1 Tr-ờng đại học vinh Khoa toán == == Vũ đình thắng Một số đặc tr-ng ánh xạ đóng, mở Và ánh xạ liên tục Khoá luận tốt nghiệp đại học ngành cử nhân s- phạm toán Cán h-ớng dẫn khoá luận PGS.TS trần văn ân Sinh viên thực hiện: vũ đình thắng Lớp: 46A-Toán Vinh-2009 Mục lôc Trang Môc lôc Lêi nói đầu Ch-¬ng Mét sè kiÕn thøc chuÈn BÞ 1.1 Các khái niệm 1.2 Mét số tính chất ánh xạ đóng, mở ánh xạ liên tục Ch-ơng số đặc tr-ng ánh xạ đóng, mở Và ánh xạ liên tôc 11 2.1 Một số đặc tr-ng ánh xạ đóng, mở ánh xạ liên tục theo lớp dÃy hội tụ 11 2.2 Một số đặc tr-ng ánh xạ đóng, mở ánh xạ liên tục quan hệ bao hàm tập hợp 16 Kết luËn 25 Tài liệu tham khảo 26 Lời nói đầu Chúng ta đà biết, có X, Y không gian tôpô f :X Y ánh xạ đó, có khái niệm f ánh xạ liên tục nÕu f 1 V lµ tËp më Y, với tập mở V X Đặc biệt X, Y không gian mêtric f(xn ) f( x) Y , víi mäi d·y x n X mà f ánh xạ liên tục vµ chØ nÕu lim n lim x n x X ” Cịng nh- vËy, ta biÕt “f lµ ánh xạ mở (đóng) f(U) n tập mở (đóng) Y, với tập U mở (đóng) X Vậy câu hỏi đặt có đặc trưng ánh xạ đóng, mở ánh xạ liên tục theo dÃy hội tụ theo quan hệ bao hàm không? Với mục đích để trả lời câu hỏi trên, khoá luận đà trình bày số đặc tr-ng ánh xạ đóng, mở ánh xạ liên tục không gian tôpô Khoá luận đ-ợc trình bày theo bố cục nh- sau Ch-ơng1 trình bày số kiến thức tính chất tôpô đại c-ơng chứng minh số tính chất làm sở cho phần sau Ch-ơng2 số đặc tr-ng ánh xạ đóng, mở ánh xạ liên tục theo d·y héi tơ vµ theo quan hƯ bao hµm tËp hợp Cuối tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới thầy giáo, PGS.TS Trần Văn Ân, ng-ời đà tận tình, trực tiếp h-ớng dẫn tác giả hoàn thành khoá luận Nhân dịp tác giả xin gửi lời cảm ơn đến thầy giáo, cô giáo tổ giải tích, Khoa Toán-Tr-ờng Đại học Vinh tập thể lớp 46A-Toán đà quan tâm giúp đỡ tác giả suốt trình học tập tr-ờng Do điều kiện thời gian hạn chế lực nên khoá luận không tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận đ-ợc ý kiến đóng góp quý báu quý thầy cô bạn Vinh, tháng 04 năm 2009 Tác giả Ch-ơng Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 khái niệm 1.1.1 Định nghĩa Cho tập hợp X Họ tập X đ-ợc gọi tôpô X, nÕu nã tho¶ m·n (i) τ, X τ; (ii) Víi mäi A τ , B τ th× A B ; (iii) Víi mäi hä A i : i I τ th× A i iI Khi ®ã, (X, τ ) đ-ợc gọi không gian tôpô, phần tử X đ-ợc gọi điểm không gian tôpô (X, ) Mỗi tập A đ-ợc gọi tập mở A , phần bù tập mở gọi tập đóng Nếu không sợ nhầm lẫn tôpô X ta viết kh«ng gian X thay cho kh«ng gian (X, τ ) 1.1.2 Nhận xét Từ định nghĩa ta có nhận xét (i) X tập mở; (ii) Giao hữu hạn tập mở tập mở; (iii) Hợp họ tuỳ ý tập mở tập mở 1.1.3 Định nghĩa Cho không gian tôpô (X, ) B , B đ-ợc gọi sở tôpô nÕu víi mäi V τ vµ víi mäi x V tån t¹i U B cho x U V 1.1.4 Định nghĩa Cho (X, ) không gian tôpô, x X Ta có định nghĩa (i) Tập U X đ-ợc gọi lân cận điểm x, tồn V cho x V U; (ii) U( x ) họ lân cận x Khi ®ã, hä B( x ) cđa U( x ) đ-ợc gọi sở lân cận điểm x lân cận V x tồn mét tËp U B( x ) cho x U V 1.1.5 Định nghĩa Giả sử X không gian tôpô x X TËp A X, ®iĨm x A đ-ợc gọi điểm A tồn lân cận U điểm x cho U A Tập hợp điểm A gọi phần A kí hiệu intA Ao 1.1.6 Nhận xét Giả sử X không gian tôpô A, B X Khi ®ã ta cã (i) Ao lµ tËp më lín nhÊt đ-ợc chứa A; (ii) A tập mở vµ chØ nÕu Ao = A; (iii) NÕu A B A o Bo 1.1.7 Mệnh đề Giả sử X không gian tôpô A, B X Khi ®ã (i) ; (ii) A o A ; (iii) (A B) o A o Bo ; (iv) (A B) o A o Bo ; (v) (Ao ) o A o 1.1.8 Định nghĩa Giả sử X không gian tôpô A X Giao họ tất tập đóng chứa A đ-ợc gọi bao đóng tập hợp A, kí hiệu cl(A) A 1.1.9 Nhận xét Giả sử X không gian tôpô A X Khi từ định nghĩa ta có nhận xét (i) A tập đóng bé chứa A; (ii) A tập đóng A A ; (iii) NÕu A B th× A B 1.1.10 Mệnh đề Cho không gian tôpô X A, B X Khi (i) ; (ii) A A ; (iii) A B A B ; (iv) A B A B ; (v) ( A ) A 1.1.11 Mệnh đề Giả sử X không gian tôpô, x X , A X Khi đó, x A chØ nÕu víi l©n cËn bÊt kú U cđa x, ta có U A 1.1.12 Định nghĩa Cho X không gian tôpô, dÃy x n n đ-ợc gọi hội tụ điểm x X nÕu víi l©n cËn bÊt kú V x lúc phần tử dÃy x n n nằm V x n x Lóc ®ã, ta gọi x giới hạn dÃy x n n 1 Vµ kÝ hiƯu lµ lim n 1.1.13 Định nghĩa Cho không gian tôpô X, A n n dÃy tập khác rỗng X, x đ-ợc gọi điểm tụ dÃy A n n tồn mét d·y A n k k dÃy A n n t-ơng ứng cã d·y x n k k 1 , cho x n A n víi k k x n x mäi k vµ lim k k Tập điểm tụ dÃy A n n đ-ợc kí hiệu lim sup An n T-ơng tự, ta định nghĩa tập điểm giới hạn dÃy A n n kí hiệu lim inf An Khi ®ã x lim inf A n tồn dÃy x n n 1 , x n A n víi n n xn x mäi n vµ lim u 1.1.14 Mệnh đề ([5]) Cho X không gian tôpô, A n n dÃy tập khác rỗng X Khi (i) Víi x X, x lim sup A n với lân cận U x ta có U n giao với vô hạn tËp An cđa d·y; A n nÕu vµ chØ nÕu với lân cận U x ta có U (ii) Víi x X, x lim inf n giao với An kể từ n trở 1.1.15 Mệnh đề Cho X không gian tôpô, A n n dÃy tập khác rỗng X Khi lim sup A n tập đóng n Chứng minh Đặt A = lim sup A n n NÕu A suy A tËp ®ãng NÕu A th× ta sÏ chøng minh A A k Tr-íc hÕt ta chøng minh n 1 k n A A k Thật vậy, lấy p A Giả sử U lân cận p, U giao n k n vô hạn tập Ak nªn víi mäi n ta cã U ( A k ) Suy p k n A kn k víi mäi n Do ®ã p A k V× vËy A A k (1) n 1 k n n 1 k n Mặt khác, lấy q A k Gi¶ sư q A , tồn lân cận U n 1 k n cđa q mµ U chØ giao với hữu hạn tập Ak, chẳng hạn: A1, A2, A n Khi ®ã V ( A k ) , suy q A k Từ dẫn đến mâu thuẫn Do q A V× k n 1 k n 1 vËy A A k (2) n 1 k n Tõ (1) vµ (2) ta cã lim sup A n = A k VËy lim sup An lµ mét tËp ®ãng n 1 k n n n X 1.1.16 Mệnh đề Cho X không gian tôpô, kí hiệu A c phần bù A X Khi ®ã ta cã A c = A o c Chøng minh Gi¶ sư A X Do Ao A nªn A c A o Vì Ao tập mở c nên A o tập đóng Khi đó, A c A o = A o (1) c c c Mặt khác, A c tËp ®ãng chøa A c vËy A c A c A suy A c c c c lµ tËp më chøa A, tõ ®ã A c A o hay A c A o (2) c c Tõ (1) vµ (2) ta đ-ợc A c = A o c 1.1.17 Định nghĩa Hàm d : X X R thoả mÃn điều kiện (i) dx, y vµ dx, y vµ chØ x y ; (ii) dx, y dy, x víi mäi x, y X ; (iii) dx, y dx, z dz, y víi mäi x, y, z X ; đ-ợc gọi mêtric X Không gian tuyến tính X mêtric d đ-ợc gọi không gian mêtric tuyến tính phép toán cộng nhân với vô h-ớng liên tục theo tôpô sinh mêtric d 1.1.18 Mệnh đề ([5]) Tập F không gian mêtric X tập đóng X chØ víi mét d·y bÊt k× x n phần tử F, lim xn xo X n th× x o F 1.2 Một số tính chất ánh xạ đóng, mở ánh xạ liên tục 1.2.1 Định nghĩa Giả sử X, Y không gian tôpô f : X Y ánh xạ Khi (i) f ánh xạ liên tục nghịch ảnh f V tập mở X, víi mäi tËp më V Y; (ii) f ánh xạ đóng f(A) tËp ®ãng Y, víi mäi tËp ®ãng A X; (iii) f ánh xạ mở nÕu f(A) lµ tËp më Y, víi mäi tËp më A X 1.2.2 MƯnh ®Ị Cho X, Y không gian tôpô f : X Y ánh xạ Khi đó, mệnh đề sau t-ơng đ-ơng (i) f ánh xạ liên tơc; (ii) f 1 V lµ tËp më X, víi mäi tËp më V Y; (iii) f F tập đóng X, với tập ®ãng F Y; (iv) f(A) f(A) , víi mäi tËp A cña X; (v) f 1 B f 1 B , víi mäi tËp B cña Y; (vi) f 1 (Bo ) (f 1 (B)) o , víi mäi tËp B cđa Y Chứng minh (i) (ii) Từ định nghĩa suy (i) (ii) (ii) (iii) Gi¶ sư cã (ii) F tập đóng Y Khi F c lµ tËp më Y Theo (ii) f 1 (Fc ) lµ tËp më X Mµ f 1 (Fc ) = (f 1 (F))c nªn (f 1 (F))c tËp më X Do ®ã f 1 (F) tập đóng X, với tập F đóng Y (iii) (iv) Giả sử có (iii) A X Vì f(A) tập đóng Y, nªn theo (iii) f f(A) tập đóng X Mà A f 1 f(A) nªn A f 1 f A Suy f (A) f (A) , víi mäi tËp A cđa X 10 (iv) (v) Giả sử có (iv) B tËp Y Theo (iv) lÊy A f 1 B ta cã f f 1 (B) f (f 1 (B)) B Do ®ã f 1 (B) f 1 ( B) , víi mäi tËp B cđa Y (v) (vi) Gi¶ sử có (v) B tập Y Khi ®ã ta cã, f B V× f B f B nªn f B f B , tõ B f B f B f B Do vËy f (B ) (f (B)) , víi mäi f 1 Bo f 1 Bc ®ã f 1 o c 1 1 c c c 1 c 1 c c 1 c 1 o 1 c 1 o c c 1 1 c c o tËp B cña Y (vi) (ii) Giả sử có (vi) V tập mở Y Từ V tập më Y, suy Vo=V Do vËy theo (vi) ta cã f 1 (V) f 1 (Vo ) f 1 (V) Suy o f 1 (V) f 1 (V) , tøc lµ f 1 (V) lµ mét tËp më X VËy f liên tục o 1.2.3 Mệnh đề Cho X, Y không gian tôpô ánh xạ f :X Y Khi (i) f ánh xạ më nÕu vµ chØ nÕu f(Ao ) ( f(A))o , víi mäi tËp A X ; (ii) f ánh xạ đóng f (A) f (A) , víi mäi tËp A X Chứng minh (i) Giả sử f ánh xạ më vµ A lµ tËp bÊt kú X Ta cã A o A , suy f(Ao ) f(A) Do f ánh xạ mở nên f(Ao) lµ tËp më chøa f(A) Do vËy f(Ao ) (f(A))o Ng-ợc lại, giả sử có f(Ao ) (f(A))o , víi mäi tËp A X U tập mở X Khi ®ã U = U o Nhê gi¶ thiÕt ta cã f(U) f(Uo ) (f(U))o Mµ (f(U))o f(U) nên f(U) (f(U))o hay f(U) tập mở Y Vậy f ánh xạ mở (ii) Giả sử f ánh xạ đóng A tËp bÊt kú cña X Ta cã A A dÉn ®Õn f (A) f (A) , suy f (A) f (A) Vì f ánh xạ đóng A tập đóng nên f A tập đóng Từ f (A) f(A) f(A) VËy f (A) f (A) , víi mäi tËp A X Ng-ỵc lại, giả sử có f(A) f(A) , với tập A X F tập đóng bÊt kú X Khi ®ã ta cã f(F) f F f(F) (*) Mặt khác ta có f F f F KÕt hỵp víi (*) ta cã f F f F Do ®ã f(F) tập đóng Y, với F tập đóng X Vậy f ánh xạ đóng 13 điều mâu thuẫn với y n k U với k Vậy f ánh xạ liên tục (iii)(ii) Là hiển nhiên (i)(iii) Giả sử x n n 1 lµ d·y X mµ lim x n x X Khi f ánh n xạ liên tục nên ta cã f(x) lim supf( x n ) B©y giê gi¶ sư y lim sup f ( x n ) Khi n tồn dÃy x n k n f x n y Ta cã lim x n x suy cđa d·y x n n 1 mµ lim k n k 1 k lim x n k x Do f liên tơc nªn lim f ( x n k ) f ( x ) Vì không gian mêtric Y k k không gian hausdorff, nên dÃy f x n k k 1 kh«ng thĨ hội tụ hai phần tử khác Y Do ta có f(x) = y Vì f(x) lim sup f(x n ) n Nh- vËy f(x) lim sup f(x n ) n 2.1.3 Định lý Cho X, Y hai không gian mêtric cho f :X Y ánh xạ Khi mệnh đề sau t-ơng đ-ơng (i) f ánh xạ mở; (ii) f (y) lim sup f 1 (yn ) , víi mäi d·y y n n 1 mµ lim y n y Y n n Chøng minh (i)(ii) Gi¶ sử f ánh xạ mở y n n 1 lµ mét d·y Y y n y Y Vì f ánh xạ mở nên f(X) lµ tËp më Y mµ lim n NÕu y f (X) th× f 1 ( y) Tõ ®ã suy (ii) ®óng NÕu y f (X) , f(X) tập mở nên ta cã y n f (X) víi mäi n đủ lớn, không tính tổng quát ta gi¶ sư y n f (X) , víi mäi n Nhê MƯnh ®Ị 1.1.15, tËp lim sup f 1 (yn ) tập đóng X Giả sử f 1 (y) lim sup f 1 (yn ) Khi n n tồn x f (y) cho x lim sup f 1 (yn ) n Đặt U = X \ lim sup f (yn ) Ta có U lân cËn më cđa x Gi¶ sư U n n 1 n sở lân cận mở giảm x đ-ợc chứa U, nghĩa dÃy l©n cËn më U n n1 cđa x X tho¶ m·n x U n 1 U n U, víi mäi n vµ U n x n 14 Giả sử n=1 Khi theo giả thiết f(U1) lân cận mở f(x) = y Y y n y nªn tån số tự nhiên n1 cho y n f (U1 ) víi mäi n n1 Gi¶ sử Vì lim n đà chọn đ-ợc y n1 , y n , y n k cho y n j f ( U j ), víi mäi j 1, ,k vµ y n f (U k ) víi mäi n n k Với Uk1 tồn số tự nhiên n k 1 n k cho y n f (U k 1 ) víi mäi n n k 1 Khi ®ã, y n k k 1 lµ d·y cđa d·y y n n 1 Gi¶ sư x k X cho x k U k vµ f (x k ) y n k , tøc x k f 1 ( y n k ), víi mäi k Ta cã x k x Tõ c¸ch xác x k U k với k x j U j U k víi mäi j k Từ lim k định tËp lim sup f 1 (yn ) ta suy x lim sup f 1 (yn ) §iỊu dẫn đến mâu thuẫn n n Vậy f (y) lim sup f 1 (yn ) n (ii)(i) Giả sử f không ánh xạ mở Khi ®ã, tån t¹i mét tËp më A cđa X cho f(A) không mở Y Suy f A không tập đóng Y Do c tồn dÃy y n n Y cho y n f(A) víi moi n vµ lim y n y Y n nh-ng y f(A) Vì y f(A) nên tồn t¹i x A cho f(x) = y, tøc x f 1 ( y) Tõ gi¶ thiÕt f 1 (y) lim sup f 1 (yn ) suy x lim sup f 1 (yn ) Do tồn dÃy n n y n k k 1 cña d·y y n n 1 vµ d·y x k k 1 X cho x k f 1 (yn ) víi mäi k vµ k lim x k x Khi ®ã, x k A víi k Thật vậy, giả sử tồn k cho x k A kÐo theo k y n f(xk ) f(A), m©u thn víi y n f(A) với mọ k Vì A c tËp ®ãng, x k A c víi k k k lim x k x nên x A c hay x A Điều dẫn đến mâu thuẫn k Vậy f ánh xạ mở 2.1.4 Hệ Nếu f : X Y song ánh f ánh xạ mở f ánh xạ liên tục Chứng minh Giả sử f song ánh Nếu f : X Y ánh xạ mở V tập mở X Vì f 1 V f V lµ tËp mở Y, nên f liên tục 15 Ng-ợc lại, f liên tục U tập mở X nhờ tính liªn tơc cđa f 1 suy f 1 U tập mở Y Nh-ng f song ánh nên ta có f U f 1 U Suy f(U) lµ tËp më Y 1 VËy f lµ ánh xạ mở 2.1.5 Hệ Cho X Y không gian mêtric tuyến tính f :X Y ánh xạ tuyến tính Khi đó, mệnh đề sau t-ơng đ-ơng (i) f ánh xạ liên tục; x n 0x (ii) y lim sup f(xn ), víi mäi x n n 1 mµ lim n n Trong x , y lần l-ợt phần tử không X Y Chứng minh (i)(ii) Giả sử f ánh xạ liên tục Khi đó, theo Định lý 2.1.2 x n x Do f ánh ta có f(0x ) lim sup f(xn ) , víi mäi d·y x n n X mà lim n n xạ tuyÕn tÝnh nªn f(0x ) y Tõ ®ã ta cã y lim sup f(xn ) , víi mäi d·y x n n 1 n x n 0x X mµ lim n (ii)(i) Giả sử f không liên tục 0x Khi đó, tồn dÃy x n n cho lim x n x nh-ng f ( x n ) kh«ng héi tơ vỊ f(0x ) y Tõ ®ã ta cã d·y x n k k 1 x n x , nh-ng tồn lân cận U cđa y Y ®Ĩ cđa d·y x n n 1 cho lim k k y k f x n U , víi mäi k Nh-ng theo gi¶ thiÕt y lim sup f x n , tồn k d·y y k j j1 k k cđa d·y y k k 1 ®Ĩ lim y k y Tõ ®ã tån y k f x n U, đến j j j kj lúc Điều mâu thuẫn với f x n U với k Vậy f liên tục 0x k Mặt khác, f ánh xạ tuyến tính nên với x bÊt kú X, ta cã lim f(x n ) f(x) lim f(x n x) y VËy f liªn tơc víi mäi x X n n 2.1.6 MÖnh đề Giả sử f : X Y song ánh Khi đó, f ánh xạ đóng f 1 (yn ), víi mäi d·y y n n 1 mµ lim y n y Y nÕu f 1 (y) lim inf n n 16 Chứng minh Giả sử f không ánh xạ ®ãng Khi ®ã tån t¹i tËp E ®ãng X mà f(E) không tập đóng Y Do f(E) không tập đóng nên với n, tồn y n f E cho lim y n y Y , nh-ng y f (E) Theo n gi¶ thiÕt f 1 ( y) lim inf f 1 ( y n ) Vì f song ánh, nên f y x Vì f song n ánh x f 1 y lim inf f 1 (yn ) nên với n tồn x n f 1 (yn ) cho n lim x n x X V× y n f (E) f song ánh nên x n E , víi mäi n Tõ ®ã E n tập đóng ta có x E Suy f(x)=y f (E) Điều mâu thuẫn với y f (E) Vậy f ánh xạ đóng 17 2.2 Một số đặc tr-ng ánh xạ đóng, mở ánh xạ liên tục theo quan hệ bao hàm tập hợp Trong ta giả thiết X, Y không gian tôpô 2.2.1 Ký hiệu Cho ánh xạ f : X Y E X Khi ta ký hiÖu (i) f # (E) y Y : f 1 (y) E; (ii) E # = f 1 (f # (E)); (iii) E c X \ E phần bù E X 2.2.2 Định nghĩa Giả sử f : X Y ánh xạ Tập E X đ-ợc gọi tập bÃo hòa X ánh xạ f, tån t¹i tËp B cđa Y cho E f 1 (B) 2.2.3 NhËn xÐt Gi¶ sư f : X Y ánh xạ E X Khi (i) Tập E tập b·o hßa nÕu E f 1 (f(E)); (ii) E # tập bÃo hòa; (iii) Nếu f song ánh tập E X tập bÃo hòa, E f (f (E)) 2.2.4 Bổ đề Giả sử f : X Y ánh xạ E, A, B tập cđa X Khi ®ã (i) NÕu A B th× f # (A) f # (B); (ii) f (E # ) f # (E) f (X) , víi mäi E X; (iii) E # f 1 y : y Y vµ f 1 y E E; (iv) f # () f (X) ; c (v) f # (X) Y, X # X, # ; (vi) f (E # ) f # (E) f (E) ; (vii) f # (Ec ) f(E) , f # (E) f(Ec ) , f(E) f # (Ec ) ; c c c (viii) f # (E # ) f # (E) ; (ix) E lµ tập bÃo hòa E E # Chøng minh (i) Gi¶ sư A B víi A, B X Ta sÏ chøng minh f # (A) f # (B) NÕu f # (A) th× f # (A) f # (B) 18 NÕu f # (A) th× víi mäi y f # (A), ta cã f 1 ( y) A B vµ y Y Do ®ã y f # (B) Suy f # (A) f # (B) VËy f # (A) f # (B) víi A B (ii) Gi¶ sư E X Ta cã f (E # ) f f 1 (f # (E)) f # (E) vµ f (E # ) f (X) Do ®ã f (E # ) f # (E) f (X) (1) Mặt khác, ta có f # (E) f (X) f (E # ) ThËt vËy, lÊy bÊt k× y f # (E) f (X) ta cã y f # (E) vµ yf(X) , ®ã f 1 y f 1 f # E tøc f 1 (y) E # vµ yf(X) DÉn ®Õn y f(E# ) Suy f # (E) f(X) f(E# ) (2) Tõ (1) vµ (2) ta ®-ỵc f (E # ) f # (E) f (X) (iii) Ta cã E # f 1 f # (E) f 1 ( y): y f # (E) f 1 y : y Y vµ f -1 y E E (iv) f # () y Y: f 1 ( y) y Y : f 1 ( y) f (X) c (v) f # X y Y : f 1 y X Y # f 1 (f # ()) f 1 f (X) Ta cã c X # f 1 f # (X) f 1 (Y) X (vi) Nhờ khẳng định (ii) ta có f (E # ) f # (E) f (X) Vì f(E) f(X), nên ta có f # (E) f(E) f # (E) f X f(E# ) Mặt khác ta có f E # f # E vµ f E # f E , nªn f(E# ) f # (E) f(E) Tõ ®ã ta cã f (E # ) f # (E) f (E) (vii) Chøng minh f # (E c ) f (E) , víi E lµ tËp cđa X Tr-íc hÕt ta chøng c minh f # (E c ) f (E) Gi¶ sư f # (E c ) LÊy bÊt k× y f # (E c ) , ta cã f 1 ( y) E c c suy f 1 (y) E dÉn ®Õn f 1 (y ) E Do ®ã y f E suy yf(E) V× vËy c c c c f # (E c ) f (E) (1) c Ta chøng minh f # (Ec ) f(E) Gi¶ sư f(E) LÊy bÊt k× zf (E) c c c suy zf (E) Gi¶ sư zf # (E c ) suy f 1 (z) E c tõ ®ã tån x o f (z) mà x o E Suy f(xo ) f(E), tøc z f(E) Điều mâu thuẫn với zf(E) Suy c zf # (E c ) Do vËy f (E) f # (E c ) (2) c Tõ (1) (2) ta đ-ợc f # (E c ) f (E) c 19 Tõ ®ã ta chøng minh đ-ợc f # (E) f(Ec ) f(E) f # (Ec ) c c (viii) Chøng minh f # (E) f # (E # ) ThËt vËy, E # E nªn f # (E # ) f # (E) (1) MỈt khác giả sử f # (E) , với bÊt k× yf # (E) ta cã f 1 (y) f 1 f # E E # Do ®ã y f # (E # ) VËy f # (E) f # (E# ) 2 Tõ (1) (2) ta đ-ợc f # (E) f # (E # ) (ix) Giả sử E tËp b·o hßa X Ta sÏ chøng minh E # E Ta cã E # E (1) Do E tập bÃo hòa nên E f 1 (f (E)) Gi¶ sư E , lấy x E Khi tån t¹i yf(E) cho x f 1 y V× f 1 y f 1 f E E , suy y f # E Do ®ã x f 1 y E # V× thÕ ta cã E # E Từ (1) (2) ta đ-ợc E E# NÕu E E # = f 1 (f # (E)) theo định nghĩa E tập bÃo hòa 2.2.5 Bổ đề Giả sử f : X Y ánh xạ E tập X Nếu E tập bÃo hòa f Ec tập bÃo hòa f Chứng minh Giả sử f ánh xạ E tập bÃo hòa f X Khi ®ã, ta cã E f 1 (f (E)) suy E c f 1 (f (E)) f 1 f (E) Vậy tồn c c B=[f(E)]c tập cña Y, cho Ec= f 1 (B) VËy Ec tập bÃo hòa f 2.2.6 Bổ đề Giả sử f : X Y ánh xạ Khi đó, mệnh đề sau t-ơng đ-ơng (i) f toàn ánh; (ii) f # (A) f(A# ), víi mäi tËp A cđa X; (iii) f # (A) f(A), víi mäi tËp A cña X; (iv) f # () Chứng minh (i)(ii) Giả sử f toàn ánh A tập X Nhờ Bổ đề 2.2.4 ta cã f (A # ) f # (A) f (X) Do f toàn ánh nên f(X) = Y Kết hợp với f # (A) Y ta đ-ợc f (A # ) f # (A) Y f # (A) VËy f # (A) f(A# ) 20 (ii)(iii) Gi¶ sư cã f # (A) f(A# ), víi mäi tËp A cña X Do A # A nªn f (A # ) f (A) Tõ ®ã ta cã f # (A) f(A) (iii)(iv) Gi¶ sư f # (A) f (A) , víi mäi A X Ta cÇn chøng minh f # () ThËt vËy, f # () f () , suy f # () (iv)(i) Gi¶ sư cã f # () Nhê Bỉ ®Ị 2.2.4 ta cã f # () f (X) Suy c f (X)c hay f(X) = Y Do vËy f toàn ánh 2.2.7 Định lý Cho ánh xạ f : X Y Khi mệnh đề sau t-ơng đ-ơng (i) f ánh xạ më; (ii) f # (A) f # (A) , víi mäi tËp A X ; (iii) f # (F) tập đóng Y, với tập đóng F X Chứng minh (i)(ii) Giả sử f ánh xạ mở A tập cđa X Nhê Bỉ ®Ị 2.2.4 ta cã f # (A) f(A) c Do ®ã f # (A) f(Ac ) V× thÕ tõ c c MƯnh ®Ị 1.2.3 ta cã f (A ) f(A ) Suy f(A ) f A Do ®ã nhê Bỉ ®Ị 2.2.4 ta cã f (A) f(A ) f (A ) f A f A f(A ) c c f(Ac ) o c ta suy f # (A) f(Ac ) Do f ánh xạ mở nên theo c # o c c o c o c o c c o o c c c c c o c # VËy f # (A) f # (A) (ii)(iii) Giả sử có (ii) F tập đóng bÊt k× X Ta sÏ chøng minh f # (F) tập đóng Y Thật vậy, ta có F F , theo (ii) f # (F) f # ( F) f # (F) Suy f # (F) f # (F) hay f # (F) tập đóng Y (iii)(i) Giả sử có (iii) U tập mở X Ta cần chứng minh f(U) tập mở Y Thật vậy, ta có U c tập đóng X, theo (iii) f # ( U c ) tập đóng Y, mà f # (Uc ) f(U) tập đóng Y, suy c f(U) tập mở Y Vậy f ánh xạ mở 21 2.2.8 Hệ Giả sử f : X Y toàn ánh Khi f ánh xạ mở với tËp ®ãng F cđa X, ta cã f (F # ) tập đóng Y Chứng minh Giả sử f toàn ánh F tập đóng X Theo Định lý 2.2.7 ta có f ánh xạ mở f # (F) tập đóng Y, với tập đóng F X Lại f toàn ánh nên nhờ Bổ đề 2.2.6 ta có f # (F) f F# Tõ ®ã ta có Hệ 2.2.8 2.2.9 Hệ Cho ánh xạ mở, toàn ánh f : X Y Khi đó, với tập đóng bÃo hòa E X f E tập đóng Y Đặc biệt, A X A # tập đóng X f (A # ) tập đóng Y Chứng minh Giả sử f ánh xạ mở, toàn ánh E tập đóng bÃo hòa X Ta cần chứng minh f(E) tập đóng Y Thật vậy, E tập bÃo hòa nên E E # Từ theo Hệ 2.2.8 f(E) = f(E# ) tập ®ãng Y, víi E lµ tËp ®ãng X Vậy f(E) tập đóng Y Đặc biệt, A # tập bÃo hòa, nên f (A # ) tập đóng Y A # tập đóng X 2.2.10 Định lý Giả sử f : X Y ánh xạ Khi đó, mệnh đề sau t-ơng đ-ơng (i) f ánh xạ đóng; o (ii) f # (A o ) f # (A) , víi mäi tËp A X ; (iii) f # ( U) lµ tËp më Y, víi mäi tËp më U X Chứng minh (i)(ii) Giả sử f ánh xạ ®ãng vµ A tËp bÊt kú cđa o X Ta sÏ chøng minh f # (A o ) f # (A) ThËt vËy, víi mäi A X , ta cã f # (Ao ) f (Ao ) c f A c c c (1) V× f ánh xạ đóng nên nhờ Bổ đề 1.2.3 ta cã f A c f(Ac ) Suy f(A c ) f A c f # A c c cã f # (Ao ) f # (A) , víi mäi tËp A X o c f A (2) Tõ (1) vµ (2) ta c # o 22 (ii)(iii) Giả sử có (ii) U lµ tËp më bÊt kú X Ta sÏ chøng minh f # ( U) lµ tËp më Y Thật vậy, U tập mở nên U o U Theo (ii) ta cã o o f # ( U o ) f # ( U) f # ( U) Tõ ®ã ta cã f # ( U) f # ( U) VËy f # ( U) lµ tËp më Y, víi U lµ tËp më bÊt kì X (iii)(i) Giả sử có (iii) F tập đóng X Khi nhờ (iii) ta cã f # (Fc ) lµ tËp më Y Mµ f (F) f # (Fc ) , suy f(F) tập đóng Y c Vậy f ánh xạ đóng 2.2.11 Hệ Giả sử f : X Y toàn ánh Khi đó, f ánh xạ đóng với tập mở U X f ( U # ) lµ tËp më Y Chøng minh Theo Định lý 2.2.10 ta có f ánh xạ ®ãng nÕu vµ chØ nÕu f # ( U) më Y, với tập U mở X Do f toàn ánh nhờ Bổ đề 2.2.6 ta có f # ( U) = f ( U # ) Từ ta suy Hệ 2.2.11 2.2.12 Hệ Cho f : X Y ánh xạ đóng, toàn ánh Khi với tập më b·o hoµ U X , ta cã f U tập mở Y Đặc biệt, A X A # tập mở f (A # ) lµ tËp më Y Chøng minh Giả sử f : X Y ánh xạ đóng, toàn ánh U tập mở bÃo hòa X Do f ánh xạ đóng, toàn ánh nên theo Hệ 2.2.11 f(U# ) lµ tËp më Y, víi mäi tËp më U X Từ U tập bÃo hòa suy U U # Do ®ã ta cã f U # f U lµ tËp më Y Vậy f(U) tập mở Y Đặc biệt, E # tập bÃo hòa X, nên f (E # ) lµ tËp më Y, nÕu E # lµ tËp më X 2.2.13 HƯ Giả sử f : X Y song ánh Khi f ánh xạ đóng f ánh xạ mở Chứng minh Giả sử f song ánh Theo Định lý 2.2.10 f ánh xạ đóng víi mäi tËp më U cđa X th× f # U tập mở Y Nhờ Bổ đề 2.2.4, ta cã f # U f U c Vì ta suy f ánh xạ đóng f U c c ®ãng víi mäi tËp më U X Nh-ng f song ánh ta có f U c f U Do c 23 f ánh xạ đóng f(U) më víi mäi tËp më U X, nÕu f ánh xạ mở 2.2.14 Mệnh đề Cho f : X Y ánh xạ đóng Giả sử A X cho tËp cđa A ®Ịu ®ãng X Khi ®ã mäi tËp cđa f # A ®Ịu ®ãng Y Chứng minh Giả sử f ánh xạ ®ãng, A X cho mäi tËp cña A tập đóng X F tËp bÊt kú cña f # F Khi ®ã nÕu y F f # A th× f 1 ( y) A Suy tån t¹i B A cho f(B) = F Do mäi tập A đóng, ta có B tập đóng X Mà f ánh xạ đóng nên f(B) tập đóng Y Vậy F tËp ®ãng Y, víi mäi F f # (A) 2.2.15 Định lý ánh xạ f : X Y liên tục nếu, víi mäi tËp o A cđa X, ta cã f # (A) f # (A o ) Chứng minh Ta biết f ánh xạ liên tục nếu, với tập A cđa X th× f (A) f (A) Theo Bỉ ®Ị 2.2.4 ta cã f (A) f (A) nÕu vµ chØ nÕu f A f # c c # (Ac ) nÕu vµ chØ nÕu f # (Ac ) o f # (Ac ) c c o c nÕu vµ chØ nÕu o f # (A c ) o f # (A c ) , với A X Từ đây, ta đ-ợc f ánh xạ liên tục f # (Ao ) f # (A) , với A X o 2.2.16 Định lý Giả sử f : X Y toàn ánh Khi đó, mệnh đề sau t-ơng đ-ơng (i) f ánh xạ liên tục; (ii) f(A# ) f (Ao ) # , víi mäi tËp A X ; o (iii) Víi bÊt k× A X , ta cã A # lµ tËp më X nÕu f( A # ) lµ tËp më Y; (iv) Với tập bÃo hòa E cña X, ta cã E më X nÕu f(E) më Y; (v) Víi bÊt k× tËp b·o hòa E X, ta có E đóng X f(E) đóng Y 24 Chứng minh (i) (ii) Giả sử f toàn ánh A X Khi ®ã nhê Bỉ ®Ị 2.2.6 ta cã f # (A) f(A# ) vµ f # (Ao ) f (Ao ) # , víi mäi A X Suy f (A ) f o # # (A) V× vËy f # (A) f # (A o ) nÕu vµ chØ nÕu f(A# ) f (Ao ) # , o o o víi mäi A X Do nhờ Định lý 2.2.5 ta có f liên tục f(A ) # o f (Ao ) # , víi mäi A X VËy (i) (ii) (i)(iii) Gi¶ sư cã (i) vµ A X cho f (A # ) tập mở Y Vì A # f (f # (A)) f toàn ánh nªn f # (A) f (A # ) Suy f # (A) lµ tËp më Y Vì f liên tục nên ta có A # f 1 (f # (A)) lµ tËp më X Vậy ta có khẳng định (iii) (iii)(iv) Giả sử cã (iii) vµ E X cho E lµ tập bÃo hòa f(E) tập mở Y Ta sÏ chøng minh E lµ tËp më X Ta có E E # Nhờ khẳng định (iii) ta suy E lµ tËp më X có f(E) tập mở Y (iv)(v) Giả sử có (iv) E tập bÃo hòa X cho f(E) tập đóng Y Suy (f(E))c tập mở Y Vì f (E) f # (E c ) lµ tËp më c Y Do f toàn ánh ta có f # (Ec ) f (Ec ) # Do E tập bÃo hòa suy Ec tập bÃo hòa, hay (E c ) # E c Vì f(E) f(Ec ) tập mở Y Do nhờ c khẳng định (iv) ta cã Ec lµ tËp më X, hay E tập đóng X Vậy ta có khẳng định (v) (v)(i) Giả sử có (iv) S tập đóng Y Đặt E f (S) Khi đó, E tập bÃo hòa f(E) = S tập đóng Y Vì nhờ khẳng định (iv) ta có E tập đóng X Vậy f ánh xạ liên tơc 2.2.17 HƯ qu¶ Gi¶ sư f : X Y song ánh Khi f ánh liên tục f (A) f (A o ) , víi mäi A X o Chứng minh Giả sử f song ánh vµ A lµ tËp bÊt kú cđa X Do f song ánh, nên theo Nhận xét 2.2.3 ta có A, Ao tập bÃo hòa suy A # = A, 25 A o # A o Theo Định lý 2.2.15, f ánh xạ liên tục f (A ) # o f (A o ) # , víi mäi A X nÕu vµ chØ nÕu f(A) f(Ao ) , víi mäi A X o 2.2.18 Hệ ánh xạ f : X Y liên tục với E tập bÃo hòa X, ta có E tập đóng (mở) X mà f(E) tập đóng (mở) f(X) Chứng minh Đặt g : X f(X), xác định gx f x víi mäi x X Khi ®ã g toàn ánh Với A X , g liên tục g A f A gA f A f liên tục Mặt khác, theo Định lí 2.2.16, g liên tục với tập bÃo hòa E, E tập đóng (mở) X f(E) tập đóng (mở) Y Từ ta có Hệ 2.2.18 26 Kết luận Sau trình tìm tòi, nghiên cứu d-ới h-ớng dẫn tận tình thầy giáo PGS.TS Trần Văn Ân tác giả đà thu đ-ợc số kết nh- sau : 1) Trình bày số vấn đề tôpô đại c-ơng 2) HƯ thèng mét sè tÝnh chÊt vµ chøng minh ánh xạ đóng, mở ánh xạ liên tục 3) Đ-a chứng minh Nhận xét 2.2.3, Bổ đề 2.2.5 làm sở cho việc chứng minh bổ đề, mệnh đề, định lý, hệ 4) Đ-a chứng minh số nhận xét, mệnh đề, hệ nh- Hệ 2.1.5, Hệ 2.2.13, Hệ 2.2.17, Mệnh đề 2.1.6, Mệnh đề 2.2.14 5) Tham khảo tài liệu đ-a chøng minh chi tiÕt mét sè bỉ ®Ị, mƯnh ®Ị, định lý hệ 27 Tài liệu tham khảo [1] J Kelli (1973), Tôpô đại c-ơng, Nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệp [2] A N Kolmogorov, S V Fomin (1973), C¬ së lý thuyÕt hàm giải tích hàm, Nhà xuất Giáo dục [3] Nguyễn nhụy - lê xuân sơn (2007), Bài tập tôpô đại c-ơng, Nhà xuất Giáo dục [4] Nguyễn Xuân Liêm (1996), Tôpô đại c-ơng - độ đo tích phân, Nhà xuất Giáo dục [5] K Kuratowski (1966), Topology, Vol I, Academic Press, New York [6] N S Noorie and R Bala (2008), Some characterizations of open, closed, and continuous mappings, International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, Vol 2008, Article ID 527106 [7] I E Schochetman (2006), A characterization of open mapping in terms of convergent sequences, International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, Vol 2006, Article ID 76162 ... 1.2 Một số tính chất ánh xạ đóng, mở ánh xạ liên tục Ch-¬ng số đặc tr-ng ánh xạ đóng, mở Và ánh xạ liên tục 11 2.1 Một số đặc tr-ng ánh xạ đóng, mở ánh xạ liên tục theo... Ch-ơng Một số đặc tr-ng ánh xạ đóng, mở ánh xạ liên tục 2.1 Một số đặc tr-ng ánh xạ đóng, mở ánh xạ liên tục theo lớp dÃy hội tụ 2.1.1 Định nghĩa Cho X, Y không gian tôpô, x n n dÃy X ánh xạ f... Vậy f ánh xạ mở 2.1.4 Hệ Nếu f : X Y song ánh f ánh xạ mở f ánh xạ liên tục Chứng minh Giả sử f song ánh Nếu f : X Y ánh xạ mở V tập mở X Vì f 1 V f V lµ tËp mở Y, nên f liên tục 15