Đạo hàm liên kết của các dạng vi phân trên rn

MỤC LỤC Trang LỜI NÓI ĐẦU…………………………………………………………. 2 CHƯƠNG I. KHÔNG GIAN n ¡ ……………………………………. 4 I. CÁC CẤU TRÚC CƠ BẢN TRONG n ¡ ………………………… 4 II. LIÊN THÔNG TUYẾN TÍNH TRÊN n ¡ …………………………. 8 CHƯƠNG II. ĐẠO HÀM LIÊN KẾT CỦA k – DẠNG VI PHÂN VỚI LIÊN THÔNG TUYẾN TÍNH(k = 1, k = 2) ………………… 18 I. ĐẠO HÀM LIÊN KẾT CỦA 1 – DẠNG VI PHÂN VỚI GIÁ TRỊ VECTƠ …………………………………………………………… 18 II. ĐẠO HÀM LIÊN KẾT CỦA 2 – DẠNG VI PHÂN VỚI GIÁ TRỊ VECTƠ …………………………………………………………… 26 KẾT LUẬN ………………………………………………………… 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO …………………………………………… 34 LỜI NÓI ĐẦU 1 k – dạng vi phân với giá thực có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực vật lý và các ngành khác nhau của toán học như: giải tích, hình học – tôpô. k – dạng vi phân là một công cụ nghiên cứu các bài toán về biến phân thể tích của các miền compact cùng biên trên các đa tạp Riemann. Vì vậy nó được các nhà toán học trong nước và nước ngoài quan tâm nghiên cứu. Các k – dạng vi phân đã được trình bày trong nhiều tài liệu chuyên khảo về giải tích và hình học hiện đại. Trên cơ sở một số kết quả của các nhà toán học đã nghiên cứu được và trình bày trong các tài liệu theo hướng trên, dưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS.TS. Nguyễn Hữu Quang, chúng tôi đã lựa chọn đề tài cho luận văn của mình là “Đạo hàm liên kết của các dạng vi phân trên n ¡ ”. Trong luận văn này, chúng tôi trình bày một số tính chất cơ bản của đạo hàm của các dạng vi phân liên kết với liên thông tuyến tính. Với nội dung đó luận văn được trình bày trong hai chương: Chương 1. Không gian n ¡ . Trong chương này, chúng tôi trình bày các cấu trúc cơ bản trong n ¡ như: trường vectơ tiếp xúc trên n ¡ , liên thông tuyến tính trên n ¡ . Chương 1 gồm các kiên thức cở sở chuẩn bị cho việc trình bày của chương sau. Chương 2. Đạo hàm liên kết của k – dạng phân với liên thông tuyến tính(k = 1, k = 2). Trong chương này, chúng tôi trình bày các khái niệm của 1 – dạng, 2 – dạng lấy giá trị trên ( ) n ¡B , đạo hàm liên kết của 1 – dạng, 2 – dạng với liên thông tuyên tính, tích ngoài của 1 – dạng, vi phân ngoài của 1 – dạng liên kết với liên thông tuyến tính. Luận văn được hoàn thành vào tháng 10 năm 2014 tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS.TS. Nguyễn Hữu Quang. Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn sâu sắc tới thầy, người đã trực tiếp giảng dạy và tận tình hướng dẫn tác giả trong quá trình nghiên cứu hoàn thành luận văn này. Tác giả 2 xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong Khoa Toán, các thầy cô trong tổ Hình học – Tôpô, trường Đại học Vinh đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập. Cũng nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, các học viên trong lớp cao học 20 chuyên ngành hình học – tôpô đã cộng tác, tạo điều kiện giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn này. Vinh, tháng 10 năm 2014 Tác giả CHƯƠNG I KHÔNG GIAN n ¡ 3 Trong chương này, chúng tôi trình bày một vài tính chất trên không gian n ¡ như: các cấu trúc cơ bản của n ¡ , trường vectơ trên n ¡ , liên thông tuyến tính trên n ¡ . Trong luận văn này, ta luôn kí hiệu: ( ) { } 1 2 , , , , 1, n n i x x x x x i n= = ∈ ∀ =¡ ¡ . ( ) n ¡F = { : n f →¡ ¡ là hàm số khả vi}. I. CÁC CẤU TRÚC CƠ BẢN n ¡ . Trong mục này, chúng tôi trình bày một vài tính chất của n ¡ như: cấu trúc Ơclit, cấu trúc tôpô tự nhiên, trường vectơ trên n ¡ . n ¡ được trang bị hai phép toán: ( ) ( ) 1 2 1 2 , , , , , , , , n n n n x x x x y y y y λ ∀ = ∈ ∀ = ∈ ∀ ∈¡ ¡ ¡ . +) Phép cộng ( ) 1 1 2 2 , , , n n x y x y x y x y+ = + + + . +) Phép nhân vô hướng ( ) 1 2 , , , n x x x x λ λ λ λ = . 1.1. Nhận xét. a) n ¡ cùng với hai phép toán trên lập thành một không gian vectơ n – chiều với cơ sở tự nhiên ( ) ( ) ( ) { } 1 2 1,0, ,0 , 0,1, ,0 , , 0,0, ,1 n e e e . b) Ta đưa vào cấu trúc Afin: ( ) ( ) 1 : , n n n n i i i x y y x y x ϕ = × → − = − ¡ ¡ ¡ a Khi đó, n ¡ cùng với ánh xạ nói trên lập thành một không gian Afin trên nền n ¡ . Thật vậy: +) Với mọi ( ) ( ) 1 1 ,a n n n n i i i i x x a = = = ∈ = ∈¡ ¡ tồn tại duy nhất ( ) 1 n n i i i y x a = = + ∈¡ . Khi đó, ( , )x y a ϕ = . 4 +) Với mọi , , n x y z ∈¡ , ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 , , , . n n i l i i i i n n i l i i i i i i x y y z y x z y y x z y z x x z ϕ ϕ ϕ = = = = + = − + − = − + − = − = c) Trên không gian vectơ n ¡ , ta xác định tích vô hướng tự nhiên 1 . n i i i x y x y = = ∑ . Khi đó, không gian Afin n ¡ là một không gian Ơclit. ( ) ( ) 1 2 1 2 , , , , , , , n n n n x x x x y y y y∀ = ∈ ∀ = ∈¡ ¡ , khoảng cách thông thường giữa x và y được xác định là ( ) ( ) ∑ = −= n i ii yxyxd 1 2 , . 1.2. Định nghĩa. Với , 0 n x r∈ >¡ . Tập ( ) { } , ( , ) n B x r y d x y r = ∈ < ¡ được gọi là hình cầu mở tâm x, bán kính r. Tập ( ) { } , ( , ) n B x r y d x y r= ∈ ≤¡ được gọi là hình cầu đóng tâm x, bán kính r. 1.3. Mệnh đề.(Xem [3]) Họ { } ( , ) , 0 n B B x r x r= ∈ >¡ lập thành cơ sở của một tôpô trên n ¡ . Chứng minh Ta có: 0 ( , ) n n x r B x r ∈ > = ¡ ¡ U . Giả sử BryBrxB ∈),(),,( 21 và φ ≠∩ ),(),( 21 ryBrxB . Khi đó, với mọi ),(),( 21 ryBrxBz ∩∈ , ta có: ( ) ( ) 21 ,,, rzydrzxd << . Đặt { } 0),(),,(min 21 >−−= zydrzxdrr . Thì với mọi ),( rzBu∈ , ta có: ),(),( 1 zxdrruzd −≤< nên 1 ),(),(),( ruzdzxduzd <+< nghĩa là ),( 1 rxBu∈ . Tương tự, ),( 2 rxBu∈ . Do đó ),(),(),( 21 ryBrxBrzB ∩⊂ và ( ) ,B z r B∈ . 5 Vậy B là cơ sở của tôpô trên n ¡ . Chú ý: a. Tôpô , i i i I U U U B φ ∈   = = ∈     U T trên n ¡ được gọi là tôpô tự nhiên. b. n ¡ với tôpô tự nhiên là T 2 – không gian. Thật vậy, , n x y R∀ ∈ và yx ≠ . Ta đặt ),( 2 1 yxdr = , thì ( , ) ( , )B x r B y r φ ∩ = . 1.4. Định nghĩa. Giả sử n p T ¡ là không gian tiếp xúc với n ¡ tại p. Khi đó, ánh xạ: : n n n p p n p p X T p X T ∈ → ∈ ¡ ¡ ¡ uuur a ¡ U được gọi là trường vectơ tiếp xúc của n ¡ . Nếu apX : thì X được gọi là trường vectơ song song ứng với vectơ a . Ta chú ý rằng, với mỗi i = 1, 2,…,n, ta xét ii epE : , ∀p ∈ n ¡ và {E 1 , E 2 , …,E n } được gọi là trường mục tiêu tự nhiên trên n ¡ . Khi đó, ta có sự biểu diễn nn EXEXEXX +++= 2211 ; trong đó : n j X →¡ ¡ và ( ) n21 X, ,X,X được gọi là tọa độ của X đối với trường mục tiêu tự nhiên {E 1 , E 2 , …,E n }. X được gọi là khả vi khi và chỉ khi X j khả vi với mọi j = 1, 2, … ,n. Bây giờ ta kí hiệu ( ) n ¡B = {X: X khả vi trong n ¡ } và ( ) n ¡B được trang bị các phép toán sau: +) Phép cộng: : , n p p X Y p X Y p+ + ∀ ∈ uuur uur a ¡ , ,X Y ∈ ( ) n ¡B +) Phép nhân với hàm số: ( ) : , n p X p p X p φ φ ∀ ∈ uuur a ¡ , φ ∈ ( ) n ¡F , X ∈ ( ) n ¡B 6 1.5. Định lý.(Xem [4]) ( ) n ¡B cùng với hai phép toán ở trên là một môđun n - chiều trên vành ( ) n ¡F . Chứng minh • Dễ thấy rằng ( ) n ¡B cùng phép toán cộng là một nhóm cộng giao hoán. • .( )( ) ( )( ( ) ( ))f X Y p f p X p Y p+ = + ( ). ( ) ( ). ( ) ( . )( ) ( . )( ) ( . . )( ); n f p X p f p Y p f X p f Y p f X f Y p p = + = + = + ∀ ∈¡ .( ) . . ; ( ); , ( ) n n f X Y f X f Y f X Y⇒ + = + ∈ ∈¡ ¡F B . • ( ). ( ) ( )( ).X p f g X p f g p+ = + uur ( ( ) ( )). ( . )(p) (g.X)(p) (f .X g.X)(p); p p n f p g p X f X = + = + = + ∀ ∈ uuur ¡ ( ). . . ; , ( ); ( ) n n f g X f X g X f g X⇒ + = + ∈ ∈¡ ¡F B . • ( . ). ( ) ( . )( ). p f g X p f g p X= uuur ( ( ). ( )). ( ).( ( ). ) ( ).( . )( ) .( . )( ); p p n f p g p X f p g p X f p g X p f g X p p = = = = ∈ uuur uuur ¡ ( . ). .( . ); , ( ); ( ) n n f g X f g X f g X= ∈ ∈¡ ¡F B . • (1. )( ) 1( ). 1. ; ; ( ) n n p p p X p p X X X p X= = = ∀ ∈ ∈ uuur uuur uuur ¡ ¡B 1. ; ( ) n X X X= ∈ ¡B . Ta thấy rằng, {E 1 , E 2 , …,E n } là cơ sở của ( ) n ¡B . Do đó ( ) dim . n n=¡B II. LIÊN THÔNG TUYẾN TÍNH TRÊN n ¡ 7 1.6. Định nghĩa. Một liên thông tuyến tính trên n ¡ là ánh xạ ∇: ( ) n ¡B × ( ) n ¡B → ( ) n ¡B ( ) ( ) , , : X X Y X Y Y∇ = ∇a thỏa mãn các tiên đề sau: T 1 : ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 ; , , n X X X Y Y Y Y X Y Y∇ + = ∇ + ∇ ∀ ∈ ¡B . (1) T 2 : ( ) [ ] ( ) ( ) . . ; , ; n n X X fY X f Y f Y X Y f∇ = + ∇ ∀ ∈ ∀ ∈¡ ¡B F . (2) T 3 : ( ) 1 2 1 2 1 2 ; , , n X X X X Y Y Y X X Y + ∇ = ∇ + ∇ ∀ ∈ ¡B . (3) T 4 : ( ) ( ) . . ; , ; n n f X X f Y X Y f∇ = ∇ ∈ ∀ ∈¡ ¡B F . (4) 1.7. Ví dụ. Cho ∇ = D: ( ) n ¡B × ( ) n ¡B → ( ) n ¡B (X, Y)  ∇ X Y = D X Y =(X(Y 1 ), X(Y 2 ), …, X(Y n )). ở đây 1 n i i i Y Y E = = ∑ . Khi đó, ∇ là một liên thông tuyến tính. Thật vậy, ta kiểm tra các tiền đề của liên thông tuyến tính. Giả sử, ∀ X, X ~ , Y, Y % ∈ ( ) n ¡B ; ( ) n ϕ ∀ ∈ ¡F ; Y = i 1 Y n i i E = ∑ , n i i i 1 Y YE = = ∑ % % Khi đó: (T 1 ) ∇ X ( ) Y ~ Y+ = ∑ = n 1i X (Y i + i Y ~ ).E i = ∑ = n 1i X (Y i ).E i + ∑ = n 1i X ( i Y ~ ).E i = ∇ X Y + ∇ x Y ~ . (T 2 ) ∇ X (ϕY) = ∑ = n 1i X (ϕY i ).E i 8 = ( ) ( ) i i i 1 Y.X[ ] . X Y .E n i ϕ ϕ = + ∑ = i i 1 Y.X[ ]E n i ϕ = ∑ + ( ) i i 1 .X Y .E n i ϕ = ∑ = Y.X[ϕ] + ϕ.∇ X Y. (T 3 ) ( ) 1 ( ) n i i X X i Y X X Y E + = ∇ = + ∑ % % = ( ) i i 1 X Y E n i= ∑ + 1 ( ) n i i i X Y E = ∑ % = ∇ X Y + Y X ~ ∇ . (T 4 ) ∇ ϕ X Y = ( ) i i 1 ( X) Y .E n i ϕ = ∑ = ϕ ∑ = n 1i X (Y i ). E i = ϕ.∇ X Y. Vậy ∇ là một liên thông tuyến tính trên n ¡ . Liên thông tuyến tính ∇ xác định trong ví dụ trên được gọi là liên thông chính tắc trên n ¡ . 1.8. Mệnh đề. (Xem [5]) Giả sử X, X ~ , Y ∈ ( ) n ¡B , n p∈¡ thì ° X X p p Y Y∇ = ∇ nếu X p = X ~ p . Chứng minh Với X, X ~ ∈ ( ) n ¡B , lúc đó ta có sự biểu diễn X = ∑ = ϕ n 1i ii E ; ° 1 n i i i X E ψ = = ∑ ; trong đó ϕ i , ψ i ∈ ( ) n ¡F , i 1,n∀ = . Từ giả thiết: X p = X ~ p ; ta suy ra ϕ i (p) = ψ i (p), i 1,n∀ = . Ta có: 9 (∇ X Y)| p = 1 . n i i i E p Y ϕ = ∑    ÷ ∇  ÷   = ( ) ( ) 1 . i n i E i p p Y ϕ = ∇ ∑ = ( ) ( ) 1 i n i E i p p Y ψ = ∇ ∑ = 1 . n i i i E p Y ψ = ∑    ÷ ∇  ÷   = ( ) X p Y∇ % .  Với mỗi vectơ n p p T R α ∈ uur , ta luôn có trường vectơ X mà p p X α = uuur uur . Từ mệnh đề trên, ta có thể xây dựng được định nghĩa đạo hàm của Y theo p α uur bằng cách sau: ( ) p X p Y α ∇ Υ = ∇ uuur , ở đây p p X α = uuur uur . 1.9. Mệnh đề. (Xem [5]) ( ) p X Y∇ phụ thuộc các giá trị của trường vectơ Y trong một lân cận của điểm p. Chứng minh Như ta đã biết, trong n ¡ luôn tồn tại một hàm số khả vi ϕ thỏa mãn: ( ) ( ) 0; \ 1 p n U ϕ ϕ =    =   ¡ + Trước hết, ta xét trường vectơ Z thoả mãn: Z| U = 0. Khi đó, ϕ.Z = Z nên ta có: ( ) X p Z∇ = ( ) X p Z ϕ ∇ = X[ϕ].Z p + ϕ(p) ( ) X p Z∇ = X p [ϕ]. 0 + 0. ( ) X p Z∇ ; ∀p ∈ U p mở trong V 10 p V U∀ ∈ ⊂ , trong đó U là tập mở chứa tập đóng V [...]... trình bày các khái niệm về 1– dạng, 2 – dạng vi phân lấy giá trị trên B ( ¡ liên thông tuyến tính trên ¡ n ) , đạo hàm liên kết của 1 - dạng, 2 - dạng vi phân với n và trình bày các tính chất cở bản của nó Trong chương này, ta luôn kí hiệu: ∇ là một liên thông tuyến tính trên ¡ n B( ¡ F( ¡ n n ) ={X: X khả vi trong ¡ ) n } = { ϕ ϕ hàm số khả vi từ ¡ n → ¡ } I ĐẠO HÀM LIÊN KẾT 1 – DẠNG VI PHÂN LẤY GIÁ... ∀X , Y ∈ B ( ¡ n ) ⇒ d Di = 0 KẾT LUẬN Trong luận văn này, chúng tôi đã đạt những kết quả chính sau: 1 Trình bày hệ thống các khái niệm, chứng minh chi tiết một số tính chất cơ bản trên không gian ¡ n 2 Trình bày cách xây dựng k – dạng vi phân (k = 1, k = 2) với giá trị vectơ, đạo hàm liên kết của 1 – dạng, 2 – dạng với liên thông tuyến tính ∇, vi phân ngoài liên kết với liên thông tuyến tính ∇ 3 Phát... f *θ1 ∧ f *θ 2 φ φ 2.19 Định nghĩa Giả sử ∇ là liên thông tuyến tính trên ¡ n * 1 2 32 ( 1 n Ánh xạ d∇ : Ω ¡ , B ( ¡ n )) →Ω (¡ 2 θ a n ,B( ¡ n )) d∇θ , ở đây d∇θ ( X , Y ) = ∇ X ( θ ( Y ) ) − ∇Y ( θ ( X ) ) − θ ( [ X , Y ] ) ; ∀X , Y ∈ B ( ¡ n ) được gọi là vi phân ngoài của các 1 – dạng liên kết với ∇ Nhận xét d∇θ là 2 – dạng vi phân lấy giá trị trên B ( ¡ 2.20 Ví dụ Trong ¡ 2 , ∇ = D , θ : B (... ( Y ) ) − ( θ o f* ) ( ∇ X Y ) = ( ∇ X ( θ o f* ) ) ( Y ) ⇒ ∇ X ( f *θ ) = ∇ X ( θ o f* ) II ĐẠO HÀM LIÊN KẾT 2 – DẠNG VI PHÂN LẤY GIÁ TRỊ VECTƠ 2.11 Định nghĩa 2 – dạng vi phân trên B ( ¡ xạ n ) lấy giá trị trên B ( ¡ n ) đó là ánh 27 ϖ : B( ¡ n ) × B( ¡ ) → B( ¡ ) n ( X ,Y ) n a ϖ ( X , Y ) , thỏa mãn các điều kiện: T1) ω ( X + X ', Y ) = ϖ ( X ,Y ) + ϖ ( X ', Y ) ; ∀X , X ', Y ∈ B ( ¡ T2) ϖ ( ϕ... TIẾNG VI T 1 Khu Quốc Anh, Nguyễn Doãn Tuấn (2011), Lý thuyết liên thông và hình học Riemann, Nhà xuất bản đại học sư phạm 2 Lê Thị Hương (2010), Đạo hàm của k – dạng vi phân liên kết với liên thông tuyến tính và ứng dụng, Luận văn thạc sỹ Toán học, Đại học Vinh 3 John L.Kelley (1973), Tôpô đại cương, NXB đại học và trung học chuyên nghiệp Hà Nội 4 Nguyễn Hữu Quang (2007), Bài giảng Đa tạp khả vi, Đại... f*DXY { } 1.14 Chú ý Giả sử ∇ là một liên thông tuyến tính và E i tự nhiên trong ¡ Khi đó, ta có sự biểu diễn: ∇ E j Ei = n F( ¡ n k ) Các hằng số Cij n i =1 n là trường mục tiêu k ∑ Cij E k ở k =1 k đây C ij ∈ được gọi là hằng số cấu trúc của ∇ Trong trường hợp ∇ k = D thì ta có: C ij = 0; ∀ i, j, k = 1, n 18 CHƯƠNG II ĐẠO HÀM LIÊN KẾT CỦA k – DẠNG VI PHÂN VỚI LIÊN THÔNG TUYẾN TÍNH(k = 1, k = 2)... minh mệnh đề nói về các tính chất cơ bản của đạo hàm hiệp biến theo hướng X liên kết với ∇ (mệnh đề 2.5, 2.6, 2.14) * 4 Phát biểu và chứng minh mệnh đề nói về tính giao hoán của f và ∇ (mệnh đề 2.15) * 5 Phát biểu và chứng minh mệnh đề nói về tính bảo toàn φ tích ngoài và f (mệnh đề 2.18) Trong thời gian tới, chúng tôi tiếp tục nghiên cứu các k – dạng vi phân với giá trị vectơ trên trường số phức 34... i =1 n = ϕ ∑ ϕi ( ∇ i ) X Y i =1 = ϕ∇ X Y Từ mệnh đề trên ta thấy rằng, tổng của các liên thông tuyến tính không phải là một liên thông tuyến tính 1.11 Nhận xét Giả sử ∇ là liên thông tuyến tính trên ¡ 3 Ta đặt: ° ∇ X Y = ∇ X Y + ψ ( X ∧ Y ) , ψ ∈ F ( ¡ n ) ~ Khi đó, ∇ là liên thông tuyến tính trên ¡ 3 Chứng minh Ta kiểm tra các điều kiện của liên thông tuyến tính: ~ (T1) ∇ X(Y1 + Y2) = ∇ X(Y1 +... tích ngoài của θ1 ,θ 2 được kí hiệu là θ1 ∧θ 2 và được φ xác định bởi: ( θ ∧θ ) ( X ,Y ) = φ ( θ ( X ) ,θ ( Y ) ) − φ ( θ ( Y ) ,θ ( X ) ) ;∀X ,Y ∈ B ( ¡ 1 φ 2 1 2 1 Thực chất, θ1 ∧ θ 2 là 2 – dạng vi phân lấy giá trị trên B ( ¡ φ 2.17 Ví dụ Giả sử θ1 : B ( ¡ 3 ) → B( ¡ ) 3 n 2 và n ) θ2 : B ( ¡ 3 ) → B( ¡ ) 3 ) 31 X ( X1, X 2 , X 3 ) a ( X ,X 1 2 ,0 ) là các 1 – dạng vi phân lấy giá trị trên B ( ¡... θ 8) Ta xét hàm số 1: ¡ n → ¡ pa 1 ( 1.θ ) ( X ) = 1.θ ( X ) = θ ( X ) ; ∀θ ∈ Ω ( ¡ 1 n ,B( ¡ n ) ) ; ∀X ∈ B ( ¡ ) n ⇒ 1.θ = θ 2.3 Định nghĩa Giả sử ∇ là một liên thông tuyến tính trên ¡ n Đạo hàm hiệp biến 1 n của θ ∈ Ω ( ¡ , B ( ¡ n )) theo hướng X ∈ B ( ¡ n ) liên kết với ∇ được kí hiệu ∇ X θ và được xác định bởi: ( ∇ X θ ) ( Y ) = ∇ X ( θ ( Y ) ) − θ ( ∇ X Y ) ; ∀Y ∈ B ( ¡ 2.4 Các ví dụ n ) . luận văn của mình là Đạo hàm liên kết của các dạng vi phân trên n ¡ ”. Trong luận văn này, chúng tôi trình bày một số tính chất cơ bản của đạo hàm của các dạng vi phân liên kết với liên thông. trình bày các khái niệm về 1– dạng, 2 – dạng vi phân lấy giá trị trên ( ) n ¡B , đạo hàm liên kết của 1 - dạng, 2 - dạng vi phân với liên thông tuyến tính trên n ¡ và trình bày các tính chất. ………………… 18 I. ĐẠO HÀM LIÊN KẾT CỦA 1 – DẠNG VI PHÂN VỚI GIÁ TRỊ VECTƠ …………………………………………………………… 18 II. ĐẠO HÀM LIÊN KẾT CỦA 2 – DẠNG VI PHÂN VỚI GIÁ TRỊ VECTƠ …………………………………………………………… 26 KẾT LUẬN …………………………………………………………