Về tích phân dạng vi phân và tích phân trường vectơ

1 giáo dục đào tạo trờng đại học vinh - nguyễn thị thu hiền Về tích phân dạng vi phân tích phân trờng véctơ Chuyên ngành: Hình học Tôpô Mã số: 60.46.10 luận văn thạc sĩ toán học Ngời hớng dẫn khoa học: PGS-TS Nguyễn Hữu Quang Vinh - 2006 mục lục Mở Trang đầu Chơng I: Tích phân K- dạng vi phân 1.1 Dạng vi phân đa tạp 1.2 Tích phân k- dạng vi phân 11 Chơng II:Tích phân trờng véctơ ung dụng 15 2.1.Trờng véctơ 15 2.2 Tích phân mặt trờng véc 20 Kết luận 35 Tài liệu tham khảo .36 mở đầu Nh biết định lí Stokes hình học vi phân phát biểu tích phân dạng vi phân, tổng quát vài định lí từ tính toán vectơ Định lí đợc công bố Stokes Tích phân k-dạng vi phân tích phân trờng véctơ khái niệm có liên quan nhiều đến lĩnh vực vật lí có nhiều ứng dụng sống Luận văn chủ yếu trình bày tích phân dạng vi phân đa tạp tích phân trờng véctơ R3 Ngoài luận văn trình bày ứng dụng định lí Stokes, Green, Ostrogratski để tính diện tích thể tích mặt R3 Luận văn đợc chia làm chơng với nội dung sau: Chơng I: Tích phân k-dạng vi phân Trong chơng trình bày khái niệm k-dạng vi phân, tính chất k-dạng vi phân, khái niệm vi phân k-dạng vi phân, tính chất vi phân Khái niệm ánh xạ đối tiếp xúc ánh xạ f tính chất ánh xạ đối tiếp xúc Trình bày chi tiết chứng minh định lí Stokes k-dạng vi phân Chơng II: Tích phân trờng véctơ ứng dụng Trong chơng này, đa khái niệm trờng: div ,grad ,rot R3 tính chất chúng Trình bày điều kiện để trờng véctơ F R3 bảo toàn Khái niệm tích phân mặt trờng véctơ, trình bày công thức tính diện tích mặt tròn xoay Đa ứng dụng định lí Stokes, Green, Ostrogratski để tính diện tích thể tích mặt Vì lực thời gian có hạn nên luận văn tránh khỏi thiếu sót Rất mong thầy, cô giáo bạn đồng nghiệp vui lòng góp ý Luận văn đợc hoàn thành vào tháng 12 năm 2006 trờng Đại học Vinh dới hớng dẫn thầy giáo PGS - TS Nguyễn Hữu Quang Nhân dịp xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy ngời hớng dẫn suốt trình học tập nghiên cứu, cảm ơn thầy giáo tổ Hình học giảng dạy bảo vấn đề có liên quan đến đề tài nghiên cứu Tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáo cô giáo khoa Toán, khoa sau đại học Ban giám hiệu trờng Đại học Vinh, trờng THPT Đông sơn I, đồng nghiệp, bạn bè gia đình tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình học tập nghiên cứu Tác giả Chơng I: Tích phân K-dạng vi phân Trong chơng trình bày khái niệm k-dạng vi phân, tích k-dạng vi phân, vi phân định lí Stokes dạng vi phân 1.1 Dạng vi phân đa tạp 1.1.1 Định nghĩa K-dạng vi phân đa tạp M ánh xạ đặt tơng ứng ì ì Tp M điểm p M với ánh xạ k-tuyến tính phản xứng ( p ) : T1p M 4 43 k Ă Tp M không gian tiếp xúc với M p Ta qui ớc dạng vi phân bậc hàm số khả vi từ M R Ta kí hiệu k ( M ) tập hợp dạng vi phân khả vi bậc k M k ( M ) đợc trang bị phép toán cộng phép toán nhân nh sau: Với , ' k ( M ) F(M), ta lấy phần tử ký hiệu + ' k ( M ) đợc xác định bởi: ( + ' ) p = ( p ) + '( p ) ; p M ( ) p = ( p ) Ta nhận thấy với phép toán k ( M ) trở thành F(M) mô đun 1.1.2 Định nghĩa Giả sử k ( M ) , ' l ( M ) Ta gọi tích ' phần tử k +l ( M ) ký hiệu ' xác định hệ thức ( ' )( x1 , , xk , xk +1 , , xk +l ) = ( ) ( x(1) , , x( k ) ) ' ( x( k +1) , , x( k +l ) ) Trong chạy khắp hoán vị {1, ,k+l} thỏa mãn điều kiện (1) < < ( k ) , ( k +1) < < ( k +l ) 1.1.3 Ví dụ 1) Cho hai dạng vi phân bậc ' M, tích ' dạng vi phân bậc hai đợc xác định ( ' )(x1,x2) = (x1) ' (x2)- (x2) ' (x1) 2) Nếu hai dạng dạng ( )(v1,v2,v3) = ( v1,v2) (v3)- ( v1,v3) (v2)+ ( v2,v3) (v1) 1.1.4 Mệnh đề Giả sử 1, 2, k ( M ) ; ,1 ,2 l ( M ); m ( M ) đó: a) (a 1+b 2) = a( ) + b( ) b) (c1 +d2 ) = c( ) + d( ) c) = (-1)kl (tính phản giao hoán) d) ( ) = ( ) = (tính kết hợp) Chứng minh: a) Theo định nghĩa tích ta có: ((a 1+b 2) )(x1,x2, ,xk+l) = ( ) (a 1+b 2)( x1,x2, ,xk) (xk+1, ,xk+l) = ( ) [a 1( x1,x2, ,xk) +b 2( x1,x2, ,xk)] (xk+1, ,xk+l) = = ( ) (a 1( x1,x2, ,xk) (xk+1, ,xk+l) + b 2( x1,x2, ,xk) (xk+1, ,xk+l)) = = ( ) (a 1( x1,x2, ,xk) (xk+1, ,xk+l) + + ( ) b 2( x1,x2, ,xk) (xk+1, ,xk+l) = = (a( ) + b( ))( x1,x2, ,xk+l) b) Chứng minh tơng tự câu a c) Ta có: ( )(x1,x2, ,xk+l) = ( ) ( x , , x ) ( x k k +1 , , x l + k ) (*) Trong chạy qua tập hợp hoán vị dãy {1, ,l+k} cho < < k k +1 < < l +k (**) Ta xét hoán vị chuyển dãy {1, ,l+k} thành dãy {k+1, ,k+l, k} Với i k ta có (i) = (l+i) với k+1 j l+k (j) = (j-k) Ta đặt = Do (**) nên thỏa mãn điều kiện định nghĩa 1.2.1 Ngợc lại thỏa mãn điều kiện định nghĩa 1.2.1 với = điều kiện (**) đợc thực Tiếp theo ( ) = ( ) ( ) ( ) = ( 1)kl để thực cần phải tiến hành lk phép đổi chỗ liên tiếp 1, ,k với k+1, ,l+k đẳng thức (*) đợc viết nh sau: ( )(x1,x2, ,xk+l) = (-1)kl ( ) ( x l +1 , , x ( l + k ) ) ( x1 , , x l ) Trong chạy qua tập hợp hoán vị thỏa mãn điều kiện định nghĩa 1.2 Vì phép nhân vô hớng giao hoán ta đổi chỗ phép nhân vế phải đẳng thức ( x , , x l +1 ( l +k ) ) với ( x1 , , x l ) (-1)kl (x1, ,xk+l) Khi vế phải có dạng d) Thật vậy: Ta sử dụng bổ đề: Giả sử k, l, r số nguyên dơng k ,l ,r không gian L(k+l+r) (không gian ánh xạ tuyến tính thay dấu theo k biến thứ l biến thứ hai r biến thứ 3) Xét biểu đồ k ,l ,r k ,l l ,r k ,l + r k + l ,r k + l ,r k ,l + r k + l ,r Biểu đồ giao hoán nói cách khác k +l ,r k ,l = k ,l + r l ,r Sử dụng kết bổ đề Xét hàm tuyến tính U(x1, ,xk+l+r) = (x1, ,xk) (xk+1, ,xk+l) (xk+l+1, ,xk+l+r) thuộc áp dụng cho phép toán k +l ,r k ,l để nhận đợc ( ) Ta xét hàm U1(x1, ,xk+l+r) = (x1, ,xk) (xk+1, ,xk+l) (xk+l+1, ,xk+l+r) áp dụng cho phép toán k ,l + r l ,r Nhng U1 = U tính chất kết hợp phép nhân vô hớng theo bổ đề k +l ,r k ,l = k ,l + r l ,r Vậy ( ) = ( ) = 1.1.5 Mệnh đề([2]) Giả sử 1, , n dạng tuyến tính Khi đó: ( n )(x1, ,xn) = ( ) ( x1 ) n ( x n ) = det { i ( xi )} Trong tổng đợc lấy theo tất n! hoán vị dãy {1, ,n} Chứng minh: Quy nạp theo n Với n =2 ta có ( )(x1,x2) = (x1) (x2) - (x2) (x1) = = ( x1 ) ( x2 ) ( x1 ) ( x2 ) Giả thiết định lí đến n = k-1 nghĩa ( x1 ) ( xk ) ( k )(x1, ,xk-1) = M k ( x1 ) k ( xk ) ta phải chứng minh đến n = k nghĩa ( k k )(x1, ,xk-1,xk) = ( k ) k (x1, ,xk-1,xk) = = ( ) ( x ( x1 ) ( x( k 1) ) (1) , , x( k 1) )k ( x( k ) ) = ( ) M k ( x1 ) k ( x( k 1) ) k ( x k ) = ( x1 ) ( xk ) = M k ( x1 ) k ( xk ) 1.1.6 Định nghĩa Ta đặt tơng ứng dạng k ( M ) k+1 dạng mà ký hiệu d , d k +1 ( M ) đợc gọi vi phân đợc xác định: d( )(x0, x1, ,xk) = k (1) ( x )( x , x , xà , , x ) , Ê i ' i =0 i i k n d Ê n1 1.1.7 Mệnh đề a) Giả sử k ( M ) , ' l ( M ) dạng vi phân lớp Cn, n đó: d( ') = (d ) '+(-1)k (d ') b) d (c11 + c2 ) = c1d1 + c2d với c1, c2 R c) Nếu k ( M ) dạng vi phân lớp Cn, n d(d ) = d) Cho k_dạng, X0, ,Xk trờng véctơ có d (X0, ,Xk ) = = (1) X (( X i i i ( ả , X , , ảX i , , X k )) + ( 1)i + j X i , X j , X , ảX i , X j k i< j ) Đặc biệt: 1_dạng M X, Y trờng véctơ M d (X,Y) = X( (Y)) - Y( X)) - ([X,Y]) Chứng minh: a) Ta cần chứng minh: *) d ánh xạ tuyến tính Giả sử , ' k ( M ) với = + '= ( i1 ik i1 ik i1 ik i1 ik dxi1 dxik , ' = i1 ik ' i1 ik dxi1 dxik + 'i1 ik )dxi1 dxik (i i + 'i i ))dxi dxi = d( i i dxi dxi ) + + ') = d (i i i i d( 1 k k k k k k k 'i i dxi dxi ) = d + d ' + d( i i 1 k k k i1 ik **) d( ) = d i i dxi dxi ữ= d i i dxi dxi ữ = d ( ) i1 ik k k k k Vậy d ánh xạ tuyến tính ***) Xét tọa độ { U , } I ta có = dxi1 dxik ' = ' dx j1 dx jl ' = 'dxi1 dxik dx j1 dx jl d( ') = d ( ' )dxi dxi dx j dx j k l ( ) dxi ữ dxi dxi dx j dx j = i =1 xi ' n k l )dxi ữ dxi dxi dx j dx j = ( ' + xi i =1 xi ' n k = 'dxi ữ dxi dxi dx j dx j + x n i =1 i k l l + + dxi ữ dxi dxi dx j dx j = x ' n i =1 i k l n = dxi dxi dxi ữ ( 'dx j dx j ) + x i =1 k i n + ( dxi dxi ) ( 1)k i =1 k l ' dxi dx j1 dx jl ữ= xi = d ' + ( 1) k d ' Nhận xét: Nếu ( M ) ta có d(f ) = (df) + fd b) Ta không kiểm tra tính chất c) Ta có d = d dxi dxi = dxi ữ dxi dxi x k n i =1 n i k = ữ dxi dxi dxi x i =1 i dx j ữ dxi dxi1 dxik = ữ i , j =1 xi x j n d(d ) = k dx j dxi dxik i , j =1 xi x j n dx j dxi ữ ữ i , j =1 x j xi n Vì ta có dxi dxi = nên tồn dxi dxi = Vậy dx j dxi dxik =0 hay d(d ) = i , j =1 xi x j n d) Giả sử = fdg VT: d = df dg d (X,Y) = df(X)dg(Y) - df(Y)dg(X) = X(f)Y(g) - Y(f)X(g) VP : = X( (Y)) - Y( X)) - ([X,Y]) = X(fdg(Y)) - Y(fdg(X)) - fdg([X,Y]) = X(fY(g)) - Y(fX(g)) - f[X,Y](g) = X(f)Y(g) + fXY(g) - Y(f)X(g) - fYX(g) - f[X,Y](g) = X(f)Y(g) + f[X,Y](g) - Y(f)X(g) - f[X,Y](g) = X(f)Y(g) - Y(f)X(g) Vậy VT = VP 10 1.1.8 Định nghĩa Giả sử Mm đa tạp Riman m-chiều Nn đa tạp Riman n-chiều, ánh xạ f : M m N n ánh xạ khả vi, ánh xạ đối tiếp xúc f đợc kí hiệu f * xác định nh sau: f * : k ( N ) k ( M ) a f * với f * ( X , , X k ) = ( f* X , , f* X k ) 1.1.9 Mệnh đề a) f * ánh xạ tuyến tính b) f * bảo toàn tích nghĩa f * (1 ) = f *1 f *2 c) k ( M ) , f ánh xạ khả vi f * (d ) = d ( f * ) d) f , g ánh xạ khả vi ( fg )* = g * f * Chứng minh: kiểm tra tính chất b), c) d) Trớc hết ta kiểm tra tính chất b) Theo định nghĩa phép nhân ta có: ( f *1 f *2 )( p, x1, , xk +l ) = ( ) ( f ) ( p; x1 , , xk ) ( f *2 ) ( p; x ( k +1) , , x( k +l ) ) * Trong chạy qua tập hợp hoán vị dãy {1, ,l+k} cho < < k < k +1 < < l +k Tổng ( ) ( Fp; f x , , f x ) ( Fp; f x * * k * ( k +1) , , f* x( k +l ) ) Ta thấy trùng cách hiển nhiên với f * ( q; x1 , , xk +l ) Trong dạng vi phân ánh xạ q q k +l ( M ) đợc xác định bởi: ( q; y1 , , yk +l ) = ( ) ( q; y1 , , y k ) ( q; yk +1 , , yk +l ) Ta thấy = f *1 f *2 = f * = f * (1 ) p M Bây ta kiểm tra tính chất c) Gọi U(Xi) hệ tọa độ địa phơng M U'(Yi) hệ tọa độ địa phơng N k ( N ), |U ' = dy j1 dy jk ; : N R 21 S 2 f f + ữ + ữ dudv diện tích miền S u v Thật vậy: r f = (1;0; ) u u r f = (0;1; ) v v ; r f f = ( ; ;1) u u v suy 2 Do dA = r r dudv = + f ữ + f ữ dudv u v u v dA = S S 2 f f + ữ + ữ dudv u v 2.2.3 Ví dụ Cho S2( ) hình cầu R3 tâm gốc tọa độ bán kính Chúng ta tính A(S2( )) (Diện tích mặt S2( ) ) Ta có tham số hóa S2( ) bởi: vĩ độ kinh độ x= sin cos với y = sin sin z = cos Khi r = ( cos cos ; cos .sin ; sin ) r = ( sin sin ; sin cos ;0) r r = ( sin )r Do r r = sin Vì A(S ( )) = 2 0 d sin d = 2.2.4 Định nghĩa Cho S mặt R 3, n trờng véctơ pháp tuyến đơn vị mặt S , ndA đợc gọi phần tử vi phân định hớng diện tích mặt S đợc xác định nh sau: 22 r r ndA = ữdudv u v tích phân mặt định hớng trờng véctơ F R3 đợc xác định là: r r FndA = F (r (u, v )) u v ữdudv S với r : D S D (u,v) a r(u,v) tham số hóa S FndA đợc gọi tích phân thông lợng trờng véctơ F qua mặt S S 2.2.5 Ví dụ Cho F trờng véctơ đặc trng F(r)=-q r r3 với q số cố định Một vị F đợc cho (r) = q Chúng ta tính thông lợng F qua r S2( ) Trờng véctơ pháp tuyến đơn vị n dọc S2( ) (hớng từ bên tới thể cầu bán kính ) đợc cho bởi: n= Do F.n = Suy Do q FndA = S ( ) S ( ) r q dA = S ( ) q A( S ( )) = q FndA = q 2.2.6 ứng dụng Tính diện tích mặt tròn xoay Xét mặt tròn xoay E3 (đa tạp chiều compắc với bờ E3) có đợc quay quanh trục Oz cung đoạn quy x= (u ) ,y= ,z= (u ) ( a u b, (u ) ) Khi đó: b a) Diện tích mặt S = (u) '2 + '2 (u)du a 23 b) Gọi G trọng tâm cung đoạn nói Chứng minh diện tích mặt tròn xoay tích độ dài cung đoạn với độ dài cung đoạn gây G quay quanh trục Oz( định lí Gudin 1) c) áp dụng tính Sxuyến = ? Chứng minh: a) Mặt tròn xoay xác định phơng trình tham số r(u,v) = ( (u ) cos v, (u ) sin v, (u ) ) ( a u b , v ) Do ru = ( ' (u ) cos v, ' (u )sin v, ' (u) ) rv = ( (u ) sin v, (u ) cos v, ) ru rv = ( (u ) ' (u ) cos v, (u ) ' (u )sin v, (u ) ' (u ) ) ru rv = (u ) '2 (u ) cos v + '2 (u )sin v + '2 (u ) = (u ) '2 + '2 (u ) b b a a S = (u ) '2 + '2 (u ) dudv = (u ) '2 + '2 (u ) du b) Nhắc lại khái niệm trọng tâm cung đoạn Cho hàm số dọc cung đoạn En mà (x1,x2 xn) En xét điểm G có tọa độ y i = x Lấy tọa độ afin i (i = 1, n ) Khi dơng ta nói G trọng tâm cung đoạn Quay lại chứng minh b) Cung đoạn xét (u ) = ( (u ), 0, (u ) ) ( a u b, (u ) > ) Suy độ dài cung đoạn là: S= b b (u) du = ' a '2 + '2 (u )du (1) a Khi cung đoạn cho tham số hóa : t (t ) (x1,x2 xn) tọa độ afin En gọi trọng tâm điểm G có tọa độ 24 y = b i (t ) x ( (t ))dt ' b (t ) dt ' i a (2) a Đối với cung đoạn toán xét G có tọa độ x1 ( (u ) ) = (u ) x ( (u ) ) = x3 ( (u ) ) = (u ) b y1= a '2 + '2 (u ) (u )du b '2 + '2 (u ) du a y =0 b y3 = '2 + '2 (u ) (u )du a b '2 + '2 (u )du a Do quay G quanh Oz G vạch đờng tròn có bán kính biểu thức vừa tính y1, suy chu vi đờng tròn là: b (a) '2 + '2 (u )du (3) a b + (u )du '2 '2 a Tích biểu thức (2) biểu thức (3) diện tích S mặt tròn xoay tính câu (a) c) áp dụng: tìm diện tích mặt xuyến T(a,b) Tham số hóa mặt xuyến r(u,v) = ((a+bcosv)cosu,(a+bcosv)sinu,bsinv) với u v Khi đó: (v) = a + b cos v (v) = b sin v áp dụng công thức ta có diện tích mặt xuyến là: 2 2 0 0 Sxuyến = b(a + b cos v)dudv = du (ab +b cos v)dv = abu |02 = ab 25 2.2.7 Định lí Green([6]) Cho D miền R2 với biên đờng cong C đơn, trơn khúc đóng mặt phẳng F(x,y) = (F 1(x,y),F2(x,y)) trờng véctơ khả vi liên tục F2 ( x D F1 )dA = F ( x, y )dr y C với biên C đợc định hớng Chứng minh: Khi D miền đơn giả sử D = C1 C2 C3 C4 (Hình 1) với C2 C4 đờng đỉnh y F1 F dx = y ữdA Ta chứng minh C (1) C4 D F2 F dy = x ữdA C C3 D C2 C1 (2) D Theo giả thiết miền D đơn Giả sử D cho a b x D = { ( x, y ) | a x b, g1 ( x) y g ( x)} với g1 g2 hàm liên tục.Tích phân bội (1) ta đợc g ( x) b F1 F1 b D y ữdA = a g ( x ) y ( x, y)dydx = a { F1 [ x, g ( x)] F1 [ x, g1 ( x)]} dx (3) Với C1 sử dụng phơng trình tham số x= x, y= g1(x), a x b b F ( x, y)dx = { F [ x, g ( x)]} dx 1 C1 a Với -C3 sử dụng phơng trình tham số x= x, y= g2(x), a x b F1 ( x, y )dx = C3 C3 b F1 ( x, y )dx = { F1 [ x, g ( x) ] } dx a Trên C2 C4 x số nên F ( x, y)dx = F ( x, y)dx = 1 C2 C4 Do F dx = F ( x, y)dx + F ( x, y)dx + F ( x, y )dx + F ( x, y )dx = C C1 1 C2 C3 b b a a = [ F1 ( x, g ( x))] dx + F1 ( x, g1 ( x) ) dx C4 26 so sánh (3) (4) ta nhận đợc F1 F dx = y ữdA C D F2 F dy = x ữdA Tơng tự ta chứng minh (2) C D Cộng vế đẳng thức ta đợc định lí Green. 2.2.8 ứng dụng 1) Nếu rotF = diện tích miền D với biên đờng cong C là: Diện tích D = Fdr C Ví dụ: Cho đờng cong r(t) = (cos3t, sin3t) đợc gọi hypocycloid Tìm diện tích hypocycloid Sử dụng trờng véctơ F(x,y) = (0,x) với rotF= 2 F ( r (t ) ) r (t )dt = (0, cos ' t )( 3sin t cos t ,3sin t cos t ) dt = 2 3cos t sin t cos tdt = = cos t sin tdt = 2 sin 2t cos 2t + sin 2t = 2) Mệnh đề: (tính diện tích đa giác) Nếu Pi = (xi,yi) i = 1, n cạnh đa giác mặt phẳng diện tích là: A= i ( xi xi +1 )( yi +1 + yi ) Chứng minh: Xét trờng véctơ F(x,y) = ( y, x) có rotF = x, y Theo định lí Green tích phân đờng trờng véctơ F(x,y) = PiPi+1 ydx + xdy = ( xi xi +1 )( yi +1 + yi ) Pi Pi +1 ( y; x ) qua cạnh 27 Trong xi-xi+1 hình chiếu diện tích trục x ( yi +1 + yi ) giá trị trung bình trờng véctơ cạnh Kết đợc thấy mặt hình học ( xi xi +1 )( yi +1 + yi ) diện tích hình thang (xi,0); (xi+1,0); (xi+1,yi+1); (xi,yi) 2.2.9 Định lí Kelvin-Stokes([6]) Cho S R3 mặt định hớng với biên đờng cong C đơn, trơn khúc, F trờng véctơ khả vi liên tục (trong lân cận S) rotFdA = Fdr S C Trớc hết ta chứng minh bổ đề sau: Bổ đề: Cho r :D R2 R3 tham số hóa khả vi liên tục mặt S R3 trơn Giả sử F trờng véctơ khả vi liên tục F(x,y,z) = (F1(x,y,z), F2(x,y,z), F3(x,y,z)) thì: r r F3 F2 y z y z ữ= ữ ữ+ z u v v u u v y rotF(r(u,v)) F1 F3 z x z x F2 F1 x y x y ữ ữ+ ữ ữ z x u v v u x y u v v u + Tập hợp tất số hạng chứa F1 ta nhận đợc F1 z F1 y x F1 z F1 y x F1 x F1 x + + ữ ữ = z u y u v z v y v u u v v u Tơng tự nh tập hợp tất số hạng chứa F2 F3 ta nhận đợc r r F1 x F2 y F3 z F1 x F2 y F3 z ữ= + + + + ữ ữ= u v u v u v u v v u v u v u rotF(r(u,v)) = F r F r ( r (u, v) ) ( r (u, v) ) u v v u Bây ta chứng minh định lí Stokes (đối với tham số hóa r : D R3 S khả vi liên tục D R2) 28 Cho S = { r r ữ u v T $ r (u , v ) : (u, v) D n = Hơn cho r : [ t0 , te ] R r r u v } tham số biên r D với thành phần u(t) v(t) nghĩa r (t ) = ( u (t ), v(t ) ) T Hợp thành r$= r.r tham số hóa S với tham số hóa cho tham { } số hóa C nghĩa C = r$(t ) : t [ t0 , te ] , r$(t ) = r ( r (t ) ) = r ( u (t ), v(t ) ) Hơn S C tơng ứng định hớng ta có: d r$ r du r dv (2) = + dt u dt v dt Theo (1) rotFdA = rotFr (u, v )) u ì v ữdudv = r S r S F r F r u ( r (u, v) ) v v ( r (u, v) ) u dudv = S r r F (r (u , v)) ữ F (r (u , v)) ữdudv v v u u = S sử dụng định lí Green mặt phẳng với F1(u,v) = F ( r (u, v) ) F2(u,v) = F ( r (u, v) ) r u r v Chúng ta nhận đợc: t e du dv F2 F1 rotFdA = dudv = Fdr S S u v ữ = F1 (u (t ), v(t )) dt + F2 (u (t ), v(t )) dt ữdt = t0 te r du r dv + ữdt u dt v dt = F ( r (u (t ), v(t )) ) t0 Cuối sử dụng (2) r$(t ) = r ( u (t ), v (t ) ) ta có 29 $ $(t ) d r dt = Fdr rotFdA = F r S t dt C te ( ) Nhận xét: (a) Định lí Stokes khẳng định thông lợng rotF qua mặt S phụ thuộc vào biên C S mà không phụ thuộc vào hình dạng rotFdA giống cho S Nh định lí dùng để thay đổi tích phân trờng véctơ mặt khó tích phân trờng véctơ mặt đẹp đẽ với biên (b) Nếu S biên (ví dụ mặt cầu) rotFdA = S 2.2.10 Định lí Ostrogratski([6]) Cho M thể R3 với biên mặt S, n trờng véctơ pháp tuyến đơn vị mặt S, F trờng véctơ khả vi liên tục theo biến divFdV = F ìndA M S Chứng minh: Ta chứng minh định lí trờng hợp M hình hộp với cạnh cho mặt phẳng // với trục tọa độ M = { ( x, y, z : a x b, r y s, p z q} Măt S tập hợp mặt phẳng: (Hình 2) S1= { ( a , y , z ) : r y s , p z q} S2 = { (b, y, z ) : r y s, p z q} (Hình 2a) S3= { ( x, r , z ) : a x b, p z q} S4= { ( x, s, z ) : a x b, p z q} (Hình 2b) 30 S5= { ( x, y, p ) : a x b, r y s} S6= { ( x, y, q ) : a x b, r y s} (Hình 2c) (Hình 2a) (Hình 2b) (Hình 2c) Từ sơ đồ này, thấy trờng hợp véctơ pháp tuyến đơn vị nằm hớng với trục tọa độ dA số dxdy, dxdz dydz Một cách xác Trên S1: n=(-1,0,0) , dA= dydz Trên S4: n=(0,1,0) , dA= dxdz Trên S2: n= (1,0,0) , dA= dydz Trên S5: n=(0,0,-1), dA= dydz Trên S3: n= (0,-1,0) , dA= dxdz Trên S6: n=(0,0,1), dA= dydx Chúng ta ớc lợng tích phân thông lợng mặt phần: F ndA = F ndA + F ndA + F ndA + F ndA + F ndA + F ndA = S S1 S2 S3 S4 q s q b p r p a S5 S6 F (a, y, z)(1, 0, 0) + F (b, y, z)(1, 0, 0)dydz + F ( x, r , z)(0, 1, 0) + F ( x, s, z)(0,1, 0)dxdz + b s + F ( x, y, p)(0, 0, 1) + F ( x, y, q)(0, 0,1)dydx = a r q s = F1 (a, y, z ) + F1 (b, y, z )dydz + p r q b ( F ( x, r , z) + F ( x, s, z))dxdz + 2 p a b s + ( F ( x, y, p) + F ( x, y, q))dydx 3 a r Chú ý trờng hợp tích phân khác hàm điểm Đặc biệt: -F1(a,y,z) + F1(b,y,z) = b F1 x ( x, y, z )dx a 31 -F2(x,r,z) + F2(x,s,z) = s F2 y ( x, y, z )dy r q -F3(x,y,p) + F3(x,y,q) = F3 ( x, y, z )dz z p Do đó: q s b F S F ndA = p r a x1 ( x, y, z)dxdydz + q s b = F1 ( x + p r a q b s b s q F F p a r y2 ( x, y, z )dxdydz + a r p z3 ( x, y, z)dzdydx = F2 F3 + )dxdydz = divFdV y z M 2.2.11 ứng dụng 1) Nếu divF = thể tích miền đợc xác định nh biến thiên thông lợng FdA = volG G Ví dụ1: Tính thể tích khối xuyến T(a,b) tạo nên mặt xuyến r(u,v) = ((a+ bcosv)cosu, (a+ bcosv)sinu, bsinv) x, y , ) Xét trờng véctơ F(x,y,z) = ( có divF =1 Tham số hóa xuyến cho : ru rv = b(a+ bcosv)(cosucosv, cosvsinu, sinv) Thông lợng trờng véctơ qua biên xuyến là: 0 r r F ( r (u, v ) ) ữdudv = u v 2 b(a + b cos v) cos vdudv = 2 ab 0 Vậy Vxuyến= 2 ab2 Ví dụ2: Tính thể tích ellipsoid có phơng trình x2 y z + + =1 a b2 c2 (a,b,c bán trục) Tham số hóa ellipsoid ( , ) = ( a sin cos , b sin sin , c cos ) , Ta có: , 32 = ( a cos cos , b cos sin , c sin ) = ( a sin sin , b sin cos , ) = ( cb sin cos , ac sin sin , ab sin cos ) x, y , ) Xét trờng véctơ F(x,y,z)= ( có divF= Thông lợng trờng véctơ qua mặt ellipsoid là: a sin cos b sin sin , , ữ bc sin cos , ac sin sin , ab sin cos d d = 2 ( 0 = 20 Vậy Vellipsoid = ) 14 abc sin d d = abc d = abc abc 2) Mệnh đề: (công thức tính thể tích khối đa diện) Nếu Pi = (xi,yi,zi) đỉnh đa diện không gian { } Fj = Pi1 , , Pikj mặt V= j A j z với Aj diện tích hình chiếu đa giác F j mặt phẳng j Oxy z = ( zi1 + + zk j ) j kj giá trị trung bình mặt Fj Chứng minh: Xét trờng véctơ F(x,y,z) = z có divF = Thông lợng qua ( zi1 + + zk j ) mặt F Fj ì kj = Fj z j = Aj z j Mặt khác định lí Gauss khẳng định thể tích tổng thông lợng Aj z j qua mặt 33 kết luận Những kết luận văn đạt đợc là: - Trình bày cách có hệ thống khái niệm chứng minh chi tiết tính chất dạng vi phân đa tạp - Chứng minh định lí Stokes k-dạng vi phân đa tạp - Chứng minh tính chất 2.1.2(c,f,i); mệnh đề 2.1.3 trình bày điều kiện 2.1.4 trờng véctơ bảo toàn - Trình bày cách tính diện tích mặt tròn xoay (Định lí Gudin 1) tính Sxuyến - ứng dụng định lí: Stokes, Green, Ostrogratski để tìm diện tích mặt hypocycloid diện tích đa giác - Trình bày cách tính thể tích miền tính thể tích khối xuyến, khối ellipsoid, thể tích khối đa diện 34 Dự kiến: Trong thời gian tới hớng luận văn là: - Tìm thêm ứng dụng định lí: Stokes, Green, Ostrogratski - Mở rộng nghiên cứu trờng véctơ đa tạp phức Trớc kết thúc luận văn này, lần cho phép đợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến bảo, dìu dắt thầy giáo PGS - TS Nguyễn Hữu Quang, thầy, cô giáo khoa toán, khoa sau đại học, phòng ban chức năng, thầy cô giáo tổ môn Hình học- Tôpô trờng đại học Vinh, ban giám hiệu thầy cô trờng THPT Đông Sơn I - Thanh Hóa tạo điều kiện giúp hoàn thành luận văn này./ tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Khu Quốc Anh, Nguyễn Doãn Tuấn (2005) Lí thuyết liên thông hình học Riemann, Nhà xuất ĐHSP Đoàn Quỳnh(2003), Hình học vi phân, Nhà xuất ĐHSP [2] Cartan (1980), Phép tính vi phân dạng vi phân [3] Nguyễn Hữu Quang(2005), Hình học Riemann, (Bài giảng cho học viên cao học) [4] Đoàn Quỳnh(2003), Hình học vi phân, Nhà xuất ĐHSP [5] G.M.Fichtengôn(1972), Cơ sở giải tích toán học(tập 2), Nhà xuất ĐH THCN [6] M.Spivac(1985), Giải tích toán học đa tạp, Nhà xuất ĐH THCN Tiếng Anh [7] H.M.Schey, (1996), Div, Grad, Curl, and all that, ISBN 0393 [8] Marsden, Jerrold E Anthony Tromba(2003), Vector Calculus Sthedition W.H.Freeman [9] Stewart, James,(2001), Calculu: Concepts and Contexts 2nd ed Pacific Grove CA: Brooks/Cole 35 [10] S Kobayashi, K Nomizu Foundations of diffrential geometry Intesience Publishers New York-London Vol 1, 1963; Vol 2, 1969 [...]... k k (W ) Vậy ( fg )* = g * f * 1.2 Tích phân k -dạng vi phân 1.2.1 Định nghĩa Tích phân của dạng vi phân bậc n trên đa tạp định hớng, compăct n chiều kí hiệu là và đợc xác định: M Chọn một atlat hữu hạn { (U , x )} tơng thích với định hớng của M, lấy họ tập K = với ' , M = U K , biên của x ( K ) có độ đo compact K U , K ' 0, gọi là dạng vi phân trên x (U ) để x* ( ) = |U khi đó ... 2 đó là diện tích Diện tích của miền compắc B U đợc cho bởi: Diện tích (B) = B det gdu1du2 15 Chơng II : Tích phân trờng véctơ và ứng dụng Trong chơng này, chúng tôi đa ra khái niệm các trờng: div, grad, rot trong R3 và các tính chất của chúng Tích phân mặt của trờng véc tơ, ứng dụng tích phân trờng véctơ để tính diện tích và thể tích của mặt 2.1 Trờng véctơ trong R3 2.1.1 Định nghĩa a) Giả sử F... Tôpô trờng đại học Vinh, ban giám hiệu cùng các thầy cô trờng THPT Đông Sơn I - Thanh Hóa đã tạo mọi điều kiện giúp tôi hoàn thành luận văn này./ tài liệu tham khảo Tiếng Vi t [1] Khu Quốc Anh, Nguyễn Doãn Tuấn (2005) Lí thuyết liên thông và hình học Riemann, Nhà xuất bản ĐHSP Đoàn Quỳnh(2003), Hình học vi phân, Nhà xuất bản ĐHSP [2] Cartan (1980), Phép tính vi phân và các dạng vi phân [3] Nguyễn Hữu... Gauss khẳng định rằng thể tích là tổng của các thông lợng Aj z j qua các mặt 33 kết luận Những kết quả luận văn đạt đợc là: - Trình bày một cách có hệ thống các khái niệm và chứng minh chi tiết các tính chất của dạng vi phân trên đa tạp - Chứng minh định lí Stokes đối với k -dạng vi phân trên đa tạp - Chứng minh các tính chất 2.1.2(c,f,i); mệnh đề 2.1.3 và trình bày điều kiện 2.1.4 về trờng véctơ bảo toàn... M là ánh xạ bao hàm Từ đó dễ dàng thử lại rằng i * = 0 với j 1 và i * ( x ) = f (1, x2 , , xn )dx2 dxn với j = 1 từ đó Bớc 2: M 1 1 0 0 i * = f ( x )dx dx 2 n 13 Giả sử bây giờ M = [0,1) ì (0,1)n-1 và cho là dạng vi phân bất kỳ ta có thể ả vi t ( x ) = f j ( x )dx1 dx j dxn j và bằng phép cộng tích phân chúng ta quay về trờng hợp 1 Bớc 3: Khi M = (0,1)n chúng ta có thể chứng minh tiếp... [0, + ) ì Rn-1 và một điểm x U bằng phép tịnh tiến và có thể tìm một đờng bậc ba lân cận của x nằm trong U Xét một phân hoạch đơn vị i của atlat này Từ tính chất của tích phân trên đa tạp ta có d M = d = d ( ) = d ( ) (d ) ( ) * * i * i i Ui * i i Ui i Ui i i Ui Tích phân thứ 2 trong phơng trình cuối bằng 0 vì d i i = d i = 0 khi đó áp i dụng bớc trớc với tích phân đầu ta có ... trình bày điều kiện 2.1.4 về trờng véctơ bảo toàn - Trình bày cách tính diện tích mặt tròn xoay (Định lí Gudin 1) và tính Sxuyến - ứng dụng các định lí: Stokes, Green, Ostrogratski để tìm diện tích các mặt hypocycloid và diện tích đa giác - Trình bày cách tính thể tích của một miền và tính thể tích khối xuyến, khối ellipsoid, thể tích khối đa diện 34 Dự kiến: Trong thời gian tới hớng tiếp theo của luận... pháp tuyến đơn vị của mặt S , ndA đợc gọi là phần tử vi phân định hớng của diện tích mặt S và đợc xác định nh sau: 22 r r ndA = ữdudv u v khi đó tích phân mặt định hớng của trờng véctơ F trong R3 đợc xác định là: r r FndA = F (r (u, v )) u v ữdudv S với r : D S D (u,v) a r(u,v) là một tham số hóa bất kỳ của S và FndA còn đợc gọi là tích phân thông lợng của trờng véctơ F qua mặt S S 2.2.5... r S t dt C 0 te ( ) Nhận xét: (a) Định lí Stokes khẳng định rằng thông lợng của rotF qua một mặt S chỉ phụ thuộc vào biên C của S mà không phụ thuộc vào hình dạng của nó rotFdA là giống nhau cho S Nh vậy định lí cũng dùng để thay đổi tích phân của trờng véctơ trên một mặt khó về tích phân của trờng véctơ trên một mặt đẹp đẽ với cùng biên (b) Nếu S không có biên (ví dụ mặt cầu) thì rotFdA = 0 S... = x(u,v) y = y(u,v) z = z(u,v) thì r r r r và là các véctơ tiếp xúc với mặt phẳng, khi 0 thì hai véctơ u u v v xác định mặt phẳng tiếp xúc của mặt S tại mỗi điểm trên mặt 2.2.2 Định nghĩa Cho S là một mặt trong không gian R3 với tham số hóa r = r(u,v) thì dA đợc gọi là phần tử vi phân không định hớng của diện tích mặt và dA = r r dudv u v khi đó tích phân mặt không định hớng của một hàm f bất kỳ ... nội dung sau: Chơng I: Tích phân k -dạng vi phân Trong chơng trình bày khái niệm k -dạng vi phân, tính chất k -dạng vi phân, khái niệm vi phân k -dạng vi phân, tính chất vi phân Khái niệm ánh xạ đối... Trong chơng trình bày khái niệm k -dạng vi phân, tích k -dạng vi phân, vi phân định lí Stokes dạng vi phân 1.1 Dạng vi phân đa tạp 1.1.1 Định nghĩa K -dạng vi phân đa tạp M ánh xạ đặt tơng ứng... biết định lí Stokes hình học vi phân phát biểu tích phân dạng vi phân, tổng quát vài định lí từ tính toán vectơ Định lí đợc công bố Stokes Tích phân k -dạng vi phân tích phân trờng véctơ khái niệm