Về các điểm rốn trên đa tạp con nửa riemnn

1 giáo dục đào tạo Trờng đại học vinh Đặng Thị Vinh Về điểm rốn đa tạp nửa Riemann Luận văn thạc sĩ toán học Vinh - 2010 MỞ ĐẦU Việc nghiên cứu tính chất mặt vấn đề hình học vi phân Chúng ta biết ánh xạ Weingarten hình học vi phân cổ điển tự đồng cấu tuyến tính đối xứng Từ dẫn đến khái niệm độ cong chính, độ cong trung bình, độ cong Gauss, điểm rốn Đã có nhiều nhà tốn học nghiên cứu điểm rốn không gian Lorentz – Minkowski Trong đề tài chúng tơi nghiên cứu điểm rốn rốn hồn tồn đa tạp nửa Riemann Với lý hướng dẫn TS Nguyễn Duy Bình chọn đề tài luận văn là: “Về điểm rốn đa tạp nửa Riemann” Nội dung luận văn chia làm chương Chương 1: Giới thiệu số khái niệm tính chất liên thông Lêvi – Cêvita đa tạp nửa Riemann, giới thiệu khái niệm tính chất độ cong đa tạp con, sở cho việc xây dựng kiến thức chương Chương 2: Xây dựng số khái niệm tính chất điểm rốn, điểm v – rốn đa tạp nửa Riemann, nghiên cứu rốn hoàn toàn siêu mặt, đóng góp chung luận văn trình bày mục Cụ thể mục chúng tơi tìm điều kiện cần đủ để đa tạp nửa Riemann v-rốn; quan hệ tốn hồn tồn v-rốn Trong mục chúng tơi tính rốn hồn tồn siêu mặt, thể định lý (2.3), mệnh đề (2.5) định lý (2.7) Luận văn thực hoàn thành khoa Sau Đại Học Vinh hướng dẫn thầy giáo TS Nguyễn Duy Bình Nhân dịp này, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới thầy, cảm ơn tổ hình học giảng dạy dẫn vấn đề liên quan tới đề tài nghiên cứu Chúng xin chân thành cảm ơn thầy giáo, cô giáo làm việc khoa Sau đại học, Ban giám hiệu trường THPT Nam Đàn II, đồng nghiệp bạn bè gia đình tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tơi hồn thành luận văn Vinh, tháng 12 năm 2010 Đặng Thị Vinh Chương KIẾN THỨC CƠ SỞ I LIÊN THÔNG LEVI - CIVITA TRÊN ĐA TẠP NỬA RIEMANN 1.1 Liên thơng tuyến tính 1.1.1 Định nghĩa M đa tạp khả vi thực n- chiều với sở đếm kí hiệu: B(M) tập trường khả vi M Tp(M) không gian vectơ tiếp xúc với M p F(M) tập hàm khả vi M Ánh xạ  : B  M   B  M   B  M   X , Y  XY Được gọi liên thơng tuyến tính đa tạp M  thoả mãn điều kiện sau:  X Y  Z    X Y +  X Z ;  X , Y , Z  B  M   X Y  Z    X Z + Y Z ;  X , Y , Z  B  M  X  Y   X Y ;  X , Y  B  M  ;   F  M   X Y   X   Y    X Y ;  X , Y  B  M  ;   F  M  1.1.2 Ví dụ Giả sử M đa tạp khả song n- chiều với trường mục tiêu E1, E2,., En   X , Y  B  M  ta có n n i 1 i 1 X   X i Ei , Y  Yi Ei  X i , Yi  F  M  ; i 1, , n  Ta đặt:  X Y =  X Yi Ei Khi  liên thơng tuyến tính M n i 1 Thật vậy, với  X , X , Y , Y   B  M  ;   F  M  Ta có: 1)  X Y  Y '    X Yi  Y  Ei   X Yi  Ei   X Y  Ei n n n i 1 i 1 i 1 n n =  X Y   X Y  2)  X  X  n Y     X  X  Yi Ei   X Y  E   X   Y  E i 1 i 1 i i i 1 i i   X Y   X Y n 3)  X Y     X  Yi i 1 n 4)  X Y    X Yi i 1 n    X Yi i 1 n  Ei    X Yi  Ei   Y Z i 1 n  Ei    X Yi   Yi X   Ei  i 1 n  Ei  X    X Yi  Ei    X Y  X   Y i 1 1.2 Liên thông Levi-Civita đa tạp nửa Riemann 1.2.1 Định nghĩa Giả sử ánh xạ g : p  g p ; g p : TP M  TP M  R ; p  M dạng song tuyến tính g thoả mãn: g phụ thuộc vào p cách khả vi (nghĩa g (X, Y) (p) = gp(Xp, Yp) hàm khả vi theo p, với cặp trường vectơ X, Y ) gp đối xứng  p  M gp không suy biến  p  M gp có số  p  M Khi g gọi mêtric nửa Riemann M Đa tạp (M, g) gọi đa tạp nửa Riemann Chú ý: + Khi gp xác định dương, p  M ta nói g mêtric Riemann Đa tạp (M, g) gọi đa tạp Riemann + Khi gp không xác định dương, p thuộc M ta nói g mêtric giả Riemann Đa tạp (M,g) gọi đa tạp giả Riemann có số 1.2.2 Ví dụ Trong R13 với mêtric thông thường ta xét R13  xx1 , x2 , x3  xi R, g x, y  x1 y1  x2 y2  x2 y3 Khi ( R13 , g) đa tạp giả Riemann 1.2.3 Định nghĩa Giả sử  liên thông tuyến tính đa tạp nửa Riemann M Khi đó,  gọi liên thông Levi- Civita  thoả mãn điều kiện sau: Độ xoắn T = (nghĩa X , Y   X Y  Y X ;  X , Y  BM ) Với trường vectơ X, Y, Z M  g  (nghĩa Zg (X, Y) = g(  Z X ,Y ) + g(X,  Z Y ) ) 1.2.4 Ví dụ Giả sử M đa tạp Riemann khả song n - chiều với trường mục tiêu trực chuẩn E1 , En  (tức g(Ei, Ej) =  ij với  ij  i = j ;  ij = i  j ) n Với X = n n  X E ; Y = Y E i 1 i i j 1 j j Ta đặt  X Y =  X Yi  Ei i 1 Khi đó,  liên thơng Levi- Civita M Thật theo ví dụ 1.1.2 ta chứng minh  liên thông tuyến tính Bây ta kiểm tra điều kiện liên thông Levi- Civita  X , Y     X Y    Y  X    X Y1E1  Yn En     Y   X1E1  X n En     n  n    X Yi  Ei     Y  X i  Ei      X Y      Y X     i 1  i 1    X ,Y    X Y - Y X Do X   X i Ei ; Y   Y j E j ; X Y   X iYi  Ei E j    X iYi n n n n i 1 j 1 i 1 i 1 n n i 1 i 1 Ta có Z  X Y    Z  X i Yi     Z  X i Yi  Z Yi  X i   n  i 1 n   Z X Y  Z Y X      i i i i  i 1    Z  X1 Y1  Z  X Y2   Z  X n Yn  Z Y1  X1   Z Yn  X n n n n n i 1 i 1 i 1 i 1 =   Z  X i  Ei  Yi Ei    Z Yi  Ei   X i Ei n =  i 1 n  Z  X i  Ei  Y    Z Yi  Ei  Y = Z X Y + ZYX i 1 Vậy Z  X Y   Z X Y  ZY X 1.2.5 Định lí Xem [1] Cho (M,g) đa tạp nửa Riemann với liên thơng tuyến tính  Khi liên thơng  liên thông Riemann   g = (nghĩa X [g(Y,Z) ] = g(  X Y , Z )  g (Y ,  X Z ) ) 1.2.6 Định lí (Định lí hình học Riemann) Giả sử (M, g) đa tạp Riemann, tồn liên thơng tuyến tính Levi- Civita M Chứng minh: Giả sử X,Y  B(M) Ta xác định  X Y phương trình sau g(  X Y , Z) = [X[g(Y, Z) ] + Y[g(Z, X) ] - Z[g(X,Y) ] + g([X,Y],Z) + g([Z, X], Y) + g(X, [Z, X]) ]  Z  B(M) (1) Kiểm tra trực tiếp thấy ánh xạ (X, Y)   X Y thoả mãn điều kiện định nghĩa liên thông tuyến tính Vậy  liên thơng tuyến tính M Do cơng thức (1) ta có g(T(X,Y), Z) =  Z  B(M) Từ T(X,Y) = Nghĩa liên thơng  khơng có độ xoắn Để chứng minh  liên thông Riemann, ta xét X, Y, Z  B(M) Do (1) ta thu được: X[g(Y, Z) ] = g(  X Y , Z )  g (Y ,  X Z ) Áp dụng định lí 1.2.4 ta có  liên thơng Riemann Để chứng minh tính nhất, ta chứng tỏ  thoả mãn điều kiện (1-1) có tenxơ xoắn T = thỗ mãn phương trình (1) Thật từ (1) ta có X  g Y , Z   g   X Y , Z   g Y ,  X Z  (2) Y  g  Z , X   g  Y Z , X   g  Z , Y X  (3) Z  g  X ,Y   g  Z X ,Y   g  X , ZY  (4) Do T (X, Y) =  X Y - Y X - [X, Y] = nên ta có Z  g  X , Y   g   X Y , Y   g  Z , X , Y   g  X , Y Z   g  X ,  Z , Y  (5) Y  g  Z , X   g  Y Z , X   g  Z ,  X X   g  XZ , Y , X  (6) Cộng vế theo vế (2) (6) ta g  X Y , Z    X  g Y , Z   Y  g  Z , X  2  Z  g  X ,Y   g  X ,Y , Z   g  Z , X , Y   g  X ,  Z , X   Z  B  M  Đây đẳng thức (1), tính chứng minh 10 II ĐỘ CONG CỦA ĐA TẠP CON Giả sử (M, g) đa tạp n- chiều đa tạp Riemann m- chiều M , g  Kí hiệu  ,  tương ứng liên thông Levi-Civita M M   liên thơng pháp dạng Ta thường kí hiệu tích vơ hướng , thay cho mêtric g g Với p  M không gian tiếp xác Tp M phân tích thành tổng trực tiếp Tp M = TpM  (Tp M )  Trong (Tp M )  phần bù trực giao TpM khơng gian Tp M Kí hiệu: N(M) = (Tp M )  v ới  X,Y  B(M) pM  Ta ln có:  X Y   X Y    Y  T  X (2.1) 2.1 Dạng thứ Định nghĩa   (B(M)) xác định Ánh xạ II: B(M) x B(M)  II(X,Y) = ( X Y ) gọi dạng thứ M Nhận xét: II dạng song tuyến tính đối xứng 2.1.2 Định lí (cơng thức Gauss) Với  X,Y  B(M) ta có:  X Y   X Y  II  X , Y  Công thức (2.2) gọi công thức Gauss (2.2) 19 1.2.3 Định nghĩa Mỗi giá trị riêng Sv gọi v- độ cong M x Điểm x gọi v – rốn độ cong x M gọi vrốn điểm thuộc M v-rốn 1.2.4 Mệnh đề M v – rốn II v  X , Y   kI  X , Y ;  X , Y  TM với k = Chứng minh: Giả sử M v- rốn, cần chứng minh: II v  X , Y   kI  X , Y ;  X , Y  TM Ta có Sv(X)= k(X)   Svi (X),Y  =  kiX,Y  = ki X, Y  = ki I (X, Y) Theo 2.2.4, ta có:  Svi (X),Y  =  II(X, Y), vi  = II vi (X,Y) Do đó: IIv (X,Y)  kI  X, Y Giả sử có: II v  X , Y   kI  X , Y ;  X , Y  TM M v- rốn Ta có: Sv (X),Y   v, v  = k(X, Y)   Sv (X),Y  =  kX, Y  Y  TM  Sv (X)  kX với X  TM Vậy M v-rốn 1.2.5 Mệnh đề M rốn hoàn toàn M v – rốn;  v  (TM) 20 Chứng minh: Giả sử M rốn hoàn toàn, cần chứng minh: M v- rốn;  v  (TM) Giả sử M rốn hoàn toàn, tức tồn trường véctơ H (TpM) cho: IIp (X,Y)  Ip (X,Y).Hp với X, Y (TM) Ta chứng minh M v – rốn v (TM) Từ đẳng thức trên, ta có: IIp(X,Y), vp = Ip(X, Y) Hp, vp  Sv(X), Y = Ip(X, Y)k = X, Y k (với k = H, v) = kX, Y, Y  TpM  Sv(X) = kX; X  TpM  M v – rốn p M Vậy M v – rốn Ngược lại, giả sử M v- rốn v  (TpM) ;  p  M, cần chứng minh: M rốn hoàn toàn Giả sử v1,…vm sở trực chuẩn (TpM) Ta có: S v  X   ki X i  S v  X , Y  k i X , Y i  II  X , Y , vi  k i I  X , Y   II  X , Y    II  X , Y , v m i 1 i vi   k I  X , Y v m i 1 i m  I  X , Y   k i vi   i 1   I  X , Y .v ; X , Y  T p M i 21 Trong v =  ki vi   TpM  m   M rốn điểm p  M i 1 Vậy M rốn hồn tồn II RỐN HỒN TỒN CỦA SIÊU MẶT Một siêu mặt nửa Riemann M M thực chất đa tạp nửa Riemann đối chiều Vì đối số M số chung tất không gian (TpM) phải Từ ta tách trường hợp dấu siêu mặt sau: 2.1 Định nghĩa Dấu  siêu mặt nửa Riemann M M +) đối số M 0; nghĩa (z; z) > 0, véctơ pháp z  +) -1 đối số M 1; nghĩa (z, z) < 0, véctơ pháp z  Nhận xét Chỉ số M số M  = 1; số M số M -1  = -1 Đối với đa tạp Riemann siêu mặt Riemann với dấu nhiên trường hợp giả Riemann dấu -1 2.2 Bổ đề (Xem [9]) Giả sử M có độ cong Nếu M siêu mặt nửa Riemann M , với S ánh xạ Weingarten siêu mặt M (VS)(W) = (WS)(V);  V, W  T(M) 22 2.3 Định lý Cho M  M siêu mặt liên thông nửa Riemann với dấu  chiều  Nếu M rốn hồn tồn M có độ cong C độ cong pháp k hằng, M có độ cong C= C  k Chứng minh: Vì M có độ cong C nên: R x, y, x, y   C  x, x y, y  x, y x, y  Mặt khác theo phương trình Gauss R x, y, x, y   R  x, y, x, y   II  x, y , II  y, x   II  x, x , II  y, y   C  x, x y, y  x, y x, y   kI  x, y , kI  y, x   kI  x, x , kI  y, y   C  x, x y, y  x, y x, y   k I  x, y , I  y, x   k I  x, x , I  y, y   C  x , x y , y  x , y x, y   k   R  x, y, x, y   C  k    x, y = C  k  C  k  Mặt khác C    x, x  x, x y , y  x , y x, y  y, y  x, y x, y  \ y, y  x, y x, y  R  x, y, x, y  x, x y, y  x, y x, y R  x, y, x, y  nên C  C  k x, x y, y  x, y x, y Ta cần chứng minh M có độ cong pháp k không đổi Nếu v  TpM chọn V, W  B(M) cho Wp = v Vp độc lập Wp 23 Từ S = kI (I ánh xạ đồng nhất, S ánh xạ Weigarten siêu mặt M) v S   W  v  SW   S v W   v  kW   kvW  v  k W Tương tự ta có: wS  V   w k V Do M siêu mặt M nên áp dụng bổ đề 2.2 ta có: v S  W   wS  V   w(K)V = v(k)W ; V ,W B(M )  v(k) = Vậy k số 2.4 Bổ đề Cho véctơ v, w không gian với tích vơ hướng Tồn vectơ v~ ~ sát với v, w cách tuỳ ý cho không gian sinh chúng không w ~ khơng suy biến) suy biến (nghĩa tích vơ hướng hạn chế v~ , w Chứng minh: Ta giả sử v w độc lập tuyến tính Vì cặp véctơ xấp xỉ cặp véctơ độc lập Rõ ràng không gian sinh v w ta giả sử suy biến Nếu v thoả mãn v2 = lấy x v, x  Nếu v thoả mãn v2  lấy x  cho v2 x2 trái dấu Trong hai trường hợp Q(v, x) < Với Q(v,x) = v, v x, x  v, x v, x  cần chứng tỏ   đủ nhỏ khác véctơ v w + x sinh không gian không suy biến 24 Khai triển Q(v, w + x) kết từ công thức 2b + 2Q (v, x) Nếu b  Q(v, w +x)  0, với việc chọn  b trái dấu Nếu b = Q(v, w + x)  Từ ta có Q(v, x) < 2.5 Định nghĩa F gọi hàm kiểu độ cong TpM nếu: F : Tp  M   R  x, y, z, t  F  x, y, z, t  Sao cho: F  x, y, z, t    F  x, y, z, t  F  x, y, z, t   F  x, y, z, t  2.6 Bổ đề: Giả sử F hàm kiểu độ cong Tp(M) cho K  v, w   F  v, w, v, w  v, v w, w  v, w Trong v w sinh khơng gian khơng suy biến thì: R  v, w, x, y   F  v, w, x, y  v, w, x, y  Tp M 2.7 Mệnh đề Cho M siêu mặt nửa R M Nếu M M có độ cong C  C dim M  M rốn hồn tồn Chứng minh Đặt  = (C - C ) với  dấu M, suy   25 Bằng phương trình Gauss, ta có: 2 Sv, v Sw, w  Sv, w   v, v w, w  v, w  (a)   Mỗi v w sinh không gian không suy biến tuyến tính điểm p  M Ánh xạ Weingarten S TpM khả nghịch Thật vậy, v0 khẳng định bổ đề 2.4 tồn vectơ v  TpM cho: v, v w, w  v, w  Do từ phương trình (a) suy ra: Sv   S đơn ánh S đẳng cấu  S khả nghịch Ta giả sử  v, w, x, y TpM Sv, x Sw, y  Sv, y Sw, x   v, x w, y  v, y S w , x  (b) (theo định nghĩa hàm độ cong) Để chứng minh đẳng thức (b) ta có vế đẳng thức xác định hàm kiểu độ cong Vì theo bổ đề 2.6 ta có từ (a) kéo theo (b) Từ dim TpM  có vectơ y  trực giao với v Sv Do (b) trở thành Sv, x Sw, y  v, x w, y ; v, w, x Vì S khả nghịch nên ảnh S khơng chứa y Do có véctơ w cho Sw, y  Do với k độ cong khơng đổi ta có Sv, x  k v, x ; v, x  S  kI Vậy M rốn hoàn toàn 26 Vậy S vô hướng 2.8 Định nghĩa: Giả Rvn không gian nửa Ơclit n-chiều (là không gian ơclit v = 0; không gian giả Ơclit số v v > 0) Cho x0  Rvn số C  R   Tập Sn = P  Rvn p  x0 , p  x0  C gọi siêu cầu tâm x0 2.9 Định lý Nếu M siêu mặt liên thông Riemann R nv với n  3, M rốn hồn tồn khơng trắc địa hồn tồn M tập mở siêu cầu Do M giả thiết thêm đầy đủ M thành phần siêu cầu đầy đủ M hợp thành siêu cầu Chứng minh Nếu U trường véc tơ pháp xác định M S = kI theo định lý 2.6 ta có k số Đồng không gian tiếp xúc Rvn với Rvn đẳng cấu tắc xác định ánh xạ  : M  Rn (p) p Up k Mục đích  ánh xạ Từ M liên thông cần chứng tỏ ánh xạ tiếp xúc  đồng cấu Với việc đồng khẳng định  vectơ v  TpM Ta có: 27 d(v)  v   U  v k Chỉ cần hai vế đẳng thức có thành phần hệ toạ độ tự nhiên u1,…,un R nv f i (p) Nếu U   f  i u  (p)   u (p)  p k i 1 n i i  Do  d(v)  u  v u i i i  vf i   vu  k i n Vì  v U   vf i i khẳng định i 1 Từ v U  S(v)  kv suy d(v)  v  (kv)  ,  ánh xạ k điểm x0  Rvn Khi với  điểm p  M p  x  ta có p  x ,p  x  Up k  k2 Vậy M chứa siêu cầu, M liên thơng nên M chứa mét  liên thông C Sn với Sn  p  Rvn  p  x0 , p  x0     k2  Vì M đa tạp chiều với thành phần liên thông nên M mở C Vì M đầy đủ nên M trùng với bao đóng Do C liên thơng M = C 28 2.10 Hệ qủa: Nếu M liên thông siêu mặt nửa Riemann Rvn (n ≥ 4) với độ cong c  Do M đầy đủ M thành phần siêu cầu Chứng minh: Trực tiếp suy từ hai mệnh đề (2.7) (2.9) 2.11 Mệnh đề: Tập Sn =  p  Rvn1 p, p  C gọi siêu cầu tâm điểm gốc toạ độ Khi ánh xạ N: p   a1 , , an1  n 1 N  p  :   ei trường i 1 vectơ pháp siêu cầu ei trường mục tiêu với ei = (0,…,1, …,0) Chứng minh: Xét siêu cầu Sn =  x , , x n 1   Rvn1  x12  x22   xv2   xn2  c Xét điểm p =  a1 , , an1  Sn,   TpSn lấy đường cong  Sn qua p, (t) = (x1(t),…,xn+1(t))  (t0) =  ta có  x12 (t )  x22 (t )   xn21 (t )  c Lấy đạo hàm hai vế theo t t = t0 2 x1 (t ) x1' (t )  x2 (t ) x2' (t )   xn1 (t ) xn' (t )  Hay a1x1' (t0 )  a2 x2' (t0 )   an1xn' 1 (t0 )  Suy  N  p  ,  '  t0     n  p  ,    ,    Tp S n 29 Vậy N trường pháp tuyến đơn vị dọc Sn 2.12 Mệnh đề Siêu cầu  x , , x n 1   Rvn1  x12  x22   xv2   xn2  c rốn hoàn toàn Chứng minh: Xét siêu cầu  x , , x n 1   Rvn1  x12  x22   xv2   xn2  c ánh xạ N: Sn  T Sn p   a1 , , an1  n 1 N  p  :   ei i 1 trường vectơ pháp tuyến đơn vị dọc Sn S N  v    v N Lấy đường cong c Sn sap cho c    v v N  n 1 d d / t  N  c  t      / t  c  t  en    v dt i 1 dt Do SN = -id Vậy điểm Sn điến rốn  Sn rốn hoàn toàn Lấy đường c S1n cho c'(0) = v v N  n d d / t 0 N  c(t)    / t 0 c  t  en     v dt i 0 dt Do SN = -id Vậy điểm S1n điểm rốn  S1n rốn hoàn toàn 30 KẾT LUẬN Luận văn gồm phần mở bài, nội dung kết luận Phần nội dung trình bày chương Chương giới thiệu số khái niệm tính chất liên thơng Lêvi- Cêvita đạp nửa Riemann, giới thiệu khái niệm tính chất độ cong đa tạp Chương xây dựng số khái niệm tính chất điểm v-rốn đa tạp nửa Riemann, nghiên cứu rốn hồn tồn siêu mặt Kết luận văn nằm mục II chương Mục II trình bày tính chất rốn hồn tồn siêu mặt thể định lý 2.3, mệnh đề 2.7, định lý 2.9 Do điều kiện thời gian cịn có nhiều vấn đề liên quan đến điểm rốn đa tạp nửa Riemann mà chưa khảo sát được, chẳng hạn tìm hiểu hình dáng mặt v-rốn không trường pháp mà rốn nhiều trường pháp tuyến… vấn đề hấp dẫn, tơi hy vọng có điều kiện nghiên cứu thời gian tới 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO Khu Quốc Anh, Nguyễn Doán Tuấn (2005), Lí thuyết liên thơng hình học Riemann, NXB Đại học Sư phạm Nguyễn Hữu Quang (2005), Bài giảng Hình học Riemann, Đại học Vinh 3.Nguyễn Hữu Quang, Ngơ Đình Quốc, Nguyễn Văn Bồng (2008), Hình học vi phân, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội Đoàn Quỳnh, Trương Đức Hinh, Nguyễn Hữu Quang, Trần Đình Viện (1993), Bài tập hình học vi phân, NXB Giáo dục S.Izumiya,D.Pie, M.C Romero-Fusster and M.Takahashi (2005), The horospherical geometry submanifolds in Hyperbolic space S.Izumiya,D.Pie and T.Sano (2001), Singgulaties of Hyperpolis Gauss map S.Izumiya,D.Pie, M.C Romero-Fusster Umbiliccity of spacelike submanifoled of Minkowski space S kobayski, K.Nomizu Foundations of differential geometry- New York-London Vol 1,1963,Vol 2,1969 Banrett, Newyork London O’Neill(1983), Semi-Riamnngeometry, Acdemicpress- 32 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU Chương 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ I LIÊN THÔNG LEVI - CIVITA TRÊN ĐA TẠP NỬA RIEMANN 1.1 Liên thơng tuyến tính 1.2 Liên thông Levi-Civita đa tạp nửa Riemann II ĐỘ CONG CỦA ĐA TẠP CON 2.1 Dạng thứ 2.2 Độ cong trung bình đa tạp 11 Chương 2: TÍNH RỐN TRÊN ĐA TẠP CON NỬA RIEMANN 16 I ĐIỂM RỐN CỦA ĐA TẠP CON NỬA RIEMANN 16 1.1 Định nghĩa 16 1.2 v-rốn 16 II RỐN HOÀN TOÀN CỦA SIÊU MẶT 20 2.1 Định nghĩa 20 2.2 Bổ đề 20 2.3 Định lý 21 2.4 Bổ đề 22 2.5 Định nghĩa 23 2.6 Bổ đề 23 2.7 Mệnh đề 23 2.8 Định nghĩa 25 2.9 Định lý 25 2.10 Hệ qủa 27 2.11 Mệnh đề 27 2.12 Mệnh đề 28 KẾT LUẬN 29 TÀI LIỆU THAM KHẢO 30 33 ... trung bình đa tạp 11 Chương 2: TÍNH RỐN TRÊN ĐA TẠP CON NỬA RIEMANN 16 I ĐIỂM RỐN CỦA ĐA TẠP CON NỬA RIEMANN 16 1.1 Định nghĩa 16 1.2 v -rốn 16 II RỐN HOÀN... độ cong chính, độ cong trung bình, độ cong Gauss, điểm rốn Đã có nhiều nhà tốn học nghiên cứu điểm rốn khơng gian Lorentz – Minkowski Trong đề tài nghiên cứu điểm rốn rốn hoàn toàn đa tạp nửa. .. CIVITA TRÊN ĐA TẠP NỬA RIEMANN 1.1 Liên thơng tuyến tính 1.2 Liên thông Levi-Civita đa tạp nửa Riemann II ĐỘ CONG CỦA ĐA TẠP CON 2.1 Dạng thứ 2.2 Độ cong trung