Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 43 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học vinh Trần quỳnh anh Tíchphân K dạngviphânvớigiátrịvéctơtrênđatạpriemann Luận văn thạc sĩ toán học Vinh, 2008 -2- MụC LụC Lời nói đầu . 1 Chơng 1: K - dạngviphânvớigiátrị véc tơ . 3 I. K-dạng viphân . 3 II. Phép viphân ngoài trên k-dạng viphân . 6 III. ánh xạ đối tiếp xúc . 8 Chơng 2: Tíchphân k - dạngviphânvớigiátrị véc tơ trênđatạpRiemann 20 I. Phân hoạch đơn vị . 20 II. Tíchphân 1 - dạngviphânvớigiátrị véc tơ dọc đờng cong . 23 III. Tíchphân k - dạngviphânvớigiátrị véc tơ trên ngăn trong R n . 25 IV. Tíchphân k - dạngviphânvớigiátrị véc tơ trênđatạpRiemann -3- . 33 Kết luận 37 Tài liệu tham khảo . 38 Lời nói đầu K - dạngviphânvớigiátrị thực có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực Vật lí và các ngành khác nhau của Toán học nh: giải tích, hệ động lực, hình học - tôpô. K - dạngviphân là một công cụ để nghiên cứu các bài toán về biến phân thể tích của các miền compact trênđatạp Riemann. Vì vậy nó đợc nhiều nhà Toán học trong và ngoài nớc quan tâm. Các k - dạngviphânvớigiátrị thực đã đợc trình bày trong nhiều tài liệu chuyên khảo về giải tích và hình học hiện đại. Trong luận văn này, chúng tôi trình bày cách xây dựng và khảo sát một số tính chất cơ bản của tíchphân k - dạngviphânvớigiátrị véc tơ trênđatạpRiemann tơng tự nh trong việc khảo sát tíchphân k - dạngviphânvớigiátrị véc tơ trên R n . Luận văn đợc trình bày trong 2 chơng: Chơng 1: K - dạngviphânvớigiátrị véc tơ trênđatạpRiemann -4- Trong chơng này, chúng tôi trình bày về k - dạngviphânvớigiátrị véc tơ trênđatạp Riemann, tích ngoài của k-dạng viphânvớigiátrị véc tơ trênđatạpRiemann theo một dạng song tuyến tính xác định, về viphân ngoài của k - dạngvi phân, phơng pháp tìm nguyên hàm của các dạng đóng trên một tập sao trênđatạp Riemann. Chơng này là cơ sở cho việc trình bày chơng 2. Chơng 2: Tíchphân k - dạngviphânvớigiátrị véc tơ trênđatạpRiemann Chơng 2 là nội dung chính của luận văn. ở đây, bằng cách tơng tự nh cách xây dựng tíchphân k - dạngviphânvớigiátrị véc tơ trên R n , chúng tôi trình bày về tíchphân k - dạngviphânvớigiátrị véc tơ trênđatạp Riemann. Trớc hết, chúng tôi trình bày về phân hoạch đơn vị là kiến thức cơ sở cho việc chứng minh các mục sau. Sau đó, chúng tôi trình bày về tíchphân của 1 - dạngviphânvớigiátrị véc tơ dọc đờng cong , tíchphân k-dạng viphânvớigiátrị véc tơ trên ngăn trong R n , tíchphân k-dạng viphânvớigiátrị véc tơ trênđatạp Riemann. Luận văn đợc hoàn thành tại Khoa sau Đại học trờng Đại học Vinh, với sự hớng dẫn của PGS.TS Nguyễn Hữu Quang. Tác giả xin đợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc với sự hớng dẫn tận tình của Thầy. Nhân dịp hoàn thành luận văn, tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo trong tổ bộ môn Hình học-Tôpô, các thầy cô giáo trong khoa Toán, khoa đào tạo Sau đại học, trờng Đại học Vinh, đã nhiệt tình giảng dạy, tạo điều kiện cho tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Cũng nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn BGH trờng THPT Đào Duy Từ, đồng nghiệp, bạn bè và gia đình đã động viên, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn này. Vinh, tháng 12 năm 2008 -5- T¸c gi¶ -6- Chơng I k - dạngviphânvớigiátrị véc tơ I. k-dạngviphân Trong chơng này, chúng ta luôn giả thiết M là đatạpRiemann thực n- chiều và U là tập mở trong M, với u U, ta kí hiệu: T u M là không gian véc tơ tiếp xúc với M tại u ; và TM = Mu T u M . A k (T u M) là không gian véc tơ các ánh xạ k - tuyến tính phản xứng trên T u M. Cũng trong chơng này, với p M chúng ta xét ánh xạ p : T p M ì T p M R m ( x(x i ), y(y i ) ) a (x 1 y 1 , ., x m y m ) 1.1. Định nghĩa ánh xạ : U u U U A k (T u M) u a u ; u A k (T u M) ) đợc gọi là dạngviphân bậc k xác định trên U M vớigiátrị véc tơ trong M. Ta quy ớc: Một dạngviphân bậc 0 là một ánh xạ f : U R m . Từ u : T u M ì ì T u M R m Nên u có dạng ( 1 (u), . , m (u) ); trong đó j A k (T u M) Vì vậy, ta có sự biểu diễn: = ( 1 , ., m ); j k ( M, R); j = 1, ,m. ( Các j là các k-dạngviphân thực xác định trên U). đợc gọi là khả vi nếu và chỉ nếu các j khả vi. -7- Từ nay, khi nói k-dạngviphânvớigiátrị trong M, ta hiểu là k - dạngviphân khả vi. Nhận xét.(Xem [5]): khả vi khi và chỉ khi (X 1 , .,X n ) khả vivới (X 1 , .,X n ); X i B(U), i = 1, ,n. Thật vậy: (X 1 , .,X n ) = ( 1 (X 1 , .,X n ), ., m (X 1 , .,X n ) ) khả vi j khả vi ; j = 1, ,m. j (X 1 , .,X n ) khả vi; ( X 1 , .,X n ) ; X j B(U). Ta kí hiệu: k (U) ={ | là k-dạng viphân lấy giátrị véc tơ trong U}. k (M) ={ | là k-dạng viphân lấy giátrị véc tơ trong M}. k (U) đợc trang bị các phép toán nh sau: Phép cộng : +' : u a (u) + '(u) Phép nhân với một hàm khả vi: : u a u u ; F(U). Chú ý : k (U) là một Môđun trêntập các hàm khả vi F(U). 1.2. Ví dụ Xét M= R 3 , dạngviphân 2 ( R 3 ), ( R 3 với toạ độ (x,y,z) ) Với = (xdxdy , ydydz , xydx dz ). 1.3. Định nghĩa Giả sử k (M) ; l (M). Tích ngoài của và đợc kí hiệu và đợc xác định bởi: ( )(X 1 , ., X k+l ) = = (1) ( ) ( 1) ( ) k k k l < < + < < + ( ) ( ( (1) ( ) , ., k x x ) ( ( 1) ( ) , ., k k l x x + + )) với X j B(M), j = 1 , , k+l. -8- 1.4. Mệnh đề Giả sử = ( 1 , ., m ); ( 1 , ., m ); j k ( M); j l ( M). Khi đó = ( mm , , 11 ). Chứng minh: Theo định nghĩa ta có: ( )(X 1 , .,X k+l )/ p = (1) ( ) ( 1) ( ) k k k l < < + < < + ( ) ( 1 ( (1) ( ) , ., k x x ). 1 ( ( 1) ( ) , ., k k l x x + + )), ., ( m ( (1) ( ) , ., k x x ). m ( ( 1) ( ) , ., k k l x x + + )) = 1 m i= [ (1) ( ) ( 1) ( ) k k k l < < + < < + ( ) i ( (1) ( ) , ., k x x ). i ( ( 1) ( ) , ., k k l x x + + )] = 1 m i= [ ( i i ) (X 1 , ., X k+l ) ] X j B(M), j = 1, ., k+l. Suy ra = ( mm , , 11 ). Ví dụ Xét M= R 3 , = (xdxdy , ydydz , xydx dz ) = (ydx , xdy , xydz) Thậy vậy, ta có: = (0 , 0, 0). 1.5. Hệ quả Giả sử k (M) ; l (M) ; à r (M). i, = ( - 1) kl ii, ( ) à = ( ) à Chứng minh: i, Theo mệnh đề 1.4 ta có: = ( mm , , 11 ) = [ ] mm klkl )1(, .,)1( 11 = ), .,()1( 11 mm kl -9- Vậy: = ( - 1) kl . ii, Theo mệnh đề 1.4 ta có: ( ) à = [ ] mmm àà )(, ,)( 111 = [ ] )(), ,( 111 mmm àà = ( ) à . 1.6. Chú ý Ta quy ớc f = (f 1 1 , ., f m m ). Trong đó: f 0 (R m ) và f j là hàm toạ độ của f với j = 1, ,m ( 1 , ., m ) k (R m ). II. Phép viphân ngoài trênk-dạngviphân 1.7. Định nghĩa Giả sử k (M) và =( 1 , ., m ) thì viphân ngoài của đợc kí hiệu d và đợc xác định: d = (d 1 ,. . ., d m ). 1.8. Nhận xét Nếu k (M) thì d(d) = 0. Thật vậy, giả sử = ( 1 , ., m ) ; j k ( M, R), j = 1, .,m. Ta có d = (d 1 ,. . .,d m ) d(d) = d (d 1 ,. . .,d m ) = (dd 1 ,. . .,dd m ) = 0 Vậy d(d) = 0. Ví dụ Xét 2 ( M ) với = ( xdy , xydz ) Ta có d = (dx dy, ydx dz + xdy dz ) 1.9.Mệnh đề (Xem [5]) -10- . trình bày về k - dạng vi phân với giá trị véc tơ trên đa tạp Riemann, tích ngoài của k- dạng vi phân với giá trị véc tơ trên đa tạp Riemann theo một dạng song. dọc đờng cong , tích phân k- dạng vi phân với giá trị véc tơ trên ngăn trong R n , tích phân k- dạng vi phân với giá trị véc tơ trên đa tạp Riemann. Luận văn