Tích phân k- dạng vi phân với giá trị véctơ trên đa tạp riemann

Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học vinh Trần quỳnh anh Tích phân K dạng vi phân với giá trị véctơ trên đa tạp riemann Luận văn thạc sĩ toán học Vinh, 2008 -2- MụC LụC Lời nói đầu . 1 Chơng 1: K - dạng vi phân với giá trị véc tơ . 3 I. K-dạng vi phân . 3 II. Phép vi phân ngoài trên k-dạng vi phân . 6 III. ánh xạ đối tiếp xúc . 8 Chơng 2: Tích phân k - dạng vi phân với giá trị véc tơ trên đa tạp Riemann 20 I. Phân hoạch đơn vị . 20 II. Tích phân 1 - dạng vi phân với giá trị véc tơ dọc đờng cong . 23 III. Tích phân k - dạng vi phân với giá trị véc tơ trên ngăn trong R n . 25 IV. Tích phân k - dạng vi phân với giá trị véc tơ trên đa tạp Riemann -3- . 33 Kết luận 37 Tài liệu tham khảo . 38 Lời nói đầu K - dạng vi phân với giá trị thực có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực Vật lí và các ngành khác nhau của Toán học nh: giải tích, hệ động lực, hình học - tôpô. K - dạng vi phân là một công cụ để nghiên cứu các bài toán về biến phân thể tích của các miền compact trên đa tạp Riemann. Vì vậy nó đợc nhiều nhà Toán học trong và ngoài nớc quan tâm. Các k - dạng vi phân với giá trị thực đã đợc trình bày trong nhiều tài liệu chuyên khảo về giải tích và hình học hiện đại. Trong luận văn này, chúng tôi trình bày cách xây dựng và khảo sát một số tính chất cơ bản của tích phân k - dạng vi phân với giá trị véc tơ trên đa tạp Riemann tơng tự nh trong việc khảo sát tích phân k - dạng vi phân với giá trị véc tơ trên R n . Luận văn đợc trình bày trong 2 chơng: Chơng 1: K - dạng vi phân với giá trị véc tơ trên đa tạp Riemann -4- Trong chơng này, chúng tôi trình bày về k - dạng vi phân với giá trị véc tơ trên đa tạp Riemann, tích ngoài của k-dạng vi phân với giá trị véc tơ trên đa tạp Riemann theo một dạng song tuyến tính xác định, về vi phân ngoài của k - dạng vi phân, phơng pháp tìm nguyên hàm của các dạng đóng trên một tập sao trên đa tạp Riemann. Chơng này là cơ sở cho việc trình bày chơng 2. Chơng 2: Tích phân k - dạng vi phân với giá trị véc tơ trên đa tạp Riemann Chơng 2 là nội dung chính của luận văn. ở đây, bằng cách tơng tự nh cách xây dựng tích phân k - dạng vi phân với giá trị véc tơ trên R n , chúng tôi trình bày về tích phân k - dạng vi phân với giá trị véc tơ trên đa tạp Riemann. Trớc hết, chúng tôi trình bày về phân hoạch đơn vị là kiến thức cơ sở cho việc chứng minh các mục sau. Sau đó, chúng tôi trình bày về tích phân của 1 - dạng vi phân với giá trị véc tơ dọc đờng cong , tích phân k-dạng vi phân với giá trị véc tơ trên ngăn trong R n , tích phân k-dạng vi phân với giá trị véc tơ trên đa tạp Riemann. Luận văn đợc hoàn thành tại Khoa sau Đại học trờng Đại học Vinh, với sự hớng dẫn của PGS.TS Nguyễn Hữu Quang. Tác giả xin đợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc với sự hớng dẫn tận tình của Thầy. Nhân dịp hoàn thành luận văn, tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo trong tổ bộ môn Hình học-Tôpô, các thầy cô giáo trong khoa Toán, khoa đào tạo Sau đại học, trờng Đại học Vinh, đã nhiệt tình giảng dạy, tạo điều kiện cho tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Cũng nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn BGH trờng THPT Đào Duy Từ, đồng nghiệp, bạn bè và gia đình đã động viên, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn này. Vinh, tháng 12 năm 2008 -5- T¸c gi¶ -6- Chơng I k - dạng vi phân với giá trị véc tơ I. k- dạng vi phân Trong chơng này, chúng ta luôn giả thiết M là đa tạp Riemann thực n- chiều và U là tập mở trong M, với u U, ta kí hiệu: T u M là không gian véc tơ tiếp xúc với M tại u ; và TM = Mu T u M . A k (T u M) là không gian véc tơ các ánh xạ k - tuyến tính phản xứng trên T u M. Cũng trong chơng này, với p M chúng ta xét ánh xạ p : T p M ì T p M R m ( x(x i ), y(y i ) ) a (x 1 y 1 , ., x m y m ) 1.1. Định nghĩa ánh xạ : U u U U A k (T u M) u a u ; u A k (T u M) ) đợc gọi là dạng vi phân bậc k xác định trên U M với giá trị véc tơ trong M. Ta quy ớc: Một dạng vi phân bậc 0 là một ánh xạ f : U R m . Từ u : T u M ì ì T u M R m Nên u có dạng ( 1 (u), . , m (u) ); trong đó j A k (T u M) Vì vậy, ta có sự biểu diễn: = ( 1 , ., m ); j k ( M, R); j = 1, ,m. ( Các j là các k- dạng vi phân thực xác định trên U). đợc gọi là khả vi nếu và chỉ nếu các j khả vi. -7- Từ nay, khi nói k- dạng vi phân với giá trị trong M, ta hiểu là k - dạng vi phân khả vi. Nhận xét.(Xem [5]): khả vi khi và chỉ khi (X 1 , .,X n ) khả vi với (X 1 , .,X n ); X i B(U), i = 1, ,n. Thật vậy: (X 1 , .,X n ) = ( 1 (X 1 , .,X n ), ., m (X 1 , .,X n ) ) khả vi j khả vi ; j = 1, ,m. j (X 1 , .,X n ) khả vi; ( X 1 , .,X n ) ; X j B(U). Ta kí hiệu: k (U) ={ | là k-dạng vi phân lấy giá trị véc tơ trong U}. k (M) ={ | là k-dạng vi phân lấy giá trị véc tơ trong M}. k (U) đợc trang bị các phép toán nh sau: Phép cộng : +' : u a (u) + '(u) Phép nhân với một hàm khả vi: : u a u u ; F(U). Chú ý : k (U) là một Môđun trên tập các hàm khả vi F(U). 1.2. Ví dụ Xét M= R 3 , dạng vi phân 2 ( R 3 ), ( R 3 với toạ độ (x,y,z) ) Với = (xdxdy , ydydz , xydx dz ). 1.3. Định nghĩa Giả sử k (M) ; l (M). Tích ngoài của và đợc kí hiệu và đợc xác định bởi: ( )(X 1 , ., X k+l ) = = (1) ( ) ( 1) ( ) k k k l < < + < < + ( ) ( ( (1) ( ) , ., k x x ) ( ( 1) ( ) , ., k k l x x + + )) với X j B(M), j = 1 , , k+l. -8- 1.4. Mệnh đề Giả sử = ( 1 , ., m ); ( 1 , ., m ); j k ( M); j l ( M). Khi đó = ( mm , , 11 ). Chứng minh: Theo định nghĩa ta có: ( )(X 1 , .,X k+l )/ p = (1) ( ) ( 1) ( ) k k k l < < + < < + ( ) ( 1 ( (1) ( ) , ., k x x ). 1 ( ( 1) ( ) , ., k k l x x + + )), ., ( m ( (1) ( ) , ., k x x ). m ( ( 1) ( ) , ., k k l x x + + )) = 1 m i= [ (1) ( ) ( 1) ( ) k k k l < < + < < + ( ) i ( (1) ( ) , ., k x x ). i ( ( 1) ( ) , ., k k l x x + + )] = 1 m i= [ ( i i ) (X 1 , ., X k+l ) ] X j B(M), j = 1, ., k+l. Suy ra = ( mm , , 11 ). Ví dụ Xét M= R 3 , = (xdxdy , ydydz , xydx dz ) = (ydx , xdy , xydz) Thậy vậy, ta có: = (0 , 0, 0). 1.5. Hệ quả Giả sử k (M) ; l (M) ; à r (M). i, = ( - 1) kl ii, ( ) à = ( ) à Chứng minh: i, Theo mệnh đề 1.4 ta có: = ( mm , , 11 ) = [ ] mm klkl )1(, .,)1( 11 = ), .,()1( 11 mm kl -9- Vậy: = ( - 1) kl . ii, Theo mệnh đề 1.4 ta có: ( ) à = [ ] mmm àà )(, ,)( 111 = [ ] )(), ,( 111 mmm àà = ( ) à . 1.6. Chú ý Ta quy ớc f = (f 1 1 , ., f m m ). Trong đó: f 0 (R m ) và f j là hàm toạ độ của f với j = 1, ,m ( 1 , ., m ) k (R m ). II. Phép vi phân ngoài trên k- dạng vi phân 1.7. Định nghĩa Giả sử k (M) và =( 1 , ., m ) thì vi phân ngoài của đợc kí hiệu d và đợc xác định: d = (d 1 ,. . ., d m ). 1.8. Nhận xét Nếu k (M) thì d(d) = 0. Thật vậy, giả sử = ( 1 , ., m ) ; j k ( M, R), j = 1, .,m. Ta có d = (d 1 ,. . .,d m ) d(d) = d (d 1 ,. . .,d m ) = (dd 1 ,. . .,dd m ) = 0 Vậy d(d) = 0. Ví dụ Xét 2 ( M ) với = ( xdy , xydz ) Ta có d = (dx dy, ydx dz + xdy dz ) 1.9.Mệnh đề (Xem [5]) -10- . trình bày về k - dạng vi phân với giá trị véc tơ trên đa tạp Riemann, tích ngoài của k- dạng vi phân với giá trị véc tơ trên đa tạp Riemann theo một dạng song. dọc đờng cong , tích phân k- dạng vi phân với giá trị véc tơ trên ngăn trong R n , tích phân k- dạng vi phân với giá trị véc tơ trên đa tạp Riemann. Luận văn