Một số đặc trưng của ánh xạ đóng và ánh xạ đóng phủ dãy

0 MỤC LỤC Mục lục Một số vấn đề sở 1.1 Các khái niệm 1.2 Một số loại không gian mối liên hệ chúng 3 A´nh xạ đóng ánh xạ đóng phủ dãy 14 2.1 Thớ ánh xạ đóng 14 2.2 A´nh xạ đóng phủ dãy 21 Kết luận 27 Tài liệu tham khảo 28 LỜI NÓI ĐẦU ảnh đóng khơng gian metric có vai trị quan trọng lý thuyết tổng qt hóa khơng gian metric Vì tầm quan trọng mà có nhiều tác giả nghiên cứu ảnh đóng số không gian đưa số kết quan trọng như: Foged [8] ảnh đóng khơng gian metric khơng gian Fre´chet với k -lưới với σ -bảo tồn bao đóng di truyền Lin [9], Gao Hattori [10] ảnh đóng Lindelof khơng gian metric khơng gian Fre´chet ℵ-không gian Tanaka [11] đưa định lý sau: "Giả sử f : X −→ Y ánh xạ đóng từ k ℵ khơng gian chuẩn tắc X đến không gian tôpô Y , ∂f −1 (y) Lindelof với y ∈ Y Y không chứa Sω1 Yun [12] đưa câu hỏi sau: "Giả sử f : X −→ Y ánh xạ đóng từ k ℵ không gian X đến không gian tôpô Y Khi đó, khẳng định sau có hay không: "Y không chứa Sω1 ∂f −1 (y) Lindelof với y ∈ Y " Gần đây, Jiang, Lin Yan [11] có nghiên cứu ánh xạ đóng phủ dãy [12] chứng minh tính khả metric bảo tồn qua ánh xạ đóng phủ dãy đưa đặc trưng nội cho ảnh đóng σ -compact khơng gian metric hay không? Trong luận văn này, nghiên cứu đặc trưng không gian tựa đếm thứ yếu theo nghĩa Sirois-Dumais [13] Qua biên thớ ánh xạ đóng k ℵ-không gian không gian Lindelof khơng chứa đóng Sω Từ cho câu trả lời câu hỏi Yun [12] Tất khơng gian khóa luận T1 qui, ánh xạ liên tục tồn ánh Các định nghĩa sử dụng [2] [7] Mục đích Luận văn dựa vào tài liệu tham khảo để nghiên cứu mối quan hệ loại khơng gian, trình bày số tính chất ánh xạ, từ đưa số đặc trưng loại ánh xạ đóng ánh xạ đóng phủ dãy Với mục đích đó, Luận văn chia làm hai chương: Chương Một số vấn đề sở Trong chương này, nhắc lại số khái niệm tơpơ đại cương có liên quan tới nội dung luận văn Trình bày khái niệm khơng gian metric, không gian g-đếm được, g-đếm thứ nhất, g-đếm thứ hai, không gian F rechet, ℵ-không gian, không gian dãy, k -lưới, mối quan hệ loại khơng gian Chương Một số tính chất ánh xạ đóng ánh xạ phủ dãy Trong chương này, tập trung nghiên cứu tính chất ánh xạ đóng, ánh xạ phủ dãy loại khơng gian trình bày chương Luận văn hoàn thành trường Đại học Vinh hướng dẫn tận tình nghiêm khắc thầy giáo PGS TS Trần Văn Ân Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, khoa Sau đại học thầy, cô tổ Giải tích khoa Tốn giúp đỡ tác giả suốt trình học tập trường Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến PGS TS Đinh Huy Hoàng, PGS.TS Tạ Khắc Cư, PGS TS Tạ Quang Hải, TS Vũ Thị Hồng Thanh, giúp đỡ suốt q trình học tập hồn thành luận văn Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình, bạn bè bạn học viên Cao học khoá 15 - Giải tích tạo điều kiện thuận lợi giúp tác giả hoàn thành nhiệm vụ suốt thời gian học tập, nghiên cứu Mặc dù có nhiều cố gắng song Luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót, kính mong q Thầy Cơ bạn đọc góp ý để luận văn hoàn thiện Vinh, tháng 12 năm 2009 Tác giả CHƯƠNG MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ SỞ 1.1 Các khái niệm Mục dành cho việc giới thiệu khái niệm kết có cần dùng luận văn 1.1.1 Định nghĩa Cho tập hợp X Họ T tập X gọi tôpô X thoả mãn điều kiện: (T1 ) ∅, X ∈ T ; (T2 ) Nếu Gi ∈ T với i ∈ I ∪i∈I Gi ∈ T ; (T3 ) Nếu G1 , G2 ∈ T G1 ∩ G2 ∈ T Tập hợp X với tơpơ T gọi khơng gian tơpơ kí hiệu (X, T ) hay đơn giản X Các phần tử X gọi điểm không gian tôpô Các phần tử thuộc T gọi tập mở 1.1.2 Định nghĩa Giả sử X không gian tôpô A ⊂ X Khi đó, (1) Tập U ⊂ X gọi lân cận A có tập mở V X cho A ⊂ V ⊂ U (2) Tập A X gọi lân cận điểm x ∈ X tồn tập mở V ⊂ X cho x ∈ V ⊂ A (3) Tập A gọi Gδ -tập A giao họ đếm tập mở 1.1.3 Định nghĩa Giả sử X không gian tôpô, A tập X Điểm x ∈ A gọi điểm cô lập tập hợp A tồn lân cận x mà không giao với A điểm khác 1.1.4 Định nghĩa Giả sử X không gian tôpô, A tập X 1) Tập A tập rời rạc điểm A điểm cô lập 2) Tập A tập rời rạc tương đối A tập rời rạc 1.1.5 Định nghĩa Không gian tôpô X gọi T1 -không gian với hai điểm x, y ∈ X mà x = y tồn lân cận tương ứng Ux , Uy x y cho y ∈ / Ux x ∈ / Uy 1.1.6 Định nghĩa Không gian tôpô X gọi T2 -không gian hay không gian Hausdorff với hai điểm x, y ∈ X mà x = y tồn lân cận tương ứng Ux , Uy x y cho Ux ∩ Uy = ∅ 1.1.7 Định nghĩa Khơng gian tơpơ X gọi quy với điểm x ∈ X tập A đóng X khơng chứa x tồn tập U, V mở X cho x ∈ U ; A ⊂ V, U ∩ V = ∅ 1.1.8 Định nghĩa Không gian tôpô X gọi chuẩn tắc với cặp tập đóng rời A B X tồn tập U, V mở X cho A ⊂ U ; B ⊂ V, U ∩ V = ∅ 1.1.9 Định nghĩa Dãy xn không gian tôpô X gọi hội tụ tới x ∈ X với lân cận U x tồn no ∈ N cho xn ∈ U với n ≥ no Khi ta viết xn → x 1.1.10 Nhận xét Nếu X không gian Hausdorff, dãy X hội tụ hội tụ tới điểm 1.1.11 Định nghĩa Giả sử X , Y hai không gian tôpô ánh xạ f : X → Y Ánh xạ f gọi liên tục x ∈ X lân cận V f (x), tồn lân cận U x cho f (U ) ⊂ V Ánh xạ f gọi liên tục X (nói gọn liên tục) liên tục điểm X 1.1.12 Định nghĩa Giả sử X , Y hai không gian tôpô ánh xạ f : X → Y Ánh xạ f gọi mở ảnh tập mở X tập mở Y 1.1.13 Định nghĩa Giả sử X , Y hai không gian tôpô ánh xạ f : X → Y Ánh xạ f gọi đóng ảnh tập đóng X tập đóng Y 1.1.14 Định nghĩa Giả sử X , Y hai không gian tôpô ánh xạ f : X → Y Ánh xạ f gọi ánh xạ thương tập U mở Y f −1 (U ) mở X 1.1.15 Định lý Giả sử X Y không gian tôpô ánh xạ f : X → Y Khi đó, điều kiện sau tương đương (1) f liên tục (2) Nếu E tập mở Y f −1 (E) tập mở X (3) Nếu E tập đóng Y f −1 (E) tập đóng X 1.1.16 Định nghĩa Ánh xạ f : X −→ Y từ không gian tôpô X lên không gian tôpô Y gọi đồng phôi f song ánh liên tục hai chiều Khi hai khơng gian X Y gọi đồng phôi với 1.1.17 Định nghĩa Ánh xạ f : X −→ Y từ không gian tôpô X lên không gian tôpô Y gọi hoàn chỉnh f ánh xạ đóng f −1 (y) tập compact X với y ∈ Y 1.1.18 Định nghĩa Tập V không gian tôpô X gọi lân cận dãy x ∈ X với dãy {xn } hội tụ x tồn no ∈ N cho {xn : n ≥ no } ⊂ V 1.1.19 Định nghĩa Phủ P tập hợp X gọi mịn phủ U phần tử phủ P chứa phần tử phủ U 1.1.20 Định nghĩa Khơng gian tôpô X gọi compact phủ mở chứa phủ hữu hạn Tập A ⊂ X gọi tập compact không gian A với tôpô cảm sinh X không gian compact 1.1.21 Định nghĩa Không gian tôpô X gọi compact địa phương với x ∈ X tồn lân cận U x cho U compact 1.1.22 Định nghĩa Không gian tôpô X gọi compact theo dãy dãy chứa dãy hội tụ 1.1.23 Định nghĩa Giả sử P họ tập khơng gian tơpơX Khi đó, (1) P gọi đếm với P ∈ P, P giao với không đếm phần tử P (2) P gọi đếm theo điểm (tương ứng, hữu hạn theo điểm) với x ∈ X, x thuộc đếm (tương ứng, thuộc hữu hạn) phần tử P (3) P gọi hữu hạn địa phương với x ∈ X , tồn lân cận V x cho V giao với hữu hạn phần tử P (4) P gọi σ -hữu hạn địa phương (tương ứng, σ hữu hạn theo ∞ điểm) P = Pn , Pn hữu hạn địa phương (tương ứng, hữu i=1 hạn theo điểm) (5) P gọi compact hữu hạn (tương ứng, cs-hữu hạn) tập compact K ⊂ X (tương ứng, dãy hội tụ S X ) K (tương ứng, S ) giao với hữu hạn phần tử P (6) P gọi σ -compact hữu hạn (tương ứng, σ -cs-hữu hạn) ∞ P= Pn , Pn compact hữu hạn (tương ứng, cs-hữu hạn) i=1 Ngoài số khái niệm khác hiểu theo [2] 1.2 Một số loại không gian mối liên hệ chúng Phần dành cho việc trình bày khái niệm số loại không gian nh khụng gian Lindeloăf, k -khụng gian, k -khụng gian, không gian dãy, không gian Fre´chet, ℵ-không gian, ℵ0 -không gian, không gian sn-mêtric, không gian sn-đếm thứ nhất, không gian sn-đếm thứ hai, không gian g -mêtric, không gian g -đếm thứ nhất, không gian g -đếm thứ hai, không gian tựa đếm thứ yếu, số tính chất không gian mối liên hệ khơng gian 1.2.1 Định nghĩa Khơng gian tơpơ X gọi thỏa mãn tiên đề đếm thứ điểm x tồn sở lân cận đếm 1.2.2 Định nghĩa ([2]) Không gian tôpô X gọi thỏa mãn tiên đề đếm thứ hai tơpơ X có sở đếm 1.2.3 Định nghĩa ([2]) Không gian tơpơ X gọi khơng gian Lindelof, có tớnh cht Lindeloăf nu mi ph m ca X u tồn phủ đếm 1.2.4 Định nghĩa ([2]) Khụng gian tụpụ X c gi l meta-Lindeloăf nu mi phủ mở X tồn mịn mở đếm theo điểm 1.2.5 Chú ý ([2]) Mọi không gian compact không gian Lindelof 1.2.6 Định lý ([2]) Khơng gian quy thỏa mãn tiên đề đếm thứ không gian Lindelof 1.2.7 Định lý ([2]) Khơng gian X có tính chất Lindeloăf v ch mi h cỏc đóng X có tính chất giao đếm khác rỗng 1.2.8 Định lý ( [2]) Giả sử không gian A khơng gian tơpơ X có tính chất Lindeloăf Khi ú mi h {Us }sS cỏc m X cho ∞ A⊂ Us tồn tập đếm {s1 , s2 , } ⊂ S cho A ⊂ s∈S Usi i=1 1.2.9 Định lý ([2]) Nếu tồn ánh xạ liên tục f : X Y t khụng gian Lindeloăf X n khơng gian quy Y Y khơng gian Lindelof 1.2.10 Định lý ([2]) Nếu tồn ánh xạ đóng f : X −→ Y xác định khơng gian quy X thớ f −1 (y) cú tớnh cht Lindeloăf thỡ vi mi khụng gian Z Y cú tớnh cht Lindeloăf, nghch nh f (Z) cng cú tớnh cht Lindeloăf 1.2.11 nh ngha ([1]) Không gian tôpô X gọi k -không gian xác định phủ gồm tập compact X 1.2.12 Bổ đề Không gian đếm thứ k -không gian Chứng minh Bổ đề suy trực tiếp từ định nghĩa 1.2.13 Định nghĩa ([1]) Không gian tôpô X gọi k -khơng gian tập khơng đóng H ⊂ X điểm p ∈ H \ H , tồn tập compact K ⊂ X cho p ∈ H ∩ K 1.2.14 Định nghĩa ([1]) Không gian tôpô X gọi không gian dãy tập A ⊂ X đóng X khơng có dãy A hội tụ đến điểm A, cách tương đương X xác định phủ gồm tập compact metric X 1.2.15 Định nghĩa ([1]) Không gian tôpô X gọi không gian Fre´chet tập A X x ∈ A tồn dãy {xn } A cho dãy {xn } hội tụ tới x 1.2.16 Định nghĩa ([1]) Không gian tôpô X gọi không gian Fre´chet mạnh dãy giảm tập {An } X x ∈ An với n ∈ N∗ tồn dãy {xn } X cho xn ∈ An với n {xn } hội tụ tới x 1.2.17 Nhận xét (1) Mọi không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ không gian Fre´chet (2) Mọi không gian Fre´chet mạnh không gian Fre´chet (3) Mọi không gian Fre´chet không gian dãy, không gian dãy k -không gian (4) Mọi không gian Fre´chet k -không gian, k -không gian k -không gian 1.2.18 Định nghĩa Giả sử X tập, P (X) họ tất tập X , S(X) tập tất dãy điểm X Giả sử (X, c) không gian tơpơ trang bị tốn tử đóng c Khi đó, không gian tôpô X gọi không gian chặt đếm (hay khơng gian có tính chặt đếm được) tập A ⊂ X , A tập đóng có tính chất c(C) ⊂ A với tập đếm C ⊂ A 1.2.19 Nhận xét Mọi không gian dãy không gian chặt đếm 1.2.20 Định nghĩa Dãy hội tụ L = {xn } gọi nằm P ⊂ X từ lúc đó, tồn n0 ∈ N cho xn ∈ P với n ≥ n0 1.2.21 Định nghĩa ([7]) Giả sử P họ tập không gian tôpô X 14 CHƯƠNG ´ ANH XẠ ĐÓNG VÀ ÁNH XẠ ĐÓNG PHỦ DÃY 2.1 Thớ ánh xạ đóng Trong mục đưa số đặc trưng ảnh đóng σ -compact không gian metric thảo luận thớ ánh xạ đóng khơng gian g -metric 2.1.1 Định nghĩa ([2]) Giả sử f : X −→ Y ánh xạ từ không gian tôpô X đến khơng gian tơpơ Y Khi đó, nghịch ảnh tập điểm ánh xạ f gọi thớ ánh xạ f 2.1.2 Định nghĩa ([3]) Ánh xạ f : X −→ Y gọi σ -compact y ∈ Y, f − 1(y) tập σ -compact 2.1.3 Định nghĩa ([3]) Không gian X gọi tựa đếm thứ yếu i ∈ N, tồn ánh xạ B i : N × X −→ P(X), P(X) họ tập X , thỏa mãn hai điều kiện sau: (1) Với i ∈ N với n ∈ N x ∈ X B i (n + 1, x) ⊂ B i (n, x) {x} = ∩{B i (n, x) : n ∈ N} (2) Tập V ⊂ X gọi mở y ∈ V i ∈ N tồn n(i) ∈ N cho B i (n(i), y) ⊂ V Nếu B i = B với i ∈ N X gọi đếm thứ yếu g -đếm thứ Hiển nhiên không gian đếm thứ yếu không gian tựa đếm thứ yếu 15 Để nghiên cứu vấn đề cần số bổ đề sau: 2.1.4 Bổ đề ([3]) Không gian X ảnh đóng Lindelof khơng gian metric Fre´chet ℵ-khơng gian 2.1.5 Bổ đề Giả sử f : X −→ Y ánh xạ đóng từ khơng gian chuẩn tắc X tới khơng gian Y {Pn : n ∈ N} lưới giảm y ∈ Y Khi K(y) = {x ∈ ∂f −1 (y): tồn dãy L ⊂ X\f −1 (y) hội tụ tới x, f (L) thường xuyên gặp Pn với n ∈ N} compact đếm tương đối Chứng minh Giả sử K(y) khơng compact đếm tương đối Khi có tập đóng, đếm rời rạc {xn : n ∈ N} ⊂ K(y) Vì X khơng gian chuẩn tắc nên tồn họ đếm rời rạc {U (n) : n ∈ N} tập mở X cho xn ∈ U (n) Theo giả thiết Bổ đề, với n ∈ N tồn dãy Ln ⊂ X \ f −1 (y) hội tụ tới xn Khơng tính tổng qt, ta giả sử Ln ⊂ U (n) Lấy zn ∈ Ln cho f (zn ) ∈ Pn Khi đó, {zn : n ∈ N} tập đóng rời rạc X f ánh xạ đóng nên {f (zn ) : n ∈ N} tập đóng rời rạc Y Đây điều mâu thuẫn {f (zn ) : n ∈ N} hội tụ tới y Do K(y) compact đếm tương đối 2.1.6 Bổ đề Giả sử {B m (n, x) : m ∈ N, n ∈ N} họ có tính chất tựa đếm thứ yếu x Khi dãy L hội tụ tới x, tồn n0 ∈ N cho L thường xuyên nằm gặp B n0 (i, x) với i ∈ N Chứng minh Giả sử ngược lại, với m ∈ N tồn im cho L ∩ B m (im , x) = ∅ Suy B m (im , x) ⊂ X \ L với m ∈ N Do X \ L tập mở Vì L tập đóng Điều mâu thuẫn với L hội tụ đến x Vậy điều giả sử sai 2.1.7 Định lý Giả sử f : X −→ Y ánh xạ đóng từ khơng gian Frechet, chuẩn tắc X tới không gian tựa đếm thứ yếu Y Khi đó, với y ∈ Y , ∂f − 1(y) σ -compact đếm 16 Chứng minh Giả sử {B m (n, y) : m ∈ N, n ∈ N} họ có tính chất tựa đếm thứ yếu y Với m ∈ N {B m (n, y) : n ∈ N} lưới giảm y Với m ∈ N, đặt K(y) = {x ∈ ∂f −1 (y): tồn dãy L ⊂ X\f −1 (y) hội tụ tới x, f (L) thường xuyên gặp B m (n, y), với n ∈ N} Theo Bổ đề 2.1.5 Km (y) họ compact đếm tương đối Đặt Hm = Km (y) Hm (y) tập compact đếm X Với x ∈ ∂f −1 (y), x ∈ X \ ∂f − 1(y) Vì X không gian Fre´chet nên tồn dãy L ⊂ X\f −1 (y) hội tụ tới x, f (L) hội tụ đến y Theo Bổ đề 2.1.6, tồn m0 ∈ N cho f (L) thường xuyên gặp B m0 (n, y) với n ∈ N, x ∈ Km0 (y) Suy ∂f −1 (y) = ∪m∈N Hm Vậy ∂f −1 (y) σ compact đếm 2.1.8 Định lý Không gian X ảnh đóng σ -compact khơng gian metric X Fre´chet, tựa đếm thứ yếu ℵ-không gian Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử X ảnh đóng σ compact khơng gian metric suy X ảnh đóng Lindelof khơng gian metric Theo Bổ đề 2.1.4 ta có X Fre´chet ℵ-khơng gian Mặt khác, ánh xạ đóng ánh xạ thương ảnh σ -compact thương không gian metric không gian tựa thứ yếu nên X không gian tựa đếm thứ yếu Điều kiện đủ: Vì X Fre´chet ℵ khơng gian nên theo Bổ đề 2.1.4 ta có X s- ảnh đóng khơng gian metric M Nhờ Định lý 2.1.7 ta có biên thớ ánh xạ đóng f : X −→ M σ -compact Vì X ảnh đóng σ -compact không gian metric M 2.1.9 Bổ đề ([3]) Giả sử X k ℵ-không gian A = {xα : α ∈ I} tập rời rạc tương đối X Khi đó, tồn họ rời {U (α) : α ∈ I} cho x(α) ∈ U (α) dãy hội tụ tới x(α) 17 nằm U (α) từ lúc với yα ∈ U (α)\A, họ {yα : α ∈ I} rời rạc khơng có dãy {yα : α ∈ I} hội tụ đến điểm A Chứng minh Giả sử P = ∪n∈N Pn cs-lưới σ -hữu hạn địa phương X Pn ⊂ Pn+1 phần tử P đóng, Pn hữu hạn địa phương với n ∈ N Với α ∈ I, n ∈ N, xα ∈ X \ ∪{P ∈ Pn : xα ∈ / P }, đặt V (n, α) = X\∪{P ∈ Pn : xα ∈ / P }, G(n, α) = ∪{P ∈ Pn : xα ∈ P, xβ ∈ / P, ∀α = β} U (α) = ∪n∈N {G(n, α) ∩ V (n, α)} Giả sử L dãy hội tụ tới xα ∈ X \ {xβ : β = α} Vì P cs-lưới nên tồn n ∈ N P ∈ Pn cho xα ∈ P ⊂ X \ {xβ : β = α} L dãy từ lúc nằm P , P ⊂ G(n, α) Mặt khác L dãy nằm V (n, α) từ lúc đó, L dãy nằm P ∩ V (n, α) ⊂ U (n, α) từ lúc Chú ý V (n, α) ∩ G(m, β) = ∅ α = β, n ≥ m, thấy {U (α) : α ∈ I} họ rời Bây chứng minh {yα : α ∈ I} đóng, rời rạc yα ∈ U (α) khơng có dãy {yα : α ∈ I} hội tụ đến điểm A Giả sử {yα : α ∈ I} khơng đóng, rời rạc X , X k -khơng gian điểm X Gδ -tập, X không gian dãy, nên tồn dãy {yk : k ∈ N} ⊂ {yα : α ∈ I} hội tụ tới điểm y , y ∈ X \ A, tồn P ∈ Pm , P ∩ A = ∅ cho {yk : k ∈ N} nằm P từ lúc với m ∈ N Khơng tính tổng qt, giả sử {yk : k ∈ N} ⊂ P Ta có P ∩ V (n, α) = ∅ n ≥ m,do P ∩ (∪{G(n, α) ∩ V (n, α)} : n ≥ m; α ∈ I) = ∅ Vì {yk : k ∈ N} ⊂ ∪{U (α) : α ∈ I} = ∪{∪n∈N {G(n, α) ∩ V (n, α) : α ∈ I} Ta có từ định nghĩa V (n, α) có họ đếm {Pk : k ∈ N} ⊂ Pm với yk ∈ Pk , Pi = Pj i = j Lưu ý Pm họ hữu hạn địa phương, 18 ta có {yk : k ∈ N} họ tập đóng rời rạc Đây điều mâu thuẫn Do đó, {yα : α ∈ I} tập rời rạc 2.1.10 Định nghĩa (1) Đặt L0 = {an : n ∈ N} ∪ {∞} dãy vô hạn với giới hạn ∞ Với n ∈ N kí hiệu Ln dãy vơ hạn hội tụ an an ∈ Ln Giả sử L tổng tôpô Ln , L = Ln Ta định nghĩa Sk không gian thương thu từ L cách đồng tất điểm giới hạn an L với điểm ∞ Khi k = ω k = ω1 ta có định nghĩa cho Sω Sω1 (2) Giả sử X không gian tôpô,bản copy Sω X không gian X0 xủa X cho X0 đồng phôi với Sω 2.1.11 Bổ đề ([3]) Nếu X ℵ-khơng gian X khơng chứa Sω1 2.1.12 Định lý Giả sử f : X −→ Y ánh xạ đóng từ k ℵ-khơng gian X đến khơng gian tơpơ Y Khi đó, khẳng định sau tương đương (1) Y khơng chứa đóng Sω1 ; (2) ∂f −1 (y) không gian Lindelof với y ∈ Y ; (3) Y ℵ-không gian Chứng minh (3) =⇒(1) Nhờ Bổ đề 2.1.11 (2)=⇒ (3) Được suy nhờ tính chất, khơng gian ℵ-khơng gian ℵ-khơng gian ánh xạ đóng Lindelof bảo tồn ℵ-khơng gian Do Y ℵ-khơng gian (1)=⇒(2) Đặt A = {x ∈ ∂f −1 (y) : tồn dãy L ⊂ X \ f −1 (y) hội tụ tới x} Trước tiên ta chứng minh A = ∂f −1 (y) Giả sử ngược lại, đặt B = f −1 (y) \ A, C = ∂f −1 (y) \ A Với dãy K hội tụ đến điểm x ∈ 19 B , x ∈intf −1 (y), K nằm B từ lúc x ∈ C , A∪(X\f −1 (y)) không chứa dãy K Mặt khác, K nằm B từ lúc B dãy mở mở, B ⊂ int(f −1 (y)) Nhưng C ⊂ B , C ∩ int(f −1 (y)) = ∅ Đây điều mâu thuẫn Nếu A ℵ1 compact, theo Bổ đề 1.2.35 suy A ℵ0 -không gian Do A khả ly Suy A khả ly Vì ta có ∂f −1 (y) khả ly Theo Bổ đề 1.2.33 ta có ∂f −1 (y) Lindelof Nếu A khơng ℵ1 -compact, tồn tập rời tương đối không đếm {xα : α < ω1 }, mà tập đóng rời rạc A Theo Bổ đề 2.1.9 tồn họ rời {U (α) : α < ω1 } cho x(α) ∈ U (α) dãy hội tụ tới x(α) nằm U (α) từ lúc Lấy yα ∈ Uα \ f −1 (y) với α Khi {yα : α < ω1 } khơng có dãy {yα : α < ω1 } hội tụ đến điểm x ∈ {xα : α < ω1 } \ {xα : α < ω1 } Nếu ngược lại, {xα : α < ω1 } tập rời rạc A, x ∈ / A, nên x ∈ ∂f −1 (y) \ A Mặt khác, từ định nghĩa A , suy x ∈ A Đây điều vô lý, theo Bổ đề 2.1.9 {yα : α < ω1 } tập đóng rời rạc Chọn dãy Lα ⊂ X \ f −1 (y) hội tụ tới xα với α < ω1 , suy {y} ∪ {f (Lα )} đóng Sω1 2.1.13 Hệ Giả sử f : X −→ Y ánh xạ đóng từ khơng gian g -metric X lên khơng gian tơpơ Y Khi đó, ∂f −1 (y) Lindelof với y ∈ Y Y khơng chứa đóng Sω1 Chứng minh Hệ suy trực tiếp từ Định lý 2.1.12 Bổ đề 1.2.33 2.1.14 Định lý Giả sử f : X −→ Y ánh xạ đóng từ khơng gian dãy X mà tập đóng khả ly chuẩn tắc, lên khơng gian tơpơ Y Khi đó, ∂f −1 (y) compact đếm với y ∈ Y 20 Y khơng chứa đóng Sω Chứng minh Đặt A = {x ∈ ∂f −1 (y) : tồn dãy L ⊂ X \f −1 (y) hội tụ tới x} Theo Định lý 2.1.12 ta có A = ∂f −1 (y) Giả sử ∂f −1 (y) không tập compact đếm điểm y ∈ Y Y khơng chứa đóng Sω Khi tồn tập đóng rời rạc đếm {xn : n ∈ N} ⊂ ∂f −1 (y) Vì X khơng gian dãy, X có tính chặt đếm được, với n ∈ N, tồn tập đếm {x(m) : m ∈ N} A cho xn ∈ {xn (m) : m ∈ N} Giả sử Lnm dãy X \ f −1 (y) hội tụ tới xn (m) với n, m ∈ N, đặt B = {xn (m) : n, m ∈ N} ∪ {Lnm : n, m ∈ N} Khi B khơng gian chuẩn tắc tồn tập mở rời rạc đếm {U (n) : n ∈ N} B với xn ∈ U (n) Với n ∈ N, tồn mn ∈ N cho xn (mn ) ∈ U (n) Lnmn nằm U (n) từ lúc Khơng tính tổng qt, giả sử Lnmn ⊂ U (n) Khi đó, {f (Lnmn ) : n ∈ N} ∪ {y} đóng Sω Đây điều mâu thuẫn Vậy ∂f −1 (y) compact đếm với y ∈ Y Y không chứa đóng Sω 2.1.15 Hệ Giả sử f : X −→ Y ánh xạ đóng từ không gian X với sở yếu σ -đếm địa phương không gian Frechet với k -lưới đếm theo điểm lên không gian tôpô Y Khi đó, ∂f −1 (y) compact với y ∈ Y Y khơng chứa đóng Sω Chứng minh Hệ suy trực tiếp từ Bổ đề 1.2.32 2.1.16 Hệ Giả sử f : X −→ Y ánh xạ đóng từ khơng gian dãy meta Lindelof X lên khơng gian tơpơ Y Khi đó, ∂f −1 (y) compact với y ∈ Y Y không chứa đóng Sω Chứng minh Hệ suy trực tiếp từ Định lý 2.1.14 nhận xét không gian meta Lindelof khả ly khơng gian Lindelof, khơng gian chuẩn tắc 21 2.1.17 Định nghĩa Ánh xạ f : X −→ Y gọi ánh xạ phủ-compact với tập compact K ⊂ Y , tồn tập compact L ⊂ X cho f (L) = K 2.1.18 Hệ Giả sử f : X −→ Y ánh xạ đóng từ không gian dãy meta Lindelof X lên không gian tôpô Y Khi đó, f ánh xạ phủ compact Chứng minh Giả sử f : X −→ Y ánh xạ đóng từ khơng gian dãy meta Lindelof X lên không gian tôpô Y , K tập compact Y Đặt g = f |f −1 (K) : f −1 (K) −→ K Ta có g ánh xạ đóng từ khơng gian dãy meta Lindelof f −1 (K) lên K Vì K tập compact suy khơng chứa đóng Sω Theo Định lý 2.1.14 ∂g −1 (y) compact với y ∈ K Khi tồn tập đóng M f −1 (K) cho g : M −→ K ánh xạ hồn chỉnh Khi (g |M )−1 (K) tập compact f ((g |M )−1 (K)) = K Do đó, f ánh xạ phủ compact 2.2 ´ Anh xạ đóng phủ dãy Mục nghiên cứu tính chất di truyền số khơng gian metric hóa qua ánh xạ đóng phủ dãy 2.2.1 Định nghĩa Ánh xạ f : X −→ Y gọi ánh xạ phủ dãy (tương ứng, ánh xạ phủ dãy con) L dãy Y hội tụ đến y ∈ Y , tồn dãy M X thỏa mãn M hội tụ đến x ∈ f −1 (y) cho f (M ) = L (tương ứng, f (M ) dãy L) 2.2.2 Bổ đề ([3]) Giả sử f : X −→ Y ánh xạ đóng phủ dãy Giả thiêt X khơng gian có sở yếu đếm theo điểm Khi đó, Y khơng gian g -đếm thứ 22 2.2.3 Định lý Không gian với sở đếm theo điểm bảo tồn qua ánh xạ đóng phủ dãy Chứng minh Giả sử f : X −→ Y ánh xạ đóng phủ dãy X khơng gian có sở đếm theo điểm Theo Bổ đề 2.2.2 suy Y không gian Frchet Y không gian g -đếm thứ Do Y khơng gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ Theo Bổ đề 1.2.24 suy Y có k -lưới đếm theo điểm, suy Y khơng gian có sở đếm điểm 2.2.4 Định lý ℵ-không gian bảo tồn qua ánh xạ đóng phủ dãy Chứng minh Giả sử f : X −→ Y ánh xạ đóng phủ dãy P cs-lưới σ -bao đóng di truyền Vì họ bảo tồn bao đóng di truyền di truyền qua ánh xạ đóng tính chất cs-lưới di truyền qua ánh xạ đóng phủ dãy, f (P) cs-lưới σ -bao đóng di truyền cs-lưới Y Theo Bổ đề 1.2.26 ta có Y ℵ-khơng gian 2.2.5 Nhận xét Tính metric bảo tồn qua ánh xạ hồn chỉnh, ánh xạ hồn chỉnh khơng bảo tồn tính chất g -metric 2.2.6 Ví dụ Kí hiệu S2 = (N × N) ∪ N ∪ {∝} không gian mà điểm N × N lập Mỗi sở điểm n ∈ N bao gồm tất tập có dạng {n} ∪ {(m, n) : m ≥ k} U lân cận ∝ ∝∈ U U lân cận tất số hữu hạn n ∈ N Khi khơng gian Sω ảnh qua ánh xạ hồn chỉnh khơng gian S2 , khơng gian S2 g -đếm thứ hai, Sω không không gian g -đếm thứ Yan, Lin Jiang[11] chứng minh tính chất metric bảo tồn qua ánh xạ đóng, ánh xạ phủ dãy Lin đặt câu hỏi: Không gian 23 g -metric có bảo tồn qua ánh xạ đóng phủ dãy khơng? Nghiên cứu câu hỏi có câu trả lời sau: 2.2.7 Định lý Không gian g -metric bảo tồn qua ánh xạ đóng phủ dãy Chứng minh Giả sử f : X −→ Y ánh xạ đóng phủ dãy X không gian g -metric Theo Bổ đề 2.2.2 ta có Y khơng gian g -đếm thứ nhất, theo Định lý 2.2.4 ta có Y ℵ-khơng gian Do Y khơng gian g -metric 2.2.8 Hệ Không gian symmetric ℵ-không gian bảo tồn qua ánh xạ đóng phủ dãy Chứng minh Theo Bổ đề 1.2.40 ta có khơng gian symmetric ℵ-khơng gian không gian g -metric Nhờ Định lý 2.2.7 ta có k -khơng gian snmetric bảo tồn qua ánh xạ đóng phủ dãy 2.2.9 Hệ k -khơng gian ℵ-khơng gian bảo tồn qua ánh xạ đóng phủ dãy Chứng minh Theo Bổ đề 1.2.39 ta có khơng gian g -metric k -không gian ℵ-không gian Nhờ Định lý 2.2.7 ta có k -khơng gian ℵ-khơng gian bảo tồn qua ánh xạ đóng phủ dãy 2.2.10 Hệ Không gian đếm thứ ℵ-khơng gian bảo tồn qua ánh xạ đóng phủ dãy Chứng minh Theo Bổ đề 1.2.38 ta có khơng gian g -metric X không gian đếm thứ ℵ-không gian Từ Định lý 2.2.7 ta có khơng gian đếm thứ ℵ-khơng gian bảo tồn qua ánh xạ đóng phủ dãy 24 2.2.11 Hệ Không gian g -đếm thứ g -đếm thứ hai bảo tồn qua ánh xạ đóng phủ dãy Chứng minh Hệ suy trực tiếp từ định nghĩa 2.2.12 Hệ Không gian dãy sn-đếm thứ bảo tồn qua ánh xạ đóng phủ dãy Chứng minh Theo Bổ đề 1.2.43 ta có khơng gian g -đếm thứ X không gian dãy sn-đếm thứ Từ Định lý 2.2.7 ta có khơng gian dãy sn-đếm thứ bảo tồn ánh xạ đóng phủ dãy 2.2.13 Hệ Không gian dãy sn-đếm thứ hai bảo tồn qua ánh xạ đóng phủ dãy Chứng minh Theo Bổ đề 1.2.44 ta có khơng gian g -đếm thứ hai X không gian dãy sn-đếm thứ hai Từ Định lý 2.2.7 ta có khơng gian dãy sn-đếm thứ hai bảo tồn qua ánh xạ đóng phủ dãy 2.2.14 Nhận xét Định lý 2.2.7 cho câu trả lời khẳng định câu hỏi Lin Một câu hỏi tự nhiên đặt thay điều kiện ánh xạ phủ dãy giả thiết ánh xạ phủ dãy định lý kết cịn không? Câu trả lời không Thật vậy, ánh xạ đóng khơng gian dãy ánh xạ phủ dãy Trong phần bàn mối liên hệ ánh xạ đóng, mở ánh xạ phủ dãy 2.2.15 Định lý Giả sử f : X −→ Y ánh xạ vừa đóng vừa mở Nếu điểm X Gδ -tập f ánh xạ phủ dãy 25 Chứng minh Xét dãy {yn } hội tụ tới y ∈ Y Lấy x ∈ f −1 (y), giả sử {U (m) : m ∈ N} dãy tập mở cho U (1) = X, Um+1 ⊂ U (m) {x} = ∩{U (m) : m ∈ N} Vì f la ánh xạ mở, {f (U (m)) : m ∈ N} dãy lân cận giảm y Với m ∈ N, giả sử f −1 (yn ) ∩ U (m) = ∅ với n ≥ im (im+1 > im ) Chọn xn ∈ f −1 (yn ) ∩ U (m) với im ≤ n < im+1 Vì f ánh xạ đóng, dãy {xn } có điểm tụ x Dễ thấy xn → x f (xn ) → yn , nghĩa f ánh xạ phủ dãy 2.2.16 Hệ ℵ-không gian bảo tồn qua ánh xạ vừa đóng vừa mở Chứng minh Theo Định lý 2.2.4 ta có ℵ-khơng gian bảo tồn qua ánh xạ đóng phủ dãy Theo Định lý 2.2.15 điểm ℵ-không gian Gδ tập nên ℵ-không gian bảo tồn qua ánh xạ vừa đóng vừa mở 2.2.17 Hệ Không gian g -metric bảo tồn qua ánh xạ vừa đóng vừa mở Chứng minh Theo Định lý 2.2.4 ta có khơng gian g -metric bảo tồn qua ánh xạ đóng phủ dãy Theo Định lý 2.2.7 điểm không gian g -metric Gδ tập, nên không gian g -metric bảo tồn qua ánh xạ vừa đóng vừa mở 2.2.18 Hệ k -không gian không gian sn-metric bảo tồn ánh xạ vừa đóng vừa mở Chứng minh Theo Bổ đề 1.2.41 ta có k -khơng gian khơng gian sn-metric không gian g -metric Nhờ Định lý 2.2.4 ta có k -khơng gian khơng gian sn-metric bảo tồn qua ánh xạ đóng phủ dãy 2.2.19 Hệ Không gian g -đếm thứ g -đếm thứ hai qua tồn ánh xạ vừa đóng vừa mở 26 Chứng minh Hệ suy trực tiếp từ định nghĩa 2.2.20 Hệ Không gian dãy sn-đếm thứ bảo tồn qua ánh xạ vừa đóng vừa mở Chứng minh Theo Bổ đề 1.2.43 ta có khơng gian g -đếm thứ X không gian dãy không gian sn-đếm thứ Nhờ Hệ 2.2.20 ta có khơng gian dãy sn-đếm thứ bảo tồn qua ánh xạ đóng phủ dãy 2.2.21 Hệ Không gian dãy không gian sn-đếm thứ hai bảo tồn qua ánh xạ vừa đóng vừa mở Chứng minh Theo Bổ đề 1.2.44 ta có khơng gian g -đếm thứ hai X không gian dãy không gian sn-đếm thứ hai Nhờ Hệ 2.2.20 ta có khơng gian dãy khơng gian sn-đếm thứ hai bảo tồn qua ánh xạ đóng phủ dãy 27 KẾT LUẬN Luận văn đạt kết sau Hệ thống lại khái niệm tôpô, loại không gian mối quan hệ loại khơng gian Chứng minh chi tiết số kết mà tài liệu tham khảo không chứng minh Đưa số hệ như: Hệ 2.2.8, Hệ 2.2.9, Hệ 2.2.10, Hệ 2.2.11, Hệ 2.2.12, Hệ 2.2.13, Hệ 2.2.16, Hệ 2.2.17, Hệ 2.2.18, Hệ 2.2.19, Hệ 2.2.20, Hệ 2.2.21 Đây hướng nghiên cứu mẻ lĩnh vực tôpô, đề tài mà tác giả nghiên cứu có nhiều vấn đề mở như: Nếu thay ánh xạ thương cho ánh xạ đóng kết luận văn có cịn với ánh xạ thương hay khơng? Nếu khơng cần phải có thêm điều kiện thêm để kết bảo toàn Trong luận văn tác giả dừng lại lớp không gian g -metric Như biết rằng, không gian g -metric k -không gian khơng gian sn-metric, kết lớp khơng gian sn-metric nào? Đó vấn đề mà thời gian tới tác giả tiếp tục nghiên cứu 28 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phan Tất Hiển (2007), Tính chất CF khơng gian với k - lưới bảo tồn bao đóng di truyền yếu, Khóa luận tốt nghiệp đại học, ĐH Vinh [2] R Engelking (1977), General Topology, Warszawa, Polska Akademia Nauk, Instytut Matematyczny [3] Chuan Liu (2007), Notes on closed mappings, Houston Journal of Mathematies.,Vol.33 249-259 [4] H Junnila and Z Yun (1992), ℵ-spaces and spaces with a σ hereditarily closure-preserving k-network, Topology Appl., 44, 209215 [5] Y Ge (2003), Characterizations of sn-metrizable spaces, Department of Mathematics Suzhou University, Suzhou 215006, 122-128 [6] Z Li, Q Li (2007), A mapping theorem on g-metrizable spacces, Mathematical Sciences., Vol 14, 35-40 [7] X Ge (2007), Spaces with a locally countable sn-network, Lobachevskii Journal of Mathematics., Vol 26, 33-49 [8] S.Lin (1988), Mapping theorems on ℵ spaces, Topology Appl., 30, 159-164 [9] Z Gao and Y Hattori (1986), A characterization of closeds-images of metric spaces, Q and A, in Gen Top., 4, 147-151 [10] P Yan, S Lin and S Jiang (2004), Metrizability is preserved by closed and sequence-covering maps, Acta Mathematica Sinica., 47, 87-90 [11] F Siwiec (1971), Sequence-covering and countably bi-quotient mappings, General Topology Appl., 1, 143-154 [12] S Lin and Y Tanaka (1994), Point-countable k -network, closed maps, and related results, Topology Appl., 59, 79-86 ... vậy, ánh xạ đóng khơng gian dãy ánh xạ phủ dãy Trong phần bàn mối liên hệ ánh xạ đóng, mở ánh xạ phủ dãy 2.2.15 Định lý Giả sử f : X −→ Y ánh xạ vừa đóng vừa mở Nếu điểm X Gδ -tập f ánh xạ phủ dãy. .. địa phương 14 CHƯƠNG ´ ANH XẠ ĐÓNG VÀ ÁNH XẠ ĐÓNG PHỦ DÃY 2.1 Thớ ánh xạ đóng Trong mục đưa số đặc trưng ảnh đóng σ -compact khơng gian metric thảo luận thớ ánh xạ đóng khơng gian g -metric 2.1.1... không gian dãy, k -lưới, mối quan hệ loại không gian Chương Một số tính chất ánh xạ đóng ánh xạ phủ dãy Trong chương này, chúng tơi tập trung nghiên cứu tính chất ánh xạ đóng, ánh xạ phủ dãy loại