Ánh xạ mũ và đường trắc địa trên đa tạp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH LÊ THỊ PHƢƠNG LIÊN ÁNH XẠ MŨ VÀ ĐƢỜNG TRẮC ĐỊA TRÊN ĐA TẠP CHUYÊN NGÀNH: HÌNH HỌC – TƠPƠ MÃ SỐ: LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN: TS NGUYỄN DUY BÌNH VINH - 2011 -2MỤC LỤC Trang Lời nói đầu……………………………………………………………… ChƣơngI: Ánh xạ mũ đƣờng trắc địa đa tạp Riemann §1 Đa tạp khả vi …………………………………………………………… §2 Đa tạp Riemann………………………………………………………… §3 Cung trắc địa đa tạp Riemann……………………………………… 11 §4 Ánh xạ mũ đa tạp Riemann……………………………………… ChƣơngII: Ánh xạ mũ đƣờng trắc địa nhóm Lie §1 Nhóm Lie nhóm tham số…………………………… 26 §2 Trường vectơ bất biến trái……………………………………………… 28 §3 Ánh xạ mũ đường trắc địa nhóm Lie………………………… 31 Kết luận ……………………………………………………………… 36 Tài liệu tham khảo……………………………………………………… 37 -3- LỜI NÓI ĐẦU Hình học Riemann đời từ nửa kỷ 19 có nhiều ứng dụng học, vật lí học ngành khác kỹ thuật Khái niệm ánh xạ mũ đường trắc địa khái niệm quan trọng hình học Riemann Trong chừng mực khơng gian tiếp xúc với đa tạp phản ánh cấu trúc đa tạp cách địa phương nhờ ánh xạ mũ Đã có nhiều nhà tốn học nghiên cứu ánh xạ mũ đường trắc địa đa tạp Trên sở kết nhiều nhà toán học với hướng dẫn TS.Nguyễn Duy Bình tác giả chọn đề tài nghiên cứu : “Ánh xạ mũ đƣờng trắc địa đa tạp” Luận văn trình bày gồm hai chương: Chương I: Ánh xạ mũ đường trắc địa đa tạp Riemann Chương II: Ánh xạ mũ đường trắc địa nhóm Lie Nội dung chương I nêu khái niệm đa tạp khả vi, đa tạp Riemann, khái niệm vectơ tiếp xúc, không gian tiếp xúc với đa tạp, nêu khái niệm liên thơng tuyến tính, liên thơng Levi-Civita mục đích cuối đưa khái niệm đường trắc địa ánh xạ mũ đa tạp Riemann, nêu mối quan hệ đường trắc địa ánh xạ mũ, nêu tính chất đường trắc địa tính chất ánh xạ mũ đa tạp Riemann Nội dung chương II trình bày khái niệm nhóm Lie, đại số Lie trường vectơ bất biến trái Nhóm tham số sinh trường vectơ bất biến trái để đưa khái niệm ánh xạ mũ đường trắc địa nhóm Lie, nêu mối quan hệ ánh xạ mũ đường trắc địa với nhóm tham số, nêu tính chất ánh xạ mũ đường trắc địa -4nhóm Lie, chúng tơi chứng minh ánh xạ mũ nhóm Lie trường hợp đặc biệt ánh xạ mũ đa tạp Riemann Luận văn thực hoàn thành Khoa Sau Đại học Trường Đại Học Vinh hướng dẫn tận tình thầy giáo TS.Nguyễn Duy Bình Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy cảm ơn thầy giáo tổ Hình học giảng dạy dẫn vấn đề có liên quan tới đề tài nghiên cứu trình học tập Qua tác giả xin chân thành cảm ơn tới thầy giáo, cô giáo làm việc Khoa Toán, Khoa Sau Đại học Trường Đại học Vinh, đồng nghiệp, bạn bè, từ tận đáy lịng tác giả muốn gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới gia đình thầy cô, bạn bè công tác trường THPT Đặng Thai Mai tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành luận văn hoàn thành nhiệm vụ học viên cao học Vinh, tháng 12 năm 2011 -5- CHƢƠNG I ÁNH XẠ MŨ VÀ ĐƢỜNG TRẮC ĐỊA TRÊN ĐA TẠP RIEMANN § ĐA TẠP KHẢ VI 1.1.1 Đa tạp khả vi Định nghĩa Giả sử M T2-không gian i Nếu U mở M U* tập mở n  : U  U * đồng phơi (U,  ) gọi đồ M ii Với p  U  ( p)  ¡ n , nên  ( p)  ( x1 , x2 , , xn ) Khi (x1,x2, ,xn) gọi toạ độ p (U,  ) (U,  ) gọi hệ toạ độ địa phương iii Giả sử (U1, 1 ) (U2,  ) đồ M cho W= U1 U   Khi (U1, 1 ) (U , 2 ) gọi phù hợp ánh xạ 2 o 11 vi phôi (song ánh khả vi hai chiều ) iv A ={(Ui , i )iI họ đồ M} Nếu thoả mãn: a UU iI i M b (U i , i ) (U j ,  j ) phù hợp, với i  j ta nói A Atlát M v Nếu A Atlát cực đại M (tức A không thực nằm Atlát nào) A gọi cấu trúc khả vi M vi Một T2-khơng gian M có cấu trúc khả vi gọi đa tạp khả vi nchiều 1.1.2 Ánh xạ khả vi hai đa tạp Giả sử M, N hai đa tạp khả vi Ánh xạ f : M  N gọi ánh xạ khả vi f liên tục với đồ(U,  ) U  f 1 (V )  W   có  o f o  1 khả vi Trong  o f o  1 : W1   (W)  W2   ( f (W)) (V , ) N cho: -6- 1.1.3.Vectơ tiếp xúc đa tạp Ta ký hiệu : Fp= { f : M  ¡ / f khả vi lân cận Up chứa p} 1.1.3.1.Định nghĩa Vectơ tiếp xúc với đường cong  điểm p ánh xạ : v : Fp  f a v( f )  d ( f o  )(t ) dt t t0 Khi ta nói v vectơ tiếp xúc với đa tạp M p 1.1.3.2.Định lý a Vectơ tiếp xúc với đa tạp M p có tính chất: i v ánh xạ tuyến tính ii v( f o g )  g ( p)v( f )  f ( p)v( g ) b Tất ánh xạ v: Fp  R thoả mãn hai tính chất làm thành khơng gian vectơ với hai phép toán: i (v  v%)( f )  v( f )  v%( f ) ii ( v)( f )   v( f ) 1.1.3.3.Định lý Ta ký hiệu TpM ={ v : v tiếp xúc với M p} TpM không gian vectơ với dimTpM=dimM=n với hệ vectơ sở {  x1 p ,  x2 p , ,  xn p } Khi TpM gọi không gian vectơ tiếp xúc đa tạp M p 1.1.4 Ánh xạ tiếp xúc Giả sử: -M đa tạp m- chiều với cấu trúc khả vi { (Ui , i )}iI -N đa tạp n- chiều với cấu trúc khả vi { (V j , j )} jJ -Ánh xạ f : M  N p a f ( p)  p ' khả vi -7-TpM không gian vectơ tiếp xúc với M p -Tp’N không gian vectơ tiếp xúc với N p’ Ánh xạ tiếp xúc f p là: f* p : Tp M  Tp ' N xác định sau: v  Tp M tiếp v a f* p (v)  v ' xúc với đường cong  (t ) p f* p (v)  v ' tiếp xúc với đường cong ( f o  )(t ) p’ Khi ta chứng minh f* p ánh xạ tuyến tính 1.1.5.Trƣờng vectơ đa tạp Trường vectơ X đa tạp ánh xạ: X : M  U Tp M pA p a X p ; X p  Tp M 1.1.6 Đƣờng cong tích phân đa tạp Định nghĩa Giả sử X trường vectơ khả vi đa tạp M Xét đường cong  cho tham số hoá  : J  M , t a  (t )  gọi đường cong tích phân trường vectơ X điểm p  thoả mãn   (t0 )  p    '(t0 )  X p (hay Xp vectơ tiếp xúc với  p) 1.1.7 Liên thơng tuyến tính đa tạp Định nghĩa B(M)= {X: X trường vectơ khả vi đa tạp M} Ánh xạ  :B(M)x B(M)  B(M) (X,Y) a  X Y gọi liên thơng tuyến tính M  thoả mãn điều kiện sau:  X (Y  Z )   X Y   X Z  X Y Z   X Z  Y Z  X Y   X Y X,Y,Z  B(M) -84  XY  X  Y   X Y  X,Y,Z  B(M)    F(M) Định nghĩa: M gọi đa tạp khả song M tồn trường mục tiêu {E1,E2, ,Em } m Ta có biểu diễn  E E j   ijk Ek Khi {ijk } gọi thành phần liên i thơng  ,  k 1 hồn tồn xác định biết {ijk } , i, j, k  1, m Với M= ¡ n ,{E1,E2, ,En } trường vectơ tự nhiên n xét   D Khi ijk  0, i, j, k  1, n §2 ĐA TẠP RIEMANN 1.2.1.Đa tạp Riemann Cho M đa tạp khả vi Một cấu trúc Riemann g M, ánh xạ p a gp; p  M Trong gp tích vơ hướng TpM gp phụ thuộc khả vi vào p ( nghĩa là: g(X,Y)(p)= gp(Xp,Yp) g hàm khả vi theo p) Khi (M,g) gọi đa tạp Riemann Giả sử  hàm số khả vi ln dương Ví dụ: n Ta đặt g  X , Y    XY , với XY   X iYi tích vơ hướng tắc n n i 1 Khi  n , g  đa tạp Riemann 1.2.2 Độ dài cung Giả sử  cung cho tham số hoá :J M t a  (t ) với J khoảng mở ( J=(a;b)) Độ dài cung  ký hiệu l () xác định công thức: -9b l ()   g (  ',  ') dt a 1.2.3 Ánh xạ đẳng cự Cho ánh xạ khả vi f : (M , g )  ( N , g%) gọi ánh xạ đẳng cự nếu: p  M ta có g%f ( p ) ( f* p X p , f* pYp )  g p ( X p , Yp ); X , Y  B(M) ( f đẳng cự f* p bảo tồn tích vơ hướng p  M ) - Nếu f ánh xạ đẳng cự g phép nhúng - Ánh xạ f gọi vi phôi đẳng cự f ánh xạ đẳng cự f song ánh - Nếu f ánh xạ đẳng cự f bảo tồn góc phương tiếp xúc f bảo toàn độ dài cung 1.2.4 Liên thông Levi-Civita 1.2.4.1.Định nghĩa (xem [3]) Liên thông tuyến tính  gọi liên thơng Levi-Civita  thoả mãn hai tiên đề sau: i T(X,Y) =  X Y  Y X   X , Y  = ii  Z g  1.2.4.2 Ví dụ M = Rn với   D;( X Y  DX Y , X , Y  B(M) ) Khi  liên thông Levi-civita 1.2.4.3.Định lý (xem [3]) Giả sử (M,g) đa tạp Riemann Khi tồn liên thông Levi-Civita  M - 10 1.2.5 Dịch chuyển song song đa tạp Riemann Giả sử (M,g) đa tạp Riemann n-chiều khả song với  liên thông LeviCivita M {U i }in1 trường mục tiêu trực chuẩn M i Đường cong   M cho tham số hoá  : J  M với t a  (t ) ii Một trường vectơ X dọc  việc đặt tương ứng t  J với vectơ tiếp xúc X (t )  T (t ) M Ta nói X khả vi X  (t )   khả vi theo t; với hàm  khả vi dọc  Ta ln có biểu diễn X(t)= X1(t).U1(t)+ +Xn(t).Un(t); t  J X khả vi dọc  Xi(t) khả vi ; với i=1,2,3, ,n 1.2.5.1.Đạo hàm trƣờng vectơ dọc cung tham số Định nghĩa Đạo hàm trường vectơ X dọc  trường vectơ dọc  , điểm t0 ta ký hiệu X dt t0 xác định sau: t0   X 'i (t ) t0 U i (t0 )   X i (t ) t0    '(t )U i  t0 ; t0  J n i 1 Ví dụ Cho M   X dt  '( t ) n , {Ei } trường mục tiêu tự nhiên n Khi Ei  t0   D '(t ) Ei  t0  0; i  1, 2,3, , n; t0  J  Từ đó, ta có: X dt  n  t0    X i '(t )   i 1  t0 Chẳng hạn  cho công thức:  ¡  1,1  với t a (2t  1, t 1, t ) X(t)= tE1+2t2E2+t3E3 Khi X dt t0 = (1, 4t, 3t2) =E1+ 4tE2 +3t2E3 ; t0   1,1 1.2.5.2 Chuyển dịch song song dọc cung Cho đa tạp M với liên thông tuyến tính  M;  cung cho tham số hoá  : J  M , t a  (t ) Trường vectơ X dọc  gọi trường - 23 Nếu  trực giao với  , coi    xét ánh xạ  u : J  TM  u   cos u     sin u   u (J khoảng mở chứa R)  u u ' u 0   ; coi  u  Wp xét ánh xạ f : 0,1  J  M t, u  exp p  t u   u  t  cơng thức biến phân thứ độ dài cho:   dL u du u 0 f  u u 0 , 0 ' 1  f u u 0 , Nhưng L      nên vế trái 0, u f u  u 0,t 0 0   ' dt , t   '  , 0   cung trắc địa t  0, nên ta có: f u  u 0,t 0  , 0 ' 1  T exp p    , T exp p   1.4.7 Lân cận chuẩn tắc Rõ ràng với điểm p đa tạp Riemann (M,g) ánh xạ expp: Wp  M khả vi nên tồn Vp  Wp để expp vi phôi từ Vp lên expp(Vp) 1.4.7.1.Định nghĩa Ta nói expp(Vp) lân cận chuẩn tắc p  M với điểm  p  M   : S ( )    Tp M     có U ( )  exp p (S ( )) lân cận chuẩn tắc p (nghĩa S ( )  Wp expp vi phôi từ S ( ) lên U ( ) 1.4.7.2 Mệnh đề a.Với p U ( ) có cung trắc địa M nối p với q có độ dài d(p,q) ( d(p,q)<  ) ảnh nằm U ( ) Mọi cung trắc địa M nối p,q có độ - 24 dài d(p,q) sau đổi tham số hố thích hợp phải trùng với cung trắc địa b Giả sử M liên thơng U ( ) hình cầu mở tâm p, bán kính  khơng gian mêtric (M,d) Chứng minh Thật vậy,  : 0,1  M cung M nối p     với q   1 U  gọi b cận thành phần liên thông chứa  1 U    b  1,  0,1  U  ,  b  1,   b  thuộc biên U   Gọi a số lớn b nhất,  a  b mà   a   p L       ' dt có dấu đẳng thức a b =  0, a   p Với s   a, b    s  U  \  p , lấy   s   B  \ 0 để exp p   s     s  Ta có:   s     s   s  ,  s  Tp M ,   s   1,  s     s  (   nhẵn  a, b  TpM  '  s    '  s   s     s  '  s  ,  '  s  ,  s   Xét hình chiếu vng góc   s   '  s  lên phương tiếp xúc cung trắc địa t    s   t  t = (trong T t  M ) theo bổ đề Gauss,  ' t     s    '  s  b Và  a b b a a  ' ds    ' ds    ' ds Bất đẳng thức thứ trở thành đẳng thức  '  , bất đẳng thức thứ hai trở thành đẳng thức  ' có dấu không đổi b Chú ý   ' ds    b độ dài cung trắc địa t   b  t  nối p với a q, có độ dài d(p,q) , sau đổi tham số hố thích hợp, phải trùng với cung trắc địa Rõ ràng d  p, q    với q U   , d  p, q    - 25 1.4.7.3 Hệ (xem[5]) Mọi cung M nối p với q có độ dài d(p,q) phải cung trắc địa Nó gọi cung trắc địa cực tiểu Cịn chứng minh điểm đa tạp Riemann (M,g) có lân cận U M cho với điểm p, q thuộc U có cung trắc địa cực tiểu nối p với q mà ảnh cung trắc địa nằm U (U gọi lân cận lồi trắc địa điểm cho) 1.4.8.Định lý Hopf-Rinow (xem[5]) Đối với đa tạp Riemann liên thơng (M,g), có tính chất sau tương đương đa tạp có tính chất gọi đa tạp Riemann đầy trắc địa: Với   TM , cung trắc địa tối đại  xác định toàn , tức W=TM 2.Có p  M để với   Tp M cung trắc địa tối đại  xác định toàn , tức Wp=TpM 3.(M,d) không gian mêtric đầy đủ (tức dãy Cauchy (M,d) hội tụ tức tập đóng, bị chặn (M,d) tập compact) Ngồi với điểm p,q đa tạp Riemann liên thơng đầy trắc địa, có cung trắc địa cực tiểu nối p với q (dễ thấy điều ngược lại không đúng) *Trường hợp đặc biệt: đa tạp Riman liên thông, compact đa tạp Riman đầy trắc địa - 26 - CHƢƠNG II ÁNH XẠ MŨ VÀ ĐƢỜNG TRẮC ĐỊA TRÊN NHĨM LIE §1 NHĨM LIE VÀ NHĨM CON MỘT THAM SỐ 2.1.1.Nhóm Lie 2.1.1.1 Định nghĩa Tập G gọi nhóm Lie thoả mãn điều kiện : 1) G nhóm 2) G đa tạp khả vi 3) Các phép toán nhân phép nghịch đảo G ánh xạ khả vi 2.1.1.2 Ví dụ 1) Tập hợp số thực khác với phép nhân số thực thơng thường nhóm Lie giao hốn 2) GL(n,R) Tập ma trận vng, thực khơng suy biến nhóm Lie với phép nhân ma trận 2.1.1.3 Mệnh đề Với a phần tử cố định nhóm Lie G, ánh xạ sau vi phôi: 1) 2) La : G  G ax; x  G x Ra : G  G x xa; x  G La Ra gọi phép dịch chuyển trái phép dịch chuyển phải Chứng minh Ta nhận thấy với a cố định G ánh xạ La ánh xạ khả vi La có ánh xạ ngược x a-1 x khả vi, La vi phơi Tương tự ta có R a vi phơi với a cố định G 2.1.2 Nhóm tham số 2.1.2.1 Định nghĩa Nhóm tham số phép biến đổi khả vi đa tạp M ánh xạ khả vi - 27  : R M  M (t , p)  (t , p)  t ( p) ( tập số thực) thoả mãn hai điều kiện sau: 1) Mỗi t  , t : M  M , p t ( p) phép biến đổi khả vi 2) t , s  ; p  M ;t s ( p)  t s ( p) 2.1.2.2 Định nghĩa I  khoảng mở tâm bán kính  , I   ,   U tập mở M Nhóm tham số địa phương phép biến đổi địa phương khả vi I U ánh xạ : t : I   U  M t, p  t  p  cho điều kiện sau thoả mãn: 1) t  I , t vi phôi từ U lên t U  2) t,s,t+s  I có: t  s  t s 2.1.2.3 Nhận xét 1) Nếu  nhóm tham số M thì: a)0  id M b)t  s   s t  t  s c )  t     t 1 2)Tập t t lập thành nhóm với phép tốn hợp thành 3) Nhóm tham số  M cảm sinh M trường vectơ X theo cách sau: p  M , x  t   t  p  Xp vectơ tiếp xúcvới đường cong x(t) x(0)= 0 ( p)  p Đường cong x(t) gọi quỹ đạo điểm p tác động nhóm tham số t 4) Nhóm tham số địa phương  : I U  M cảm sinh U trường vectơ X xác định tương tự nhận xét 3) - 28 5) Cho nhóm tham số địa phương  : I U  M với    *  U *  U  M  I U nhóm tham số địa phương 2.1.2.4 Mệnh đề (xem[8]) X trường vectơ khả vi đa tạp khả vi n chiều M Lúc p0  M , tồn lân cận U p , tồn   nhóm tham số địa phương  : I U  M mà  cảm sinh trường vectơ X U 2.1.2.5 Nhận xét Trên lân cận U trường vectơ có nhóm tham số sinh nghĩa là: Nếu có nhóm biến đổi địa phương t  t  xác định I U cảm sinh trường vectơ X    t  t 2.1.2.6 Định nghĩa Trường vectơ đa tạp M gọi trường vectơ đầy đủ có nhóm tham số  :  M  M sinh 2.1.2.7 Mệnh đề (xem[8]) Trường vectơ khả vi đa tạp M bất biến tác động phép biến đổi F (nghĩa F X  X ) F giao hốn với nhóm tham số địa phương sinh X F X  X  F t  t F nghĩa t nhóm tham số địa phương sinh X Ý nghĩa mệnh đề chỗ cho trường vectơ khả vi tương đương với việc cho nhóm tham số địa phương §2 TRƢỜNG VECTƠ BẤT BIẾN TRÁI 2.2.1 Định nghĩa Trường vectơ khả vi X nhóm Lie G gọi trường vectơ bất biến trái a  G;  La  X  X ,  La  p X p    La  X  p  X q ; q  La ( p)  ap Ký hiệu G tập trường vectơ bất biến trái Nhận xét nghĩa - 29 1) Trường vectơ bất biến trái hoàn toàn xác định điểm , đặc biệt xác định đơn vị e nhóm Lie 2) Tương tự ta định nghĩa trường vectơ bất biến phải nhóm Lie 2.2.2.Mệnh đề Mỗi trường vectơ bất biến trái nhóm Lie trường vectơ đầy đủ Chứng minh Giả sử A trường vectơ bất biến trái nhóm Lie G, A sinh nhóm tham số địa phương  : I U  G; U lân cận e , xác định ánh xạ: t : I  G  G cách đặt t  t , a   La   e   , a  G t  a   La t  e    a.t  e   Rt  e  a  Do Rt  e vi phôi  t  a  vi phôi t  s  a   La t s  e    a.t  s  e   a.t  s  e   a  t  s  e   t s  a    t  as  e    a s  e  t  e   a s  e  t  e    a Ls  e t  e  a t  s  e    e   a.t  s  e  Từ ta suy t s  a   t s  a  Trên U:    a U ;  t , a   Lat   e  - 30  t La  e   t  ae   t  a    t, a   : G  G t  , n  ,   n Đặt t   t  t  t n n n Trường vectơ A sinh t  A đầy đủ 2.2.3.Mệnh đề (xem[4]) Đối với nhóm Lie Tích Lie hai trường vectơ bất biến trái trường vectơ bất biến trái, nghĩa là:  La  A  A;  La  B  B   La   A, B    A, B  Chứng minh Vì La : G  G; x ax vi phôi nên  La   X , Y    La  X ,  La  Y    X , Y  Do  X , Y  trường vectơ bất biến trái 2.2.4 Định lý a.Tập G trường vectơ bất biến trái nhóm Lie G đại số Lie đại số Lie X(G) trường vectơ khả vi G G trở thành đại số Lie gọi đại số Lie nhóm Lie G b G không gian vectơ G đẳng cấu với không gian vectơ tiếp xúc TeG G e dimG= dimTeG Chứng minh: a X , Y  G  La   X  Y    La  X   La  Y  X  Y X  G,     La   X     La  X   X X , Y  G   X , Y   G (theo mệnh đề 2.3) b f : G  TeG - 31 Xe X )  X  Y e  X e  Ye  X  e   X e  f tuyến tính X , Y  G, X  Y  p để X p  Yp   X  X bất biến trái Xe  Lp t p    X  Y bất biến trái Ye  Lp t  L  đồng cấu tuyến tính: X p t  p  p  Yp  Xe  Ye  f đơn ánh )  TeG, X G để Xe   Đặt X p   Lp   lúc X bất biến trái e  Xe   Le e     f toàn ánh, f song ánh, f vi phôi  G  TeG  dimG= dimTeG = dim G § ÁNH XẠ MŨ VÀ CÁC ĐƢỜNG TRẮC ĐỊA TRÊN NHĨM LIE 2.3.1 Ánh xạ mũ nhóm Lie 2.3.1.1 Nhận xét 1) Cho nhóm Lie G có đơn vị e Giả sử A trường vectơ bất biến trái G t nhóm tham số sinh A Ký hiệu t (a)  at Lúc : a0  0 (e)  e , at  s  at as 0  id t nhóm tham số at  s  t  s (e)  t (s (e))  t ( as )  t ( as (e))  (t Las )( e)  Las (t ( e))  as.at at  s  as t  at as  as at Tập at tR lập thành nhóm gọi nhóm tham số nhóm Lie G sinh A  at  1 1  t  e   t  1  e   t  e   at at t Tóm lại trường vectơ bất biến trái cho ta nhóm tham số 2)  La t  e Ae  Aat với A trường vectơ bất biến trái sinh at t - 32 3) Từ nhận xét 2) Ae trường vectơ tiếp xúc với đường cong   at  t  e  điểm e nên theo định nghĩa vi phân ánh xạ Lat tiếp xúc với đường cong Lat t  e   Lat  at   at at  a2t e Ae vectơ điểm Lat  e   at  e   at Như Aat vectơ tiếp xúc với đường cong a2t điểm at , Aat  ( Lat )e Ae 2.3.1.2 Định nghĩa G nhóm Lie, G đại số Lie nhóm Lie G, A G trường vectơ bất biến trái, at  t  e  nhóm tham số G sinh A Ánh xạ : exp: G  G A exp  A  a1  1  e  gọi ánh xạ mũ nhóm Lie G 2.3.1.3 Mệnh đề Với ký hiệu định nghĩa ta có hệ thức exp(tX)= at với t  , X G Chứng minh Trước hết ta chứng minh : Nếu X trường vectơ sinh nhóm tham số  : R  M  M với   R , trường vectơ  X sinh nhóm tham số  cho công thức   t , p     t , p   Thật vậy, X sinh Xp vectơ tiếp xúc với đường cong   t     t , p   t  p  p  0  p  , với f hàm khả vi f  F(M); Xp  f   df   t , p   dt t 0 Gọi Y trường vectơ sinh  Yp  f   d  f  t, p  dt t 0  d  f   t , p   dt t 0  df  t , p   dt t 0 Xp  f  Vậy Yp  f    X p  f   Yp   X p  Y   X   X sinh  Áp dụng cho mệnh đề: Giả sử trường vectơ A sinh nhóm tham số t (các phép biến đổi khả vi G) Lúc tA sinh nhóm tham số   - 33 -    t Lúc định theo nghĩa ánh xạ mũ exp  tA    e   t  e   t  e   at 2.3.1.4.Mệnh đề.(xem[7]) Nếu G nhóm Lie ma trận ánh xạ mũ trùng với ma trận số mũ cho khai triển chuỗi sau:  exp  X    k 0 Xk 1  I  X  X  X  I ma trận đơn vị k! 2.3.1.5 Ví dụ Đường tròn đơn vị tâm mặt phẳng phức nhóm Lie Khơng gian tiếp xúc điểm p(1;0) nhận biết đường ảo mặt phẳng phức it : t  lấy it  Ánh xạ mũ nhóm Lie xác định exp  it   eit  cos t  isin t Vậy công thức ánh xạ mũ giống hàm số mũ thơng thường 2.3.1.5.Các tính chất ánh xạ mũ nhóm Lie X  G , ánh xạ  t  exp  tX  nhóm mơt tham số G có vectơ tiếp xúc đơn vị X ta có: a exp(t+s)X = (exptX).exp(sX) b exp(-X) = (expX)-1 Chứng minh a X  G, exp  t+s  X   t  s   t  s  exp  tX  exp sX  b exp  -X    1      exp  X   1 1 2.3.2 Đƣờng trắc địa nhóm Lie 2.3.2.1 Bổ đề Nếu với trường vectơ khả vi thoả mãn điều kiện  X X  đường cong tích phân X đường trắc địa Chứng minh Giả sử c đường cong tích phân trường vectơ X c’ = X.c, mặt khác - 34 c’ = c*D, X D c- liên hệ    X X  c   D X c   D c  K ( X  X ).c  KX   c D   K  X c  D   D X c   Dc  (với K ánh xạ liên thơng) Do c đường trắc địa 2.3.2.2 Mệnh đề Cho G nhóm Lie với liên thơng tuyến tính  với song song hố bất biến trái Lúc đường trắc địa đường cong tích phân trường vectơ bất biến trái Nếu  đường cong tích phân qua e X nhóm tham số G Chứng minh Với X1, X2 , ,Xn sở tập trường vectơ bất biến trái G  X X i    X i X i  theo Bổ đề 3.2.1 đường cong tích phân X đường trắc địa Hơn ta lại có c đường cong tích phân trường vectơ bất biến trái X cho miền xác định c J chứa 0, c(0) = e lúc với t,t1,t+t1  J  c  t1  t   c  t1  c  t  Quả cung t c  t1  t  cung t c  t1  c  t  đường cong tích phân X trùng t = nên hai đường cong trùng khắp nơi, nghĩa c  t1  t   c  t1  c  t  Xét c đường cong tích phân thoả mãn c    e , lúc J = , ảnh c nhóm Lie chiều G nhóm tham số G 2.3.2.3 Hệ Trên nhóm Lie G đường trắc địa qua đơn vị nhóm tham số G 2.3.2.4 Mệnh đề Ánh xạ mũ nhóm Lie trường hợp đặc biệt ánh xạ mũ đa tạp Riemann với mêtric mêtric bất biến trái Chứng minh Rõ ràng nhó Lie G với mêtric bất biến trái đa tạp Riemann Giả sử A G, theo định nghĩa ta có exp  A   a1  1  e  nhóm - 35 tham số sinh A Ta đồng G = TeG xác định Ae Ta phải chứng tỏ t  e  đường trắc địa   t  tức đường trắc địa thoả mãn  A  0  e,  ' A    Ae Quả theo định nghĩa nhóm tham số e e 0  e   e, t  e   Ae Điều chứng tỏ ánh xạ mũ nhóm Lie trường hợp đặc biệt ánh xạ mũ đa tạp Riemann - 36 KẾT LUẬN Trong luận văn làm kết sau: +)Trình bày số khái niệm vectơ tiếp xúc, khơng gian tiếp xúc, đường cong tích phân đa tạp +) Trình bày số khái niệm tính chất liên thơng Lêvi Civita đa tạp Riemann, độ dài cung mêtric nội tại, phép chuyển dịch song song, đường trắc địa ánh xạ mũ đa tạp Riemann +)Trình bày khái niệm chứng minh chi tiết số tính chất liên quan đến ánh xạ mũ cung trắc địa đa tạp Riemann (Mệnh đề 1.3.1.3; 1.4.3) +)Trình bày số khái niệm nhóm Lie, đại số Lie, nhóm tham số, trường vectơ bất biến trái, ánh xạ mũ nhóm Lie, đường trắc địa nhóm Lie tính chất chúng +)Trình bày chứng minh số tính chất liên quan đến đường trắc địa ánh xạ mũ nhóm Lie (Mệnh đề 2.3.2.2 ; 2.3.2.4) Hướng phát triển tiếp luận văn là: nghiên cứu sâu tính chất ánh xạ mũ đường trắc địa đa tạp - 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Trần Việt Dũng(1997), Lý thuyết Đại số Lie nhóm Lie, ĐH Vinh [2] Nguyễn Hữu Quang(2007), Bài giảng Đa tạp khả vi, ĐH Vinh [3] Nguyễn Hữu Quang(2005), Mở đầu Hình học Riman, ĐH Vinh [4] Nguyễn Hữu Quang(2005), Bài giảng Đại số Lie nhóm Lie, ĐH Vinh [5] Đồn Quỳnh(2003), Hình học vi phân, NXB Đại học sư phạm Tiếng Anh [6] B O’Neill(1983), Semi-Riemanian Geometry, Academic Press, New York [7] http://en.wikipedia.org/wiki/Exponential_map [8] J Milnor(1986), Morse theory, Princeton University Press, Los Angeles [9] S.Kobayashi, K.Nomizu(1963), Foundations of Differential Geometry, New York – London – Vol ... khái niệm ánh xạ mũ đường trắc địa nhóm Lie, nêu mối quan hệ ánh xạ mũ đường trắc địa với nhóm tham số, nêu tính chất ánh xạ mũ đường trắc địa -4nhóm Lie, chúng tơi chứng minh ánh xạ mũ nhóm Lie... ChƣơngI: Ánh xạ mũ đƣờng trắc địa đa tạp Riemann §1 Đa tạp khả vi …………………………………………………………… §2 Đa tạp Riemann………………………………………………………… §3 Cung trắc địa đa tạp Riemann……………………………………… 11 §4 Ánh xạ mũ đa tạp. .. bày gồm hai chương: Chương I: Ánh xạ mũ đường trắc địa đa tạp Riemann Chương II: Ánh xạ mũ đường trắc địa nhóm Lie Nội dung chương I nêu khái niệm đa tạp khả vi, đa tạp Riemann, khái niệm vectơ