Về tích LIE các trường vectơ trên đa tạp RIEMANN

Lời nói đầu Tích Lie và đại số Lie các trờng vectơ là một trong những khái niệm th- ờng gặp khi xét các tính chất hình học trên đa tạp. Các tính chất cơ bản của tích Lie các trờng vectơ đã đợc trình bày trong một số tài liệu chuyên khảo về hình học vi phân. Mục đích của khoá luận này là tập hợp và chứng minh chi tiết một số tính chất của Lie các trờng vectơ trên một đa tạp Riemann. Ngoài ra bài viết này cũng đa ra một cách tính đại số Lie của một số nhóm Lie đơn giản. Khoá luận đợc trình bày thành 3 mục: Đ1. Tích Lie các trờng vectơ trên đa tạp Riemann. Trong mục này chúng tôi nhắc lại một số khái niệm và tính chất cơ bản về đa tạp Riemann n - chiều, trình bày khái niệm tích Lie các trờng vectơ trên đa tạp Riemann, khái niệm liên thông Lêvi-Civita cùng với các ví dụ minh hoạ. Các tính chất cơ bản của Đ1 là: Định lý 1.6 Mệnh đề: 1.7 Đ2. Một số tính chất của tích Lie các trờng vectơ trên đa tạp Riemann. Các tính chất này đợc chúng tôi chứng minh chi tiết. Các tính chất cơ bản của Đ2. Là:Mệnh đề 2.1. Mệnh đề: 2.6. Mệnh đề: 2.9 Mệnh đề:2.11 Đ3. Các trờng vectơ bất biến trái trên nhóm Lie. Trong mục này, chúng tôi trình bày một số kiến thức về nhóm Lie, đại số Lie, trờng vectơ bất biến trái trên một nhóm Lie và một vài tính chất của trờng vectơ bất biến trái. Sau đó chúng tôi trình bày về đại số Lie các trờng vectơ bất biến trái. 1 Các tính chất cớ bản của Đ3 là: Mệnh đề 3.3 Mệnh đề 3.4 Mệnh đề 3.7 Mệnh đề 3.9 Mệnh đề 3.11 Nhận xét 3.12 Khoá luận đợc thực hiện và hoàn thành tại khoa Toán Trờng Đại học Vinh dới sự hớng dẫn khoa học tận tình của thầy giáo Tiến sỹ Nguyễn Hữu Quang. Nhân dịp này, chúng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo h- ớng dẫn Tiến sỹ Nguyễn Hữu Quang. Và chúng tôi xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo trong khoa và bạn bè đã giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và hoàn thành khoá luận này. Vinh, tháng 5 năm 2003 Tác giả. 2 Đ1. Tích Lie các trờng vectơ trên đa tạp Riemann Trong khoá luận này chúng ta sử dụng ký hiệu sau: M là đa tạp khả vi n- chiều, gọi tắt là đa tạp. B(M) = {XX là trờng vectơ khả vi trên M } F(M) = {ff khả vi trên M } T p M = { vv tiếp xúc với M tại p } I. Đa tạp Riemann n - chiều 1.1. Định nghĩa: Một cấu trúc đa tạp Riemann trên đa tạp M là một ánh xạ g: B(M) x B(M) F(M); thoả mãn: với mỗi p M, g xác định một tích vô h- ớng (dạng song tuyến tính, đối xứng, xác định dơng trên T p M) và g phụ thuộc khả vi vào p.g đợc gọi là metric Riemann, đa tạp M cùng với metric Riemann g đợc gọi là đa tạp Riemann n - chiều và ta ký hiệu là (M,g) 1.2. Ví dụ: Chẳng hạn ta xét mặt cầu đơn vị S 2 = {(x, y, z) R 3 x 2 + y 2 + z 2 = 1} Khi đó S 2 là một đa tạp Riemann 2 chiều: Thật vậy: *) Trớc hết, ta chứng minh S 2 là một đa tạp khả vi 2 chiều: Họ các bản đồ 6 1i ii } ,{U = trên S 2 đợc xác định nh sau: U 1 = {(x, y, z) S 2 x > 0 } (U 1 , 1 ): 1 ~ U = {(y, z) Oyz y 2 + z 2 < 1} 1 : U 1 1 ~ U ( 22 1 zy , y, z) (y, z). 3 U 2 = {(x, y, z) S 2 x > 0 } (U 2 , 2 ): 2 ~ U = {(y, z) Oyz y 2 + z 2 < 1} 2 : U 2 2 ~ U (- 22 1 zy , y, z) (y, z). U 3 = {(x, y, z) S 2 y > 0 } (U 3 , 3 ): 3 ~ U = {(x, z) Oxz x 2 + z 2 < 1} 3 : U 3 3 ~ U (x, 22 1 zx , z) (x, z). U 4 = {(x, y, z) S 2 y < 0 } (U 4 , 4 ): 4 ~ U = {(x, z) Oxz x 2 + z 2 < 1} 4 : U 4 4 ~ U (x, 22 1 zx , z) (x, z). U 5 = {(x, y, z) S 2 z > 0 } (U 5 , 5 ): 5 ~ U = {(x,y) Oxy x 2 + y 2 < 1} 5 : U 5 5 ~ U (x,y, 22 1 yx ) (x,y). U 6 = {(x, y, z) S 2 z < 0 } (U 6 , 6 ): 6 ~ U = {(x, y) Oxy x 2 + y 2 < 1} 6 : U 6 6 ~ U (x,y,- 22 1 yx ) (x,y). Ta chứng minh (U i , i ) (i=1,2, ,6) là các bản đồ, chẳng hạn xét (U 1 , 1 ): Ta có: + U 1 mở trong S 2 + 1 ~ U mở trong R 2 + Dễ thấy rằng 1 là song ánh. + 1 là phép chiếu nên nó liên tục 4 + 1 1 : 1 ~ U U 1 (y,z) ( 22 1 zy , y,z) cũng là phép chiếu nên 1 1 cũng liên tục, do đó 1 là đồng phôi. Vậy (U 1 , 1 ) là 1 bản đồ. Rõ ràng 6 1 = i i U = S 2 Ta chứng minh 2 bản đồ bất kỳ phù hợp. Chẳng hạn (U 1 , 1 ), (U 3 , 3 ) Đặt W = U 1 U 3 = {(x, y, z) S 2 x > 0, y > 0 } 1 1 : 1 ~ U U 1 (y,z) ( 22 1 zy , y,z) 3 : U 3 3 ~ U (x, 22 1 zx , z) (x, z) 3 1 1 : 1 ~ U 3 ~ U xác định bởi: 3 1 1 (y,z) = 3 ( 1 1 (y,z)) = 3 ( 22 1 zy , y,z) = ( 22 1 zy ,z) Vì các hàm toạ độ khả vi nên 3 1 1 khả vi hay (U 1 , 1 ), (U 3 , 3 ) phù hợp. Vậy S 2 là đa tạp đa chiều. *) Bây giờ ta xét metric Riemann trên S 2 nh sau: Tại mỗi p S 2 , có không gian tiếp xúc T p S 2 . Trên T p S 2 có một tích vô hớng cảm sinh bởi tích vô hớng chính tắc g trong R 3 . Ta đặt g ~ = 2 S g . Khi đó với mỗi X, Y B(S 2 ), ta có: g ~ (X p ,Y p ) = g(X p ,Y p ) = X p . Y p ; p S 2 . Vì với X,Y bất kỳ khả vi trên S 2 , hàm số: p g(X p ,Y p ) = X p . Y p khả vi nên g ~ phụ thuộc vào p một cách khả vi, p S 2 . Do đó ta có một metric Riemann g ~ trên S 2 . 5 Vì vậy (S 2 , g ~ ) là một đa tạp Riemann 2 - chiều. II. Tích Lie các trờng vectơ trên đa tạp Riemann 1.3. Định nghĩa: *) Giả sử U là tập con mở của M. X,Y B(U), khi đó có tr- ờng vectơ [X,Y] B(U): [X,Y][] = X[Y()] - Y[X()], với F(U) Trờng vectơ [X,Y] xác định nh trên đợc gọi là tích Lie các trờng vectơ X,Y trên tập mở U. *) Nếu UM, ta có khái niệm tích Lie là các trờng vectơ trên đa tạp M. 1.4. Biểu thức toạ độ của tích Lie Trên đa tạp M, xét bản đồ địa phơng (U, ), với mỗi điểm x U, x có toạ độ là (x 1 , x 2 , . , x n ) Xét 2 trờng vectơ X,Y bất kỳ B(U). Đặt: X = = n i i i x X 1 ; Y = = n j j j x Y 1 ; X i , Y j F (U). Với f F(U), ta có : Y(f) = = n i j j x f Y 1 . X[Y(f)] = = = i j n j j n i i x x f Y X . 1 1 = = + n i i j ji j i xxj f Y x f x Y X 1 2 (1) Tơng tự ta có: Y[Y[f]] = = = + n j n ii ji i ij i j xx f X x f x X Y 1 2 (2) 6 Mặt khác do f F(U) nên: ijji xx f xx f = 22 (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra: [X,Y] (f) = X[Y(f)] - Y[X(f)] = ==== n i ij i n j j n j ji n i i x f x X Y x f x Yj X 1111 = ij i n j j n j j i j n i x f x X Y x Y X === ).( 111 ; f F(U). [X,Y] = ij i n j i n j j j i n i xx X Y x Y X === ).( 111 (1-1) Công thức (1-1) là biểu thức toạ độ của tích Lie hai trờng vectơ X,Y trên B(U) * Hệ quả: Từ công thức (1-1) ta suy ra: ji xx , = 0; i,j = n,1 III. Liên thông Lêvi - Civita trên đa tạp Riemann. 1.5. Định nghĩa: ánh xạ : B(M) x B(M) B(M) (X, Y) Y X Gọi là một liên thông Lêvi - Civita trên đa tạp Riemann M nếu nó thoả mãn 6 điều kiện sau: (T 1 ) Y XX 21 + = Y X 1 + Y X 2 (T 2 ) Y X = Y X (T 3 ) )( 21 YY X + = 1 Y X + 2 Y X (T 4 ) )( Y X = X[]. Y + . Y X Với mọi X, X 1 , X 2 , Y 1 , Y 2 , Y B(M), F(M) (T 5 ) Y X - X Y - [X, Y] = 0; Với mọi X, Y B(M) (T 6 ) Z B(M), ta có: 7 Z[ YX, ] = YX Z , + < Z Y, X> ; X,Y B(M) *) Chú ý: Nếu ánh xạ trong định nghĩa 1.5 thoả mãn 4 điều kiện T 1 , T 2 , T 3 , T 4 đợc gọi là liên thông tuyến tính trên đa tạp M. *) Nhận xét: i) Từ định nghĩa liên thông Lêvi-Civita trên đa tạp Riemann ta suy ra: X,Y B(M), ta có: [X,Y] = Y X - X Y ii) Khi M E n , phép toán trên E n chính là ánh xạ: D: B(E n ) x B(E n ) B(E n ) (X, Y) YD X Do đó [X,Y] = YD X - XD Y ; X, Y B(E n ) 1.6. Định lý: Trên đa tạp Riemann (M,g) có một và chỉ một liên thông Lêvi - Civita đợc xác định nh trong định nghĩa 1.5 Chứng minh: *) Trớc hết ta chứng minh tính duy nhất của X,Y,Z B(M). Xuất phát từ X Y - Y Y - [X,Y] = 0 Y X = X Y + [X, Y] Tơng tự ta có: Z Y = Y Z + [Y, Z] X Z = Z X + [Z, X] Từ đó suy ra: ZY X , = ZYXX Y ],,[ + = ZYXZX Y ],,[, + (1) Mặt khác theo giả thiết: Z [<X,Y>] = < Z X, Y> + < X, Z Y> < Z Y,X> = <X, Z Y> = Z[<X, Y>] - < Z X,Y> Tơng tự ta có: < Y X, Z> = Y[<Z, X>] - < Y Z, X> < X Z, Y> = X[<Y,Z>] - < X Y, Z > 8 Thay vào (1) ta có: < X Y,Z> = < Y X, Z> + <[ X, Y], Z> = - < Y Z, X> + Y[<Z, X>] + <[X, Y], Z> = - < Z Y+ [Y, Z], X > + Y[<Z,X>] + <[X,Y],Z>. = - < Z Y, X> - <[Y, Z], X> + Y[<Z, X>] + <[X, Y], Z> = - (Z[<X, Y>] - < Z X, Y>) - <[Y, Z], X > + Y[<Z, X>] + <[X,Y],Z> = < Z X, Y> - Z[<X, Y>] - <[Y,Z], X> + Y[< Z, X>] + <[X, Y], Z> = < X Z + [Z, X], Y> - Z[<X, Y>] - <[Y, Z], X> + Y< Z, X> } + <[X, Y], Z> = < X Z, Y> +<[Z, X ], Y> - Z[<X,Y>] - <[Y,Z], X> + Y[<Z,X>] + <[X,Y]Z> = X[<Y, Z> - < X Y, Z> + <[Z,X], Y> - Z[<X, Y>] - <[Y,Z], X> + Y[<Z,Y>] + <[X, Y], Z>. < X Y,Z> = 2 1 (X[<Y,Z>] + Y[<Z, X>] - Z[<X, Y>]) + 2 1 (<[X, Y], Z> + <[Z, X], Y> - <[Y,Z], X>). (2) Đẳng thức (2) xác định X Y không phụ thuộc vào . Do đó đợc xác định nh trên là duy nhất. *) Ta chỉ ra sự tồn tại của thoả mãn điều kiện định lý: Thật vậy: Với mỗi cặp (X,Y) cố định thuộc B(M) x B(M). Đặt X Y = K sao cho ZK , = VP (2). Xét ánh xạ: B(M) B(M) Z ZK , = vp(2). Rõ ràng là ánh xạ F(M)- tuyến tính. Do đó ta xác định đợc trờng vec tơ X Y đợc xác định nh trên thoả mãn các điều kiện sau: (T5): X Y - Y X - [X,Y] = 0 , X, Y B(M) 9 ThËt vËy: ∀ X, Y ∈ B(M) cho tríc, ∀ Z ∈ B(M), ta cã: ZYXXY YX ],,[ −∇−∇ = ZY X , ∇ - ZX Y , ∇ - ZYX ],,[ (3) ¸p dông c«ng thøc (2) ta cã: VP (3) = 2 1 (X[<Y,Z>] + Y[<Z, X>] - Z[<X, Y>]) + 2 1 (<Z, [X,Y]> + <Y,[Z,X]> - <X, [Y,Z]>) - 2 1 (Y[<X,Z>] + X[<Z,Y>] - Z[<Y,X>]) - 2 1 (<Z,[Y,X]> + <X,[Y,Z]> - < Y,[X,Z]>) - <[X,Y], Z> = <Z, [X,Y]> - <[X, Y], Z>. = 0 ; ∀Z ∈ B(M). ⇒ < ∇ X Y - ∇ Y X - [X, Y], Z> = 0; ∀ Z ∈ B(M). ⇒ ∇ X Y - ∇ Y X - [X,Y] = 0 ; ∀ X, Y ∈ B(M)  . (T6) : Z[<X,Y> [ = <∇ Z X, Y> + < X, ∇ Z Y> ¸p dông c«ng thøc (2) ta cã: <∇ Z X,Y> = 2 1 (Z[<X, Y>] + X[<Z,Y>] - Y[<X,Z>]) + 2 1 (<Y,[Z,X]> + <X,[Y,Z]> - <Z, [X,Y]>). <∇ Z Y,X>= 2 1 (Z[<Y,X>] + Y[<X,Z>] - X [< Z, Y>]) + 2 1 (<X,[Z,Y]> + <Y,[X,Z]> - <Z, [Y,X]>). ⇒ <∇ Z X , Y> + < ∇ Z Y, X> = 2 1 Z[<X,Y>] + 2 1 Z[<X,Y>] = Z [<X,Y>] Hay Z [<X, Y>] = <∇ Z X, Y> + < ∇ Z Y, X>  . 1.7. MÖnh ®Ò: TÝch Lie c¸c trêng vect¬ bÊt biÕn qua vi ph«i. 10 . thành 3 mục: Đ1. Tích Lie các trờng vectơ trên đa tạp Riemann. Trong mục này chúng tôi nhắc lại một số khái niệm và tính chất cơ bản về đa tạp Riemann n - chiều,. mở U. *) Nếu UM, ta có khái niệm tích Lie là các trờng vectơ trên đa tạp M. 1.4. Biểu thức toạ độ của tích Lie Trên đa tạp M, xét bản đồ địa phơng (U, ),