Đạo hàm của các dạng vi phân với giá trị vectơ

MỤC LỤC Lêi MỞ ĐẦU Ch-¬ng I: Liên thông đa tạp riemann I Liên thơng tuyến tính II Liên thông Levi – Civita 10 Ch-¬ng II: ĐẠO HÀM CỦA DNG vi phân với giá trị véc tơ 16 I k dạng vi phân đa tạp Riemann với giá trị véctơ M 16 II Đạo hàm dạng vi phân với giá trị véc tơ 21 III ng dng ca dạng vi phân với giá trị véctơ 25 KẾT LUẬN 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO 31 Lời Mở đầu Hỡnh hc Riemann ó nghiên cứu vào năm gi÷a thÕ kØ XIX qua cơng trình Riemann (1826 – 1866) Sau nhiều nhà tốn học phát triển nghiên cứu như: Krixstophen (1829 – 1900), Lipsit (1832 – 1903), Klein (1849 – 1925), Ricci Levi-Civita Để nghiên cứu tính chất hình học người ta thường sư dơng c«ng liên thơng Levi – Civita, đặc biệt nghiên cứu tính chất độ cong độ xoắn đa tạp Riemann Chọn đề tài “đạo hàm dạng vi phân với giá trị véc tơ ” chúng tơi muốn tìm hiểu mối liên h gia liờn thông Levi - Civita cỏc dạng vi phân với giá trị véc tơ đa tạp Riemann Với nội dung đó, luận văn trình bày ch-ơng: Ch-ơng 1: Liên thông đa tạp Riemann I Liờn thụng tuyn tớnh II Liên thông Levi - Civita Ch-ơng 2: o hm ca dạng vi phân với giá trị véctơ I k dạng vi phân đa tạp Riemann với giá trị véctơ II o h m ca dạng vi phân với giá trị véctơ III ứng dụng dạng vi phân với giá trị véctơ Luận văn đ-ợc hoàn thành vào tháng 12 năm 2011, tr-ờng Đại học Vinh d-ới h-ớng dẫn thầy giáo PGSTS.Nguyễn Hữu Quang Nhân dịp này, tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy, ng-ời đà nhiệt tình h-ớng dẫn tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Tác giả xin trân trọng cảm ơn thầy giáo, cô giáo thuộc chuyên ngành Hình học Tôpô, thầy cô giáo khoa Toán khoa Sau Đại học tr-ờng Đại học Vinh đà nhiệt tình giảng dạy tạo điều kiện giúp đỡ tác giả thời gian học tập hoàn thành luận văn Tỏc gi Ch-ơng i Liên thông đa tạp Riemann Trong ch-ơng ny, chỳng ta gi sử đa tạp Riemann n - chiều với hệ đå U, , M có sở đÕm c , g mêtric Riemann M Tp(M) =   p /  p tiếp xúc với M p; B(M) =  X/ X tr-ờng véc tơ tiếp xúc kh vi M; F(M) vành hàm số khả vi trªn M I Liên thơng tuyến tính 1.1 Định nghĩa: (xem [2]) Ánh xạ: : B (M) x B (M)  B (M) (X,Y)  xY , thỏa mãn tính chất sau với X,Y,Z  B(M) với f  F(M): 1) X(Y+Z) = XY + XZ 2) X+YZ = XZ + YZ 3) XY =  XY 4) X (Y) = X.Y +  XY gọi liên thơng tuyến tính M (XY gọi đạo hàm thuận biến trường véctơ Y dọc trường véctơ X vµ tốn tử X: Y  XY gọi đạo hàm thuận biến dọc trường véctơ X.) 1.2 Ví dụ (xem [2]) Ví dụ : M = Rn,  =D: B (Rn) x B (Rn)  B (Rn) (X,Y)  DxY = (XY1, …, XYn); Trong ®ã Y có toạ độ (Y1,,Yn) Khi liên thông tuyến tính Thật vậy, theo [2] thoả mÃn điều kiện định nghĩa liên thông tuyến tính: 1) X(Y+Z) = DX (Y+Z) = DXY + DXZ 2) X+YZ = DX+YZ = DXZ + DYZ 3) XY = DX Y = DXY 4) X (Y) = DX(Y) = X.Y +  DXY NhËn xÐt: M lµ đa tạp khả song với tr-ờng mục tiêu E1 , , En : Y = n Y E i i i , ta đặt XY = n X Y E i i 1 i Khi ®ã  liên thông tuyến tính M Thật vậy, ta cã: 1) n  ( X Y E X(Y+Z) = i i 1 i  X Z i Ei ) n n i 1 i 1  X Yi Ei   X Z i Ei = = XY + XZ 2) n X+YZ =  ( X Z E n n i 1 i 1 = i 1 i i  Y Z i Ei )  X Z i Ei   Y Z i Ei = XZ + YZ 3) n n i 1 i 1 XY =  X Yi Ei =   X Yi Ei =XY n 4) X (Y) =  X Y E i 1 i i n =  ( X  .Y   X Y  E ) i 1 i n =  X  .Yi Ei +  i 1 i n  X Y E i 1 = X.Y +  DXY VËy  lµ liên thông tuyến tính i i i VÝ dơ 2: ( xem [2], [3], [4] ) Gi¶ sử M đa tạp khả song, gọi Xi,i = 1, , n tr-ờng mục tiêu M Ta cã sù biĨu diƠn:XiXj =  k ij Xk NÕu ijk = 0,  i,j, k th×  xác định nh- đ-ợc gọi liên thông tuyến tính tắc ứng với tr-ờng mục tiêu Xi Giả sư M = G lµ nhãm Lie Chän tr-êng mơc tiêu bất biến trái {X i } Gọi liên thông tuyến tính tắc M, xác ®Þnh bëi XiXj = ,  i,j ThÕ liên thông không phụ thuộc vào việc chọn tr-ờng mục tiêu bất biến trái {X i } Thật vậy, Giả sử X j tr-ờng mục tiêu bất biến trái khác G, ta có: n  X j =   ij X i i1 Do {X i } ,  X j bÊt biÕn trái nên ji số Khi gọi liên thông tuyến tính ứng với X j th×  Xi X j = 0,  i,j Mặt khác, với i,j ta có: X j    lj xl   ik lj  X xi  k X k  i X k i k ,i k n n Gi¶ sư: X   i X i , Y    j X j i 1 j 1  Y  (  j X j ) X  i X i j i Ta cã: n n =  i (   j X j ) X i j 1 i 1 = n n  i X i   j  X j   i  j  X j   Xi i, j 1 i, j 1 n i X i   j  X j  =   i, j 1  X n (   jX j) n  i X i j 1 i 1 Y  n =  i X i  j  X j i, j 1 Suy ra:  X Y   X Y VËy:  1.3.Mệnh đề (xem [2]) : Trên M tồn liên thông tuyến tÝnh  Chøng minh: ThËt vËy, gi¶ sư:  X,Y  B(U) Trong ®ã  : U  V ~ Ta đặt : (X,Y) = (-1)*(D D Y ), ( X = (-1)*X vµ Y = (-1)*Y ) ~ X Khi liên thông tuyến tính U Giả sử g Ta đặt = phân hoạch đơn vị ứng với phủ U   cña M g    ThÕ liên thông tuyến tính M   I 1.4 MƯnh ®Ị (xem [2]) a) Giá trị p∈ M phụ thuộc vào giá trị lân cận p b) Giá trị điểm p ∈ M phụ thuộc vào giá trị p Chøng minh: a) Giá trị p∈ M phụ thuộc vào giá trị lân cận p Tại điểm p ∈ M ln có lân cận Up p hàm khả vi  thỏa mãn  | Up =  | M/Ũp = 0.(Với Ũp tập mở mà Ũp  Up) Ta giả sử có hai trường véc tơ Y Ỹ cho Y| Up = Ỹ| Up ta đặt: Z = Y - Ỹ, trường véc tơ Z| Up = Ta có: ( x Z)|Up = hay (X[]Z|Up + (x Z)|Up = Do (p) (x Z)p = VËy (xY - x Ỹ)p = Nghĩa là: (xY)p=(x Ỹ)p b) Giá trị điểm p ∈ M ph thuc vo giỏ tr ca p Với Y B(M), ánh xạ Y : Tp(M) Tp(M) Xp (XY)p ánh xạ tuyến tính Do đó: Y : biến véc tơ không thành véc tơ không Ta xét hai tr-ờng véc tơ Z Z ; cho Zp = Z p Khi ®ã:  Z p Z p  Y 0  =>   Z  Z Y   p p p  VËy: (ZY)p - ( Y ) p = Z 1.5 MƯnh ®Ị (xem [2], [3]): Giả sử hai liên thông tuyến tính M Ta đặt = + Khi liên thông tuyến tính M + =1 (, F(M)) Chứng minh: *) Điều kiện đủ: Gi¶ sư  +  = 1, ta chøng minh liên thông tuyến tính M 1) X+ZY =  ’ X+ZY +   X+ZY =  (’XY + ’ZY) +  (  XY +  ZY) = ( ’XY +   XY) + ( ’ZY+   ZY) = XY + ZY 2) fXY = ’fXY +   fX Y =  f ’XY + f  XY = f(( ’1XY +   XY) = f XY 3) X (Y+Z) =  ’X (Y+Z) +   Z (Y+Z) =  (’XY + ’XZ) +  (  XY +  XZ) = ( ’XY +   XY) + ( ’XZ +   XZ) = XY + XZ 4) X (Y) =  ’X (Y) +   X (Y) ;   F(M) =  (X.Y + ’XY) +  (X.Y +   XY) = ( + ) X.Y + ( + )(’XY +  XY) = X.Y + XY Suy liên thông tuyến tính M *) Điều kiện cần: Giả sử liên thông tuyến tính M Ta cần chứng minh  +  = ThËt vËy,do  lµ liên thông tuyến tính M nên: X (Y) = X.Y + XY (1) Mặt khác ta có : X (Y) =  ’X (Y) +   X (Y) =  (X.Y + ’XY) +  (X.Y +   XY) = ( + ) X.Y + ( + )(’XY +  XY) = ( + ) X.Y + ( + ) XY (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra: X.Y + XY = ( + ) (X.Y + XY)  X,Y  B(M) ;,  , , F(M)   +  = KÕt luËn: = + liên thông tuyến tính M +  = (,   F(M)) 1.6 MƯnh ®Ị: Giả sử M = Rn S đa tạp Rn Với X,Y B(S) Ta đặt XY = (DXY)T ((DXY)T thành phần tiếp xúc S) Khi liên thông tuyến tính trªn S Chøng minh: NpS N TpS T P S-k chiỊu D Rn Ta kiĨm tra ®iỊu kiƯn định nghĩa liên thông tuyến tính Thật vậy, ta cã: 1) X(Y+Z) = (DX(Y+Z))T = (DXY + DXZ)T = (DXY)T + (DXZ)T = XY + XZ 2) X+ZY = (DX+ZY)T = (DXY + DZY)T = (DXY)T + (DZY)T = XY + ZY 3) XY = (DXY)T = ( DXY)T =  (DXY)T =  XY 4) X (Y) = (DX( Y))T = (XY + .DXY)T = X.YT +  DXY Mµ Y = YT Y B(S) Do ®ã X (Y) = X.Y +  XY Vậy liên thông tuyến tính 1.7 Mệnh đề (xem [2]): Gi¶ sư S : B(Rn)x B(Rn) B(Rn) (X,Y) S (X,Y) , ánh xạ song tuyến tính M, Ta đặt XY = DX Y + S (X,Y) X,Y B(Rn) Khi liên thông tuyến tính M Chứng minh: Ta kiểm tra điều kiện liên thông tuyến tính: 1) X(Y+Z) = DX (Y+Z) + S (X,Y+Z) = DX Y + DX Z + S (X,Y) + S (X,Z) = (DX Y + S (X,Y)) + (DX Z+ S (X,Z)) = XY + XZ ;  X, Y, Z  B(R n) 2) X+ZY = DX+Z Y + S (X+Z,Y) = DX Y + DZ Y + S (X,Y) + S (Z,Y) = (DX Y + S (X,Y)) + (DZ Y+ S (Z,Y)) = XY + ZY ;  X, Y  B(R n) 3) XY = DX Y + S ( X,Y) =  DX Y +  S (X,Y) =  (DX Y + S (X,Y)) =  XY;  X, Y  B(R n);   F(R n) 4) X (Y) = DX (Y) + S (X, Y) = X.Y +  DX Y +  S (X,Y) = X.Y +  (DX Y + S (X,Y)) = X.Y +  XY;  X, Y  B(R n); F(R n) Vậy liên thông tuyến tính 17 +) đ-ợc gọi kh vi   X1 , , X k  khả vi với   X1 , , X k  ; X i  B U  , i  1, , k Từ nay, nói k - dạng vi phân với giá trị Tp M , ta hiểu k - dạng vi phân khả vi V×   X1 , , X k     X1 , , X n  , ,  k  X1 , , X n  ; Xi  B(M) nªn  khả vi   j khả vi ; j  n +) Ta ký hiệu:  k (U, B(M) =  / k- dạng vi phân lấy giá trị B(M) khả vi U   k (U, B(M) trang bị phép toán sau: +) Phép cộng:   ': p  p    ' p  +) Phép nhân với hàm khả vi:  : p  pp ;  F U  ) Râ rµng víi hai phép toán k (U, B(M) l mt môđun tập hàm khả vi F U   Ta quy ước:  (U, B(M)   f : U  Rn khả vi  b) nh ngha (xem [2]) Giả sử ánh xạ kh¶ vi M  M Ánh xạ đối tiếp xúc f ký hiệu f  xác định sau:  *:  k (M, B(M)   k (M, B(M)  f   Với f   X1 , , X k     f X1 , , f X k  ; X i B(M) Nhận xét: 18 Mỗi k (M, B(M) đ-ợc xem nh- mét bé (1, , n); ®ã j   k (M) Khi ®ã  * = ( *1, ,  *n) 2.2 Ví dụ 3 2) Cho f : R  R x  x   y  y   1 (R3), B(R3),    xdx, dy, ydz   z  xy   x, y , z   Ta t×m f   ? Ta cã: f   ( *1,  *2,  * 3); *) Ta t×m  *1:  *1(X) = xdx(*X); X(X1, X2 ,X3)  B(R3)  = xdx    1 0   X  0 0  X    2  y x   X  = x.X1 = xdx;  X B(R3) VËy  *1 = xdx ; *) Ta t×m  *2:  *2(X) = dy(X) = X2 = dy(X);  X B(R3) VËy  *2 = dy ;      19 *) Ta t×m  *3:  *3(X) = ydz(*X) = =>  *3 =  VËy f   (xdx,dy,0) 2.3 MƯnh ®Ị (xem [2]) * đồng cấu mô đun Chứng minh: Thật vậy, xét ánh xạ : f : M  M ; f  :  k (M, B(M)   k (M, B(M) ta có: f   X1 , , X k     f X1 , , f X k  ; X i  B(M) +) Với X i  B(M), ta có: f     '   X 1, , X k      '   f X , , f X k     f X 1, , f X k     f X 1, , f X k     f X 1, , f X k   '  f X 1, , f X k   f   X1, , X k   f '  X 1, , X k    f   f  '   X 1, , X k  ;   X 1, , X k     '   ' Vậy f     f   f  +) Với   F  M  , ta có: f    X 1, , X k     f X 1, , f X k       f X 1, , f X k     f   X 1, , X k  ;   X 1, , X k    Vậy f      f  20 T ú ta kt lun c * đồng cấu mô đun 2.4 Mnh (xem [2]) Gi sử M đa tạp Riemann f , g ánh xạ khả vi từ M  M Khi đó, ta có:  g f    f  g Chứng minh: Ta có:  *:  k (M, B(M)   k (M, B(M) g *:  k (M, B(M)   k (M, B(M) Khi g  f  :  k (M, B(M)   k (M, B(M) Giả sử  ∈  k (M, B(M) víi X1 , , X k  B(M) với X1 , , X k  B(M) Ta có: g f     X1, , X k      g f  X 1, ,  g f  X k     g  f X  , , g  f X k    ( g  )  f X1 , , f X k       g  f   X1, , X k ; X , , X  k B(M);  ∈  k (M, B(M)  ( g f )   g* f *;    k (M, B(M)  g f    f  g  B©y ta xét tích hai dạng vi phân  ∈  k (M,B(M) vµ    l (M,B(M) 21 2.5 Định nghĩa (xem [2]): Tích cđa  vµ  lµ mét (k + l) – dạng vi phân với giá trị B(M), đ-ợc kí hiệu đ-ợc xác định nh- sau: Giả sử ( 1, …, n), (1, …, n) th×  = (11, …, nn) 2.6 Mệnh đề Giả sử M đa tạp Riemann, ánh xạ  *:  k (M, B(M)   k (M, B(M)) ω,  ↦ f * ω , f * , ánh xạ đối tiếp xúc ánh xạ f : M → M Khi f * (ω  ) = f* ω  f * Chứng minh: Ta có: (f * ω  f * )(p,x1,x2, ,xk+l) = (f * (11), …, f * (nn)) = (f *1  f *1, , f *n  f *n) = (f *1, , f *n)  (f *1, , f *n) = f *ω  f * Vậy f * (ω  ) = f * ω  f * II Đạo hàm dạng vi phân với giá trị véc tơ 2.7 Định nghĩa (xem [2]) Giả sử X  B(M ,   k  M   lµ liên thông Levi Civita M nh x X : k (M, B(M ))  k (M, B(M ))   X  , xác định bởi:  X   X1 , X , , X k    X   X1 , X , , X k     X , ,  X X i , , X k  , k i 1 22 gọi đạo hàm k - dạng  theo trường vectơ X 2.8 Định nghĩa (xem [2]) Ánh xạ d: k (M, B(M ))  k+1 (M, B(M ))  d Giả sử   k (M, B(M )),  = (1, , n) d  = (d 1, , d n) Khi d gọi vi phân ngồi  2.9 Ví dụ a)   1 (R2, B(R2))  = (ydx, xdy) X  B(R2), X(1,x) =D Ta có: DX(Y) = DX((Y)) - (DXY) ) (Y) = (ydx(Y), xdy(Y)) ; Y(Y1,Y2)  B(R2) = (y.Y1, x.Y2)  DX((Y)) = (X [yY1], X [xY2]) .) DXY = (X [Y1], X [Y2])  (DXY) = (y.X [Y1], x.X [Y2]) .) DX(Y) = (X [y].Y1, X [x].Y2) = ( x.Y1, 1Y2)  DX(Y) = (xdx,dy)(Y)  Y B(R2) Vậy DX = (xdx,dy) b)   1 (R3, B(R3))  = (ydx + dy, ydy + dz, xydz) Khi d = (dx  dx + d(1)  dy, dy  dy + d(1) dz, d(xy)  dz) = (0, 0, dx  dz + dy  dz) 23 2.10 Mệnh đề (xem [2] [5]) i)  X  Z    X   Z ;    k (M, B(M )); X,Z B(M ) ii)  X     . X  ;   R iii)  X    '   X    X  ' ; , ’   k (M, B(M )) Chứng minh: i) Thật vậy, ta có: k  X  Z   X1 , X , , X k    X  Z   X1 , X , , X k       X1 , X , ,  X  Z X i , , X k  i 1 k   X   X1 , X , , X k     Z   X1 , X , , X k       X1 , X , ,  X X i , , X k  i 1 k    X1 , X , ,  Z X i , , X k  i 1 k   X   X , X , , X k      X 1, X , ,  X X i , , X k   i 1 k  Z   X1 , X , , X k       X , X , ,  Z X i , , X k  i 1   X   X1 , X , , X k   Z   X1 , X , , X k     X   Z   X1 , X , , X k  ;   X1 , X , , X k  Do  X Z    X   Z  ;   k (M, B(M )); X,Z B(M ) k ii) Ta có:  X    X1, , X k    X    X 1, , X k       X 1, ,  X X i , , X k  i 1 k   X .  X , , X k   . X   X 1, , X k       X 1, ,  X X i , , X k  i 1 k   . X   X 1, , X k       X 1, ,  X X i , , X k  i 1 k       X   X , , X k      X , ,  X X i , , X k   i 1   24    X   X 1, , X k  ;   X 1, , X k  Do  X     . X  ;   R, X B(M ) iii) Ta có: k  X    ' X1 , , X k    X   X1 , , X k     X  '  X , , X k       X , ,  X X i , , X k  i 1 k   '  X1 , ,  X X i , , X k  i 1 k   X   X1 , , X k       X1 , ,  X X i , , X k  i 1 k  X  '  X1 , , X k      '  X1 , ,  X X i , , X k    X   X1 , , X k    X  '  X1 , , X k  i 1    X    X  ' X1 , , X k  ;   X1 , , X k  Vậy  X    '   X    X  ' ; , ’  k (M, B(M ))  2.11 Mệnh đề (xem [2] [5]) Với  ƒ  F(M )    k (M, B(M )) ta có  X f   X  f     f  X  Chứng minh: Ta có: k  X  f   X , , X k    X  f   X 1, , X k     f   X 1, ,  X X i , , X k  i 1 k  X  f   X1 , , X k   f  X   X1 , , X k     f   X1 , ,  X X i , , X k  i 1 k  X  f   X1 , , X k   f  X   X1 , , X k    f    X1 , ,  X X i , , X k  i 1 k    X  f   X1 , , X k   f   X   X , , X k       X , ,  X X i , , X k   i 1   25   X  f     f  X    X1 , , X k  ,   X1 , , X k  Do  X f   X  f     f  X  ; f  F  M  ,   k (M, B(M ))  2.12 Mệnh đề : Cho M ,N đa tạp Riemann,  k - dạng vi phân N, ánh xạ khả vi f : M  N , ta có: f *(d) = d( f *()) Chứng minh: Giả sử  = (1, , n) Khi d = (d1, , dn) => f *(d) = (f *(d1), , f *(dn)) = (d (f *1), , d (f *n)) = d( f *1, , f *n) = d( f *(1, , n)) = d( f *())  III Ứng dụng dạng vi phân với giá trị véctơ 2.13 nh nghĩa (xem [2] [5]): Giả sử   k (M, B(M ))  liên thơng tuyến tính M Khi  d   k+1 (M, B(M )), d  xác định bởi:  d X , X1, , X k   (1)i  X ( ( X , , Xˆ i , , X k )) i i   (1)i  j  (  X i , X j , , Xˆ i , , Xˆ j , , X k ))   i, j d gọi vi phân liên kết với  Ở Xi  B(M );  i = 0,1, ,k Xˆ i nghĩa khơng có Xi 26 Ví dụ:   2 (M, B(M ));  X,Y,Z  B(M ) Khi d   3 (M, B(M )) d (X,Y,Z) = X((X,Y,Z)) - Y((X,Z)) - Z((Y,X)) - ([X,Y],Z) + ([X,Z],Y) - ([Y,Z],X) 2.14 Mệnh đề: Giả sử RZ : B(M)xB(M)  B(M) ( X ,Y ) RZ ( X , Y ) = R(X,Y)Z , dạng vi phân với giá trị véc tơ Giả sử d vi phân kết hợp với liên thơng Levi – Civita  Khi đó: i) d RZ  ii) d I  iii) d T  RZ  I Chứng minh: i) Với X , Y  B  M  , ta có: dRZ  X , Y U    X  RZ Y U   Y ( RZ X ) U   RZ  X , Y  U   ( X Y )(U )  (Y X )(U )  ( X , Y )(U )   X Y  Y X   X , Y   T  X ,Y  Do  liên thông Levi – Civita nên T(X,Y) = Suy dRZ  X , Y   ii) Với X , Y  B(M) ta có: dI  X , Y    X  I Y    Y  I  X    I  X ,Y    X Y  Y X   X , Y   T  X ,Y  Vì  liên thơng Levi – Civita nên T(X,Y) = Vậy dI=0 iii) Với X ,Y , Z  B  M  ta có: 27 dT  X , Y    X T Y    Y T  X    T  X , Y        X Y  Y X   X ,Y  X   X Y  Y X   X ,Y  Y (1) Mặt khác ta có:  RZ  I  X , Y   RZ  X  I Y   RZ Y  I  X        X Y  Y X   X ,Y  X   X Y  Y X   X ,Y  Y (2) Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh 2.15 Mệnh đề (xem [2] [5]) Giả sử M đa tạp khả vi với liên thông Levi - civita  Khi với X , Y , Z B(M), ta có: i)  R Y , Z   R T  X ,Y  , Z   ii)  T Y , Z   R  X , Y  Z  T T  X , Y  , Z   X X Hơn ta có: i1) i2 )   R Y , Z   X  R  X ,Y  Z  Chứng minh: i) Theo Mệnh đề 2.13i) có dR  , nên với X , Y , Z  B(M) ta có:    dR    X  R Y , Z    R  X , Y  , Z          X R Y , Z   R   X Y , Z   R Y ,  X Z   R  X ,Y  , Z      X R Y , Z   R   X Y , Z   R  X Z , Y   R  X ,Y  , Z        X R Y , Z   R T  X , Y  , Z  Vậy  R Y , Z   R T  X , Y  , Z   X ii) Theo Mệnh đề 2.13iii), ta có: 28 dT   R  I   R  X , Y  Z  R  X , Z Y  R Y , Z  X   R  X ,Y Z (*) Mặt khác:   dT    X T Y , Z    T  X , Y  , Z          X T Y , Z   T   X Y , Z   T Y ,  X Z   T  X , Y  , Z      X T Y , Z   T   X Y , Z   T   X Z , Y   T  X , Y  , Z        X T Y , Z   T T  X , Y  , Z  (**) Từ (*) (**) suy ra: Hay  T Y , Z   T T  X ,Y  , Z    R  X ,Y Z X  T Y , Z   R  X , Y  Z  T T  X , Y  , Z   X Hơn nữa: Vì  liên thông Levi – civita nên T = Do đó:  R Y , Z   R T  X , Y  , Z   i1) Theo i) X  R Y , Z   R   X , Y  , Z  X    X R Y , Z   R  0, Z   Vậy:   R Y , Z   X i2) Theo ii) Vậy:  T Y , Z   R  X , Y  Z  T T  X , Y  , Z   X  0Y , Z   R  X , Y  Z    X , Y  , Z   0  R  X , Y  Z  0  X  R  X ,Y  Z   2.16 Mệnh đề (xem [2] [5]) Nếu  1  M  dạng vi phân lớp C n , n  X , Y , Z B(M) 29    X ,Y , Z   R  X ,Y    Z   R Y , Z    X   R Z , X   Y  d d Chứng minh: Với X , Y , Z B(M) ta có:    X ,Y , Z     d Y , Z     d  X , Z     d  X ,Y  d d X Y Z d  X , Y  , Z   d Y , Z  , X   d  X , Z  ,Y    X Y   Z     X Z  Y     X  Y , Z   Y  X   Z    Y Z   X    Y   X , Z   Z  X  Y    Z Y   X    Z  X , Y    X ,Y    Z    Z  X , Y     X , Y , Z    X ,Z   Y    Y   X , Z     X , Z , Y   Y ,Z    X     X  Y , Z    Y , Z , X    X Y   Z    Y  X   Z     X ,Y    Z    Y Z   X    Z Y   X   Y ,Z    X    Z  X  Y     X Z  Y     Z , X   Y    R  X , Y    Z    R Y , Z    X    R  Z , X   Y      X ,Y , Z   R  X ,Y    Z   R Y , Z    X   R  Z , X   Y   Vậy: d d 30 KẾT LUẬN Luận văn đạt kết sau:  Trình bày chứng minh chi tiết số tính chất v liên thông tuyến tính liên thông Levi - civita đa tạp Riemann.(Mệnh đề: 1.6, 1.13)  Phát biểu chứng minh lại số tính chất đạo hàm dạng vi phân với giá trị véc tơ (Mệnh đề: 2.10; 2.12)  Phát biểu chứng minh mệnh đề 2.6 mối liên hệ f * với tích ngồi dạng vi phân với giá trị véc tơ  Phát biểu chứng minh mệnh đề 2.14 vi phân ngồi d cđa dạng vi phân liờn kt vi liờn thụng Levi - Civita  Trình bày số ứng dụng mi liờn h gia liên thông độ cong, độ xoắn.(Mệnh đề 2.15) Trong thi gian ti, chỳng tụi tip tục tìm hiểu đạo hàm d¹ng vi phõn với giá trị véc tơ v ng dng ca nú vic kho sỏt cỏc cong, độ xoắn đa tạp Riemann 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt: [1] Nguyễn Hữu Quang (2004): Đa tạp khả vi, Đại học Vinh [2] Nguyễn Hữu Quang (2005): Mở đầu hình học Riemann, Đại học Vinh [3] Khu Quốc Anh - Nguyễn Doãn Tuấn (2003): Lý thuyết liên thơng hình học Riemann, Nxb Đại học Sư phạm [4] Đồn Quỳnh (2003): Hình học vi phân, Nxb Đại học Sư phạm [5] Lê Thị Thơm (2009): Độ cong, độ xoắn đa tạp Riemann, Luận văn Thạc sĩ, Đại học Vinh Tiếng Anh: [6] Sigmundur Gudmundsson (2009), An Introduction to Riemannian Geometry, Lund University [7] O’ Neill.B (1966), Elementary Differential Geometry, Academic Press, New - York and London [8] Chern S.S, Chen W.H, Lam K.S - Lectures on Differential Geometry, Copyright @2000 by World Scientific ... Levi - Civita Ch-ơng 2: o hm ca dạng vi phân với giá trị véctơ I k dạng vi phân đa tạp Riemann với giá trị véctơ II o h m ca dạng vi phân với giá trị véctơ III ứng dụng dạng vi phân với giá trị. .. mệnh đề 2.6 mối liên hệ f * với tích ngồi dạng vi phân với giá trị véc tơ  Phát biểu chứng minh mệnh đề 2.14 vi phõn ngoi d dạng vi phân liờn kt với liên thơng Levi - Civita  Trình bày s ng dng... liên thông Levi Civita 16 Ch-ơng ii Đạo hàm CC dạng vi phân với giá trị véc tơ Trong phần này, giả thiết M đa tạp Riemann hữu hạn chiều với hệ đồ {U ,} liên thông Levi - Civita trªn M, Ta