Về các ánh xạ và ab tập suy rộng

MỤC LỤC Trang MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU Chương Tập b-mở không gian tôpô 1.1 Kiến thức chuẩn bị 1.2 Tập b-mở không gian tôpô 1.3 Một số không gian tôpô Chương Về ánh xạ Λb -tập suy rộng 11 2.1 Λb -tập suy rộng ánh xạ b-liên tục, b-không giải 11 2.2 Ánh xạ g.Λb -liên tục ánh xạ g.Λb -không giải 21 2.3 Ánh xạ g.Vb -đóng 25 2.4 Tôpô liên kết T Vb -không gian 28 KẾT LUẬN 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO 37 LỜI NĨI ĐẦU Có thể nói việc tìm hiểu nghiên cứu lý thuyết tôpô gắn liền với việc nghiên cứu tập mở Chính việc nghiên cứu mở rộng khái niệm tập mở mà ta gọi chung tập mở suy rộng có ý nghĩa làm cho lý thuyết tôpô ngày phong phú mà cịn có thêm nhiều ứng dụng rộng rãi sâu sắc Việc nghiên cứu mở rộng khái niệm tập mở nhiều nhà toán học quan tâm Các khái niệm tập α-mở, tập nửa-mở, tập tiền mở, tập nửa-tiền mở xuất từ năm 60 kỷ XX Các khái niệm gắn liền với tên tuổi nhà toán học O Njastad, N Levine, A S Mashhour, M E Abd El-Monsef D Andrijevic Tiếp mở rộng nói trên, khái niệm tập b-mở nghiên cứu giới thiệu D Andrijevic (1996) Khái niệm tập b-mở sở để khái niệm bD-tập, Λb -tập, Vb -tập; g.Λb -tập g.Vb -tập, xuất Mà tiêu biểu cơng trình nhà tốn học M E Abd El-Monsef, A A El-Atik M M El-Sharkasy (2005), N Rajesh (2008), A Keskin T Noiri (2009) Trên sở tài liệu tham khảo, muốn tìm hiểu kỹ khái niệm Λb -tập suy rộng (ký hiệu g.Λb -tập) Vb -tập suy rộng (ký hiệu g.Vb -tập) đồng thời hệ thống lại tính chất chúng Song song với nghiên cứu có hệ thống khái niệm, tính chất lớp ánh xạ ánh xạ b-liên tục, b-không giải được, ánh xạ g.Λb -liên tục, g.Λb -khơng giải ánh xạ g.Vb -đóng Các ánh xạ tiền b-đóng, tiền b-mở phép b-đồng phôi đối tượng muốn nghiên cứu Một mục đích khác tìm hiểu thêm tơpơ sinh tập nói không gian tôpô quan trọng khác Với mục tiêu đó, chúng tơi nghiên cứu luận văn với đề tài "Các ánh xạ Λb -tập suy rộng" Luận văn chia làm hai chương Chương dành cho việc trình bày khái niệm tập b-mở không gian tôpô Phần đầu chương dành để hệ thống lại số kiến thức không gian tôpô Trọng tâm chương nằm mục 1.2 1.3 Trong mục 1.2 trình bày khái niệm ví dụ tập b-mở, bD-tập Mục 1.3 dành cho việc giới thiệu số không gian tôpô xây dựng khái niệm trình bày mục 1.2 Ở thấy nhiều tính chất tương tự biết Tôpô đại cương Chương nội dung luận văn Chương chia làm mục Trong mục 2.1 dành cho việc giới thiệu ánh xạ b-liên tục, b-không giải Trọng tâm mục khái niệm Λb -tập suy rộng Vb -tập suy rộng Trong mục này, thấy điều kiện cần đủ để không gian tôpô b-T1 -không gian Mục 2.2 sở khái niệm Λb -tập suy rộng (tương ứng Vb -tập suy rộng) định nghĩa mục 2.1 giới thiệu ánh xạ g.Λb -liên tục (tương ứng g.Λb -không giải được) ánh xạ g.Vb -đóng Các ánh xạ tiền b-đóng, tiền b-mở trình bày Các kết sâu sắc mục tính bảo tồn ánh xạ nói trên, tính chất tích ánh xạ Khái niệm b-T -không gian với tính bảo tồn qua phép b-đồng phơi cho thấy ý nghĩa sâu sắc khái niệm định nghĩa Về khái niệm tính chất ánh xạ g.Vb -đóng trình bày mục 2.3 Đáng lưu ý điều kiện cần đủ để ánh xạ hai không gian tôpô ánh xạ g.Vb -đóng Tích ánh xạ đóng với ánh xạ g.Vb -đóng lại ánh xạ g.Vb -đóng Trong mục 2.4 chúng tơi giới thiệu tốn tử đóng Kuratowski C Λb , tơpơ sinh tốn tử Kuratowski τ Λb Tiếp chúng tơi trình bày khái niệm T Vb -không gian, điều kiện cần đủ để không gian tôpô trở thành T Vb -khơng gian, tính di truyền khơng gian qua phép g.Λb -đồng phơi Luận văn hồn thành trường Đại học Vinh hướng dẫn TS Lê Xuân Sơn Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới Thầy Người đặt toán, định hướng nghiên cứu động viên khích lệ tác giả suốt trình thực luận văn Trong thời gian viết chỉnh sửa luận văn, tác giả nhận dẫn giúp đỡ nhiệt tình PGS.TS Đinh Huy Hoàng, PGS.TS Trần Văn Ân, PGS.TS Tạ Khắc Cư, PGS.TS Phạm Ngọc Bội, TS Vũ Hồng Thanh Tác giả xin chân thành cảm ơn giúp đỡ quý báu Cuối xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa Toán trường Đại học Vinh, Ban giám hiệu đồng nghiệp tổ Toán trường THPT Diễn Châu tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ học viên Vinh, tháng 12 năm 2009 Tác giả CHƯƠNG TẬP b-MỞ TRONG KHÔNG GIAN TÔPÔ 1.1 KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1.1 Định nghĩa Cho tập X = ∅, họ τ tập X gọi tôpô X thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: (i) ∅, X ∈ τ ; (ii) Nếu G1 ∈ τ, G2 ∈ τ G1 ∩ G2 ∈ τ ; (iii) Nếu Gα ∈ τ, α ∈ Λ Gα ∈ τ α∈Λ Tập X với tơpơ τ gọi khơng gian tơpơ (X, τ ) hay đơn giản không gian tôpô X 1.1.2 Định nghĩa Cho không gian tôpô (X, τ ) Mỗi tập hợp thuộc τ gọi tập mở Tập E ⊂ X gọi tập đóng E c = X\E tập mở Tập E gọi lân cận x tồn tập mở V cho x ∈ V ⊂ U 1.1.3 Định nghĩa Cho không gian tôpô (X, τ ) E ⊂ X Bao đóng E , ký hiệu Cl(E), giao tất tập đóng chứa E Phần E , ký hiệu Int(E) tập tất điểm E Nhắc lại, E ⊂ X , điểm x ∈ X gọi điểm E E lân cận x 1.1.4 Mệnh đề Cho X không gian tôpô E ⊂ X Ta có tính chất sau: (i) E ⊂ Cl(E); (ii) E ⊂ F ⇒ Cl(E) ⊂ Cl(F ); (iii) Cl Cl(E) = Cl(E); (iv) Cl(E ∪ F ) = Cl(E) ∪ Cl(F ); (v) E -đóng E = Cl(E); (vi) Cl(E) tập đóng nhỏ chứa E 1.1.5 Mệnh đề Cho X không gian tôpô E ⊂ X Ta có tính chất sau: (i) Int(E) ⊂ E ; (ii) Int(E) hợp tất tập mở nằm E; (iii) Int(E) tập mở lớn nằm E; (iv) E mở E = Int(E); (v) Nếu E ⊂ F Int(E) ⊂ Int(F ); (vi) Int Int(E) = Int(E); (vii) Int(A ∩ B) = Int(A) ∩ Int(B) 1.1.6 Định nghĩa Cho không gian tôpô (X, τ ) (Y, σ) Ánh xạ f : X → Y gọi liên tục với V ∈ σ f −1 (V ) ∈ τ 1.1.7 Định nghĩa Cho không gian tôpô (X, τ ) (Y, σ) Ánh xạ f : X → Y gọi phép đồng phôi f song ánh đồng thời f f −1 liên tục 1.1.8 Định nghĩa Cho không gian tôpô (X, τ ) (Y, σ) Ánh xạ f : X → Y gọi ánh xạ mở với A mở (X, τ ) f (A) mở (Y, σ) Ánh xạ f gọi đóng với A đóng (X, τ ) f (A) đóng (Y, σ) 1.1.9 Mệnh đề Cho X, Y không gian tôpô ánh xạ f : X → Y song ánh liên tục Khi khẳng định sau tương đương: (i) f đồng phôi; (ii) f mở; (iii) f đóng 1.1.10 Định nghĩa Khơng gian tơpơ (X, τ ) gọi T0 -không gian với x, y ∈ X, x = y tồn lân cận U x cho y ∈ / U lân cận V y cho x ∈ / V 1.1.11 Định nghĩa Không gian tôpô (X, τ ) gọi T1 -không gian với x, y ∈ X, x = y tồn lân cận U x V y cho y∈ / U, x ∈ / V 1.1.12 Định nghĩa Không gian tôpô (X, τ ) gọi T2 -không gian (hay không gian Hausdorff) với x, y ∈ X, x = y tồn lân cận U x, V y cho U ∩ V = ∅ 1.1.13 Mệnh đề Cho khơng gian tơpơ (X, τ ) Ta có tính chất sau: (i) (X, τ ) T1 -khơng gian {x} tập đóng X với ∀x ∈ X ; (ii) Mỗi không gian T2 -không gian T2 -không gian; (iii) Mỗi T2 -không gian T1 -không gian; T1 -không gian T0 -không gian 1.2 TẬP b-MỞ TRÊN KHƠNG GIAN TƠPƠ 1.2.1 Định nghĩa Cho X khơng gian tôpô A ⊂ X Tập A gọi tập b-mở A ⊂ Cl Int(A) ∪ Int Cl(A) Nếu A tập b-mở phần bù A (ký hiệu Ac ) gọi tập b-đóng 1.2.2 Định nghĩa Giao tất tập b-đóng chứa A gọi b-bao đóng A, ký hiệu bCl(A) hay Clb (A) Hợp tất tập b-mở bị chứa A gọi b-phần A, ký hiệu bInt(A) hay Intb (A) 1.2.3 Định nghĩa Họ tất tập b-mở không gian tôpô (X, τ ) ký hiệu BO(X, τ ) Họ tất tập b-đóng khơng gian tôpô (X, τ ) ký hiệu BC(X, τ ) Họ tất tập b-mở chứa x ∈ X ký hiệu BO(X, x) 1.2.4 Ví dụ a)Mỗi tập mở không gian tôpô tập b-mở khơng gian b) Cho X = {a, b, c} τ = ∅, X, {a} Khi đó: BO(X, τ ) = ∅, X, {a}, {a, b}, {a, c} , BC(X, τ ) = ∅, X, {b}, {c}, {b, c} c) Cho X = {a, b, c, d} τ = X, ∅, {c}, {d}, {c, d}, {a, c, d}, {b, c, d} Khi đó: BO(X, τ ) = ∅, X, {b, c, d}, {a, c, d}, {a, b, d}, {a, b, c}, {c, d}, {b, c}, {b, d}, {a, b}, {a, c}, {d}, {c} 1.2.5 Mệnh đề ([3]) (i) Hợp họ tùy ý tập b-mở tập b-mở; (ii) Giao tập mở với tập b-mở tập b-mở Chứng minh (i) Giả sử {Ai }i∈I tập b-mở Ta Ai tập i∈I b-mở Thật vậy, với i : Ai ⊂ Cl Int(Ai ) ∪ Int Cl(Ai ) , nên Ai ⊂ i∈I Cl Ai ) ∪ Int(Cl(Ai ) i∈I ⊂ Cl Int Ai ∪ Int Cl i∈I Nghĩa Ai i∈I Ai tập b-mở i∈I (ii) Giả sử U tập mở, V tập b-mở Ta U ∩ V tập b-mở Xuất phát từ giả thiết U = Int(U ), V ⊂ Cl Int(V ) ∪ Int Cl(V ) Suy U ∩ V ⊂ Int(U ) ∩ Cl(Int(V ) ∪ Int Cl(V ) ⊂ Int(U ) ∩ Int Cl(V ) ∪ Int(U ) ∩ Cl(Int(V ) ⊂ Int Cl(U ) ∩ Int Cl(V ) ∪ Cl Int(U ) ∩ Cl Int(V ) ⊂ Int Cl(U ∩ V ) ∪ Cl Int(U ∩ V ) Suy U ∩ V b-mở Khái niệm tập b-mở dùng để định nghĩa khái niệm tập sau mà có vai trị quan trọng việc trình bày định nghĩa khái niệm bDi -không gian (i = 0, 1, 2) sau 1.2.6 Định nghĩa Tập A không gian tôpô (X, τ ) gọi là: (i) D-tập tồn U, V ∈ τ, U = X cho A = U \V (ii) bD-tập tồn U, V ∈ BO(X, τ ), U = X cho A = U \V 1.2.7 Nhận xét (i) Mỗi tập b-mở U = X bD-tập A = U, V = ∅ (ii) Mỗi tập b-mở bD-tập Ngược lại không 1.2.8 Ví dụ Cho X = {a, b, c, d}, τ = {∅, {a}, {a, d}, {a, b, d}, {a, c, d}} Khi , {b} bD-tập khơng phải b-mở Thật vậy, ta có: BO(X, τ ) = {∅, X, {a}, {a, d}, {a, b, d}, {a, c, d}, {a, b}, {a, c}, {a, b, c}} Khi U = {a, b} = X, V = {a, c} tập b-mở Lấy S = U \V = {a, b}\{a, c} = {b} Khi S bD-tập mà tập b-mở Như ta có kết luận: Mở ⇒ b-mở ⇒ bD-tập, Mở ⇒ D-tập ⇒ bD-tập, 1.3 MỘT SỐ KHÔNG GIAN TƠPƠ Trong mục ta trình bày khái niệm b-R0 -không gian, b-Ti không gian (i = 0, 1, 2), b-Di -không gian (i = 0, 1, 2) mối quan hệ không gian 1.3.1 Định nghĩa Không gian tôpô (X, τ ) gọi b-R0 -không gian tập b-mở chứa b-bao đóng tập điểm 1.3.2 Định nghĩa Không gian tôpô (X, τ ) gọi b-T1 -không gian cặp điểm x, y ∈ X, x = y có tập b-mở U chứa x mà không chứa y , tập b-mở V chứa y mà không chứa x 1.3.3 Định nghĩa Không gian tôpô (X, τ ) gọi b-T0 -không gian cặp điểm phân biệt x, y X tồn tập b-mở X chứa x mà không chứa y tồn tập b-mở chứa y không chứa x 1.3.4 Định nghĩa Không gian tôpô (X, τ ) gọi b-T2 -không gian với cặp điểm x, y phân biệt X tồn U ∈ BO(X, x) V ∈ BO(X, y) cho U ∩ V = ∅ 1.3.5 Định nghĩa Không gian tôpô (X, τ ) gọi b-D0 -không gian với cặp điểm phân biệt x, y ∈ X tồn bD-tập X chứa x không chứa y chứa y không chứa x 1.3.6 Định nghĩa Không gian tôpô (X, τ ) gọi b-D1 -không gian với cặp điểm phân biệt x, y ∈ X tồn bD-tập chứa x không chứa y bD-tập chứa y không chứa x 1.3.7 Định nghĩa Không gian tôpô (X, τ ) gọi b-D2 -không gian với cặp điểm phân biệt x, y ∈ X tồn cặp bD-tập phân biệt U, V ⊂ X cho x ∈ U, y ∈ V 1.3.8 Mệnh đề ([5]) Cho (X, τ ) không gian tôpô, i = 0, 1, Khi có tính chất: (a) Nếu (X, τ ) b-Ti -khơng gian (X, τ ) b-Di -không gian; (b) Nếu (X, τ ) b-Di -khơng gian b-Di−1 -khơng gian, i = 0; (c) Nếu (X, τ ) b-Ti -không gian b-Ti−1 -khơng gian, i = 0; (d) (X, τ ) b-D0 -không gian (X, τ ) b-T0 -không gian Chứng minh (a) Ta chứng minh cho trường hợp i = 0, trường hợp khác tương tự Giả sử (X, τ ) b-T0 -khơng gian, với cặp điểm phân biệt x, y ∈ X , tồn tập b-mở U X mà x ∈ U, y ∈ U tập b-mở V X mà y ∈ V, x ∈ / V Do U (hoặc V ) b-mở X nên U (hoặc V ) bD-tập X Suy với cặp điểm x, y nói trên, tồn bD-tập X U mà x ∈ U, y ∈ /U tồn bD-tập V X mà x ∈ / V, y ∈ V Vậy (X, τ ) b-D0 -không gian 10 2.2.7 Định nghĩa (i) Ánh xạ f : (X, τ )→(Y, σ) gọi tiền-b-đóng f (A) ∈ BC(Y, σ) với A ∈ BC(X, τ ) (ii) Ánh xạ f : (X, τ )→(Y, σ) gọi tiền-b-mở f (A) ∈ BO(Y, σ) với A ∈ BO(X, τ ) (iii) Một song ánh f : (X, τ )→(Y, σ) tiền-b-mở f tiền-b-đóng 2.2.8 Định lý ([8]) Nếu ánh xạ f : (X, τ )→(Y, σ) song ánh b-không giải tiền-b-đóng thì: (i) Với g.Λb -tập B (Y, σ), f −1 (B) g.Λb -tập (X, τ ); (ii) Với g.Λb -tập A (X, τ ), f (A) g.Λb -tập (Y, σ) Chứng minh (i) Lấy B g.Λb -tập (Y, σ) Giả sử f −1 (B) ⊆ F , với F b-đóng (X, τ ) Khi B ⊆ f (F ) f (F ) b-đóng, f tiền-b-đóng Từ B g.Λb -tập, B Λb ⊆ f (F ) f −1 (B Λb ) ⊆ F Mặt khác, (f −1 (B))Λb ⊆ f −1 (B Λb ) ⊆ F Do f −1 (B) g.Λb -tập (X, τ ) (ii) Lấy A g.Λb -tập (X, τ ) Lấy f (A) ⊆ F với F b-đóng (Y, σ) Khi A ⊆ f −1 (F ) f −1 (F ) b-đóng f g.Λb -khơng giải Từ f tiền-b-mở (vì theo giả thiết f song ánh) nên (f (A))Λb ⊆ f (AΛb ) ⊆ F Do f (A) g.Λb -tập (Y, σ) 2.2.9 Hệ ([8]) Nếu f : (X, τ )→(Y, σ) song ánh, b-khơng giải tiền-b-đóng thì: (i) Với g.Vb -tập B (Y, σ), f −1 (B) g.Vb -tập (X, τ ); (ii) Với g.Vb -tập A (X, τ ), f (A) g.Vb -tập (Y, σ) Chứng minh Ta cần chứng minh (i), (ii) chứng minh tương tự Giả sử B g.Vb -tập (Y, σ), B c g.Λb -tập (Y, σ) Theo Định lý 2.2.8 ta có f −1 (B c ) g.Λb -tập (X, τ ) Mặt khác ta lại có f −1 (B c ) = (f −1 (B))c Do (f −1 (B))c g.Λb -tập (X, τ ) hay f −1 (B) g.Vb -tập (X, τ ) 23 2.2.10 Định nghĩa Không gian tôpô (X, τ ) gọi b-T -không gian g.Λb -tập (X, τ ) Vb -tập Kết sau nói lên tính bảo tồn b-T -không gian qua ánh xạ b-không giải thỏa mãn điều kiện Định nghĩa 2.2.7 2.2.11 Mệnh đề ([8]) Cho ánh xạ f : (X, τ )→(Y, σ) song ánh b-khơng giải tiền-b-đóng không gian tôpô Nếu (X, τ ) b-T khơng gian (Y, σ) b-T -không gian Chứng minh Theo Định nghĩa 2.2.10, ta cần chứng minh g.Λb tập (Y, σ) Vb -tập Bây lấy B g.Vb -tập (Y, σ) Theo Hệ 2.2.9 f −1 (B) := H g.Vb -tập (X, τ ) Nhưng (X, τ ) T -không gian nên H Vb -tập Thế theo Định nghĩa 2.1.9 ta suy H = H Vb Do f (H) = f (H Vb ) ⊆ f (H) Vb Suy B ⊆ B Vb Lại theo Bổ đề 2.1.12 (g) ta có B Vb ⊆ B Vậy B = B Vb hay B Vb -tập (Y, σ) 2.2.12 Định nghĩa Ánh xạ f : (X, τ )→(Y, σ) gọi g.Λb -mở f (A) g.Λb -tập (Y, σ) với A g.Λb -tập (X, τ ) 2.2.13 Định nghĩa (i) Ánh xạ f : (X, τ )→(Y, σ) gọi b-đồng phôi f song ánh đồng thời f b-khơng giải tiền-b-đóng (ii) Ánh xạ f : (X, τ )→(Y, σ) gọi g.Λb -đồng phôi f song ánh đồng thời f g.Λb -không giải g.Λb -mở 2.2.14 Bổ đề ([8]) Ảnh b-T -không gian qua b-đồng phôi b-T -không gian Chứng minh Suy từ Định nghĩa 2.2.12, Hệ 2.2.9 Mệnh đề 2.2.11 Bổ đề sau kết hiển nhiên suy từ định nghĩa 2.2.15 Bổ đề ([8]) Mỗi b-đồng phôi g.Λb -đồng phôi 24 2.2.16 Nhận xét Nếu f : (X, τ )→(Y, σ) phép đồng phơi f b-đồng phôi, nữa, ta thấy phép đồng phôi g.Λb -đồng phôi Điều kiện đảo nói chung khơng Thật vậy, ta xét không gian tôpô sau: Lấy X = Y = {a, b, c} T = ∅, {a}, {a, b}, {a, c}, X ; σ = ∅, {a}, {a, b}, Y Khi ánh xạ đồng f : (X, τ )→(Y, σ) g.Λb -đồng phôi đồng phôi Do f −1 : (Y, σ)→(X, τ ) khơng liên tục Vì với A = {a, c} ∈ τ (f −1 )−1 (A) = f ({a, c}) = {a, c} ∈ / σ 2.2.17 Mệnh đề ([8]) (i) Nếu ánh xạ f : (X, τ )→(Y, σ) g.Λb -không giải được, ánh xạ h : (Y, σ)→(Z, ν) g.Λb -liên tục tích h ◦ f : (X, τ )→(Z, ν) g.Λb -liên tục (ii) Nếu f : (X, τ )→(Y, σ) h : (Y, σ)→(Z, ν) g.Λb -khơng giải tích h ◦ f : (X, τ )→(Z, ν) g.Λb -không giải Chứng minh (i) Gọi A tập mở (Z, ν), h : (Y, σ)→(Z, ν) g.Λb -liên tục nên h−1 (A) g.Λb -tập (Y, σ) Đặt F = h◦f : (X, τ )→(Z, ν), ta có F −1 (A) = (h◦f )−1 (A) = f −1 h−1 (A) Lại theo giả thiết, f g.Λb -không giải nên f −1 h−1 (A) g.Λb -tập (X, τ ) h−1 (A) g.Λb -tập (Y, σ) Từ ta có điều phải chứng minh (ii) Gọi A g.Λb -tập (Z, ν), h : (Y, σ)→(Z, ν) g.Λb -không giải nên h−1 (A) g.Λb -tập (Y, σ) Đặt F = h◦f : (X, τ )→(Z, ν), ta có F −1 (A) = (h◦f )−1 (A) = f −1 h−1 (A) Do h−1 (A) g.Λb -tập (Y, σ) f g.Λb -không giải nên f −1 h−1 (A) g.Λb -tập (X, τ ) h−1 (A) g.Λb -tập (Y, σ) Suy F −1 (A) = (h ◦ f )−1 (A) g.Λb -tập (X, τ ), tức h ◦ f g.Λb -không giải từ (X, τ ) vào (Z, ν) Từ ta có điều phải chứng minh 25 2.3 ÁNH XẠ g.Vb -ĐĨNG Mục dành cho việc trình bày khái niệm ánh xạ g.Vb -đóng hai khơng gian tơpơ số tính chất quan trọng ánh xạ 2.3.1 Định nghĩa Ánh xạ f : (X, τ )→(Y, σ) gọi ánh xạ b-đóng với tập đóng F (X, τ ) f (F ) tập b-đóng (Y, σ) 2.3.2 Định nghĩa Ánh xạ f : (X, τ )→(Y, σ) gọi g.Vb -đóng với tập đóng F (X, τ ) f (F ) g.Vb -tập (Y, σ) 2.3.3 Nhận xét Hiển nhiên ánh xạ b-đóng ánh xạ g.Vb -đóng Điều kiện ngược lại nói chung khơng Thật vậy, ta xét ví dụ sau: Cho X = Y = {a, b, c}, τ = ∅, {a}, X σ = ∅{a, b}, Y Định nghĩa ánh xạ f : (X, τ )→(Y, σ) cho f (a) = c, f (b) = a f (c) = b Khi f g.Vb -đóng khơng phải b-đóng Vì từ tập đóng {b, c} (X, τ ), ảnh f ({b, c}) = {a, b} tập b-đóng (Y, σ) Định lý sau xem điều kiện cần đủ để ánh xạ hai không gian tôpô ánh xạ g.Vb -đóng 2.3.4 Định lý ([8]) Một ánh xạ f : (X, τ )→(Y, σ) ánh xạ g.Vb -đóng với S ⊂ Y với tập mở U chứa f −1 (S), tồn g.Λb -tập V Y cho S ⊂ V f −1 (V ) ⊂ U Chứng minh Điều kiện cần Lấy S tập Y lấy U tập mở X cho f −1 (S) ⊂ U Vì U mở X nên U c đóng X Theo giả thiết, f g.Vb -đóng nên f (U c ) g.Vb -tập Y Đặt V := f (U c ) Rõ ràng ta có V ⊂ f (U ), S ⊂ V Vậy tồn V g.Λb -tập Y , S ⊂ V, f −1 (V ) ⊂ U 26 Điều kiện đủ Lấy F tập đóng tùy ý X Khi f −1 f (F )c ⊂ F c F c mở Từ giả thiết, có tập V g.Λb -tập (Y, σ) cho c f (F ) ⊂ V V c ⊂ f (F ) ⊂ f f −1 (V ) c ⊂ V c Suy f (F ) = V c V c g.Vb -tập nên f (F ) g.Vb -tập f ánh xạ g.Vb -đóng 2.3.5 Định lý ([8]) Cho f : (X, τ )→(Y, σ), h : (Y, σ)→(Z, ν) hai ánh xạ cho h ◦ f : (X, τ )→(Z, ν) ánh xạ g.Vb -đóng Khi đó: (i) Nếu f liên tục tồn ánh h g.Vb -đóng; (ii) Nếu h b-đồng phơi f g.Vb -đóng Chứng minh (i) Lấy B tập đóng Y Từ f −1 (B) đóng (X, τ ), (h◦ f ) f −1 (B) g.Vb -tập (Z, ν) h(B) g.Vb -tập Z Từ suy h ánh xạ g.Vb -đóng (ii) Lấy F tập đóng (X, τ ) Khi (h ◦ f )(F ) g.Vb -tập (Z, ν) nên theo giả thiết Hệ 2.2.9 suy h−1 (h ◦ f )(F ) g.Vb -tập (Y, σ) Từ suy h đơn ánh, f (F ) = h−1 (h ◦ f )(F ) g.Vb -tập (Y, σ) Từ suy f ánh xạ g.Vb -đóng 2.3.6 Định lý ([8]) (i) Nếu f : (X, τ )→(Y, σ) g.Vb -đóng h : (Y, σ)→(Z, ν) b-đồng phơi h ◦ f : (X, τ )→(Z, ν) ánh xạ g.Vb -đóng; (ii) Nếu f : (X, τ )→(Y, σ) ánh xạ đóng h : (Y, σ)→(Z, ν) ánh xạ g.Vb -đóng h ◦ f : (X, τ )→(Z, ν) ánh xạ g.Vb -đóng Chứng minh (i) Lấy F tập đóng tùy ý (X, τ ) Khi f (F ) g.Vb tập (Y, σ) Từ h song ánh, b-khơng giải tiền-b-đóng nên theo Hệ 2.2.9 (h ◦ f )(F ) = h f (F ) g.Vb -tập Điều chứng tỏ h ◦ f ánh xạ g.Vb -đóng (ii) Chứng minh hoàn toàn tương tự 27 2.3.7 Định lý ([8]) Cho (X, τ ) không gian tôpô, tập đơn điểm X g.Λb -tập A = AVb với A ∈ BO(X, τ ) Chứng minh Điều kiện cần Lấy A b-mở Lấy y ∈ Ac {y}Λb ⊂ Ac theo giả thiết Dùng Mệnh đề 2.1.12 (d) ta có Ac ⊇ {y}Λb : y ∈ Ac = (Ac )Λb Như ta suy Ac = (Ac )Λb Lại dựa vào Mệnh đề 2.1.12 (f) suy A = AVb Điều kiện đủ Lấy x ∈ X F b-đóng cho {x} ⊂ F Từ F c = (F c )Vb = (F Λb )c ta có F = F Λb Suy {x}Λb ⊂ F Λb = F Vậy {x} g.Λb -tập 2.4 TÔPÔ LIÊN KẾT VÀ T Vb -KHÔNG GIAN Ta nhắc lại ký hiệu: Λb họ tất Λb -tập Vb họ tất Vb -tập không gian tôpô (X, τ ) Câu hỏi đặt là: Λb (hoặc Vb ) tơpơ X hay khơng? 2.4.1 Mệnh đề (X, Λb ) (X, Vb ) không gian tôpô Chứng minh Rõ ràng ∅ X Λb -tập nên ∅, X ∈ Λb Mặt khác, theo Mệnh đề 2.1.12 2.1.15 hợp tùy ý Λb -tập Λb -tập, giao Λb -tập Λb -tập Λb -tập Vậy Λb tôpô X Chứng minh hồn tồn tương tự Vb tôpô X Trở lại với Bổ đề 2.1.16, với Mệnh đề 2.4.1 ta có khẳng định sau đây: 2.4.2 Mệnh đề Nếu (X, τ ) b-T1 -khơng gian (X, Λb ) (X, Vb ) không gian rời rạc Chứng minh Để chứng minh (X, Λb ) không gian rời rạc ta chứng minh tập Λb -tập Điều suy từ Bổ đề 2.1.16 Kết tương tự cho (X, Vb ) 28 2.4.3 Định nghĩa Cho B tập không gian tôpô (X, τ ), ta định nghĩa: C Λb (B) = {U : B ⊆ U, U ∈ Λb }; IntΛb (B) = {F : B ⊇ U, F ∈ Λb } Tốn tử C Λb cịn gọi tốn tử Kuratowski không gian tôpô (X, τ ) 2.4.4 Mệnh đề ([6]) Cho B tập khơng gian tơpơ (X, τ ) Khi ta có tính chất sau: (a) B ⊆ C Λb (B); c (b) C Λb (B c ) = IntVb (B) ; (c) C Λb (∅) = ∅; (d) Cho {Bλ : λ ∈ Ω} họ (X, τ ) Khi C Λb (Bλ ) = C Λb λ∈Ω Bλ ; λ∈Ω (e) C Λb C Λb (B) = C Λb (B); (f) Nếu A ⊆ B C Λb (A) ⊆ C Λb (B); (g) Nếu B Λb -tập C Λb (B) = B ; (h) Nếu B Vb -tập IntVb (B) = B Chứng minh (a), (b), (c) (f) suy trực tiếp từ Định nghĩa 2.4.2 C Λb (Bλ ) Khi tồn (d) Giả sử tồn điểm x ∈ X cho x ∈ / λ∈Ω tập U ∈ Λb cho Bλ ⊆ U đồng thời x ∈ / U Suy với λ ∈ Ω λ∈Ω ta có x ∈ / C Λb (Bλ ) Vì x ∈ / C Λb (Bλ ) λ∈Ω Ngược lại, giả sử tồn x ∈ X x ∈ / C Λb (Bλ) Khi tồn tập Uλ ∈ Λb , ∀λ ∈ Ω cho với λ ∈ Ω x ∈ Uλ Bλ ⊆ Uλ Uλ Theo Mệnh đề 2.1.12 ta có x ∈ / U, Đặt U = λ∈Ω Bλ ⊆ U λ∈Ω Từ suy x ∈ / C Λb Bλ λ∈Ω 29 (e) Giả sử tồn điểm x ∈ X x ∈ / C Λb (B) Khi tồn tập U ∈ Λb cho x ∈ / U, U ⊇ B / C Λb C Λb (B) Từ U ∈ Λb nên suy C Λb (B) ⊆ U Do ta có x ∈ Từ suy C Λb C Λb (B) ⊆ C Λb (B) Đảo lại, từ (a) thu B ⊆ C Λb (B), C Λb (B) ⊆ C Λb C Λb (B) Từ ta chứng minh (e) (g) Từ định nghĩa: C Λb (B) ∩ {U : B ⊆ U, U ∈ Λb } Do ∩{U : U ⊇ B, U ∈ Λb , B ⊂ X} ⊇ B Nên B ∈ Λb ∩{U : U ⊇ B, U ∈ Λb , B ⊂ X} = B Vậy C Λb (B) = B (h) Nếu B ∈ Λb B c ∈ Λb suy C Λb (B c ) = B c Theo (b) C Λb (B c ) = IntVb (B) c nên IntVb (B) c = B c Vậy IntVb (B) = B Mệnh đề hoàn toàn chứng minh 2.4.5 Định nghĩa Cho (X, τ ) không gian tôpô, gọi C Λb toán tử Kuratowski X, B tập X Ký hiệu τ Λb , ρΛb họ tập B xác định: τ Λb = {B : B ⊆ X, C Λb (B c ) = B c } ρΛb = {B : B ⊆ X, C Λb (B) = B} 2.4.6 Mệnh đề ([6], [8]) Cho không gian tơpơ (X, τ ) Khi (a) τ Λb = {B : B ⊆ X, IntVb (B) = B}; (b) Λb = ρΛb ; (c) Vb = τ Λb ; (d) Nếu BC(X, τ ) = τ Λb Λb -tập (X, τ ) tập b-mở, tức BC(X, τ ) = τ Λb BO(X, τ ) = Λb ; (e) Nếu Λb -tập (X, τ ) tập b-đóng BO(X, τ ) = τ Λb , tức Λb ⊆ BC(X, τ ) BO(X, τ ) = τ Λb 30 Chứng minh (a) Theo Định nghĩa 2.4.4 Mệnh đề 2.4.3 (b), A ⊂ X A ∈ τ Λb C Λb (Ac ) = Ac (IntVb (A))c = Ac IntVb (A) = A A ∈ {B : B ⊂ X, IntVb (B) = B} (b) Lấy B tập X Theo Mệnh đề 2.2.1 (e) ta có BO(X, τ ) ⊂ Λb C Λb (B) = ∩{U : B ⊂ U, U ∈ Λb } ⊂ ∩{U : B ⊂ U, U ∈ BO(X, τ )} = B Λb Vì C Λb (B) ⊂ B Λb Mặt khác, giả sử tồn x ∈ X, x ∈ / C Λb (B) Khi tồn U ∈ Λb cho B ⊂ U, x ∈ / U Từ U ∈ Λb nên U = U Λb Do U = ∩{V : V ⊃ U, V ∈ BO(X, τ )} Như tồn V ∈ BO(X, τ ) : U ⊂ V, x ∈ / V Lại B ⊂ V, x ∈ /V nên x ∈ / B Λb Điều dẫn đến B Λb ⊂ C Λb (B) ta chứng minh B Λb = C Λb (B) với tập B X Theo định nghĩa Λb ρΛb ta thu Λb = τ Λb (c) Lấy B ∈ τ Λb Khi C Λb (B c ) = B c B c ∈ ρΛb Theo (b) B c ∈ Λb B c = (B c )Λb Do đó, theo Mệnh đề 2.4.3 (f) B c = (B Vb )c B = B Vb Điều suy B ∈ Vb Và nên τ Λb ⊂ Vb Dễ dàng nhận thấy τ Λb ⊃ Vb Vậy ta chứng minh τ Λb = Vb (d) Lấy B ∈ Λb Theo (b), B ∈ ρΛb nên B c ∈ τ Λb Từ giả thiết ta có B c ∈ BC(X, τ ), B ∈ BO(X, τ ) (e) Lấy A ⊆ X A ∈ τ Λb Theo Định nghĩa 2.4.2 Định nghĩa 2.4.4 ta có Ac = C Λb (Ac ) = ∩{U : U ⊇ Ac , U ∈ Λb } = ∩{U : U ⊇ Ac , U ∈ BO(X, τ )} = (Ac )Λb Theo Mệnh đề 2.4.3 (f) ta có A = AVb , tức A ∈ {B : B ⊆ X, B = B Vb } Suy τ Λb ⊂ {B : B ⊆ X, B = B Λb } Ngược lại, A ∈ {B : B ⊆ X, B = B Vb } theo Bổ đề 2.1.15, A g.Vb -tập Vì A ∈ Vb Suy τ Λb ⊃ {B : B ⊆ X, B = B Λb } Tóm lại ta chứng minh τ Λb = {B : B ⊆ X, B = B Λb } 31 (f) Lấy A ⊆ X A ∈ τ Λb Khi A = (C Λb (Ac ))c = ∩{U : Ac ⊂ U, U ∈ Λb }c = ∪{U c : U c ⊆ A, U ∈ Λb } Như τ Λb ⊆ BO(X, τ ) Đảo lại, A ∈ BO(X, τ ) theo (b) A ∈ Λb Dựa vào giả thiết, A ∈ BC(X, τ ) Theo (c) A ∈ τ Λb Như BO(X, τ ) ⊆ τ Λb Tóm lại, ta chứng minh τ Λb = BO(X, τ ) Mệnh đề chứng minh Từ Mệnh đề 2.4.5, thấy τ Λb ρVb tôpô Các tôpô sinh tốn tử Kuratowski C Λb Vì người ta cịn gọi tơpơ tơpơ liên kết không gian tôpô (X, τ ) cho Định lý sau cho thấy rõ cấu trúc b-R0 -không gian Mà tính chất sở để ta tìm mối quan hệ b-R0 -khơng gian khơng gian (X, τ Λb ) 2.4.7 Định lý ([8]) Cho khơng gian tơpơ (X, τ ), tính chất sau tương đương: (i) (X, τ ) b-R0 -không gian; (ii) Với tập A = ∅ G ∈ BO(X, τ ) cho A ∩ G = ∅, tồn tập F ∈ BC(X, τ ) cho A ∩ F = ∅ F ⊂ G; (iii) Với G ∈ BO(X, τ ) G = {F ∈ BC(X, τ ) : F ⊂ G}; (iv) Với F ∈ BC(X, τ ) F = {G ∈ BO(X, τ ) : F ⊂ G}; (v) Với x ∈ X bCl({x}) ⊂ ({x})Λb Chứng minh (i) ⇒ (ii) Lấy A = ∅, A ⊂ X G ∈ BO(X, τ ) cho A∩G = ∅ Khi tồn x ∈ A∩G Từ dẫn đến x ∈ G ∈ BO(X, τ ), bCl({x}) ⊂ G Đặt F = bCl({x}) F ∈ BC(X, τ ), F ⊂ G A ∩ F = ∅ (ii) ⇒ (iii) Lấy G ∈ BO(X, τ ) G ⊃ ∪{F ∈ BC(X, τ ) : F ⊂ G} Lấy x ∈ G Khi tồn F ∈ BC(X, τ ) cho x ∈ F F ⊂ G 32 Do ta có x ∈ F ⊂ Vậy G = {F ∈ BC(X, τ ) : F ⊂ G} {F ∈ BC(X, τ ) : F ⊂ G} (iii) ⇒ (iv) Hiển nhiên (iv) ⇒ (v) Lấy x ∈ X y ∈ ({x})Λb Khi tồn V ∈ BO(X, τ ) cho x ∈ V y ∈ / V , bCl({y}) ∩ V = ∅ Từ (d) ta suy V ∩ (∩{G ∈ BO(X, τ ) : bCl({y}) ⊂ G}) = ∅ tồn G ∈ BO(X, τ ) cho x ∈ / G bCl({y}) ⊂ G Suy bCl({y}) ∩ G = ∅ y ∈ / bCl({x}) Cuối ta thu được: bCl({x}) ⊂ ({x})Λb (v) ⇒ (i) Lấy G ∈ BO(X, τ ) x ∈ G Lấy y ∈ ({x})Λb x ∈ bCl({y}) y ∈ G Suy ({x})Λb ⊂ G Ta thu x ∈ bCl({x}) ⊂ ({x})Λb ⊂ G Do (X, τ ) b-R0 -khơng gian Định lý chứng minh 2.4.8 Mệnh đề ([8]) Nếu (X, τ ) b-R0 -khơng gian (X, τ Λb ) T1 khơng gian b-T1 -không gian Chứng minh Từ (X, τ ) b-R0 -không gian theo Định lý 2.4.6, tập bmở A (X, τ ) biểu diễn được: A = ∪{F : F ⊆ A, F c ∈ BO(X, τ )}, tức A = AΛb Cũng theo Định lý 2.4.6, tập đơn {x} ⊂ X g.Λb -tập Do ta có C Λb ({x}) = {x} {x} τ Λb -đóng Do đó, tập đơn điểm {x} đóng (X, τ Λb ) hay (X, τ Λb ) T1 -không gian 2.4.9 Định lý ([6]) Nếu BO(X, τ ) = τ Λb (X, τ ) không gian rời rạc Chứng minh Giả sử {x} tập b-mở (X, τ ) Khi {x} tập b-đóng (X, τ ) Theo Mệnh đề 2.4.5 (c) {x} ∈ τ Λb Nếu {x} tập b-mở (X, τ ) {x} ∈ BO(X, τ ) = τ Λb Do đó, tập đơn điểm {x} τ Λb -mở Với A tập (X, τ ), A = ∪{x : x ∈ A} nên A τ Λb -mở Vậy (X, τ ) không gian rời rạc 33 2.4.10 Định nghĩa Không gian tôpô (X, τ ) gọi T Vb -không gian tập τ Vb -mở (X, τ ) g.Vb -tập Sau điều kiện cần đủ để không gian T Vb -khơng gian Tiếp mối quan hệ b-T -không gian T Vb -không gian 2.4.11 Định lý ([8]) Không gian tôpô (X, τ ) T Vb -không gian S Vb = τ Λb Chứng minh Điều kiện cần Từ X T Vb -khơng gian τ Λb ⊆ S Vb Để chứng minh điều kiện cần ta phải chứng minh S Vb ⊆ τ Λb Lấy B ∈ S Vb IntVb (B) = B B g.Vb -tập Từ Mệnh đề 2.4.5, B ∈ τ Λb ⇒ S Vb ⊂ τ Λb Do S Vb = τ Λb Điều kiện đủ Nếu S Vb = τ Λb tập τ Λb -mở khơng gian tôpô (X, τ ) g.Vb -tập Theo Định nghĩa 2.4.9 (X, τ ) T Λb -khơng gian 2.4.12 Định lý ([8]) Mỗi b-T -không gian T Vb -không gian Chứng minh Lấy B τ Λb -mở, theo Mệnh đề 2.4.5 suy B =IntVb (B) Từ Vb -tập g.Vb -tập theo Mệnh đề 2.1.15 (c), đủ để suy rằng, IntVb (B) Vb -tập Tức (IntVb (B))Vb =IntVb (B) Thật vậy, lấy ΩVb = {B : B ∈ Vb } Cũng theo Mệnh đề 2.1.15 (c) giả thiết ta có ΩVb = S Vb Từ Định nghĩa Mệnh đề 2.1.12 (j) ΩVb = S Vb Ta có: IntVb (B) Vb Vb = {F : B ⊇ F, F ∈ S Vb } = {F : B ⊇ F, F ∈ ΩVb } = {F Vb : B ⊇ F, F ∈ ΩVb } = {F Vb : B ⊇ F, F ∈ S Vb } = IntVb (B) Từ Mệnh đề 2.1.12 (g) ta có IntVb (B) Vậy IntVb (B) Vb -tập 34 Vb Vb =IntVb (B) Cuối tính di truyền T Vb -khơng gian qua phép g.Λb -đồng phôi hai không gian tôpô 2.4.13 Định lý ([8]) Ảnh T Vb -không gian qua g.Λb -đồng phôi T Vb -không gian Chứng minh Trước hết ta nhắc lại σ Λb = {B : B ⊆ Y, C Λb (B c ) = B c } Lấy f : (X, τ )→(Y, σ) g.Λb -đồng phôi từ T Vb -không gian (X, τ ) vào không gian tôpô (Y, σ) Lấy B tập σ Λb -mở (Y, σ) Ta thấy B g.Vb -tập (Y, σ), tức σ Λb = S Vb (Y, σ) Từ giả thiết suy (f −1 (B c ) = (f −1 (B))c = f −1 (C Λb (B c )) ⊇ C Λb ((f −1 (B))c ) Mặt khác, theo Mệnh đề 2.4.3 (f −1 (B))c ⊆ C Λb ((f −1 (B))c ) Từ suy f −1 (B))c = C Λb ((f −1 (B))c ) Do f −1 (B) tập τ Λb -mở (X, τ ) Từ (X, τ ) T Vb -không gian f g.Λb -đồng phôi nên ta thu B g.Vb -tập (Y, σ) Do (Y, σ) T Vb -khơng gian Ta thấy rằng, f đồng phơi f b-đồng phôi g.Λb -đồng phôi Câu hỏi đặt ra: Với điều kiện ảnh T Vb -khơng gian qua phép đồng phôi T Vb -không gian Đây vấn đề nghiên cứu thời gian tới 35 KẾT LUẬN Các kết chủ yếu luận văn thu Trên sở tài liệu tham khảo, tiếp tục nghiên cứu việc mở rộng khái niệm tập mở ứng dụng chúng khơng gian tơpơ Đó xây dựng khái niệm tập b-mở, bD-tập, Λb -tập, Vb -tập, Λb -tập suy rộng Vb -tập suy rộng Các tập có ý nghĩa quan trọng trình xây dựng lớp ánh xạ ánh xạ b-liên tục, b-không giải được, g.Λb -liên tục, g.Vb -không giải g.Vb -đóng Bên cạnh đó, luận văn giới thiệu số không gian xây dựng từ tập nói Đa số tính chất tài liệu trích dẫn chứng minh vắn tắt Luận văn cố gắng chứng minh chi tiết tất tính chất Trong Mệnh đề 1.2.5, Mệnh đề 1.3.8, Mệnh đề 2.1.12, Mệnh đề 2.1.15, Mệnh đề 2.1.16, Hệ 2.1.17, Mệnh đề 2.2.17 không tài liệu chứng minh Luận văn đưa chứng minh chặt chẽ kết luận Định lý 1.3.9, Bổ đề 2.2.9, Mệnh đề 2.4.1, Khẳng định 2.4.2 Đã đưa ví dụ không nhằm chứng tỏ tồn khái niệm mà làm chặt chẽ thêm nhiều nhận xét luận văn Đó ví dụ 1.2.4, 1.2.8, 2.1.3, 2.1.8, 2.1.10, 2.1.14, 2.2.3, 2.2.5, 2.3.2 Những vấn đề tiếp tục nghiên cứu Trong thời gian tới tiếp tục nghiên cứu vấn đề sau Nghiên cứu lớp ánh xạ gọi br-đồng phôi (br-homeomorphism) (là ánh xạ f : (X, τ )→(Y, σ) : f song ánh b-không giải đồng thời f −1 b-không giải được) Quan hệ tập hợp phép đồng phôi với tập hợp phép b-đồng phôi, tập hợp br-đồng phơi hai khơng gian Nghiên cứu xem, qua phép đồng phơi ảnh T Λb -khơng gian có phải T Λb -không gian hay không? 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Văn Ân (2000), Bài giảng tôpô đại cương, Trường Đại học Vinh [2] Đỗ Văn Lưu (1998), Tôpô đại cương, Nxb Khoa học Kỹ thuật [3] Nguyễn Nhụy, Lê Xuân Sơn (2007), Bài tập tôpô đại cương, Nxb Giáo dục [4] D Andrijevic (1996), On b-open sets, Mat Vesnik, 48, 59 - 64 [5] M Caldas, S Jafari and T Noiri (2006), On Λb -sets and the asociated topology τ Λb , Acta Math Hungar, 110(4), 337 - 345 [6] A Keskin and T Noiri (2009), On bD-sets and associated sepration axioms, Bulletin of the Iranian Mathematical Society, Vol 35, No.1, pp 179 - 198 [7] M E Abd El-Monsef, A A El-Altik and M M El-Sharkasy (2005), Some topologies induced by b-open sets, Kyungpook Math, J.45, 539 547 [8] N Rajesh (2008), On maps and generalized Λb -sets, Vietnam J Math, Vol 36, No.4, pp 395 - 403 37 ... z Suy X{y} X{z} tập b-mở Đặt U = X{y}, V = X{z} U, V tập b-mở ta suy z ∈ U, y ∈ U, y ∈ / V, z ∈ / V Vậy (X, τ ) b-T1 -không gian 11 CHƯƠNG VỀ CÁC ÁNH XẠ VÀ Λb-TẬP SUY RỘNG 2.1 Λb -TẬP SUY. .. -tập suy rộng (tương ứng Vb -tập suy rộng) định nghĩa mục 2.1 giới thiệu ánh xạ g.Λb -liên tục (tương ứng g.Λb -không giải được) ánh xạ g.Vb -đóng Các ánh xạ tiền b-đóng, tiền b-mở trình bày Các. .. dựng khái niệm tập b-mở, bD -tập, Λb -tập, Vb -tập, Λb -tập suy rộng Vb -tập suy rộng Các tập có ý nghĩa quan trọng q trình xây dựng lớp ánh xạ ánh xạ b-liên tục, b-không giải được, g.Λb -liên