Về k dạng vi phân trong rn

Mục lục Trang * Lời nói đầu Đ K - dạng tuyến tính phản xứng I.1.1 K - dạng tuyến tính I.1.2 K - Dạng tuyến tính phản xứng I.1.3 Tích k - dạng tuyến tính phản xứng 3 Đ Trờng véc tơ n I.2.1 Trờng véc tơ n I.2.2 Trờng mục tiêu I.2.3 Cung tham số I.2.4.Trờng véc tơ dọc cung tham số 10 10 11 12 Chơng I: K - dạng tuyến tính phản xứng Chơng II: K - dạng vi phân n Đ K - dạng vi phân n II.1.1 Định nghĩa k - dạng vi phân n II.1.2 Các phép toán k(n) : = k II.1.3 Phép nhân II.1.4 Vi phân 13 13 14 18 20 Đ ánh xạ tiếp xúc đối tiếp xúc II.2.1 ánh xạ tiếp xúc (Ta xét n) II.2.2 ánh xạ đối tiếp xúc 24 24 26 Đ Tích phân - dạng vi phân dọc cung II.3.1 Tích phân hàm số dọc n II.3.2 Lu số thờng véc tơ X dọc theo cung II.3.3 Tích phân - dạng dọc theo cung 27 27 28 29 Kết luận 31 * Tài liệu tham khảo 32 Lời nói đầu Lý thuyết dạng vi phân đợc trình bày nhiều giáo trình Hình học vi phân Các dạng vi phân có nhiều ứng dụng toán học vật lý học lý thuyết tích phân Dạng vi phân cấp k có tính chất ứng dụng vào việc tính tích phân k - dạng vi phân Những tính chất phải kể đến kết Cartan [1], Đoàn Quỳnh [5], M.Xpivak [8] Trong khoá luận tổng hợp tài liệu [1], [4], [5], [8] để trình bày chứng minh chi tiết số tính chất k - dạng vi phân n Ngoài việc sử dụng k - dạng vi phân trình bày ánh xạ tiếp xúc đối tiếp xúc để ứng dụng vào tính tích phân dạng vi phân dọc theo đờng cong Vì đặt cho tiêu đề khoá luận Về K - dạng vi phân n Khoá luận gồm phần: Phần mở đầu, phần nội dung, phần kết luận tài liệu tham khảo Phần nội dung chia làm chơng: Chơng I: K- dạng tuyến tính phản xứng Để thuận tiện cho việc trình bày K- dạng vi phân n, chơng nhấn mạnh hai vấn đề: K - dạng tuyến tính, K- dạng tuyến tính phản xứng Chúng nêu định nghĩa phát biểu tính chất tích K - dạng tuyến tính phản xứng Ngoài ra, đa vào khái niệm trờng véc tơ n để thuận tiện cho việc trình bày chơng II ứng dụng cho phép tính tích phân dọc theo đờng cong dạng Chơng II: K - dạng vi phân n Trong chơng trình bày khái niện K - dạng vi phân n chứng tỏ với K - dạng vi phân tiến hành phép toán theo quy tắc bao quát đợc thực không gian k(n) = {tập hợp K dạng vi phân khả vi} Trong trình nghiên cứu chứng minh đợc số chiều không gian k(n) Từ việc nghiên cứu dạng tổng quát dạng vi phân n chung nghiên cứu thêm ánh xạ tiếp xúc đối tiếp xúc n để ứn g dụng vào việc tính tích phân đờng dạng vi phân bậc Khoá luận đợc thực khoa Toán, Trờng Đại học Vinh Dới hớng dẫn tận tình thầy giáo: ThS Nguyễn Hữu Quang giúp đỡ nhiệt tình thầy giáo PGS-TS Nguyễn Hữu Quang thầy cô giáo khoa Toán với gia đình bạn bè Nhân dịp em chân thành cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo P.GS-TS Nguyễn Hữu Quang ThS Nguyễn Hữu Quang với thầy cô giáo khoa Toán, Trờng Đại học Vinh Xin cảm ơn gia đình, bạn bè giúp đỡ tạo điều kiện cho em trình học tập hoàn thành khoá luận tốt nghiệp Trong thời gian làm luận văn, em cố gắng song khả có hạn nên luận văn chắn có nhiều thiếu sót Kính mong góp ý thầy, cô bạn Xin chân thành cảm ơn ! Vinh, ngày tháng năm 2004 Tác giả Chơng I K - dạng tuyến tính phản xứng Đ K - dạng tuyến tính phản xứng Ta ký hiệu: Vn : không gian véc tơ thực n - chiều { e1 ,e1 , ,en } sở Vn { f 1, f , , f n } sở đối ngẫu Vn i = j Tức : f j ( ei ) = ij = i j I.1.1 K - dạng tuyến tính: I.1.1.1 Định nghĩa Xét ánh xạ f : Vn ì Vn ì ì Vn ( x1 , x2 , , xk ) f ( x1 , x2 , , xk ) Khi đó: f - đợc gọi k - dạng tuyến tính f - tuyến tính thành phần Nghĩa : (+) : f ( x1 , , xi + xi ' , , xk ) = f ( x1 , , xi , , xk ) + f ( x1 , , xi ' , , xk ) (+): f ( x1 , ,xi , , xk ) = f ( x1 , , xi , , xk ) , i = 1,k , * Chú ý: = 1: f dạng tuyến tính k = 2: f dạng song tuyến tính k = 3: f dạng tam tuyến tính f ( x , ,0 , , xk ) = k i I.1.1.2 Định lý Ký hiệu Lk = {f/f dạng k- tuyến tính } đa vào phép toán: 1) (f + g) ( x1 , x2 , , xk ) = f ( x1 , x2 , , xk ) + g ( x1 , x2 , , xk ) 2) (f) ( x1 , x2 , , xk ) = .f ( x1 , x2 , , xk ) * Định lý (+)Lk không gian véc tơ thực (+) dim Lk = nk Chứng minh (+) Lk không gian véc tơ Ta lấy f, g, h Lk (f + g) ( x1 , x2 , , xk ) = f ( x1 , x2 , , xk ) + g ( x1 , x2 , , xk ) = g ( x1 , x2 , , xk ) +f ( x1 , x2 , , xk ) = (g + f) ( x1 , x2 , , xk ) (f + (g+ h)) ( x1 , x2 , , xk ) = f ( x1 , x2 , , xk ) + (g+h) ( x1 , x2 , , xk ) = f ( x1 , x2 , , xk ) + g ( x1 , x2 , , xk ) + h ( x1 , x2 , , xk ) = (f + g) ( x1 , x2 , , xk ) + h ( x1 , x2 , , xk ) = ((f + g) + h) ( x1 , x2 , , xk ) Lk có phần tử đơn vị ánh xạ không: Thật vậy: ( f + )( x1 , x2 , , xk ) =f ( x1 , x2 , , xk ) + ( x1 , x2 , , xk ) = f ( x1 , x2 , , xk ) f Lk, - f Lk Ta có : ( f + ( f ))( x1 , x2 , , xk ) = f ( x1 , x2 , , xk ) + (-f ( x1 , x2 , , xk ) ) = f ( x1 , x2 , , xk ) - f ( x1 , x2 , , xk ) = (f - f) ( x1 , x2 , , xk ) = ( x1 , x2 , , xk ) f + (-f) = ( (f + g)) ( x1 , x2 , , xk ) = .[f ( x1 , x2 , , xk ) + g ( x1 , x2 , , xk ) ] = .f ( x1 , x2 , , xk ) + .g ( x1 , x2 , , xk ) = ( f + .g) ( x1 , x2 , , xk ) (f + g) = f + .g (+ )f ( x1 , x2 , , xk ) = (+ )f ( x1 , x2 , , xk ) = .f ( x1 , x2 , , xk ) + .f ( x1 , x2 , , xk ) = ( f+ f) ( x1 , x2 , , xk ) (+ )f = f + f ( f) ( x1 , x2 , , xk ) = (.f ( x1 , x2 , , xk ) ) = ..f ( x1 , x2 , , xk ) = ( ) f ( x1 , x2 , , xk ) ( f) = ( )f (1.f) ( x1 , x2 , , xk ) = 1.f ( x1 , x2 , , xk ) = f ( x1 , x2 , , xk ) 1.f = f Vậy Lk không gian véc tơ thực (+) Chứng minh: dim Lk = nk Ta xét ánh xạ sau: f i1 ik : k - tuyến tính i1 = j1 , , ik = jk f ( e , e , , e ) Xác định: i1 ik j1 j = trờng hợp lại jk { Nhận thấy: fi1 ik } i1 ,i2 , ,ik n (*) có nk ánh xạ Ta cần chứng minh (*) sở Lk Thật i) Chứng minh (*) độc lập tuyến tính: n i i Ta xét: i k i =1 f i1i2 ik = ( i1i2 ik f i1i2 ik ) ( e j1 , e j , ,e j k ) = ( e j1 , e j , ,e j k ) i i i i i k f i1i2 ik ( e j1 , e j , ,e j k ) = i1i2 ik = 0, < i1, ,ik < n (*) độc lập tuyến tính ii) Chứng minh (*) hệ sinh Ta lấy xi Vn (x1, x2, , xk) = xi i i k ( ei1 ,ei2 , , eik ) xi1 ik ( ei1 ,ei2 , , eik ) ) f(x1,x2, , xk) = f ( i xi i = = i xi i i k f ( ei1 ,ei2 , ,eik ) k ai1 ik ( Đặt : ai1 ik = f ( ei1 ,ei2 , , eik ) (1) f i1 ik (x1, x2, ,xk) = f i1 ik ( xi1 ik ( ei1 ,ei2 , , eik ) ) Mặt khác: i = xi i i k f i1 ik ( ei1 ,ei2 , , eik ) = xi1 ik (2) Thay (2) vào (1) ta có: f(x1, x2, ,xk) = f = f i i i k f i i i k ai1 ik (x1, x2, ,xk) ai1 ik Vậy (*) hệ sinh {f } i1 ik i , ,i n k dim Lk = nk sở Lk I.1.2 K - Dạng tuyến tính phản xứng I.1.2.1 Đinh nghĩa ánh xạ f Lk, f - đợc gọi k - dạng tuyến tính phản xứng nếu: f ( x1 , , xi , , x j , , xk ) = - f ( x1 , , x j , , xi , , xk ) I.1.2.2 Định lý Ký hiệu: Ak ={f Lk | f k - dạng tuyến tính phản xứng} Khi Ak không gian véc tơ Lk Chứng minh Ta cần chứng minh (+) f, g Ak f - g Ak (+) f Ak , f Ak Thật vậy: (+) Do f, g Ak f g - phản xứng (f-g) ( x1 , , xi , , x j , , xk ) = f ( x1 , , xi , , x j , xk ) - g ( x1 , , xi , , x j , xk ) = - f ( x1 , , x j , , xi , xk ) + g ( x1 , , x j , , xi , xk ) = - (f-g) ( x1 , , x j , , xi , xk ) Đặt : F = f- g Do f g tuyến tính f-g = F - tuyến tính F ( x1 , , xi , , x j , xk ) = - F ( x1 , , x j , , xi , x k ) F Ak f- g Ak (+) .f ( x1 , , xi , , x j , xk ) = .f ( x1 , , xi , , x j , xk ) = .(-f ( x1 , , x j , , xi , x k ) ) = -.f ( x1 , , x j , , xi , x k ) Đặt G = .f Do f - tuyến tính, .f - tuyến tính, G ( x1 , , xi , , x j , xk ) = - G ( x1 , , x j , , xi , x k ) G Ak .f Ak Vậy Ak : không gian véc tơ Lk I.1.3 Tích k- dạng tuyến tính phản xứng I.1.3.1 Định nghĩa Giả sử f Ak, g Al Ta định nghĩa tích f g là: f g Đợc xác định ánh xạ h = f g : ì ì (x1, ,xk+l) h (x1, ,xk+l) Trong đó: h(x1, ,xk+l) = f g(x1, ,xk+l) = Với điều kiện: sign f ( x ( ) , , x ( k ) ) g( x ( k +1 ) , , x ( k +l ) ) P (1) < (2)< 0, t = ((t)) Ta có: I = b a ( ) ' dt = a ( ~( ( t ))) ( ~ ( t ))' = a ( ~( t = b b ~ b a~ dt ~ ))) ( ~( ~ t ) ' ( t ) dt ~ ( t ) ~' d~ t = ~ I Vậy: I - không phụ thuộc vào việc chọn tham số 28 II.3.2 Lu số thờng véc tơ X dọc theo cung II.3.2.1 Định nghĩa Cho X = B(n) = {X / X(x1, ,xn)- khả vi n} Lu số X - dọc số thực: L = b a X ( ).' dt II.3.2.2 Ví dụ Cho X = (xy, yz, zx) đờng cong định hớng cho tham số : t (t, t2, 4) , t [1;2] X Tính =? Giải: Ta có: (+) X() = (t.t2, t2.4, 4t) = (t3, 4t2, 4t) (+) '(t) = (1, 2t, 0) (+) X().'(t) = (t3, 4t2,4t)(1,2t,0) = t3 + 8t3 + 0.4t = 9t3 X = = X ( ).' ( t )dt 9t t dt = = 135 II.3.2.3 Định lý Tích phân L = X - không phụ thuộc vào việc chọn tham số ~ ), vi phôi Chứng minh Giả sử có ~ : [ a~ ; b~ ] n Xác định ~ t (~ t ~ : [a, b] [ a~ ; b ] , xác định t (t) : = ~t Thoả mãn '(t) > 0, t Ta có: b a X ( ).' dt b = X ( ~ ).( ~ ( t ))' dt a b = X ( ~ ) ~ ' ' ( t )dt a L= = ~ b X( a~ = L~ ~ ).~' d~t 29 II.3.3 Tích phân - dạng dọc theo cung II.3.3.1 Định nghĩa Cho 1(n) Tích phân dọc số thực xác định nh sau: = b a * ( ) Trong đó: *() xác định: *(X) = (*X) X = '.X (Hay nói: * ánh xạ đối tiếp xúc) II.3.3.2 Chú ý (+) * 1[a, b] (+) * = (t)dt = b a ( t ).dt II.3.3.3 Ví dụ Cho : : t (t) = (t, t2) , t [1, 2] Và 1(n) xác định ydx + xdy Tính : = ? Giải: Ta có : = * Ta tính : * = ( t )dt Thật vậy, giả sử X(x1, ,xk) trờng véc tơ [1, 2] (t).(x1, ,xk) = (t)dt(X) = *(X) = (*X), (J.X) ( ta có: J = ) 2t = .( x1 , x2 , , xk ) 2t = (ydx + xdy).((x1,x2, ,xk), 2t(x1,x2, ,xk)) 30 = t2(x1,x2, ,xk) + t.2t(x1,x2, ,xk) = (t2 + 2t2) (x1,x2, ,xk) = 3t2(x1,x2, ,xk) = 3t2(X) (t) = 3t2 = 3t dt = t = 31 Kết luận Trong thời gian làm khoá luận, dới hớng dẫn tận tình thầy giáo ThS Nguyễn Hữu Quang, nghiên cứu tổng hợp tổng hợp tham khảo số tài liệu nh [1], [4], [5],[8] liên quan đến đề tài: k - dạng vi phân n Trong trình làm khoá luận, làm việc cách nghiêm túc, tích cực xếp lôgic vấn đề để xây dựng k - dạng vi phân n đợc định nghĩa II.1.1.1 từ thu đợc số kết sau: Từ nhận xét II.1.1.3 xây dựng modul k - dạng vi phân trờng hợp đặt biệt không gian véc tơ định lý II.1.2.1 Từ chứng minh đợc số chiều không gian k(n) = C nk Luận văn sâu nghiên cứu phép nhân () k - dạng vi phân mục II.1.3 vi phân k - dạng vi phân mục II.1.4 kết Trên sở nghiên cứu ánh xạ tiếp xúc đối tiếp xúc mục II.2.1 mục II.2.2 Từ áp dụng tính tích phân hàm số dọc theo đờng cong mục II.3.1 Và tính lu số trờng véc tơ X dọc theo cung mục II.3.2 Cuối tính tích phân dạng vi phân dọc theo cung mục II.3.3 Sau hình thành khoá luận em thấy có vấn đề nảy sinh việc tính tích phân đa tạp, dựa vào k - dạng vi phân nh nào? Hy vọng thời gian tới em tiếp tục nghiên cứu vấn đề này./ 32 Tài liệu tham khảo -[1] H.Cartan: Phép tính vi phân dạng vi phân, Nxb Giáo dục, 1980 [2] Nguyễn Thúc Hào: Hình học vi phân, tập 1, 2, Nxb Giáo dục, 1968 [3] Ngô Thúc Lanh: Đại số tuyến tính, Nxb Giáo dục THCN, HN- 1970 [4] Mai Thúc Ngỗi - Nguyễn Thị Thanh (dịch từ tiếng Nga): Phép tính vi phân tích phân" Nxb Giáo dục TNCH, 1978 [5] Đoàn Quỳnh : Hình học vi phân, Nxb Giáo dục, 1999 [6] Đoàn Quỳnh - Trần Đình Viện - Nguyễn Hữu Quang - Trơng Đức Hinh: Bài tập hình học vi phân, Nxb Giáo dục, 1993 [7] Nguyễn Văn Giám - Mai Quý Năm - Nguyễn Hữu Quang - Nguyễn Sum Ngô Sỹ Tùng: Đại số tuyến tính, Nxb Giáo dục, 2000 [8] M Xpivak: Giải tích toán học đa tạp, Nxb Giáo dục THCN, 1985 [9] B Oneil: Elementary differential geometry Academic press NewYork, London 1966 33 [...]... , k, trong đó: = i i dxi1 dxik i i dxi1 dxik 1 i1 < < ik = k 1 i1 < < ik k Khi đó: ( i i + i i += * 1 i1 < < ik d( + ) = ( ( i1 i k i1 < < i k + k xi i1 ik i1 < < ik xi 1 k ) dxi1 dxik dxi ) dxi1 dxik dxi ) dxi1 dxik = d + d d( + ) = d + d * = ( i i 1 i1 < < ik d() = ( xi i1 ik xi i1 < < i k = ) dxi1 dxik ( i1 ik ) i1 < < ik = k i1 < < i k ( i1 i k xi... và p Ak(p), đợc gọi là k- dạng vi phân trên n Nh vậy, một k - dạng vi phân chính là vi c đặt tại mỗi điểm p - một ánh xạ k- tuyến tính phản xứng của Ak(p) * Chú ý: Một k- dạng thì tác động vào một bộ k - trờng véc tơ thì cho một hàm số I.1.1.2 Định nghĩa K - dạng đợc gọi là khả vi khi nó tác động vào một bộ các trờng véc tơ khả vi bất k thì đợc một hàm số khả vi Nghĩa là: Giả sử X1, , Xk : là các... hàm số khả vi Nghĩa là: Giả sử X1, , Xk : là các trờng véc tơ khả vi bất k và hàm số: : n p p(X1 |p, , Xk |p ) khả vi thì ta nói - khả vi 14 II.1.1.3 Nhận xét (+) k( n) = { | là k - dạng khả vi trên n} (+) k = 0, quy ớc : 0(n) = F (n) = {tập các hàm khả vi} (+) k > n k( n) = 0 II.1.2 Các phép toán trong k( n) : = k Giả sử , 1, 2 k , ta đa vào hai phép toán: (+) Phép cộng: (+) Phép nhân: 1+... định t (t) Là cung tham số (khả vi) trong n thì t '(t) = ((t), '(t)) là một trờng véc tơ và đợc gọi là trờng véc tơ tiếp xúc với , k hiệu là ' 13 Chơng II K - dạng vi phân trong n Đ 1 K - dạng vi phân trong n II.1.1 Định nghĩa k - dạng vi phân trong n Xét trong n với mục tiêu tự nhiên : {0, e1 , e2 , , en } và {E1, E2, , En} là trờng mục tiêu tự nhiên trong n f Ak (p) = {f | Tpn ì Tpn ì ì... ik 1 i1 < i2 < < ik n p ( i1 ) , Xk( i ) ) Ai1 ik k (2) Từ (1) và (2) ta có: = 1 i1 < i2 < < ik n (*) là hệ sinh Vậy: { dxi1 dxi2 dxik }1 i1 < < ik n là cơ sở của modul k II.1.2.3 Nhận xét i) Do dxi1 dxi2 dxik , với 1 < i1 < i2< < ik < n lập nên cơ sở của không gian k Do đó k- dạng đều có thể vi t một cách duy nhất dới dạng: = 1 i1 < i2 < < ik n Ai1 ik dx dx dx i1 i2 ik Khi... hợp tham khảo một số tài liệu nh [1], [4], [5],[8] liên quan đến đề tài: k - dạng vi phân trong n Trong quá trình làm khoá luận, chúng tôi đã làm vi c một cách nghiêm túc, tích cực và sắp xếp lôgic các vấn đề để xây dựng k - dạng vi phân trong n đợc định nghĩa trong II.1.1.1 và từ đó thu đợc một số k t quả sau: Từ nhận xét II.1.1.3 chúng tôi đã xây dựng một modul trên k - dạng vi phân và trong trờng... i1 ,i2 ik p n = ( n ( ( i1 ) i1 ,i2 ik p n sign X1 ( 1 i1 < i2 < < ik n p ( i1 ) , Xk( i ) ) ( Ei1 , , Eik ) k (Do: tính chất phản xứng của ) Đặt: ( Ei1 , Ei2 , , Eik ) = Ai1 ik Khi đó: (X , X , , X ) = 1 2 Mặt khác : n k sign X1 1 i1 < i2 < < ik n p 1 i1 < i2 < < ik n = ( ( i1 ) , Xk( i ) ) Ai1 ik k (1) Ai1 ik dx dx dx (X1, X2, , Xk) i1 i2 ik n ( sign X1 Ai1 ik dx dx... 1, ,k với k+ 1, ,k+ l Do đó: (X1, ,Xk+l) = (-1 )k. l ( ). ( X p ( k +1 ) , , X ( k +l ) ).( X ( 1 ) , , X ( k ) ) Trong đó chạy qua tập hợp các hoán vị thoả mãn điều kiện (*) Mặt khác phép nhân các vô hớng là giao hoán, nên ta có thể thay đổi chỗ trong mỗi phép nhân ( ).( X (X1, ,Xk+l) = (-1 )k. l p (1) , , X ( k ) ). ( X ( k +1 ) , , X ( k +l ) ) = (-1 )k. l (X1, ,Xk+l) = (-1 )k. l... k, và l thì : = (-1)kl Chứng minh Ta có: (X1, ,X k+ l) = p sign ( X ( 1 ) , , X ( k ) ).( X ( k +1 ) , , X ( k +l ) ) Trong đó : (1) < < (k) và (*) (k+ 1) < < (k+ l) k hiệu : () = sing Do chạy qua các tập hợp hoán vị của dãy {1, , k+ l} sao cho thoả mãn (*) Ta xét hoán vị chuyển dãy {1, ,k+ l} thành dãy {k+ 1, ,k+ l, 1, ,k} Khi đó: () = (-1 )k. l, bởi vì thực hiện lần phải tiến hành k. l... ,Xk+l) = (-1 )k. l II.1.4 Vi phân ngoài Ta xét k( n) = { | là k- dạng vi phân} (n) = F (n) = {f | f - khả vi : n } II.1.4.1 Định nghĩa i) ánh xạ d : 0 1 20 f df = n f x i =1 dxi i ii) Xét ánh xạ d : k k+ 1 d Trong đó: Nếu = d = n ( i1 < < ik i = 1 i i i1 < < ik i1 ik xi 1 k dxi1 dxik thì d đợc xác định nh sau: dxi ) dxi1 dxik II.1.4.2 Ví dụ 1) Trong 3 cho 2 xác định: = xy ... tơ khả vi đợc hàm số khả vi Nghĩa là: Giả sử X1, , Xk : trờng véc tơ khả vi hàm số: : n p p(X1 |p, , Xk |p ) khả vi ta nói - khả vi 14 II.1.1.3 Nhận xét (+) k( n) = { | k - dạng khả vi. .. ,Xk+l) = (-1 )k. l p (1) , , X ( k ) ). ( X ( k +1 ) , , X ( k +l ) ) = (-1 )k. l (X1, ,Xk+l) = (-1 )k. l II.1.4 Vi phân Ta xét k( n) = { | k- dạng vi phân} (n) = F (n) = {f | f - khả vi. .. k - dạng vi phân n Ngoài vi c sử dụng k - dạng vi phân trình bày ánh xạ tiếp xúc đối tiếp xúc để ứng dụng vào tính tích phân dạng vi phân dọc theo đờng cong Vì đặt cho tiêu đề khoá luận Về K