự nhiên không gian chuẩn tắc 1.4 Mệnh đề.(Xem [4]): Chứng minh: Giả sử: A B hai tập đóng Rn A B= .Ta đặt : U = { x R n: d(x,A) d(x,B) < } V = { x R n: d(x,A) d(x,B) > } Khi đó, rõ ràng U V= hàm x a d(x,A) d(x,B) liên tục tập ( - ,0) , (0, + ) mở R, nên U V mở Rn Mặt khác, với x A ta có d(x,A) =0 d(x,B) > Do d(x,A) - d(x,B) < 0, hay x U Tức A U T-ơng tự: B V Vậy Rn không gian chuẩn tắc II.Tr-ờng véc tơ tiếp xúc Rn: 1.5 Định nghĩa i, Giả sử Tp Rn không gian vectơ tiếp xúc với Rn p.Khi ánh xạ X: Rn U TpR n pRn p a uuuur X p uuuur ; X p TpR n đ-ợc gọi tr-ờng véc tơ tiếp xúc với Rn ii, Nếu X : p a uur ứng với vectơ a uur n a , p R ,thì X đ-ợc gọi tr-ờng véc tơ song song -6- Ta ý với i= 1,2, ,n, ta đặt Ei : p a uur e i , với p R n, { E1 ,E2, ,En} tr-ờng mục tiêu tự nhiên R n Với X tr-ờng véc tơ tiếp xúc, ta có biểu diễn: X = X 1E1 + X2E 2+ .+ XnE n , Xj : Rn R hàm số (X1 , ,Xn) đ-ợc gọi toạ độ X hệ sở {E1 ,E2, ,En} Ta nói: X khả vi Xj khả vi, với j = 1,2, ,n Từ trở sau ta nghiên cứu tr-ờng véc tơ khả vi Rn Kí hiệu: B(Rn) ={X | X khả vi R n} Ta đ-a vào B(Rn) phép toán sau: Phép cộng tr-ờng véc tơ: Với X: p a n p R X+Y : p a uuuur uuuur X , Y: p p uuur n Xp + Y p , p R Nhân tr-ờng véc tơ với hàm số khả vi Rn: n X , : R R khả vi, : uuuur Với X: p a p X : p a r n (p) uuuu X , với p R p Nếu hàm : p , với p R n ,thì : X : p uuuur a X , với p Rn p Ta có X+Y B(Rn) , X B(Rn) Với X = ( X1 ,X2, , Xn), Y= ( Y1 ,Y2 , , Yn) XY = a n Xi Yi i 1.6 Nhận xét (Xem [4]) i, B(R n) modun vành F(Rn) ( F(R n)={ | : Rn R hàm khả vi) ii, B(Rn) không gian véc tơ thực uuur Y , p -7- 1.7 Định nghĩa Giả sử hàm khả vi : Rn R uuur Đạo hàm theo p số thực đ-ợc xác định : uuur [] = p d uuur (p + t ) dt uuur t=0 p p n T pR Đạo hàm hàm theo tr-ờng vectơ X hàm số: X[] : Rn R p a X p [ ] 1.8 Ví dụ Trong R2 cho X(x,xy) : R2 R p a x2y Khi : X[ ](x,y) = uuuur X (x,y)[ ] = d ((x,y) + t(x,y)) dt = d (x+tx,y+txy) dt = d (x+tx)2(y+txy) dt t=0 t=0 t=0 = 2x2y +x 3y 1.9 Định lí (Xem [4]) Giả sử X( X1,X 2, , Xn) Khi đó: x i n X[] = x i i Chứng minh: Với p R n , ta có : X[ ](p) = X p [ ] = d (p +t X dt = d ((p1,p2 , ,pn)+ t (X1 (p), X2(p), , X n(p)) dt p ) t=0 t=0 -8- d ( p1+ t X1 (p),p2 + t X2(p), ,p n+ t Xn(p)) dt = d x i i dt n x = i n x = i t=0 i x i n x Vậy : X[ ] = i i t= p x i 1.10 Mệnh đề.(Xem [4] )Với tr-ờng véc tơ X,Y; hàm , ta có: X[ ] = X[] + X[ ] Chứng minh: Theo định lí 1.9 ta có : x i n Xi X[ ] = i = n Xi ( i = n Xi i = + ) x i x i + x i n Xi x i i n Xi x i n + Xi i i x i = X[ ] + X[ ] 1.11 Định nghĩa Giả sử Y B(Rn) Khi đạo hàm tr-ờng véc tơ Y theo tr-ờng véc tơ X tr-ờng véc tơ xác định : DXY : n r D uuuu X Y , với p R p a p 1.12 Định lí (Xem [4] ) Giả sử : X,Y B (Rn); Y(Y1,Y2 , , Yn) Khi : n DXY =( Xi i n Y n Y1 , , Xi ) i Xi Xi -9- Chứng minh: Giả sử : X,Y B (Rn) X( X 1,X2 , ,Xn), Y(Y1 ,Y2 , ,Yn), với p R n, Ta có : DXY p r = D uuuu Y X p n = ( Xpi i n Y1 X i = ( (Xi)p i DXY n = ( Xi i n p , , Xpi i Y1 X i Y n X i p Y n X i n p , , (Xi)p i ) p) n Y1 Y , , Xi n ) X i X i i 1.13.Mệnhđề (Xem [4] ) Giả sử X,Y,Z B(Rn) Khiđó: Z[XY] = XDZY + YDZX Chứng minh: Ta có : Z[XY] = XY n Zi x i = i = n ZiX i = n X Zi i = Y x i Y x i X DZY Y n Zi(X x i + +Y i X ) xi X n ZiY x i i n + Y Zi i X xi + YDZX 1.14 Định nghĩa Giả sử X,Y B(Rn) Khi tích Lie X,Y tr-ờng véc tơ đ-ợc xác định bởi: [X,Y] = DXY - DYX Chú ý:(Xem [4]) i, [X,Y] song tuyến tính phản xứng ii, [[X,Y],Z] + [[Y,Z],X] +[[Z,X],Y] = 1.15 Ví dụ Giả sử E3 = 0xyz ; với X(x,xy,yz), Y(1,z,x), Z(x,z,y) Bây ta tính : DZ X; Giải: Z[XY] ; [X,Y] - 10 - Ta có : DZX = (x x y x x x xy x y +z +y ;x +z +y ; x y z x y z x yz y z y z +z +y ) x y z = (x ; xy+zx; z2+y2 ) Vậy DZX = (x ; xy+zx; z2+y2 ) Tính Z[XY]: X.Y = x + xyz + xyz = x + 2xyz Z[XY] = x ( 1+2yz) + z( 2xz ) + y.2xy = x + 2xyz + 2xz2 + 2xy Tính [X,Y]: DXY = (0 ; yz ; x ) DYX = ( 1; y+xz ; z2 +xy ) [X,Y] = D XY - DYX = (0 ; yz ; x ) - ( 1; y+xz ; z +xy ) = ( -1 ; yz - xz ; x-xy-z2 ) III.ánh xạ k- tuyến tính: ta xét R n, R m không gian véc tơ ơclit t-ơng ứng có sở tự nhiên {e1 , , en } { 1, m} 1.16 Định nghĩa.(Xem [5]) ánh xạ: f : R44 4R 43 n n R a f (x) m k x đ-ợc gọi ánh xạ k-tuyến tính f tuyến tính biến (Nghĩa là: xi a f (a1 , ,ai-1 , xi, ai+1, , ak ) ánh xạ tuyến tính; với aiR n) 1.17 Ví dụ Giả sử f1 , ,fk : Rn R dạng tuyến tính.Khi đó: f : R 44 R 43 n n R m k f(x1, ,xk ) =( f1 (x1), ,fk(xk)) ánh xạ k tuyến tính Rn Ta kí hiệu: - 26 - Chứng minh: Giả sử k (U,Rm) , đóng, ta có d= I(d) +d(I) = Theo định lí 2.13 : I(0) +d(I) = d(I) = Ta đặt = Ithì d= .Vậy dạng khớp 2.15.Nhận xét i, ánh xạ I : (U,R k ) m k (U,Rm) ánh xạ tuyến tính thực %) I () I ( %) ; Nghĩa : I ( , R , , % (U,Rm) k ii, Giả sử U tập R n ; ta xét dạng ánh xạ : d (U,Rm) k k1 d (U,Rm) k2 (U,Rm) Khi : thứ nguyên k, ta có : Hk(U,Rm) = Kerd = ; k = 1, ,n Im d 2.16 Các ví dụ: VD1: Giả sử : (R3 ,R) ; = ydy Ta tìm I? ,Ta thấy: đóng ; d= dy dy = y(tx)dt.y , I(x) = = 0 Thử: d(I) = 2.VD2: tydt.y I = = t2 y 2 1 y 2ydy = ydy Giả sử : (R3,R) ; = xdx +ydy +zdz = y - 27 - Ta tính I? Ta thấy đóng ; d= dx dx + dy dy + dz dz = I(x) = x(tx)dt.x y(tx)dt.y + Ta có: + z(tx)dt.z x(tx) = tx ; y(tx) = ty ; z(tx) = tz ; x(x,y,z) R3 Từ đó: x tdt I(x) = + Thử lại: d(I) = df = + z2 tdt 1 2 2 + y t + z t 2 ( x + y2 + z2) = I= f(x,y,z) = y tdt 2 = x t Vậy 1 ( x + y + z 2) ; x R (2xdx +2ydy +2zdz ) = xdx + ydy + zdz = VD3: Giả sử: (R 3,R2) ; =( x 2ydx dy , y2zdy dz ) Tính: I? Ta thấy: đóng ; d= (2xydx dx dy + x2 dy dx dy, 2yzdy dy dz + y 2dz dy dz) = Ta có: =(1 , ) với = x2ydx dy; = y 2zdy dz Tr-ớc hết ta tính I1 : I1(x) = t.x y(tx)dt.xdy t.x 2y(tx)dt.ydx - 0 = t.t x tydt.xdy 2 = x ydy ( t dt ) - t.t2 x2 tydt.ydx - x y dx ( t4dt ) 2 - 28 - x3y x2 y2 dy dx 5 = ( x ydy - x2 y2dx ) I1 = Tiếp theo ta tính I2 : I2(x) = t.y z(tx)dt y.dz - 0 t.t y 2 = tzdt.y.dz - t.t2y2 tzdt z.dy = t.y2 z(tx)dt.z.dy y zdz t dt - y z dy t4dt 2 = I2 = Vậy I = ( (y3zdz - y2z2dy ) ( y zdz - y2z2 dy ) ( x ydy-x2 y2dx ) , (y3zdz-y2z2 dy) ) 5 Thử lại: d(I1) = = (3x2ydx dy + x3dy dy - 2xy2dx dx - x2 ydy dx ) = ( 5x2ydx dy ) = x2 ydx dy d(I2 ) = ( 3y2zdy dz - 2y2zdz dy) = ( 5y2 zdy dz) = y2 zdy dz Vậy d(I) = III ánh xạ đối tiếp xúc: Nh- ta biết(xem [5]): Giả sử f : U R m - 29 - x(x1, ,xn) a f(x) =(f1(x), , fm(x)) đ-ợc gọi khả vi a U hàm toạ độ: fi : U R x a fi (x) ; i = 1, ,m có đạo hàm riêng liên tục a ( U tập mở Rn) Hàm F đ-ợc gọi khả vi U khả vi aU Nếu f khả vi a = (a1 , ,an ) U f có ma trận: f1 f1 (x ) x (x ) x2 f f2 (x ) x (x ) x Jf(a) = fm fm (x ) (x ) x x f1 ( x ) xn f2 ( x ) xn fm ( x ) xn Và Jf(a) đ-ợc gọi ma trận Jacobien hàm f a Giả sử f : R n Rm khả vi a = (a1 , ,an) R n g : Rm R p khả vi b= f(a) =(f1(a), , fm(a)) Rm Khi hàm hợp gof : Rn R p khả vi a Jg.f(a) = Jg(b) J f(a) 2.17 Định nghĩa ánh xạ tiếp xúc f p : f *| P : Tp Rn TpRn đ-ợc xác định: Nếu v TpR n tiếp xúc với đ-ờng cong (t ) p f*|P(v) = v tiếp xúc với đ-ờng cong fo (t ) p (Trong :TpR n không gian véc tơ tiếp xúc với Rn p U, p= f(p)) 2.18.Ví dụ Giả sử f : R2 R3 (u,v) a ( u+v,uv, u) Cho p(1,2) ; v(3,4) Tìm f *|P(v) ? - 30 - Giải: f ánh xạ khả vi Vec tơ v tiếp xúc với đừơng cong (t ) : : R t R2 a (1+3t , 2+4t) Ta có: (0)= p , (0) = v (t) qua ánh xạ f là: ảnh đ-ờng cong x t f o (t ) : y 10 t 12 t z t (t) nên : Khi đó: v = f*|P(v) tiếp xúc với f o f*|P(v) = (7,10,3 ) 2.19.Mệnh đề Giả sử v TpR n f *| P(v) = v Khi : [v] = Jf|p[v] (*) Chẳng hạn, ta trở lại với ví dụ 2.18 Khi Jf|p = 1 , v1, = v Do : = Vậy f* |P(v) = v = (7,10,3) f*|P ánh xạ tuyến tính 2.20.Hệ quả.(Xem [4]): 2.21.Định nghĩa Giả sử f : Rn Rl ánh xạ khả vi p a f(p) Ta xét ánh xạ f* : ( R ,R l ) m k a n ( R ,R k m ) f* đ-ợc xác định : (f*)P (X1 (p), , Xk(p)) =f(p) (f*|P(X1(p)), , f*|P(Xk(p))) ; với p Rn , X1, , Xk B(Rn) 10 - 31 - ánh xạ f* đ-ợc gọi ánh xạ đối tiếp xúc f 2.22 Bổ đề Giả sử = (1, ,m) k ( Rl,R m) Thì : f *=( f*1, , f*m) Chứng minh: Theo định nghĩa ta có : (f *)(X 1, ,Xk)= (f*(X1 ), , f *(Xk)) ; X1, , Xk B(Rn) = (1(f*(X1), , f*(Xk )) , ,m(f*(X1), , f*(Xk)) ) =((1 f *(X1), ,1 f*(Xk )), ,(m f*(X1 ), , m f*(Xk))) = (1 f*( X1 , ,Xk ), ,m f*( X1, ,X k)) = (f*1( X1 , ,Xk), , f*m( X1, ,Xk )) = (f*1, , f*m)( X1, ,Xk ); ( X1, ,Xk )B(Rn) Vậy: f* = ( f*1, , f*m) df* =f *d 2.23.Định lí Chứng minh : Giả sử f * : k ( Rl,Rm) n ( R ,R k m ) = j k ( Rl,Rm) Ta có: d.f*() = d(f *) = d(f*1, , f*m) = (d(f*1), , d( f*m)) = ( f*(d1), , f *(dm)) = f*(d1, , dm) = f*d(1 , , m) = f*d() Vậy ; với k ( Rl,R m) df* = f*d 2.24.Mệnh đề i, f* tuyến tính ii, Giả sử : g: Rl R h ánh xạ khả vi Khi đó: (gf)* =f *o g* - 32 - Chứng minh: i, Giả sử f* : k ( Rl,Rm) k ( Rn ,Rm) 1,2 k ( Rl,R m) Tacó:f *(1 +2 )(X1, ,X k)=(1 +2) (f*(X1 ), , f*(Xk)); ( X1, ,X k)B(R n) = (f *( X1), , f*(Xk))+ (f *( X1), , f*(Xk )) = (1f *( X1), , 1f *(Xk))+ (2 f*(X1), , f*(Xk )) = 1(f*(X1, , Xk))+ (f *( X1, , Xk )) = f*1(X1, ,X k)+f *2(X1, ,Xk ) =(f*1+f*2)(X 1, ,Xk ) f *(1 +2 ) = f*1+f*2 Mặt khác: f* (X1, ,X k) = (f*(X1 ), , f*(Xk)) = (f*(X1), , f*(Xk)) = (f*(X1, ,Xk )) = f *(X1, ,X k) Vậy: f* tuyến tính. ii, Ta có: f * : ( R ,R l m k ) ( R ,R n m k ) g* : ( R ,R ) ( R ,R ) (gof)* : ( R ,R ) ( R ,R ) l m k l k m h m k h m k Giả sử k ( Rl,Rm) ; ( X1, ,Xk )B(R n) (gof) *( X1, ,Xk ) = ( (gof)* X1 , , (gof)* Xk ) = (g* (f* X1), ., (g*( f* Xk )) = g*( (f* X1), .,(f* Xk) ) = f*g*( X 1, ,Xk) ; B n ( X1 , ,Xk) (R ); k ( R ,R ) Vậy (gf)* =f *o g*. l m - 33 - 2.25 Ví dụ Cho f : R2 R3 (u,v) a ( u, u2 , uv2 ) = xdx dz + ydy dz Tính f*() ? Giải: Giả sử X,Y B(R2 ); X(X1 , X2) , Y(Y1,Y2) Ta có: f khả vi J f = v2 2uv f *X = v2 X1 X 2uv = ( X1 , X1 , v 2X1 + 2uvX2 ) f*Y = ( Y1 , Y1 , v 2Y1 + 2uvY2 ) T-ơng tự: Mặt khác: f*(X,Y) = ( f*X, f*Y ) = (xdx dz + ydy dz) ( f*X, f *Y ) = (xdx dz) ( f*X, f *Y ) +( ydy dz) ( f*X, f *Y ) = x(dx f*X.dz f*Y - dx f *Y.dz f*X) + y(dy f*X.dz f*Y dy f *Y.dz f*X) = x[X1(v2 Y1 + 2uvY 2) - Y1 (v2X1 + 2uvX2 )] + y[X1 (v 2Y1 + 2uvY2)- Y1 (v2 X1 + 2uvX2 )] = xv2X1 Y1 + 2uvx X1 Y2 - xv2X1Y1 - 2uvx X2 Y1 + yv2 X1Y1 +2uvy X1Y2 -yv2 X1 Y1- 2uvy X2 Y1 = 2uvx(X1Y2 - X2Y1 ) + 2uvy(X1Y2- X2 Y1) = (2uvx + 2uvy)(X1Y2 - X2Y1 ) = (2u2 v + 2u3 v)[ du(X)dv(Y) - dv(X)du(Y) ] = (2u2 v + 2u3 v)(du dv)( X,Y ) ; X,Y B(R2) - 34 - Vậy f*() = (2u2 v+2u3 v)du dv IV.Đạo hàm k-dạng vi phân: Trong mục này, ta xét k-dạng vi phân Rn với giá trị TR n (ở TRn = U p n TpR n ), ánh xạ R : Rn U Ak (TuRn) p R u a u n Ak (TuRn) Mỗi k-dạng vi phân Rn với giá trị TRn th-ờng đ-ợc xét nh- ánh xạ : B(Rn) B(Rn) ( X1, ,X k) B(R n) a ( X1, ,X k) 2.26.Định nghĩa Đạo hàm theo tr-ờng véc tơ X ,đ-ợc kí hiệu đ-ợc xác định là: X n ( X1, ,X k) = (( X1 , ,Xk)) - ( X1, , Xi, ,Xk ) X X X i Trong liên thông tuyến tính cho R n 2.27 Nhận xét Với =D dạng vi phân Rn với giá trị TRn thì: DX(Y) = DX ((Y) ) - (DXY) ; Y B(R n) Và =I (nghĩa (X) =X ; X B(Rn)).Khi DX= 2.28.Định nghĩa Giả sử liên thông tuyến tính Rn Vi phân đ-ợc kí hiệu d,đó k+1 dạng đ-ợc xác định : d(X0 , ,Xk)= = i+j ([ X , X (-1)i Xi( X0, , X i , , Xk )+ (-1) ij n i i j ], X0 , , X ) i , , X j , , X k - 35 - 2.29 Nhận xét Giả sử =I , ta có: dI(X,Y) = X(I(Y)) - Y(I(X)) - I[X,Y] = XY - YX - [X,Y] = T(X,Y) Và =D dI = Nh- ta biết, độ cong R độ xoắn T t-ơng ứng - dạng vi phân - dạng vi phân ứng với liên thông tuyến tính R n B(M) B(M) T : B(M) (X,Y) a R : B(M) B(M) B(M) T(X,Y) = X Y - YX [X,Y] B(M) ( X, Y, Z ) a R(X,Y,Z) = X YZ - Y XZ- [X,Y]Z Ta có mệnh đề sau : 2.30.Mệnh đề Giả sử d vi phân liên kết với liên thông tuyến tính Khi đó: i, dR = ii, dT = R I ( Với (R I)(X,Y,Z) = R(X,Y)I(Z) R(X,Z)I(Y) +R(Y,Z)I(X) ) iii, XT(Y,Z) - R(X,Y,Z)+T(T(X,Y),Z) = cicl Chứng minh: i, dR(X,Y,Z,U) = = { XR(Y,Z,U) - R([X,Y],Z,U)} cicl {( XR(Y,Z,U) - R(Y,Z, XU) - R([X,Y],Z,U)} cicl = { X ( Y ZU - Z YU- [Y,Z]U) cicl - ( Y Z - Z Y - [Y,Z]U)( XU ) - [X,Y] ZU + Z [X,Y] U + [[X,Y],Z] U } - 36 - = { X Y Z U - X Z YU - X [Y,Z]U cicl - Y Z XU+ Z Y XU+ [Y,Z] XU - [X,Y] ZU+ Z [X,Y]U+ [[X,Y],Z]U} Chúng ta để ý rằng: X Y Z = Y Z X ; X Z Y = Z Y X cicl cicl cicl cicl X [Y,Z]U = Z [X,Y]U ; [Y,Z] XU = [X,Y] ZU cicl Và cicl cicl cicl [[X,Y],Z] = cicl Từ ta suy dR(X,Y,Z,U) = ii, Ta có: dT(X,Y,Z) = d(dI)(X,Y,Z) (Theo nhận xét 2) X,Y,Z = = B(M) { X((dI)(Y,Z)) - dI([X,Y],Z)} cicl { X (T(Y,Z)) - [X,Y] (I(Z)) + Z(I[X,Y])+I[[X,Y],Z]} cicl = { X( YZ- Z Y -[Y,Z])- [X,Y] Z+ Z [X,Y]+[[X,Y],Z]} cicl = { X YZ- X ZY - [X,Y]Z} cicl (1) Mặt khác ta có: (R I)(X,Y,Z) = R(X,Y)I(Z) R(X,Z)I(Y) +R(Y,Z)I(X) = R(X,Y)Z R(X,Z)Y +R(Y,Z)X = ( X Y- Y X- [X,Y] )X - ( X Z- Z X- [X,Z] )Y + Y Z- Z Y+ [Y,Z])X = { X YZ- X ZY - [X,Y]Z} cicl Từ (1) (2) ta suy ra: dT = R I (2) - 37 - iii, Ta có: dT(X,Y,Z) = (R I)(X,Y,Z) = R(X,Y)Z - R(X,Z)Y + T(Y,Z)X = R(X,Y)Z Mặt khác: dT(X,Y,Z) = = = = (1) cicl { X(T(Y,Z)) - T([X,Y],Z)} cicl {( XT)(Y,Z)+T( XY,Z) -T(Y, XZ ) - T([X,Y],Z ) } cicl {( XT)(Y,Z)+ T( XY,Z) - T( YX,Z ) - T([X,Y],Z ) } cicl { XT(Y,Z)+ T(T(X,Y),Z ) } cicl Từ (1) (2) suy ra: { XT(Y,Z)+ T(T(X,Y),Z ) } cicl R(X,Y)Z cicl { XT(Y,Z)+ T(T(X,Y),Z ) } - R(X,Y)Z = cicl = { XT(Y,Z) cicl cicl + T(T(X,Y),Z ) - R(X,Y)Z } = 2.31.Hệ Đối với liên thông tuyến tính mà T = : R(X,Y,Z) + R(Y,Z,X) + R(Z,X,Y) = (2) - 38 - Kết luận Trong luận văn này, thực đ-ợc việc sau đây: Trình bày hệ thống khái niệm, chứng minh chi tiết tính chất ánh xạ k - tuyến tính phản xứng Trình bày cách xây dựng k - dạng vi phân với giá trị véc tơ, xây dựng tích k - dạng vi phân với giá trị véc tơ theo dạng song tuyến tính xác định Phát biểu chứng minh mệnh đề 2.5 cách tính tích dạng vi phân; mệnh đề 2.10 cách xác định vi phân k dạng vi phân với giá trị véc tơ Chứng minh mệnh đề 2.13; trình bày ph-ơng pháp tìm nguyên hàm dạng đóng tập Rn ví dụ 2.16 Trình bày mối quan hệ giữu độ cong, độ xoắn , với k dạng vi phân Trong thời gian tới, tiếp tục nghiên cứu k dạng vi phân với giá trị véc tơ tr-ờng số phức - 39 - tài liệu tham khảo [1].Khu Quốc Anh - Nguyễn Doãn Tuấn (2004): Lí thuyết liên thông Hình học Riemann - NXB Đại học S- phạm Hà nội [2] H.Cartan (1980) - Phép tính vi phân dạng vi phân -NXB Đại học THCN (Bản dịch tiếng Việt Hoàng Hữu Nh- - Phan Văn Hạp dịch từ tiếng Nga) [3].Nguyễn Văn Khuê - Lê Mậu Hải (2004) - Phép tính vi phân - dạng vi phân không gian Banach - NXB Đại học S- phạm Hà nội [4].Nguyễn Hữu Quang (2005) - Đa tạp khả vi - Đại học Vinh [5].Nguyễn Hữu Quang (2005) - Mở đầu Hình học Riemann - Đại học Vinh [6].Đoàn Quỳnh (2003) - Hình học vi phân - NXB Đại học S- phạm Hà nội [7].Đoàn Quỳnh - Trần Đình Viện - Tr-ơng Đức Hinh - Nguyễn Hữu Quang (1993) - Bài tập Hình học vi phân - NXB Giáo dục [8].M.Xpivak (1985) - Giải tích toán học đa tạp - NXB Đại học trung học chuyên nghiệp (Bản dịch tiếng Việt Hoàng Hữu Đ-ờng dịch từ tiếng Anh) - 40 - [...]... gian Ak(R n,R) 1.27 Hệ quả i, Nếu k >n thì Ak(Rn,R m) = 0 ii, Nếu k = n thì f = c x 1 xn; Trong đó : c Rm thì các thành - 19 - Ch-ơng 2 k - dạng vi phân với giá trị véc tơ Trong ch-ơng này chúng tôi trình bày về: k - dạng vi phân với giá trị véc tơ, vi phân ngoài của k - dạng vi phân, ánh xạ đối tiếp xúc và đạo hàm của kdạng vi phân I k- dạng vi phân: Giả sử U là tập mở trong Rn, với u U, ta k hiệu... u có dạng (1(u), ,m(u) ); trong đó j Ak(TuRn,Rm) Vì vậy , ta có sự biểu diễn: = ( 1 , ,m ); j k ( Rn,R) ; j = 1, ,m ( Các j là các k- dạng vi phân thực xác định trên U) đ-ợc gọi là khả vi nếu và chỉ nếu các j khả vi Từ nay,khi nói k- dạng vi phân với giá trị trong R m , ta hiểu là k dạng vi phân khả vi - 20 - khả vi khi và chỉ khi (X 1, , Xn ) khả vi với Nhận xét.(Xem [5]): (X 1, , Xn ) ;... dv IV.Đạo hàm của k- dạng vi phân: Trong mục này, ta xét các k- dạng vi phân trên Rn với giá trị trong TR n (ở đây TRn = U p n TpR n ), đó là các ánh xạ R : Rn U Ak (TuRn) p R u a u n Ak (TuRn) Mỗi k- dạng vi phân trên Rn với giá trị trong TRn th-ờng đ-ợc xét nh- là một ánh xạ : B(Rn) B(Rn) ( X1, ,X k) B(R n) a ( X1, ,X k) 2.26.Định nghĩa Đạo hàm của theo tr-ờng véc tơ X ,đ-ợc k hiệu và đ-ợc... i i n 1 1 k k 1 1 k k Cộng (1) và (2) ta thu đ-ợc: I(dj ) +d(Ij) = 1 = tk-1i k( i i1 k (tx).dt) ik 1 d x i dx i + 1 k 0 ( ) i1 ik + ( t xh (tx)dt ) d x i dx i x h 1 h 0 i i 1 n k 1 1 1 = i1 ik 1 k t i 1 k i ik 1 ik 1 k 1 (tx) )dt ) d x i dx i 0 ik i1 = ik 1 = d k ( dt (t i k (tx ) 0 d x i dx i 1 k d x i dx i = j. 1 k i i 2.14 Hệ quả (Bổ đề Poincare) Mọi dạng đóng trên... khả vi j khả vi ; j = 1, ,m j (X 1, ,X n) khả vi; ( X1, ,X n) ; Xj B(U) (U,Rm) ={| là k- dạng vi phân lấy giá trị trong R m và Ta k hiệu: k khả vi trên U} (U,Rm) đ-ợc trang bị các phép toán nh- sau : k , Phép cộng: + ' : u a (u) + '(u) , Phép nhân với một hàm khả vi : : Chú ý: i, u a u u ; F(U) (U,Rm) là một Môđun trên tập các hàm khả vi F(U) k ii, Ta qui -ớc: (U,R m 0 ) = { f : U Rm khả... i1, ,i k1 k Từ đó, ta suy ra: fj (a1, , ak) = j ) a 1 a k i1 j ci 1 ik ) ik , , j1 ( ở đây, fj ( ei , , ei ) đ-ợc k hiệu là 1 m ( j ci n 1 , , ci i 1 , ,i k 1 j a i a i 1 1 , , ik 1 k k ik - 18 - = j ci fj = 1 n 1 ik , , xi1 xik (a1, ,ak) ; (a1, ,a k) ; a j Rn i1 i k Vậy: 1 n i1 i k j ci 1 ik , , xi1 xik Theo mệnh đề trên, ta suy ra rằng: Với mỗi f Ak(Rn,Rm) phần fj của f thuộc không... ,x (k- 1)) fk (x (k) ) f1 x(1) = ( k) f k 1 x( k 1) f1 ( x1 ) = f k ( x1 ) f1 ( xk ) . f k (x k ) f1 x( k 1) f k x (k) f k 1 x( k 1) - 16 - 1.25 Mệnh đề Điều kiện cần và đủ để hệ { f1, ,fk } trong A (Rn,R) độc lập 0 tuyến tính là f1 fk Chứng minh: i, Điều kiện cần: Ta giả thiết rằng hệ { f1, ,fk } độc lập tuyến tính và giả sử f1 fk = 0 Khi đó ta có : f1 (x1 ) f k (x1 )... k , Với k = 1 : Hiển nhiên , Với k = 2 Ta có : (f 1 f2)( x1, x2) = f1 (x1) f2 (x2) - f 1 (x2) f2 (x1) = f 1( x1 ) f ( x ) 2 1 f1 ( x 2 ) f 2 ( x 2 ) , Giả thiết định lí đúng đến k - 1, nghĩa là: f1 ( x1 ) (f1 f2 fk-1)( x1, ,xk-1) = f k 1 ( x1 ) f1 ( xk 1 ) f k 1 ( xk 1 ) Ta có: f k 1 (f 1 fk)( x1, xk-1,xk ) = 1f 1 44 2 4 43 x ,x ) 1f k (4x14, , 2 4k 41 3k g = x () g(x(1), ,x (k- 1))... x1, ,x k) f1 fk = 0 Điêù này mâu thuẫn với giả thiết Vậy { f1 , .,fk} độc lập tuyến tính. Bây giờ, ta chú ý tới các hàm toạ độ thứ i: - 17 - xi : Rm R ai ; i= 1, ,m a(a1 , ,am) a Khi đó: x i A1 (Rn,R) và với mỗi bộ (i 1, ,i k) ; ip {1, , m} xi1 (a1 ) x ik (a k ) Ta có: xi1 xi k ( a1 , , ak) = x ik ( a1 ) x ik (a k ) = ( ở đây, a i a1i1 a ki1 a kik a1i k là toạ độ thứ ip của véc tơ aj... *( X1, , Xk )) = f*1(X1, ,X k) +f *2(X1, ,Xk ) =(f*1+f*2)(X 1, ,Xk ) f *(1 +2 ) = f*1+f*2 Mặt khác: f* (X1, ,X k) = (f*(X1 ), , f*(Xk)) = (f*(X1), , f*(Xk)) = (f*(X1, ,Xk )) = f *(X1, ,X k) Vậy: f* tuyến tính. ii, Ta có: f * : ( R ,R l m k ) ( R ,R n m k ) g* : ( R ,R ) ( R ,R ) (gof)* : ( R ,R ) ( R ,R ) l m k l k m h m k h m k Giả sử k ( Rl,Rm) ; ( X1, ,Xk )B(R n) (gof) *( X1, ,Xk ) = ( (gof)* ... Nếu k >n Ak(Rn,R m) = ii, Nếu k = n f = c x xn; Trong : c Rm thành - 19 - Ch-ơng k - dạng vi phân với giá trị véc tơ Trong ch-ơng trình bày về: k - dạng vi phân với giá trị véc tơ, vi phân k - dạng. .. IV.Đạo hàm k- dạng vi phân: Trong mục này, ta xét k- dạng vi phân Rn với giá trị TR n (ở TRn = U p n TpR n ), ánh xạ R : Rn U Ak (TuRn) p R u a u n Ak (TuRn) Mỗi k- dạng vi phân Rn với giá trị TRn... chi tiết tính chất ánh xạ k - tuyến tính phản xứng Trình bày cách xây dựng k - dạng vi phân với giá trị véc tơ, xây dựng tích k - dạng vi phân với giá trị véc tơ theo dạng song tuyến tính xác