Về trường vectơ và các dạng vi phân trong en

Trờng đại học vinh Khoa toán Đỗ thị tuyết Về trờng vectơ dạng vi phân en Khoá luận tốt nghiệp đại học ngành cử nhân khoa học Toán -Vinh, 2006 Mục lục Trang Lời nói đầu .2 Đ1: Đạo hàm theo trờng vectơ En I Trờng vectơ tiếp xúc II Đạo hàm hàm số theo trờng vectơ III Đạo hàm trờng vectơ theo trờng vectơ IV Tích Lie hai trờng vectơ 12 Đ2: Các dạng vi phân En 14 I Dạng vi phân bậc 14 II Dạng vi phân bậc 18 III Tích - dạng vi phân .20 IV Vi phân 22 Đ3: ánh xạ tiếp xúc đối tiếp xúc En .26 I ánh xạ tiếp xúc 26 II ánh xạ đối tiếp xúc 30 III Tích phân - dạng vi phân dọc đờng cong 33 Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 37 Lời nói đầu Trờng vectơ dạng vi phân En có nhiều ứng dụng hình học, giải tích đặc biệt ngành vật lý Do đó, vấn đề đợc trình bày nhiều tài liệu hình học (xem [3], [6], [7]) Trong khoá luận này, công việc chủ yếu trình bày cách có hệ thống khái niệm bản, chứng minh chi tiết số mệnh đề đạo hàm theo trờng vectơ dạng vi phân En Khoá luận đợc chia làm mục: Đ1 Đạo hàm theo trờng vectơ En Trong mục này, nhắc lại số khái niệm trờng vectơ tiếp xúc, trờng mục tiêu, trờng mục tiêu song song Từ đó, trình bày trờng vectơ khả vi, phép toán trờng vectơ khả vi Ngoài ra, trình bày định nghĩa đạo hàm hàm số theo trờng vectơ đạo hàm trờng vectơ theo trờng vectơ Sau đó, trình bày số mệnh đề đạo hàm theo trờng vectơ En Đ2 Các dạng vi phân En Trong mục này, trình bày định nghĩa dạng vi phân bậc 1, dạng vi phân bậc đa ví dụ minh hoạ, chứng minh tính chất dạng vi phân bậc 1, dạng vi phân bậc Đồng thời, trình bày tích dạng vi phân vi phân - dạng vi phân Đ3 ánh xạ tiếp xúc đối tiếp xúc En Trong mục này, trình bày định nghĩa số tính chất ánh xạ tiếp xúc ánh xạ đối tiếp xúc En Đồng thời, trình bày tích phân - dạng vi phân dọc đờng cong Khoá luận đợc hoàn thành Khoa Toán - Trờng Đại học Vinh Nhân dịp hoàn thành khoá luận, xin gửi đến thầy giáo PGS.TS Nguyễn Hữu Quang, lời cảm ơn chân thành hớng dẫn thầy giáo suốt trình hoàn thành khoá luận Đồng thời, xin chân thành cảm ơn thầy giáo, cô giáo Khoa Toán bạn bè giúp đỡ trình học tập hoàn thành khoá luận Vinh, tháng năm 2006 Tác giả Đ1: Đạo hàm theo trờng vectơ EN Trong mục này, trình bày khái niệm trờng vectơ tiếp xúc En Đồng thời trình bày số tính chất đạo hàm hàm số theo trờng vectơ đạo hàm trờng vectơ theo trờng vectơ En Cũng mục này, ta ký hiệu En không gian ơclít n chiều với { } n E n 0; e1 , e , e n mục tiêu trực chuẩn E I Trờng vectơ tiếp xúc En Nh ta biết: Vectơ tiếp xúc với En p (pEn) vectơ E n có gốc p Ta viết ( p, ) = p 1.1 Định nghĩa: Trờng véctơ tiếp xúc En ánh xạ: X : E n Tp E n pE n p Xp n Trong đó: T p E không gian vectơ tiếp xúc với En p 1.2 Chú ý: + Khi X ánh xạ trờng vectơ X gọi trờng vectơ song song + Giả sử {X1, X2,,Xn}(*) n trờng vectơ En thoả mãn {X ( p), X ( p ) , , X ( p )} sở TpEn; p En Ta nói (*) trờng mục tiêu n + Nếu trờng vectơ Xi trờng mục tiêu { X i } En song song ta nói trờng mục tiêu trờng mục tiêu song song + Cơ sở e i E n xác định trờng mục tiêu song song { Ei } En, Ei ( p ) = ei với p E n i = 1, n {Ei} đợc gọi mục tiêu tự nhiên En {} ( ) + Giả sử { E1 , E , , E n } trờng mục tiêu tự nhiên X trờng vectơ bất kỳ, ta có biểu diễn: X = X E1 + X E2 + + X n E n ; với Xi hàm số E n R Khi ta nói X ( X , X , , X n ) X đợc gọi khả vi Xi khả vi với i = 1, n (Tức Xi có đạo hàm riêng đạo hàm riêng liên tục) 1.3 Ví dụ Trong E = Oxyz ; xét trờng vectơ X = x yE1 + xzE2 + z yE3 Thật vậy, giả sử X ( X , X , , X n ) đó: X1 : E3 R ( x, y , z ) X2 : E3 R ( x, y , z ) X3 : x2 y xz E3 R ( x, y , z ) z2 y Ta cần chứng minh (X1, X2, X3) khả vi Chẳng hạn ta chứng minh X1 khả vi Gọi: g1 = X : ( x, y, z ) xy x X : ( x, y , z ) y X g = : ( x, y, z ) zy z g2 = Nh vậy, X1 có đạo hàm riêng g1, g2, g3 liên tục hàm sơ cấp Do X1 khả vi Chứng minh tơng tự ta có X2, X3 khả vi Vậy: X khả vi - Từ trở ta xét trờng vectơ X khả vi En - Ta kí hiệu F (En) tập hàm số khả vi En n B (En)= { X / X trờng vectơ khả vi E } 1.4 Các phép toán B (En) 1) Phép cộng: X,Y B (En): X : p X P Y : p YP Khi đó: X + Y : p X P + YP ; p En 2) Phép nhân: Giả sử hàm số khả vi ( F (En); : En R Khi đó: X : p ( p ) X p ; p En 3) Trờng hợp: = a = const aX: p a X P ; p En 1.5 Mệnh đề: B (En) với hai phép toán (1) (3) lập thành không gian vectơ thực Thật vậy, ta dễ dàng chứng minh đợc hai phép toán (1) (3) thoả mãn tiên đề không gian vectơ Do thử tiên đề bản, là: * Giả sử: X(X1, X2,Xn) B (En); 0(0,0,,0) Ta suy ra: X + = (X1 + 0, X2 + 0, , Xn +0) = (X1, X2, , Xn) = X *Giả sử X(X1, X2, , Xn) B (En); (-X) = (-X1, -X2,, -Xn) B (En) Sao cho: X+ (-X) = (X1 + (-X1), X2 +(-X2),, Xn +(-Xn)) = (0,0,,0) * Với R, giả sử X(X1, X2, , Xn) B (En); Y(Y1, Y2, , Yn) B (En) X + Y = (X1+Y1, X2 +Y2 ,, Xn+Yn ) Ta có: (X + Y) = (X1+Y1, X2 + Y2,, Xn+Yn) = (X1 + Y1,X2 + Y2,,Xn+Yn ) =(X1,X2,,Xn) +(Y1,Y2,,Yn) = X + Y Thứ tiên đề lại ta thấy thoã mãn Vậy: B(En) với hai phép toán (1) (3) lập thành không gian vectơ thực 1.6 Mệnh đề: B(En) với hai phép toán (1) (2) lập thành modun Đối với mệnh đề này, ta dễ dàng chứng minh đợc cách thứ tiên đề modun II Đạo hàm hàm số theo trờng vectơ 1.7 Định nghĩa: Giả sử X B (En); F (En) Đạo hàm hàm số theo trờng vectơ X hàm số đợc ký hiệu X [ ] X [ ] đợc xác định bởi: X [ ] : E n R n p X p [ ] ; p E Trong X [ ] đạo hàm theo hớng X p 1.8 Định lý: Giả sử X có toạ độ Xi, ta có: n X [ ] = X i i =1 xi : En R Chứng minh: Ta có: ( x1 , x2 , , xn ) ( x1 , x2 , , xn ) Và X ( X i ) = ( X , X , , X n ) X p ( X ( p1 ), , X n ( p n )) X p [ ] = X ( p ) x1 n = X i ( p) i =1 Suy ra: X [ ] = X i n i =1 + X ( p) p x2 + + X n ( p ) p ; p E n xi p xi 1.9 Ví dụ: Trong E2 cho X ( x, xy ) = xE1 + xyE : E2 R ( x, y ) xy Tính X [ ] xn p Ta có: X [ ] = X i i =1 = X xi + X2 x y = xy + xy.2 xy = xy + x y Vậy: X [ ] = xy + x y 1.10 Mệnh đề: 1) ( X + Y )[ ] = X [ ] + Y [ ] 2) X [ + ] = X [ ] + X [ ] 3) (X )[ ] = ( X [ ] ) 4) X [ ] = X [ ] + X [ ] Chứng minh: Giả sử X(X1, X2,, Xn) B (En); Y (Y1, Y2, , Yn) B (En) Ta có: ( X + Y )[ ] = ( X i + Yi ) n i =1 n = Xi i =1 xi n + i = Yi xi xi i =1 = X [ ] + Y [ ] Vậy: ( X + Y )[ ] = X [ ] + Y [ ] Giả sử X(X1, X2,, Xn) B (En) Ta có: X [ + ] = X i n i =1 n = Xi i =1 n = Xi i =1 ( + ) xi + xi n + Xi xi i =1 xi = X [ ] + X [ ] Vậy: X [ + ] = X [ ] + X [ ] Giả sử X(X1, X2,, Xn ) B (En) xi Ta có: (X )[ ] = X i n i =1 n = . X i i =1 = X [ ] xi Vậy: (X )[ ] = X [ ] Giả sử X(X1, X2,, Xn) B (En) Ta có: X [ ] = X i n i =1 xi n = X i + i =1 x x i i n = X i i =1 n + X i xi xi i =1 = X [ ] + X [ ] III Đạo hàm trờng vectơ theo trờng vectơ Nh ta biết, (xem [6]) đạo hàm trờng vectơ X theo vectơ tiếp xúc p vectơ, kí hiệu D p Khi D p đợc tính nh sau: ( ) d D X = X p + p t t = p dt 1.11 Định nghĩa: Giả sử X, Y B (En) Đạo hàm trờng Y theo trờng vectơ X trờng vectơ đợc ký hiệu DXY DXY xác định bởi: p D X Y ( p) = D X pY ; p En Trong đó: D X pY đạo hàm trờng Y theo X p 1.12 Ví dụ: Trong E2; cho X(x,xy); Y(y,xy) p(1,2) Bây ta tính DXY p 10 n n d ( ) = d i dxi = d i dxi i =1 i =1 n n = d ( i ) dxi = ( i d + di ) dxi i =1 i =1 n n = i d dxi + di dxi i =1 i =1 n n i =1 i =1 = d i dxi + di dxi = d + d (đpcm) c) Giả sử X, Y B (En); 1(En) Xét = dxj Ta có: n d = d dx j = dxi dx j i =1 xi n = dxi dx j ; j = 1, n i =1 xi n d ( X , Y ) = dxi dx j ( X , Y ) i =1 xi n = ( X iY j X jYi ) i =1 xi (*); j = 1, n X [ ( Y ) ] = X [ dx j ( Y ) ] = X [ .Y j ] n ( Y j ) i =1 xi = Xi n Y = X i Yj + j ; xi i =1 xi j = 1, n X Xj + j ; Tơng tự ta có: Y [ ( X ) ] = Yi xi i =1 xi n [ X , Y ] = dx j [ X , Y ] = .[ X , Y ]( x j ) = ( X [Y ( x j )] Y [ X ( x j )] ) = ( X [Y j ] Y [ X j ] ) n Y X j n = X i j Yi x x i = i = i i 25 j = 1, n X [ ( Y ) ] Y [ ( X ) ] ( X , Y ) = X i n i =1 n = i =1 n Y j X j Yi xi xi i =1 ( X iY j X jYi ) (**) xi Từ (*) (**) ta suy ra: d(X, Y) = X [ (Y)] - Y [ (X)] - [X, Y] 26 Đ3: ánh xạ tiếp xúc ánh xạ đối tiếp xúc en Trong mục này, trình bày định nghĩa số tính chất ánh xạ tiếp xúc ánh xạ đối tiếp xúc ánh xạ khả vi f: Em En Đồng thời, trình bày định nghĩa tính chất tích phân dạng vi phân dọc đờng cong En i ánh xạ tiếp xúc 3.1 Định nghĩa: Giả sử f: Em En ánh xạ khả vi, với p En ánh xạ tiếp xúc f p đợc ký hiệu f*|p: TpEm TpEn đợc xác định bởi: V V '= d fo (t ) t = to dt Trong đó: (t) đờng cong: (a, b) En t (t) mà (to) = p; (to) = v 3.2 Chú ý: + Khi điểm p thay đổi, ta thờng viết f* thay cho f*|p + Nếu f* đơn ánh f đợc gọi dìm + Nếu f* toàn ánh f đợc gọi ngập + Nếu f* song ánh f đợc gọi trải 3.3 Ví dụ: Cho f: E2 E3 (u,v) (u,v, u.v) Với p(1,2), v(3,4) Tính f*|p (v) Thật vậy, ta có (t): u(t) = + 3t v(t) = + 3t mà (o) = p (o) = v Khi đó, theo định nghĩa ta có: 27 d fo ( t ) t = dt d = f (1 + 3t ,2 + 4t ) t = dt d = (1 + 3t ,2 + 4t ,12t + 10t + 2) t = dt = ( 3,4,10) f * p (v) = 3.4 Mệnh đề: v' v' v ' v Giả sử [ v ] = , [ v'] = = f*|p(v) v ' vm n J f p f1 f1 x1 xm = f f m x x p m Khi [v] = Jf|p [v] Chứng minh: Thật vậy, giả sử v vectơ tiếp xúc với (t) = (x1(t),, xm(t)) (o) = p, nên v1 = x1' (t0 ) v = x ' (t ) v: ' vm = xm (t0 ) v vectơ tiếp xúc với fo(t) = f(x1(t), x2(t),,xm(t)) =(f1(x1(t), x2(t),,xm(t)),,(fm(x1(t),,xm(t)) 28 nên ' d v1 = dt f1 ( x1 (t ), , xm (t ) ) t = v ' = d f ( x (t ), , x (t ) ) t = m v' : dt v ' = d f ( x (t ), , x (t ) ) t = m n dt m ' m f1 ' xi t = v1 = i =1 xi ' m f ' v2 = xi t = i =1 xi ' m f m ' xi t = = x i = i ' m f1 p.vi v1 = i =1 xi ' m f p.vi v2 = i =1 xi ' m f m p.vi = i =1 xi Ta suy ra: [v] = Jf|p [v] 3.6 Ví dụ: Cho f: E2 E3 (u,v) (u2, v2, u.v) Với p(1,2), v(1,3) Tính f*|p (v) Ta có: J f p 2u = v 2v = u p Ta suy ra: [v] = Jf|p[v] 29 = = ( 4,12,7 ) 1) (f*|p vp) (g) = vp (gof); g F (En) 3.7 Mệnh đề: 2) f*|p ánh xạ tuyến tính ( Chứng minh: ) 1) Ta có: f * p v p ( g ) = d go( fo (t ) ) t = dt = d ( gof )o (t ) t = dt = v p ( gof ) 2) up, vp Tp Em, , R ta có: f* ( u + v )( g ) = ( u + v )( gof ) = ( u ) ( gof ) + ( v ) ( gof ) p p ( p p p p p ) = f * p (u p ) + f * p (v p ) ( g ) f*|p ánh xạ tuyến tính 3.8 Mệnh đề: Giả sử f: Em En ; g: En Ep ánh xạ khả vi Khi đó: (gof)*p = g*f(p)o f*p; p En Chứng minh: h F (En) vp TpEm, ta có: ((gof)*p (vp) (h) = vp (ho(gof)) Mặt khác: (g*f(p)of*(vp) (h) = (g*f(p)(f*(vp)) (h) = (f*(vp) (hog) = vp ((hog) of) = vp (ho (gof) Vậy: ((gof)*p(vp)) (h) = ((g*f(p)of*p(vp)) (h); vp TpEm, h F (En) Do đó: (gof)*p = g*f(p) of*p 30 ii ánh xạ đối tiếp xúc 3.9 Định nghĩa: Giả sử f: Em En ánh xạ khả vi, với i = 0, 1, ta xét ánh xạ f*: i(En) i(Em) (i = 0, 1, 2) đợc xác định bởi: i) Nếu i = 0; 0(En) f* = of ii) Nếu i = 1; 1(En) f*(X) =(f*X); X B (Em) iii) Nếu i = 2; 2(En) f* (X,Y) =(f*X, f*Y); X, Y B (Em) Khi f* đợc gọi ánh xạ đối tiếp xúc f: E2 E3 3.10 Ví dụ: a) Cho (u,v) (u, v, u+v) : E3 R (x, y, z) x + y + z Tính f* Ta có: f* 0(E2), đó: f* = of : E2 R (u,v) (u + v + u +v) = (u + v) b) Cho f: E2 E3 (u,v) (u, v, u.v) = xdx +ydy + zdz Tính f*() Vì f* 1(E2) f*: 1(E3) 1(E2) Với X (X1, X2) B (E2) X đợc biểu diễn dới dạng: X = X1E1 + X2E2 Khi đó: f*(X) = (f*X) = (Jf[X]) = v X X u = ( xdx + ydy + zdz ) ( X E1 + X E2 + ( vX + uX ) E3 ) = xX + yX + z ( vX + uX ) = uX + vX + uv( vX + uX ) = ( u + uv ) du ( X ) + ( v + u v ) dv( X ) 31 ; X B (E2) f* = (u + uv2) du + (v +u2v) dv c) Cho f: E2 E2 (u,v) (u, v, u.v) = xdx dy Tính f* Ta có: f* 2(E2), giả sử X(X1, X2); Y(Y1, Y2) B (E2) Khi đó: f*(X,Y) = (f* X, f*Y) = (Jf [X], Jf [Y]) 1 X 1 Y1 = X , Y = ( xdx dy )( ( X + X ) E1 + ( X X ) E , (Y1 + Y2 ) E1 + (Y1 Y2 ) E ) = xdx( ( X + X ) E1 + ( X X ) E ).dy ( (Y1 + Y2 ) E1 + (Y1 Y2 ) E xdx( (Y1 + Y2 ) E1 + (Y1 Y2 ) E2 ).dy ( ( X + X ) E1 + ( X X ) E ) = x( X + X )( Y1 Y2 ) x( Y1 + Y2 )( X X ) = x[ ( X + X )( Y1 Y2 ) ( X X )( Y1 + Y2 ) ] = x( X 1Y2 X 2Y1 ) = x( X 1Y2 X 2Y1 ) = x( du ( X ).dv( Y ) dv( X ) du ( Y ) ) = x( du dv )( X , Y ) = 2( u + v ) du dv( X , Y ) f * = 2( u + v ) du dv 3.11 Mệnh đề: f* ánh xạ tuyến tính Chứng minh: Trờng hợp 1: Với i = xét f*: 0(En) 0(Em) Với , ( E n ); , R, ta có: 32 f * ( + ) = ( + )of ` = of + of = .f* + f* f * ánh xạ tuyến tính Trờng hợp 2:Với i = 1, xét f * : 1(En) (Em) Với , ( E n ); , R, X B (Em), Ta có: f * ( + )( X ) = ( + ) f * X = ( f * X ) + ( f * X ) = f * ( X ) + f * ( X ) = ( f * + f * ) ( X ); X B (Em) f * ánh xạ tuyến tính: 1(En) 1(Em) Trờng hợp 3: Với i = 2, xét f*: 2(En) 2(Em) Với , ( E n ); R, X,Y B (En) Ta có: f * (1 + )( X , Y ) = (1 + )( f * X , f *Y ) = ( f * X , f *Y ) + ( f * X , f *Y ) = f * ( X , Y ) + f * ( X , Y ) = ( f * + f * ) ( X , Y ); X,Y B (Em) f * ánh xạ tuyến tính: 2(En) 2(Em) 3.12 Mệnh đề: Giả sử f, g ánh xạ khả vi; f: Em En; g: En Ep; ta có: (go f)* =f*o g* Chứng minh: Ta có: go f: Em Ep; f*: i(En) i(Em ); g*: i(Ep) i(En) Từ đó: (go f)*: i(Ep) i(Em) i) i = 0; 0(En); ta có: (go f)*() = o(go f) = ogo f (1) (f*o g*) () = f*o(g*o) = f*o(og) = (og)of = ogo f (2) 33 Từ (1) (2) (gof)*() = (f*og*) () Do đó: (go f)* = f*og* ii) i = 1; với thuộc (Ep); X B (Em) Ta có: ( gof )* ( X ) = [ ( gof )* ( X ) ) ] = [ g*of * ( X )] = ( g* ( f * ( X )) = g * ( f * ( X )) = f *og * )( X ) * * = ( f og ) ( X ); X B (Em) * * * ( gof ) = ( f og ) ; 1(Ep) Do đó: ( gof )* = f *og * iii) i = 2, Lấy thuộc 2(Ep); (X,Y) B (Em), ta có: ( gof )* ( X , Y ) = ( ( ( gof )* X , ( gof )* Y ) ) = ( ( g*of ) X , ( g*of )Y ) = ( g * )( f * X , f *Y ) = f * ( g * )( X , Y ); X,Y B (En) * * * ( gof ) = ( f og ) ; 2(Es) Do đó: (gof)* = f*o g* 3.13 Mệnh đề: n Giả sử f: Em En ánh xạ khả vi; , ( E ) Khi đó: f * (1 ) = f * (1 ) f * ( ) Chứng minh: Thật vậy, với X,Y B (Em); ta có: f * (1 )( X , Y ) = (1 )( f * X , f *Y ) = ( f * X ). ( f *Y ) ( f *Y ). ( f * X ) = f *1 ( X ) f * (Y ) f *1 (Y ) f ( X ) = ( f * f * )( X , Y ) ; Ta suy ra: f * ( ) = f * f * 34 X,Y B (Em) III Tích phân dạng vi phân dọc đờng cong ta giả thiết đờng cong định hớng đợc cho tham số hoá : [a,b] En; t (t) 3.15 Định nghĩa: Giả sử 1(En) Khi tích phân dọc đờng cong b định hớng đợc ký hiệu đợc xác định = * a 3.16 Ví dụ: Trong E3 cho đờng cong đợc xác định tham số hoá : [1,2] E3 t (t, t3, 2t) Giả sử = xdx + ydy + zdz Tính Theo định nghĩa trên: = * * : ( E ) ( R) ` * = (t ) dt Ta xác định (t ) Với X B (R3) *(X) = (*X) = (J (X)) = ( xdx + ydy + zdz ) 3t ( X ) = ( xdx + ydy + zdz )( XE1 + 3t XE + XE3 ) = xX + y3t X + zX = (5t + 3t ) X ; X B (R) (1) Mặt khác: * ( R ) * Mà ( X ) = (t ) dt ( XE ) = (t ) X ; X B (R) Từ (1) (2) ta suy : (t ) = 5t + 3t 5t t + = 165 Vậy = (5t + 3t ) dt = 2 35 (2) 3.17 Chú ý: - dạng đóng d = - Trong En dạng vi phân đóng khớp ngợc lại (Bổ đề Poincare) 3.18 Mệnh đề: Nếu vi phân đóng hàm , với F (En) phụ vào điểm đầu điểm cuối (a), (b) đờng cong Mà không phụ thuộc vào việc chọn Chứng minh: Theo giả thiết = d ; F (En) cung đợc xác định : [a,b] En đặt (a) = A, (b) = B b b b b a a Ta có: = = (d) = d ( * ()) = d ( ) * * a a b = ( )' (t ) dt (*) a Trong o : [a, b] R hàm số liên tục nên từ (*) ta có: b b = (o )' (t )dt = (o )(t ) a = (o )(b) (o )(a) a = ( (b) ( ( a) ) = ( B) ( A) Vậy: không phụ thuộc vào tham số hoá mà phụ thuộc vào điểm A B n 3.19 Mệnh đề: ánh xạ : : ( E ) E ánh xạ tuyến tính n Chứng minh: Giả sử , ( E ) , R , ta có: ( b + ) = ( *1 + * ) a b b = + * * a a 36 = + 37 Kết luận Trong khoá luận này, thực đợc việc sau đây: - Chứng minh chi tiết số mệnh đề đạo hàm hàm số theo trờng vectơ đạo hàm trờng vectơ theo trờng vectơ, chẳng hạn định lý 1.8, mệnh đề 1.10, mệnh đề 1.13 mệnh đề 1.14 - Trình bày định nghĩa tích Lie hai trờng vectơ, qua đa biểu thức toạ độ tích Lie số tính chất tích Lie, chẳng hạn mệnh đề 1.16 - Chứng minh mệnh đề 2.5, định lý 2.7 dạng vi phân bậc 1, mệnh đề 1.14 tích - dạng vi phân - Trình bày định nghĩa số tính chất vi phân - dạng vi phân (định nghĩa 2.15, ví dụ 2.16, nhận xét 2.17 mệnh đề 2.18) - Chứng minh chi tiết mệnh đề 3.4, mệnh đề 3.7, mệnh đề 3.8 ánh xạ tiếp xúc Mệnh đề 3.11, mệnh đề 3.12, mệnh đề 3.13 ánh xạ đối tiếp xúc - Nêu cách tính tích phân - dạng vi phân dọc đờng cong En chứng minh tính chất (ví dụ 3.16, mệnh đề 3.18, mệnh đề 3.19) Với đề tài hy vọng có điều kiện nghiên cứu lý thuyết dạng vi phân đa tạp Riman 38 Tài liệu tham khảo [1] Cartan.H; Phép tính vi phân dạng vi phân, NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp, 1970 [2] Đậu Thế Cấp; Giải tích hàm, NXB Giáo dục, 2000 [3] Văn Nh Cơng - Tạ Mân; Hình học Afin hình học ơclít, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 1998 [4] J.L Kely; Tôpô đại cơng, NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp Hà Nội, 1973 [5] Ngô Thúc Lanh; Đại số tuyến tính, NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp, 1970 [6] Đoàn Quỳnh; Hình học vi phân, NXB Giáo dục Hà Nội, 2000 [7] Đoàn Quỳnh - Trần Đình Viện - Trơng Đức Hinh - Nguyễn Hữu Quang; Bài tập hình học vi phân, NXB Giáo dục Hà Nội, 1993 39 [...]... Y[X(f)]; f F (En) c) [X,Y] = -[Y,X] d) [[X,Y], Z] + [[YZ],X] + [[Z,X],Y] = 0 14 Đ2: các dạng vi phân trong en Trong mục này, chúng tôi trình bày các khái niệm cơ bản và một số tính chất của dạng vi phân bậc 1, dạng vi phân bậc 2 trong En Và đồng thời chúng tôi trình bày tích ngoài của một dạng vi phân, vi phân ngoài i dạng vi phân bậc 1 (1 - dạng vi phân) trong En 2.1 Định nghĩa: Dạng vi phân bậc 1 hay... (1) và (2) ta có: { dxi dx j }1i< j n là cơ sở của 2 (En) iv vi phân ngoài Nh ta đã biết, (xem [6]) vi phân ngoài của là ánh xạ d đợc xác định: d: 0 (En) 1 (En) n d = i =1 dxi ; F (En) xi Chú ý: Các hàm số khả vi trong En đợc gọi là dạng vi phân bậc 0 trong En Ta ký hiệu 0 (En) = F (En) = {dạng vi phân bậc 0 trong En} 2.16 Định nghĩa: Giả sử 1 (En) Vi phân ngoài của là ánh xạ: d: 1 (En) 2 (En) ... 2 - dạng vi phân trên En là ánh xạ: :p Trong đó p; p En p: TpEnx TpEn R (X p ) ( ,Y p p X p ,Y p ) p là ánh xạ song tuyến tính, phản xứng; p En Chú ý: +) (X, Y) là hàm số xác định bởi: En R p p (Xp, Yp) +) đợc gọi là dạng vi phân bậc hai khả vi nếu mọi trờng vectơ X, Y khả vi, thì (X, Y) là hàm khả vi +) Ta ký hiệu: 2 (En) = {/ khả vi trên En} 2.10 Ví dụ: 19 Trong E2 = 0xy, ta xét các trờng... (X)(p) = p ((p).Xp) = (p) p (Xp) = ( (X)) (p); p En 16 Suy ra: (X) = .(X) 2.6 Cơ sở của dạng vi phân bậc một n Giả sử {U i } i=1 là trờng mục tiêu trong En, X là một trờng vectơ bất kỳ trong En, thì mọi một dạng vi phân trong En hoàn toàn xác định bởi các hàm số (Ui) vì n n iU i = i (U i ) i =1 i =1 Từ đó ta có các 1 - dạng vi phân ii trong En xác định bởi: 1 nếu i = j i (U j ) = ij = 0... hay còn gọi là 1 - dạng vi phân trên En là ánh xạ: : E n Tp E n pE n P p Trong đó p là ánh xạ tuyến tính: TpEn R ( ) Ta chú ý rằng: Với X p Tp E n thì p X p R Khi p thay đổi trên En thì (X) là hàm số: En R đợc gọi là khả vi nếu và chỉ nếu (X) khả vi; X B (En) Từ nay trở đi ta chỉ xét với những khả vi Ký hiệu: 1 (En) = {| là 1 - dạng vi phân khả vi trên En} 2.2 Ví dụ: Trong E2 xét : p ... 2(p); p En, 1, 2 1 (En) b) Phép nhân: .1 : p (p) 1(p); p En, 1 1 (En) c) Khi = a = const, thì có: a.1: p a.1(p); p En, 1 1 (En) 2.4 Mệnh đề: 1 1 (En) cùng với hai phép toán (a) và (b) lập thành một modun 2 1 (En) cùng với hai phép toán (a) và (c) lập thành một không gian vectơ Chứng minh: Trên 1 (En) chúng ta dễ dàng kiểm tra đợc hai phép toán (a) và (b) thoả mãn các tiên đề về modun và 1 (En) cùng... ) (**) xi Từ (*) và (**) ta suy ra: d(X, Y) = X [ (Y)] - Y [ (X)] - [X, Y] 26 Đ3: ánh xạ tiếp xúc và ánh xạ đối tiếp xúc trong en Trong mục này, chúng tôi trình bày định nghĩa và một số tính chất của ánh xạ tiếp xúc và ánh xạ đối tiếp xúc của một ánh xạ khả vi f: Em En Đồng thời, chúng tôi cũng trình bày định nghĩa và tính chất của tích phân 1 dạng vi phân dọc đờng cong trong En i ánh xạ tiếp xúc... Từ (1) và (2) ta suy ra : (t ) = 5t + 3t 5 2 5t 2 t 6 5 + = 165 Vậy = (5t + 3t ) dt = 2 1 1 2 2 35 (2) 3.17 Chú ý: - là một dạng đóng khi và chỉ khi d = - Trong En mọi dạng vi phân đóng thì khớp và ngợc lại (Bổ đề Poincare) 3.18 Mệnh đề: Nếu là một vi phân đóng của một hàm , với F (En) thì chỉ phụ thộc vào điểm đầu và điểm cuối (a), (b) của đờng cong Mà không phụ thuộc vào vi c chọn... - 2 dạng vi phân 20 2.11 Các phép toán trên 2 (En) Giả sử 1, 2 2 (En) ; F (En) , R Khi đó ta định nghĩa: a) Phép cộng: 1 + 2: p b) Phép nhân: .1 1(p) + 2(p); p En :p (p) 1(p) ; p En c) Trờng hợp riêng, nếu = a = const thì a.1 : p a.1(p); p En 2.12 Mệnh đề: 1) 2 (En) cùng với hai phép toán (a) và (b) lập thành một modun 2) 2 (En) cùng với hai phép toán (a) và (c) lập thành một không gian vectơ. .. (c) lập thành một không gian vectơ thực Chứng minh: Ta dễ dàng kiểm tra đợc 2 (En) cùng với hai phép toán xác định ở (a) và (b) thoả mãn các tiên đề về modun và 2 (En) cùng với hai phép toán thoả mãn các tiên đề về không gian vectơ, nên 2 (En) là không gian vectơ thực và modun Nhận xét: Giả sử {Ei} là trờng vectơ tự nhiên, 2 (En) Ta có: i) (Ei, Ei) = 0 ii) (Ei, Ej) = - (Ej, Ei) iii) (X, Y) hoàn toàn ... tích dạng vi phân, vi phân i dạng vi phân bậc (1 - dạng vi phân) En 2.1 Định nghĩa: Dạng vi phân bậc hay gọi - dạng vi phân En ánh xạ: : E n Tp E n pE n P p Trong p ánh xạ tuyến tính: TpEn... dxi ; F (En) xi Chú ý: Các hàm số khả vi En đợc gọi dạng vi phân bậc En Ta ký hiệu 0 (En) = F (En) = {dạng vi phân bậc En} 2.16 Định nghĩa: Giả sử 1 (En) Vi phân ánh xạ: d: 1 (En) 2 (En) d n... xyz2 Vậy: [X, Y] = xyz2 ii dạng vi phân bậc (2 - dạng vi phân) EN 2.9 Định nghĩa: Dạng vi phân bậc hay gọi - dạng vi phân En ánh xạ: :p Trong p; p En p: TpEnx TpEn R (X p ) ( ,Y p p X p