Đạo hàm của các dạng vi phân liên kết với liên thông truyến tính trên r3

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGÔ THỊ KIM NHUNG ĐẠO HÀM CỦA CÁC DẠNG VI PHÂN LIÊN KẾT VỚI LIÊN THƠNG TUYẾN TÍNH TRÊN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN – 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGÔ THỊ KIM NHUNG ĐẠO HÀM CỦA CÁC DẠNG VI PHÂN LIÊN KẾT VỚI LIÊN THƠNG TUYẾN TÍNH TRÊN Chun ngành: HÌNH HỌC – TƠPƠ MÃ SỐ: 60.46.10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS NGUYỄN HỮU QUANG NGHỆ AN – 2016 MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU CHƯƠNG I CÁC DẠNG VI PHÂN VỚI GIÁ TRỊ VECTƠ TRÊN 1.1 TRƯỜNG VECTƠ TIẾP XÚC TRONG 1.2 LIÊN THƠNG TUYẾN TÍNH TRÊN 3 11 1.3 CÁC DẠNG VI PHÂN VỚI GIÁ TRỊ VECTƠ TRÊN 19 CHƯƠNG II ĐẠO HÀM CỦA CÁC DẠNG VI PHÂN LIÊN KẾT VỚI LIÊN THƠNG TUYẾN TÍNH TRÊN 26 2.1 ĐẠO HÀM THEO HƯỚNG CỦA CÁC DẠNG VI PHÂN TRÊN 26 2.2 ĐẠO HÀM CỦA CÁC DẠNG VI PHÂN LIÊN KẾT VỚI LIÊN THƠNG TUYẾN TÍNH TRÊN 28 KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC CỦA LUẬN VĂN 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO 36 LỜI MỞ ĐẦU Hình học Riemann nghiên cứu vào năm kỉ XIX qua cơng trình Riemann (1826 - 1866) Sau nhiều nhà tốn học phát triển nghiên cứu như: Krixstophen (1829 - 1900), Lipsit (1832 - 1903), Klein (1849 - 1925), Ricci Levi - Civita Năm 1950 Ehresman người trình bày lý thuyết liên thơng theo quan điểm tốn học đại Ơng trình bày liên thơng tuyến tính đa tạp tổng quát liên thơng phân thớ bất kì, xem trường không gian nằm ngang Ông người trình bày dạng liên thơng độ cong thơng qua phương trình cấu trúc Các cơng trình nghiên cứu Ehresman phát triển nhà toán học tiếng Chezn, Ambose - Singer, Kobayshi, Nomizu, Trên sở số kết nhà tốn học số tài liệu theo hướng dẫn trên, hướng dẫn thầy giáo PGS.TS Nguyễn Hữu Quang, chọn đề tài: “Đạo hàm dạng vi phân liên kết với liên thơng tuyến tính ” Trong luận văn này, chúng tơi trình bày số tính chất đạo hàm dạng vi phân liên kết với liên thơng tuyến tính sau ứng dụng phép đạo hàm vào việc khảo sát độ cong Luận văn trình bày hai chương Chương 1: Các dạng vi phân với giá trị véctơ Trong chương này, trình bày số kiến thức trường vectơ tiếp xúc , số tính chất liên thơng tuyến tính với giá trị véctơ 3 dạng vi phân Chương 2: Đạo hàm dạng vi phân liên kết với liên thơng tuyến tính Trong chương này, chúng tơi trình bày dạng vi phân giá trị B( 3 với ) Đạo hàm dạng vi phân liên kết với liên thơng tuyến tính Từ ứng dụng vào việc tính độ cong Luận văn thực hoàn thành vào tháng - 2016 trường Đại học Vinh hướng dẫn thầy giáo PGS.TS Nguyễn Hữu Quang Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Nhân dịp tác giả xin chân thành cảm ơn ban chủ nhiệm khoa sư phạm toán học Tác giả xin cảm ơn thầy, giáo tổ hình học - tơpơ, khoa sư phạm tốn học nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập Cũng tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè tạo điều kiện giúp đỡ tác giả suốt trình học tập hoàn thành luận văn Nghệ An, ngày…tháng…năm 2016 Tác giả CHƯƠNG I CÁC DẠNG VI PHÂN VỚI GIÁ TRỊ VECTƠ TRÊN Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức trường vectơ tiếp xúc , đạo hàm trường vectơ theo trường vectơ, số vấn đề liên thơng tuyến tính véctơ 3 dạng vi phân với giá trị 1.1 TRƯỜNG VECTƠ TIẾP XÚC TRONG Như ta biết: vectơ tiếp xúc với p  p  3  vectơ   có gốc p Ta viết  p,    p 1.1.1 Định nghĩa Trường vectơ tiếp xúc X:  p Tp ánh xạ Tp p 3 Xp không gian vectơ tiếp xúc với p 1.1.2 Chú ý +) Khi X ánh xạ trường vectơ X gọi trường vectơ song song +) Giả sử  X , X , X 3 trường vectơ  X ( p), X ( p), X ( p) sở T p , p  3 thỏa mãn : Ta nói  X , X , X 3 trường mục tiêu +) Nếu trường vectơ X i trường mục tiêu  X i  song song ta nói trường mục tiêu trường mục tiêu song song  +) Cơ sở ei , Ei ( p) với p  3 xác định trường mục tiêu song song Ei  (i  1,2,3) , Ei  gọi mục tiêu tự nhiên +) Giả sử E1 , E2 , E3 trường mục tiêu tự nhiên X trường vectơ bất kì, ta biễu diễn: X  X1E1  X E2  X E3 , với X i hàm số E  ta nói X  X , X , X  X gọi khả vi X i khả vi với i  1,2,3 (tức X i có đạo hàm riêng đạo hàm riêng liên tục) 1.1.3 Ví dụ Trong E  Oxyz , xét trường vectơ X  x yE1  xzE2  z yE3 Thật vậy, giả sử X  X1, X , X  đó: E3  X1 :  x, y , z  x2 y E3  X2 :  x, y , z  xz E3  X3 :  x, y , z  z2 y Ta cần chứng minh X , X , X khả vi Chẳng hạn ta chứng minh X khả vi Gọi: g1  X :  x, y, z  x X :  x, y , z  y X g  :  x, y , z  z g2  xy zy Như vậy, X có đạo hàm riêng g1, g2 , g3 liên tục hàm sơ cấp Do X khả vi Chứng minh tương tự ta có X , X B - Từ trở ta xét trường vectơ X khả vi - Ta kí hiệu F    X  tập hợp hàm số khả vi X tập hợp hàm số khả vi  1.1.4 Các phép toán B  1) Phép cộng: X ,Y  B( Khi đó: X  Y : p 3  ); X : p Xp , Y : p X p  Yp , p  Yp 2) Phép nhân: Giả sử  hàm số khả vi (   F  Khi đó:  X : p  ( p) X p ; p  3  );  :  3) Trường hợp:   a  const aX : p 1.1.5 Mệnh đề B  a X p ; p   với hai phép toán (1) (3) lập thành không gian vectơ thực Thật vậy, ta dễ dàng chứng minh hai phép toán (1) (3) thỏa mãn tiên đề không gian vectơ Do thử tiên đề bản, là: * Giả sử X  X1, X , X   B  ;  0,0,0 Ta suy ra: X   ( X1  0, X  0, X  0)  ( X1 , X , X )  X * Giả sử X  X1, X , X   B  ;   X ,  X ,  X   B   3 Sao cho X  ( X )  ( X1  ( X1 ), X  ( X ), X  ( X ))   0,0,0  *Với   , giả sử X  X1, X , X   B  ; Y ,Y ,Y   B   X  Y  ( X1  Y1, X  Y2 , X  Y3 ) Ta có:  ( X  Y )   ( X1  Y1, X  Y2 , X  Y3 )  ( X  Y1 ,  X  Y2 ,  X  Y3 )   ( X , X , X )   Y1 , Y2 , Y3    X  Y Thử tiên đề cịn lại thấy thỏa mãn Vậy: B   với hai phép tốn (1) (3) lập thành khơng gian vectơ thực 1.1.6 Định nghĩa Giả sử X ,Y  B( ) Đạo hàm trường Y theo trường vectơ X trường vectơ kí hiệu DX Y DX Y xác định DX Y  p DX Y ; p  p 1.1.7 Ví dụ Trong cho X ( xy, yz, zx);Y ( x y, y z, z x) trường vectơ Tính DX Y ? Giải Ta có: X Y1   xy.2 xy  yz.x  zx.0  x y  x yz X Y2   xy.0  yz.2 yz  zx y  y z  xy z X Y3   xy.z  yz.0  zx.2 xz  xyz  x z  DX Y  (2 x y  x yz ,2 y z  xy z , xyz  x z ) 1.1.8 Mệnh đề Giả sử X ,Y  B( 3 ) Y (Y1,Y2 ,Y3 ) Khi đó: DX Y   X Yi  Ei i 1 Chứng minh Với p  ta có: DX Y  DX Y  DX ( Yi Ei ) p p i 1   ( X p [Yi ]Ei ( p )  Yi ( p )DX Ei ) p i 1   X [Yi ]( p ) Ei ( p ) i 1  ( X Yi  Ei )( p ), p  3 i 1 Do DX Y   X Yi  Ei i 1 1.1.9 Mệnh đề i ) DX (Y  Z )  DX Y  DX Z ii ) DX Y ( Z )  DX Z  DY Z iii ) DX (Y )  X [ ].Y   DX Y Chứng minh i) Ta có: DX (Y  Z )  X [Y  Z ]  X [Y ]  X [Z ]  DX Y  D X Z ii) Ta có: DX Y ( Z )  ( X  Y )[Z ]  X [Z ]  Y [ Z ]  DX Z  DY Z iii) Ta có: DX (Y )  X [Y ]  ( X [Y1 ], X [Y2 ], X [Y3 ])  ( X [Y1 ]  Y1 X [ ], X [Y2 ]  Y2 X [ ], X [Y3 ]  Y3 X [ ])  ( X [Y1 ], X [Y2 ], X [Y3 ])  (Y1 X [ ], Y2 X [ ], Y3 X [ ])   ( X [Y1 ], X [Y2 ], X [Y3 ])  X [ ](Y1, Y2 , Y3 )   DX Y  X [ ].Y 1.1.10 Mệnh đề Trong xét X ,Y , Z  B( ) ta có: DX (Y  Z )  ( DX Y )  Z  Y  DX Z Chứng minh Lấy X ( X1, X , X ),Y (Y1,Y2 ,Y3 ), Z (Z1, Z , Z3 )  B( ) Ta có: Y  Z  (Y2 Z3  Y3Z2 ,Y3Z1  Y1Z3 ,Y1Z  Y2 Z1 ) Suy ra: DX (Y  Z )  ( X [Y2 Z3  Y3Z ], X [Y3Z1  Y1Z ], X [Y1Z  Y2 Z1 ])  ( X [Y2 Z3 ]  X [Y3Z ], X [Y3Z1 ]  X [Y1Z ], X [Y1Z ]  X [Y2Z1 ]) Ta có: DX Y  ( X [Y1 ], X [Y2 ], X [Y3 ]) Suy ra: ( DX Y )  Z  ( X [Y2 ]Z3  X [Y3 ]Z2 , X [Y3 ]Z1  X [Y1]Z3 , X [Y1]Z2  X [Y2 ]Z1) Ta có: DX Z  ( X [Z1 ], X [Z2 ], X [Z3 ]) Suy ra: 10 f  ( )( X , , X k )  ( )( f X , , f X k )   ( f X , , f X k )   f * ( X , , X k ) ( X , , X k ) Vậy f  ( )   f * Từ ta kết luận f  đồng cấu môđun 1.3.4 Mệnh đề Trên giả sử f, g ánh xạ khả vi từ  Khi đó, ta có ( g f )  f * g * Chứng minh Ta có: f  : k ( , B( )) k ( g  : k ( , B( )) k ( Khi ( g f ) : k ( Giả sử  k ( 3 , B( , B( , B( )) , B( )) k ( )) 3 , B( )) )) với X1 , X , , X k  B( ) Ta có: ( g f )*  ( X , , X k )   (( g f ) X , ,( g f ) X k )   ( g* ( f X ), , g* ( f X k ))  ( g * )( f* X , , f* X k )  ( g * f * ) ( X , , X k );   k (  ( g f )*  g * f *  k ( , B( 3 , B( )) ))  ( g f )*  g * f * Bây ta xét tích ngồi hai dạng vi phân k (  l ( , B( 3 , B( )) )) 1.3.5 a) Định nghĩa Giả sử k ( , B( )) ,  l ( , B( )) Tích ngồi   ký hiệu    xác định sau:     X , , X   k l với X j  B(   (1)  ( k )  ( k 1)  ( k  l )  ()  ( X  (1) , , X  ( k ) ), ( X  ( k 1) , , X  ( k l ) )  , ), j  1,2, , k  l 23 b) Ví dụ Giả sử Ta xét    xdx  dy, ydy  dz, zdx  dz  2 (   ( xdx, dy, dz) 1 ( , B( 3 , B( )) ; )) cho trường vectơ X ( x, y, xz ) ; Y ( x, z, xy); Z ( y, z, x) Tính     ( X ,Y , Z ) Giải Ta có    3 ( , B( )) Suy ra: (   )( X ,Y , Z )   (( X ,Y ), ( Z ))   (( X , Z ), (Y ))   ((Y , Z ), ( X ))  ( X , Y )  1 ( X , Y ), 2 ( X , Y ), 3 ( X , Y )    xdx  dy ( X , Y ), ydy  dz ( X ,Y ), zdx  dz ( X ,Y )    x( xz  xy ), y ( y.xy  z.xz ), z ( x.xy  x.xz )    x z  x y, xy  xyz , x yz  x z   (Z )  (1 (Z ),2 (Z ),3 (Z ))  ( xdx(Z ), dy(Z ), dz(Z ))  ( xy, z, x) Do  ( ( X ,Y ), (Z ))  ( x3 yz  x3 y , xy z  xyz , x3 yz  x3 z )  ( X , Z )  1 ( X , Z ), 2 ( X , Z ), 3 ( X , Z )    xdx  dy ( X , Z ), ydy  dz ( X , Z ), zdx  dz ( X , Z )    x( xz  y ), y ( y.x  z.xz ), z ( x  y.xz )    x z  xy , xy  xyz , x z  xyz   (Y )  (1 (Y ),2 (Y ),3 (Y ))  ( xdx(Y ), dy(Y ), dz(Y ))  ( x , z, xy) Do  ( ( X , Z ), (Y ))  ( x z  x3 y , xy z  xyz , x3 yz  x y z )  (Y , Z )  1 (Y , Z ), 2 (Y , Z ), 3 (Y , Z )    xdx  dy (Y , Z ), ydy  dz (Y , Z ), zdx  dz (Y , Z )    x( xz  yz ), y ( z.x  z.xy ), z ( x  y.xy )    x z  xyz , xyz  xy z , x z  xy z   ( X )  (1 ( X ),2 ( X ),3 ( X ))  ( xdx( X ), dy( X ), dz())  ( x , y, xz) Do  ( (Y , Z ), ( X )  ( x z  x3 yz, xy z  xy z, x3 z  x y z ) Suy (   )( X ,Y , Z )  (0,0,0)  24 1.3.6 Mệnh đề Giả sử  k (  j k ( ) ,  j l ( 3 , B( )), l ( , B( )) , ), j  1,2,3 Khi     (1  1 ,2  2 ,3  3 ) Chứng minh Theo định nghĩa tích ngồi ta có:     X , , X     ()  ( X k l  (1)   ( k )  ( k 1)   ( k  l )  (1) , , X  ( k ) ), ( X  ( k 1) , , X  ( k l ) )   n     (  )  ( X , , X ),  ( X , , X )  i  (1)  ( k ) i  ( k 1)  ( k l ) Ei  i 1   (1)   ( k )   ( k 1)  ( k l )     i  i   X , , X k l  Ei , X j  B( n n ), j  1,2, , k  l i 1 Ta suy ra:     (1  1 ,2  2 ,3  3 ) Chú ý: Ta quy ước f    f   ( f11, , f33 ); f  ( f1, , f3 )  F (   (1, ,3 ) k ( , B( 1.3.7 Mệnh đề Trên 3 ) )) ánh xạ: f  : k ( , B( ))  k ( , ánh xạ đối tiếp xúc ánh xạ f :  3 )) Khi f * (   )  f *  f * Ta có: f * (   )( p, x1 , x2 , , xk 1 )  ( f * (1  1 ), , f * (n  n ))  ( f *1  f *1 , , f *n  f *n )  ( f *1 , , f *n )  ( f *1 , , f * n )  f *  f * 25 f *, f * Chứng minh Vậy f * (   )  f *  f * , B( CHƯƠNG II ĐẠO HÀM CỦA CÁC DẠNG VI PHÂN LIÊN KẾT VỚI LIÊN THÔNG TUYẾN TÍNH TRÊN Trong chương này, chúng tơi trình bày đạo hàm theo hướng dạng vi phân với giá trị B( ) số ví dụ chúng Đạo hàm dạng vi phân liên kết với liên thơng tuyến tính Từ ứng dụng vào việc tính độ cong 2.1 ĐẠO HÀM THEO HƯỚNG CỦA CÁC DẠNG VI PHÂN TRÊN 2.1.1 Định nghĩa Giả sử X  B( Khi ánh xạ  X : k ( )  k ( 3 ) ,  liên thơng tuyến tính ) xác định bởi: k  X  ( X , , X k )   X ( ( X , , X k ))   ( X , ,  X X i , , X k ), i 1  k ( 3 ), X i  B( ) Khi  X  gọi đạo hàm dạng  theo trường vectơ X 2.1.2 Ví dụ Với k  2,  k ( R3 ),   ( xdx  dy, ydy  dz, zdz  dx) Giả sử   D , cho X1  ( x,1,1), X  (1, y,1), X  ( x, y, z) Tính  X  ( X1 , X ) Ta có:  X  ( X , X )   X  ( X , X )    ( X X , X )   ( X ,  X X )   X  ( xdx  dy, ydy  dz , zdz  dx)( X , X )   ( xdx  dy, ydy  dz , zdz  dx)( X X , X )  ( xdx  dy, ydy  dz , zdz  dx)( X ,  X X ) Ta đặt A   X  ( xdx  dy, ydy  dz, zdz  dx)( X , X )  B  ( xdx  dy, ydy  dz, zdz  dx)( X X , X ) 26 C  ( xdx  dy, ydy  dz, zdz  dx)( X ,  X X ) Bây ta tính: A   X  ( xdx  dy, ydy  dz , zdz  dx)( X , X )    X  ( xdx  dy )( X , X ),( ydy  dz )( X , X ),( zdz  dx)( X , X )    X  ( xdx( X )dy ( X )  ( xdx( X ) dy ( X )) E1  ( ydy ( X )dz ( X )  ( ydy ( X )dz ( X )) E2  ( zdz ( X )dx( X )  ( zdz ( X )dx( X )) E3    ( x y  x) E1  ( y  y ) E2  ( z  zx) E3  B  ( xdx  dy, ydy  dz, zdz  dx)( X X , X )   X  ( xdx  dy )( X X , X ),( ydy  dz )( X X , X ),( zdz  dx)( X X , X )    X  ( xdx( X X )dy ( X )  ( xdx( X ) dy( X X )) E1  ( ydy ( X X )dz ( X )  ( ydy ( X ) dz ( X X )) E2  ( zdz ( X X )dx( X )  ( zdz ( X ) dx( X X )) E3    x yE1  xzE3  C  ( xdx  dy, ydy  dz, zdz  dx)( X ,  X X )   X  ( xdx  dy )( X ,  X X ),( ydy  dz )( X ,  X X ),( zdz  dx)( X ,  X X )    X  ( xdx( X )dy ( X X )  ( xdx( X X ) dy( X )) E1  ( ydy ( X )dz ( X X )  ( ydy ( X X )dz ( X )) E2  ( zdz ( X )dx( X X )  ( zdz ( X X ) dx( X )) E3    x yE1  y E2  Suy ra:  X  ( X1 , X )  ( x y  x, y  y ,  x  z ) 2.1.3 Mệnh đề Giả sử  liên thông tuyến tính với  k ( 3 ), ta có  X ( f  )  f * ( X  ) Chứng minh X1 , X , , X k )  B( ) Khi ta có: 27 , ánh xạ khả vi f :  Khi  X ( f  )( X , X , , X k ) k   X ( f  ( X , X , , X k ))   f  ( X , ,  X X i , , X k ) i 1 k   X ( ( f* X , f* X , , f* X k ))    ( f* X , , f* X X i , , f* X k ) i 1 Mặt khác, X1 , X , , X k  B( ) f  ( X  )( X , X , , X k )   X  ( f* X , f* X , , f* X k ) k   X ( ( f* X , f* X , , f* X k ))    ( f* X , , f* X X i , , f* X k ) i 1 Từ suy ra:  X ( f )( X1 , X , , X k )  f  ( X )( X1, X , , X k ); ( X 1, X , , X k ) Hay  X ( f  )  f * ( X  ) 2.2 ĐẠO HÀM CỦA CÁC DẠNG VI PHÂN LIÊN KẾT VỚI LIÊN THƠNG TUYẾN TÍNH TRÊN 2.2.1 Định nghĩa Độ xoắn T, độ cong R T: B( )  B( )  B( ) )  B( )  B(  X ,Y , Z  Gọi I dạng X  B( , ánh xạ xác định bởi: T  X , Y    X Y  Y X   X , Y   X ,Y  R : B( 3 ) R  X , Y  Z   X Y Z  Y  X Z   X ,Y  Z lấy giá trị B( ) , xác định ), I ( X )  X 2.2.2 Nhận xét Giả sử X ,Y , Z trường vectơ (i) R( X , Y ) Z   R(Y , X ) Z (ii) R( X , Y ) Z  R(Y , Z ) X  R( Z , X )Y  Chứng minh 28 thì: (i ) R( X , Y ) Z   X Y Z  Y  X Z   X ,Y  Z  Y  X Z   X Y Z   X ,Y  Z  (Y  X Z   X Y Z   X ,Y  Z )   R(Y , X ) Z (ii ) R( X , Y ) Z  R(Y , Z ) X  R( Z , X )Y   X Y Z  Y  X Z   X ,Y  Z  Y  Z X   Z Y X  Y ,Z  X   Z  X Y   X  Z Y   Z , X Y   X (Y Z   Z Y )  Y ( X Z   X Z )   Z ( X Y  Y X )   X ,Y  Z  Y ,Z  X  Z , X Y   X [Y , Z ]  Y ,Z  X  Y [Z , X ]   Z , X Y   Z [X , Y ]   X ,Y  Z  [X ,[Y , Z ]]  [Y ,[Z , X ]]  [Z ,[X , Y ]] 0 (Do độ xoắn T ( X ,Y )  0) 2.2.3 Ví dụ Khơng gian có độ cong liên thơng tuyến tính   D Chứng minh Ta chứng minh R( X ,Y , Z )  DX ( DY Z )  DY ( DX Z )  D[ X ,Y ]Z  Giả sử X ( X1 , X , X ), Y (Y1 ,Y2 ,Y3 ), Z (Z1, Z , Z3 ) DX ( DY Z )  DX (Y [ Z1 ], Y [ Z ],Y [ Z ])  Z Z Z  =DX   Y j ,  Y j , Y j   j x j x j j x j  j    Z   Z   Z     X Yj  , X Yj  , X Yj     j x j   j x j   j x j         Z   Z   Z     X  Yj , X  Yj , X  Yj    j  x j   j  j     x j   x j    29   Z   Z   Z      X Yj ,  X Y j ,  X Y j    j  x j  j  x j  j  x j             Z Z  Z Z       X [Y j ]  Y j X [ ]  , ,   X [Y j ]  Y j X [ ]     j  x j x j  x j x j   j      Y j Z1  Z1     Xi  Yj  X i  j  i  x  x xi x j i i j    Y j Z  Z3 X  Y X j  i i x x j i xi x j i i j    Y j Z  Z1    Xi  Yj X i  i , j  xi x j xi x j     , ,        , ,   Y j Z  Z3  Yj X i  X i   x  x xi x j i, j i j      (1) Ta có : DY ( DX Z )  DY ( X [ Z1 ], X [ Z ], X [ Z ])  Z Z Z  =DY   X j ,  X j , X j   j x j j x j j x j     Z   Z   Z     Y  X j  ,Y  X j  ,Y  X j     j x j   j x j   j x j       Z   Z   Z     Y   X j , Y   X j ,Y   X j    j  x j  j  x j  j  x j            Z   Z   Z      Y  X j ,  Y  X j ,  Y  X j    j  x j  j  x j  j  x j            Z Z   Z Z      Y[X j ]  X j Y[ ]  ,   Y[X j ]  X j Y[ ] ,  j  x j x j  j  x j x j     Z Z   Y[X ]  X Y[ ]   j  j j   x  x j j   30   X j Z1  Z1      Yi  X j  Yi  j  i  x  x xi x j i i j    X j Z  Z3 j  i Yi x x  X j i Yi x x i j i j    X j Z  Z1     Yi  X jYi  i , j  xi x j xi x j     X j Z 2Z2  X j  Yi  ,    Yi  x  x xi x j j i i i j         X j Z 2Z2  X jYi  ,   Yi  x  x xi x j i, j i j    X j Z  Z3  X jYi  Yi   x  x xi x j i, j i j   ,       ,  (2) Ta có: D[X,Y ] Z  D[D Y  D X ] Z X Y =  ( DX Y  DY X )[Z1 ],( DX Y  DY X )[Z ],( DX Y  DY X )[Z ] =  ( DX Y [Z1 ]  DY X [Z1 ]),( DX Y [Z ]  DY X [Z ]),( DX Y [Z ]  DY X [Z ])   Z Z Z Z   DX ( Y j )  DY ( X j ), DX ( Y j )  DY ( X j ),  x j x j x j x j j j j j  DX (  Y j j Z Z  )  DY ( X j )  x j x j  j  Z Z Z Z   X [ Y j ]  Y [ X j ]),( X [ Y j ]  Y [ X j ]),  x j x j x j x j j j j j  ( X [ Y j j Z Z  ]  Y [ X j ]),  x j x j  j  Yj Z1 Yj Z  Z1 2 X     ( X i  Yj  X i ), ,  X i  Yj  X i )  j i   x  x  x  x  x  x  x  x i i i i j i j i j i j    X j Z1 Yj Z  Z1 2 X     ( Yi  X j  Yi , ,  Yi  X j  Yi )  j i   x  x  x  x  x  x  x  x i i i i j i j i j i j    Yj Z1 Yj Z  Z1 2 X    (Xi  Yj X i ), ,  ( X i  Yj X i )  i, j   x  x  x  x  x  x  x  x i, j i j i j i j i j   31  X j Z1 Yj Z  Z1 2 X     (Yi  X jYi , ,  (Yi  X jYi )  (3)  i, j   x  x  x  x  x  x  x  x i, j i j i j i j i j   Cộng (1), (2) (3) ta có DX ( DY Z )  DY ( DX Z )  D[ X ,Y ]Z  Vậy R( X ,Y , Z )  2.2.4 Định nghĩa Giả sử  liên thơng tuyến tính dạng vi phân với giá trị B(  (d )( X , , X k )   (1)i  X  ( X , , X i , , X k ) i i 0 ) xác định bởi:     (1)i  j  [X i , X j ], X , , X i , , X j , , X k i j Mọi X , , X k , , X i  B(  ) Đạo hàm d liên kết với   kí hiệu d (k + 1) - dạng lấy giá trị B( k  ), X i có nghĩa khơng có phần tử X i 2.2.5 Mệnh đề Cho ta có f * (d )  d ( f * ) Chứng minh Ta có: ,  k ( f :  ) ánh xạ khả vi f :  Khi đó, f  : k ( )  k ( ) Với X i  B( ), i  1, , k ta có: f   d  X , , X k    d  f X , , f X k  k    (1)i X  ( f* X , , f* X i , , f* X k ) i i 0    (1)i  j  ( f*[X i , X j ],f* X , , f* X i , , f* X j , f* X k ) i j k    (1)i X f* ( X , , X i , , X k ) i i 0     (1)i  j f* [X i , X j ], X , , X i , , X j , , X k i j   d ( f * )( X , , X k ) Vậy f * (d )  d ( f * ) 2.2.6 Mệnh đề Nếu  1 ( ) dạng vi phân lớp C n , n  X ,Y , Z  B( ) thì: d (d )( X ,Y , Z )  R( X ,Y )( (Z ))  R(Y , Z )( ( X ))  R(Z , X )( (Y )) 32 Chứng minh Với X ,Y , Z  B( ) ta có: d (d )( X , Y , Z )   X (d (Y , Z ))  Y (d ( X , Z ))   Z (d ( X , Y ))  d ([X , Y ], Z )  d ([Y , Z ]X )  d ([X , Z ], Y )   X Y ( ( Z ))   X  Z ( (Y ))   X ( Y , Z )  Y  X ( ( Z ))  Y  Z ( ( X ))  Y ( X , Z )   Z  X ( (Y ))   Z Y ( ( X ))   Z (  X , Y )  [X ,Y ] ( ( Z ))   Z (  X , Y )   ( X , Y  , Z )  [X ,Z ] ( (Y ))  Y ( ( X , Y )   ( X , Z , Y )  [Y,Z ] ( ( X ))   X ( (Y , Z )   (Y , Z , X )   X Y ( ( Z ))  Y  X ( ( Z ))  [X ,Y ] ( ( Z ))  Y  Z ( ( X ))   Z Y ( ( X ))  [Y,Z ] ( ( X ))   Z  X ( (Y ))   X  Z ( (Y ))  [Z, X ] ( (Y ))  R( X , Y )( ( Z ))  R(Y , Z )( ( X ))  R( Z , X )( (Y )) Vậy d (d )( X ,Y , Z )  R( X ,Y )( (Z ))  R(Y , Z )( ( X ))  R(Z , X )( (Y )) 2.2.7 Mệnh đề Giả sử d đạo hàm liên kết với liên thơng tuyến tính  thì: (a) dR  (b) dI  T (c) dT  R  I Chứng minh (a) Với X ,Y , Z ,U  B( ) , ta có: dR( X , Y , Z )(U )    X ( R(Y , Z )(U ))  R( X , Y , Z )(U ) cicl    X ( R(Y , Z )(U ))  R(Y , Z )( XU )  R ( X , Y , Z )(U ) cicl    X (Y  ZU   Z YU  [Y ,Z ]U ) cicl  (Y  Z   Z Y  [Y,Z]U )( XU ) [X,Y ] ZU   Z [X,Y ]U  [[X,Y ],Z ]U     X Y  ZU   X  Z YU   X [Y,Z ]U cicl  Y  Z  X U   Z Y  X U  [Y,Z ] X U  [X,Y ] ZU   Z [X,Y ]U  [[X,Y ],Z ]U  Ta nhận thấy   X Y Z   Y Z  X ; cicl cicl  X cicl  Z Y    Z Y  X cicl 33  X [Y ,Z ]U    Z [X ,Y ]U ; cicl    X ,Y , Z   Ta suy dR  X , Y , Z U   XU   [X ,Y ] ZU [Y,Z] cicl cicl cicl Và cicl  (b) Với X , Y , Z , U  B( ) dI ( X ,Y )   X ( I (Y ))  Y ( I ( X ))  I ([X , Y ])   X Y  Y X  [X , Y ]  T ( X ,Y ) (c) Ta có với X ,Y , Z  B( ) dT ( X ,Y , Z )  d (dI )( X ,Y , Z )   X ((dI )(Y , Z ))  dI ( X , Y , Z )} cicl   X (T (Y , Z ))  [X ,Y ] ( I ( Z ))   Z ( I  X , Y )  I [[X , Y ], Z ]} cicl   X (Y Z   Z Y  [Y , Z ])  [X ,Y ] Z   Z [X , Y ]  [[X,Y],Z]} cicl   X Y Z  X  Z Y  [X ,Y ] Z  (1) cicl Mặt khác ta có: ( R  I )( X ,Y , Z )  R( X ,Y ) I (Z )  R( X , Z ) I (Y )  R(Y , Z ) I ( X )  R( X , Y ) Z  R( X , Z )Y  R(Y , Z ) X  ( X Y  Y  X  [X ,Y ] ) Z  ( X  Z   Z  X  [X ,Z ] )Y  (Y  Z   Z Y  [Y, Z ] ) X   X Y Z   X  Z Y  [X ,Y ] Z  cicl Từ (1) (2) suy dT  R  I 34 (2) KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC CỦA LUẬN VĂN Luận văn đạt số kết sau: - Trình bày chứng minh chi tiết số tính chất liên thơng tuyến tính (mệnh đề 1.2.5, 1.2.6) - Phát biểu chứng minh số tính chất đạo hàm dạng vi phân liên kết với liên thông tuyến tính (mệnh đề 2.2.7) - Chỉ ví dụ liên quan tới vấn đề trình bày (ví dụ 1.2.2, 2.1.2) - Chứng minh chi tiết số tính chất độ cong (mệnh đề 2.2.3) Trong thời gian tới, tiếp tục khảo sát tính chất đạo hàm dạng vi phân liên kết với liên thơng tuyến tính ứng dụng đa tạp Riemann 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Khu Quốc Anh, Nguyễn Doãn Tuấn (2004), Lý thuyết liên thơng hình học Riemann, NXB Đại học Sư Phạm Hà Nội [2] Nguyễn Hữu Quang, Ngơ Đình Quốc, Nguyễn Văn Bơng (2008), Hình học vi phân, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Nguyễn Hữu Quang (2005), Mở đầu hình học Riemann, Đại học Vinh [4] Đồn Quỳnh (2001), Hình học vi phân, NXB Đại học Sư Phạm [5] Nguyễn Văn Nam (2011), Đạo hàm dạng vi phân với giá trị vectơ, Luận văn Đại học Vinh Tiếng Anh [6] Jurgen Jost (2000), Riemannian Geometry and Geometric Analysis, Fourth Edition With 14 Figures, Spinger [7] Sigmundur G(2010), An Introduction to Riemannian Geometry, Lec ture Notes in Mathematics, Lund University 36 37 ... II ĐẠO HÀM CỦA CÁC DẠNG VI PHÂN LIÊN KẾT VỚI LIÊN THƠNG TUYẾN TÍNH TRÊN 26 2.1 ĐẠO HÀM THEO HƯỚNG CỦA CÁC DẠNG VI PHÂN TRÊN 26 2.2 ĐẠO HÀM CỦA CÁC DẠNG VI PHÂN LIÊN KẾT VỚI LIÊN... II ĐẠO HÀM CỦA CÁC DẠNG VI PHÂN LIÊN KẾT VỚI LIÊN THƠNG TUYẾN TÍNH TRÊN Trong chương này, chúng tơi trình bày đạo hàm theo hướng dạng vi phân với giá trị B( ) số ví dụ chúng Đạo hàm dạng vi phân. .. xúc , số tính chất liên thơng tuyến tính với giá trị véctơ 3 dạng vi phân Chương 2: Đạo hàm dạng vi phân liên kết với liên thơng tuyến tính Trong chương này, chúng tơi trình bày dạng vi phân giá