f : Z→X là ánh xạ thương, compắc, phủ-compắc. Vì vậy theo [10, Định lý 2.9.14] X có một wn-cơ sở điểm sao điểm hữu hạn và X không có điểm-đếm được cs-lưới theo [10, ví dụ 2.9.27].
2.1.10 Bổ đề ([14]). Một không gian là khả mêtric khi và chỉ khi nó có một lưới đóng sao điểm hữu hạn-địa phương.
2.1.11 Mệnh đề. Giả sử X có một lưới sao điểm rời rạc. Khi đó X là khả mêtric.
Chứng minh. Giả sử {Pn} là một lưới sao điểm của X, với mọi Pn là rời rạc. Đặt Pn = {P : P ∈ Pn}, khi đó {Pn} là lưới đóng sao điểm rời rạc của X. Do đó theo Bổ đề 2.1.10 X là khả mêtric.
2.2 KHÔNG GIAN sn-KHẢ MÊTRIC VÀ ẢNH CỦA KHÔNGGIAN MÊTRIC GIAN MÊTRIC
2.2.1 Định nghĩa ([10]). Giả sử f : X→Y là một ánh xạ. Khi đó
(1) f được gọi là ánh xạ thương nếu với bất kỳ U ⊂ Y,f−1(U) là mở trong X thì U là mở trong Y.
(2) f được gọi là ánh xạ thương dãy nếu với mọi dãy hội tụ S trong Y thì có một dãy hội tụ L trong X sao cho f(L) là một dãy con của S.
(3) Giả sử (X, d) là một không gian mêtric, f được gọi là π-ánh xạ nếu d(f−1(y), X −f−1(U)) > 0 với mọi y ∈ Y và mọi lân cận U của y trong Y.
(4) f được gọi là σ-ánh xạ nếu tồn tại một cơ sở B của X sao cho f(B) là σ-hữu hạn địa phương trong Y.
2.2.2 Hệ quả ([10]). (1) Ánh xạ đóng ⇒ ánh xạ thương.
(2) Nếu miền xác định là dãy thì ánh xạ thương ⇒ ánh xạ thương dãy. (3) Nếu ảnh là dãy thì ánh xạ thương dãy ⇒ ánh xạ thương.
2.2.3 Bổ đề. Giả sử X là một π-ảnh thương dãy của một không gian mêtric. Khi đó X có một sn-lưới sao điểm và vì vậy X là snf-đếm được.
Chứng minh. Giả sử f : M→X là một π-ánh xạ, thương dãy, (M, d) là không gian mêtric. Đặt Pn = {f(B(z,n1)) : z ∈ M} với mọi n ∈ N.
(a) {Pn}là một lưới sao điểm của X. Giả sử x ∈ U với U mở trongX. Vìf là mộtπ-ánh xạ nên tồn tại n∈ N sao cho d(f−1(x), M−f−1(U)) > n1. Chọn m ∈ N sao cho m ≥ 2n. Lưu ý rằng, vì Pm phủ X nên tồn tại z ∈ M sao cho x ∈ f(B(z,m1)). Dễ thấy rằngf−1(x)∩B(z,m1) 6= ∅. Chúng ta cần chứng minh rằngB(z,m1) ⊂ f−1(U). Giả sử ngược lại, tồn tại y ∈ B(z,m1)∩(M−f−1(U)), chọn t ∈ f−1(x)∩ B(z,m1 ) thì d(t, y) ≤ d(t, z) +d(z, y) < m2 ≤ n1. Điều này mâu thuẫn với d(f−1(x), M −f−1(U)) > n1 ở trên. Do đó B(z,m1) ⊂ f−1(U). Từ đó suy ra st(x,Pm) ⊂ U và vì vậy {Pn} là một lưới sao điểm của X.
(b) st(x,Pn) là một lân cận dãy của x với mọi x ∈ X và với mọi n ∈ N. Giả sử S là một dãy hội tụ đến x. Vì f là một ánh xạ thương dãy nên tồn tại một dãy L hội tụ đến t∈ f−1(x) ⊂ M sao cho f(L) = S0 là một dãy con của S. Ta viết B = B(t, n1), khi đó f(B) ∈ Pn. Vì B là một lân cận mở của t, L nằm trongB từ một lúc nào đó nên S0 = f(L) là nằm trong f(B) ⊂ st(x,Pn)
từ một lúc nào đó. Điều này chứng tỏ rằng S là thường xuyên gặp trong st(x,Pn) và vì vậy st(x,Pn) là một lân cận dãy của x.
Từ các chứng minh trên ta có {Pn} là một lưới sao điểm của X.
Bằng cách áp dụng Bổ đề ở trên, chúng ta có Mệnh đề sau mà nó cải tiến một kết quả tiêu biểu là ánh xạ hoàn chỉnh bảo toàn không gian mêtric.
2.2.4 Mệnh đề. π-ánh xạ, đóng bảo toàn không gian mêtric.
Chứng minh. Giả sử f : X→Y là một π-ánh xạ, đóng và X là một không gian mêtric. Khi đó Y là một không gian Fréchet với k-lưới σ-bảo bao đóng di truyền. Vì ánh xạ đóng là ánh xạ thương dãy (Hệ quả 2.2.2) nên từ Bổ đề 2.2.3 và Y là snf-đếm được và do đó theo Bổ đề 2.1.5, Y là sn-khả mêtric. Vì vậy Y là một không gian mêtric theo Hệ quả 2.1.2.
2.2.5. Bổ đề. Giả sử f : X→Y là một ánh xạ, {yn} là một dãy hội tụ đến y ∈ Y. Nếu {Bk} là một lưới giảm tại mỗi x ∈ f−1(y) và {yn} là thường xuyên gặp trong f(Bk) với mọi k ∈ N thì tồn tại một dãy {xk} hội tụ đến x
sao cho {f(xk)} là một dãy con của {yn}.
Chứng minh. Vì {yn} là thường xuyên gặp f(B1) nên tồn tại n1 ∈ N sao cho yn1 ∈ f(B1). Chọn x1 ∈ f−1(yn1)∩B1. Chúng ta xây dựng một dãy {xk} bằng cách quy nạp như sau.
Giả sử {xk} đã được chọn với k ∈ N. Vì {yn} là thường xuyên gặp trong f(Bk+1) nên tồn tại nk+1 ∈ N và nk+1 > nk sao cho ynk+1 ∈ f(Bk+1), và do đó chúng ta có thể chọn xk+1 ∈ f−1(ynk+1)∩Bk+1. Do đó chúng ta xây dựng được một dãy {xk}. Dễ thấy rằng {f(xk)} = {ynk} là một dãy con của {yn}. Lưu ý rằng xk ∈ Bk với mỗi k ∈ N, và {Bk} là một lưới giảm tại x. Vì vậy {xk} hội tụ đến x.
2.2.6 Định lý.Giả sử X là không gian tôpô. Khi đó các mệnh đề sau là tương đương
(1) X là không gian sn-khả mêtric;
(2) X là σ-ảnh, compact, thương dãy của một không gian mêtric; (3) X là σ-ảnh, π, thương dãy của một không gian mêtric.
Chứng minh. Chúng ta chỉ cần chứng minh rằng (1) ⇒ (2) và (3) ⇒ (1). (1) ⇒ (2). Vì X là một không gian sn-khả mêtric nên theo Định lý 2.1.8 X có một sn-lưới sao điểm hữu hạn địa phương {Pn}. Ta viết Pn = {Pα : α ∈ An} với mọi n ∈ N, trong đó {An} đôi một rời nhau. Với mỗi n∈ N, đặt Fn = n T i≤n Pαi : αi ∈ Ai, i= 1,2, . . . , n o
. Khi đó Fn là hữu hạn địa phương.
Trang bị tôpô rời rạc trên An với mọi n∈ N. Đặt
Z = {a = (αn) ∈ Πn∈NAn : {Pαn} là một lưới của x ∈ X}.
Khi đó Z là một không gian mêtric, với mêtric d như sau:
Choa = (αn), b = (βn) ∈ Z, d(a, b) = 0nếua = b,vàd(a, b) = 1/min{n ∈
N: αn 6= βn} nếu a 6= b.
Hiển nhiên, {Pαn}là một lưới tại mỗi xa ∈ X khi và chỉ khixa ∈ T
n∈N Pαn với a = (αn) ∈ Πn∈NAn. Dễ chứng minh rằng f : Z→X xác định bởi f(a) = xa là một ánh xạ. Chúng ta chỉ cần chứng minh rằng f là một σ-ánh xạ, thương dãy, compact.
(a) f là một ánh xạ thương dãy. Giả sử x ∈ X và giả sử S là một dãy hội tụ đến x. Với mọi n∈ N, vì st(x,Pn) là một lân cận dãy của x nên S là nằm trong st(x,Pn) từ một lúc nào đó. Lưu ý rằng Pn là hữu hạn điểm, vì vậy tồn tại một dãy con S0 của S sao cho S0 là nằm trong mỗi phần tử của Pn từ một lúc nào đó.
Cho L = L0 = {xn : n ∈ N} ∪ {x} là một dãy hội tụ tới x. Bằng quy nạp, với mọi n ∈ N, chúng ta có thể chọn αn ∈ An và một dãy con Ln của L0, sao cho Ln là một dãy con của Ln−1, và Ln là nằm trong Pαn ∈ Pn từ một lúc nào đó. Đặt z = (αn) ∈ Πn∈NAn. Hiển nhiên, {Pαn : n ∈ N} là một
lưới của x, vì vậy z ∈ Z và f(z) = x. Đặt Zn = {(βk) ∈ Z : βk = αk với k ≤ n}. Khi đó {Zn} là cơ sở lân cận giảm của z. Chúng ta chứng minh rằng f(Zn) = T
k≤nPαk với mọi n∈ N như sau.
Thật vậy, giả sử b = (βk) ∈ Zn. Khi đó f(b) ∈ T
k≤nPβk ⊂ T
k≤nPαk vì vậy f(Zn) ⊂ T
k≤nPαk. Mặt khác, giả sử y ∈ T
k≤nPαn. Khi đó tồn tại c0 = (γk0) ∈ Z sao cho f(c0) = y. Với mọi k ∈ N, đặt γk = αk nếu k ≤ n và γk = γk0 nếu k > n. Đặt c = (γk). Dễ thấy rằng y ∈ T
n∈NPγn, vì vậy c ∈ Z và f(c) = y, từ đây c ∈ Zn. Điều này chứng tỏ rằng y ∈ f(Zn). Vì vậy T
k≤nPαk ⊂f(Zn). Do đó f(Zn) = T
k≤nPαk.
Giả sử n ∈ N. Nhờ cách xây dựng của Ln, Ln là nằm trong Pαk từ một lúc nào đó với mọi k ≤ n và vì vậy Ln là nằm trong T
k≤nPαk = f(Zn) từ một lúc nào đó. Do đó L là thường xuyên gặp trong f(Zn) với mọi n ∈ N. Theo Bổ đề 2.2.5, tồn tại một dãy {zn} hội tụ đến z và {f(zn)} là một dãy con của L vì thế f là ánh xạ thương dãy.
(b) f là một ánh xạ compắc. Giả sử x ∈ X. Đặt Bn = {α ∈ An : x ∈ Pα}, khi đó Πn∈NBn là một tập con compắc của Πn∈NAn. Dễ thấy rằng f−1(x) = Πn∈NBn. Vì vậy f là một ánh xạ compắc.
(c)f là một σ-ánh xạ. Đặt B(α1, α2, . . . , αn) = {(βk ∈ Z : βk = αk với mọi k ≤ n}, trong đó (αi) ∈ Z và n ∈ N. Khi đó B(α1, α2, . . . , αn) =: (αi) ∈ Z và n ∈ N} là một cơ sở của Z. Bằng lập luận tương tự trong (a) ta thấy rằng: f(B(α1, α2, . . . , αn)) = T
k≤n
Pαk ∈ Fn. Chú ý rằng Fn là hữu hạn địa phương.
Vì vậy {f(B(α1, . . . , αn)) : (αi) ∈ Z và n ∈ N} là σ-hữu hạn-địa phương. Do đó f là một σ-ánh xạ.
(3) ⇒ (1). Giả sử Z là một không gian mêtric và f : Z→X là σ-ánh xạ, thương dãy, π. Khi đó theo Bổ đề 2.2.3, X là snf-đếm được. Nhờ Bổ đề 2.1.6, chỉ cần chứng minh rằng X có một cs∗-lưới σ-bảo toàn bao đóng di truyền. Vì f là một σ-ánh xạ nên tồn tại một cơ sở B của Z sao cho f(B) là một
họ σ-hữu hạn địa phương trong X, vì vậy chúng ta chỉ cần chứng minh rằng f(B) là một cs∗-lưới của X. Giả sử S là một dãy hội tụ đến x ∈ X và U là một lân cận mở của X, f là thương dãy, vì vậy tồn tại một dãy L hội tụ tới z ∈ Z sao cho f(L) là một dãy con của S. Từ z ∈ f−1(x) ⊂ f−1(U) và B là một cơ sở của Z nên tồn tại B ∈ B sao cho z ∈ B ⊂f−1(U). Vì vậyL là nằm trong B từ một lúc nào đó, từ đó f(L) là nằm trong f(B) ⊂ f f−1(U) = U từ một lúc nào đó. Do đó S là thường xuyên gặp trong f(B) ⊂ f(B). Vì vậy f(B) là một cs∗-lưới của X.
2.2.7 Hệ quả. Một không gian là g-khả mêtric khi và chỉ khi nó là một
σ-ảnh, π (compact), thương của một không gian mêtric. Chứng minh. Suy từ Định lý 2.2.6.
KẾT LUẬN
Sau một thời gian nghiên cứu và tham khảo nhiều tài liệu khác nhau, dưới sự hướng dẫn tận tình và nghiêm khắc của thầy giáo PGS.TS. Trần Văn Ân, chúng tôi đã thu được một số kết quả sau:
1. Một không gian với một sn-lưới σ-bảo toàn bao đóng di truyền yếu là sn-đếm được thứ nhất. Áp dụng kết quả này, chứng minh được một không gian Lindel¨of với một sn-lưới σ-bảo toàn bao đóng di truyền yếu là sn-đếm được thứ hai. Chứng minh Định lý 1.3.2 và Định lý 1.3.5,... mà các tài liệu chứng minh vắn tắt.
2. Một không gian sn-khả mêtric khi và chỉ khi có một sn-lưới sao điểm hữu hạn địa phương hoặc khi và chỉ khi nó là mộtσ-ảnh,π (compact), thương dãy của một không gian mêtric. Áp dụng kết quả này chứng minh được một không gian là g-khả mêtric khi và chỉ khi nó là σ-ảnh, π (compact), thương của một không gian mêtric. Chứng minh Định lý 2.1.8, Định lý 2.2.6 và Hệ quả 2.2.7,... mà các tài liệu chứng minh vắn tắt.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Trần Văn Ân (2007), Bài giảng tôpô đại cương, Trường Đại học Vinh. [2] J. Kelley (1973), Tôpô đại cương, Nxb Đại học và Trung học chuyên
nghiệp, Hà Nội.
[3] Nguyễn Thị Lê (2006), Luận văn Thạc sĩ Toán học, Trường Đại học Vinh. [4] S. P. Franklin, (1965), Spaces in which sequence suffice. Fund. Math., 57,
107 - 115.
[5] Y. Ge (2000), On spaces with a σ-locally-finite universal cs-network, Questions Answers in General Topology, 18, 93 - 96.
[6] Y. Ge (2002), On sn-metrizable spaces, Acta Math. Sinica, 45, 355 - 360 (in Chinese).
[7] Y. Ge (2004), Spaces with countable sn-networks, Comment Math. Univ. Carolinae, 45, 169 - 176.
[8] G. Gruenhage, E. Michael and Y. Tanaka (1984), Spaces determined by point-countable covers, Pacific J. Math., 113, 303 - 332.
[9] S. Lin (1987),On normal separableℵ-space, Q and A in General Topology,
5, 249 - 254.
[10] S. Lin (1995), Generalized Metric Space and Mappings, Beijing : Chinese Science Press.
[11] S. Lin (1997), A note on the Arens’ spaces and sequential fan, Topology Appl, 81, 185 - 196.
[12] S. Lin and P. Yan (2001), Sequence-covering maps of metric spaces , Topology Appl. 109, 301 - 314.
[13] S. Lin (2002),Point-Countable Covers and Sequence-Covering Mappings, Beijing : Chinese Science Press.
[14] K. Morita (1955), A condition for the metrizability of topological spaces and for n-dimensionality, Sci. Rep. Tokyo Kyoiku Daigaku Sec, A5, 33 - 36.
[15] Y. Tanaka (1994), Theory of k- networks. Questions Answers in General Topology, 12, 139 - 164.