Mục này dành cho việc trình bày khái niệm ánh xạ g.Vb-đóng giữa hai không gian tôpô và một số tính chất quan trọng của ánh xạ này.
2.3.1 Định nghĩa. Ánh xạ f : (X, τ)→(Y, σ) được gọi là ánh xạ b-đóng nếu với mỗi tập đóng F của (X, τ) thì f(F) là tập b-đóng trong (Y, σ). 2.3.2 Định nghĩa. Ánh xạ f : (X, τ)→(Y, σ) được gọi là g.Vb-đóng nếu với mỗi tập đóng F của (X, τ) thì f(F) là g.Vb-tập trong (Y, σ).
2.3.3 Nhận xét. Hiển nhiên mỗi ánh xạ b-đóng là ánh xạ g.Vb-đóng. Điều kiện ngược lại nói chung không đúng. Thật vậy, ta xét ví dụ sau:
Cho X = Y = {a, b, c}, τ = n ∅,{a}, X o và σ = n ∅{a, b}, Y o . Định nghĩa ánh xạ f : (X, τ)→(Y, σ) cho bởi
f(a) =c, f(b) = a và f(c) = b.
Khi đó f là g.Vb-đóng nhưng không phải là b-đóng. Vì từ tập đóng {b, c}
của (X, τ), ảnh f({b, c}) = {a, b} không phải là tập b-đóng trong (Y, σ). Định lý sau đây được xem như là một điều kiện cần và đủ để một ánh xạ giữa hai không gian tôpô là ánh xạ g.Vb-đóng.
2.3.4 Định lý ([8]).Một ánh xạ f : (X, τ)→(Y, σ) là một ánh xạ g.Vb-đóng khi và chỉ khi với mỗi S ⊂ Y và với mỗi tập mở U chứa f−1(S), tồn tại một g.Λb-tập V của Y sao cho S ⊂ V và f−1(V) ⊂ U.
Chứng minh. Điều kiện cần. Lấy S là tập con của Y và lấy U là tập mở của X sao cho f−1(S) ⊂ U.
Vì U mở trong X nên Uc đóng trong X. Theo giả thiết, f là g.Vb-đóng nên f(Uc) là g.Vb-tập trong Y.
Đặt V := f(Uc). Rõ ràng ta có V ⊂ f(U), S ⊂ V. Vậy tồn tại V là g.Λb-tập trong Y, S ⊂ V, f−1(V) ⊂U.
Điều kiện đủ. Lấy F là một tập đóng tùy ý của X. Khi đó f−1 f(F)c ⊂
Fc và Fc là mở. Từ giả thiết, có một tập V là g.Λb-tập của (Y, σ) sao cho
f(F) c ⊂ V và do đóVc ⊂ f(F) ⊂ f f−1(V) c ⊂Vc. Suy ra f(F) = Vc vì Vc là g.Vb-tập nên f(F) là g.Vb-tập và do đó f là ánh xạ g.Vb-đóng. 2.3.5 Định lý ([8]). Cho f : (X, τ)→(Y, σ), h : (Y, σ)→(Z, ν) là hai ánh xạ sao cho h◦f : (X, τ)→(Z, ν) là ánh xạ g.Vb-đóng. Khi đó:
(i) Nếu f liên tục và toàn ánh thì h là g.Vb-đóng; (ii) Nếu h là b-đồng phôi thì f là g.Vb-đóng.
Chứng minh.(i) LấyB là tập đóng củaY. Từf−1(B)là đóng trong(X, τ), (h◦
f) f−1(B) là g.Vb-tập trong (Z, ν) và do đó h(B) là g.Vb-tập trong Z. Từ đó suy ra h là ánh xạ g.Vb-đóng.
(ii) Lấy F là một tập đóng trong (X, τ). Khi đó (h ◦f)(F) là một g.Vb-tập trong (Z, ν) nên theo giả thiết và Hệ quả 2.2.9 suy ra h−1
(h ◦f)(F)
là g.Vb-tập trong (Y, σ). Từ đó suy ra h là đơn ánh, f(F) =h−1
(h◦f)(F) là g.Vb-tập trong (Y, σ). Từ đó suy ra f là ánh xạ g.Vb-đóng. 2.3.6 Định lý([8]).(i) Nếu f : (X, τ)→(Y, σ) làg.Vb-đóng vàh : (Y, σ)→(Z, ν) là b-đồng phôi thì h◦f : (X, τ)→(Z, ν) là ánh xạ g.Vb-đóng; (ii) Nếu f : (X, τ)→(Y, σ) là ánh xạ đóng và h : (Y, σ)→(Z, ν) là ánh xạ g.Vb-đóng thì h◦f : (X, τ)→(Z, ν) là ánh xạ g.Vb-đóng.
Chứng minh. (i) Lấy F là tập đóng tùy ý trong (X, τ). Khi đó f(F) là g.Vb- tập trong (Y, σ). Từ h là song ánh, b-không giải được và tiền-b-đóng nên theo Hệ quả 2.2.9 thì (h◦f)(F) = h f(F) là g.Vb-tập. Điều đó chứng tỏ h◦f là ánh xạ g.Vb-đóng.
2.3.7 Định lý ([8]). Cho (X, τ) là không gian tôpô, mỗi tập đơn điểm của X là một g.Λb-tập khi và chỉ khi A = AVb với mọi A ∈ BO(X, τ).
Chứng minh. Điều kiện cần. Lấy A là b-mở. Lấy y ∈ Ac thì {y}Λb ⊂ Ac theo giả thiết.
Dùng Mệnh đề 2.1.12 (d) ta có Ac ⊇ Sn
{y}Λb : y ∈ Ac
o
= (Ac)Λb. Như vậy ta suy ra Ac = (Ac)Λb.
Lại dựa vào Mệnh đề 2.1.12 (f) suy ra A = AVb.
Điều kiện đủ. Lấy x∈ X và F là b-đóng sao cho {x} ⊂ F. Từ Fc = (Fc)Vb = (FΛb)c ta có F = FΛb. Suy ra {x}Λb ⊂FΛb = F. Vậy {x} là g.Λb-tập.