Về trường vectơ và các dạng vi phân trong en

Trong khoá luận này, công việc chủ yếu của chúng tôi là trình bày một cách có hệ thống các khái niệm cơ bản, và chứng minh chi tiết một số mệnh đề về đạo hàm theo trờng vectơ và các dạng

Trờng đại học vinh

Khoa toán -

2006 -Mục lục

Trang

Lời nói đầu 2

Đ1: Đạo hàm theo trờng vectơ trong E n 4

I Trờng vectơ tiếp xúc 4

II Đạo hàm của hàm số theo một trờng vectơ 7

III Đạo hàm của trờng vectơ theo một trờng vectơ 9

IV Tích Lie của hai trờng vectơ 12

Đ2: Các dạng vi phân trong E n 14

I Dạng vi phân bậc 1 14

II Dạng vi phân bậc 2 18

III Tích ngoài của 1 - dạng vi phân 20

IV Vi phân ngoài 22

Đ3: ánh xạ tiếp xúc và đối tiếp xúc trong E n 26

I ánh xạ tiếp xúc 26

II ánh xạ đối tiếp xúc 30

III Tích phân của 1 - dạng vi phân dọc đờng cong Γ 33

Kết luận 36

Tài liệu tham khảo 37

Lời nói đầu

Trờng vectơ và các dạng vi phân trong En có nhiều ứng dụng trong hình học, giải tích đặc biệt là trong ngành vật lý Do đó, vấn đề này đã đợc trình bày trong nhiều tài liệu hình học (xem [3], [6], [7])

Trong khoá luận này, công việc chủ yếu của chúng tôi là trình bày một cách

có hệ thống các khái niệm cơ bản, và chứng minh chi tiết một số mệnh đề về đạo hàm theo trờng vectơ và các dạng vi phân trong E n

Khoá luận đợc chia làm 3 mục:

Đ1 Đạo hàm theo trờng vectơ trong E n

Trong mục này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm cơ bản của trờng vectơ tiếp xúc, trờng mục tiêu, trờng mục tiêu song song Từ đó, chúng tôi trình bày trờng vectơ khả vi, phép toán về trờng vectơ khả vi Ngoài ra, chúng tôi còn trình bày định nghĩa đạo hàm của hàm số theo một trờng vectơ và đạo hàm của trờng vectơ theo một trờng vectơ Sau đó, chúng tôi trình bày một số mệnh đề của đạo hàm theo trờng vectơ trong E n

Đ2 Các dạng vi phân trong En

Trong mục này, chúng tôi trình bày định nghĩa của dạng vi phân bậc 1, dạng

vi phân bậc 2 và đa ra ví dụ minh hoạ, chứng minh tính chất của dạng vi phân bậc

1, và dạng vi phân bậc 2 Đồng thời, chúng tôi cũng trình bày tích ngoài của các 1 - dạng vi phân và vi phân ngoài của 1 - dạng vi phân

Đ3 ánh xạ tiếp xúc và đối tiếp xúc trong E n

Trong mục này, chúng tôi trình bày định nghĩa và một số tính chất của ánh xạ tiếp xúc và ánh xạ đối tiếp xúc trong E n Đồng thời, chúng tôi cũng trình bày tích phân của 1 - dạng vi phân dọc đờng cong Γ

Khoá luận này đợc hoàn thành tại Khoa Toán - Trờng Đại học Vinh

Nhân dịp hoàn thành khoá luận, chúng tôi xin gửi đến thầy giáo PGS.TS Nguyễn Hữu Quang, lời cảm ơn chân thành nhất vì sự hớng dẫn của thầy giáo trong suốt quá trình hoàn thành khoá luận Đồng thời, chúng tôi cũng xin chân thành cảm

ơn các thầy giáo, cô giáo trong Khoa Toán và bạn bè đã giúp đỡ chúng tôi trong quá trình học tập và hoàn thành khoá luận này

Vinh, tháng 5 năm 2006

Tác giả

Đ1: Đạo hàm theo trờng vectơ trong E N

Trong mục này, chúng tôi trình bày những khái niệm cơ bản của trờng vectơ tiếp xúc trong E n Đồng thời chúng tôi trình bày một số tính chất của đạo hàm của hàm số theo trờng vectơ và đạo hàm của trờng vectơ theo trờng vectơ trong E n

Cũng trong mục này, ta luôn ký hiệu E n là không gian ơclít n chiều với nền

→

n

E và {0;e1,e2, e n}là mục tiêu trực chuẩn trong E n

I Trờng vectơ tiếp xúc trong E n.

Nh ta đã biết: Vectơ tiếp xúc với E n tại p (p∈E n ) là một vectơ α∈En có gốc

là p Ta viết (p,α =) α p

1.1 Định nghĩa: Trờng véctơ tiếp xúc trong E n là một ánh xạ:

p

n p E p n

X p

E T E

+ Khi X là ánh xạ hằng thì trờng vectơ X gọi là trờng vectơ song song

+ Giả sử {X 1 , X 2 , ,X… n } (*) là n – trờng vectơ trong E n thoả mãn

( ) ( ) ( )

{X1 p ,X2 p , ,X n p } là cơ sở của T p E n ; ∀p ∈ E n Ta nói (*) là trờng mục tiêu

+ Nếu mọi trờng vectơ X i của trờng mục tiêu { }X i trên E n là song song thì ta

nói trờng mục tiêu đó là trờng mục tiêu song song

+ Cơ sở { }e của i Enxác định một trờng mục tiêu song song { }E i trên E n,

( ) i

i p e

E = với ∀ p∈E n (i=1,n) {E i } đợc gọi là mục tiêu tự nhiên trong E n

+ Giả sử {E1,E2, ,E n} là trờng mục tiêu tự nhiên và X là trờng vectơ bất kỳ,

ta có sự biểu diễn:

n

n E X E

X E X

X = 1 1 + 2 2 + + ; với Xi là các hàm số E n → R

Khi đó ta nói X(X1,X2, ,X n) và X đợc gọi là khả vi khi và chỉ khi X i khả vi với ∀i=1,n (Tức X i có các đạo hàm riêng và các đạo hàm riêng đó liên tục)

1.3 Ví dụ

Trong E3 =Oxyz; xét trờng vectơ 2 3

2 1

R E

X

xz z

y x

R E

X

y x z y x

R E

X

2

3 3

3 2

2

3 1

,,:

,,:

,,:

y x z

X g

z y x y

X g

2),,(:

0),,(:

1 3

1 2

p ; ∀ p ∈ E n

1.5 Mệnh đề: B (En ) cùng với hai phép toán (1) và (3) lập thành một không

gian vectơ thực

Thật vậy, ta dễ dàng chứng minh đợc hai phép toán (1) và (3) thoả mãn 8 tiên

đề của không gian vectơ Do đó ở đây chỉ thử 3 tiên đề cơ bản, đó là:

Thứ 5 tiên đề còn lại ta cũng thấy nó thoã mãn

Vậy: B(E n ) cùng với hai phép toán (1) và (3) lập thành một không gian

vectơ thực

1.6 Mệnh đề: B(E n ) cùng với hai phép toán (1) và (2) lập thành một

modun

Đối với mệnh đề này, ta cũng dễ dàng chứng minh đợc bằng cách thứ 8 tiên

đề về modun

II Đạo hàm của hàm số theo một trờng vectơ.

1.7 Định nghĩa: Giả sử X ∈ B (En); ϕ ∈ F (En) Đạo hàm của hàm số ϕ

theo trờng vectơ X là một hàm số đợc ký hiệu là X[ ]ϕ và X[ ]ϕ đợc xác định bởi:

X[ ]ϕ : E n →R

p  X p[ ]ϕ ; ∀p∈E n

Trong đó X[ ]ϕ là đạo hàm của ϕ theo hớng X p

1.8 Định lý: Giả sử X có toạ độ Xi, khi đó ta có:

1

ϕ

Chứng minh: Ta có: ϕ:E n →R

), ,,(), ,,(x1 x2 x n  ϕ x1 x2 x n

Và X(X i)=(X1,X2, ,X n)

⇒ X p(X1(p1), ,X n(p n))

p n

n p

p

p

x p X x

p X x

p X X

∂

∂+

+

∂

∂+

i

x p X

1

;)

∂

∂+

[ ]ψ (X[ ]ψ )

X =ϕ

()3[ ]ϕ =ϕX[ ]+ X[ ]ϕ

)4

Chøng minh: 1 Gi¶ sö X(X 1 , X 2 , , X… n ) ∈ B(E n ); Y (Y 1 , Y 2 , , Y… n ) ∈ B(E n )

Ta cã: [ ]

i

n

i X i Y i x Y

X

∂

ϕ

∂+

=ϕ

=

.)(

i

x Y i

x

X

1 = X[ ] [ ]ϕ +Y ϕ

∂

=+

i

x

X x

3 Giả sử X(X 1 , X 2 , , X… n ) ∈B(E n )

Ta có: [ ] ∑

= ∂

∂ϕ

∂

∂ϕ

∂

ϕ

∂ϕ

i i i i

n

i 1 X i x 1 X x

ψ

[ ]+ [ ]ϕϕ

III Đạo hàm của trờng vectơ theo trờng vectơ.

Nh ta đã biết, (xem [6]) đạo hàm của trờng vectơ X theo một vectơ tiếp xúc

1.11 Định nghĩa: Giả sử X, Y ∈ B(E n ) Đạo hàm của trờng Y theo trờng

vectơ X là một trờng vectơ đợc ký hiệu là D X Y và D X Y xác định bởi:

Y D p Y D p

p X

X ( )=

 ; ∀p ∈ E n

Trong đó: D X p Ylà đạo hàm của trờng Y theo X p

1.12 Ví dụ: Trong E2; cho X(x,xy); Y(y,xy) và p(1,2)

Bây giờ ta tính D X Y tại p

Do p (1,2) ⇒ X p = ( 1 , 2 )

Mặt khác, theo định nghĩa ta có:

.0

|)(

)

( = = Y p+t X t =

dt

d Y D

dt d

.0

|)242,22(

.0

|)22,1(

+

=

=+

+

=

t t

t t dt

d

t t t

Y dt d

)

4,2(

.0

|)44,2(

=

=+

x

Y Y

D

1 1

i X

p x

Y p

X p x

Y Y

D Y

i i i

x

Y X

x

Y Y

D

1 1

Chứng minh: 1 Giả sử Y(Y 1 , Y 2 , ,Y n ), Z(Z 1 , Z 2 , , Z n ) ∈B(E n ).

Suy ra: Y + Z = (Y 1 + Z 1 , ,Y n + Z n )

n n i

i X

x

Z Y X

x

Z Y Z

Y D

1

, ,)

()

∂

∂

∂+

i i

X x

Z Y

X x

Z Y

X x

Z X

x

Z X

x

Y X

x Y

Y X

n

i i i n n

i i i i

n

i i

n i

1 1

1 1

1 1

2 Gi¶ sö X (X 1 , X 2 , , X… n ) ∈B(E n ); Y( Y 1 , Y 2 , , Y… n ) ∈B(E n )

x

Y Y

D

1 1

1ϕ , , ϕ

ϕ

., ,

1

Y D

X x

Y X

x Y

X

n i

n

i i i

n i

n

n n

X x

Z Z

D

1 1

n

i i i

n i

i n n

i

n

i i i

i i

Y x

Z X

x

Z Y

x

Z X

i i i

n

i i i n n

i i i

Y x

Z Y

x

Z X

x

Z X

x

Z

1 1

1 1

1

Z D Z

n

n i

i

X x

Y X

n i

n i

n i

n

i i

X x

Y X

Y x

X x

Y X

n

i i i

n i

i

n

X x

Y X

x

Y Y

Y Y X

1

, ,)

, ,,

x

Y X Z

Y X Z

x

Y X Z

1 ,

)(

∑

=  ∂ 

∂+

i i

X Y x

Y X Z

1 ,

∂+

i j

X Y Z x

Y Z X

n i

n

i j i

x

X Z Y x

Y Z

X

= X.D Z Y +Y.D Z X

IV Tích Lie của hai trờng vectơ.

1.15 Định nghĩa: Giả sử X, Y là hai trờng vectơ Khi đó tích Lie của hai

tr-ờng vectơ X và Y là một trờng vectơ đợc ký hiệu [X,Y] đợc xác định bởi:

[X,Y] = D X Y D– Y X.

* Biểu thức tọa độ của tích Lie

Giả sử X(X 1 , X 2 , , X… n ); Y(Y 1 , Y 2 , ,Y… n) ∈B(E n ).

Ta có: [X,Y] = D X Y D– Y X.

][]

n j

x

Y X

j

x

X Y x

Y X Y

1 ,

* Từ biểu thức tọa độ của tích Lie, ta có mệnh đề sau:

1.16 Mệnh đề: a) [ , ] có tính chất song tuyến tính

b) [X,Y] [f] =X[Y(f)] Y[X(f)]; – ∀f ∈F (E n )

c) [X,Y] = -[Y,X]

d) [[X,Y], Z] + [[YZ],X] + [[Z,X],Y] = 0.

Đ2: các dạng vi phân trong en

Trong mục này, chúng tôi trình bày các khái niệm cơ bản và một số tính chất của dạng vi phân bậc 1, dạng vi phân bậc 2 trong E n Và đồng thời chúng tôi trình bày tích ngoài của một dạng vi phân, vi phân ngoài

P

E T

θ đợc gọi là khả vi nếu và chỉ nếu θ(X) khả vi; ∀X ∈B (E n ).

Từ nay trở đi ta chỉ xét với những θ khả vi

Ký hiệu: Ω1 (E n ) = {θ|θ là 1 - dạng vi phân khả vi trên E n }

2.2 Ví dụ: Trong E 2 xét θ:p θp; sao cho θp : T p E 2 → R

x O

1 Ω1 (E n ) cùng với hai phép toán (a) và (b) lập thành một modun

2 Ω1 (E n ) cùng với hai phép toán (a) và (c) lập thành một không gian vectơ

Chứng minh: Trên Ω1 (E n ) chúng ta dễ dàng kiểm tra đợc hai phép toán (a)

và (b) thoả mãn các tiên đề về modun và Ω1 (E n ) cùng với hai phép toán (a) và (c)

thoả mãn các tiên đề về không gian vectơ

2.5 Mệnh đề: Giả sử X, Y là các trờng vectơ trong E n , ϕ∈F (E n )

= θ (X) (p) + θ(Y) (p) = (θ (X) + θ (Y)) (p); ∀p ∈ E n

Suy ra: θ (X + Y) = θ (X) + θ (Y).

Suy ra: θ (ϕX) = ϕ.θ(X)

2.6 Cơ sở của dạng vi phân bậc một

. Giả sử { }n

i i

U =1 là trờng mục tiêu trong E n , X là một trờng vectơ bất kỳ trong

E n, thì mọi một dạng vi phân trong E n hoàn toàn xác định bởi các hàm số θ(U i ) vì

1 1

E là trờng mục tiêu tự nhiên

x i: E n →R là hàm toạ độ trong E n thì dx i ∈Ω1 (E n ) đợc xác định bởi:

i E

dx δ nếu i = j nếu i ≠J ; ∀I , J = n1,

Khi đó { }n

i i

dx =1 là trờng đối mục tiêu của

2.7 Định lý: Số chiều của Modun Ω1 (E n ) bằng n.

Chứng minh: Thật vậy, để chứng minh số chiều của Modun Ω1 (E n ) bằng n,

ta cần chứng minh { }n

i i

dx =1 là cơ sở của Modun Ω1 (E n )

*) { }n

i i

dx =1 là hệ độc lập tuyến tính (1)

Giả sử 0

1

=ϕ

E E

dx

j

j j

n

i i i

,1

;0

00

1

=

∀

=ϕ

i i i n

n E X E X

E X E X

X

1 2

2 1

X X

1 1

θθ

X X

1 1

1

θ

Tõ (1) vµ (2) ta suy ra: { }n

i i

x z z x

z Y

X

0

1,0,1

2 2 1

2

,,

E x xzE E

xz z

x xz xz z

2

2ydx yz dy (z xz)E xzE x E x

)(

)()

(

xyz xz

z y x

E xz dy yz E xz z ydx x

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂+

z x

z x z

x z y

x x

x x z

z y x

x Y

D X 0 1 0 0, 1 , 1

=(0,x, z)

∂+

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂+

z x x

z z

z y

x x z

x z y

x x x

x X

Trong E 2 = 0xy, ta xét các trờng vectơ X (X 1 , X 2 ); Y (Y 1 , Y 2 )

Khi đó ( )

2 1

2 1

,

Y Y

X X Y

' 2 2

' 1 1

,'

Y Y

X X X X Y X

=+

ω

(X Y) (X Y)

Y Y

X X Y Y

X X

,',

2 1

' 2

' 1 2

1

2 1

2 1 2

1

2 1

,

Y Y

X X Y

Y

X X

⇒ω là tuyến tính đối với biến thứ nhất

Hoàn toàn tơng tự ta cũng chứng minh đợc:

*) ω (X, Y + Y ) = ’ ω (X, Y) + ω (X, Y )’

*) ω (X, λY) = λω (X, Y)

⇒ω tuyến tính đối với biến thứ hai

Vậy: ω là ánh xạ song tuyến tính

ii) ω phản xứng

Xét ( ) ( 1 2 1 2)

2 1

2 1

X X

Y Y X

X X

Y X Y X

,

2 1

2 1

1 2 2 1

1) Ω2 (E n ) cùng với hai phép toán (a) và (b) lập thành một modun

2) Ω2 (E n ) cùng với hai phép toán (a) và (c) lập thành một không gian

vectơ thực

Chứng minh: Ta dễ dàng kiểm tra đợc Ω2 (E n ) cùng với hai phép toán xác

định ở (a) và (b) thoả mãn các tiên đề về modun và Ω2 (E n ) cùng với hai phép toán

thoả mãn các tiên đề về không gian vectơ, nên Ω2 (E n ) là không gian vectơ thực và

ω

iii tích ngoài của một dạng vi phân

2.13 Định nghĩa: Giả sử θ1 , θ2∈Ω1 (E n ); X, Y ∈B(E n ) Tích ngoài của θ1 , θ

Chøng minh: ThËt vËy: dx i ∧ dx j (X, Y) = dx i (X) dx j (Y) - dx i (Y) dx j (X)

=

∧ϕ

0, ; víi 1 < k < 1 < n.

dx E dx

*) Ta tiÕp tôc chøng minh {dx i ∧dx j}1≤i<j≤nlµ hÖ sinh

LÊy ω bÊt kú thuéc Ω1 (E n ); X, Y lµ c¸c trêng vect¬ trong E n

i E Y Y E X

n

i j j i

i E Y E X

Y X

1 ,

1 ,

X dx

dz xzdz dz

dx z dy dz y dy yzdy dx

dy x dx xydx

dz xzdz dx

z dy dz y yzdy dx

dy x xydx

dz dxz dy z dy dx y dx

dx d

d

∧+

∧+

∧

=

∧+

∧+

∧+

∧+

∧+

∧

=

∧+

+

∧+

+

∧+

=

∧+

∧+

∧

=

∧ϕ

=

2 2

2

2 2

2

2 2

2

2 2

2

3 1

22

2

22

2

θ

2.18 NhËn xÐt: Gi¶ sö { }n

i i

dx =1 lµ c¬ së cña Ω1 (E n ) th×:

i) dx i ∧ dx i (X,Y) = 0

ii)dx i ∧ dx j = -dx j ∧ dx i

iii) dx ∧ dx (E ,E ) = 1

2 1

dx dx

d d

1

1 1

2 1

µψλ

ψµλ

µθλθ

n

dx d

=

∧ϕϕ+

∧ϕϕ

=

∧ϕϕ+ϕϕ

=

∧ϕϕ

n

i i

dx d

dx d

dx d

dx d

d dx

d

dx d

dx d

dx dx

x dx

d

d

j i n

i i

j i

n

i i j

,1

;

X

d

i j j i n

i i

j i n

i i

,1(*);

,,

i i

n

j i

n j x

Y Y

x X x

Y X

1

1

,1

i

x

X X

x Y X

Y

1

,1

=

−ϕ

=

−ϕ

j i

j j

j j

x

X Y x

Y X

X Y Y X

x X Y x

Y X

1 1

)()

(

x X Y

X X

Y Y

X

1 1

,

θθ

Tõ (*) vµ (**) ta suy ra: dθ(X, Y) = X [θ (Y)] - Y [θ (X)] - θ [X, Y] .

Đ3: ánh xạ tiếp xúc và ánh xạ đối tiếp xúc trong e n

Trong mục này, chúng tôi trình bày định nghĩa và một số tính chất của ánh xạ tiếp xúc và ánh xạ đối tiếp xúc của một ánh xạ khả vi f: E m→ E n

Đồng thời, chúng tôi cũng trình bày định nghĩa và tính chất của tích phân 1 - dạng vi phân dọc đờng cong Γ trong E n

+ Nếu f * là toàn ánh thì f đợc gọi là ngập

+ Nếu f * là song ánh thì f đợc gọi là trải

04

2,31

0)

+

=

=+

t t

dt

d

t t t

f dt

d

t t f dt

'2

'1'

,.2

'1

n v

v

v v m v

f x f

x

f x f J

m m

m p

)(

)(:

0 '

0

' 2 2

0

' 1 1

t x v

t x v

t x v v

m m

v ’lµ vect¬ tiÕp xóc víi f oρ(t) = f(x 1 (t), x 2 (t), ,x… m (t))

=(f 1 (x 1 (t), x 2 (t), ,x… m (t)), ,(f… m (x 1 (t), ,x… m (t)).

0)(), ,(

:'

1 '

1 2

' 2

1 1

' 1

t t x t x f dt

d v

t t x t x f dt

d v

t t x t x f dt

d v

v

m m

n

m m

i i

m n

i m

i i

i m

i i

m

i i i

m n

f v

v p x

f v

v p x

f v

t x x

f v

t x x

f v

t x x

f v

0

0

0

1 '

1

2 '

2

1

1 '

1

1

' '

1

' 2 '

2

1

' 1 '

40

02

20

02

p u v

v

u

J f p

Ta suy ra: [v ] = J’ f|p [v]

(4,12,7)

3

212

40

02

)(

*

*

*

g v f u

f

f g v f

g

u

f g v u

g v u

f

p p p

p

p p

p p

p p

p

o o

o

βα

βα

βα

⇒f *|p là ánh xạ tuyến tính

3.8 Mệnh đề: Giả sử f: E m→ E n ; g: E n→ E p là các ánh xạ khả vi Khi đó: (g o f) *p = g *f(p) o f *p ; ∀p ∈ E n

Vậy: ((g o f) *p (v p )) (h) = ((g *f(p) o f *p (v p )) (h); ∀ vp∈ T p E m , ∀h ∈F (E n )

Do đó: (g o f) *p = g *f(p) o f *p

ii ánh xạ đối tiếp xúc.

3.9 Định nghĩa: Giả sử f: E m→ E n là ánh xạ khả vi, thì với mỗi i = 0, 1, 2 ta

xét ánh xạ f * : Ωi (E n ) →Ω i (E m ) (i = 0, 1, 2) đợc xác định bởi:

i) Nếu i = 0; ϕ∈Ω0 (E n ) thì f *ϕ = ϕo f

ii) Nếu i = 1; θ∈Ω1 (E n ) thì f *θ(X) =θ(f * X); ∀X ∈B (E m )

iii) Nếu i = 2;ω∈ Ω2 (E n ) thì f *ω (X,Y) =ω(f * X, f * Y); ∀X, Y ∈B (E m )

Khi đó f * đợc gọi là ánh xạ đối tiếp xúc

3.10 Ví dụ: a) Cho f: E 2→ E 3

(u,v)  (u, v, u+v)

ϕ: E 3 → R (x, y, z)  x + y + z Tính f *ϕ.

01

X

X u v

2 1

2 1

3 2 1

2 2 1 1

uX vX

uv vX uX

uX vX

z yX xX

E uX vX E

X E X zdz ydy xdx

++

+

=

++

+

=

++

++

+

=

=(u+uv2)du( )X +(v+u2v)dv( )X ;∀X ∈B (E 2 )

.2

2

22

)(

)(

.)(

)(

)(

)(

.)(

)(

)(

)(

,)(

)(

11

11,1

1

1 2 2

1

2 1 2 1 2

1 2 1

2 1 2 1 2

1 2

1

2 2 1 1

2 1 2

2 1 1 2 1

2 2 1 1 2 1 2

2 1 1

2 1

2 2 1 1 2 1 2 2 1 1

2 1

2

1 2

1

dv du v u f

Y X dv du

v

u

Y X dv du

x

Y du X dv Y dv X

du

x

Y X Y

X

x

Y X Y

X

x

Y Y X X Y

Y X

X

x

X X Y Y x Y Y X

X

x

E X X E X X dy E Y Y E Y Y xdx

E Y Y E Y Y dy E X X E X X

xdx

E Y Y E Y Y E X X E X X dy

xdx

Y

Y X

X

∧+

−

=

⇒

∧+

=

−+

−

−+

=

−+

+

−++

−

−++

−+

+

=

−++

−+

)(

f αϕ+βψ = αϕ +βψ o

ψβϕα

n

E

Ω

∈ω

ω ∀α β∈ R, ∀ X,Y ∈B(E n )

Ta cã: f *(αω1 +βω2)(X,Y) =(αω1 +βω2)(f*X, f*Y)

=αω1(f*X, f*Y)+βω2(f*X, f*Y) =α f *ω1(X,Y)+βf *ω2(X,Y) =(α f *ω1 +βf *ω2)(X,Y); ∀ X,Y ∈B(E m ).

⇒ (g o f)*ω =(f*o g*)ω; ∀ω ∈Ω2(Es)

Do đó: (g o f) * = f *o g *

3.13 Mệnh đề: Giả sử f: E m→ E n là ánh xạ khả vi; , 1( )

2 1

n

E

Ω

∈θ

( ) , )(