Dạng vi phân trong e

Trong khoá luận này ,công việc chủ yếu của chúng tôi là tập hợp và chứngminh chi tiết một số mệnh đề về dạng vi phân bậc 1 và bậc 2 trong En.Từ đó trìnhbày dạng liên thông trong En.. Kho

mục lục

Trang

1 Đạo hàm của trờng vectơ trong E n 4

1.Vectơ tiếp xúc……… 4

2.Trờng vectơ tiếp xúc………4

3.Trờng vectơ khả vi……….……… 4

4.Đạo hàm của trờng vectơ theo một vectơ tiếp xúc ……….6

5.Đạo hàm của trờng vectơ theo một trờng vectơ……….9

2.Các dạng vi phân trong E n 11

1.Dạng vi phân bậc một trong En ………11

2.Vi phân ngoài của hàm số ………15

3.Dạng vi phân bậc hai trong En………16

4.Tích ngoài của một dạng vi phân……… 19

5.Vi phân ngoài cuả một dạng vi phân……….21

3 Dạng liên thông trong E n 29

1.ánh xạ tiếp xúc……… 25

2.ánh xạ đối tiếp xúc………27

3.ánh xạ đẳng cự,vi phôi đẳng cự……….31

4.Dạng liên thông trong En………32

lời nói đầu

Lí thuyết về các dạng vi phân trong En là một nội dung của hình học vi phân mà từ đầu thế kỉ 20 đã đợc nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu ,chẳng hạn Riman ,Gauss,Levi-Civita,Cartan…và đã đợc trình bày trong nhiều giáo trình của hình học vi phân.Các tính chất cơ bản của chúng đã đợc trình bày trong các tài liệu [2],[3],[4]….Các dạng vi phân đã có nhiều ứng dụng trong các nghành Vật lí ,Toán học giải tích…

Các khái niệm cơ bản nhất về dạng vi phân cũng đã đợc trình bày trongcác bài giảng của nhà Toán học Pháp Henry Cartan theo giáo trình “Toán II” củatrờng đại học tổng hợp Paris vào giữa năm 60.

Trong khoá luận này ,công việc chủ yếu của chúng tôi là tập hợp và chứngminh chi tiết một số mệnh đề về dạng vi phân bậc 1 và bậc 2 trong En.Từ đó trìnhbày dạng liên thông trong En

Khoá luận này đợc chia thành 3 mục:

1 Đạo hàm của trờng vectơ trong E n

Trong mục này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm cơ bản của hình học viphân trong En nh vectơ tiếp xúc ,trờng vectơ tiếp xúc ,trờng mục tiêu ,trờng mụctiêu song song Từ đó chúng tôi trình bày trờng vectơ khả vi,ví dụ và một số phéptoán về trờng vectơ khả vi.Ngoài ra chúng tôi còn trình bày định nghĩa đạo hàmcủa trờng vectơ dọc theo một vectơ tiếp xúc và dọc theo một trờng vectơ Saumỗi định nghĩa chúng tôi trình bày các tính chất và các ví dụ minh hoạ cho các

định nghĩa đó

2.Các dạng vi phân trong E n

Trong mục này,chúng tôi trình bày 1-dạng vi phân trong En ,ví dụ ,vi phân

phân ngoài của 1-dạng vi phân,và một số ví dụ của 2-dạng vi phân

Nhân dịp này tôi xin chân thành cảm ơn sự hớng dẫn tận tình của thầygiáo ,PGS_TS Nguyễn Hữu Quang và sự giúp đỡ nhiệt tình của các thầy cô giáotrong khoa Toán trờng Đại học Vinh và gia đình , bạn bè đã tạo điều kiện cho tôisuốt quá trình học tập hoàn thành khoá luận này

Vinh,ngày tháng 5 năm 2004

Tác giả.

1.Đạo hàm của trờng vectơ trong E n

Trong mục này,ta luôn kí hiệu En là không gian Ơclit n chiều với nền Envà{0;e1,e2,…,en } là một mục tiêu trực chuẩn En

Nh chúng ta đã biết : vectơ tiếp xúc tại một điểm p∈En là vectơ αp ∈En

có điểm gốc là p

.Không gian các vectơ tiếp xúc với En tại p đợc kí hiệu là TpEn

.Trờng vectơ tiếp xúc trong En là ánh xạ đặt tơng ứng với mỗi điểm p∈En

một vectơ Xp ∈TpEn

.Trờng mục tiêu song song trong En là trờng vectơ trong En mà với

∀p∈En ,X đợc xác định bởi X: p  atrong đó alà một vectơ cố định

.Trờng mục tiêu trong En là hệ n vectơ{U1,U2,…,Un} trong En sao cho vớimỗi p∈En thì {U1(p),U2(p),…,Un(p)}lập thành một cơ sở của TpEn

Nếu mọi trờng vectơ Ui của trờng mục tiêu {Ui} trên En là song song thì tanói trờng mục tiêu đó là trờng mục tiêu song song

Mỗi cơ sở {ei } của E n xác định một trờng mục tiêu song song {Ei} trên

En ,Ei(p) =ei với ∀p∈En (i=1,n) gọi là trờng mục tiêu song song ứng với cơ

Nh vậy X1 có các đạo hàm riêng (g1,g2,g3) và các đạo hàm riêng (g1,g2) liên tục vì

nó là hàm sơ cấp,đạo hàm riêng g3 liên tục vì nó là hàm hằng.Do đó X1 khả vi.Chứng minh tơng tự ta cũng đợc X2,X3 khả vi Vậy X khả vi

.Từ nay trở đi ta chỉ xét các trờng vectơ khả vi

Ta thờng kí hiệu ℑ(En) là tập các hàm số khả vi trong En

Tập hợp các trờng vectơ khả vi trên En đợc kí hiệu là B(En) Trên B(En) đợctrang bị các phép toán nh sau :

X+Y: p  Xp+Yp,∀p∈En (1)

ϕX: p  ϕ(p).Xp,∀p∈En ,ϕ∈ℑ(En) (2)

Trong trờng hợp riêng ϕ = const, ϕ(p)=a ,∀p∈En,ta có aX:p  aXp (3)

1.1 Mệnh đề: B(En) cùng với hai phép toán (1) và (3) lập thành một không gianvectơ thực

Thật vậy,dễ thấy rằng hai phép toán (1) và (3) thoả mãn 8 tiên đề của không gianvectơ.Do đó ở đây ta chỉ thử 3 tiên đề cơ bản ,đó là:

Thử 5 tiên đề còn lại cũng thấy nó thoả mãn

VậyB(En) là không gian vectơ thực

1.2 Mệnh đề: B(En) cùng với hai phép toán (1) và (2) lập thành một Modul

Đối với mệnh đề này ta cũng dễ dàng chứng minh đợc bằng cách thử 8 tiên đềcủa Modul

1.3 Định nghĩa:Đạo hàm của trờng vectơ X theo một vectơ tiếp xúc αp là mộtvectơ ,kí hiệu là DαpX

1.4 Ví dụ : Trong E2 ,cho X(x,xy),αp =(4,5),p(1,3).Bây giờ ta tính DαpX

Ta cã : DαpX= X(p t p)

dt

d

α+ t=0

dt

d

α+ t=0

= X(p1,p2, ,p n) t( 1, 2, , n))

dt

d

α α α

i i

n

dt

x x

i x

X X

α ϕ ϕ

∑

∂ +

∂

1

.

p)

1.11 Ví dụ :Trong E3 cho X(x,y,2z);Y(2x,y,z2) và p(1,0,1).

Khi đó theo định nghĩa ta có :

x

Y

i n

i i n

1.13 Mệnh đề:a.DX(Y+Z)=DXY+DXZ.

Z Y

Z Y

n

i i

Y x

X X

x

Y

.

1 1

1

x

f Y x

X X

x

Y

i i i

n i

X X

i i

n Y x

i i

n X x

i

n

j j i

Y X x

f X

=X[Y(f)]-Y[X(f)]

2.Các dạng vi phân trong E n

2.1Định nghĩa: Một dạng vi phân bậc một trong En là việc đặt tơng ứng một

điểm p thuộc En với một ánh xạ tuyến tính θp:TpEn→R.

Từ định nghĩa ta thấy rằng :mỗi Xp ∈TpEn thì θp (Xp)∈R.Khi p thay đổitrên En ta đợc một tham số θ (X) Vậy một dạng vi phân tác động vào một trờngvectơ bất kì thì đợc một hàm số :En → R

2.2 Ví dụ : Trong E2 ,xét θ :p →θp sao cho θp:TpE2→R

x   0p.x .Khi đó θ là một dạng vi phân

Thật vậy,ta chỉ cần chứng minh θp là ánh xạ tuyến tính

Với ∀x , y ∈TpE2 ;λ∈R.Ta có :

Chú ý : Giả sử X,Y là các trờng tiếp xúc trong En ,ϕ∈ℑ(En),θ∈Ω1(En).Khi đó ta

i=1 là một trờng mục tiêu trong En,X là một trờng vectơ bất kì trong

En thì mọi một dạng vi phân trong En hoàn toàn đợc xác định bởi các hàm số θ

(hay {θi}i=1n còn đợc gọi là các dạng chuyển dời ứng với {Ui})

{0,e1,e2,… ,en}trong En với toạ độ x1,x2,… ,xn..Coi xi:En→R là hàm số trong En

thì dxi ∈Ω1(En) đợc xác định bởi dxi(X)=Xi với ∀X=(X1,X2,… ,Xn) có tính chất

2.5Mệnh đề:a)Ω1(En) cùng với hai phép toán (1) và (3) làm thành một khônggian vectơ thực

b)Ω1(En) cùng với hai phép toán (1) và (2) làm thành một Modul trên B (En).c)Số chiều của Modul Ω1(En) bằng n

(1) và (3) thoả mãn các tiên đề về không gian vectơ và Ω1(En) cùng với hai phéptoán (1) và (2) thoả mãn các tiên đề về Modul Do đó ở đây chúng ta sẽ chỉ kiểmtra kết luận c) của mệnh đề

Thật vậy,để chứng minh số chiều của Modul Ω1(En) bằng n ta sẽ chứng minh{dxi} là cơ sở của Ω1(En)

1

) (

Hay θ = i

n i

Ta có : θ (X) = (xy dx +y2xdy)(xy E1+yE2)

=xydx(xy E1+yE2)+y2xdy(xy E1+yE2)

Suy ra θ (XΛY) =(xdx +yzdy+zxdz)[(1-xy)E1+(yz-x)E2+(x2-z)E3]

=xdx[(1-xy)E1+(yz-x)E2+(x2-z)E3]+yzdy[(1-xy)E1+(yz-x)E2

+(x2-z)E3]+zxdz[(1-xy)E1+(yz-x)E2+(x2-z)E3]

=x(1-xy)+yz (yz-x)+zx(x2-z)

=x-x2y+y2z2-xyz+x3z-xz2

2,Ta có [X,Y]=DXY-DYX Do đó để tính [X,Y] ta sẽ đi tính DXYvà DYX

∂

∂1 ) =(y,x,0)

θ ([X,Y])=(xdx +yzdy+zxdz)[(y-z)E1 +xE2 –xE3]

=xdx [(y-z)E1 +xE2 –xE3]+yzdy[(y-z)E1 +xE2 –xE3]+zxdz[(y-z)E1 +xE2 –xE3]

=x(y-z)+yz.x-z.xx

=xy-xz+xyz-x2z

Chú ý: Các hàm số khả vi xác định trong En đợc gọi là dạng vi phân bậc 0 trong

En Ta kí hiệu Ω0(En)= ℑ(En)={dạng vi phân bậc 0 trong En }

2.7Định nghĩa: Vi phân ngoài của hàm số ϕ∈ℑ(En) là ánh xạ

1

∑

∂+

Hay d(ϕψ)=ψdϕ+ϕdψ (đpcm)

2.9 Định nghĩa:Một dạng vi phân bậc hai ω trong En là việc đặt tơng ứng mỗi

điểmp ∈Envới một ánh xạ song tuyến tính,đối xứng ωp:TpEnìTpEn → R

Dạng vi phân bậc hai còn gọi là 2-dạng vi phân.

Từ định nghĩa ta có nhận xét sau:

Giả sử X,Y là các trờng vectơ trong En ,từ định nghĩa ta thấy rằngmỗi(Xp,Yp)∈TpEnìTpEn thì ωp(Xp,Yp)∈R

Vậy mỗi dạng vi phân bậc hai tác động vào (X,Y) bất kì thì đợc một hàm số

và nó đợc xác định bởi:ω(X,Y)(p)=ω(Xp,Yp)

2.10 Ví dụ:Trong E2,xét ω:p ωp sao cho ωp :TpE2 ìTpE2 →R

(x,y)  x1 y2-x2 y1.trong đó x(x1,x2); y(y1,y2).Khi đó ω là 2-dạng vi phân trong E2

Thật vậy,ta cần chứng minh ωp là ánh xạ song tuyến tính ,đối xứng

*)ωp là ánh xạ song tuyến tính

Với ∀x(x1,x2); y(y1,y2);x’(x1’,x2’); y (y1’,y2’) ∈TpE2 và λ∈R

Ta có :

+ωp (x+x’,y)=(x1+ x1’) y2-(x2+x2’) y1

ω (X+X’,Y)=ω (X,Y)+ω (X’,Y);

ω (X,Y+Y’)=ω (X,Y)+ω (X,Y’);

ω(ϕX,Y)=ω(X,ϕY)=ϕ.ω (X,Y);

2.13.Định nghĩa:Giả sử θ1,θ2 là các 1-dạng vi phân trong En;X,Y là các trờngvectơ tiếp xúc trong En.Khi đó θ1Λθ2 (X,Y)=θ1(X).θ2(Y)-θ1(Y)θ2(X) thì θ1Λθ2 đ-

ợc gọi là tích ngoài của θ1 và θ2

Nhận xét :

a) θ1Λθ2∈Ω2(En)

Thật vậy ,để chứng minh , ta chỉ cần chứng minh tính đối xứng của θ1Λθ2

Với ∀X,Y∈B(En),∀p∈En ta có :

Vì θΛθ (X,Y)=θ(X).θ(Y)-θ(Y)θ(X)=0 ;∀X,Y∈B(En)

2.14 Định lí :a)Ω2(En) cùng với hai phép toán xác định ở (1) và (3) làm thànhkhông gian vectơ thực

b)Ω2(En) cùng với hai phép toán xác định ở (1) và (2) làm thành Modul

c)Ω2(En) có cơ sở là {dxiΛdxj}

Chứng minh: Ta dễ dàng kiểm tra đợc Ω2(En) cùng với hai phép toán xác định ở(1) và (3) thoả mãn các tiên đề của không gian vectơ vàΩ2(En) cùng với hai phéptoán xác định ở (1) và (2) thoả mãn các tiên đề về Modul nên Ω2(En) là khônggian vectơ thực và là Modul.Do đó để chứng minh định lí ta chỉ cần chứng minhkết luận c)

Thật vậy,giả sử {dxiΛdxj} là trờng đối mục tiêu của trờng mục tiêu {Ei,Ej }

*){dxΛdx} là hệ sinh của Ω (E )

LÊy ω bÊt k× thuéc Ω2(En);X,Y lµ trêng bÊt k× trong En.

=

n

j i

j i j

i Y E E X

1 ,

) , (

j i j

i Y E E X

1 ,

) , (

j i j

i Y E E X

1 ,

) , (

j i j

i Y E E X

1 ,

) , (

i j i

j Y E E X

1 ,

) , ( ω

j j

i Y X Y A X

1 ,

)

(

1 ,

Y X X

dx Y dx Y

dx X dx

Y X Y

X dx dx

j n

1

∑

=ϕ

(ϕi∈ℑ(En);{dxi} lµ c¬ së cña Ω1(En) th× dθ = i

n i

n i

1

n i

n i

Λ

1 1

ϕϕϕ

dx dx

VËy n i

i

j j i

dx dx

=x2ydxΛdy+xyzdyΛdy+x2zdzΛdy+xy2dxΛdz+y2zdyΛdz+xyzdzΛdz

=x2ydxΛdy+xy2dxΛdz+(y2z-x2z)dyΛdz

+)θ1Λdϕ=(xydx+yzdy+xzdz)Λ(ydx+(x-z)dy-ydz)

=xy2dxΛdx+y2zdyΛdx+xyzdzΛdx+xy(x-z)dxΛdy+yz(x-z)dyΛdy+xz(x-z)dzΛ

dy-xy2dxΛdz-y2zdyΛdz-xyzdzΛdz

=[xy(x-z)-y2z]dxΛdy-(xy2+xyz)dxΛdz- [y2z+xz(x-z)]dyΛdz

=(x2y-xyz-y2z)dxΛdy-(xy2+xyz)dxΛdz- (y2z+x2z-xz)dyΛdz

VÝ dô 2: trong E3 ,cho θ =xdy+dz;ω=sinydx+zdz;µ=dx-coszdy

B©y giê ta tÝnh θΛω, ωΛµ ,µΛθ ,dθ,dω,dµ

=xsinydyΛdx+sinydzΛdx+xzdyΛdz+zdzΛdz

=-xsinydxΛdy-sinydxΛdz+xzdyΛdz

=sinydxΛdx+zdzΛdx-sinycoszdxΛdy-zcoszdzΛdy

=-sinycoszdxΛdy-zdxΛdz+zcoszdyΛdz

đợc gọi là ánh xạ tiếp xúc của ρ tại p.

⇔ 2′ =∑∂∂ 2 | p.vi

i

x

f v

………

′ = ∑ ∂∂ | p.vi

i

n n

x

f v

Từ đó suy ra [v’] = Jf | p.[v]

Ví dụ: Cho f: E2 E3

u,v)  (u.v,u2,v2)

)) ( ), , ( ( 1

1

1 f x t x t dt

Thật vậy , giả sử u,v ∈TpEn ,α ∈R.Ta có:

*) f∗|p (u+v) = Jf | p.[u+v] =Jf | p.[u] + Jf | p.[v]

+Nếu i=1,ω ∈Ω1(En) thì f*ω(X,Y) = ω (f∗X, f∗Y); ∀X,Y∈B (En)

đợc gọi là ánh xạ đối tiếp xúc của ánh xạ f

Từ đó suy ra : f∗X = ( yX1+xX2)E1+ (zX2+yX3)E2+( zX1 +xX3)E3

Tơng tự ta có : f∗Y =( yY1+xY2)E1+ (zY2+yY3)E2+( zY1 +xY3)E3

+ f*ω (X,Y) =ω (f∗X, f∗Y)= (-x2dx∧dy-y2 dy∧dz+z2dx∧dz)( f∗X, f∗Y)

= -x2dx∧dy(f∗X, f∗Y)-y2 dy∧dz (f∗X,f∗Y)+z2dx∧dz (f∗X, f∗Y) =-x2[dx(f∗X).dy(f∗Y)-dx(f∗Y) dy(f∗X)] -y2[dy(f∗X) dz(f∗Y)

-dy(f∗Y) dz(f∗X) ]+z2[dx(f∗X) dz(f∗Y)- dx(f∗Y) dz(f∗X)]

=-x2[(yX1+xX2)(zY2+yY3)-(yY1+xY2)(zX2+yX3)]

-y2[(zX2+yX3)(zY1+xY3)-(zX1+xX3)(zY2+yY3)]+z2[(yX1+xX2)(zY1+xY3)

ω bÊt k× thuéc Ω2(En), ∀X,Y∈B (En) ta cã :

(gof)* ω (X,Y) = ω [(gof)∗(X) ,(gof)∗(Y)]

i dx f

i dx f

∑

= 1

)) =d(f*(f1 dx1+f* dx2+……+f* dxn))

∑=

1

))(V× f* lµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh ) =(f*d)( θ);∀θ∈Ω1(En)

Trong mục này ,ta xét U là một tập mở trong En và {U1,U2,… ,Un}* là mộtmục tiêu mới.Khi đó ta có :

2 1

1 2

2 = + + + ………

n n

n

n C E C E C E

U = + 2 2 + +

1 1

1

n i

E C

j

j

j i

=(Trong đó Ci jlà các hàm số vì nó là toạ độ của trờng vectơ từ U → R)

1 2

………

n n

n n

j

j i i

C E C

1 1

1 1

1 1

1 = ω +ω + +ω

U2 = -sinϕ.E1+cosϕ.E2

Trong đó ϕ là một hàm số :E2 → Rvà ϕ là một hàm số khả vi Bây giờ ta tìm dạng liên thông của E2 đối với {U1,U2}

X x

X

∂

∂ +

∂

∂ +

∂

∂ +

∂

=(-ϕx’.sinϕ.X1-ϕy’.sinϕ.X2)E1+(ϕx’.cosϕ.X1+ϕy’.cosϕ.X2)E2

=ϕx’.X1(-sinϕ.E1+cosϕ.E2)+ϕy’.X2(-sinϕ.E1+cosϕ.E2)

= (ϕx’.X1+ϕy’.X2).U2=X[ϕ].U2 =dϕ(X).U2;∀X

=X[-sinϕ].E1+(-sinϕ).DX E1+X[cosϕ].E2+cosϕ.DX E2

=X[-sinϕ].E1+X[cosϕ].E2

Giả sử X(X1,X2),ta có:

DXU2=( 1. ( sin ) 2. ( sin )) 1 ( 1. cos 2. cos )E2

y

X x X E y

X x

X

∂

∂ +

∂

∂ +

∂

−

∂ +

∂

−

=-(ϕx’.cosϕ.X1-ϕy’.cosϕ.X2)E1+(-ϕx’.sinϕ.X1-ϕy’.sinϕ.X2)E2

= -ϕx’.X1(cosϕ.E1+sinϕ.E2)+ϕy’.X2(cosϕ.E1+sinϕ.E2)

= -(ϕx’.X1+ϕy’.X2).U1=X[ϕ].U1=dϕ(X).U1;∀X

3.12 Mệnh đề:Giả sử {Ui}1=1n là một trờngmụctiêu trực chuẩn n

j i

Thật vậy,ta có Ui.Uj=δij= 0 nếu i≠j ; (Vì {Ui} trực chuẩn )

Nên từ công thức DXY Z+Y.D X Z =X [YZ] (Mệnh đề 1.13e)),ta suy ra

k j j

j

Y d

1 1

].

) (

] ).

(

) (

j

dY

1 1

; )].

( )

j

Y d

1 1

].

) (

Ta kÝ hiÖu 1

1

C 2 1

C … C1n 1

2

C 2 2

i j

n j

j i

C D

i j

n j

j i

= ( n j)

j

j k

k i n k

E C

E C

ω

∑

= 1 ,

(2)

Tõ (1) vµ (2) suy ra ∑

=

n j

j

i Ej dC

1

k

k i n j k

E C

ω

∑

= 1 ,

Từ đó ta có : ∑

=

n j

j i

C

ω

∑

= 1 ,

k j

k

1

1 ) (

Khi đó ma trận của dạng liên thông trong E2\{0} là :

cosϕ sinϕ -sinϕdϕ cosϕdϕ 0 dϕ

ω=C-1.dC= sinϕ cosϕ -cosϕdϕ -sinϕdϕ = -dϕ 0

l

k l

=



θωθ

1

n l

k

k n

m

l m

l

ωThật vậy,gọi {E1,E2,… ,En} là trờng mục tiêu song song

1

n j

i j

n j

j i

i C E i n C E

U =∑ ∀ = ∈ ℑ

=

.Gọi {θ1,θ2,… ,θn} là trờng đối mục tiêu của trờng mục tiêu {U1,U2,… ,Un}

1 1

j k n j

j i j n j

j i

k i

k

j dx C d

1

1) )(

j

k

j dx C

j

k

j dx C d

k j

j

j i

k j j

1 1

j

j i

k j n

i

j k i n

j

dx C

dC C

k

j C C

d

1

1 ) ] 0 (

1

1 1

k i n

j

j i

l i

j i

k j j

k i n

j

dx C

C C

1 , ,

1 1

k j

1 ) (

n l

i

k j

l

k l

=



θωθ

k

k i

j k

j

1

1 ) (

j k

k i

j

C d

m

n l

l k

j l n

l

k i

j k n

k

dC C

1 1

m l k

i l

1

1 ) ( )

i n

m i

s l

1 ) (

δ

i n

k

k n

m

l m

l

=

ωωω

3.18 Mệnh đề: Cho U=[U1,U2,… ,Un],U~ =[U~1,U~2, ,U~n]là trờng mục tiêutrong En θ1 θ~1

θ2 θ~2

θ = , θ~ =

θn θ~n

là các trờng đối mục tiêu tơng ứng của U,U~trong En với U~đợc xác định bởi U~

=U.C trong đó C=[Cij]n ì n là ma trận chuyển từ U sang U~ và C∈ℑ(En), ( j)

3.19 Bổ đề: Giả sử {U1,U2,… ,Un} là một trờng mục tiêu tiếp xúc trong En; {θ1

,θ2,… ,θn}là trờng đối mục tiêu của {U1,U2,… ,Un} thì có một và chỉ một

ω -và

j n

ị

i j i

dθ = −∑ω Λθ

= 1

3.20 Định lí : Giả sử f:En →Em là ánh xạ đẳng cự ,f biến trờng mục tiêu trực

i i

U~ = }=1

Thật vậy,gọi trờng đối mục tiêu của {Ui}là {θ i} và trờng đối mục tiêu của {U~i}

2

~

ω Λ~ 2

θ ) =-f*( 1

i

ω~ = i j

3.21 Chú ý : Khi n=3 , 3

1 ,

}{ i i j=j

tiêu tiếp xúc trực chuẩn (U1,U2) hay trong trờng mục tiêu trực chuẩn (U1,U2,n)

2 1

=Λ

Kết luận

Trong thời gian hoàn thành khoá luận chúng tôi đã trình bày đợc các sựkiện sau đây:

1.Chứng minh chi tiết một số mệnh đề của đạo hàm theo vectơ tiếp xúc và

đạo hàm theo trờng vectơ,chẳng hạn mệnh đề 1.6,mệnh đề 1.7,mệnh đề1.8,mệnh đề 1.9,mệnh đề 1.13a),mệnh đề 1.14

2.Chứng minh mệnh đề 2.5c) của dạng vi phân bậc một,mệnh đề 2.8 của viphân ngoài của hàm số ,định lí 2.14c) của hai dạng vi phân ,mệnh đề 2.16 của viphân ngoài của một dạng vi phân

3.Chứng minh chi tiết mệnh đề 3.3 ,mệnh đề 3.4 của ánh xạ tiếp xúc;mệnh

đề 3.7,mệnh đề 3.8,mệnh đề 3.9,mệnh đề 3.10 của ánh xạ đối tiếp xúc,mệnh đề3.12 ,mệnh đề 3.14,mệnh đề 3.17,mệnh đề 3.18 của dạng liên thông

4.Chỉ ra cách chứng minh tờng minh định lí 3.20 nhờ vào bổ đề 3.19

Với đề tài này tác giả hi vọng có điều kiện để nghiên cứu lí thuyết cácdạng vi phân trên đa tạp Riman

tài liệu tham khảo

chuyên nghiệp ,Hà Nội 1970

[3] Nguyễn Thúc Hào :Hình học vi phân (T 1 ,T 2 ),NXB GD 1968

[4].Đoàn Quỳnh –Trần Đình Viện –Trơng Đức Hinh-Nguyễn Hữu Quang:

Bài tập hình học vi phân,NXB GD 1993.