Về các định lý điểm bất động cho ánh xạ co dựa trên một ánh xạ khác

2 MỤC LỤC Mục lục Mở đầu Định lý điểm bất động cho ánh co dựa ánh xạ khác 1.1 Định lý điểm bất động cho ánh xạ co 1.2 Định lý điểm bất động cho ánh xạ co dựa ánh xạ khác Định lý điểm bất động cho ánh xạ co suy rộng họ ánh xạ co dựa ánh xạ khác 14 2.1 Định lý điểm bất động cho ánh xạ co suy rộng dựa ánh xạ khác 14 2.2 Định lý điểm bất động cho họ ánh xạ co dựa ánh xạ khác 23 Kết luận 29 Tài liệu tham khảo 30 MỞ ĐẦU Định lý điểm bất động Banach ánh xạ co không gian metric đầy đủ kết kinh điển toán học Sau Banach chứng minh, định lý điểm bất động ánh xạ co trở thành vấn đề thu hút nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Cho đến có khoảng 10000 cơng trình định lý điểm bất động, cơng bố tạp chí toán học Các định lý điểm bất động ánh xạ co nghiên cứu phong phú cho nhiều kiểu ánh xạ, nhiều loại không gian khác Các định lý điểm bất động có nhiều ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực toán học Giải tích, Phương trình vi tích phân Năm 2009 Beiranvand, Moradi, (xem [2]), đưa khái niệm kiểu ánh xạ co dựa ánh xạ khác thu số định lý điểm bất động cho kiểu ánh xạ Nhằm tìm hiểu cách chi tiết có hệ thống định lý điểm bất động cho ánh xạ co dựa ánh xạ khác số dạng suy rộng nó, chúng tơi lựa chọn đề tài sau cho luận văn mình: Về định lý điểm bất động cho ánh xạ co dựa ánh xạ khác Chúng thu số định lý điểm bất động cho ánh xạ co, họ ánh xạ co dựa ánh xạ khác Các kết trình bày chương luận văn Chương Định lý điểm bất động cho ánh xạ co dựa ánh xạ khác; Chương Định lý điểm bất động cho ánh xạ co suy rộng họ ánh xạ co dựa ánh xạ khác Các kết luận vặn công bố tài liệu [7] Luận văn thực trường Đại học Vinh hướng dẫn tận tình nghiêm khắc thầy giáo, PGS TS Tạ Khắc Cư Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa toán Tác giả xin cảm ơn PGS TS Đinh Huy Hoàng, PGS TS Trần Văn Ân, NCS Kiều Phương Chi thầy, giáo Khoa tốn nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập Cuối xin cám ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt bạn lớp Cao học 15 Giải tích cộng tác, giúp đỡ động viên tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Mặt dù có nhiều cố gắng, luận văn khơng tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp thầy, giáo bạn bè để luận văn hồn thiện Vinh, tháng 12 năm 2009 Lê Anh Tú CHƯƠNG ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHO ÁNH CO DỰA TRÊN MỘT ÁNH XẠ KHÁC 1.1 Định lý điểm bất động cho ánh xạ co Trong mục chúng tơi trình bày lại định lý điểm bất động cho ánh xạ co không gian metric 1.1.1 Định nghĩa Cho X tập khác rỗng Hàm d : X × X → R gọi metric X thoả mãn điều kiện sau 1) d(x, y) với x, y ∈ X ; d(x, y) = x = y 2) d(x, y) = d(y, x) với x, y ∈ X 3) d(x, y) d(x, z) + d(z, y) với x, y, z ∈ X Khi (X, d) gọi không gian metric 1.1.2 Định nghĩa Cho (X, d) không gian metric S : X → X ánh xạ 1) Dãy {xn } ⊂ X gọi dãy Cauchy lim d(xm , xn ) = m,n→∞ Không gian (X, d) gọi đầy đủ dãy Cauchy X hội tụ X 2) Không gian X gọi đầy đủ theo quỹ đạo S dãy Cauchy có dạng {S n x}∞ n=1 X hội tụ X Rõ ràng, X khơng gian metric đầy đủ X đầy đủ theo quỹ đạo ánh xạ S 1.1.3 Định nghĩa Cho (X, d) không gian metric ánh xạ S : X → X gọi liên tục theo quỹ đạo limi→∞ S ni x = u ∈ X kéo theo Su = lim SS ni x i→∞ Nhự vậy, ánh xạ liên tục liên tục theo quỹ đạo 1.1.4 Định nghĩa Cho (X, d) không gian metric A ⊂ X Đường kính A ký hiệu δ(A) xác định δ(A) = sup{d(x, y) : x, y ∈ A} Tập A gọi bị chặn có đường kính hữu hạn 1.1.5 Định nghĩa Cho (X, d) không gian metric ánh xạ f : X → X gọi ánh xạ co tồn q ∈ [0, 1) cho d f x, f y qd(x, y), ∀x, y ∈ X Rõ ràng ánh xạ co liên tục 1.1.6 Định nghĩa Cho (X, d) không gian metric ánh xạ f : X → X Điểm a ∈ X gọi điểm bất động f f (a) = a 1.1.7 Định lý (Banach, [1]) Mọi ánh xạ co không gian metric đầy đủ có điểm bất động Chứng minh Cố định x0 ∈ X xác định dãy {xn } quy nạp sau: xn+1 = f xn , n = 0, 1, 2, Ta có d(x1 , x2 ) = d(f x0 , f x1 ) qd(x0 , x1 ) d(x2 , x3 ) = d(f x1 , f x2 ) qd(x1 , x2 ) q d(x0 , x1 ) Do quy nạp ta chứng minh d(xn , xn+1 ) q n d(x0 , x1 ), ∀n = 1, 2, Từ suy d(xn , xn + p) d(xn , xn+1 ) + d(xn+1 , xn+2 ) + + d(xn+p−1 , xn+p ) (q n + q n+1 + + q n+p−1 )d(x0 , x1 ) qn d(x0 , x1 ) 1−q với n, p ∈ N∗ Vì q < nên lim d(xn , xn+p ) = 0, tức {xn } n→∞ dãy Cauchy không gian metric đầy đủ X Đặt a = lim xn n→∞ Do tính liên tục ánh xạ f , ta có: a = lim xn+1 = lim f (xn ) = f ( lim xn ) = f (a) n→∞ n→∞ n→∞ Vậy a điểm bất động f Bây giờ, giả sử b điểm bất động f Từ bất đẳng thức d(a, b) = d(f a, f b) qd(a, b) q ∈ [0, 1) suy d(a, b) = hay a = b Vậy f có điểm bất động Ví dụ sau cho thấy nguyên lý ánh xạ co Banach thay điều kiện ánh xạ co điều kiện d(f x, f y) d(x, y), ∀x, y ∈ X kết luận khơng 1.1.8 Ví dụ Trên tập số tự nhiên N ta xét metric  0 m = n d(m, n) = 1 + m = n m+n (1.1) Dễ dàng kiểm tra (N, d) không gian metric đầy đủ Xét ánh xạ f : N → N cho f n = n + Rõ ràng f điểm bất động Tuy nhiên d(f m, f n) < d(m, n), ∀m = n Thật vây, m = d(f m, f 0) = d(m + 1, 1) = + 1