Về k dạng vi phân trong rn

Ngoài ra bằng việc sử dụng k - dạng vi phân chúng tôi đã trình bày ánh xạ tiếp xúc và đối tiếp xúc để ứng dụng vào tính tích phân của một dạng vi phân dọc theo một đờng cong.. Để thuận t

Ch¬ng II: K - d¹ng vi ph©n trong n

II.1.2 C¸c phÐp to¸n trong Ωk(n) : = Ωk 14

II.3.2 Lu sè cña thêng vÐc t¬ X däc theo cung Γ 28

Lêi nãi ®Çu

Lý thuyết về dạng vi phân đợc trình bày trong nhiều giáo trình Hình học

vi phân Các dạng vi phân có nhiều ứng dụng trong toán học và vật lý học của

lý thuyết tích phân Dạng vi phân cấp k nó có tính chất và ứng dụng vào việctính tích phân trên k - dạng vi phân Những tính chất này phải kể đến kết quảcủa Cartan [1], Đoàn Quỳnh [5], M.Xpivak [8]

Trong khoá luận này chúng tôi đã tổng hợp các tài liệu [1], [4], [5],[8] để trình bày và chứng minh chi tiết một số tính chất về k - dạng vi phântrong n Ngoài ra bằng việc sử dụng k - dạng vi phân chúng tôi đã trình bày

ánh xạ tiếp xúc và đối tiếp xúc để ứng dụng vào tính tích phân của một dạng

vi phân dọc theo một đờng cong

Vì vậy chúng tôi đặt cho tiêu đề của khoá luận là Về K - dạng vi phân trong  n

Khoá luận gồm 4 phần: Phần mở đầu, phần nội dung, phần kết luận vàtài liệu tham khảo

Phần nội dung chia làm 2 chơng:

Chơng I: K- dạng tuyến tính phản xứng.

Để thuận tiện cho việc trình bày K- dạng vi phân trên  n, trong chơngnày chúng tôi đã nhấn mạnh hai vấn đề: K - dạng tuyến tính, và K- dạng tuyến

tính phản xứng Chúng tôi đã nêu định nghĩa và phát biểu các tính chất về tích

ngoài của K - dạng tuyến tính phản xứng Ngoài ra, chúng tôi còn đa vào kháiniệm của trờng véc tơ trong  n để thuận tiện cho việc trình bày ở chơng II vàứng dụng cho phép tính tích phân dọc theo một đờng cong trên một dạng

Chơng II: K - dạng vi phân trong n

Trong chơng này đầu tiên trình bày khái niện K - dạng vi phân trong 

n và chứng tỏ rằng với K - dạng vi phân có thể tiến hành các phép toán theocác quy tắc bao quát đợc thực hiện trên không gian Ωk(n) = {tập hợp các K -dạng vi phân khả vi}

Trong quá trình nghiên cứu chúng tôi đã chứng minh đợc rằng số chiềucủa không gian Ωk(n)

Từ việc nghiên cứu dạng tổng quát các dạng vi phân trong n chung tôi

đã nghiên cứu thêm về ánh xạ tiếp xúc và đối tiếp xúc trong  n để ứn g dụngvào việc tính tích phân đờng của dạng vi phân bậc nhất

Khoá luận đợc thực hiện tại khoa Toán, Trờng Đại học Vinh Dới sự ớng dẫn tận tình của thầy giáo: ThS Nguyễn Hữu Quang và sự giúp đỡ nhiệttình của thầy giáo PGS-TS Nguyễn Hữu Quang và các thầy cô giáo trongkhoa Toán cùng với gia đình và bạn bè

h-Nhân dịp này em chân thành cảm ơn sâu sắc tới các thầy giáo P.GS-TS.Nguyễn Hữu Quang và ThS Nguyễn Hữu Quang cùng với các thầy cô giáotrong khoa Toán, Trờng Đại học Vinh Xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã giúp

đỡ tạo điều kiện cho em trong quá trình học tập và hoàn thành khoá luận tốtnghiệp này

Trong thời gian làm luận văn, em đã cố gắng hết sức song vì khả năng

có hạn nên trong luận văn chắc chắn có nhiều thiếu sót Kính mong sự góp ýcủa các thầy, cô và các bạn Xin chân thành cảm ơn !

Vinh, ngày tháng 5 năm 2004

Tác giả

= α.β.f ( x 1 , x 2 , , x k )





 = (α β) f ( x 1 , x 2 , , x k )

k 2 1 k 1

1 j j j

1 j j j

k 2 1 k 1

⇒ f(x1 ,x 2 , , x k ) = f (∑

) e , , e , e ( x

k 2

1 k

1 nÕu i1 = j 1 , , i k = j k

0 nÕu c¸c trêng hîp cßn l¹i

= ∑

) e , , e , e ( f x

k 2 1 k 1

= ∑

i i 1 i k i 1 i k

a

k

1 i i

a = f ( e , e , , e )

k 2

k 2

1 k

= ∑

i i i i i i i i

) e , , e , e (

f x

k 2 1 k 1 k 1

= x i 1 i k (2)Thay (2) vào (1) ta có:

Vậy (*) là hệ sinh

⇒ { }i i 1 i , , i n

k 1 k

I.1.2.1 Đinh nghĩa.

ánh xạ f ∈Lk, f - đợc gọi là k - dạng tuyến tính phản xứng nếu và chỉ nếu:

Vậy Ak : là không gian véc tơ con của Lk

I.1.3 Tích ngoài các k- dạng tuyến tính phản xứng.

I.1.3.1 Định nghĩa Giả sử f ∈Ak, g ∈Al Ta định nghĩa tích ngoài của f

I.1.3.3 Ví dụ 1) Cho f ∈A2, g ∈ A1

Với điều kiện:

⇒ g ∧ f = (-1) k.l f∧ g hay : f ∧ g (-1)k.l g ∧ f .

* Chú ý: Khi chuyển từ dãy: (j, i) = (j 1 , j 2 , , j l , i 1 , , i k )

sang dãy (i, j) = (i 1 , , i k , j 1 , j 2 , , i l )

thì chỉ cần thực hiện trên jl, k- phép chuyển vị những phần tử liền nhau để đa

nó về vị trí cuối cùng, rồi thực hiện trên jl-1, k- phép chuyển vị kế tiếp và cứ

nh thế cả thảy có l.k phép chuyển vị những phần tử kế nhau Mặt khác mỗiphép đều có tính chặn lẻ của số nghịch thế

Đ 2 Trờng véc tơ trong  n

Trong không gian n = {X (x1 , , x n ) | x i ∈ , i = n1 } ,

Ta xem mỗi phần tử X là một điểm

Trong hệ toạ độ Dercarrtes vuông góc trong En thì ta có thể đồng nhất

En với n

(En : không gian Ơclít n- chiều với nền là En)

I.2.1 Trờng véc tơ trong  n

I.2.1.1 Định nghĩa.

Véc tơ tiếp xúc là một cặp (p , a ), trong đó p là một điểm, còn a là

một véc tơ thuộc n Ký hiệu là ap

Khi đó : ∀ p ∈ n, ta kí hiệu : Tpn = { ap | p điểm cố định} gọi là không

gian tiếp xúc tại p

Ta xác định hai phép toán trên Tpn nh sau:

Trờng X - nh vậy gọi là trờng song song ứng với véc tơ a

I.2.2 Trờng mục tiêu.

I.2.2.1 Định nghĩa Trờng mục tiêu (khả vi) trên tập mở U⊂ n là hệ n- trờng véc tơ (khả vi) {U1 , U 2 , , U n } trên U sao cho với mỗi p ∈ U,

{U1 (p), U 2 (p), , U n (p)} là một cơ sở của T p U.

p ∈ 

I.2.3 Cung tham số.

I.2.3.1 Định nghĩa: Mỗi ánh xạ ρ : J → n , từ một khoảng J ⊂  vào , gọi

là 1 cung tham số (hay một quỹ đạo) trong n

I.2.3.2 Nhận xét Lấy một điểm O - cố định trong n thì cho một cung tham

số ρ : J → n , tơng đơng với cho hàm véc tơ : ρ : J → n xác định bởi:

) t (

I.2.4 Trờng véc tơ dọc một cung tham số.

Cho ánh xạ ρ : J → n xác định t  ρ(t) Là cung tham số (khả vi)

trong n thì t  ρ'(t) = (ρ(t), ρ'(t)) là một trờng véc tơ và đợc gọi là trờng véc tơ

tiếp xúc với ρ, kí hiệu là ρ'.

Chơng II

Đ 1 K - dạng vi phân trong  n

II.1.1 Định nghĩa k - dạng vi phân trong  n

Xét trong n với mục tiêu tự nhiên : {0, e1 , e2 , , en } và {E 1 , E 2 , , E n } là

trờng mục tiêu tự nhiên trong n

Ak (p) = {f | Tpnì Tpnì ì Tpn →f , f -là ánh xạ đa tuyến tính - phản xứng}

Tpn = {αp | αp : là véc tơ tiếp xúc tại p}

II.1.1.1 Định nghĩa

ánh xạ ω : p →ωp , ∀p ∈ n và ωp ∈Ak(p), đợc gọi là k- dạng vi phântrên n

Nh vậy, một k - dạng vi phân chính là việc đặt tại mỗi điểm p - một ánh xạ k- tuyến tính phản xứng của Ak(p)

* Chú ý: Một k- dạng ω thì tác động vào một bộ k - trờng véc tơ thì chomột hàm số

II.1.1.3 NhËn xÐt.

(+) Ωk(n) = {ω| ω lµ k - d¹ng kh¶ vi trªn n}

(+) k = 0, quy íc : Ω0(n) = F (n) = {tËp c¸c hµm kh¶ vi}.(+) k > n ⇒Ωk(n) = 0

II.1.2 C¸c phÐp to¸n trong Ωk ( n ) : = Ωk

Gi¶ sö ω, ω1 , ω2∈ Ωk , ta ®a vµo hai phÐp to¸n:

(+) PhÐp céng: ω1 + ω2 : p →ω1 (p) + ω2 (p), ∀ p ∈ n

(+) PhÐp nh©n: •nÕu ϕ∈ F (n)

ϕ.ω : p  ϕ(p) ω(p), ∀ p ∈ n

•nÕu ϕ = const, ϕ(p) : = λ, ∀ p ∈ n λ.ω : p →λ.ω (p), ∀ p ∈ n

VËy Ωk : lµ modul

ii) Víi 2 phÐp to¸n: ω1 + ω2 : p  ω1 (p) + ω2 (p), ∀ p ∈ n

λω : p  λ.ω(p), ∀ p ∈ n.

Ta thö 8 ®iÒu kiÖn cña kh«ng gian vÐc t¬

Chøng minh (1), (2) hoµn toµn t¬ng tù c©u i)

(3) ∀ ω1 , ω2∈ Ωk th×:

(ω1 + ω2 )λ : p  ((ω1 + ω2 )λ) (p) = (ω1 + ω2 )(p).λ

= ω1 (p)λ+ ω2 (p)λ.

⇒ (ω1 + ω2 )λ = ω1 λ+ ω2 λ.

* C¸c tÝnh chÊt cßn l¹i chøng minh hoµn toµn t¬ng tù

VËy phÐp céng, phÐp nh©n víi λ th× Ωk lµ mét kh«ng gian vÐct¬

II.1.2.2 §Þnh lý.

TËp con cña Ωk cã d¹ng { dx i 1 ∧dx i 2 ∧ ∧dx i k } 1≤i 1<i 2< <i k≤n (*) lµ c¬ së cña modul Ωk

Chøng minh Ta cÇn chøng minh:

i) { dx dx dx }

k 2

1 i i

ii) { dx dx dx }

k 2

i

i

i i i

λ

k 2

k

i E

X .

⇒ω(X 1 , X 2 , ,X k ) = ω (∑

=

n 1

i i

k 1

p

k 2 , 1

) k i )

1

i , X X

sign

σ σ ω( E , , E )

k

1 i i

∈

n i

i i

k 1

p

k 2 , 1

) k i )

1

i , X X

sign

σ σ ω( E , , E )

k

1 i i

n i

i i 1

k 1

p

k 2 1

) k i )

1 i

(Do: tÝnh chÊt ph¶n xøng cña ω)

§Æt: ω( E , E , , E )

k 2

i i 1

k 1

p

k 2 1

) k i )

1 i

i

i n i

i i 1

i i 1

k 1

p

k 2 1

) k i )

1 i

i

i n i

i i 1

i

i n i

i i 1

ii) Theo định lý I.1.2.2 thì { dx i 1 ∧dx i 2 ∧ ∧dx i k } 1≤i 1< <i k≤n là cơ sở của modul Ωk, mà hệ cơ sở này có C phần tử nên dim n k Ωk = C n k

) k ( ) 1 (

+ +

- ω(x 3 ,x 5 ).η(x 1 , x 2 , x 4 ) + ω(x 4 ,x 5 ).η(x 1 , x 2 , x 3 ).

Ta xét hoán vị σ chuyển dãy {1, ,k+l} thành dãy {k+1, ,k+l, 1, ,k}.

Khi đó: ε (σ) = (-1) k.l, bởi vì thực hiện σ lần phải tiến hành k.l lần đổi chỗ liên tiếp 1, ,k với k+1, ,k+l

Trong đó σ chạy qua tập hợp các hoán vị thoả mãn điều kiện (*)

Mặt khác phép nhân các vô hớng là giao hoán, nên ta có thể thay đổi chỗ trong mỗi phép nhân

f  df = ∑

= ∂

∂

n 1

dx x f

ii) XÐt ¸nh x¹ d : Ωk→Ωk+1

ω  dω.

k 1

i i

i

i i

i

dx

i i

i

i n 1 i i

i

dx

dx ) dx x

) xy ( dx x

) xy

∂

∂+

) yz ( dx x

) yz (

∂

∂+

) xy ( dx x

) xy

∂

∂+

) xz ( dx x

) xz (

∂

∂+

) yz x ( dx x

) yz x

∂

∂+

∂

= (y2 dx + 2xydy) ∧ dx + (zdx + xdz) ∧ dy + (2xyzdx + x 2 zdy+ x 2 ydz) ∧dz.

= 2xydy ∧ dx + zdx ∧ dy + xdz ∧ dy + 2xydx ∧ dz + x 2 zdy ∧dz.

i i

i

i i

i

dx

i i

i

i i

i

dx

i i

i

i i

i i

i

dx

dx )

i i

i i

i

i i

i

dx

dx ) dx x

k 1 k 1

i i

i i

i

i i

i

dx

dx ) dx x

i i

i

i i

i

dx

dx )

i i

i i

i

i i

i

dx

dx ) dx x

) (

k 1

i i

i i

i

i i

i

dx

dx dx x

k 1

i i

i i

i

i i

i

dx

dx ) dx x

dx

dx dx

dx x

dx

dx dx

dx x

dx

dx dx

dx dx x

) g f

k

i n

1

dx

dx dx

dx dx ).

x

g f g x

f

∂

∂+

) dx

dx dx x

g (

l 1

dx dx

dx gdx x

f (

l 1

k 1

(

l 1

k 1

(do dxi ở trong ω ∧ dη nẳm ở vị trí thứ k+1 nên khi đa dx i lên vị trí thứ một

ta phải thực hiện đổi dấu k lần)

Do đó:

i

dx

dx dx

dx gdx x

dx

dx dx

dx dx x

g f

dx

dx dx

dx dx x

) g f (

(2)

Từ (1) và (2) ⇒ đpcm

Đ 2 ánh xạ tiếp xúc và đối tiếp xúc

II.2.1 ánh xạ tiếp xúc (Ta xét trên n)

) t ( f dt

) bt 2 , at 1 ( f dt

d

=

++

= ( 1 at , 3 at bt , ( 1 at )( 2 bt )) t 0 dt

d

=

++

+++

= (a, a+b, 2a+b)

Vậy: f*p (αp ) = (a, a+b, 2a+b).

x(t) = 1+at y(t) = 2+bt

Ta gäi Jp =

p x

n x

n

x

1 x

1

m 1

m 1

f

f

f

0

) t ( '

p ) t (

αρ

) t ( x

t p

) t ( x

m m m

1 1 1

αα

⇒

0

t

) t (

1 n m

1

1 ( x ( t ), , x ( t )), , f ( x ( t ), , x ( t )) f

dt d

=

0

t n

dt

d , , f dt

d (

∂

∂

∂

∂++

∂

x

f

' x x

f , , ' x x

f

' x x

f

m p m

n 1

p 1

n m

p m

1 1

p 1 1

' x

f

f

f

f

m 1

p x

n x

n

x

1 x

1

m 1

m 1

1 0 v 1 1

Khi đó f* : gọi là ánh xạ đối tiếp xúc.

= A + y.0

= dx(X).

Vậy: f*ω = dx.

Đ 3 Tích phân 1 - dạng vi phân dọc một cung Γ

Trong phần này ta ký hiệu đờng cong Γ , định hớng cho bởi tham số bất

kỳ ρ : t  ρ(t), t ∈ [a;b] hoặc tham số tự nhiên: s  r(s), s r ∈ [c;d]

Tích phân I không phụ thuộc vào việc chọn tham số của Γ

Thật vậy, giả sử Γ có tham số khác ρ~ : [ a~ ; b ~ ] → n xác định t~  ρ~(t~ ) sao cho có vi phôi λ : [a, b] → [ a~ ; b ~ ], xác định t  λ(t) : = t~

II.3.2 Lu sè cña thêng vÐc t¬ X däc theo cung Γ

1

6

9 dt t

II.3.3 TÝch ph©n 1 - d¹ng däc theo cung Γ

1

k 2 1

= (ydx + xdy) ((x ,x , ,x ), 2t(x ,x , ,x ))

Từ nhận xét II.1.1.3 chúng tôi đã xây dựng một modul trên k - dạng

vi phân và trong trờng hợp đặt biệt thì nó là một không gian véc tơ trong định

lý II.1.2.1 Từ đó chúng tôi đã chứng minh đợc số chiều của không gian Ωk(n)

= k

n

C Luận văn còn đi sâu nghiên cứu phép nhân ngoài (∧) các k - dạng viphân trong mục II.1.3 và vi phân ngoài các k - dạng vi phân trong mục II.1.4các kết quả của nó

Trên cơ sở đó chúng tôi đã nghiên cứu ánh xạ tiếp xúc và đối tiếp xúctrong mục II.2.1 và mục II.2.2 Từ đó áp dụng và đi tính tích phân hàm số dọctheo một đờng cong trong mục II.3.1 Và tính lu số của trờng véc tơ X dọctheo cung Γ trong mục II.3.2 Cuối cùng đi tính tích phân của một dạng viphân dọc theo một cung trong mục II.3.3

Sau khi hình thành khoá luận em thấy có một vấn đề nảy sinh đó là việctính tích phân trên một đa tạp, dựa vào k - dạng vi phân nh thế nào? Hy vọngtrong thời gian tới em sẽ tiếp tục nghiên cứu vấn đề này./

Tµi liÖu tham kh¶o

[5] §oµn Quúnh : H×nh häc vi ph©n, Nxb Gi¸o dôc, 1999

[6] §oµn Quúnh - TrÇn §×nh ViÖn - NguyÔn H÷u Quang - Tr¬ng §øc Hinh:

Bµi tËp h×nh häc vi ph©n, Nxb Gi¸o dôc, 1993.

[7] NguyÔn V¨n Gi¸m Mai Quý N¨m NguyÔn H÷u Quang NguyÔn Sum Ng« Sü Tïng: §¹i sè tuyÕn tÝnh, Nxb Gi¸o dôc, 2000

-[8] M Xpivak: Gi¶i tÝch to¸n häc trªn ®a t¹p, Nxb Gi¸o dôc vµ THCN, 1985.[9] B Oneil: Elementary differential geometry Academic press NewYork,London 1966