Đạo hàm lie của k dạng vi phân với giá trị vectơ

Bộ giáo dục đào tạo TrƯờng đại học vinh NGUYỄN THỊ THU HƢƠNG ĐẠO HÀM LIE CỦA k-DẠNG VI PHN VI GI TR VECT Chuyên ngành: Hình Học - Tôpô mà số: 60.46.10 Luận văn thạc sĩ toán học Người hướng dẫn khoa học PGS TS NGUYỄN HỮU QUANG Vinh - 2011 MỤC LỤC Mục lục Lời nói đầu Chƣơng 1: k - dạng vi phân với giá trị véc tơ 1.1 Các khái niệm 1.2 Đạo hàm Lie trƣờng véc tơ dạng vi phân 1.3 Vi phân dạng vi phân với giá trị B(M) 12 1.4 Ánh xạ đối tiếp xúc 13 1.5 Liên thông Levi- Civita đa tạp Riemann 18 1.6 Ten xơ cong đa tạp Riemann 21 Chƣơng 2: Đạo hàm Lie k-dạng vi phân với giá trị véc tơ 24 2.1 Đạo hàm Lie k - dạng vi phân với giá trị véc tơ 24 2.2 Đạo hàm Lie liên thông Lêvi- Civita 32 2.3 Đạo hàm Lie độ xoắn độ cong 36 Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39 LỜI NÓI ĐẦU Đa tạp Riemann khái niệm sở toán học đại, xuất vào kỷ 19 Hình học đa tạp có nhiều ứng dụng lĩnh vực khác tốn học nhƣ: giải tích, lý thuyết hệ động lực, vật lý, nghành khoa học kỹ thuật, Đến năm cuối kỷ 19 , với phát triển tôpô với cơng trình tiếng Hausdoff, Poincaré hình học đa tạp phát triển mạnh mẽ Và tơpơ trở thành cơng cụ hữu hiệu việc xây dựng cấu trúc hình học , chẳng hạn nhƣ: liên thơng, độ cong, độ xoắn, đạo hàm dạng vi phân đa tạp Khi nghiên cứu sâu vào loại đạo hàm, nhà Hình học Giải tích thu đƣợc tính chất hình học đặc trƣng phong phú Một đạo hàm thu hút đƣợc đƣợc nhiều quan tâm ý nhiều nhà khoa học vài thập niên gần phải kể đến đạo hàm Lie Nhƣ biết, đạo hàm Lie đa tạp giúp ta giải việc tìm kiếm đa tạp có cực tiểu địa phƣơng xác định loại độ cong đa tạp Ngồi đạo hàm Lie cịn có nhiều ứng dụng lý thuyết hệ động lực, lý thuyết truyền thông, … Việc nghiên cứu đạo hàm Lie đa tạp tính chất nhận đƣợc quan tâm nghiên cứu số nhà tốn học ngồi nƣớc Với mục đích tìm hiểu đạo hàm Lie ứng dụng nó, chúng tơi xây dựng khái niệm đạo hàm Lie k –dạng vi phân với giá trị véc tơ đa tạp phát biểu tính chất đạo hàm Lie độ cong đa tạp Chính chúng tơi lựa chọn đề tài cho luận văn là: “ Đạo hàm Lie k- dạng vi phân với giá trị véc tơ ” Luận văn đƣợc trình bày hai chƣơng: Chƣơng 1: k - dạng vi phân với giá trị véc tơ Trong chƣơng này, giới thiệu số khái niệm sở liên quan đến nội dung chƣơng sau Cụ thể, chúng tơi trình bày định nghĩa tính chất k - dạng vi phân với giá trị véc tơ, vi phân ánh xạ đối tiếp xúc Chƣơng 2: Đạo hàm Lie k- dạng vi phân với giá trị véc tơ đa tạp Trong chƣơng này, chúng tơi trình bày khái niệm đạo hàm Lie k - dạng vi phân với giá trị véc tơ định nghĩa, phát biểu số tính chất đạo hàm Lie độ cong , độ xoắn liên thông đa tạp Luận văn đƣợc thực hoàn thành trƣờng Đại học Vinh dƣới hƣớng dẫn thầy giáo PGS TS Nguyễn Hữu Quang Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo PGS TS Nguyễn Hữu Quang, ngƣời đặt toán, dẫn đề cƣơng nghiên cứu cho tác giả tận tình hƣớng dẫn tác giả trình học tập nghiên cứu Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo khoa Sau Đại học tạo điều kiện , giúp đỡ tác giả trình công tác học tập Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn đến thầy giáo khoa Toán bạn học viên Cao học 17 Hình học - Tơpơ, trƣờng Đại học Vinh giảng dạy hƣớng dẫn giúp đỡ tác giả suốt q trình học tập hồn thành luận văn Cũng này, tác giả xin chân thành cảm ơn bạn bè đồng nghiệp gia đình, động viên, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Vinh, tháng 12 năm 2011 Tác giả CHƢƠNG k - DẠNG VI PHÂN VỚI GIÁ TRỊ VÉC TƠ Trong chƣơng này, ta giả thiết (M,g) đa tạp Riemann n- chiều với cấu trúc Riemann g ký hiệu: B(M) = { X: X trƣờng véc tơ khả vi M } TpM không gian tiếp xúc với M p  M kp (Tp M ) ={  p : Tp M  Tp M  Tp M  p ánh xạ k-tuyến tính phản xứng} k F (M ) = { f f : M  R khả vi } Và ánh xạ song tuyến tính  :B (M ) B (M ) B (M )  X ( X i ),Y (Yi )   X1.Y1, , X n.Yn  1.1 Các khái niệm 1.1.1 Định nghĩa Ánh xạ  : M  p kp (Tp M ) gọi k- dạng vi phân M p p M với giá trị B(M),  p kp (T p M ) 1.1.2 Nhận xét Trong hệ tọa độ địa phƣơng U , I X1, , X k  n với sở  Ei   x  Với p  M i i 1  B(M), ta có biểu diễn:  p ( X1( p), X k ( p))  1( p)( X1( p), , X k ( p)), ,n ( p)( X1( p), , X n ( p))  ,  j (j=1,…,n) k- dạng vi phân với giá trị thực M Từ định nghĩa trên, ta có:   X1, , X k  = 1  X1, , X k  , , n  X1, , X k   ; j  k (M ), X j  B(M) Nhƣ vậy, ta đồng  với 1, ,n  ;  j  k (M ) Ta nói  khả vi M  j khả vi với j  1, , n , với X1, , X k  B(M) Ta ký hiệu: k (M ,B (M )) ={   k-dạng vi phân khả vi với giá trị B(M) } Quy ƣớc: 0 (M ,B (M )) = F (M ) = {  f1, , f n  f j : M  R khả vi } 1.1.3 Chú ý Trên k (M ,B (M )) ta trang bị phép toán cộng nhân nhƣ sau: a) Phép cộng:    ' : p  p   p' p  M ;, '  k (M ,B (M )) b) Phép nhân :   1, ,n  ,  F (M ),   k (M ,B (M )) Khi đó: k (M ,B (M )) với hai phép tốn mơ đun vành F(M) 1.1.4 Ví dụ Giả sử M =R3, ta xét    xdx  dy; ydy  dz; zdx  dz  Khi  2- dạng vi phân R3 với giá trị B(R3) Thật vậy: 1  xdx  dy,2  ydy  dz,3  zdx  dz Dễ thấy 1 , 2 , 3 2- dạng vi phân khả vi Do   1 , 2 , 3  khả vi 1.1.5 Định nghĩa Giả sử   k (M ,B (M )),  l (M ,B (M )) Tích ngồi , ký hiệu   xác định bởi:    ( X1, , X k l ) = =   (1)  ( k )  ( k 1)  ( k l )    ( ( X  (1) , , X  ( k ) ), ( X  ( k 1) , , X  ( k l ) )) , với X j  B(M), j  1, , k  l 1.1.6 Ví dụ Giả sử M= R3, ta xét   xdx  dy; ydy  dz; zdx  dz   2 ( R3 ,B ( R3 )) ,    xdx, dy, dz   1 ( R3 ,B ( R3 )) cho trƣờng véc tơ X(x, y, xz), Y(x, z, xy), Z(y, z, x) Tính (  ) (X, Y, Z) = ? Giải: Ta có :    3 ( R3 ,B ( R3 )) Suy (  )( X ,Y , Z ) =  (( X ,Y ), (Z ))  (( X , Z ), (Y ))  ((Y , Z ), ( X )) ( X ,Y ) = 1 ( X ,Y ),2 ( X ,Y ),3 ( X ,Y )  =  xdx  dy  X ,Y  , ydy  dz  X ,Y  , zdx  dz  X ,Y   =  x( xz  xy), y( y.xy  z.xz), z( x.xy  x.xz)  =  (Z )  x z  x y, xy 2  xyz , x2 yz  x2 z  = 1 (Z ),2 (Z ),3 (Z )  =   xdx(Z ), dy(Z ), dz(Z )  =  xy, z, x   Do  (( X ,Y ), (Z )) = x3 yz  x3 y , xy3 z  xyz3 , x3 yz  x3 z  ( X , Z )  1 ( X , Z ), 2 ( X , Z ), 3 ( X , Z )  = = =  xdx  dy  X , Z  , ydy  dz  X , Z  , zdx  dz  X , Z    x( xz  y2 ), y( y.x  z.xz), z(x2  y.xz)  x2 z  xy2 , xy2  xyz2 , x2 z  xyz2   (Y ) = 1(Y ),2 (Y ),3 (Y )  =  xdx(Y ), dy(Y ), dz(Y )  =  x2 , z, xy  Do  (( X , Z ), (Y )) =  x4 z  x3 y , xy z  xyz3 , x3 yz  x2 y z  (Y , Z ) = 1(Y , Z ),2 (Y , Z ),3 (Y , Z )  =  xdx  dy Y , Z  , ydy  dz Y , Z  , zdx  dz Y , Z   = = ( X )  x( xz  yz), y( z.x  z.xy), z(x2  y.xy)   x2 z  xyz, xyz  xy2 z, x2 z  xy2 z  = 1( X ),2 ( X ),3 ( X )  =  xdx( X ), dy( X ), dz( X )  =  x2 , y, xz  Do  ((Y , Z ), ( X )) =  x4 z  x3 yz, xy z  xy3 z, x3 z  x2 y z  Suy (  )( X , Y , Z ) =  0,0,0  = 1.1.7 Mệnh đề ( Xem [5]) Giả sử   1, ,n  k  M ,B (M )  ;   1, ,n  l  M ,B (M )  ,  j k (M ) ,  j l (M ), j  1, , n Khi đó:    1 1, ,n n  Chứng minh Giả sử U , I đồ M Theo định nghĩa tích ngồi ta có: (  )  X1, , X k l  =     ( X  (1) , , X  ( k ) ), ( X  ( k 1) , , X  ( k l ) )   =  (1)  ( k )  ( k 1)  ( k l )      n     ( X , , X )  ( X , , X )    i  (1)  =  i  (k )  ( k 1)  ( k l ) .Ei i 1    (1)  ( k )     ( k 1)  ( k l )    =   (i i )( X1, , X k l ) .Ei , X j  n i 1 Ta suy ra: B(M), j  1, , k  l   = 1 1, ,n n  1.1.8 Hệ Giả sử   1, ,n  k  M ,B (M )  ;   1, ,n  l  M ,B (M )  ;    1, , n  r  M ,B (M )  Khi đó: i)   =  1    ii) (  )      (   ) Chứng minh i) Theo mệnh đề 1.1.7 ta có: kl   = 1 1, ,n n  = = =  1 kl 1  1, ,  1 n  n kl   1 1  1, ,n  n  kl  1    kl Vậy   =  1    ii) Theo mệnh đề 1.1.7 ta có: (  )   =  (1 1)  1, ,(n n )  n  kl = 1  (1  1), , n  (n  n )  =   (   ) Vậy (  )      (   ) 1.1.9 Chú ý Ta quy ƣớc f    f    f1.1, , f n n  ; f   f1, , f n  F (M )   1, ,n  k  M ,B (M )  1.2 Đạo hàm Lie trƣờng véc tơ dạng vi phân 1.2.1 Định nghĩa ( Xem [6] ) Giả sử X ,Y  B(M) trường véc tơ X ; I Ánh xạ t tI nhóm tham số địa phương sinh    ,  , với  dương LX : B (M ) B (M ) Y LX Y gọi đạo hàm Lie trường véc tơ Y theo trường véc tơ X, LX Y xác định bởi: ( LX Y )( p)  lim t 0 (t )* t ( p ) Yt ( p )  Yp t   d  (t )* dt   t ( p ) Yt ( p )   t o , p  M 1.2.2 Mệnh đề ( Xem [8] ) Giả sử X ,Y  B(M) f F (M ) Khi i LX (Y  Z )  LX Y  LX Z ii LX ( fY )  fLX Y  YLX f iii LX Y  LY X   X ,Y  Chứng minh Giả sử X ,Y  B(M) ; f F (M ) t tI nhóm tham số địa phƣơng sinh trƣờng véc tơ X i Với p  M , ta có:   (LX (Y  Z ))( p) = d  (t )* (Y  Z )t ( p )  dt   t o d  ( ) Y  ( ) Z  = t ( p ) t ( p )  t * dt  t *  t o     = d  (t )* Yt ( p )   d  (t )* Zt ( p )  dt   t o dt   t o t ( p ) t ( p ) t ( p ) t ( p ) t ( p ) = (LX Y )( p)  (LX Z )( p) = (LX Y  LX Z )( p) , p  M Vậy LX (Y  Z )  LX Y  LX Z ii Với p  M , ta có:   (LX ( fY ))( p) = d  (t )* ( fY )t ( p )  dt   t o d  f ( ( p)).( ) Y  = t ( p )  t * t dt   t o t ( p ) t ( p ) =   d f ( ( p) + (  ) Y    t ( p )  t * t t ( p ) dt t    t o  d Y  (t )   t ( p)  * t  dt   t o = ( LX f )( p).Y  f ( p).(LX Y )( p) , p  M p + f (t ( p)) t ( p) Vậy LX ( fY )  fLX Y  YLX f iii Với p  M , ta có: (( LX Y ) p )[ f ]  lim t 0 (t )* = lim t 0 t ( p ) ((t )* Yt ( p )  Yp t t ( p ) Yt ( p ) Thay t -t , ta đƣợc: (( LX Y ) p )[ f ]  lim t 0 t Yp[ f ]  ((t )* = lim t 0 f )[ f ]  Yp[ f ]  t ( p ) Yt ( p ) )[ f ] t Yp[ f ]  Yt ( p ) ( f t ) t Khi đó, tồn hàm gt ( p)  g (t, p) , p  M cho: f t  f  tgt g0  X [ f ] Do (( LX Y ) p )[ f ]  lim t 0 Yp[ f ]  Yt ( p ) ( f  tgt ) t 25 (LX )(Y )  LX ( (Y ))  ([X ,Y ])   X , (Y )   ([X , Y ]) 2.1.3 Ví dụ Trong R2, với  E1, E2  trƣờng mục tiêu tự nhiên, cho X1  (1, x) , X  ( y,1) X  ( x, y)   1,2  =  xdx  dy, dx  dy  2 (R2 ,B (R2 )) Tính LX ( X1, X )  ? Ta có: LX ( X1, X ) = LX (( X1, X )) ([X , X1], X ) ( X1,[X , X ]) LX (( X1, X )) = LX  ( xdx  dy, dx  dy)( X1, X )  = LX  xdx  dy( X1, X ), dx  dy( X1, X )  = LX Z ( Z   xdx  dy( X1, X ), dx  dy( X1, X )    x  x2 y,1 xy  ) =  X , Z  = DX Z - DZ X = [ x(1 2xy)  y.( x2 )].E1 [ x.( y)  y( x)].E2 - [( x  x2 y).1 (1 xy).0].E1 [( x  x2 y).0  (1 xy).1)].E2 = ( x  3x2 y).E1  (2xy).E2 - ( x  x2 y).E1  (1 xy).E2 = (2x2 y).E1  ( xy 1).E2 Ta có:  X , X1  = DX X1 - DX X = [( x.0  y.0).E1  ( x.1 y.0).E2 ] - [(1.1 x.0).E1  (1.0  x.1).E2 ] = (0.E1  x.E2 ) - (1.E1  x.E2 ) = 1.E1  0.E2 Do đó: ([X , X1], X ) =  xdx  dy, dx  dy  ([X , X1], X ) =  xdx  dy([X , X1], X ), dx  dy([X , X1], X )  = x(1.1 y.0).E1  (1.1 y.0).E2 26 = ( x).E1  (1).E2 Tính tốn tƣơng tự ta đƣợc : ( X1,[X , X ]) = x(1.1 x.0).E1  (1.1 x.0).E2 = ( x).E1  (1).E2 Suy LX ( X1, X ) = [(2x2 y).E1  ( xy 1).E2 ] - [( x).E1  (1).E2 ] - [( x).E1  (1).E2 ] = (2x  2x2 y).E1  (1 xy).E2 Từ định nghĩa ánh xạ kéo lùi k- dạng vi phân thực , xây dựng định nghĩa ánh xạ kéo lùi k- dạng vi phân với giá trị véc tơ theo trƣờng véc tơ 2.1.4 Định nghĩa Giả sử X1, X , , X k B(M), ánh xạ   1, , n  ,  j k (M ), j  1, , n Khi iX : k (M ,B (M ))  k 1(M ,B (M ))  iX   iX 1, , iX n  gọi ánh xạ kéo lùi k -dạng vi phân  với giá trị véc tơ theo hướng X, iX  j ([1]) xác định : iX  j ( X1, X , , X k 1)   j ( X , X1 , , X k 1) , j  1, , n 2.1.5 Mệnh đề Giả sử ,  k (M ,B (M )) , Khi i iX (   )  iX   iX  ii iX Y ()  iX   iY iii iX d  X   iv i fX   fiX   iX f  Chứng minh  F (M ) , f F (M , R) ; X ,Y  B(M) 27 i Với   1, ,n  ,    1, , n  k (M ,B (M )) , ta có: iX (   )  (iX (1  1 ), , iX (n  n )) = (iX 1  iX 1, , iX n  iX n ) = (iX 1, , iX n )  (iX 1, , iX n ) = iX   iX  ii Với   1, ,n  k (M ,B (M )) , ta có: iX Y ()  (iX Y 1 , , iX Y n ) = (iX 1  iY 1 , , iX n  iY n ) = (iX 1 , , iX n )  (iY 1 , , iY n ) = iX   iY  iii Với   1 , ,n  F (M ) , ta có d   d1 , , dn  Do iX d  (iX d1 , , iX dn ) = (d1 ( X ), , dn ( X )) = ( X 1  , , X n ) = X   iv Với   1, ,n  k (M ,B (M )) , f F (M , R) , ta có: iX ( f )  (iX ( f 1), , iX ( f n )) = ( f (iX 1), , f (iX n )) = f (iX 1, , iX n ) = fiX  Mặt khác ta có: (1) i fX   (i fX 1, , i fX n ) = ( f (iX 1), , f (iX n )) 28 = f (iX 1, , iX n ) = fiX  (2) Từ (1) (2) suy i fX   fiX   iX f  2.1.6 Mệnh đề Giả sử   1, ,n  k  M ,B (M )  ;    1, , n  l  M ,B (M )  ,  j k (M ) ,  j l (M ), j  1, , n Khi đó: iX (   )  iX     (1)k   iX  Chứng minh Nhƣ ta biết ([1]) : Với  j k (M ) ,  j l (M ), j  1, , n , ta có: iX ( j   j )  iX  j   j  (1)k  j  iX  j Suy iX (   )  (iX (1  1), , iX (n  n )) = (iX 1  1  (1)k 1  iX 1, , iX n  n  (1)k n  iX n ) = (iX 1  1, ,iX n  n )  ((1)k 1  iX 1, ,(1)k n  iX n ) = (iX 1  1, , iX n  n )  (1)k (1  iX 1, ,n  iX n ) = iX     (1)k   iX  2.1.7 Định lí Cho  k (M ,B (M )) , X  B(M) Khi LX  = d (iX )  iX (d) Chứng minh Giả sử X , X , X1, , X k  B(M)  X , X1, , X i1, X i1, , X k  (2.1) đƣợc viết ( X , X1, , X i , , X k ) Khi theo định nghĩa đạo hàm Lie dạng vi phân với giá trị véc tơ, ta có: k (LX0)( X1, , X k )  LX (( X1, , X k ))   ( X1, ,  X , X i  , , X k ) j 1 k = LX (( X1, , X k ))   (1) j ([X , X j ], X1, , X j , , X k ) j 1 29 = LX (( X1, , X k ))   (1)i  j ([X i , X j ],X , , X i , , X j , , X k ) 1i  j  k k +  (1) j ([X , X j ], X1, , X j , , X k ) + j 1  (1) + i j 1i  j  k ([X i , X j ],X , , X i , , X j , , X k ) k =  (1)i LX (( X , X1, , X i , , X k )) + i 1 i k +  (1)i L (( X , X1, , X i , , X k )) + X i 0 i i j  (1) ( X ,[X i , X j ], , X i , , X j , , X k ) + + 1i  j  k i j  (1) ([X i , X j ],X , X 1, , X i , , X j , , X k ) + 0i  j  k k =  (1)i 1 L (( X , X1, , X i , , X k )) + X i 1 i  (1) + i j 1i  j  k ( X ,[X i , X j ],X 1, , X i , , X j , , X k ) k +  (1)i L (( X , X1, , X i , , X k )) X i 0 i i j  (1) ([X i , X j ],X , X 1, , X i , , X j , , X k ) + 0i  j  k k =  (1)i 1 L (i ( X1, , X i , , X k )) + X X i 1 + i  (1) i j (iX )([X i , X j ],X 1, , X i , , X j , , X k ) + d( X , , X k ) 1i  j  k = d (i )( X , X , X k ) + i (d)( X1, X , , X k ) X X 0   = d (iX )iX (d) ( X1, X , , X k ) 0 30 Do LX   di   i d ,  k (M ,B (M )) X X 0 Vậy LX  = d (iX )  iX (d) 2.1.8 Mệnh đề Giả sử ,  k (M ,B (M )) ;  F (M ) X , Y  B(M) Khi i LX (   )  LX   LX  ii LX Y   LX   LY  iii LX ()  .LX    LX  Chứng minh i Với   1, ,n  ,    1, , n  k (M ,B (M )) , áp dụng định lý 2.1.7 ta đƣợc: LX (   )  diX (   )  iX d (   ) = d (iX )  d (iX  )  iX (d)  iX (d  ) = (d (iX )  iX d ())  (d (iX  )  iX d ( )) = LX   LX  Vậy LX (   )  LX   LX  ii Với  k (M ,B (M )) X B(M), áp dụng định lý 2.1.7 ta đƣợc: LX Y  = d (iX Y )  iX Y (d) = d (iX )  d (iY )  iX (d)  iY (d) = (d (iX )  iX (d))  (d (iY )  iY (d)) = LX   LY  Vậy LX Y  = LX   LY  iii Với  k (M ,B (M )) , X , X1 , , X k  B(M), áp dụng định nghĩa đạo hàm Lie k - dạng vi phân M mệnh đề 1.2.2 ta đƣợc: 31 k ( LX ())( X1, , X k )  LX (( X1, , X k ))   ()( X 1, , LX X i , , X k ) i 1 k = LX ( ( ( X1, , X k )))    ( X 1, , LX X i , , X k ) i 1 k    ( X 1, , LX X i , , X k ) X =  LX ( ( X1, , X k ))  ( X1, , X k ) L i 1 =   LX ( ( X 1, , X k ))    ( X 1, , LX X i , , X k )   ( X1, , X k ) L k   i 1   X  =  (LX )( X1, , X k )  ( LX  )( X1, , X k ) = ( LX    L  )( X1, , X k ) , X1 , , X k B(M) X Vậy LX ()  .LX    LX  2.1.9 Mệnh đề Giả sử  k (M ,B (M )) X B(M) Khi LX d  d LX Chứng minh Với  k (M ,B (M )) X B(M), ta có: (LX d )()  LX (d) = diX (d)  iX d (d) = diX (d) (1) Mặt khác ta có: (d LX )()  d (LX ) = d (diX   iX d) = d (diX )  d (iX d) = diX (d) Từ (1) (2) suy ( LX d )()  (d LX )() ,  k (M ,B (M )) (2) 32 Nhƣ LX d  d LX 2.1.10 Nhận xét Giả sử X B(M)  k (M ,B (M )) dạng đóng Khi LX  = iX  dạng đóng Chứng minh Do  dạng đóng nên d  Áp dụng định lý 2.1.7 ta đƣợc: LX  = d (iX )  iX (d) = d (iX ) Vậy LX  =  d (iX )   iX  dạng đóng 2.2 Đạo hàm Lie liên thơng Lêvi- Civita 2.2.1 Định nghĩa Giả sử X B(M)  liên thông Lêvi- Civita M Ánh xạ LX  : B (M ) B (M )  B (M ) Y , Z  LX (Y , Z ) gọi đạo hàm Lie liên thông  theo trường véc tơ X, LX  xác định bởi: ( LX )(Y , Z )  LX (Y Z ) L Y Z Y ( LX Z ) X 2.2.2.Ví dụ Giả sử M= R3, cho trƣờng véc tơ X  (1, x , y ), Y  ( x, x2 y, y z) Z  ( x,1, y) Ta tính đƣợc đạo hàm Lie liên thông Lêvi- Civita  M theo trƣờng véc tơ X Thật vây: Theo định nghĩa đạo hàm Lie liên thông Lêvi- Civita ( LX )(Y , Z )  LX (Y Z ) L Y Z Y ( LX Z ) Ta có: Y Z  (Y [Z1],Y [Z2 ],Y [Z3 ]) = ( x,0, x2 y) X  ta có: 33  Do LX (Y Z )   X , Y Z    X (Y Z )  Z X Y = (1,0,2xy  x3 )  (0, x,0) = (1,  x,2xy  x3 ) Ta lại có: LX Y  [ X ,Y ]   Y  X X Y Mà  X Y  ( X [Y1], X [Y2 ], X [Y3 ]) = (1,2xy  x3, 2xyz  y3 ) Y X  (Y[ X1],Y[ X ],Y[ X 3]) = (0, x, x2 y) Suy LX Y   Y  X X Y = (1,2xy  x3, 2xyz  y3 )  (0, x, x2 y) = (1,2xy  x3  x, 2xyz  y3  x2 y)  Do LX Y Z  (1,0,2 xy  x3  x) Mặt khác ta có: LX Z   X Z Y Z = ( X [Z1], X [Z2 ], X [Z3 ])  (Z[ X1], Z[ X ], Z[ X 3]) = 1,0, x    0, x, y  = 1,  x, x  y    Do Y (LX Z )  (0,  x, x  x2 y) Vậy ( LX )(Y , Z )  LX (Y Z ) L XY Z Y ( LX Z ) = (1,  x,2xy  x3 ) - 1,0,2xy  x3  x  - (0,  x, x  x2 y) = (0,0, x2 y) 2.2.3 Định nghĩa Giả sử X ,Y  B(M) Ta định nghĩa  LX , LY   LX LY  LY LX 2.2.4 Mệnh đề Giả sử X , Y  B(M) đó:  LX , LY  f  L[X ,Y ] f , f F (M ) Chứng minh Với X ,Y B(M) , ta có:  X ,Y [ f ]  X Y  f    Y  X  f   , f F (M ) 34 Do đó, ta có:  LX , LY  f = ( LX LY  LY LX )( f ) = ( LX LY )( f )  ( LY LX )( f ) = LX ( LY f )  LY ( LX f ) = X Y  f    Y  X  f   =  X ,Y  [ f ] = L[X ,Y ] f , f F (M )  Ta ý, Y  B(M), ta ký hiệu: Y : B (M )  B (M ) X Y Khi Y ánh xạ tuyến tính Bây ta xét ánh xạ  LX , Y  : B (M )  B (M ) Z  LX , Y  Z  LX (Y Z ) Y ( LX Z ) ánh xạ  LX , Y  : F (M ) F (M ) f  LX , Y  f  LX (Y f ) Y ( LX f ) 2.2.5 Mệnh đề Giả sử X ,Y , Z  B(M) f F (M ) Khi đó: i  LX , Y  f  [X ,Y ] f ii  LX , Y  Z  [X ,Y ]Z  LX (Y , Z ) Chứng minh i Ta có:  LX , Y  f  LX (Y f ) Y ( LX f ) = X Y  f    Y  X  f   =  X ,Y  [ f ] = [X ,Y ] f , f F (M ) Vậy  LX , Y  f  [X ,Y ] f 35 ii Theo định nghĩa đạo hàm Lie liên thơng Lêvi- Civita, ta có:  LX , Y  Z  LX (Y Z ) Y ( LX Z ) = [X ,Y ]Z  LX (Y , Z ) 2.2.6.Mệnh đề Giả sử X , Y  B(M) ,  liên thông Lêvi- Civita M Khi đó: L[X ,Y ]  LX ( LY )  LY ( LX ) Chứng minh Ta có: LX (LY )(Z ,U )  LX (LY (Z ,U ))  LY (LX Z ,U )  LY (Z , LXU ) = LX (LY (ZU ))  LX ( (LYU ))  LX ( U) Z [Y , Z ] LY ([ X ,Z ]U ) [ X , Z ][Y ,U ] L Y U (L Z ) X LY (Z LXU ) Z (LY ( LX U )) [Y , Z ][ X ,U ] = LX (LY (ZU ))  (LX ( U )  LY ([ X ,Z ]U )) [Y , Z ] (LX (Z (LYU ))  LY (Z (LXU )))  ([ X , Z ][Y ,U ] [Y , Z ][ X ,U ]) +  (LY (LXU ))  Z L Y U (L Z ) X Do LX (LY )(Z ,U )  LY (LX )(Z ,U ) = L[ X ,Y ] (ZU )  (L[ X ,Y ]U )  U Z [[ X ,Y ], Z ] = (L[ X ,Y ])(Z ,U ) Vậy L[X ,Y ]  LX ( LY )  LY ( LX ) 2.3 Đạo hàm Lie độ xoắn độ cong 2.3.1 Định nghĩa Giả sử X  B(M) R độ cong M Ánh xạ: LX R : B (M ) B (M ) B (M )  B (M ) Y , Z ,U  (LX R)(Y , Z ,U ) 36 gọi đạo hàm Lie độ cong R theo trường véc tơ X, LX R xác định bởi: ( LX R)(Y , Z ,U )  LX ( R(Y , Z ,U ))  R( LX Y , Z ,U ) R(Y , LX Z ,U )  R(Y , Z , LXU ) 2.3.2 Mệnh đề Giả sử X ,Y , Z  B(M) T độ xoắn M Khi ( LX T )(Y , Z )  LX (Y , Z )  LX (Z ,Y ) Chứng minh Giả sử X ,Y , Z  B(M) T độ xoắn M Theo định nghĩa đạo hàm Lie độ xoắn, ta có: (LX T )(Y , Z )  LX (T (Y , Z ))  T ( LX Y , Z )  T (Y , LX Z ) = LX (Y Z ZY  Y , Z )  X ,Y  Z Z LX Y     X ,Y  , Z   Y LX Z  X ,Z Y  Y ,  X , Z    = LX (Y Z )  LX (Z Y )   X ,[Y , Z ]  X ,Y  Z Z LX Y     X ,Y  , Z   Y LX Z  X ,Z Y  Y ,  X , Z    =  LX (Y Z )  X ,Y  Z Y LX Z    LX (Z Y )  X ,Z Y Z LX Y             X ,[Z ,Y    Z ,[Y , X ]  Y ,[ X , Z ]  = LX (Y , Z )  LX (Z , Y ) 2.3.3 Mệnh đề Giả sử X ,Y , Z  B(M) R độ cong M Khi (LX R)(Y , Z ,U )  Y ( LX )(Z ,U )) Z (LX )(Y ,U )  LX (T (Y , Z ),U ) Chứng minh Theo định nghĩa đạo hàm Lie độ cong, ta có: (LX R)(Y , Z ,U )  LX (R(Y , Z ,U ))  R(LX Y , Z ,U ) 37 R(Y , LX Z ,U )  R(Y , Z , LXU ) Mặt khác theo định nghĩa độ cong, ta có: LX ( R(Y , Z ,U )  LX Y (ZU )  LX Z (YU )  LX Y Z U   R(LX Y , Z ,U )  [ X ,Y ]ZU Z [ X ,Y ]U [[ X ,Y ],Z ]U R(Y , LX Z ,U )  Y [ X ,Z ]U [ X ,Z ]YU [Y ,[ X ,,Z ]]U R(Y , Z , LXU )  Y Z [ X ,U ] Z Y [ X ,U ] [Y ,Z ][ X ,U ] Áp dụng đẳng thức  X , Y , Z    X ,Y , Z   Y ,  X , Z  ta đƣợc: LX Y ,Z U   X ,Y ,Z U Y , X ,Z  U Y ,Z   X ,U    LX (Y , Z ,U )           = LX (Y Z ,U )  LX (ZY ,U )  LX (T (Y , Z ),U ) Ta lại có: LX Y (ZU ) [ X ,Y ]ZU Y [ X ,Z ]U Y Z [ X ,U ] = LX (Y , ZU ) Y ([ X , ZU ] [ X ,Z ]U Z [ X ,U ]) = LX (Y , ZU ) Y (LX (Z ,U )) Hơn nữa, ta có: LX Z (YU ) [ X ,Z ]YU Z [ X ,Y ]U Z Y [ X ,U ] = LX (Z , YU ) Z (LX (Y ,U )) Do ( LX R)(Y , Z ,U )  LX (R(Y , Z ,U ))  R(LX Y , Z ,U ) R(Y , LX Z ,U )  R(Y , Z , LXU ) = LX (Y Z ,U )  LX (ZY ,U )  LX (T (Y , Z ),U ) + LX (Y , ZU ) Y ( LX (Z ,U )) LX (Z , YU ) Z ( LX (Y ,U )) = Y (LX )(Z ,U )) Z (LX )(Y ,U )  LX (T (Y , Z ),U ) 38 KẾT LUẬN Những kết chủ yếu mà luận văn đạt đƣợc là: Trình bày hệ thống định nghĩa k -dạng vi phân với giá trị véc tơ: khái niệm, tính chất ví dụ cụ thể đạo hàm Lie trƣờng véc tơ, k- dạng vi phân thực đa tạp Xây dựng định nghĩa đạo hàm Lie k- dạng vi phân với giá trị véc tơ đa tạp chứng minh số tính chất đạo hàm Lie k- dạng vi phân với giá trị véc tơ.( Định lý 2.1.7, Mệnh đề 2.1.8) Chứng minh tính chất đạo hàm Lie liên thơng Lêvi- Civita, độ cong độ xoắn đa tạp ( Mệnh đề 2.2.4, Mệnh đề 2.2.5 Mệnh đề 2.3.2 , Mệnh đề 2.3.3) Chỉ chứng minh Ví dụ 1.1.4 k- dạng vi phân với giá trị véc tơ ; Ví dụ 1.1.6 tích ngồi k- dạng vi phân ; Ví dụ 1.2.3 Ví dụ 1.2.6 đạo hàm Lie trƣờng véc tơ ; Ví dụ 1.3.2 vi phân ngồi k- dạng vi phân ; Ví dụ 1.4.2 Ví dụ 1.4.4 ánh xạ đối tiếp xúc k- dạng vi phân ; Ví dụ 1.5.2 liên thơng Lêvi- Civita ; Ví dụ 2.1.3 Ví dụ 2.2.2 đạo hàm Lie k- dạng vi phân với giá trị véc tơ, liên thông Lêvi- Civita Trong thời gian tới, có điều kiện tiếp tục nghiên cứu đạo hàm Lie liên thơng độ cong nhóm Lie Nghiên cứu ứng dụng đạo hàm Lie liên thông Lêvi- Civita đạo hàm điều kiện Lie độ cong đa tạp 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Khu Quốc Anh, Nguyễn Doãn Tuấn ( 2005), Lý thuyết liên thơng hình học Riemann, NXB Đại học sƣ phạm [2] Nguyễn Hữu Quang, Ngô Đình Quốc, Nguyễn Văn Bồng (2008), Hình học vi phân, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội [3] Nguyễn Hữu Quang (2005), Bài giảng hình học Riemann, Đại học Vinh [4] Đồn Quỳnh (2000), Hình học vi phân, NXB Giáo dục [5] Thái Thị Minh Thu (2007), K- dạng vi phân với giá trị véc tơ, Luận văn thạc sĩ, Đại học Vinh [6] Bùi Cao Vân (2010), Đạo hàm Lie dòng đa tạp, Luận văn thạc sĩ, Đại học Vinh [7] Mehdi Nadjafikhah and Seyed- Reza Hejazi (2009), Lie Symmetries and Solutio Of KdV Equation, International Mathematical Forum 4(4), 165-176 [8] Paolo Piccione and Daniel V.Táuk (2006), Connections compatible with tensors and characterization of leftinvariant Levi- Civita connectionsin Lie groups, Revista de la Unión Matemática Argentina, Voi 47 No.1, pp [9] R P Singh and S D Singh (2010), Lie Derivatives and Almost Analytic Vector Fields in a Generalised Structure Manifold, Int J Contemp Mat Sciences, Vol 5, 2010, no.2, 81-90 [10] A Ya Sultanov (2010), Derivations of linear algebras and linear connectionsin , Journal of Mathematical sciencs, Vol 169, No.3 , 2010 362 -412 ... véc tơ, vi phân ánh xạ đối tiếp xúc Chƣơng 2: Đạo hàm Lie k- dạng vi phân với giá trị véc tơ đa tạp Trong chƣơng này, chúng tơi trình bày khái niệm đạo hàm Lie k - dạng vi phân với giá trị véc... nghĩa đạo hàm Lie k- dạng vi phân với giá trị véc tơ đa tạp chứng minh số tính chất đạo hàm Lie k- dạng vi phân với giá trị véc tơ.( Định lý 2.1.7, Mệnh đề 2.1.8) Chứng minh tính chất đạo hàm Lie. .. CHƢƠNG ĐẠO HÀM LIE CỦA k - DẠNG VI PHÂN VỚI GIÁ TRỊ VÉC TƠ Trong chƣơng này, xây dựng định nghĩa chứng minh tính chất đạo hàm Lie k- dạng vi phân với giá trị véc tơ đa tạp M, công thức kiểu Cartan