Về đường trắc địa trên đa tạp riemann và giả riemann

1 giáo dục đào tạo Tr-ờng đại học vinh ==== ==== Đ-ờng Thị Hồng Thắm Về đ-ờng trắc địa đa tạp riemann Và giả Riemann Luận văn thạc sĩ toán học Chuyên ngành: hình học - tôpô M· sè: 60.46.10 Ng-êi h-íng dÉn khoa häc: TS Ngun Bình Vinh - 2009 Lời mở đầu Hình học Riemann giả Riemann đời từ nửa kỷ 19 đà có nhiều ứng dụng học, vật lý học ngành khác kỹ thuật Đ-ờng trắc địa đa tạp Riemann giả Riemann vấn đề quan trọng hình học Riemann giả Riemann Lý thuyết đà đ-ợc trình bày tài liệu chuyên khảo Hình học đại nh- [2], [4], [6], [7] Trong luận văn này, khảo sát tính chất đ-ờng trắc địa biến phân trắc địa đa tạp Riemann giả Riemann Luận văn đ-ợc trình bày hai ch-ơng: Ch-ơng 1: Liên thông Lêvi-Civita đa tạp Riemann giả Riemann Trong ch-ơng này, trình bày định nghĩa tính chất liên thông tuyến tính liên thông Lêvi-Civita I Liên thông tuyến tính II Liên thông Lêvi-Civita đa tạp Riemann giả Riemann Ch-ơng Đ-ờng trắc địa đa tạp Riemann giả Riemann Trong ch-ơng này, tr-ớc hết trình bày định nghĩa số tính chất đ-ờng trắc địa đa tạp Riemann giả Riemann Tiếp theo khảo sát tính biến phân tr-ờng véctơ biến phân dọc đ-ờng cong trắc địa I Đ-ờng trắc địa đa tạp Riemann giả Riemann II Biến phân tr-ờng véctơ biến phân dọc đ-ờng cong trắc địa Luận văn đ-ợc hoàn thành Khoa sau Đại học tr-ờng Đại học Vinh d-ới h-ớng dẫn TS Nguyễn Duy Bình Nhân dịp tác giả xin chân thành gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Thầy đà đặt vấn đề h-ớng dẫn tác giả suốt trình viết hoàn thành luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy giáo tổ Hình học, thầy giáo, cô giáo làm việc Khoa toán Khoa sau Đại học đà giảng dạy, dẫn vấn đề có liên quan đến đề tài nghiên cứu Tác giả xin chân thành cảm ơn đến đồng nghiệp, bạn bè gia đình đà tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành luận văn Vinh, tháng 12 năm 2009 Tác giả Ch-ơng1 liên thông lêvi-civita đa tạp Riemann Và giả riemann Trong luận văn này, giả thiết M đa tạp khả vi thực n- chiều với sở đếm đ-ợc ký hiệu: F(M) tập hàm khả vi M Tp M không gian véc tơ tiếp xúc với M p B(M) tập tr-ờng véc tơ khả vi M I liên thông tuyến tính 1.1.1 Định nghĩa ánh xạ: B(M)x B(M) B(M) XY (X, Y) đ-ợc gọi liên thông tuyến tính đa tạp M thoả m·n ®iỊu kiƯn sau: (T1 )  X (Y  Z ) =  X Y   X Z ; X , Y , Z  B(M) (T2 )  X Y Z =  X Z  Y Z ; X , Y , Z  B(M) (T3 )  fX Y = f XY ; (T4 )  X ( fY ) = X  Y  X Y ; X , Y  B(M),  f  F(M) X , Y  B(M), f F(M) 1.1.2 Ví dụ Giả sử D đạo hàm tự nhiên tr-ờng véctơ : B( ( X ,Y ) )B( )  B( 3 , ta xét ánh xạ: ) DX Y  ( X  Y ); X , Y B ( n Khi đó, liên thông tuyến tính 3 ), n Chøng minh ThËt vËy, víi X , X ' , Y, Y’  B(M),  F ( ) ta kiểm tra điều kiện liên thông tuyÕn tÝnh (T1 )  X (Y  Z )  DX (Y  Z )   DX Y  DX Z   X  (Y  Z )  n ( X  Y )  ( X  Z ) n 1  DX Y  ( X  Y )  DX Z  ( X  Z ) n n   XY   X Z (T2 )  X Y Z  DX Y Z  ( X  Y )  Z  n  DX Z  DY Z  ( X  Z )  (Y  Z ) n 1  DX Z  ( X  Z )  DY Z  (Y  Z ) n n   X Z  Y Z (T3 )  X Y  D X Y  ( X )  Y  n   DX Y   ( X  Y ) n   ( DX Y  ( X  Y )) n   X Y (T4 )  X (Y )  DX (Y )   X  (Y ) n  X  Y   DX Y   ( X  Y ) n  X  Y   ( DX Y  ( X  Y )) n  X  Y   X Y Gi¶ sư M đa tạp khả song n chiều với tr-ờng mơc tiªu n n  X E ; Y = Y E , ( X , Víi mäi X, Y  B(M): X = i i 1 XY = i i i 1 i i E1, Yi  F(M); i 1, n ), ta đặt: n X Y E Khi liên thông tuyến tÝnh trªn M i 1 i i ThËt vËy, víi mäi X, X’, Y, Y’ B(M);   F(M), ta cã: (T1 )  X  X 'Y n =  ( X  X ')Y E i i 1 n =  X Y E i i 1 i i n  X 'Y E  i 1 i i =  X Y   X 'Y (T2 )  X (Y  Y ') = n  X Y  Y 'E i 1 i i i n =  X Yi Ei  i 1 =  X Y   X Y ' (T3 )  X Y n  ( X )Y E = i i 1 i n =   X Yi Ei i 1 =  X Y (T4 )  X (Y ) n =  X Y E i 1 i i n  X Y ' E i 1 i i E2 , , En  n  ( X Y   Y X  ) E = i i 1 i i n n i 1 i 1 =   X Yi Ei  X    Yi Ei =  X Y  X  Y 1.1.3 MÖnh đề Giả sử f: M N vi phôi liên thông tuyến tính N Ta đặt: X Y = f1 ( f  X f  Y ) ;  X, Y B(M) Khi liên thông tuyến tính trªn M Chøng minh Víi  X, X’, Y, Y’  B(M);   F(M), ta kiĨm tra ®iỊu kiện liên thông tuyến tính (T1 ) X (Y  Y ') = f1  f  X f (Y  Y ')  = f1 ( f  X fY   f  X fY ') = f1 ( f  X fY )  f1 ( f  X fY ') =  X Y   X Y ' (T2 )  X  X 'Y = f1 ( f ( X  X ') fY ) = f1 ( f  X fY   f  X ' fY ) = f1 ( f  X fY )  f1 ( f  X ' fY ) =  X Y   X 'Y (T3 )  X Y = f1 ( f ( X ) fY ) = f1 ( f  X fY ) =  f1 ( f  X fY ) =  XY §Ĩ kiĨm tra ®iỊu kiƯn thø cđa  ta sử dụng nhận xét sau: Giả sử f: M N ánh xạ khả vi X p  Tp M ;  F(N), ta cã: ( f p ( X p ))    X p  f  Chøng minh Gi¶ sư X p véctơ tiếp xúc với cung p(t) p Nh- ta ®· biÕt, ®ã : f | p X p véctơ tiếp xúc với đ-ờng cong f (t ) f ( p) Từ ta cã: ( f | p X p )     d  ( f  (t )) |t t0 dt d ( f )  (t ) |t t0 dt  X p  f  Gi¶ sử f : M N vi phôi Khi ®ã: ( f X )    X  f  f 1, X B(M);  F(N) Chøng minh Tõ 1, ta cã: ( f X ) f ( p )    X p  f    ( f X )    ( f X )  f  ( p) = X   f ( p) = X p  f  p  f  ( p)  ( f X )   f ( p) = X  f  ( p)  ( f X )   ( p ') = X  f  f 1 ( p '); p '  f ( p); p '  N  ( f X )   = X  f  f 1 Bây giờ, ta trở lại chứng minh mệnh đề Ta cã: (T4 )  X ( X )  f1  f  X f (Y )   f1  f  X (( f 1 )( fY ))    (( X )   f1 ( f X )  f 1  fY  ( f 1 ) f  X fY  f1  f 1 f  f 1 ) fY  ( f 1 f  X fY   f1  (( X )   f 1 ) fY  ( f 1 ) f  X fY   X  Y   f 1 ( f  X fY )  X  Y  X Y 1.1.4 Mệnh đề a ánh x¹: Y  X Y chØ phơ thc Y t¹i lân cận điểm, tức thu hẹp Y |U lên tập mở U M Y |U  th×  X Y |U = b ¸nh x¹: Y  X Y chØ phơ thc X điểm, tức X ( p ) = X '( p ) th× ( X Y )( p ) = ( X 'Y )( p ) Chứng minh a Thật vậy: Với p U ta cã hµm  F(M) cho:  ( p) = 0;  |M |N = Khi ®ã:   Y = Y vµ ta cã: ( X Y )( p ) =   X (Y ) ( p ) = ( X  Y )( p )  ( X Y )( p ) = X  ( p )  Y( p )  ( p ) ( X Y )( p ) = n b Xét đồ địa ph-ơng (U,x) víi tr-êng mơc tiªu tù nhiªn   xi i 10 Đặt Ei = Khi ®ã víi mäi X, X’  B(U) ta cã biểu diễn sau: xi n X= i Ei X’ = i 1 n  ' E ; víi  ,  '  F(U), (i = 1, 2, …, n) i 1 i i i i Tõ X ( p ) = X '( p ) ta suy i ( p) =  'i ( p), ( i  1, 2, , n ) Do ®ã: ( X Y )( p )    = n Y =  i Ei   i 1 ( p ) n i ( p)( E Y )( p ) = i 1 i n  ' ( p)( i 1 i Ei Y )( p ) = ( X 'Y )( p ) VËy: ( X Y )( p ) = ( X 'Y )( p ) 1.1.5 Mệnh đề Giả sử , hai liên thông tuyến tính M Khi = 11 2 liên thông tuyến tÝnh trªn M  1   = ; víi 1 ,   F(M) Chøng minh Điều kiện cần: Giả sử , hai liên thông tuyến tính M = 11 2 liên thông tuyến tính M Víi X, Y B(M);  , 1 , 2  F(M), ta cã:  X (Y ) = (11  22 ) X (Y ) = 11X (Y )  22 X (Y ) = 1 ( X  Y  1X Y )  2 ( X  Y  2 X Y ) = ( (1  2 )X  Y   (11X Y  22 X Y ) = (1  2 )X  Y   (11  12 ) X Y = ( (1  2 )X  Y   X Y Do liên thông tuyến tính nên 29 2.2.2 Định nghĩa Cho    ( p, q), kh«ng gian tiÕp xóc T gồm tất tr-ờng véctơ khả vi khúc cho V (a) V (b) ánh x¹  :   ,     đ-ợc gọi biến phân tham số điều kiện sau đ-ợc thoả mÃn: i (0) ii Tồn phân ho¹ch  t0  t1   tn cho ánh xạ: : , 0,1 M xác định bởi: (u, t ) (u)(t ) khả vi tập , t , t k k 1  ;  k n 2.2.3 Định lý (công thức biến phân thứ nhất) (xem [6]) Giả sử : [a, b] M đ-ờng cong nhẵn, với vËn tèc h»ng c  vµ dÊu  (ë ®©y   sgn   ',  '  1) Nếu biến phân đ-ờng cong th×: L '(0)    c b    '', V  du  a   k    '(u ), V (u )   c   ', V | c i 1 i i b a (trong ®ã, u1   uk điểm gÃy đ-ờng cong biÕn ph©n  ,  '(ui ) =  '(ui )   '(ui ) T (ui ) ( M ) ) 2.2.4 Hệ Một đ-ờng cong trơn khóc  : [a, b]  M, víi vËn tèc c đ-ờng trắc địa biến phân thứ độ dài cung không cho biến phân với điểm mút cố định Chứng minh Nếu đ-ờng trắc địa '' '(ui ) ; i Đối với biến phân với điểm mút cố định V (a) V (b) không Nh- L '(0) Ng-ợc lại, giả sư L '(0)  cho mäi biÕn ph©n víi điểm mút cố định 30 Tr-ớc tiên ta chứng tá r»ng  | ui , ui 1  lµ trắc địa, tức ''(t ) ui t ui1 Giả sử y véc tơ tiếp xúc với M (t ) giả sử f hàm không đổi dấu [a, b] víi supp f  t   , t     ui , ui1  Giả sử Y tr-ờng véc tơ đạt đ-ợc phép dịch chuyển song song y giả sử V = fY Từ V (a) V (b) không, công thức hàm mũ (u, v) exp (u ) (vV (u)) xác định biến phân với điểm mút cố định mà tr-ờng véc tơ vận tốc V Từ L '(0) 0, công thức (Định lý 2.2.3) ta cã: b t  a t     '', V  du     '', fY du Điều với y, f Từ ''(t ), y  ®èi víi mäi y   ''(t ) (do trắc địa) T-ơng tự, giả sử y véc tơ tiếp xúc tuỳ ý (ui ) giả sử f hàm không đổi dấu ui , với supp f ui , ui Xét biến phân đầu mút cố định với tr-ờng véctơ fY từ công thøc biÕn ph©n thø nhÊt, ta cã  L '(0)     '(ui ), y ; y c Tõ ®ã  '(ui )  Tr-êng vÐc tơ V (u) v (u, 0) cho vận tốc đ-ờng cong xuyên ngang biến phân Xét tr-ờng véc tơ xuyên ngang A(u) vv (u, 0) Ta gọi A tr-ờng véctơ gia tèc xuyªn ngang cđa  NÕu |  ' | , tr-ờng véc tơ Y đ-ợc phân tÝch b»ng tỉng Y   Y  lµ thµnh phần tiếp xúc trực giao với Nếu trắc địa (Y )' (Y ') 2.2.5 Định lý (công thức biến phân thứ hai) Giả sử : [a, b] M đ-ờng trắc địa, với vận tốc c dấu Nếu biến phân  th×: 31 L ''(0)   b c a      V ', V '    RV 'V ,  '  du  c ', A |ba (ở đây, V biến phân tr-ờng véc tơ, A tr-ờng véc tơ gia tốc xuyên ngang , V V   V  , V  ,V  thành phần tiếp xúc trực giao ) Chøng minh b Gi¶ sư h  h(u, v) | u (u, v) | vµ L(v)   hdu a  2h Tõ ®ã: L ''(v)   du v a b Ta cã: h    u , uv  v h  2h    h   h  u , uv    u , uv   Nh- vËy: v h  v v       uv , uv    u , uvv    u , uv  h h Mặt khác: uv vu vµ uvv  vuv  R( u , v ) v  vvu Tõ ®ã  2h        vu ,  vu    u , R( u ,  v )  v    u ,  vvu    u ,  vu   v h h Khi đặt v ph-ơng trình dẫn đến thay đổi sau: h  c, u   ', v  V , vu  V ', vv  A, vµ vvu  A '  2h    Ta cã |v0   V ', V '    RV 'V ,  '     ', A '  ( )   ', V '   (1) v h c  Tr-íc tiên, đ-ờng trắc địa, ', A '   ( TiÕp theo, v× d )   ', A  du ' lµ vÐc tơ đơn vị, nên thành phần tiếp xúc V ' lµ: c 32 '   V ', V'( Nh- vËy: Tõ ®ã:  c c ( ' c ) )  V ',  '   ' V  '  V ', V '   (  c2   )  V ',  '    V ', V ' (2) Thế (2) vào (1) ta đ-ợc:  2h     d    V ', V '    RV 'V ,  '     ', A   v c du  Cuèi cïng, lÊy tÝch phân cận từ a đến b ta đ-ợc: L ''(0)   b c a      V ', V '    RV 'V ,  '  du   c   ', A |ba ei Cho  : [a, b]  M đ-ờng trắc địa đ-ợc gọi đ-ờng trắc địa khác không nếu: d D ' ',  '  =  ,  '  =    ',  '  = c (hằng) dt dt 2.2.6 Định nghĩa Dạng số I đ-ờng trắc địa khác không ( ( p, q) ) dạng song tuyến tÝnh, ®èi xøng nhÊt I : T  T cho tr-ờng véc tơ biến phân V T () , th× I (V , V ) L''x (0) (ở đây, biến phân với đầu mút cố định ) 2.2.7 Hệ (xem [6]) Nếu ( p, q) đ-ờng trắc địa với vận tốc c > dấu  th×  b    I (V ,W ) =   V ', W '    RV  'W ,  '  du ; víi mäi V , W T () c 0  2.2.8 Định nghĩa Giả sử : I M đ-ờng trắc địa X   ' 33 Mét tr-êng vÐct¬ J dọc đ-ợc gọi tr-ờng Jacôbi nÕu:  X  X J  R( J , X ) X  2.2.9 VÝ dơ Gi¶ sư : đ-ờng cong khả vi bất kú vµ: :  t (cos t , sin t, 0) : Xét họ ánh xạ: (t )  s  (t ) (t , s) Khi ®ã víi mäi t  ta cã:  t :  s  (t )  s (t ) đ-ờng thẳng, t đ-ờng trắc địa J t ( s) tr-ờng véc tơ: (t , s) |t 0   '(0)  s  (0)   '(0) s(0, 1, 0) t tr-ờng Jacôbi dọc đ-ờng trắc địa t 2.2.10 Định nghĩa p, q hai điểm thuộc đ-ờng trắc địa , p (a) q (b) đ-ợc gọi liên hợp với dọc , tồn tr-ờng véc tơ Jacôbi dọc |a , b khác đầu mút 2.2.11 Ví dụ Xét M đa tạp nưa Riemann “ph¼ng” ( R( X , Y ) Z ) p, q hai điểm thuộc đ-ờng trắc địa J fi pi tr-ờng Jacôbi dọc ( pi tr-ờng mục tiêu trực chuẩn dọc i đ-ờng trắc địa  )  d fi  0; i  fi (t )  ait  bi ; i  1, n dt 34 Do ®ã, nÕu J p q J đ-ờng trắc địa p, q không liên hợp với 2.2.12 Mệnh đề Giả sử đ-ờng trắc địa khác không (với dấu ) đa t¹p nưa Riemann M n víi chØ sè v i I nửa xác định d-ơng v n ii I nửa xác định âm v 1hoặc v  n  1vµ   Chøng minh i Giả sử v n Thì có véc tơ tiếp xúc đơn vị y   '(0) víi h-íng ng-ỵc cđa  Nh- vËy, nÕu  lµ dÊu cđa  ,  ( y, y) Giả sử Y dịch chun song song cđa y, vµ   , cho sin(u | ) điểm mút với miền xác định [a, b] , V sin(u | )Y T () Trong công thức biến phân thứ hai, lÊy |  ' | c  §Ĩ đơn giản, giả sử b K K (V ,  ') , th× I (V , V )     V ', V '   K  V , V    du a b     y, y  cos (u |  )  K sin (u |  ) du a b    cos (u |  )   K sin(u | )du a Do K bị chặn [a, b] từ với đủ nhỏ, I (V , V )  ii Tr-êng hỵp ng-ỵc lại, có tr-ờng véc tơ thoả mÃn y  '(0) cho   y, y   1, việc chứng minh nh- (1) I nửa xác định âm, nghÜa lµ I (V , V )  2.2.13 Định nghĩa 35 Cho đa tạp nửa Riemann M Một véc tơ tiếp xúc v Tp M đ-ợc gọi là: i Véc tơ tựa không gian v, v  > ii VÐc t¬ tùa thêi gian nÕu  v, v   iii VÐc tơ tựa ánh sáng v, v 2.2.14.Định nghĩa Giả sử I = [a, b] khoảng mở Đ-ờng cong c : I M đ-ợc gọi tựa không gian, tựa thời gian tựa ánh sáng c (t ) Tc (t ) M tựa không gian, tựa thời gian tựa ánh sáng, với t I 2.2.15 Định nghĩa Giả sử (M, g) đa tạp nửa Riemann, không gian '( s) T ( s ) M cđa kh«ng gian tiÕp xóc đ-ợc gọi tựa không gian tích vô h-ớng , | '( s ) xác định d-ơng Đ-ờng trắc địa : [a, b] M đ-ợc gọi đối tựa không gian không gian '( s)  T ( s ) M lµ tùa không gian s a, b 2.2.16 Bổ đề Nếu V W tr-ờng Jacôbi dọc đ-ờng trắc địa ,  V ', W    V , W '  lµ h»ng sè däc  Chøng minh Ta cã  V ', W  '   V '', W    V ', W '    RV 'W ,  '    V ', W '  (1) T-¬ng tù  V , W '  '   V ', W '    V , W ''    V ', W '    RW 'V ,  '  36   V ', W '    RV 'W ,  '  (2) Tõ (1) vµ (2), ta cã  V ', W  '   V , W '  '  ( V ', W    V , W ' )' = Hay  V ', W    V , W '   c (h»ng sè) 2.2.17 Bỉ ®Ị Cho Y1, Y2 , , Yk tr-ờng Jacôbi dọc đ-ờng trắc địa , thoả mÃn Yi ' , Y j    Yi , Y j' , víi mäi i, j 1, , k NÕu tr-êng véc tơ V dọc đ-ợc viết dạng V  fiYi , th× d-íi  V ', V '    RV 'V ,  '    A, A    V , B  ' (ở đây, A fi 'Yi B   fiYi ' ) Chøng minh Tõ V '  A  B,  V , B  ' =  V ', B    V , B '   A, B    B, B    V , fY (1)        = -  RV 'V ,  '  2  (2) i '   V,  fY  ' i '' i i Theo ph-ơng trình Jacôbi ta có: V, fY i i ''  f Y  =  f Y ,  fY  =  f f  Y , Y  =  f f  Y , Y = A, Mặt khác: V , ' i ' ' i j ' i i j i i ' j i ' j i ' j i B  (3) Thay (2) vµ (3) vµo (1), ta cã:  V , B '  =  A, B    B, B    RV ' ,  '    B, B  =  V , B  '  A, B    RV 'V , ' Mặt khác: V ', V '  =  A  B, A  B  (4) (5) 37 =  A, A  2  A, B    B, B  (6) Thay (5) vµo (6), ta cã:  V ', V '  =  A, A    V , B  '   RV 'V ,  '   V ', V '  -  RV 'V ,  '  =  A, A    V , B  ' Hay 2.2.18 Mệnh đề Giả sử : [a, b] M đ-ờng trắc địa Nếu J tr-ờng Jacôbi dọc tồn t0 a, b  , víi J (t0 )   '(t0 ) t J (t0 ) '(t0 ) J (t )   '(t ) , víi mäi t   a, b  Chøng minh Ta cã   DJ  D ,     J,    J,   =  dt dt   d dJ  D2  ,   J,   = dt dt dt D2 J  DJ  = ,    ,  dt dt    = -  R( , J )  ,   = (theo tính chất đối xứng ten xơ cong) Nh- vËy:  J (t ),  (t )  = at  b ; a, b    J ( t )   (t0 )  at0  b a   Tõ:  DJ    b  (t0 )   (t0 )  a    dt    J (t ),  (t )  = ; t 2.2.19 Mệnh đề 38 Giả sử ( p, q) đ-ờng trắc địa đối tùa kh«ng gian víi dÊu  :  ',  ' Nếu điểm liên hợp p (0) dọc , dạng số I xác định (d-ơng  , ©m nÕu   1) Chøng minh Chúng ta phải I xác định d-ơng T () Giả sử Y1, Y2 , , Yn1 tr-ờng Jacôbi triệt tiêu u Y1' (0), Y2' (0), , Yn'1 (0) sở '(0) Khi tr-ờng Jacôbi vuông góc với theo (Mệnh đề 2.2.18) Ngoài ra, điểm liên hợp với (0) dọc nên với u b , véc tơ Y1 (u), Y (u)2 , , Yn1 (u) tạo thành sở '(u ) (vì trái lại, tån t¹i i  cho   Y (u) = Khi ®ã i i   Y tr-ờng Jacôbi dọc , Y (0) = , Y (u) = vµ Y  (nÕu Y     Y     Y     (do Y (0) sở) mâu thuẫn) Y = i i ' i i i i i i (u ) liên hợp (0) , trái giả thiết) Nh- vậy, V T () có hàm khả vi khúc cho V fiYi 0,b Vì Yi triệt tiêu , theo (Bổ đề 2.2.16) cho Yi ' , Y j  =  Yi , Y j' Nh- vậy, áp dụng (Bổ đề 2.2.17) ta thu đ-ợc: V ', V '  RV 'V ,  '  =  A, A    V , B  ' (ë đây, A fi 'Yi B fiYi ' ) b Tõ ®ã: 1  I (V , V )    A, A  du   V , B |b0 c0 c Biểu thức thứ hai 0, V triệt tiêu b Do đối tựa không gian vµ A   , ta cã  A, A   Do ®ã  I (V , V )  39 b Ngoµi ra: I (V ,V )     A, A  du    A, A    A  0  f i lµ h»ng sè  V  2.2.20 HƯ qu¶ Cho : [a, b] M đ-ờng trắc địa đối tựa không gian giả sử (u ) không liên hợp với (a) với a u b thì: i Nếu M đa tạp Riemann th× : L( )  L(0) < L(v)  L( v ) ii Nếu M đa tạp giả Riemann víi chØ sè v  th×: L( )  L(0) > L(v)  L( v ) víi mäi biến phân , mà v xác ®Þnh bëi v (u)   (u, v) cïng kiĨu víi  ( sgn   ', '  = sgn  v' , u'  ) 2.2.21 MƯnh ®Ị (xem [6]) i Nếu q (b) điểm liên hợp p (0) dọc I nửa xác định, nh-ng không xác định ii Nếu có điểm liên hợp (r ) p   (0) däc  víi  r  b I không nửa xác định (hoặc xác định) 2.2.22 Ví dụ Xét M không gian Ơclit ( đ-ờng trắc địa n ) giả Ơclít ( n ) Theo ph-ơng trình dx j d xk k dxi    ; k  1, n , xi  xi (t )  i , j dt dt dt i, j  xk Ta cã: 0 dt   dxk (t )  ak dt  x1 (t )  a1t  b1          xn (t )  ant  bn 40 đ-ờng thẳng đ-ờng trắc địa p, q hai điểm thuộc đ-ờng trắc địa J fi pi tr-ờng Jacôbi i dọc ( pi tr-ờng mục tiêu trực chuẩn däc ®-êng cong) d fi    fi (t )  ait  bi ; i  1, n dt Do ®ã, nÕu J b»ng p q J đ-ờng trắc địa p, q không liên hợp với Nh- vậy: Trong không gian Ơclít, đ-ờng thẳng đ-ờng trắc địa đối tựa không gian đ-ờng có độ dài bé tất đ-ờng đối tựa không gian có chung hai đầu mút Trong không gian giả Ơclít, đ-ờng thẳng đ-ờng trắc địa tựa thời gian đ-ờng có độ dài lớn tất đ-ờng tựa thời gian có chung hai đầu mút Kết luận Trong luận văn đà làm đ-ợc kết sau: Trình bày chứng minh số tính chất liên thông tuyến tính (Mệnh đề 1.1.3, 1.1.4) liên thông Lêvi-Civita đa tạp Riemann giả Riemann (Mệnh đề 1.2.7), tồn ánh xạ đạo hàm hiệp biến dọc đ-ờng cong (Mệnh đề 2.1.1) Chứng minh tính chất đ-ờng trắc địa đa tạp Riemann giả Riemann (Mệnh đề 2.1.8, 2.1.10) Chứng minh định lý công thức biến phân thứ hai (Định lý 2.2.5) Chứng minh định lý dạng Hecxan (MƯnh ®Ị 2.2.12, 2.2.19) 41 Trong thêi gian tới tiếp tục nghiên cứu toán cực tiểu toàn cực đa tạp không gian giả Riemann Tài liệu tham khảo Tiếng viƯt [1] Khu Qc Anh – Ngun Do·n Tn Lý thuyết liên thông hình học Riemann (2004), NXBGD, Hà Nội [2] Nguyễn Duy Bình (2008), Bài giảng lý thuyết Morse, Đại Học Vinh [3] Lê Xuân Khoa (2007), Về đ-ờng trắc địa đa tạp Riemann, khoá luận tốt nghiệp ĐHV [4] Nguyễn Hữu Quang (2005), Mở đầu hình học Riemann, Đại Học Vinh [5] Đoàn Quỳnh (2001), Hình học vi phân, NXBGD, Hà Nội Tiếng Anh [6] Barrett, O’Neill – Semi Riemann geomtry Academic 42 Press – New york london - 1983 [7] Sigmundur, Gu®mundsson Anintroduction to Riemann Geometry Lund University - 2009 Môc lôc Trang Lêi më ®Çu Ch-ơng Liên thông Lêvi Civita đa tạp Riemann giả Riemann .3 I Liên thông tuyến tính II Liên thông Lêvi Civita đa tạp Riemann giả Riemann 11 Ch-ơng Đ-ờng trắc địa đa tạp Riemann giả Riemann 20 I Đ-ờng trắc địa đa tap Riemann giả Riemann 20 II Biến phân tr-ờng véctơ biến phân đ-ờng cong trắc địa 27 43 Kết luận 39 Tài liệu tham khảo 40 ... cong đa tạp Riemann giả Riemann 21 Ch-ơng đ-ờng trắc địa đa tạp riemann Và giả Riemann I đ-ờng trắc địa đa tạp riemann giả riemann 2.1.1 Mệnh đề Giả sử liên thông tuyến tính đa tạp nửa Riemann. .. Lêvi-Civita đa tạp Riemann giả Riemann Ch-ơng Đ-ờng trắc địa đa tạp Riemann giả Riemann Trong ch-ơng này, tr-ớc hết trình bày định nghĩa số tính chất đ-ờng trắc địa đa tạp Riemann giả Riemann Tiếp... Civita đa tạp Riemann giả Riemann .3 I Liên thông tuyến tính II Liªn thông Lêvi Civita đa tạp Riemann giả Riemann 11 Ch-ơng Đ-ờng trắc địa đa tạp Riemann giả Riemann