Về độ cong pháp dạng trên đa tạp con riemann

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ==== ==== HÀ THỊ TÝ VỀ ĐỘ CONG PHÁP DẠNG CỦA ĐA TẠP CON RIEMANN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC CHUN NGÀNH HÌNH HỌC - TƠPƠ MÃ SỐ: 60.46.10 Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYỄN HỮU QUANG VINH - 2010 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ==== ==== HÀ THỊ TÝ VỀ ĐỘ CONG PHÁP DẠNG CỦA ĐA TẠP CON RIEMANN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC CHUN NGÀNH HÌNH HỌC - TÔPÔ VINH - 2010 MỤC LỤC TRANG LỜI NÓI ĐẦU Chương 1: ĐỘ CONG CỦA ĐA TẠP RIEMANN I LIẤN THỄNG LẤVI-SIVITA CỦA ĐA TẠP RIEMANN II ĐỘ CONG CỦA ĐA TẠP RIEMANN 12 Chương 2: ĐỘ CONG PHÁP DẠNG TRẤN ĐA TẠP CON RIEMANN 20 I DẠNG WEIGARTEN 20 II DẠNG CƠ BẢN THỨ II .24 III ĐỘ CONG PHÁP DẠNG 27 KẾT LUẬN 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO 33 LỜI NÓI ĐẦU Các độ cong độ cong pháp dạng khái niệm đa tạp Riemann, có nhiều ứng dụng toán học, khoa học kỹ thuật Độ cong đa tạp Riemann nhiều nhà toán học giới quan tâm: Khu Quốc Anh, Nguyễn Doãn Tuấn, Nguyễn Hữu Quang, O’Neill B, … nhiều tác giả khác Bài tốn chúng tơi đặt trình bày tính chất độ cong pháp dạng đa tạp Riemann Bố cục luận văn gồm chương: Chương 1: ĐỘ CONG CỦA ĐA TẠP RIEMANN Trong chương , h ng t i t nh hứng minh chi tiết tính chất liên thơng Lêvi-Sivita tính chất độ cong Đa tạp Riemann làm sở cho việ t nh hương như: Sự tồn liên thông Lêvi-Sivita đa tạp M (Mệnh đề 1.2), tính bất biến liên thông Lêvi-Sivita qua ánh xạ vi phôi đẳng cự (mệnh đề 1.5), số tính chất độ cong đa tạp Riemann (mệnh đề 1.9, 1.10, 1.11) Chương 2: ĐỘ CONG PHÁP DẠNG TRẤN ĐA TẠP CON RIEMANN Trong chương n , h ng t i t nh hứng minh số tính chất dạng Weigarten (mệnh đề 2.3), DẠNG Cơ BẢN THỨ II (MỆNH đề 2.8, 2.9), CHỨNG MINH CHI TIẾT VỀ TỚNH CHẤT CỦA độ CONG PHỎP DẠNG (MỆNH đề 2.13) Và TỠM RA MỐI LIỜN HỆ GIỮA độ CONG PHỎP DẠNG CỦA đA TẠP M Và độ CONG R Luận văn hoàn thành Khoa Sau đại học - Trường Đại học Vinh, hướng dẫn thầy giáo PGS-TS Nguyễn Hữu Quang Tác giả xin chân thành cảm ơn giúp đỡ, bảo tận tâm Thầ qu t nh học tập nghiên cứu Tác giả cảm ơn Thầy giáo tổ nh học đă giảng dạy bảo cho tác giả qu t nh học tập nghiên cứu Tác giả xin chân thành cảm ơn Thầy giáo, cô giáo khoa Toán, khoa Sau đại học, Ban giám hiệu Trường Đại học Vinh, bạn bè gia đnh đă tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả qu t nh ho n th nh luận văn Vinh, tháng 12 năm 2010 Tác giả Chương I ĐỘ CONG TRÊN ĐA TẠP RIEMANN Trong chương này, ta kí hiệu M đa tạp Riemann n chiều đa tạp Riemann M với chiều (n+k); k  Trong trường hợp k=1 M liên thông định hướng M gọi siêu mặt M Trong luận văn này, ta sử dụng kí hiệu:  B( M ), B( M ) tương ứng modun trường vectơ khả vi M M  F ( M ), F (M ) tương ứng hàm số thực khả vi M , M  TP M ,TP M không gian vectơ tiếp xúc với M , M tương ứng, điểm p  M Mục đích chủ yếu chương trình bày số tính chất liên thơng Lêvi-sivita độ cong đa tạp Riemann I Liên thông Lêvi-Sivita 1.1 Định nghĩa Một liên thơng tuyến tính  M gọi liên thông Lêvi-Sivita  thỏa mãn điều kiện sau: 1. X Y  Y X  [ X ,Y ]  0; X ,Y  B(M ) 2.Z [ X ,Y ]  (Z X ).Y  (ZY ) X Ta ý rằng: Hai điều kiện (1), (2) gọi tính chất Lêvi-Sivita Điều kiện (1) độ xoắn M điều kiện ( 2) điều kiện liên thơng Riemann M Hay nói khác liên thông Lêvi-Sivita  M liên thơng tuyến tính M mà  làm cho độ xoắn liên thông Riemann triệt tiêu 1.2 Mệnh đề (xem [2]) Liên thông Lêvi - Sivita đa tạp M tồn Chứng minh: Để chứng minh mệnh đề ta sử dụng bổ đề sau: Bổ đề: Giả sử M đa tạp khả vi ω : B( M )  F( M ) - dạng M Tức ω :Tp M  R, p ωp ; với ω p dạng tuyến tính, p  M Khi đó, tồn trường vectơ A B( M ) cho: ω  Z   A.Z; Z  B( M ) (1) Chứng minh bổ đề: Ta cần chứng minh tồn tính A lân cận điểm tùy ý p  M Giả sử Ei i 1 trường mục tiêu đồ địa phương U, x  Khi với n A B( M ) ta có biểu diễn:  n  A   i Ei , i  F( M ), i  1, n i 1 Đẳng thức (1) tương đương với: ω  Ei   A.Ei =  E E j j i j    ω  Ei    j gij ; với gij  Ei E j , i, j  1, n (2) j Từ (2) ta có hệ gồm n phương trình ẩn i Vì dạng tích vô hướng g không suy biến nên với q U , ta có det  gij  | q  Do đó, từ (2) xác định  j  chúng biểu thị qua hàm khả vi   Ei  g ij ; suy  j khả vi Như vậy, trường vectơ A khả vi A xác định cách thỏa mãn (1) Chứng minh định lí: + Tính  : Giả sử  : B( M )  B( M )  B( M )  X, Y  XY liên thông Lêvi-sivita thỏa mãn: (1) T  X, Y     X Y  Y X   X, Y   0, (2) Z  X.Y   (Z X ).Y  ( X.Z )Y; X, Y, Z B ( M ) Để chứng minh tính nhất, ta chứng tỏ  X Y thỏa mãn điều kiện (1) (2) thỏa mãn phương trình sau:  X Y.Z   X Y.Z   Y  Z.X   Z  X.Y   Z  X,Y   Y  Z, X   X Y, Z  Thật vậy, từ (1) ta suy ra:  X Y  Y X   X, Y  (4) Tương tự: Y Z  ZY  Y, Z  (5) Z X   X Z   Z, X  (6) Từ (2) ta có: Z  X.Y   Z X.Y  X. ZY Tương tự: X Y.Z    X Y.Z  Y. X Z Y  Z.X   Y Z.X  Z.Y X Mặt khác, từ (8) ta thu được: (7) (8) (3) 10 Y X.Z  Y  Z.X   Y Z.X (9) Do đó:    X Y.Z = Y X   X,Y  Z (theo (4)) = Y X.Z   X,Y  Z = Y Z.X  Y  Z.X    X,Y  Z   =  Z Y  Y,Z  X  Y  Z.X    X,Y  Z (theo (9)) (theo (5)) = ZY.X  Y, Z  X  Y  Z.X    X,Y .Z = Z X.Y  Z  X.Y   Y, Z  X  Y  Z.X    X,Y .Z  (theo (2))  =  X Z   Z, X  Y  Z  X.Y   Y, Z  X  Y  Z.X    X, Y  Z (theo (6)) =  X Z.Y   Z, X  Y  Z  X.Y   Y, Z .X  Y  Z.X    X,Y .Z = X Y.Z    X Y.Z   Z, X  Y  Z  X.Y   Y, Z .X  Y  Z.X    X, Y .Z (theo (7))  2 X Y.Z  X Y.Z    Z, X  Y  Z  X.Y   Y, Z .X  Y  Z.X    X, Y .Z Chia hai vế cho ta được:  X Y.Z   X.Y.Z   Y  Z.X   Z  X.Y   Z  X,Y   Y  Z,X   X Y,Z    X Y thỏa mãn phương trình (3) Bây giờ, ta giả sử có liên thơng tuyến tính khác  thỏa mãn điều kiện (1) (2) Khi từ (3) suy ra:  X Y.Z   X Y.Z     X Y   X Y Z  0; X,Y,Z B( M )   X Y   X Y    .Vậy tính  chứng minh 24 Chương ĐỘ CONG PHÁP DẠNG TRÊN ĐA TẠP CON RIEMANN Trong chương chúng tơi trình bày dạng weigarten, dạng thứ hai độ cong dạng I Dạng weigarten Giả sử M đa tạp định hướng M , ta kí hiệu N(M) khơng gian trường vectơ pháp tuyến đa tạp Riemann M {N1,… ,Nk} trường mục tiêu trực chuẩn N(M) Và N trường vectơ đơn vị thuộc N(M) 2.1 Định nghĩa Ánh xạ S N : B(M )  B(M ) S N ( X )  ( X N )T X gọi ánh xạ dạng Weingarten đa tạp M theo hướng N Ta nhận thấy rằng:  Vì  X N phụ thuộc giá trị XP p nên SN(X) phụ thuộc vào giá trị X P p (điều có nghĩa ánh xạ SN(Xp) hồn tồn xác định với X p  Tp M )  Trong trường hợp M mặt R3, SN ánh xạ Weigarten mà ta quen biết giáo trình học vi phân, Khi M mặt R3 với pháp tuyến đơn vị n, ta có  X N = Dxn; x  B(M) Mặt khác n  , nên x[n.n] = x[1] = Từ Dxn  n; hay Dxn  B(M) Ta có (  X N )T = (Dxn)T = Dxn =-h(x) 2.2 Bổ đề 25 S N (Y ) X  Y X N Chứng minh Ta có: X N   Y [ N X ]   Y X N   Y N X   Y N X  Y X N  S N (Y ) X  Y X N 2.3 Mệnh đề a) Với N  N (M ) , ánh xạ SN đồng cấu môdun từ: B( M )  B( M ) b) SN ánh xạ tự liên hợp Chứng minh a) Theo định nghĩa SN, ta có: S N ( X  Y )  (( X Y ) N )T  ( X N  Y N )T  ( X N )T  (Y N )T  S N ( X )  S N (Y ); X , Y  B( M )  S N ( X )  ( X N )T  (  X N )T   ( X N )T   S N ( X );   F ( M ) b) Để chứng minh SN tự liên hợp, ta cần chứng minh S N ( X ).Y  S N (Y ) X ; X ,Y  B(M ) áp dụng bổ đề (2.3), ta nhận 26  S N ( X ).Y   X Y N   S N (Y ) X  Y X N  S N ( X ).Y  S N (Y ) X   X Y N  Y X N   X Y N  Y X N  [ X , Y ].N  ( X Y  Y X  [ X , Y ]).N  0.N  Vậy S N ( X ).Y  S N (Y ) X Từ mệnh đề ta thấy ánh xạ S N / p : Tp M  Tp M xác định S N / p( X p )  ( Xp N )T ánh xạ tự liên hợp Do S N / p có n giá trị riêng có n vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng 2.4 Ví dụ Ta xét mặt chiều M dang R4 cho tham số hóa r : R2  R4 (u, v) (cos u,sin u, v, v) Bây ta tính S N X với N  N ( M ), X  B(M ) Ta có: Ru  ( sin u,cos u, o, o) Rv  (0,0,1,1) Rõ ràng {Ru , Rv } trường mục tiêu B(M) Ta xét trường mục tiêu trực chuẩn N(M) là: N1 (cos u,sin u,0,0), N (0,0,  1 , ) 2 Khi đó, tính tốn trực tiếp, ta nhận T   S N1 ( Ru )  ( DRu N1 )  Ru  T   S N1 ( Rv )  ( DRv N1 )  Và 27  S N2 ( Ru )  ( DRu N )T   T  S N2 ( Rv )  ( DRv N )  Ma trận S N1 1  A1    00  Ma trận S N2 00  A1    00  Vì H N1  ; K N1  0; Và H N2  0; K N2  Giả sử X  X1Ru  X Rv , N  1N1  2 N2 ; X1, X ,1,2 hàm số khả vi M Ta có: S N X  S N ( X1Ru  X Rv )  X 1S N ( Ru )  X S N ( Rv )  X ( DRu (1 N1  2 N ))T  X ( DRv (1 N1  2 N ))T  1 X 1Ru 2.5 Hệ Giả sử S N / p có n giá trị riêng 1 , , n phân biệt Khi vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng đơI vng góc Thật vậy: Ta giả sử li vectơ riêng S N / p tương ứng với i Từ mệnh đề (2.3), ta suy ra: 28  S N / p (li ).l j  (ili ).l j   S N / p (l j ).li  ( j l j ).li  (ili ).l j  ( j l j ).li  (i   j ).lil j   lil j   li  l j Ta kí hiệu H N ( p)  tr ( S N / p) n K N ( p)  det( S N / p) Khi H N ( p) , K N ( p) tương ứng gọi độ cong trung bình, độ cong Gauss M p theo hướng N II Dạng thứ II Trong mục này, chúng tơi trình bày số tính chất dạng thứ II đa tạp Riemann M đa tạp Riemann M 2.6 Định nghĩa Giả sử N trường vectơ pháp tuyến đơn vị M ánh xạ lN : B(M )  B(M )  F (M ) cho lN ( X ,Y )  S N ( X ).Y ;X ,Y  B (M ) gọi dạng thứ II M theo hướng N 2.7 Nhận xét a) lN ( X , Y ) lN ( X , Y ) p điểm p hoàn toàn xác định  l N ( X p , Yp ) b) lN ánh xạ song tuyến tính Thật  lN (1 X1  2 X ,Y )  S N (1 X1  2 X ).Y X p ,Yp Tp M 29  1S N ( X )Y  2 S N ( X )Y  1lN ( X ,Y )  2lN ( X ,Y ); 1,2  F ( M )  lN ( X ,1Y1  2Y2 )  S N X (1Y1  2Y2 )  1S N ( X )Y1  2 S N ( X )Y2  1lN ( X , Y1 )  2lN ( X , Y2 ) c) Ta trở lại ví dụ (2.4), ta có S N ( Ru ).Rv  Bây ta xét điểm p  M kí hiệu  p khơng gian vectơ chiều Tp M Số k N ( p )  lN ( X p , X p ).lN (Yp ,Yp )  (lN ( X p , X p )) Xp 2 Yp  ( X p Yp )2 gọi độ cong Gauss  p theo hướng N (ở  X p , Yp  sở  p ) 2.8 Mệnh đề lN có tính chất đối xứng Chứng minh Ta cần chứng minh lN ( X ,Y )  lN (Y , X ); X ,Y  B(M ) Ta có: lN ( X ,Y )  S N ( X ).Y  ( X N )T Y  ( X N ).Y  X  N Y   ( X Y ).N (Do tính chất Levi-Sivita  )   X Y N  S N (Y ) X (áp dụng với bổ đề 2.3)  l (Y , X ) 2.9 Mệnh đề 30 k N ( p ) không phụ thuộc vào việc chọn sở  p  Chứng minh Giả sử X p , Yp sở khác  p Khi có X , Y lấy điểm p có giá trị p X , Y Ta có biểu diễn X p  1 X p   2Yp Y p  1 X p   2Yp Bằng tính tốn trực tiếp ta nhận lN ( X p , Y p ).lN (Y p , Y p )  (lN ( X p , Y p ))  1  [lN ( X p , X p ).lN (Yp , Yp )  (lN ( X p , Yp )) ] 1  Tương tự ta có: Xp  2 Y p  ( X p Y p )2 1  [ Xp 1  2 Yp  ( X p Yp ) ] Từ đó, ta suy ra: lN ( X p , X p ).lN (Y p ,Y p )  (lN ( X p ,Y p )) Xp  2 Y p  ( X p Y p ) lN ( X p , X p ).lN (Yp , Yp )  (lN ( X p , Yp )) Xp 2 Yp  ( X p Yp ) 2.10 Chú ý Trong trường hợp M mặt R3 cho tham số hóa (u, v)  r (u, v); u, v  R Ta xét X  Ru ,Y  Rv Khi lN ( Ru , Ru )  S N ( Ru ).Ru 31  ( DRu N ).Ru  L Tương tự lN ( Rv , Rv )   N lN ( Ru , Rv )  M  LN  M Khi đó: k N ( p )  EG  F Hay k N ( p ) độ cong Gauss mặt M điểm p Như ta biết giáo trình hình học vi phân (xem [ ]) E  Ru Ru , F  Ru Rv , G  Rv Rv hệ số dạng thứ I hay kN ( p )  K p , p  M III Độ cong pháp dạng Trong mục này, ta xét ánh xạ sau đây: B : B(M )  B(M )  N ( M ) ( X , Y )  B( X , Y )  ( X Y ) N Và ánh xạ hX : N ( M )  ( X N )T với X  B(M ) 2.11 Nhận xét a, B ánh xạ song tuyến tính thực b, B đối xứng; nghĩa là: B( X , Y )  B(Y , X ); X , Y  B(M ) c, B( X , Y ).N  hX ( N ).Y ; Y  B(M ); N  N (M ) Thật vậy: a, Do tính chất song tuyến tính thực  nên B ánh xạ song tuyến tính thực b, Ta có: B( X , Y ).N  ( X Y ) N N 32  ( X Y ).N  (Y X  [ X , Y ]).N  (Y X ) N  (Y X ) N N  B (Y , X ).N ; N  N ( M ) Từ ta suy ra: B( X , Y )  B(Y , X ); X , Y  B(M ) c, Ta có: B( X , Y ).N  ( X Y ).N  S N ( X ).Y (theo bổ đề 2.3)  ( X N )T Y  hX ( N ).Y 2.12 Định nghĩa Ánh xạ:  : B( M )  N ( M )  N ( M ) ( X , N )  X N  ( X N ) N Được gọi liên thông pháp dạng M 2.13 Mệnh đề Với X  B(M ), Y  B(M ); N1 , N , N  N (M ),  F (M ); a ) X ( N1  N )   X N1   X N ; b) X ( N )  X [ ].N   X N ; c) X Y ( N )   X N  Y N d )X N   X N e) X [ N1 , N ]  ( X N1 ).N  ( X N ).N1 Chứng minh: a)X ( N1  N2 )  ( X ( N1  N2 )) N N 33  ( X N1   X N ) N  ( X N1 ) N  ( X N ) N     X N1   X N b)X ( N )  ( X ( N )) N  ( X [ ]N    X N ) N   ( X [ ]N    X N ) N c)X Y N  ( X Y N ) N  ( X N  Y N ) N     X N  Y N d )X N  ( X N ) N  (  X N ) N   X N e) X [ N1 , N2 ]  ( X N1 ) N2  ( X N ) N1  [( X N1 ) N  ( X N1 )T ]N  [( X N ) N  ( X N )T ]N1  ( X N1 ) N N  ( X N ) N N1  ( X N1 ).N  (Y N ).N1 Giả sử {N1 , , Nk } trường mục tiêu trực chuẩn N(M), từ 3.13.e, ta có (X Ni ) N j  (X N j ) Ni ; i, j  1, k đặc biệt M mặt R3 X N  0; với N pháp tuyến đơn vị M 2.14 Ví dụ Mặt M R4 cho tham số hóa r : R2  R4 34 (cos u,sin u, u, v) Bây ta tính  X N mặt M (u, v)  Ru  ( sin u,cos u,1,0)  Rv  (0,0,0,1) Ta có:  {Ru , Rv } sở B(M) Ta xét trường mục tiêu trực chuẩn N(M) là: sin u cos u  , , ,0)  N1  ( 2   N  (cos u,sin u,0,0)  Ta suy  N1  X N2  0; X  B(M ) (ở  =0) Giả sử X  X1 Ru  X Rv N   (u, v) N1   (u, v).N Khi X N  (X1Ru  X Rv ) (.N1  .N )  X 1. Ru ( N1 )  X 1. Ru ( N )  X  Rv ( N1 )  X  Rv ( N )  X 1.Ru [ ].N1  X 1.Ru [ ].N  X Rv [ ].N1  X Rv [ ].N Từ ta thu X N  ( X1.u'  X v' ).N1  ( X1.u'  X v' ).N2 2.15 Định nghĩa Độ cong pháp dạng M ánh xạ R  R  : B( M )  B( M )  N ( M )  N ( M ) ( X ,Y , N ) R  ( X , Y , N ); Với R  ( X , Y , N )  X (Y N )  Y (X N )  [X ,Y ] N Ta ý rằng, với mặt M cho ví dụ ta có: R  ( Ru , Rv , N )  Rv (Rv N )  Rv (Rv N )  [Rv ,Rv ] N  (uv" N1  uv' N )  (vu" N1  vu' N ) 0 35 2.16 Mệnh đề Giả sử R độ cong M Khi ta có: R  ( X , Y , N )  R( X , Y , N ) Chứng minh: R ( X , Y , N ).N  (X (Y N )  Y (X N )  [X ,Y ] N ).N  ( X (Y N )).N  (Y ( X N )).N  [X ,Y ] N ).N  ( X (Y N ).N  Y ( X N ).N  [X ,Y ] N ).N  [ X (Y N  hY ( N ))].N  [Y ( X N  hX ( N ))].N  ([ X ,Y ] N ).N  ( X Y N  Y  X N  [ X ,Y ] N ).N  [ X hY ( N )  Y hX ( N )].N  R( X , Y , N ).N  [( X N ).hY ( N )  (Y N ).hX ( N )]  R( X , Y , N ).N  [( X N )T hY ( N )  (Y N )T hX ( N )]  R( X , Y , N ).N  (hX ( N ).hY ( N )  hY ( N )hX ( N ).hY ( N ))  R( X , Y , N ).N Từ mệnh đề ta nhận thấy thành phần pháp dạng theo hướng N R(X,Y,N) độ cong pháp dạng R  ( X , Y , N ) Mệnh đề nói lên mối liên hệ độ cong pháp dạng M độ cong R 36 KẾT LUẬN Luận văn đạt kết sau: - Trình bày chi tiết tính chất liên thông Lêvi – Sivita (mệnh đề 1.2, 1.4, 1.5, 1.6), độ cong đa tạp Riemann (mệnh đề 1.9, 1.10, 1.11), dạng Weigarten (mệnh đề 2.3), dạng thứ II (mệnh đề 2.8, 2.9) - Đưa số ví dụ tính độ cong đa tạp Riemann, độ cong pháp dạng đa tạp Riemann - Phát biểu chứng minh hệ 2.5 - Phát biểu chứng minh tính chất độ cong pháp dạng đa tạp Riemann - Phát biểu chứng minh mối liên hệ độ cong pháp dạng M độ cong R / Trong thời gian tới tiếp tục nghiên cứu độ cong pháp dạng đa tạp chiều 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tài liệu Tiếng Việt [1] KHU QUỐC ANH - NGUYỄN DOÓN TUẤN, LÝ THUYẾT LIỜN THỤNG Và HỠNH HỌC RIEMANN, NXB ĐHSP Hà Nội, (2005) [2] NGUYỄN HỮU QUANG, Mở đầu HỠNH HỌC RIEMANN, Bài giảng chuyên đề Sau đại học, Vinh, (2005) [3] Đoàn Quỳnh, HỠNH HỌC VI PHÕN, NXB GIỎO DỤC, (2000) [4] Đoàn Quỳnh, BàI TẬP HỠNH HỌC VI PHÕN, NXB GIỎO DỤC, (2000) [5] NGUYỄN THỊ DIỆU THUÝ, Độ cong Đa tạp Riemann, Luận văn thạc sĩ, (2006) [6] NGUYỄN THỊ QUỲNH XUÕN, Tenxơ cong, tenxơ xoắn độ cong thiết diện Đa tạp Riemann, Luận văn thạc sĩ, (2004) [7] GROMOLL.D, KLINGENBERG.W, MEYER.W (1971), HỠNH HỌC RIEMANN TOàN CỤC, Bản dịch từ tiếng Nga, người dịch Trương Đức Hinh Tài liệu Tiếng Anh [8] Chern S.S, Chen W.H, Lam K.S – Lecturs on differential geometry, copyright @2000 by world, scientific [9] O’neill.B 966 Element r ifferenti l Geometr , A emi press, New-york and London [10] Sigmundur Gudmundsson (2009), An Introdution to Riemannian Geometry, Lund university 38 ... minh tính chất độ cong pháp dạng đa tạp Riemann - Phát biểu chứng minh mối liên hệ độ cong pháp dạng M độ cong R / Trong thời gian tới tiếp tục nghiên cứu độ cong pháp dạng đa tạp chiều 37 TÀI... 1.6), độ cong đa tạp Riemann (mệnh đề 1.9, 1.10, 1.11), dạng Weigarten (mệnh đề 2.3), dạng thứ II (mệnh đề 2.8, 2.9) - Đưa số ví dụ tính độ cong đa tạp Riemann, độ cong pháp dạng đa tạp Riemann. .. THỄNG LẤVI-SIVITA CỦA ĐA TẠP RIEMANN II ĐỘ CONG CỦA ĐA TẠP RIEMANN 12 Chương 2: ĐỘ CONG PHÁP DẠNG TRẤN ĐA TẠP CON RIEMANN 20 I DẠNG WEIGARTEN 20 II DẠNG CƠ BẢN THỨ II