Một số tính chất của đạo hàm lie các dạng vi phân trên r ( n=2, n=3)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN VĂN HỊA MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ĐẠO HÀM LIE CÁC DẠNG VI PHÂN TRÊN n (n = 2, n = 3) LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN - 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN VĂN HỊA MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ĐẠO HÀM LIE CÁC DẠNG VI PHÂN TRÊN n (n = 2, n = 3) Chuyên ngành: Hình học - Tơpơ Mã số: 60.46.01.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYỄN HỮU QUANG NGHỆ AN - 2016 MỤC LỤC Trang LỜI NÓI ĐẦU Chương I CÁC DẠNG VI PHÂN TRÊN 1.1 Liên thơng tuyến tính n n ( n = 2, n = 3) 1.2 - dạng vi phân - dạng vi phân n 13 Chương II ĐẠO HÀM LIE CỦA CÁC DẠNG VI PHÂN 21 2.1 Đạo hàm Lie k - dạng với giá trị thực 21 2.2 Đạo làm Lie K- dạng với giá trị vectơ 27 KẾT LUẬN 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO 32 LỜI NÓI ĐẦU Đạo hàm Lie dạng vi phân xuất đầu kỷ 20 trình bày nhiều tài liệu chuyên khảo hình học đại ( [ 1] , [ 2], [ 8],…) Đạo hàm Lie dạng vi phân có nhiều ứng dụng tốn học, vật lý ngành khoa học tự nhiên khác Trong luận văn này, chúng tơi trình bày số tính chất đạo hàm Lie dạng vi phân n (n = 2, n = 3) Vì vậy, luận văn mang tên: “Một số tính chất đạo hàm Lie dạng vi phân n (n = 2, n = 3)” Nội dung chủ yếu luận văn tập hợp cách có hệ thống, trình bày, chứng minh chi tiết tính chất đạo hàm Lie dạng vi phân với giá trị thực, đạo hàm Lie dạng vi phân với giá trị vec tơ Luận văn trình bày hai chương: Chương I Các dạng vi phân 1.1 Liên thơng tuyến tính n (n = 2, n = 3) n 1.2 - dạng vi phân - dạng vi phân n (n=2, n=3) Chương II Đạo hàm Lie dạng vi phân 2.1 Đạo hàm Lie k - dạng với giá trị thực 2.2 Đạo hàm Lie k - dạng với giá trị vectơ Luận văn hoàn thành vào tháng năm 2016 Trường Đại học Vinh hướng dẫn thầy giáo PGS TS Nguyễn Hữu Quang Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy, người hướng dẫn tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Nhân dịp hoàn thành luận văn, tác giả xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo môn Hình học - Tơpơ, thầy giáo khoa Toán học, khoa đào tạo Sau đại học - Trường Đại học Vinh, nhiệt tình giảng dạy, góp ý tạo điều kiện cho tác giả trình học tập thực luận văn Cũng này, tác giả xin chân thành cảm ơn bạn bè, gia đình động viên, giúp đỡ tác giả suốt q trình học tập hồn thành luận văn Nghệ An, tháng năm 2016 Tác giả Chương I n CÁC DẠNG VI PHÂN TRÊN Ta ký hiệu ( n = 2, n = 3) trường số thực Với số nguyên không âm n, không gian n số thực tạo thành không gian vectơ n chiều n ký hiệu , thường gọi không gian tọa độ thực Như ta biết, phần tử n viết x   x1 , x2 , , xn  , n xi số thực phép toán định nghĩa bởi: x  y   x1  y1 , x2  y2 , , xn  yn  a.x   a.x1 , a.x2 , , a.xn  ; a  Khi n hai phép tốn khơng gian vectơ thực với sở: e1  (1,0, ,0), e2  (0,1,0, ,0), , en  (0,0, ,0,1) n vectơ x viết dạng: n x= ∑ xi ei i=1 Không gian Euclide cần nhiều thứ không gian với tọa độ thực Để áp dụng hình học Euclide cần có khái niệm khoảng cách hai điểm góc hai đường hai vectơ Một cách tự nhiên ta sử dụng tích vơ hướng tắc, tích vơ hướng hai vectơ x y định nghĩa bởi: n x y= ∑ xi yi = x1 y1 +x2 y2 + +xn 𝑦𝑛 i=1 Độ dài vectơ x xác định sau: n ‖x‖= √x x = √∑(xi )2 i=1 Góc (khơng có hướng)  (00    1800 ) x y cho bởi: x.y φ = cos -1 (‖x‖‖y‖), cos-1 hàm lượng giác ngược arccos Cuối cùng, khoảng cách hai điểm xác định bởi: n d  x, y   ‖𝑥 − 𝑦‖ = √∑(𝑥𝑖 − 𝑦𝑖 )2 Khoảng cách gọi khoảng cách Euclide Như n nói n không gian Euclide Trong suốt luận văn này, n ta hiểu không gian Euclide n 1.1 Liên thơng tuyến tính Ta ký hiệu: 𝐵( n ) = {X/ X trường vectơ khả vi n } Như biết: 𝐵( n ) môđun vành 𝐹( n ) = {f/ f ánh xạ khả vi: n  } 1.1.1 Định nghĩa Ánh xạ : 𝐵( n ) x 𝐵( n ) → 𝐵( n ) ↦XY (X, Y) gọi liên thơng tuyến tính n  thỏa mãn tính chất: (𝑇1): ∇(𝑋1 +𝑋2 ) 𝑌 = ∇𝑋1 𝑌 + ∇𝑋2 𝑌; ∀𝑋1 , 𝑋2 , 𝑌𝜖𝐵( (𝑇2): 𝛻𝜑𝑋 𝑌 = 𝜑𝛻𝑋 𝑌; ∀𝑋, 𝑌𝜖𝐵( n ), 𝜑𝜖𝐹( n n ) n ) ) (𝑇3): 𝛻𝑋 (𝑌1 + 𝑌2 ) = 𝛻𝑋 𝑌1 + 𝛻𝑋 𝑌2 ; ∀𝑋, 𝑌1 , 𝑌2 𝜖𝐵( (𝑇4): 𝛻𝑋 (𝜑𝑌) = 𝑋[𝜑] 𝑌 + 𝜑 𝛻𝑋 𝑌; ∀𝑋, 𝑌𝜖𝐵( n ), 𝜑𝜖𝐹( n ) Ta nhận thấy: Từ (T1) (T2) suy  ánh xạ tuyến tính theo biến thứ Và theo (T4)  ánh xạ có tính chất đạo hàm, theo (T3)  cộng tính với biến thứ 1.1.2 Ví dụ a Giả sử { 𝜕 𝜕𝑥𝑖 = 𝐸𝑖 } 𝑛 𝑖=1 Khi ánh xạ D: 𝐵( sở 𝐵( n ) x 𝐵( n n ) ) → 𝐵( n ) (𝑋, 𝑌) ↦ 𝐷𝑋 Y = ∑𝑛𝑖=1 𝑋[𝑌𝑖 ]𝐸𝑖 liên thông tuyến tính n Chứng minh: 𝑛 𝑛 𝑛 𝐺𝑖ả 𝑠ử: 𝑋 = ∑ 𝑋𝑖 𝐸𝑖 , 𝑌 = ∑ 𝑌𝑖 𝐸𝑖 , 𝑍 = ∑ 𝑍𝑖 𝐸𝑖 , 𝜑𝜖𝐹( 𝑖=1 𝑖=1 n ) 𝑖=1 Ta kiểm tra điều kiện định nghĩa 1.1.1: 𝑛 (𝑇1) 𝐷𝑋+𝑌 𝑍 = ∑(𝑋 + 𝑌)[𝑍𝑖 ]𝐸𝑖 𝑖=1 𝑛 = ∑(𝑋[𝑍𝑖 ]𝐸𝑖 + 𝑌[𝑍𝑖 ]𝐸𝑖 ) 𝑖=1 𝑛 𝑛 = ∑ 𝑋 [𝑍𝑖 ]𝐸𝑖 + ∑ 𝑌[𝑍𝑖 ]𝐸𝑖 𝑖=1 𝑖=1 = 𝐷𝑋 𝑍 + 𝐷𝑌 𝑍 𝑛 𝑛 (𝑇2) 𝐷𝜑𝑋 Y = ∑(𝜑𝑋)[𝑌𝑖 ]𝐸𝑖 = 𝜑 ∑ 𝑋[𝑌𝑖 ]𝐸𝑖 𝑖=1 𝑖=1 = 𝜑 𝐷𝑋 𝑌 𝑛 (𝑇3) 𝐷𝑋 (𝑌 + 𝑍) = ∑(𝑋[𝑌𝑖 + 𝑍𝑖 ])𝐸𝑖 𝑖=1 𝑛 = ∑(𝑋[𝑌𝑖 ]𝐸𝑖 + 𝑋[𝑍𝑖 ]𝐸𝑖 ) 𝑖=1 𝑛 𝑛 = ∑ 𝑋[𝑌𝑖 ]𝐸𝑖 + ∑ 𝑋[𝑍𝑖 ]𝐸𝑖 𝑖=1 𝑖=1 = 𝐷𝑋 𝑌 + 𝐷𝑋 𝑍 𝑛 𝑛 (𝑇4) 𝐷𝑋 (𝜑𝑌) = ∑ 𝑋[𝜑𝑌𝑖 ]𝐸𝑖 = ∑(𝑋[𝜑] 𝑌𝑖 + 𝜑 𝑋[𝑌𝑖 ]𝐸𝑖 ) 𝑖=1 𝑖=1 𝑛 𝑛 = ∑ 𝑋[𝜑] 𝑌𝑖 + 𝜑 ∑ 𝑋[𝑌𝑖 ]𝐸𝑖 𝑖=1 𝑖=1 = 𝑋[𝜑] Y + φ 𝐷𝑋 Y Vậy D liên thơng tuyến tính b Giả sử D đạo hàm tự nhiên trường vectơ xạ : 𝐵( ) x 𝐵( ) → 𝐵( ) (𝑋, 𝑌) ↦ ∇𝑋 𝑌 = 𝐷𝑋 𝑌 + (𝑋 𝑌) Khi  liên thơng tuyến tính Chứng minh: X, Y, Z  ;  𝐹( ) Ta kiểm tra điều kiện định nghĩa 1.1.1: (𝑇1) ∇𝑋+𝑌 (𝑍) = 𝐷𝑋+𝑌 𝑍 + ((𝑋 + 𝑌) 𝑍) = 𝐷𝑋 𝑍 + 𝐷𝑌 𝑍 + ((𝑋  𝑍) + (𝑌  𝑍)) = (𝐷𝑋 𝑍 + (𝑋  𝑍)) + (𝐷𝑌 𝑍 + (𝑌  𝑍)) = ∇𝑋 𝑍 + ∇𝑌 𝑍 (𝑇2) ∇𝜑𝑋 Y = 𝐷𝜑𝑋 𝑌 + ((𝜑𝑋)𝑌) = 𝜑𝐷𝑋 𝑌 + 𝜑(𝑋  𝑌) = 𝜑 (𝐷𝑋 𝑌 + (𝑋  𝑌)) = 𝜑∇𝑋 𝑌 (𝑇3) ∇𝑋 (𝑌 + 𝑍) = 𝐷𝑋 (𝑌 + 𝑍) + (𝑋 (𝑌 + 𝑍)) = 𝐷𝑋 𝑌 + 𝐷𝑋 𝑍 + 𝑋  Y + X  Z = (𝐷𝑋 𝑌 + (𝑋  𝑌)) + (𝐷𝑋 𝑍 + (𝑋𝑍)) = ∇𝑋 𝑌 + ∇𝑋 𝑍 (𝑇4) ∇𝑋 (𝜑𝑌) = 𝐷𝑋 (𝜑𝑌) + (𝑋 ∧ 𝜑𝑌) = 𝑋[𝜑]𝑌 + 𝜑𝐷𝑋 𝑌 + 𝜑(𝑋 ∧ 𝑌) = 𝑋[𝜑]𝑌 + 𝜑(𝐷𝑋 𝑌 + (𝑋 ∧ 𝑌)) = 𝑋[𝜑]𝑌 + 𝜑∇𝑋 𝑌 Vậy  liên thông tuyến tính , xét ánh 1.1.3 Mệnh đề Giả sử S ánh xạ song tuyến tính từ 𝐵( n ) x 𝐵( Ta đặt: ∇𝑋 𝑌 = 𝐷𝑋 𝑌 + 𝑆(𝑋, 𝑌); X, Y  𝐵( Khi  liên thơng tuyến tính n n n ) → 𝐵( ) Chứng minh: X, Y, Z  𝐵( n );  𝐹( n ) Ta kiểm tra điều kiện định nghĩa 1.1.1: (𝑇1) ∇𝑋+𝑍 𝑌 = 𝐷𝑋+𝑍 𝑌 + 𝑆(𝑋 + 𝑍, 𝑌) = 𝐷𝑋 𝑌 + 𝐷𝑍 𝑌 + 𝑆(𝑋, 𝑌) + 𝑆(𝑍, 𝑌) = [𝐷𝑋 𝑌 + 𝑆(𝑋, 𝑌)] + [𝐷𝑍 𝑌 + 𝑆(𝑍, 𝑌)] = ∇𝑋 𝑌 + ∇𝑍 𝑌 (𝑇2) ∇𝜑𝑋 Y = 𝐷𝜑𝑋 𝑌 + 𝑆(φX, 𝑌) = 𝜑𝐷𝑋 𝑌 + 𝜑 𝑆(𝑋, 𝑌) = 𝜑 (𝐷𝑋 𝑌 + 𝑆(𝑋, 𝑌)) = 𝜑∇𝑋 𝑌 (𝑇3) ∇𝑋 (𝑌 + 𝑍) = 𝐷𝑋 (𝑌 + 𝑍) + 𝑆(𝑋, 𝑌 + 𝑍) = 𝐷𝑋 𝑌 + 𝐷𝑋 𝑍 + 𝑆(𝑋, 𝑌) + S(X, Z) = [𝐷𝑋 𝑌 + 𝑆(𝑋, 𝑌)] + [𝐷𝑋 𝑍 + 𝑆(𝑋, 𝑍)] = ∇𝑋 𝑌 + ∇𝑋 𝑍 (𝑇4) ∇𝑋 (𝜑𝑌) = 𝐷𝑋 (𝜑𝑌) + 𝑆(𝑋, 𝜑𝑌) = 𝑋[𝜑]𝑌 + 𝜑𝐷𝑋 𝑌 + 𝜑𝑆(𝑋, 𝑌) = 𝑋[𝜑]𝑌 + 𝜑(𝐷𝑋 𝑌 + 𝑆(𝑋, 𝑌)) = 𝑋[𝜑]𝑌 + 𝜑∇𝑋 𝑌 Vậy  liên thơng tuyến tính n 1.1.4 Nhận xét n Liên thông tuyến tính D 1.DX Y  DY X   X , Y  ; X , Y  B  n có tính chất sau:  X DZ Y  Y DZ X  Z  X Y  ; X , Y , Z  B  n  n ) 𝑛 = ∑ 𝑎𝑖𝑗 𝑋𝑖 𝑌𝑗 ; đó: 𝑎𝑖𝑗 = 𝜔(𝐸𝑖 , 𝐸𝑗 ) 𝑖,𝑗=1 Mặt khác: aij = (Ei, Ei) = aij = -aji ⇒ 𝜔(𝑋, 𝑌) = ∑ 𝑎𝑖𝑗 (𝑋𝑖 𝑌𝑗 − 𝑋𝑗 𝑌𝑖 ) 𝑖