Không gian với sn lưới б bảo toàn bao đóng di truyền yếu và một số đặc trưng của không gian sn khả metric

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH —————— —————– ——————– —————— NGUYỄN TIẾN DŨNG KHÔNG GIAN VỚI sn- LƯỚI σ - BẢO TỒN BAO ĐĨNG DI TRUYỀN YẾU VÀ MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA KHÔNG GIAN sn- KHẢ METRIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC VINH - 2009 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH —————— —————– ——————– —————— NGUYỄN TIẾN DŨNG KHÔNG GIAN VỚI sn- LƯỚI σ - BẢO TỒN BAO ĐĨNG DI TRUYỀN YẾU VÀ MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA KHÔNG GIAN sn- KHẢ METRIC Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán hướng dẫn khoa học PGS.TS TRẦN VĂN ÂN VINH - 2009 MỤC LỤC Trang MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU Chương Không gian với sn-lưới σ-bảo tồn bao đóng di truyền yếu 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.2 Không gian với sn-lưới đếm địa phương 1.3 Khơng gian với sn-lưới σ-bảo tồn bao đóng di truyền yếu 14 Chương Một số đặc trưng không gian sn-khả mêtric 19 2.1 Không gian sn-khả mêtric sn-lưới điểm 19 2.2 Không gian sn-khả mêtric ảnh không gian mêtric 23 KẾT LUẬN 29 TÀI LIỆU THAM KHẢO 30 LỜI NĨI ĐẦU Khơng gian với sn-lưới không gian sn-khả metric nghiên cứu cách rộng rãi năm gần đây, phần lớn Y Tanaka, P Yan, S Lin, Y Ge, X Ge, J Shen Năm 2004, S Lin P Yan thu số kết điều kiện để k-không gian g-đếm thứ (g-đếm thứ hai) số điều kiện tương đương không gian g-khả metric thông qua ảnh không gian metric qua ánh xạ đặc biệt (ánh xạ thương, ánh xạ thương dãy, π-ánh xạ, σ-ánh xạ) Trên sở báo X Ge, J Shen Y Ge, với hướng dẫn thầy giáo PGS.TS Trần Văn Ân, tác giả tiếp cận hướng nghiên cứu Mục đích luận văn hệ thống lại số vấn đề không gian với sn-lưới σ-bảo tồn bao đóng di truyền yếu khơng gian sn-khả metric, mà qua để trả lời câu hỏi S Lin P Yan khơng gian với sn-lưới σ-bảo tồn bao đóng di truyền yếu có phải sn-đếm thứ hay không? Ứng dụng kết này, chứng minh rng mt khụng gian Lindelăof vi mt sn-li -bo tồn bao đóng di truyền yếu sn-đếm thứ hai Đối với không gian sn-khả metric kết thu không gian không gian sn-khả mêtric có sn-lưới điểm hữu hạn địa phương σ-ảnh, π (compact), thương dãy không gian mêtric Được xem hệ kết trên, không gian không gian g-khả metric σ-ảnh, π (compact), thương không gian metric Cấu trúc luận văn gồm chương Chương Trình bày số vấn đề khơng gian với sn-lưới σ-bảo tồn bao đóng di truyền yếu Chương Trình bày số đặc trưng không gian sn-khả metric Luận văn thực Trường Đại học Vinh hướng dẫn tận tình nghiêm khắc thầy giáo PGS.TS Trần Văn Ân Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy Cuối cùng, xin cảm ơn thầy, cô giáo tổ Giải tích đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt bạn lớp Cao học 15 - Giải tích cộng tác, giúp đỡ tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Mặc dù có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp thầy, giáo bạn để luận văn hoàn thiện Vinh, tháng 12 năm 2009 Tác giả CHƯƠNG KHÔNG GIAN VỚI sn-LƯỚI σ-BẢO TỒN BAO ĐĨNG DI TRUYỀN YẾU 1.1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong luận văn này, tất không gian giả thiết quy T1 , ánh xạ liên tục lên Mỗi dãy hội tụ chứa điểm giới hạn N ω1 ký hiệu tập hợp tất số tự nhiên số không đếm Ký hiệu S1 không gian {0} ∪ {1/n : n ∈ N} không gian số thực {xn } ký hiệu dãy, số hạng thứ n xn Dãy {xn } thường xuyên gặp P tồn dãy {xnk } {xn } cho {xnk } có phần cuối P Cho X không gian tơpơ P ⊂ X Bao đóng P ký hiệu P Cho P họ tập X x ∈ X Khi (P)x ký hiệu họ tập {P ∈ P : x ∈ P } P, ∪P ∩P ký hiệu ∪{P : P ∈ P} ∩{P : P ∈ P}, st(x, P) = ∪{P ∈ P : x ∈ P } Dãy {Pn : n ∈ N } tập dãy {Pn : n ∈ N} họ tập viết tắt {Pn } {Pn } Một số thuật ngữ không định nghĩa xem [3] [10] 1.1.1 Định nghĩa ([4]) Giả sử X không gian tôpô, x ∈ P ⊂ X Ta gọi P lân cận dãy x với dãy {xn } hội tụ đến x nằm P từ lúc đó, nghĩa tồn k ∈ N cho xn ∈ P với n > k 1.1.2 Hệ ([4]) (1) P lân cận dãy x x ∈ P với dãy {xn } hội tụ đến x thường xuyên gặp P (2) Giao họ hữu hạn lân cận dãy x lân cận dãy x 1.1.3 Định nghĩa ([3]) Cho P = ∪{Px : x ∈ X} phủ không gian tôpô X, Px ⊂ (P)x với x ∈ X Khi (1) P gọi lưới X với x ∈ U ⊂ X với U mở X tồn P ∈ Px cho x ∈ P ⊂ U Khi Px gọi lưới x X (2) P gọi wcs∗ -lưới X với dãy S = {xn } hội tụ đến x ∈ U với U mở X tồn P ∈ P dãy {xnm } ⊂ {xn } cho P ⊂ U với n ∈ N, xnm ∈ P (3) P gọi k-lưới X với K ⊂ U với K-compắc X U mở X tồn họ F hữu hạn, F ⊂ P cho K ⊂ ∪F ⊂ U 1.1.4 Định nghĩa ([11]) Một phủ P = ∪{Px : x ∈ X} không gian tôpô X cs-lưới (cs∗ -lưới) dãy S hội tụ đến điểm x ∈ U với U mở X S từ lúc nằm (thường xuyên gặp) P ⊂ U với P ∈ Px X gọi csf -đếm được, X có cs-lưới P = ∪{Px : x ∈ X} cho Px đếm với x ∈ X X gọi ℵ-không gian X có cs-lưới σ-hữu hạn địa phương 1.1.5 Định nghĩa ([4]) Không gian tôpô X gọi k-không gian với A ⊂ X, A đóng X A ∩ K đóng K với tập compắc K X 1.1.6 Định nghĩa ([4]) Giả sử X khơng gian tơpơ x ∈ X Khi (1) Tập U X gọi mở theo dãy U lân cận dãy điểm thuộc Tập F X gọi đóng theo dãy X − F mở theo dãy (2) X gọi không gian dãy tập mở theo dãy X mở X, tương đương tập đóng theo dãy X đóng X 1.1.7 Bổ đề ([10, 13]) Giả sử X không gian tơpơ Khi mệnh đề sau tương đương (1) X có cs-lưới đếm địa phương; (2) X có cs∗ -lưới đếm địa phương; (3) X có k-lưới đếm địa phương 1.1.8 Bổ đề ([8, 13]) Giả sử X không gian tơpơ Khi (1) Nếu X khơng gian compắc với k-lưới đếm theo điểm X khả mêtric (2) Nếu X k-không gian với k-lưới đếm theo điểm X khơng gian dãy (3) Nếu X có cs∗ -lưới đếm theo điểm tập compắc X khả mêtric X có k-lưới đếm điểm 1.1.9 Bổ đề Nếu X k-không gian với cs∗ -lưới σ-đếm địa phương X không gian dãy Chứng minh Giả sử P cs∗ -lưới σ-đếm địa phương X Với tập compắc K X, đặt PK = {P ∩ K : P ∈ P} Khi PK cs∗ -lưới σ-đếm địa phương K Dễ thấy PK cs∗ -lưới đếm K K có k-lưới đếm Theo bổ đề 1.1.8(1), K khả mêtric Vì vậy, theo Bổ đề 1.1.8(3) X có k-lưới đếm theo điểm Do theo Bổ đề 1.1.8(2) X không gian dãy 1.1.10 Định nghĩa ([12]) Cho P = ∪{Px : x ∈ X} phủ không gian tôpô X, với Px ⊂ (P)x Ta gọi P sn-lưới X Px thỏa mãn điều kiện (1), (2) (3) sau đây, với x ∈ X, Px gọi sn-lưới x X (1) Px lưới x X; (2) Nếu P1 , P2 ∈ Px tồn P ∈ Px cho P ⊂ P1 ∩ P2 ; (3) Mỗi phần tử Px lân cận dãy x 1.1.11 Định nghĩa ([6]) (1) Không gian tôpô X gọi sn-đếm thứ X có sn-lưới đếm x X, với x ∈ X (2) Không gian tôpô X gọi sn-đếm thứ hai X có sn-lưới đếm 1.1.12 Định nghĩa ([13]) Không gian tôpô X gọi ℵ0 -khơng gian X có k-lưới đếm 1.1.13 Định nghĩa ([3]) Không gian tôpô X gọi ℵ1 -compact không gian đóng rời rạc X đếm 1.2 KHƠNG GIAN VỚI sn-LƯỚI ĐẾM ĐƯỢC ĐỊA PHƯƠNG 1.2.1 Các tiên đề lý thuyết tập hợp (1) CH (Giả thuyết Continuum): 2ω = ω1 (2) M A (Tiên đề Martin’s): Cho k số (i) Một không gian X gọi k + -Baire với họ {Gα : α ∈ ∧} tập mở trù mật X, ∩{Gα : α ∈ ∧} = ∅, với |A| < k + (ii) Một không gian X gọi ccc họ rời gồm tập mở X đếm (iii) M A(k): Mỗi không gian compắc, ccc k + -Baire (iv) M A: Với k, M A(k) đúng, ω < k < 2ω (3) TOP: Cho (P, ≤) tập thứ tự phận (i) Tập Q ⊂ P gọi quy tâm với họ hữu hạn q1 , q2 , , qn ∈ Q, tồn p ∈ P cho p ≤ qi với i = 1, 2, , n (ii) Một họ {Bα : α < ω1 } gọi quy tâm đuôi tập A tập không đếm C ⊂ A tồn α < ω1 cho {Bβ ∩ C : β ≥ α} quy tâm (iii) TOP: Nếu Z, B tập không đếm ω1 {Sα : α ∈ B} họ quy tâm đuôi Z với Sα ⊂ α1 , tồn tập khơng đếm Y ⊂ Z cho (Y ∩ α) − Sα hữu hạn với α ∈ B 1.2.2 Định lý Với giả thiết M A + ¬CH + T OP không gian tôpô X mệnh đề sau tương đương (1) X có sn-lưới đếm địa phương; (2) X không gian sn-đếm thứ với cs-lưới đếm địa phương (tương ứng k-lưới, cs∗ -lưới); (3) X không gian sn-đếm thứ hai địa phương với sn-lưới σ-đếm địa phương; (4) X ℵ0 -không gian địa phương với sn-lưới σ-đếm địa phương; (5) X không gian khả ly di truyền địa phương với sn-lưới σ-đếm địa phương; (6) X l mt khụng gian Lindelă of (di truyn) địa phương với sn-lưới, σ-đếm địa phương Chứng minh (1) ⇒ (2) Ta có nhận xét không gian với sn-lưới đếm địa phương sn-đếm thứ Vì (1) ⇒ (2) (2) ⇒ (1) Theo Bổ đề 1.1.7, giả sử P cs-lưới đếm địa phương X Chúng ta giả thiết P đóng giao hữu hạn Với x ∈ X, giả sử {Bn (x) : n ∈ N} sn-lưới đếm x X giả sử Px = {P ∈ P : Bn (x) ⊂ P với n ∈ N} Khi phần tử Px lân cận dãy X Đặt P = ∪{Px : x ∈ X}, P ⊂ P đếm địa phương Ta cần chứng minh Px lưới x, với x ∈ X Nếu khơng tồn lân cận mở U x cho P ⊂ U với P ∈ Px Với n ∈ N, đặt Dn = {x ∈ X : Pn không đếm theo điểm x} đặt Pn = {P − Dn : P ∈ Pn } Khẳng định Pn đếm Nếu Pn = {P − Dn : P ∈ Pn } khơng đếm được, tồn họ tập đếm {Pα : α ∈ ∧} Pn cho Pα − Dn = ∅ với α ∈ ∧ Pα − Dn = Pα − Dn α = α , với ∧ tập hợp số đếm Lấy xα ∈ Pα − Dn với α ∈ ∧ Vì Pn bảo tồn bao đóng di truyền yếu nên {xα : α ∈ ∧} không gian rời rạc đóng X Chú ý X ℵ1 -compắc, {xα : α ∈ ∧} đếm Vì vậy, tồn tập ∧ không đếm ∧ cho {xα : α ∈ ∧ } = {x} với x ∈ X Do Pn khơng đếm theo điểm x Điều mâu thuẫn với x ∈ / Dn Vì {P − Dn : P ∈ Pn } đếm Khẳng định Dn khơng gian rời rạc đóng, đếm X Nếu Dn khơng đếm được, tồn tập không đếm Dn = {yβ : β < ω1 } Dn Lấy y1 ∈ P1 với tập P1 ∈ Pn Pn khơng đếm theo điểm y2 , y2 ∈ P2 với P2 ∈ Pn − {P1 } Bằng phương pháp quy nạp, xây dựng họ tập {Pβ : β < ω1 } Pn cho Pβ ∈ Pn − {Pγ : γ < β} yβ ∈ Pβ với β < ω1 Do Dn = {yβ : β < ω1 } không gian rời rạc đóng đếm X Pn bảo tồn bao đóng di truyền yếu Điều mâu thuẫn với tính ℵ1 -compắc X Vì vậy, Dn đếm Tương tự chứng minh Dn khơng gian đóng rời rạc X, ta dễ dàng chứng minh Dn không gian đóng rời rạc X Đặt Un = Pn ∪ {{x} : x ∈ Dn } với n ∈ N đặt U = ∪{Un : n ∈ N} Khi U đếm Chúng ta cần chứng minh khẳng định sau Khẳng định U wcs∗ -lưới X 16 Giả sử {xn } dãy hội tụ đến x ∈ U , với U mở X Vì P = ∪{Pk : k ∈ N} sn-lưới X, {xn } nằm P ⊂ U từ lúc đó, với tập P ∈ Pk k ∈ N Nếu xn = x với vô hạn n ∈ N, với n ∈ N tồn mn > n cho xmn = x Nếu x ∈ Dk {x} ∈ U xmn = x ∈ {x} ⊂ U Nếu x ∈ / Dk P − Dk ∈ U xmn = x ∈ P − Dk ⊂ U Nếu xn = x tất trừ số hữu hạn n ∈ N, đặt S = {xn : n ∈ N}, S ∩ P vơ hạn Chú ý S ∩ Dk compắc Dk , S ∩ Dk hữu hạn Vì S ∩ (P − Dk ) vơ hạn Do đó, với n ∈ N tồn mn > n cho xmn ∈ P − Dk , với P − Dk ∈ U P − Dk ⊂ U Như khẳng định chứng minh 1.3.5 Định lý Giả sử X không gian tôpô Khi đó, mệnh đề sau tương đương (1) X sn-đếm thứ hai; (2) X không gian Lindelă of di truyn vi mt sn-li -bo ton bao úng di truyn yu; (3) X l khụng gian Lindelă of với sn-lưới σ-bảo tồn bao đóng di truyền yếu; (4) X không gian khả ly di truyền với sn-lưới σ-bảo tồn bao đóng di truyền yếu; (5) X không gian ℵ1 -compắc với sn-lưới σ-bảo tồn bao đóng di truyền yếu Chứng minh (1) ⇒ (2) (1) ⇒ (4) Suy từ [7, Định lý 2.1] (2) ⇒ (3) Hiển nhiên (3) ⇒ (5) (4) ⇒ (5) Dễ dàng chứng minh mi khụng gian Lindelăof hoc khụng gian kh ly di truyền ℵ1 -compắc Vì (3) ⇒ (5) (4) ⇒ (5) (5) ⇒ (1) Suy từ Định lý 1.3.4 17 1.3.6 Nhận xét Cụm từ "khả ly di truyền" Định lý 1.3.5(4) nới lỏng đến "khả ly" Thật [7, Ví dụ 2.3] cho ta ví dụ khơng gian khả ly với sn-lưới σ-rời rạc, sn-đếm thứ hai 18 CHƯƠNG MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA KHÔNG GIAN sn-KHẢ MÊTRIC 2.1 KHÔNG GIAN sn-KHẢ MÊTRIC VÀ sn-LƯỚI SAO ĐIỂM 2.1.1 Định nghĩa ([12]) Giả sử P = ∪{Px : x ∈ X} phủ không gian tôpô X Giả sử P thỏa mãn điều kiện (a) (b) sau với x ∈ X (a) P lưới X, tức x ∈ U với U mở X x ∈ P ⊂ U với tập P ∈ Px Khi Px lưới x với x ∈ X (b) Nếu P1 , P2 ∈ Px tồn P ∈ Px cho P ⊂ P1 ∩ P2 Khi (1) P gọi sở yếu X với G ⊂ X, G mở X với x ∈ G, tồn P ∈ Px cho P ⊂ G Khi ta gọi Px sở lân cận yếu x, viết tắt wn-cơ sở x (2) Không gian tôpô X gọi gf -đếm (snf -đếm được) X có sở yếu (sn-lưới) P = ∪{Px : x ∈ X} cho Px đếm với x ∈ X Một không gian tôpô X gọi g-khả mêtric (sn-khả mêtric) X có sở yếu σ-hữu hạn địa phương (sn-lưới) 2.1.2 Hệ ([6, 11, 12]) (1) Cơ sở yếu ⇒ sn-lưới ⇒ cs-lưới Vì gf -đếm ⇒ snf -đếm ⇒ csf -đếm được, g-khả mêtric ⇒ sn-khả mêtric ⇒ ℵ; (2) g-khả mêtric ⇔ k sn-khả mêtric; (3) Trong lớp khơng gian Fréchet ta có: khả mêtric ⇔ g-khả mêtric ⇔ sn-khả mêtric 19 2.1.3 Định nghĩa ([13]) Giả sử {Pn } dãy phủ khơng gian tơpơ X Khi (1) {Pn } gọi lưới điểm (sn-lưới điểm, wn-cơ sở saođiểm) X {st(x, Pn )} lưới (sn-lưới, wn-cơ sở) x với x ∈ X (2) {Pn } gọi hữu hạn địa phương (bảo tồn bao đóng di truyền, rời rạc, hữu hạn - điểm) Pn hữu hạn địa phương (bảo tồn bao đóng di truyền, rời rạc, hữu hạn - điểm), với n ∈ N 2.1.4 Bổ đề ([10]) Giả sử P họ σ-bảo tồn bao đóng di truyền yếu gồm tập không gian X Nếu P cs∗ -lưới X P k-lưới X 2.1.5 Bổ đề ([5, 6]) Giả sử X khơng gian tơpơ Khi đó, mệnh đề sau tương đương (1) X không gian sn-khả mêtric; (2) X có sn-lưới σ-rời rạc (đóng); (3) X có sn-lưới σ-bảo tồn bao đóng di truyền yếu; (4) X không gian snf -đếm với k-lưới σ-bảo tồn bao đóng di truyền 2.1.6 Bổ đề Không gian tôpô X sn-khả mêtric khơng gian snf -đếm với cs∗ -lưới σ-bảo tồn bao đóng di truyền Chứng minh Suy từ Bổ đề 2.1.4 Bổ đề 2.1.5 2.1.7 Bổ đề Giả sử P họ bảo tồn bao đóng di truyền gồm tập không gian tôpô X L dãy hội tụ, từ lúc ∪P Khi tồn P ∈ P cho L thường xuyên gặp P Chứng minh Giả sử ngược lại L∩P hữu hạn với P ∈ P Khơng tính tổng qt giả sử L = {xn : n ∈ N} ⊂ ∪P 20 L vô hạn Chọn xn1 ∈ ∪P, tồn P1 ∈ P cho xn1 ∈ P1 Vì L vô hạn L ∩ P1 hữu hạn, L − P1 vơ hạn nên chọn n1 > n2 P2 ∈ P cho xn2 ∈ P2 xn2 = xn1 Bằng quy nạp, có dãy {xnk } L hội tụ cho xnk ∈ Pk ∈ P với k ∈ N xnk = xnl k = l Do {{xnk } : k ∈ N} khơng bảo tồn bao đóng Điều chứng tỏ P bảo tồn bao đóng di truyền 2.1.8 Định lý Giả sử X không gian tơpơ Khi đó, mệnh đề sau tương đương (1) X không gian sn-khả mêtric; (2) X có sn-lưới điểm hữu hạn địa phương; (3) X có sn-lưới điểm bảo tồn bao đóng di truyền Chứng minh (1) ⇒ (2) Giả sử X khơng gian sn-khả mêtric Khi đó, nhờ Bổ đề 2.1.5, X có sn-lưới P = ∪{Pn : n ∈ N}, Pn họ rời rạc gồm tập đóng X Ta viết P = ∪{Bx : x ∈ X}, với Bx sn-lưới x Với n ∈ N, đặt Fn = {x ∈ X : Pn ∩ Bx = ∅}, Fn = {Fn } ∪ Pn Hiển nhiên, {Fn } dãy phủ hữu hạn địa phương X Giả sử x ∈ X, chứng minh Fx = {st(x, Fn ) : n ∈ N} sn-lưới x sau Khẳng định A Fx lưới x Giả sử x ∈ X U lân cận mở x Vì Bx lưới x nên tồn Px ∈ Bx ∩ Pn với n ∈ N, cho x ∈ Px ∈ U Khi x ∈ / Fn Lưu ý phần tử Pn đơi rời Do Px = st(x, Fn ), nghĩa x ∈ st(x, Fn ) ⊂ U Chứng tỏ Fx lưới x Khẳng định B Fx thỏa mãn Định nghĩa 2.1.1(b): Xét st(x, Fn ) st(x, Fm ), với m, n ∈ N Khi trường hợp sau xảy ra: (a) Bx ∩ Pn = ∅, Bx ∩ Pm = ∅ (b) Bx ∩ Pn = ∅, Bx ∩ Pm = ∅ 21 (c) Bx ∩ Pn = ∅, Bx ∩ Pm = ∅ (d) Bx ∩ Pn = ∅, Bx ∩ Pm = ∅ Chúng ta chứng minh cho trường hợp (b), trường hợp khác tương tự Giả sử Bx ∩ Pn = ∅, Bx ∩ Pm = ∅ Khi tồn Pn ∈ Bx ∩ Pn Vì Bx ∩ Pm = ∅ nên U = X − ∪{P ∈ Pm : x ∈ P } lân cận mở x U ⊂ st(x, Fm ) Vì tồn Pl ∈ Bx ∩ Pl cho Pl ⊂ U ⊂ st(x, Fm ) Khi tồn Pk ∈ Bx ∩ Pk cho Pk ⊂ Pn ∩ Pl , Bx ∩ Pn = ∅ Bx ∩ Pk = ∅, x ∈ / Fn x ∈ / Fk Lưu ý Pn Pk rời Pn = st(x, Fn ) Pk = st(x, Fk ) Điều chứng tỏ st(x, Fk ) = Pk ⊂ Pn ∩ Pl ⊂ st(x, Fn ) ∩ st(x, Fm ) Khẳng định C st(x, Fn ) lân cận dãy x với n ∈ N Giả sử L dãy hội tụ tới x ∈ st(x, Fn ) Nếu Bx ∩Pn = ∅ tồn P ∩Bx ∈ Pn Vì P lân cận dãy x, L thường xuyên gặp P nên L thường xuyên gặp st(x, Fn ) Nếu Bx ∩Pn = ∅, đặt U = X −∪{P ∈ Pn : x ∈ P } U lân cận mở x, L thường xuyên gặp U Dễ thấy U ⊂ st(x, Fn ), L thường xuyên gặp st(x, Fn ) Điều chứng tỏ st(x, Fn ) lân cận dãy x với n ∈ N Nhờ khẳng định nói trên, {st(x, Fn ) : n ∈ N} sn-lưới x Điều chứng tỏ {Fn } sn-lưới điểm hữu hạn-địa phương (2) ⇒ (3) Hiển nhiên (3) ⇒ (1) Giả sử X có sn-lưới điểm bảo tồn bao đóng di truyền {Fn } Khi Fn bảo tồn bao đóng di truyền với n ∈ N Dễ thấy X snf -đếm Nhờ Bổ đề 2.1.6 cần chứng minh ∪{Fn : n ∈ N} cs∗ -lưới X Cho L dãy X hội tụ tới x, U lân cận mở x {st(x, Fn ) : n ∈ N} lưới x, tồn n ∈ N cho x ∈ st(x, Fn ) ⊂ U Từ st(x, Fn ) lân cận dãy x, L nằm st(x, Fn ) từ lúc Theo Bổ đề 2.1.7, tồn 22 F ⊂ Fn x ∈ F cho L thường xuyên gặp F Vì vậy, tồn dãy S L cho S ⊂ F Điều chứng tỏ ∪{Fn : n ∈ N} cs∗ -lưới X Có thể thay "hữu hạn-địa phương" Định lý 2.1.8 "rời rạc" "hữu hạn-điểm" hay không? Câu trả lời khơng 2.1.9 Ví dụ Tồn khơng gian tơpơ X với wn-cơ sở điểm hữu hạn X không ℵ-không gian Chứng minh Giả sử I khoảng đóng [0, 1] S(x) đồng phơi đến S1 , với x ∈ I T = ⊕{S(x) : x ∈ I} X không gian thương thu từ tổng tôpô Z = I ⊕ T đồng x ∈ I với điểm giới hạn S(x) Khi Z khơng gian mêtric compắc địa phương ánh xạ tự nhiên f : Z→X ánh xạ thương, compắc, phủ-compắc Vì theo [10, Định lý 2.9.14] X có wn-cơ sở điểm điểm hữu hạn X khơng có điểm-đếm cs-lưới theo [10, ví dụ 2.9.27] 2.1.10 Bổ đề ([14]) Một không gian khả mêtric có lưới đóng điểm hữu hạn-địa phương 2.1.11 Mệnh đề Giả sử X có lưới điểm rời rạc Khi X khả mêtric Chứng minh Giả sử {Pn } lưới điểm X, với Pn rời rạc Đặt Pn = {P : P ∈ Pn }, {Pn } lưới đóng điểm rời rạc X Do theo Bổ đề 2.1.10 X khả mêtric 2.2 KHÔNG GIAN sn-KHẢ MÊTRIC VÀ ẢNH CỦA KHÔNG GIAN MÊTRIC 2.2.1 Định nghĩa ([10]) Giả sử f : X→Y ánh xạ Khi (1) f gọi ánh xạ thương với U ⊂ Y , f −1 (U ) mở X U mở Y 23 (2) f gọi ánh xạ thương dãy với dãy hội tụ S Y có dãy hội tụ L X cho f (L) dãy S (3) Giả sử (X, d) không gian mêtric, f gọi π-ánh xạ d(f −1 (y), X − f −1 (U )) > với y ∈ Y lân cận U y Y (4) f gọi σ-ánh xạ tồn sở B X cho f (B) σ-hữu hạn địa phương Y 2.2.2 Hệ ([10]) (1) Ánh xạ đóng ⇒ ánh xạ thương (2) Nếu miền xác định dãy ánh xạ thương ⇒ ánh xạ thương dãy (3) Nếu ảnh dãy ánh xạ thương dãy ⇒ ánh xạ thương 2.2.3 Bổ đề Giả sử X π-ảnh thương dãy khơng gian mêtric Khi X có sn-lưới điểm X snf -đếm Chứng minh Giả sử f : M →X π-ánh xạ, thương dãy, (M, d) không gian mêtric Đặt Pn = {f (B(z, n1 )) : z ∈ M } với n ∈ N (a) {Pn } lưới điểm X Giả sử x ∈ U với U mở X Vì f π-ánh xạ nên tồn n ∈ N cho d(f −1 (x), M − f −1 (U )) > n1 Chọn m ∈ N cho m ≥ 2n Lưu ý rằng, Pm phủ X nên tồn z ∈ M cho 1 )) Dễ thấy f −1 (x)∩B(z, m ) = ∅ Chúng ta cần chứng minh x ∈ f (B(z, m 1 B(z, m ) ⊂ f −1 (U ) Giả sử ngược lại, tồn y ∈ B(z, m )∩(M −f −1 (U )), chọn t ∈ f −1 (x) ∩ B(z, m ) d(t, y) ≤ d(t, z) + d(z, y) < mâu thuẫn với d(f −1 (x), M − f −1 (U )) > n m ≤ n1 Điều Do B(z, m ) ⊂ f −1 (U ) Từ suy st(x, Pm ) ⊂ U {Pn } lưới điểm X (b) st(x, Pn ) lân cận dãy x với x ∈ X với n ∈ N Giả sử S dãy hội tụ đến x Vì f ánh xạ thương dãy nên tồn dãy L hội tụ đến t ∈ f −1 (x) ⊂ M cho f (L) = S dãy S Ta viết B = B(t, n1 ), f (B) ∈ Pn Vì B lân cận mở t, L nằm B từ lúc nên S = f (L) nằm f (B) ⊂ st(x, Pn ) 24 từ lúc Điều chứng tỏ S thường xuyên gặp st(x, Pn ) st(x, Pn ) lân cận dãy x Từ chứng minh ta có {Pn } lưới điểm X Bằng cách áp dụng Bổ đề trên, có Mệnh đề sau mà cải tiến kết tiêu biểu ánh xạ hồn chỉnh bảo tồn khơng gian mêtric 2.2.4 Mệnh đề π-ánh xạ, đóng bảo tồn khơng gian mêtric Chứng minh Giả sử f : X→Y π-ánh xạ, đóng X khơng gian mêtric Khi Y khơng gian Fréchet với k-lưới σ-bảo bao đóng di truyền Vì ánh xạ đóng ánh xạ thương dãy (Hệ 2.2.2) nên từ Bổ đề 2.2.3 Y snf -đếm theo Bổ đề 2.1.5, Y sn-khả mêtric Vì Y không gian mêtric theo Hệ 2.1.2 2.2.5 Bổ đề Giả sử f : X→Y ánh xạ, {yn } dãy hội tụ đến y ∈ Y Nếu {Bk } lưới giảm x ∈ f −1 (y) {yn } thường xuyên gặp f (Bk ) với k ∈ N tồn dãy {xk } hội tụ đến x cho {f (xk )} dãy {yn } Chứng minh Vì {yn } thường xuyên gặp f (B1 ) nên tồn n1 ∈ N cho yn1 ∈ f (B1 ) Chọn x1 ∈ f −1 (yn1 ) ∩ B1 Chúng ta xây dựng dãy {xk } cách quy nạp sau Giả sử {xk } chọn với k ∈ N Vì {yn } thường xuyên gặp f (Bk+1 ) nên tồn nk+1 ∈ N nk+1 > nk cho ynk+1 ∈ f (Bk+1 ), chọn xk+1 ∈ f −1 (ynk+1 ) ∩ Bk+1 Do xây dựng dãy {xk } Dễ thấy {f (xk )} = {ynk } dãy {yn } Lưu ý xk ∈ Bk với k ∈ N, {Bk } lưới giảm x Vì {xk } hội tụ đến x 2.2.6 Định lý.Giả sử X khơng gian tơpơ Khi mệnh đề sau tương đương 25 (1) X không gian sn-khả mêtric; (2) X σ-ảnh, compact, thương dãy không gian mêtric; (3) X σ-ảnh, π, thương dãy không gian mêtric Chứng minh Chúng ta cần chứng minh (1) ⇒ (2) (3) ⇒ (1) (1) ⇒ (2) Vì X không gian sn-khả mêtric nên theo Định lý 2.1.8 X có sn-lưới điểm hữu hạn địa phương {Pn } Ta viết Pn = {Pα : α ∈ An } với n ∈ N, {An } đôi rời Với n ∈ N, đặt Fn = Pαi : αi ∈ Ai , i = 1, 2, , n Khi Fn hữu hạn địa phương i≤n Trang bị tôpô rời rạc An với n ∈ N Đặt Z = {a = (αn ) ∈ Πn∈N An : {Pαn } lưới x ∈ X} Khi Z khơng gian mêtric, với mêtric d sau: Cho a = (αn ), b = (βn ) ∈ Z, d(a, b) = a = b, d(a, b) = 1/min{n ∈ N : αn = βn } a = b Hiển nhiên, {Pαn } lưới xa ∈ X xa ∈ n∈N Pαn với a = (αn ) ∈ Πn∈N An Dễ chứng minh f : Z→X xác định f (a) = xa ánh xạ Chúng ta cần chứng minh f σ-ánh xạ, thương dãy, compact (a) f ánh xạ thương dãy Giả sử x ∈ X giả sử S dãy hội tụ đến x Với n ∈ N, st(x, Pn ) lân cận dãy x nên S nằm st(x, Pn ) từ lúc Lưu ý Pn hữu hạn điểm, tồn dãy S S cho S nằm phần tử Pn từ lúc Cho L = L0 = {xn : n ∈ N} ∪ {x} dãy hội tụ tới x Bằng quy nạp, với n ∈ N, chọn αn ∈ An dãy Ln L0 , cho Ln dãy Ln−1 , Ln nằm Pαn ∈ Pn từ lúc Đặt z = (αn ) ∈ Πn∈N An Hiển nhiên, {Pαn : n ∈ N} 26 lưới x, z ∈ Z f (z) = x Đặt Zn = {(βk ) ∈ Z : βk = αk với k ≤ n} Khi {Zn } sở lân cận giảm z Chúng ta chứng minh f (Zn ) = k≤n Pαk với n ∈ N sau Thật vậy, giả sử b = (βk ) ∈ Zn Khi f (b) ∈ f (Zn ) ⊂ k≤n Pαk Mặt khác, giả sử y ∈ k≤n Pβk k≤n Pαn ⊂ k≤n Pαk Khi tồn c = (γk ) ∈ Z cho f (c ) = y Với k ∈ N, đặt γk = αk k ≤ n γk = γk k > n Đặt c = (γk ) Dễ thấy y ∈ n∈N Pγn , c ∈ Z f (c) = y, từ c ∈ Zn Điều chứng tỏ y ∈ f (Zn ) Vì k≤n Pαk ⊂ f (Zn ) Do f (Zn ) = k≤n Pαk Giả sử n ∈ N Nhờ cách xây dựng Ln , Ln nằm Pαk từ lúc với k ≤ n Ln nằm k≤n Pαk = f (Zn ) từ lúc Do L thường xuyên gặp f (Zn ) với n ∈ N Theo Bổ đề 2.2.5, tồn dãy {zn } hội tụ đến z {f (zn )} dãy L f ánh xạ thương dãy (b) f ánh xạ compắc Giả sử x ∈ X Đặt Bn = {α ∈ An : x ∈ Pα }, Πn∈N Bn tập compắc Πn∈N An Dễ thấy f −1 (x) = Πn∈N Bn Vì f ánh xạ compắc (c) f σ-ánh xạ Đặt B(α1 , α2 , , αn ) = {(βk ∈ Z : βk = αk với k ≤ n}, (αi ) ∈ Z n ∈ N Khi B(α1 , α2 , , αn ) =: (αi ) ∈ Z n ∈ N} sở Z Bằng lập luận tương tự (a) ta thấy rằng: Pαk ∈ Fn Chú ý Fn hữu hạn địa phương f (B(α1 , α2 , , αn )) = k≤n Vì {f (B(α1 , , αn )) : (αi ) ∈ Z n ∈ N} σ-hữu hạn-địa phương Do f σ-ánh xạ (3) ⇒ (1) Giả sử Z không gian mêtric f : Z→X σ-ánh xạ, thương dãy, π Khi theo Bổ đề 2.2.3, X snf -đếm Nhờ Bổ đề 2.1.6, cần chứng minh X có cs∗ -lưới σ-bảo tồn bao đóng di truyền Vì f σ-ánh xạ nên tồn sở B Z cho f (B) 27 họ σ-hữu hạn địa phương X, cần chứng minh f (B) cs∗ -lưới X Giả sử S dãy hội tụ đến x ∈ X U lân cận mở X, f thương dãy, tồn dãy L hội tụ tới z ∈ Z cho f (L) dãy S Từ z ∈ f −1 (x) ⊂ f −1 (U ) B sở Z nên tồn B ∈ B cho z ∈ B ⊂ f −1 (U ) Vì L nằm B từ lúc đó, từ f (L) nằm f (B) ⊂ f f −1 (U ) = U từ lúc Do S thường xuyên gặp f (B) ⊂ f (B) Vì f (B) cs∗ -lưới X 2.2.7 Hệ Một không gian g-khả mêtric σ-ảnh, π (compact), thương không gian mêtric Chứng minh Suy từ Định lý 2.2.6 28 KẾT LUẬN Sau thời gian nghiên cứu tham khảo nhiều tài liệu khác nhau, hướng dẫn tận tình nghiêm khắc thầy giáo PGS.TS Trần Văn Ân, thu số kết sau: Một không gian với sn-lưới σ-bảo tồn bao đóng di truyền yếu sn-đếm thứ Áp dụng kết ny, chng minh c mt khụng gian Lindelăof vi mt sn-lưới σ-bảo tồn bao đóng di truyền yếu sn-đếm thứ hai Chứng minh Định lý 1.3.2 Định lý 1.3.5, mà tài liệu chứng minh vắn tắt Một không gian sn-khả mêtric có sn-lưới điểm hữu hạn địa phương σ-ảnh, π (compact), thương dãy không gian mêtric Áp dụng kết chứng minh không gian g-khả mêtric σ-ảnh, π (compact), thương không gian mêtric Chứng minh Định lý 2.1.8, Định lý 2.2.6 Hệ 2.2.7, mà tài liệu chứng minh vắn tắt 29 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Văn Ân (2007), Bài giảng tôpô đại cương, Trường Đại học Vinh [2] J Kelley (1973), Tôpô đại cương, Nxb Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội [3] Nguyễn Thị Lê (2006), Luận văn Thạc sĩ Toán học, Trường Đại học Vinh [4] S P Franklin, (1965), Spaces in which sequence suffice Fund Math., 57, 107 - 115 [5] Y Ge (2000), On spaces with a σ-locally-finite universal cs-network, Questions Answers in General Topology, 18, 93 - 96 [6] Y Ge (2002), On sn-metrizable spaces, Acta Math Sinica, 45, 355 - 360 (in Chinese) [7] Y Ge (2004), Spaces with countable sn-networks, Comment Math Univ Carolinae, 45, 169 - 176 [8] G Gruenhage, E Michael and Y Tanaka (1984), Spaces determined by point-countable covers, Pacific J Math., 113, 303 - 332 [9] S Lin (1987), On normal separable ℵ-space, Q and A in General Topology, 5, 249 - 254 [10] S Lin (1995), Generalized Metric Space and Mappings, Beijing : Chinese Science Press [11] S Lin (1997), A note on the Arens’ spaces and sequential fan, Topology Appl, 81, 185 - 196 [12] S Lin and P Yan (2001), Sequence-covering maps of metric spaces , Topology Appl 109, 301 - 314 [13] S Lin (2002), Point-Countable Covers and Sequence-Covering Mappings, Beijing : Chinese Science Press [14] K Morita (1955), A condition for the metrizability of topological spaces and for n-dimensionality, Sci Rep Tokyo Kyoiku Daigaku Sec, A5, 33 36 [15] Y Tanaka (1994), Theory of k- networks Questions Answers in General Topology, 12, 139 - 164 30 ... sn- li -bo ton bao úng di truyền yếu; (4) X không gian khả ly di truyền với sn- lưới σ -bảo tồn bao đóng di truyền yếu; (5) X không gian ℵ1 -compắc với sn- lưới σ -bảo tồn bao đóng di truyền yếu Chứng... P} bảo tồn bao đóng, với xP ∈ P ∈ P Rõ ràng họ bảo toàn bao đóng di truyền bảo tồn bao đóng bảo tồn bao đóng di truyền yếu 1.3.2 Định lý Nếu khơng gian tơpơ X có sn- lưới σ -bảo tồn bao đóng di truyền. .. thu số kết sau: Một khơng gian với sn- lưới σ -bảo tồn bao đóng di truyền yếu sn- đếm thứ Áp dụng kt qu ny, chng minh c mt khụng gian Lindelăof với sn- lưới σ -bảo tồn bao đóng di truyền yếu sn- đếm