Đạo hàm liên kết của các dạng vi phân trên rn

1 MỤC LỤC Trang LỜI NÓI ĐẦU………………………………………………………… CHƢƠNG I KHÔNG GIAN n …………………………………… I CÁC CẤU TRÚC CƠ BẢN TRONG II LIÊN THƠNG TUYẾN TÍNH TRÊN n ………………………… ………………………… n CHƢƠNG II ĐẠO HÀM LIÊN KẾT CỦA k – DẠNG VI PHÂN VỚI LIÊN THÔNG TUYẾN TÍNH(k = 1, k = 2) ………………… 18 I ĐẠO HÀM LIÊN KẾT CỦA – DẠNG VI PHÂN VỚI GIÁ TRỊ VECTƠ …………………………………………………………… 18 II ĐẠO HÀM LIÊN KẾT CỦA – DẠNG VI PHÂN VỚI GIÁ TRỊ VECTƠ …………………………………………………………… 26 KẾT LUẬN ………………………………………………………… 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO …………………………………………… 34 LỜI NÓI ĐẦU k – dạng vi phân với giá thực có nhiều ứng dụng lĩnh vực vật lý ngành khác tốn học như: giải tích, hình học – tơpơ k – dạng vi phân công cụ nghiên cứu tốn biến phân thể tích miền compact biên đa tạp Riemann Vì nhà tốn học nước nước quan tâm nghiên cứu Các k – dạng vi phân trình bày nhiều tài liệu chun khảo giải tích hình học đại Trên sở số kết nhà tốn học nghiên cứu trình bày tài liệu theo hướng trên, hướng dẫn thầy giáo PGS.TS Nguyễn Hữu Quang, lựa chọn đề tài cho luận văn “Đạo hàm liên kết dạng vi phân n ” Trong luận văn này, chúng tơi trình bày số tính chất đạo hàm dạng vi phân liên kết với liên thông tuyến tính Với nội dung luận văn trình bày hai chương: Chƣơng Không gian trúc n n n Trong chương này, chúng tơi trình bày cấu như: trường vectơ tiếp xúc n , liên thơng tuyến tính Chương gồm kiên thức cở sở chuẩn bị cho việc trình bày chương sau Chƣơng Đạo hàm liên kết k – dạng phân với liên thông tuyến tính(k = 1, k = 2) Trong chương này, chúng tơi trình bày khái niệm – dạng, – dạng lấy giá trị B  n  , đạo hàm liên kết – dạng, – dạng với liên thơng tun tính, tích – dạng, vi phân – dạng liên kết với liên thơng tuyến tính Luận văn hoàn thành vào tháng 10 năm 2014 trường Đại học Vinh hướng dẫn thầy giáo PGS.TS Nguyễn Hữu Quang Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn sâu sắc tới thầy, người trực tiếp giảng dạy tận tình hướng dẫn tác giả q trình nghiên cứu hồn thành luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy Khoa Tốn, thầy tổ Hình học – Tơpơ, trường Đại học Vinh nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập Cũng này, tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, học viên lớp cao học 20 chuyên ngành hình học – tơpơ cộng tác, tạo điều kiện giúp đỡ tác giả suốt trình học tập hoàn thành luận văn Vinh, tháng 10 năm 2014 Tác giả CHƢƠNG I n KHÔNG GIAN Trong chương này, chúng tơi trình bày vài tính chất không gian như: cấu trúc n n , trường vectơ n n , liên thơng tuyến tính Trong luận văn này, ta ln kí hiệu: n  , i  1, n  x   x1 , x2 , , xn  xi  F n  ={ f : n  I CÁC CẤU TRÚC CƠ BẢN hàm số khả vi} n Trong mục này, trình bày vài tính chất Ơclit, cấu trúc tôpô tự nhiên, trường vectơ n n n như: cấu trúc trang bị hai phép toán: x   x1 , x2 , , xn   n , y   y1 , y2 , , yn   n ,   +) Phép cộng x  y   x1  y1 , x2  y2 , , xn  yn  +) Phép nhân vô hướng  x    x1 ,  x2 , ,  xn  1.1 Nhận xét a) n với hai phép toán lập thành không gian vectơ n – chiều với sở tự nhiên e1 1,0, ,0  , e2  0,1, ,0  , , en  0,0, ,1 b) Ta đưa vào cấu trúc Afin: : n   x, y  Khi đó, Thật vậy: n n  n y  x   yi  xi i 1 n với ánh xạ nói lập thành không gian Afin n +) Với x   xi i 1  n n ,a   i 1  n n tồn y   xi  i 1  n n Khi đó,  ( x, y)  a +) Với x, y, z  n , ta có:   x, y     y, z    yi  xl i 1   zi  yi i 1 n n   yi  xl  zi  yi i 1   zi  xi i 1    x, z  n n n c) Trên không gian vectơ n , ta xác định tích vơ hướng tự nhiên x y   xi yi i 1 Khi đó, không gian Afin x   x1 , x2 , , xn   n không gian Ơclit n , y   y1 , y2 , , yn   y xác định d x, y    x n i 1 1.2 Định nghĩa Với x  n n , khoảng cách thông thường x  yi  i , r  Tập B  x, r    y  n d ( x, y)  r gọi hình cầu mở tâm x, bán kính r Tập B  x, r    y  n d ( x, y)  r gọi hình cầu đóng tâm x, bán kính r 1.3 Mệnh đề.(Xem [3]) Họ B  B( x, r ) x  n tôpô n , r  0 lập thành sở Chứng minh Ta có: n  B ( x, r ) x n r 0 Giả sử B( x, r1 ), B( y, r2 )  B B( x, r1 )  B( y, r2 )   Khi đó, với z  B( x, r1 )  B( y, r2 ) , ta có: d x, z   r1 , d  y, z   r2 Đặt r  r1  d ( x, z ), r2  d ( y, z )  Thì với u  B( z , r ) , ta d ( z, u)  r  r1  d ( x, z ) có: nên d ( z, u)  d ( x, z )  d ( z, u)  r1 nghĩa u  B( x, r1 ) Tương tự, u  B( x, r2 ) Do B( z, r )  B( x, r1 )  B( y, r2 ) B  z, r   B Vậy B sở tôpô n Chú ý:   a Tôpô T   ,U  U i U i  B  iI   n b n gọi tôpô tự nhiên với tôpô tự nhiên T2 – không gian Thật vậy,  x, y  R n x  y Ta đặt r  d ( x, y ) , B( x, r )  B( y, r )   1.4 Định nghĩa Giả sử Tp X: n  Tp p p n không gian tiếp xúc với n p Khi đó, ánh xạ: n n X p  Tp n gọi trường vectơ tiếp xúc n Nếu X : p  a X gọi trường vectơ song song ứng với vectơ a Ta ý rằng, với i = 1, 2,…,n, ta xét Ei : p  ei , p  gọi trường mục tiêu tự nhiên n n {E1, E2, …,En} Khi đó, ta có biểu diễn X  X E1  X E2   X n En ; X j : X , X n  , ,X n  gọi tọa độ X trường mục tiêu tự nhiên {E1, E2, …,En} X gọi khả vi Xj khả vi với j = 1, 2, … ,n Bây ta kí hiệu B  n  = {X: X khả vi n } B  phép toán sau: +) Phép cộng: X  Y : p X p  Yp , p  n , X ,Y  B  n  n  trang bị +) Phép nhân với hàm số: 1.5 Định lý.(Xem [4]) B  chiều vành F  n   p  X p , p  X : p n ,   F n n , X  B n   với hai phép tốn mơđun n -  Chứng minh  Dễ thấy B  n  phép tốn cộng nhóm cộng giao hốn  f ( X  Y )( p)  f ( p)( X ( p)  Y ( p))  f ( p) X ( p)  f ( p).Y ( p)  ( f X )( p)  ( f Y )( p)  ( f X  f Y )( p); p   f ( X  Y )  f X  f Y ; f  F( n n ); X , Y  B( n )  ( f  g ) X ( p)  ( f  g )( p).X p  ( f ( p)  g ( p)) X p  ( f X )(p)  (g.X)(p)  (f X  g.X)(p);  p  n  ( f  g ) X  f X  g X ; f , g  F( n ); X  B( n )  ( f g ) X ( p)  ( f g )( p) X p  ( f ( p).g ( p)) X p  f ( p).( g ( p ) X p )  f ( p).( g X )( p )  f ( g X )( p ); p  n ( f g ) X  f ( g X ); f , g  F( n ); X  B(  (1 X )( p)  1( p) X p  X p  X p ; p  n n ) ; X B( n X  X ; X B( n ) Ta thấy rằng, {E1, E2, …,En} sở B  n )  Do dim B    n n II LIÊN THƠNG TUYẾN TÍNH TRÊN n 1.6 Định nghĩa Một liên thơng tuyến tính : B  n   B   n  X ,Y  B n n ánh xạ    X ,Y  :  X Y thỏa mãn tiên đề sau: T1:  X Y1  Y2    X Y1   X Y2 ; X , Y1, Y2 B  n T2:  X  fY   X  f .Y  f  X Y ; X ,Y  B  T3:  X  X Y   X Y   X Y ; X , X ,Y B  n n (1)  ;f  F   n (2)  (3)  ;f  F   (4) n T4:  f X  f  X Y ; X ,Y  B   n 1.7 Ví dụ Cho  = D: B  n   B   B  n n  XY = DXY =(X(Y1), X(Y2), …, X(Yn)) (X, Y) n Y   Yi Ei i 1 Khi đó,  liên thơng tuyến tính Thật vậy, ta kiểm tra tiền đề liên thơng tuyến tính ~ Giả sử,  X, X , Y, Y  B  n  ;   F   ; n Khi đó:    X (Y + Y~ ).E ~ = (T1) X Y  Y = n i i 1 n i i n ~  X (Yi).Ei +  X ( Yi ).Ei i 1 ~ = XY + x Y i 1 n  Y E , Y   Yi Ei n Y= i 1 i i i 1 n (T2) X(Y)  X (Yi).Ei = i 1   Y X[ ]   X  Y  .E n = i i 1 i n  Yi X[ ]Ei + = i 1 i n .X  Y .E i i 1 i = Y.X[] + .XY (T3)    X  X  (Yi ) Ei n X  X Y i 1 n = n  X  Yi  Ei +  X (Y ) E i 1 i i 1 i = XY +  X~ Y n (T4) XY =  ( X)  Y .E i i 1 i n =   X (Yi) Ei i 1 = .XY Vậy  liên thông tuyến tính n Liên thơng tuyến tính  xác định ví dụ gọi liên thơng tắc n ~ 1.8 Mệnh đề (Xem [5]) Giả sử X, X , Y  B  ~  X Y p   X Y p Xp = X p Chứng minh ~ Với X, X  B  X= n  , lúc ta có biểu diễn n n i 1 i 1  i E i ; X   i Ei ; i, i  F  n  , i  1,n n , p n 10 ~ Từ giả thiết: Xp = X p; ta suy i(p) = i(p),  i  1,n Ta có: (XY)p   =  Y   E   p n i i i 1   p    n = i i 1 Ei p   p    n = Y i i 1 Ei Y p   =  Y   E   p n i i i 1 =  XY  p  Với vectơ  p  Tp R n , ta ln có trường vectơ X mà X p   p Từ mệnh đề trên, ta xây dựng định nghĩa đạo hàm Y theo  p cách sau:      X Y  p , X p   p p 1.9 Mệnh đề (Xem [5])  X Y  p phụ thuộc giá trị trường vectơ Y lân cận điểm p Chứng minh Như ta biết, n tồn hàm số khả vi  thỏa mãn: ( p )  0; p V  U , U tập mở chứa tập đóng V  n   \ U   + Trước hết, ta xét trường vectơ Z thoả mãn: ZU = Khi đó, .Z = Z nên ta có:  Z  X p =  X Z  p = X[].Zp + (p)   X Z  p 21 6)  1  n ,B n ; ,  F  ; X  B   Ta có: n n        X        X     X     X       X           7)  1  n ,B n ; ,  F  ;X  B   Ta có: n n     X      X     X       X         8) Ta xét hàm số 1: n  p 1.  X   1.  X     X  ;    n ,B n   ; X  B   n  1.   2.3 Định nghĩa Giả sử  liên thông tuyến tính  1  n ,B n  theo hướng X B  n n Đạo hàm hiệp biến  liên kết với  kí hiệu   X xác định bởi:   X Y    X  Y       X Y  ; Y B  n  2.4 Các ví dụ a) Trong  : B , ta lấy   D ;   B   với: X  X1 , X  Y 1,0  ; Z  x, y  B  2   X    X1, X1  X  ;  Khi đó, ta có:     (Z )   D   Z   D   Z      D Z  Y Y   Z    x, x  y  Y Y 22  DY   Z    Y  x ,Y  x  y    1,1 DY Z  Y  x ,Y  y    1,0     DY Z   1,1  DY  Z   b) Giả sử  : B    B  X  X1, X , X    X    X ,0,0  ; Z1 1,0,0  , Z  x, y, x  z  B   Khi đó, ta có:     Z      Z     Z1 Z1  X Y  DX Y  X  Y ; Z1 Z2  +) Z   Z    DZ   Z1   Z1    Z  1 Mà   Z    x,0,0   DZ   Z   1,0,0  ; Z1    Z    0,0,0   Z   Z    1,0,0  +) Ta có: Z Z  DZ Z  Z1  Z 1 Mà Z1  Z   0,  x  z, y  ; DZ Z  1,0,1 nên Z Z  1,1  x  z,1  y  1   Z Z   1,0,0  Vậy   Z    Z   2.5 Mệnh đề Với  liên thơng tuyến tính i)  X Y   X  Y ; X ,Y  B  ii)  X   X ; X  B  n n ;   ;   iii)  X 1  2    X1   X2 ; X  B  Chứng minh i) Z B  n  Ta có: n n ,B n n n ,B n  ;  F   ; , Khi đó, ta có: n 1  n , B n  23     Z      Z       Z      Z       Z       Z   Z      Z       Z       Z       Z        Z       Z  X Y X Y X X Y Y X X X X Y Y Y Y   X Y   X  Y ii) Z B  n  Ta có:      Z      Z       Z      Z      Z      Z       Z       Z       Z   X X X X X X X X X    X   Z    X  . X iii) Z B  n    X  Ta có:      Z    X  1    Z    1     X Z    X 1  Z     Z    1   X Z      X Z    X 1  Z     X   Z    1   X Z      X Z     X 1  Z    1   X Z      X   Z       X Z     X 1  Z    X   Z    X 1  2    X1   X2 2.6 Định lý Với  liên thông tuyến tính  X .   X  .  . X ; X  B  Chứng minh Y B  n  Ta có: n n Khi đó, ta có:  ,  F   ,   n n ,B n  24      Y      Y       Y      Y        Y   X  . Y      Y        Y   X  . Y       Y       Y   X X X X X X X X X  X  . Y      X Y    X .   X  .  . X  2.7 Định nghĩa Giả sử f vi phôi từ  f ánh xạ f * : 1 n ,B n       u , v, w   1  ,B Khi đó, X B   n  ,B n n Khi đó, ánh xạ đối tiếp xúc  f * , f *  X     f* X  , X B  2.8 Ví dụ Cho f : n n  x  u  w  y  v  z  u.v   mà  Y   Y ,Y ,Y  Y ; Y Y ,Y ,Y  B   3 3  ta có: f *  X     f* X     J f  X   1   X        0   X       v u 0  X    3     X  X , X , vX  uX    X  X , X ,  v  1 X  uX  X  25 2.9 Mệnh đề Giả sử f : n  n vi phơi Khi đó, ta có: i) f * 1     f * 1   f *   , 1 , 1 ii) f *     f *   ,  1  n iii) Giả sử g vi phôi từ ,B n  n ,B      ,  F   n  n n Khi đó, ta có:  g f   f * g * * Chứng minh i) X B  n  ,  , 1  n ,B   Ta có: n f * 1    X   1    f* X   1  f* X     f* X   f *1  X   f *  X   f * 1  2   f * 1   f * 2  ii) X B  n  ,    n ,B   ,  F   Ta có: n n f *   X     f* X     f* X    f *  X   f *     f *   iii) X B   g n  ,    f * n  X     g ,B   Ta có: n f * X     g*  f*  X     g *  f* X     f   f *  g *   X  * g *   X  n 26   g f     f * g *  *   g f   f * g* * 2.10 Mệnh đề Cho f vi phơi từ  X  f *    X  n  n Khi đó,  1  n ,B n  n  f*  Chứng minh Ta có:  f *   X     f* X     f *   f* ,  1 Mặt khác, Y B  n  n ,B f*  X  , X  B  n n  ,   n , B   ta có:    f    Y      f   Y     f     Y  * * X * X X   X   f* Y        X  f*    Y    X  f *    X  f*   X Y  f*  II ĐẠO HÀM LIÊN KẾT – DẠNG VI PHÂN LẤY GIÁ TRỊ VECTƠ 2.11 Định nghĩa – dạng vi phân B  n  lấy giá trị B  xạ  : B n   B   B   X ,Y  n n   X ,Y  , thỏa mãn điều kiện: T1)   X  X ',Y     X ,Y     X ',Y  ; X , X ',Y B  T2)   X ,Y     X ,Y  ;   F  n n  ;X ,Y  B   n T3)   X ,Y  Y '    X ,Y     X ,Y ' ; X , Y , Y ' B  T4)   X ,Y     X ,Y  ;   F  n n  , X ,Y  B   n  n  ánh 27 T5)   X ,Y    Y , X  ; X ,Y B  n  Thực chất, ánh xạ  xác định ánh xạ song tuyến tính, phản xứng từ B  n   B   đến B   n Ví dụ Ánh xạ  : B  n   B   B  3  X ,Y    X ,Y   X  Y , ánh xạ song tuyến tính, phản xứng Thật vậy: T1)   X  X ', Y    X  X '  Y  X  Y  X ' Y    X , Y     X ',Y  ; X , X ', Y  B   T2)   X , Y    X   Y   X  Y    X , Y  ; X , Y  B   ;   F   T3), T4) chứng minh tương tự T5)   X , Y   X  Y  Y  X   Y , X  ; X , Y  B  Bây ta kí hiệu:  trị B  n  n ,B n       trang bị cho   n ,B  - dạng vi phân n   hai phép toán sau: +) Phép cộng:     X ,Y     X ,Y     X ,Y  ;  ,    , B    ; X , Y  B   2 +) Phép nhân với hàm: n n n n , lấy giá 28   X ,Y   .  X ,Y  ;   F   ;     n Nhận xét:   vành F  n n ,B n  n ,B n   ; X ,Y  B   n với hai phép toán lập thành môđun  2.12 Định nghĩa Giả sử  liên thơng tuyến tính biến  2  n ,B n  theo hướng X B  n n Đạo hàm hiệp  liên kết với  kí hiệu  X xác định bởi:  X Y , Z    X  Y , Z       X Y , Z    Y ,  X Z  , Y , Z B  2.13 Ví dụ Trong ,   D ,  : B 2  2   X ,Y    X 1Y2  X 2Y1 ,0  , Khi đó, ta có:  X Y , Z   DX Y , Z   DX  Y , Z      DX Y , Z    Y , DX Z  +)  Y , Z    xy  x y,0   DX  Y , Z     y  xy  x  x ,0  +) DX Y  1,2      X Y , Z    y  x ,0  +) DX Z   x,2    Y ,  X Z    x  xy,0  Vậy  X Y , Z   DX Y , Z   2.14 Mệnh đề Với  liên thơng tuyến tính i)  X Y    X  Y ; X ,Y  B  n    B   B   X ,Y  X 1,2  ,Y  x, y  , Z  x , y  B  n ;   n , B n n Khi đó, ta có:  29 ii)  X    X ; X  B  n ;   n ,B iii)  X       X   X ; X  B  iv)  X .   X  .  . X ; X  B  n ;  F   n ; , n  ,  F   ,   n n 2  , B n n n  ,B n  Chứng minh Chứng minh i), ii), iii) tương tự mệnh đề 2.5, chứng minh iv) Thật vậy, Y , Z B  n  Khi đó, ta có:      Y , Z      Y , Z       Y , Z    Y ,  Z      Y , Z        Y , Z     Y ,  Z   X  . Y , Z     Y , Z        Y , Z     Y ,  Z   X  . Y , Z       Y , Z       Y , Z    Y ,  Z   X X X X X X X X X X X X X  X  . Y , Z    X Y , Z    X  .   X  Y , Z  ; X  B  n   X    X     X Nhận xét Giả sử f : Ánh xạ f * : 2  n n ,B  n n  ,   F   ,    n n ,B n    vi phôi      n ,B f * n  , gọi ánh xạ đối tiếp xúc f  f *   X ,Y     f* X , f*Y  ; X ,Y B  n  Từ đó, ta có định lý sau: 2.15 Định lý Giả sử  liên thơng tuyến tính phơi Khi đó, X B  n : f X  X Chứng minh Y , Z B  n  Khi đó, ta có: *  X n f : f *  f * X n  n vi 30  X  f *  Y , Z    X  f * Y , Z    f *   X Y , Z   f * Y ,  X Z    X   f*Y , f*Z      f*   X Y  , f*Z     f*Y , f*   X Z   , Mặt khác, Y , Z B  n 1  ta có: f *   X Y , Z     X  f*Y , f*Z    X   f*Y , f*Z        X f*Y  , f*Z     f*Y ,   X f*Z   , Từ (1) (2) ta suy  X  f *  Y , Z   f *   X Y , Z  ; Y , Z B    X  f *   f *   X  ,  2  X  n ,B n n  2    f *  f * X 2.16 Định nghĩa Giả sử 1 , 1  n ,B n   : B  n   B   B  n n ánh xạ song tuyến tính  tích ngồi 1 , kí hiệu 1   xác định bởi:    X ,Y      X , Y     Y ,  X ;X ,Y B   2 Thực chất, 1   – dạng vi phân lấy giá trị B   2.17 Ví dụ Giả sử 1 : B    B  X  X1 , X , X  ánh xạ  : B  3   B  ,   B   B   X ,Y  X Y ánh xạ song tuyến tính, X 1, x, y  ,Y  x,0, y  Khi đó, ta có:    X ,Y     ( X ), (Y )    (Y ), ( X ) ,  2   X  X1, X , X  – dạng vi phân lấy giá trị B  n 2 : B   X , X ,0 n  0, X , X3  , 31 )1  X   1, x,0  , Y    0,0, y    1  X  , Y     xy,  y,0  ) 1 Y    x,0,0  ,  X    0, x, y    1 Y  ,  X     0,  xy,  x   Vậy 1    X ,Y    xy,  y  xy, x  2.18 Mệnh đề Giả sử f :  n  n vi phơi Khi đó, ta có:  f * 1    f *1  f * ; 1 , 1  n ,B n  Chứng minh X ,Y B  n  , ánh xạ song tuyến tính từ B    B   đến B   Ta có: n n n  f    X ,Y      f X , f Y  *   * *   1  f* X  ,  f*Y     1  f*Y  ,  f* X       f    X  ,  f   Y       f   Y  ,  f    X   * *  f *1  f *  * *   X ,Y    f * 1    f *1  f * 2.19 Định nghĩa Giả sử  liên thơng tuyến tính Ánh xạ d : 1  n ,B n      n ,B n n  d , d  X ,Y    X  Y    Y   X      X ,Y  ; X ,Y B  vi phân – dạng liên kết với  Nhận xét d – dạng vi phân lấy giá trị B  2.20 Ví dụ Trong ,   D ,  : B   B  n  n  gọi 32 X  X1, X  phân lấy giá trị B    X    X , X  X  , – dạng vi  , X  x, y  ,Y 1, xy  Khi đó, ta có: d  X ,Y   DX  Y    DY   X      X ,Y  +)  Y   1,1  xy   DX  Y     0,2 xy  +)   X    x, x  y   DY   X    1,1  xy  +)  X ,Y   DX Y  DY X mà DX Y   0,2 xy  , DY X  1, xy  nên  X ,Y    1, xy     X ,Y    1, 1  xy  Vậy d  X ,Y    0,0  2.21 Mệnh đề Giả sử, ánh xạ i : B  xoắn n n   B  , n i  X   X T độ X ứng với  Khi đó, ta có: di  T Chứng minh d  i  X , Y    X  i Y    Y  i  X    i   X , Y     X Y  Y X   X , Y   T  X , Y  ; X , Y B  n   d i  T 2.22 Hệ Nếu   D liên thơng tuyến tính Chứng minh d Di  X , Y   DX  i Y    DY  i  X    i  X ,Y   DX Y  DY X   X ,Y   DX Y  DY X  DX Y  DY X  0; X , Y  B   d Di  n  n di  33 KẾT LUẬN Trong luận văn này, chúng tơi đạt kết sau: Trình bày hệ thống khái niệm, chứng minh chi tiết số tính chất khơng gian n Trình bày cách xây dựng k – dạng vi phân (k = 1, k = 2) với giá trị vectơ, đạo hàm liên kết – dạng, – dạng với liên thơng tuyến tính , vi phân ngồi liên kết với liên thơng tuyến tính  Phát biểu chứng minh mệnh đề nói tính chất đạo hàm hiệp biến theo hướng X liên kết với  (mệnh đề 2.5, 2.6, 2.14) Phát biểu chứng minh mệnh đề nói tính giao hốn f *  (mệnh đề 2.15) Phát biểu chứng minh mệnh đề nói tính bảo tồn  tích f * (mệnh đề 2.18) Trong thời gian tới, tiếp tục nghiên cứu k – dạng vi phân với giá trị vectơ trường số phức 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO I TIẾNG VIỆT Khu Quốc Anh, Nguyễn Doãn Tuấn (2011), Lý thuyết liên thơng hình học Riemann, Nhà xuất đại học sư phạm Lê Thị Hương (2010), Đạo hàm k – dạng vi phân liên kết với liên thơng tuyến tính ứng dụng, Luận văn thạc sỹ Tốn học, Đại học Vinh John L.Kelley (1973), Tơpơ đại cương, NXB đại học trung học chuyên nghiệp Hà Nội Nguyễn Hữu Quang (2007), Bài giảng Đa tạp khả vi, Đại học vinh Nguyễn Hữu Quang (2007), Bài giảng Hình học Riemann, Đại học vinh Đồn Quỳnh (2000), Hình học vi phân, Nhà xuất giáo dục II TIẾNG ANH Jost (2000), Riemannian Geometry and Geometric Analysis, Fourth Edition With 14 Figures, Springer Sigmundur.G (2010), An Introduction to Riemannian Geometry, Lecture Notes in Mathematics, Lund University 35 ... II ĐẠO HÀM LIÊN KẾT CỦA k – DẠNG VI PHÂN VỚI LIÊN THÔNG TUYẾN TÍNH(k = 1, k = 2) Trong chương này, chúng tơi trình bày khái niệm 1– dạng, – dạng vi phân lấy giá trị B  n  , đạo hàm liên kết. .. tơi trình bày khái niệm – dạng, – dạng lấy giá trị B  n  , đạo hàm liên kết – dạng, – dạng với liên thơng tun tính, tích ngồi – dạng, vi phân – dạng liên kết với liên thơng tuyến tính Luận... đạo hàm liên kết – dạng, – dạng với liên thơng tuyến tính , vi phân ngồi liên kết với liên thơng tuyến tính  Phát biểu chứng minh mệnh đề nói tính chất đạo hàm hiệp biến theo hướng X liên kết