Dạng vi phân trong e

mục lục Đạo hàm trờng vectơ E 1.Vectơ tiếp xúc 2.Trờng vectơ tiếp xúc4 3.Trờng vectơ khả vi. 4.Đạo hàm trờng vectơ theo vectơ tiếp xúc .6 5.Đạo hàm trờng vectơ theo trờng vectơ.9 n 2.Các dạng vi phân En 1.Dạng vi phân bậc En 11 2.Vi phân hàm số 15 3.Dạng vi phân bậc hai En16 4.Tích dạng vi phân 19 5.Vi phân cuả dạng vi phân.21 Dạng liên thông En 1.ánh xạ tiếp xúc 25 2.ánh xạ đối tiếp xúc27 3.ánh xạ đẳng cự,vi phôi đẳng cự.31 4.Dạng liên thông En32 Trang 11 29 lời nói đầu Lí thuyết dạng vi phân E n nội dung hình học vi phân mà từ đầu kỉ 20 đợc nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu ,chẳng hạn Riman ,Gauss,Levi-Civita,Cartanvà đợc trình bày nhiều giáo trình hình học vi phân.Các tính chất chúng đợc trình bày tài liệu [2],[3],[4].Các dạng vi phân có nhiều ứng dụng nghành Vật lí ,Toán học giải tích Các khái niệm dạng vi phân đợc trình bày giảng nhà Toán học Pháp Henry Cartan theo giáo trình Toán II trờng đại học tổng hợp Paris vào năm 60 Trong khoá luận ,công việc chủ yếu tập hợp chứng minh chi tiết số mệnh đề dạng vi phân bậc bậc E n.Từ trình bày dạng liên thông En Khoá luận đợc chia thành mục: Đạo hàm trờng vectơ En Trong mục này, nhắc lại số khái niệm hình học vi phân En nh vectơ tiếp xúc ,trờng vectơ tiếp xúc ,trờng mục tiêu ,trờng mục tiêu song song Từ trình bày trờng vectơ khả vi,ví dụ số phép toán trờng vectơ khả vi.Ngoài trình bày định nghĩa đạo hàm trờng vectơ dọc theo vectơ tiếp xúc dọc theo trờng vectơ Sau định nghĩa trình bày tính chất ví dụ minh hoạ cho định nghĩa 2.Các dạng vi phân En Trong mục này,chúng trình bày 1-dạng vi phân E n ,ví dụ ,vi phân hàm số,2-dạng vi phân E n ,tích dạng vi phân,vi phân 1-dạng vi phân,và số ví dụ 2-dạng vi phân Dạng liên thông En Trong mục này,chúng trình bày ánh xạ tiếp xúc ,ánh xạ đối tiếp xúc ,ánh xạ đẳng cự ,dạng liên thông En Khoá luận đợc hoàn thành trờng Đại học Vinh dới hớng dẫn tận tình thầy giáo ,PGS_TS Nguyễn Hữu Quang,sự giúp đỡ nhiệt tình thầy cô giáo khoa Toán gia đình,bạn bè Nhân dịp xin chân thành cảm ơn hớng dẫn tận tình thầy giáo ,PGS_TS Nguyễn Hữu Quang giúp đỡ nhiệt tình thầy cô giáo khoa Toán trờng Đại học Vinh gia đình , bạn bè tạo điều kiện cho suốt trình học tập hoàn thành khoá luận Vinh,ngày tháng năm 2004 Tác giả 1.Đạo hàm trờng vectơ En Trong mục này,ta kí hiệu En không gian Ơclit n chiều với E n {0; e1 , e2 ,, en } mục tiêu trực chuẩn En Nh biết : vectơ tiếp xúc điểm pEn vectơ p E n có điểm gốc p .Không gian vectơ tiếp xúc với En p đợc kí hiệu TpEn .Trờng vectơ tiếp xúc En ánh xạ đặt tơng ứng với điểm pEn vectơ X p Tp E n Trờng mục tiêu song song En trờng vectơ En mà với pEn ,X đợc xác định X: p a a vectơ cố định .Trờng mục tiêu En hệ n vectơ{U1,U2,,Un} En cho với pEn {U1(p),U2(p),,Un(p)}lập thành sở TpEn Nếu trờng vectơ Ui trờng mục tiêu {Ui} En song song ta nói trờng mục tiêu trờng mục tiêu song song Mỗi sở { ei } E n xác định trờng mục tiêu song song {Ei} En , Ei ( p ) =ei với pEn (i=1,n) gọi trờng mục tiêu song song ứng với sở chọn Khi ta có nhận xét sau: Giả sử {E1,E2,,En} trờng mục tiêu X trờng vectơ Khi cho p thay đổi En ta có : X=X1E1+X2E2++XnEn với Xi hàm số :En R Khi ta nói X(X1,X2,,Xn)và X đợc gọi khả vi X i khả vi với i=1,n (tức Xi có đạo hàm riêng đạo hàm riêng liên tục) Ví dụ: Trong E3 0xyz,X=xyE1+y2zE2+z2xE3 Ta chứng minh đợc X khả vi Thật vậy,giả sử X(X1,X2,X3) : X1: E3 R (x,y,z) xy X2: E3 R (x,y,z) y2z X3: E3 R (x,y,z) z2x Ta cần chứng minh (X1,X2,X3) khả vi Chẳng hạn ta chứng minh X1 khả vi: Gọi g1 = X :(x,y,z) y x g2= X :(x,y,z) x y X :(x,y,z) z Nh X1 có đạo hàm riêng (g1,g2,g3) đạo hàm riêng (g1,g2) liên tục hàm sơ cấp,đạo hàm riêng g3 liên tục hàm hằng.Do X1 khả vi Chứng minh tơng tự ta đợc X2,X3 khả vi Vậy X khả vi .Từ trở ta xét trờng vectơ khả vi g3= Ta thờng kí hiệu (En) tập hàm số khả vi En .Tập hợp trờng vectơ khả vi En đợc kí hiệu B(En) Trên B(En) đợc trang bị phép toán nh sau : X+Y: p Xp+Yp,pEn (1) X: p (p).Xp,pEn ,(En) (2) Trong trờng hợp riêng = const, (p)=a ,pEn,ta có aX:p aXp (3) 1.1 Mệnh đề: B(En) với hai phép toán (1) (3) lập thành không gian vectơ thực Thật vậy,dễ thấy hai phép toán (1) (3) thoả mãn tiên đề không gian vectơ.Do ta thử tiên đề ,đó là: *Giả sử X(X1,X2,,Xn) B(En), 0(0,0) Ta suy X+0=(X1+0,X2+0,,Xn+0)=(X1,X2,,Xn) =X *Giả sử X(X1,X2,,Xn) B(En), -X(-X1,-X2,,-Xn) B(En) cho: -X:p -Xp;pEn Ta có :X+(-X)=[X1+(-X1),X2+(-X2),,Xn+(-Xn)] =(X1-X1,X2-X2,,Xn-Xn) =(0,0,0) *Với R,X(X1,X2,,Xn) B(En),Y(Y1,Y2,,Yn) B(En) X+Y=(X1+Y1,X2+Y2,,Xn+Yn) B(En) Khi đó: (X+Y)=(X1+Y1,X2+Y2,,Xn+Yn) =(X1+Y1,X2+Y2,,Xn+Yn) =(X1,X2,,Xn)+(Y1,Y2,,Yn) =X+Y Thử tiên đề lại thấy thoả mãn VậyB(En) không gian vectơ thực 1.2 Mệnh đề: B(En) với hai phép toán (1) (2) lập thành Modul Đối với mệnh đề ta dễ dàng chứng minh đợc cách thử tiên đề Modul 1.3 Định nghĩa:Đạo hàm trờng vectơ X theo vectơ tiếp xúc p vectơ ,kí hiệu D p X Khi D p X đợc tính nh sau: D p X= d X ( p + t p ) t=0 dt 1.4 Ví dụ : Trong E2 ,cho X(x,xy), p =(4,5),p(1,3).Bây ta tính D p X Ta có : D p X= d X ( p + t p ) t=0 dt d = X ((1,3) + t (4,5) t=0 dt = d X (1 + 4t ,3 + 5t ) t=0 dt = d X (1 + 4t ,20t + 17t + 3) t=0 dt =(4,17) 1.5 Mệnh đề:Giả sử X(X1,X2,,Xn) B(En), p (1, 2,,n),p(p1,p2,,pn) n n X X i p,, n i p) x i i =1 x i E Khi đó:D p X=( n i =1 d dt Thật ,theo định nghĩa ta có:D p X= X ( p + t p ) t=0 d dt = X ( p1, p2 , , pn ) + t ( 1, , , n )) t=0 d dt = X ( p1 + 1t , p2 + 2t , , pn + nt ) t=0 d dt = X ( x1 (t ), x2 (t ), , xn (t )) t=0 (Với xi(t)=pi+i.t,i=1,n) n X x i X x i =( t=0,, n t=0) dt dt i =1 x i i =1 x i n n n X X i p,, n i p) x i i =1 x i =( i =1 Từ mệnh đề 1.5 ta có mệnh đề sau: 1.6 Mệnh đề:D p + p X=D p X +D p X n n X X (i + i ) p,, n (i + i ) p) x i i =1 x i Thật ,ta có: D p + p X=( i =1 n n n n X X X X i p+ i p),,( n i p+ n i p) x i i =1 x i i =1 x i i =1 x i =( i =1 n n n n X X X X i p,, n i p)++( i p,, n i p) x i i =1 x i i =1 x i i =1 x i =( i =1 =D p X +D p X 1.7Mệnh đề:D p (X+Y)=D p X +D p Y Thật ,giả sử X(X1,X2,,Xn) B(En),X(Y1,Y2,,Yn) B(En) X+Y=(X1+Y1,X1+Y1,,Xn+Yn) Do ta có: n n ( X + Y1 ) ( X n + Yn ) i p,, i p) x i x i i =1 D p (X+Y)=( i =1 n n X + Yn X + Y1 i p,, n i p) x i x i i =1 =( i =1 n n n n X X Y Y i p+ i p,, n i p+ n i p) x i i =1 x i i =1 x i i =1 x i =( i =1 n n n n X Y X Y =( 1i p,, n i p)+( 1i p,, n i p) i =1 x i i =1 x i i =1 x i i =1 x i =D p X +D p Y 1.8 Mệnh đề :D p X=D p X Thật ,giả sử X(X1,X2,,Xn) B(En), p (1, 2, ,n) , ta suy p (1, 2, ,n) n n X X i p,, n i p) x i i =1 x i Khi ta có :D p X=( i =1 n X n X =( x i p,, x i p) i =1 i =1 i i n =D p X 1.9 Mệnh đề:D p (X)= p [].Xp+(p)D p X Thật ,giả sử X(X1,X2,,Xn).Ta có :X=(X1,X2,,Xn) n n (X n ) (X ) i p,, i p) x i x i i =1 Do D p (X)=( i =1 n X + X n X + X i p) i p,, n =( x i x i =1 i =1 n n n n X X i p (X1p,X2p,,Xnp))+(p)( i p, , n i p) x i i =1 x i i =1 x i =( i =1 = p [].Xp+(p)D p X 1.10 Định nghĩa:Đạo hàm trờng vectơ X theo trờng vectơ Y trờng vectơ.Kí hiệu DXY Khi DXY đợc xác định nh sau: (DXY)(p)=DX(p)Y= d Y ( p + tX ) t=0 dt 1.11 Ví dụ :Trong E3 cho X(x,y,2z);Y(2x,y,z2) p(1,0,1) Khi theo định nghĩa ta có : (DXY)(p)=DX(p)Y= d Y ( p + tX ) t=0 dt Mà X(p)=(1,0,2),nên ta suy ra: d DX(p)Y= Y (1,0,1) + t (1,0,2) t=0 dt d = Y (1 + t ,0,1 + 2t ) t=0 dt d = (2(1 + t ),0, (1 + 2t )2 ) t=0 dt d = (2 + 2t ,0,1 + 4t + 4t ) t=0 dt =(2,0,4) 1.12 Mệnh đề:Trong En cho X(X1,X2,,Xn),Y(Y1,Y2,,Yn),p(p1,p2,,pn) n n Y Y1 X i p,, n X i p) x i i =1 x i Khi DXY=( i =1 Thật ,ta có : DXY:p DXpY n n Y1 Y X i ( p ) p,, n X i ( p ) p),pEn x i i =1 x i Do :DXY=DXpY=( i =1 n n Y Y1 X i p,, n X i p) x i i =1 x i Ta suy ra:DXY=( i =1 Từ mệnh đề ta dễ dàng thấy với X,Y,ZB(En),(En) ta có mệnh đề sau: 1.13 Mệnh đề:a.DX(Y+Z)=DXY+DXZ b.D XY=DXY c.DX (Z)=X[]+.DXZ d.DX+YZ=DXZ+DYZ e.X[Z.T]=DXZT+ZDXT ta chứng minh mệnh đề a mệnh đềb,c,d,e chứng minh tơngtự Thật ,giả sử X(X1,X2,,Xn),Y(Y1,Y2,,Yn),Z(Z1,Z2,,Zn) n n (Yn + Z n ) (Y1 + Z1 ) Xi) X i ,, x i x i i =1 Ta suy :DX(Y+Z)= ( i =1 Y1 Xi + x i n = ( i =1 n n Yn Z n Z1 X X Xi) ,, + i i i =1 x i i =1 x i i =1 x i n n n n Yn Z n Y1 Z1 X X Xi) X =( i )+( i ,, i ,, i =1 x i i =1 x i i =1 x i i =1 x i n =DXY+DXZ .Ta đặt [X,Y]=DXY-DYX [X,Y] đợc gọi tích Lie X Y Từ ta có mệnh đề sau: 1.14 Mệnh đề :Cho X(X1,X2,,Xn) ,Y(Y1,Y2,,Yn) B(En) Khi [X,Y][f]=X[Y(f)]-Y[X(f)];f(En) Thật [X,Y][f]=[DXY-DYX][f] n n n Y1 Y X X X i ,, n X i )-( Yi ,, n Yi )[f] x i i =1 xi i =1 xi i =1 xi n =( i =1 Y1 X =[ x X i x Yi ,, i =1 i i n n i =1 n x Y1 X f X i Yi ,, xi xi x1 = Yn n i =1 n Xi i Yn x i =1 X n Yi ][f] xi Xi i X n f Yi x i x n n n n f f Y X Y1 X f f Xi - Yi ++ n X i - n Yi x1 i =1 xi x1 xi xn i =1 xi xn i =1 xi = i =1 n n n f n f Y Y1 Xi ++ n X i f - ( X j ).Yi x1 xi xn i =1 xi j =1 x j i =1 xi = i =1 n Y [ f ] X [ f ] Xi - Yi = xi xi i =1 i =1 n =X[Y(f)]-Y[X(f)] 2.Các dạng vi phân En 2.1Định nghĩa: Một dạng vi phân bậc En việc đặt tơng ứng điểm p thuộc En với ánh xạ tuyến tính p:TpEn R Từ định nghĩa ta thấy :mỗi X p TpEn p ( X p )R.Khi p thay đổi En ta đợc tham số (X) Vậy dạng vi phân tác động vào trờng vectơ đợc hàm số :En R 2.2 Ví dụ : Trong E2 ,xét :p p cho p:TpE2 R x 0p x Khi dạng vi phân Thật vậy,ta cần chứng minh p ánh xạ tuyến tính Với x , y TpE2 ;R.Ta có : +p( x + y )= p ( x + y )= p ( x )+ p y =p ( x )+p ( y ); +p( x ) = p ( x ) = p ( x ) = p ( x ); Suy p ánh xạ tuyến tính Vậy dạng vi phân E2 2.3 Định nghĩa: Dạng vi phân bậc En đợc gọi khả vi trờng vectơ X khả vi En hàm số (X) khả vi En Kí hiệu 1(En)={ \ khả vi En} Từ trở ta xét khả vi 2.4 Các phép toán 1(En): Giả sử 1,2 1(En),(En),R.Khi 1+2 ,1,1 thuộc 1(En) đợc xác định nh sau: 1+2 :p :p 1p+2p,pEn; (1) (p)1 p,pEn; : p p,pEn; 10 (2) (3) Vậy f* : 1(En) 1(Em) ánh xạ tuyến tính (đpcm) Xét f* : 2(En) 2(Em) f* Với 2(En) ;, R, X,YB (En) ta có : f*(1+2)(X,Y)=( 1+2)(fX, fY) = 1(fX, fY)+ 2(fX, fY) = f*1(X,Y) +f*2(X,Y) = (f*1+f*2)(X,Y); X,YB (En) Từ suy ra: f*(1+2) = f*1+f*2 Vậy f* : 2(En) 2(Em) ánh xạ tuyến tính (đpcm) 3.8 Mệnh đề: Nếu g: En El ánh xạ khả vi (gof)*=f*og* Chứng minh: Thật ,ta có : f: Em En g: En El El Ta suy gof: Em f* : i(En) i(Em) g* : i(El) 2(En) (gof)* : i(El) i(Em) i=1 Với thuộc 1(En), XB (En) ta có : (fog)* (X) = [(fog)(X)] = [(fg(X)] = g*(f*)(X), XB (En) Vậy (gof)*=f*og* i=2 thuộc 2(En), X,YB (En) ta có : (gof)* (X,Y) = [(gof)(X) ,(gof)(Y)] = [g(fX), g(fY)] 28 = g* ( fX , fY) = f*(g*) (X,Y); X,YB (En) Vậy (gof)*=f*og* 3.9 Mệnh đề: Giả sử f: Em En ánh xạ khả vi, 1, 21(En),khi f*(12 )= f*(1)f*(2) Thật vậy, X,YB (En) ta có: f*(12 )(X,Y)= (12 ) ( fX , fY) = 1( fX ) (fY) - 1( fY ) (fX) = f*(1)(X) f*(2)(Y)- f*(1) (Y).f*(2) (X) = (f*(1)f*(2))(X,Y); X,YB (En) Suy f*(12 )= f*(1)f*(2) 3.10 Mệnh đề: Giả sử f: Em En ánh xạ khả vi, 0(En) 1(En).Khi ta có df* = f*d n Thật vậy, giả sử (E ), biểu diễn dới dạng : = f i dx i n i =1 n Do ta có :(df*) ()=d(f*)=d(f*( fi dxi )) i =1 =d(f*(f1 dx1+f* dx2++f* dxn)) =d(f*(f1dx1)+f*(f2dx2)++f*(fndxn)) =d(f*(f1dx1))+d(f*(f2dx2))++d(f*(fndxn)) =f*(d(f1dx1))+f*(d(f2dx2))++f*(d(fndxn)) n =f*d( fi dxi ))(Vì f* ánh xạ tuyến tính ) i =1 =(f*d)( ); 1(En) Suy df* =f*d (đpcm) Nh biết : ánh xạ khả vi f:Em En đợc gọi ánh xạ đẳng cự với điểm p En f |p:Tp Em Tf(p)En bảo tồn tích vô hớng fđợc gọi vi phôi đẳng cự f vi phôi ánh xạ đẳng cự 29 Trong mục ,ta xét U tập mở E n {U1,U2, ,Un}* mục tiêu mới.Khi ta có : U1 = C11 E1 + C12 E + + C1n E n U = C 21 E1 + C 22 E + + C 2n E n U n = Cn1 E1 + Cn2 E2 + + Cnn E n Từ ta suy n U i = C i j E j (i =1, n) j =1 (Trong Ci j hàm số toạ độ trờng vectơ từ U R) Ta xét DX U1 = 11 ( X )U1 + 12 ( X )U + + 1n ( X )U n DX U = 12 ( X )U1 + 22 ( X )U + + 2n ( X )U n ;X DX U n = n1 ( X )U1 + n2 ( X )U + + nn ( X )U n Vậy n D X U i = i j ( X ).U j ; i =1, n j =1 Trong ij (X ) hàm số khả vi phụ thuộc vào X ij (X ) 1(En) Viết gọn là: n D U i = i j U j ; i = 1, n j =1 3.11Định nghĩa:Các dạng i j đợc gọi dạng liên thông En trờng mục tiêu (*) Ví dụ : Trong E2 =0xy với trờng mục tiêu {U1,U2}: U1 = cos.E1+sin.E2 30 U2 = -sin.E1+cos.E2 Trong hàm số :E2 Rvà hàm số khả vi Bây ta tìm dạng liên thông E2 {U1,U2} +Trớc hết ta tính DXU1 DXU1 = DX(cos.E1+sin.E2)=DX(cos.E1)+DX (sin.E2) =X[cos].E1+cos.DX E1+X[sin].E2+sin.DX E2 =X[cos].E1+X[sin].E2 Giả sử X(X1,X2),ta có : DXU1= ( X cos cos sin sin + X ) E1 + ( X + X ) E2 x y x y =(-x.sin.X1-y.sin.X2)E1+(x.cos.X1+y.cos.X2)E2 =x.X1(-sin.E1+cos.E2)+y.X2(-sin.E1+cos.E2) = (x.X1+y.X2).U2=X[].U2 =d(X).U2;X Ta suy DU1=d.U2 Khi 11 = 0; 12 =d + DXU2=DX(-sin.E1+cos.E2)=DX(-sin.E1)+DX (cos.E2) =X[-sin].E1+(-sin).DX E1+X[cos].E2+cos.DX E2 =X[-sin].E1+X[cos].E2 Giả sử X(X1,X2),ta có: DXU2= ( X ( sin ) ( sin ) cos cos + X ) E1 + ( X + X ) E2 x y x y =-(x.cos.X1-y.cos.X2)E1+(-x.sin.X1-y.sin.X2)E2 = -x.X1(cos.E1+sin.E2)+y.X2(cos.E1+sin.E2) = -(x.X1+y.X2).U1=X[].U1=d(X).U1;X Ta suy DU2=d.U1 Vậy 12 = -d; 22 =0 31 3.12 Mệnh đề:Giả sử {Ui}1=1n trờngmụctiêu trực chuẩn = ( ij )in, j =1 ma trận dạng liên thông En trờng mục tiêu trực chuẩn ,khi = ( ij )in, j =1 ma trận phản đối xứng ,nghĩa i j = ij i=j ; Thật vậy,ta có Ui.Uj=ij= ij ; (Vì {Ui} trực chuẩn ) Nên từ công thức DXY Z+Y.D X Z =X [YZ] (Mệnh đề 1.13e)),ta suy X[Ui.Uj]=(DXUi).Uj+Ui.D X Uj Mà X[Ui.Uj]=0 (DXUi).Uj+(D X Uj).Uj=0 n n k ( U l ).U j + ( j U k ).U i = l =1 l i k =1 j j i ( X ) + i ( X ) = 0; X j j i +i = j j i = i 3.13 Hệ quả: ii = 3.14Mệnhđề: Giả sử Y(Y1,,Yn)=Y1U1++YnUn.Khi DY= Thật vậy,ta có : n n j =1 j =1 [d (Y j ) +Yiij ].U j n n i= i=1 DXY=DX ( YiUi)= [DX (YiUi)] n n i =1 j =1 = [dYi ( X ) + Yi ij ( X ).U j ] n n j =1 i =1 = [dY j ( X ) +Yii j ( X )].U j ; X Ta suy DY= n n [d (Y ) +Y j =1 j j =1 i i j ].U j (đpcm) 3.15 Nhận xét: Nếu {Ui} trờng mục tiêu song song tập mở U En rõ ràng ij = 3.16 Mệnh đề: 32 Ta kí hiệu C= C11 C12 C1n C21 C22 C2n Cn2 Cnn Cn1 C ma trận chuyển từ hệ Ui sang Ei = 11 12 1n 12 22 2n n1 Khi Với n2 nn =C-1dC d C11 d C12 d C1n d C21 d C22 d C2n dC = d Cn1 d Cn2 d Cnn n Thật vậy, ta có : U i = C i j E j , i = 1, n; C i j ( E n ) j =1 Do DEi=0 nên theo mệnh đề 3.4 ta có : n D U i = D( Ci j E j ) = dCi j Ej, i = 1, n (1) j =1 n Mặt khác ta có: DU i = (ik U kj ), i = 1, n k =1 n = k =1 n ik (Ckj E j ) j =1 n = ik Ckj E j (2) k , j =1 Từ (1) (2) suy n n dC Ej = ik Ckj E j j =1 j i k , j =1 33 n dCij = Từ ta có : j =1 n k , j =1 k i C kj n Suy ik = (C ) kj dCij j =1 Trong (C ) ma trận nghịch đảo ma trận C= (Cij) -1 Hay =C-1.dC Ví dụ:1) Xét trờng mục tiêu trực chuẩn E3 U1=-sinu.E1+cosu.E2 U2= E3 U3=cosu.E1+sinu.E2 Trong E1,E2,E3 trờng mục tiêu song song ứng với mục tiêu {0;e1,e2,e3} E3 - sinu cosu Lúc ta có : C = cosu sinu Từ suy : - sinu cosu C-1 = 0 cosu sinu - cosudu -sinudu dC = -sinudu cosudu 0 Khi theo mệnh đề 3.6 ta có : - sinu cosu -cosudu -sinudu =C-1.dC = cosu = -du Vậy sinu 0 0 du 0 -sinudu cosudu 0 11 = 0; 12 = 0; 13 = du 12 = 0; 22 = 0; 23 = 31 = du; 32 = 0;33 = 2){Ví dụ phần định nghĩa} Xét trờng mục tiêu toạ độ cực{U1,U2}trong E2\{0} U1 = cos.E1+sin.E2 34 U2 = -sin.E1+cos.E2 Trong hàm số :E2 Rvà hàm số khả vi,{E 1,E2}là trờng mục tiêu song song ứng với hệ toạ độ vuông góc với toạ độ cực Khi ta có : cos sin C= -sin cos Từ suy : cos - sin C-1= sin cos Và -sind cosd dC= cosd -sind Khi ma trận dạng liên thông E2\{0} : cos =C-1.dC= Vậy sin -sind sin cos cosd -cosd -sind = -d d 11 = 0;12 = d 12 = d ; 22 = n 3.17 Mệnh đề: a) d = lk ; ( k =1, n) k l =1 n b) dkl = ml km ; ( k , l =1, n) m =1 Thật vậy,gọi {E1,E2, ,En} trờng mục tiêu song song n U i = C i j E j , i = 1, n; C i j ( E n ) j =1 Gọi {1,2, ,n} trờng đối mục tiêu trờng mục tiêu {U1,U2, ,Un} n n j=1 j=1 Khi ta có : ik = k (U i ) = k ( Ci j E j ) = Ci j k ( E j ) (do k ánh xạ tuyến tính ) Suy k (Ej )=(C-1)jk Mặt khác dxk(Ej)=Ej(xk)=jk 35 n k Suy (Ei)= (C ) j dx j ( Ei ); i = 1, n k j=1 n k = (C ) j dx j Vì k j=1 n k Từ ta có :d = d ( (C ) j dx j ) k j=1 n = d [(C )kj dx j ] (do d ánh xạ tuyến tính) j=1 n = d (C )kj dx j (1) (do tính chất d(fdx)=dfdx) j=1 n Vì ik = (C ) kj dC i j , i = 1, n j =1 n n Nên = (C ) dC i ((C ) kj dxi ) k i Suy j k j j =1 n j =1 k i j j =1 n n j =1 i =1 n = ( (C ) dC i ((C ) kj dxi )(*) j k j j j =1 n Mặt khác (C ) kj C i j = ik j =1 n Vì d( (C ) kj C i j ) = j =1 Suy n [d (C j =1 Suy k j ) C i j ] = (do d ánh xạ tuyến tính ) n n j =1 j =1 d (C ) kj Ci j + (C ) ik dCi j = 0(**) Thay (**) vào (*) ta đợc: n j =1 n ik j = d (C ) kj C i j (C ) lj dxl i , j ,l =1 = n C i , j ,l =1 j i d (C ) kj dxl 36 n = ij d (C ) kj dxl i =1 n = d (C ) kj dxl (2) i =1 n So sánh (1) (2) ta suy : d k = lk ; ( k =1, n) l =1 n b)Ta có i j = (C ) kj dC ik k =1 n Từ suy di j = d ((C ) kj dC ik ) k =1 n = d [(C ) kj dC ik ] (do d ánh xạ tuyến tính ) k =1 n = d (C ) kj dC ik (3) k =1 Mặt khác n k =1 n n n l =1 l =1 m =1 kj ik = ( (C ) lj dC kl (C ) kml dC im n n k ,l , m =1 i , m =1 = (C ) km d (C ) il dCim = ml d (C ) ls dCim n = d (C ) ij dC il (4) l =1 n Từ (3) (4) suy dkl = ml km ; (k , l =1, n) m =1 3.18 Mệnh đề: Cho U=[U1,U2, ,Un], U~ = [U~1 ,U~2 , ,U~n ] trờng mục tiêu En ~ ~ = n ~ , = ~ n 37 trờng đối mục tiêu tơng ứng U, U~ En với U~ đợc xác định U~ j ~ =U.C C=[Cij]nìn ma trận chuyển từ U sang U C(En), = ( i ) ~ = (~ij ) lần lợt ma trận dạng liên thông En trờng mục tiêu {U},{ ~ U }.Khi ta có: ~ -1 a) =C (trong C-1 ma trận nghịch đảo ma trận C) b) ~ =C-1 C +C-1dC Chứng minh:a) Thật vậy,ta có: C11 C12 C1n C21 C22 C2n ~ ~ ~ [U ,U , ,U n ] = [U1,U2, ,Un] Cn1 Cn2Cnn ~ U =C11U1+C21U2+ +Cn1Un ~ U =C12U1+C22U2+ +Cn2Un ~ U n =C1nU1+C2nU2+ +CnnUn ~ Gọi =(ij)nìn thoả mãn = ~ 11 12 1n ~ ~ 21 22 2n ~ n = = ~ n n1 n2 nn ~ ~ ~ = 111 + 12 + +1n n ~ ~ ~ = 21 + 22 + +2n n ~ ~ ~ n = n1 + n2 + + nn n Ta cần chứng minh: ij = Cij ~ ~ ~ ~ ~ Ta có :1( U ) = (111 + 12 + +1n n )( U ) 38 ~ n ~ ~ ~ ~ ~ ~ = 111 ( U )+ 12 ( U )+ +1n n ( U ) = 11 (1) ~ Mặt khác: 1( U ) = 1(C11U1+C21U2+ +Cn1Un ) = C11 (U1)+C21 (U2)+ +Cn1 (Un) = C11 (2) Từ (1) (2) ta suy C11= 11 Chứng minh tơng tự cho trờng hợp lại ta đợc ij = Cij = C ~ ~ Do = C =C-1 (đpcm) b) ~ =C-1 C +C-1dC ~ Từ a) =C-1 ~ d =dC-1 + C-1d ~ =dC-1C - C-1 ~ ~ =dC-1C - C-1 C Nhng C-1C ma trận đơn vị nên dC-1C+C-1dC=0dC-1C=-C-1dC ~ ~ ~ Vậy d =C-1dC - C-1 C ~ =-(C-1 C +C-1dC) (1) ~ ~ Mặt khác d =- ~ (2) Từ (1) (2) ta suy ~ =C-1 C +C-1dC (đpcm) 3.19 Bổ đề: Giả sử {U1,U2, ,Un} trờng mục tiêu tiếp xúc En; {1 ,2, ,n}là trờng đối mục tiêu {U1,U2, ,Un} có họ1dạng vi phân ij 1(En) (i=1,n) cho ij =- ij -và n d i = ij j ị =1 3.20 Định lí : Giả sử f:En Em ánh xạ đẳng cự ,f biến trờng mục tiêu trực ~ chuẩn {Ui] i=1n En thành trờng mục tiêu trực chuẩn {Ui = f*Ui}in=1 39 f(En) f* ~ij = ij (i,j =1,,n),trong { ij }và { ~ij } theo thứ tự dạng liên thông trờng mục tiêu {Ui} { U~i } ~ Thật vậy,gọi trờng đối mục tiêu {Ui}là { i} trờng đối mục tiêu { U i } { ~ i } (i=1,n) Khi f* ~ i = i : f* ~ i (Uj)= ~ i (fUj) ~ = ~ i ( U j ) = ij = i (U j ); U j ( j = 1, n) ~ f* i = i f* ~ = f* ~ = f* ~ n = n ~ ~ Do d 1=df* =f*d =f*(- ~21 ~ ) =-f*( ~21 ) ~ (1) Mặt khác ta có :d 1=- 12 (2) Từ (1) (2) ta suy f* ~21 = 12 (Do tính bổ đề) Chứng minh tơng tự cho trờng hợp lại ta đợc f* ~ij = ij (đpcm) 3.21 Chú ý : Khi n=3 , {ij }3i , j =1 ma trận dạng liên thông trờng mục tiêu tiếp xúc trực chuẩn (U1,U2) hay trờng mục tiêu trực chuẩn (U1,U2,n) với n= U1U = U trờng vectơ pháp tuyến đơn vị Khi : U1U TpE3 : DU1= 12 ().U2+ 13 ()U3 DU2= 12 ().U1+ 23 ().U3 DU3= ().U1+ 23 ().U2 40 Kết luận Trong thời gian hoàn thành khoá luận trình bày đợc kiện sau đây: 1.Chứng minh chi tiết số mệnh đề đạo hàm theo vectơ tiếp xúc đạo hàm theo trờng vectơ,chẳng hạn mệnh đề 1.6,mệnh đề 1.7,mệnh đề 1.8,mệnh đề 1.9,mệnh đề 1.13a),mệnh đề 1.14 2.Chứng minh mệnh đề 2.5c) dạng vi phân bậc một,mệnh đề 2.8 vi phân hàm số ,định lí 2.14c) hai dạng vi phân ,mệnh đề 2.16 vi phân dạng vi phân 3.Chứng minh chi tiết mệnh đề 3.3 ,mệnh đề 3.4 ánh xạ tiếp xúc;mệnh đề 3.7,mệnh đề 3.8,mệnh đề 3.9,mệnh đề 3.10 ánh xạ đối tiếp xúc,mệnh đề 3.12 ,mệnh đề 3.14,mệnh đề 3.17,mệnh đề 3.18 dạng liên thông 4.Chỉ cách chứng minh tờng minh định lí 3.20 nhờ vào bổ đề 3.19 Với đề tài tác giả hi vọng có điều kiện để nghiên cứu lí thuyết dạng vi phân đa tạp Riman tài liệu tham khảo [1] Văn Nh Cơng Tạ Mân :Hình học afin hình học Ơclit,NXB Đại học [2].H.Cartan: Phép tính vi phân dạng vi phân ,NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp ,Hà Nội 1970 [3] Nguyễn Thúc Hào :Hình học vi phân (T1,T2),NXB GD 1968 [4].Đoàn Quỳnh Trần Đình Viện Trơng Đức Hinh-Nguyễn Hữu Quang: Bài tập hình học vi phân,NXB GD 1993 41 [5] Đoàn Quỳnh :Hình học vi phân ,NXB GD 1999 [6].Ngô Thúc Lanh:Đại số tuyến tính ,NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp ,Hà Nội 1970 [7].M.Xpivak:Giải tích toán học đa tạp,NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp,Hà Nội 1985 42 [...]... +)DYX=(z ([X,Y])=(xdx +yzdy+zxdz)[(y-z )E1 +xE2 xE3] =xdx [(y-z )E1 +xE2 xE3]+yzdy[(y-z )E1 +xE2 xE3]+zxdz[(y-z )E1 +xE2 xE3] =x(y-z)+yz.x-z.xx =xy-xz+xyz-x2z Chú ý: Các hàm số khả vi xác định trong E n đợc gọi là dạng vi phân bậc 0 trong En Ta kí hiệu 0(En)= (En)= {dạng vi phân bậc 0 trong En } 2.7Định nghĩa: Vi phân ngoài của hàm số (En) là ánh xạ d: (En) 1(En) n d = x i =1 dxi i 2.8 Mệnh đề: a)d... đối xứng Hay p là 2 -dạng vi phân trong E2 2.11 Định nghĩa: Dạng vi phân bậc hai đợc gọi là khả vi trong En nếu với mọi X,Y khả vi trong En thì (X,Y) là hàm số khả vi trong En Kí hiệu 2(En)={ \ khả vi trên En} 2.12.Các phép toán trong 2(En) Giả sử 1,2 2(En) ; (En),R Khi đó 1+2 ,1, cũng thuộc 2(En) đợc xác định nh sau: 1+2 :p 1 :p 1 :p 1p+2p,pEn; (1) (p).1p,pEn; (2) 1 p,pEn; (3) Chú ý : Giả... X i Y j ( E i , E j ) Do là ánh xạ song tuyến tính ,phản đối xứng nên: (Ei,Ei)=0 (Ei,Ej)=-(Ej,Ei) n Từ đó ta có : (X,Y)= X i Y j ( E i , E j ) i , j =1 n X = i< j i , j =1 i n X = i< j i , j =1 n i Y j ( E i , E j ) Y j ( E i , E j ) n n i= j i , j =1 i> j i , j =1 + X i Y j ( E i , E j ) + X i Y j ( E i , E j ) n + X i< j i , j =1 = i ... +yzdy+zxdz)[(y-z )E1 +xE2 xE3] =xdx [(y-z )E1 +xE2 xE3]+yzdy[(y-z )E1 +xE2 xE3]+zxdz[(y-z )E1 +xE2 xE3] =x(y-z)+yz.x-z.xx =xy-xz+xyz-x2z Chú ý: Các hàm số khả vi xác định E n đợc gọi dạng vi phân bậc En Ta... p 2 -dạng vi phân E2 2.11 Định nghĩa: Dạng vi phân bậc hai đợc gọi khả vi En với X,Y khả vi En (X,Y) hàm số khả vi En Kí hiệu 2(En)={ khả vi En} 2.12.Các phép toán 2(En) Giả sử 1,2 2(En)... theo trờng vectơ Sau định nghĩa trình bày tính chất ví dụ minh hoạ cho định nghĩa 2.Các dạng vi phân En Trong mục này,chúng trình bày 1 -dạng vi phân E n ,ví dụ ,vi phân hàm số,2 -dạng vi phân E