Về tích phân dạng vi phân và tích phân trường vectơ

Tích phân mặt của trờng véc...20 Kết luận ...35 Tài liệu tham khảo ...36 mở đầu Nh chúng ta đã biết định lí Stokes trong hình học vi phân là một phát biểu về tích phân của dạng vi phân,

bộ giáo dục và đào tạo

trờng đại học vinh

Dạng vi phân trên đa tạp 1.2.Tích phân k- dạng vi phân 11

Chơng II:Tích phân trờng véctơ và ung dụng 15

2.1.Trờng véctơ trong 15

2.2 Tích phân mặt của trờng véc 20

Kết luận 35

Tài liệu tham khảo 36

mở đầu

Nh chúng ta đã biết định lí Stokes trong hình học vi phân là một phát biểu về tích phân của dạng vi phân, nó là tổng quát của một vài định lí từ tính toán vectơ Định lí đó đợc công bố bởi Stokes

Tích phân k-dạng vi phân và tích phân trờng véctơ là những khái niệm

có liên quan nhiều đến lĩnh vực vật lí và có nhiều ứng dụng trong cuộc sống

Luận văn này chủ yếu trình bày về tích phân dạng vi phân trên đa tạp và tích phân trờng véctơ trong R3 Ngoài ra luận văn còn trình bày các ứng dụng của các định lí Stokes, Green, Ostrogratski để tính diện tích và thể tích các mặt trong R3

Luận văn đợc chia làm 2 chơng với những nội dung cơ bản sau:

Chơng I: Tích phân k-dạng vi phân

Trong chơng này chúng tôi trình bày khái niệm k-dạng vi phân, các tính chất của k-dạng vi phân, khái niệm vi phân ngoài của k-dạng vi phân, các tính chất của vi phân ngoài Khái niệm ánh xạ đối tiếp xúc của ánh xạ f và các

tính chất của ánh xạ đối tiếp xúc Trình bày chi tiết chứng minh định lí Stokes

đối với k-dạng vi phân

Chơng II: Tích phân trờng véctơ và ứng dụng

Trong chơng này, chúng tôi đa ra khái niệm các trờng: div ,grad ,rottrong R3 và các tính chất của chúng Trình bày điều kiện để một trờng véctơ Ftrong R3 là bảo toàn Khái niệm tích phân mặt của trờng véctơ, trình bày côngthức tính diện tích của mặt tròn xoay Đa ra các ứng dụng của các định líStokes, Green, Ostrogratski để tính diện tích và thể tích của mặt

Vì năng lực và thời gian có hạn nên luận văn này không thể tránh khỏinhững thiếu sót Rất mong các thầy, cô giáo cùng các bạn đồng nghiệp vuilòng góp ý

Luận văn đợc hoàn thành vào tháng 12 năm 2006 tại trờng Đại họcVinh dới sự hớng dẫn của thầy giáo PGS - TS Nguyễn Hữu Quang Nhân dịpnày tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy ngời đã hớng dẫn tôi trongsuốt quá trình học tập và nghiên cứu, cảm ơn các thầy giáo trong tổ Hình học

đã giảng dạy và chỉ bảo những vấn đề có liên quan đến đề tài nghiên cứu

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy giáo cô giáo khoa Toán, khoa sau

đại học và Ban giám hiệu trờng Đại học Vinh, trờng THPT Đông sơn I, các

đồng nghiệp, bạn bè và gia đình đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốtquá trình học tập và nghiên cứu

Tác giả

đợc trang bị các phép toán cộng và phép toán nhân nh sau:

Với ω ω ∈Ω , ' k( )M và ϕ ∈F(M), ta lấy các phần tử ký hiệu bởi ω ω + 'và

Ta nhận thấy rằng với 2 phép toán trên thì Ωk( )M trở thành F(M) mô đun

1.1.2 Định nghĩa Giả sử ω ∈Ωk( )M ,ω ∈Ω ' l( )M Ta gọi tích ngoài của ω vàω '

là phần tử ∈Ωk l+ ( )M ký hiệu bởi ω ∧ ω ' và xác định bởi hệ thức

1) Cho hai dạng vi phân bậc một ω vàω ' trên M, tích ngoài ω ∧ ω ' là dạng vi

δ1< <δkvà δk+1< <δl k+ (**)

Ta xét hoán vị α chuyển dãy {1, ,l+k} thành dãy {k+1, ,k+l, 1 k}

Với 1≤i ≤k ta có δ (i) = δ α(l+i) còn với k+1≤j ≤l+k δ (j) = δ α(j-k)

Ta đặt δ α= σ

Do (**) nên σ thỏa mãn điều kiện trong định nghĩa 1.2.1 Ngợc lại nếu σ

thỏa mãn điều kiện trong định nghĩa 1.2.1 thì với δ = σ α − 1 điều kiện (**) đợcthực hiện

Tiếp theo ε δ( ) = ε σ ε α( ) ( )và ε α = −( ) ( 1)kl bởi vì để thực hiệnα cần phải tiếnhành lk phép đổi chỗ liên tiếp 1, ,k với k+1, ,l+k vì vậy đẳng thức (*) đợcviết nh sau:

Giả sử k, l, r là 3 số nguyên dơng và Ωk l r, , là không gian con trong L(k+l+r)

(không gian các ánh xạ tuyến tính thay dấu theo k biến thứ nhất và l biến thứhai và r biến thứ 3)

1.1.5 Mệnh đề([2]) Giả sử ω1, , ωnlà những dạng tuyến tính Khi đó:

(ω ∧1 ∧ ωn)(x1, ,xn) = ( )

σ

ε σ

∑ ω 1 (xσ1) ωn (xσn)= det{ωi( )x i }

Trong đó tổng đợc lấy theo tất cả n! hoán vị của dãy {1, ,n}

Chứng minh: Quy nạp theo n

mà ký hiệu là dω, dω ∈Ωk+1 ( )M đợc gọi là vi phân ngoài của ω và đợc xác

n k

= X(fdg(Y)) - Y(fdg(X)) - fdg([X,Y])

= X(fY(g)) - Y(fX(g)) - f[X,Y](g)

= X(f)Y(g) + fXY(g) - Y(f)X(g) - fYX(g) - f[X,Y](g)

= X(f)Y(g) + f[X,Y](g) - Y(f)X(g) - f[X,Y](g)

= X(f)Y(g) - Y(f)X(g)

VËy VT = VP

1.1.8 Định nghĩa Giả sử Mm là đa tạp Riman m-chiều và Nn là đa tạp Rimann-chiều, ánh xạ

f M: m →N nlà một ánh xạ khả vi, ánh xạ đối tiếp xúc của f đợc kí hiệu là

ở đây chúng tôi chỉ kiểm tra tính chất b), c) và d)

Trớc hết ta kiểm tra tính chất b)

Theo định nghĩa phép nhân ngoài ta có:

Bây giờ ta kiểm tra tính chất c)

Gọi U(Xi) là hệ tọa độ địa phơng trên M

1.2 Tích phân k-dạng vi phân.

compăct n chiều kí hiệu là

dạng vi phân lớp C1 có giá compắc trên M ∂M là biên của M với định hớng

Giả sử bây giờ M = [0,1)ì(0,1)n-1 và cho ω là dạng vi phân bất kỳ ta có thể

Bây giờ ta xét trờng hợp tổng quát

Đầu tiên xét một atlat (Ui,φi) sao cho Ui là hình lập phơng (0,1]ì(0,1)n-1 hoặc

Ui = (0,1)n điều này luôn có thể làm đợc

Cho tập mở U bất kỳ trong [0,+∞) ìRn-1 và một điểm x∈U bằng phép tịnh tiến

và có thể tìm một đờng bậc ba lân cận của x nằm trong U

Xét một phân hoạch đơn vị αi của atlat này

Từ tính chất của tích phân trên đa tạp ta có

*

i

i i

1.2.3 Dạng thể tích Riman Nh chúng ta đã biết bất kỳ một đa tạp Riman n

chiều đều có một dạng thể tích Riman, trong tọa độ địa phơng nó đợc miêu tảlà:

ω = g dx1 ∧ ∧ dx n

Trong đó: g là giá trị tuyệt đối của định thức mêtric tenxơ trên đa tạp

dx1 ∧ ∧ dxn là cơ sở của không gian đối tiếp xúc

Bây giờ ta xét dạng thể tích của một mặt

Một mặt 2 chiều trong không gian Ơclit n chiều, đợc cho bởi tham số hóa

Chơng II : Tích phân trờng véctơ và ứng dụng

Trong chơng này, chúng tôi đa ra khái niệm các trờng: div, grad, rot trong R3

và các tính chất của chúng Tích phân mặt của trờng véc tơ, ứng dụng tíchphân trờng véctơ để tính diện tích và thể tích của mặt

2.1 Trờng véctơ trong R 3

rotF là một trờng véctơ đợc xác định nh sau:

divF = Px +Qy +Rz = P Q R

a) rot(X+Y) = rotX + rotY

b) rot(ϕX) = ϕrotX + (gradϕ)∧X

c) rot(X∧Y) =Y(gradX) - X(gradY) + XdivY - YdivX

d) grad(ϕ+ψ ) = gradϕ + gradψ .

e) grad(ϕψ ) =ψ gradϕ +ϕgradψ

f) grad(X.Y) = Y(gradX) + X(gradY) + X∧rotY + Y∧rotX

g) div(X+Y) = divX + divY

h) div(ϕX) = ϕdivX +(gradϕ).X.

i) div(X∧Y) = Y.rotX - X.rotY

Chøng minh:

ë ®©y ta chØ kiÓm tra tÝnh chÊt c), f, i)

Tríc hÕt ta kiÓm tra tÝnh chÊt c)

X Y y

∂

−

Y X z

X Y

Bây giờ ta xét trờng véctơ F trong R2.

2.1.4 Mệnh đề([5]) Trờng véctơ F(x,y) = (P(x,y); Q(x,y)) là một trờng véctơ

bảo toàn khi và chỉ khi P x y( , ) Q x y( , )

fy(x,y) = xcosy + siny (5)

Lấy nguyên hàm hai vế đẳng thức (4) đối với biến x chúng ta nhận đợc

f(x,y) = xsiny + C1(y) (6)

ở đây C1(y) là hàm số cha biết nó phụ thuộc vào biến y

Lấy nguyên hàm hai vế đẳng thức (5) đối với biến y chúng ta nhận đợc

f(x,y) = xsiny - cosy + C2(x) (7)

ở đây C2(x) là hàm số cha biết nó phụ thuộc vào biến x

Do đó C2(x) = C Từ (7) suy ra f(x,y) = xsiny - cosy + C.

2.2 Tích phân mặt của trờng véctơ

(u,v) a r(u,v) , (u,v) ⊂G

với G là miền xác định trong mặt phẳng, khi đó: x = x(u,v)

xác định mặt phẳng tiếp xúc của mặt S tại mỗi điểm trên mặt

r = r(u,v) thì dA đợc gọi là phần tử vi phân không định hớng của diện tích mặt

Chúng ta tính A(S2(δ )) (Diện tích mặt của S2(δ ) ).

Ta có tham số hóa S2(δ ) bởi: vĩ độ φ và kinh độ θ

x= δ sinφcosθ với 0 ≤ φ ≤ π

tuyến đơn vị của mặt S , ndA đợc gọi là phần tử vi phân định hớng của diệntích mặt S và đợc xác định nh sau:

∫∫ còn đợc gọi là tích phân thông lợng của trờng véctơ F qua mặt S.

2.2.5 Ví dụ Cho F là trờng véctơ đặc trng

2.2.6 ứng dụng Tính diện tích của mặt tròn xoay

Xét mặt tròn xoay trong E3 (đa tạp 2 chiều compắc với bờ trong E3) có đợc

do quay quanh trục Oz cung đoạn chính quy x= ϕ ( )u ,y= 0 ,z= ψ ( )u (

b) Gọi G là trọng tâm của cung đoạn nói trên Chứng minh rằng diện tích củamặt tròn xoay đó bằng tích của độ dài cung đoạn ấy với độ dài cung đoạn gâybởi G quay quanh trục Oz( định lí Gudin 1).

c) áp dụng tính Sxuyến= ?

Chứng minh:

a) Mặt tròn xoay này xác định bởi phơng trình tham số

r(u,v) = (ϕ ( ) cos , ( )sin , ( )u vϕ u vψ u ) ( a≤ ≤u b ,0 ≤ ≤v 2 π)

b) Nhắc lại khái niệm trọng tâm của cung đoạn

Cho hàm sốϕ dọc cung đoạn Γ trong En mà ϕ 0

Γ

≠

∫ Lấy tọa độ afin

(x1,x2 xn) trong En và xét điểm G có tọa độ

i i

x y

ϕ ϕ

Γ Γ

= ∫

∫ (i = 1, n)

Khi ϕ luôn dơng ta nói G là trọng tâm của cung đoạn Γ

Quay lại chứng minh b)

Cung đoạn đang xét là ρ ( )u =(ϕ ( ),0, ( )u ψ u ) (a u b≤ ≤ , ( ) 0 ϕ u > )

Suy ra độ dài cung đoạn này là:

' '

1

( ) ( ( )) ( )

b

b

a a

b

a b

b

a b

c) ¸p dông: t×m diÖn tÝch mÆt xuyÕn T(a,b)

Tham sè hãa cña mÆt xuyÕn lµ r(u,v) = ((a+bcosv)cosu,(a+bcosv)sinu,bsinv) víi 0≤u≤2π

2.2.7 Định lí Green([6]) Cho D là miền trong R2 với biên là đờng cong C

đơn, trơn từng khúc đóng trong mặt phẳng và F(x,y) = (F1(x,y),F2(x,y)) là mộttrờng véctơ khả vi liên tục thì

a

C1

C3

Ví dụ: Cho đờng cong r(t) = (cos3t, sin3t) đợc gọi là một hypocycloid

Tìm diện tích của hypocycloid

Sử dụng trờng véctơ F(x,y) = (0,x) với rotF= 1 thì

2) Mệnh đề: (tính diện tích của đa giác)

Nếu Pi = (xi,yi) i=1,n là các cạnh của một đa giác trên mặt phẳng thì diện tíchcủa nó là:

Trong đó xi-xi+1 là hình chiếu diện tích trên trục x và ( 1 )

thang (xi,0); (xi+1,0); (xi+1,yi+1); (xi,yi)

đ-ờng cong C đơn, trơn từng khúc, F là trđ-ờng véctơ khả vi liên tục (trong lân cậncủa S) thì

Cho S = {r u v( , ) : ( , )u v T∈D} vµ $

r r

u v n

Hîp thµnh r r r$= .Γcña tham sè hãa cña S víi tham sè hãa cña Γ cho mét tham

sè hãa cña C nghÜa lµ C = {r t t$( ) : ∈[t t0 , e]}, ( )r t$ =r r t( Γ( )) (=r u t v t( ), ( ))

S, n là trờng véctơ pháp tuyến đơn vị của mặt S, F là trờng véctơ khả vi liêntục theo từng biến.

Trªn S1: n=(-1,0,0) , dA= dydz Trªn S4: n=(0,1,0) , dA= dxdz.

Trªn S2: n= (1,0,0) , dA= dydz Trªn S5: n=(0,0,-1), dA= dydz

Trªn S3: n= (0,-1,0) , dA= dxdz Trªn S6: n=(0,0,1), dA= dydx

∂

∂

∫

VÝ dô1: TÝnh thÓ tÝch cña khèi xuyÕn T(a,b) t¹o nªn bëi mÆt xuyÕn

r(u,v) = ((a+ bcosv)cosu, (a+ bcosv)sinu, bsinv)

XÐt trêng vÐct¬ F(x,y,z) = ( , ,0)

2

x y cã divF =1

Tham sè hãa cña xuyÕn cho bëi :

ru ∧ rv = b(a+ bcosv)(cosucosv, cosvsinu, sinv)

Th«ng lîng cña trêng vÐct¬ nµy qua biªn cña xuyÕn lµ:

Tham sè hãa cña ellipsoid lµ

(ϕ θ , ) (asin cos , sin sin , cos ϕ θ b ϕ θ c ϕ)

Ta cã:

Φ =ϕ (acos cos , cos sin , ϕ θ b ϕ θ −csin ϕ)

Φ = −θ ( asin sin , sin cos ,0 ϕ θ b ϕ θ )

Φ ∧ Φ =ϕ θ (cbsin 2 ϕ cos , θ acsin 2 ϕ sin , θ absin cos ϕ ϕ)

Nếu Pi = (xi,yi,zi) là các đỉnh của một đa diện trong không gian và

= là giá trị trung bình của mặt Fj

Chứng minh: Xét trờng véctơ F(x,y,z) = z có divF = 1 Thông lợng qua một

kết luận

Những kết quả luận văn đạt đợc là:

- Trình bày một cách có hệ thống các khái niệm và chứng minh chi tiếtcác tính chất của dạng vi phân trên đa tạp

- Chứng minh định lí Stokes đối với k-dạng vi phân trên đa tạp

- Chứng minh các tính chất 2.1.2(c,f,i); mệnh đề 2.1.3 và trình bày điềukiện 2.1.4 về trờng véctơ bảo toàn

- Trình bày cách tính diện tích mặt tròn xoay (Định lí Gudin 1) và tính

Dự kiến: Trong thời gian tới hớng tiếp theo của luận văn là:

- Tìm thêm các ứng dụng của các định lí: Stokes, Green, Ostrogratski

- Mở rộng nghiên cứu trờng véctơ trên đa tạp phức

Trớc khi kết thúc luận văn này, một lần nữa cho phép tôi đợc bày tỏlòng biết ơn sâu sắc đến sự chỉ bảo, dìu dắt của thầy giáo PGS - TS NguyễnHữu Quang, các thầy, cô giáo khoa toán, khoa sau đại học, các phòng banchức năng, các thầy cô giáo trong tổ bộ môn Hình học- Tôpô trờng đại họcVinh, ban giám hiệu cùng các thầy cô trờng THPT Đông Sơn I - Thanh Hóa đãtạo mọi điều kiện giúp tôi hoàn thành luận văn này./

[4] Đoàn Quỳnh(2003), Hình học vi phân, Nhà xuất bản ĐHSP

[5] G.M.Fichtengôn(1972), Cơ sở giải tích toán học(tập 2), Nhà xuất bản

ĐH và THCN

[6] M.Spivac(1985), Giải tích toán học trên đa tạp, Nhà xuất bản ĐH và

THCN

Tiếng Anh

[7] H.M.Schey, (1996), Div, Grad, Curl, and all that, ISBN 0393

[8] Marsden, Jerrold E Anthony Tromba(2003), Vector Calculus Sthedition

W.H.Freeman

[9] Stewart, James,(2001), Calculu: Concepts and Contexts 2nd ed Pacific

Grove CA: Brooks/Cole

[10] S Kobayashi, K Nomizu Foundations of diffrential geometry.

Intesience Publishers New York-London Vol 1, 1963; Vol 2, 1969