Đường trắc địa và tập lồi trong không gian metric

-1- BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYN TH MINH đ-ờng trắc địa tập lồi kh«ng gian metric LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC VINH - 2011 -2- BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRNG I HC VINH NGUYN TH MINH đ-ờng trắc địa tập lồi không gian metric LUN VN THC SỸ TỐN HỌC Chun ngành: Hình học - Tơpơ Mã số: 60.46.10 Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS NGUYỄN DUY BÌNH VINH - 2011 -3- MỤC LỤC Trang LỜI NĨI ĐẦU Chương 1.Đường trắc địa không gian metric 1.1 Cung trắc địa, đường trắc địa 1.2 Độ dài cung 10 1.3 Đường trắc địa mặt cầu 13 Chương Tập lồi không gian metric………………………… 22 2.1 Tập lồi không gian vectơ……… ………………………… 22 2.2 Tập lồi trắc địa bao lồi trắc địa …… ……………………… 30 2.3 Hàm lồi không gian metric 35 KẾT LUẬN……………………………………………………… 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………………………… 41 -4- LỜI NÓI ĐẦU Nghiên cứu tập lồi nhánh hình học có nhiều mối quan hệ với lĩnh vực khác Tốn học như: giải tích, lý thuyết tối ưu, xác suất thống kê Tầm quan trọng lí thuyết lồi bắt nguồn từ thực tế tập lồi phát sinh thường xuyên nhiều lĩnh vực Tốn học mơn khoa học khác, đặc biệt Vật lí học khoa học vũ trụ Do tập lồi tính chất khơng nghiên cứu Hình học Ơclit mà cịn đối tượng nghiên cứu Hình học phi Ơclit Mục tiêu luận văn dựa vào tài liệu tham khảo có với hướng dẫn TS Nguyễn Duy Bình để tìm hiểu tập lồi khơng gian mêtric tổng qt Chúng tơi trình bày khái niệm tập lồi trắc địa không gian mêtric khảo sát xem tính chất tập lồi khơng gian Ơclit cịn khơng khơng gian mêtric nói chung Luận văn gồm chương: Chương I: Đƣờng trắc địa không gian mêtric Trong chương chúng tơi trình bày khái niệm liên quan đến đường trắc địa với ví dụ lấy không gian Ơclit đường trắc địa mặt cầu ví dụ minh họa khơng gian metric khác Chương II: Tập lồi không gian metric Trong chương chúng tơi trình bày tập lồi không gian vectơ trường hợp riêng tập lồi trắc địa Từ chúng tơi nêu định nghĩa khảo sát tính chất tập lồi khơng gian mêtric nói chung Luận văn hồn thành Khoa Sau đại học trường Đại học Vinh Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy giáo hướng dẫn TS NGUYỄN DUY BÌNH đặt tốn dẫn đề cương nghiên cứu Tác giả xin cảm on thầy giáo tổ Hình học giảng dạy hướng dẫn tận tình cho tác giả trình học tập nghiên cứu Tác giả xin -5- cảm ơn thầy giáo Khoa Tốn, Khoa Sau đại học, gia đình, bạn bè đồng nghiệp tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành luận văn Mặc dù cố gắng song luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận góp ý q thầy bạn để luận văn hoàn thiện Chúng xin chân thành cảm ơn! Vinh, tháng 12 năm 2011 Tác giả -6- CHƢƠNG ĐƢỜNG TRẮC ĐỊA TRONG KHÔNG GIAN METRIC 1.1.Cung trắc địa, đƣờng trắc địa 1.1.1 Định nghĩa: Đường cong không gian metric X hàm liên tục  :  a; b  X với  a; b  , a  b   a  gọi điểm đầu,   b  gọi điểm cuối Ta nói  đường cong X từ   a  đến   b  Ví dụ: Hàm số  :  1;1   t; t  t hàm liên tục đường cong 2 ,   1  A  1;1 ,  1  B 1;1 Do  từ A đến B 1.1.2 Định nghĩa : Cung trắc địa không gian metric X hàm bảo toàn khoảng cách  :  a; b  X với a  b, a, b  Nhận xét : Cung trắc địa  :  a; b  X đơn ánh, liên tục nên đường cong X Ví dụ : 1) Đường cong  :  1;1  t  t; t  không cung trắc địa khơng bảo tồn khoảng cách điểm 2) Cho x, y điểm phân biệt không gian Ơclit E n Hàm  : 0; x  y   E n cho   s   x  s  y  x  cung trắc địa yx E n từ x đến y Thật vậy, s, t  0; x  y  ta có:   s    t   s t s t y  x  s t  y  x  yx yx -7- Suy  hàm bảo toàn khoảng cách     x,   x  y   y   cung trắc địa từ x đến y 1.1.3 Định lí: Cho x, y điểm phân biệt E n  :  a; b  E n đường cong E n từ x đến y Khi điều kiện sau tương đương: 1) Đường cong  cung trắc địa 2) Đường cong  thỏa mãn phương trình   t   x   t  a   y  x yx 3) Đường cong  có đạo hàm không đổi  ' :  a; b  E n với chuẩn Chứng minh: Từ 1) suy 2): Giả sử  cung trắc địa, đặt l  b  a Xét đường cong  : 0; l   E n cho   s     a  s   x Ta có s, t  0; l  :   s    t     a  s     a  t   a  s  a  t  s  t Suy  cung trắc địa       a   x  x  x  0,   l     b   x  y  x Suy   s     s      s       s   s; s  0; l  Khi   s     l    s  l     s    l   s.l    s   l     s    l  2 phụ thuộc tuyến tính Do tồn số k  cho :   s   k  l     s   k  l   l  s yx  k     s   s ; s  0; l     a  s   x  s l l ba    a  s   x  s yx yx Đặt t  a  s    t   x   t  a  yx yx -8- Từ 2) suy 3): Có   t   x   t  a  đổi  '  t   Từ 3)  y  x   ' yx t   yx không yx yx  yx suy 1): Giả sử  't  không đổi với t   a; b   '  t    '  a  Lấy nguyên hàm vế ta có:   t     a    '  a  t  a     t     a    t  a  '  a  Khi s, t   a; b :   s     t    s  a  '  a    t  a  '  a    s  t  '  a     s    t   s  t  ' a   s  t Vậy  cung trắc địa 1.1.4 Định nghĩa : Đoạn trắc địa nối từ x đến y không gian metric X ảnh cung trắc địa  :  a; b  X mà điểm đầu x , điểm cuối y Kí hiệu  x, y  Ví dụ: Trong E n , đoạn trắc địa nối điểm x , y đoạn thẳng với đầu mút x , y Thật vậy, ta biết đoạn thẳng E n có mút x , y   định nghĩa tập z  E n z  x    y  x  ;0    t Xét hàm  : 0; y  x   E n cho   t   x   y  x  Đặt yx  t  t  0; y  x  :   0;1  ảnh  đoạn thẳng với yx mút x , y Ta có: s, t  0; y  x  :   s     t   Vậy  cung trắc địa s  t yx  y  x  s  t -9- 1.1.5 Định nghĩa: Không gian metric X không gian lồi trắc địa với cặp điểm phân biệt x , y X có đoạn trắc địa X nối từ x đến y Ví dụ: E n khơng gian lồi trắc địa 1.1.6 Định nghĩa: Không gian metric X không gian liên thông trắc địa cặp điểm phân biệt x , y X nối đoạn trắc địa X Suy không gian metric lồi trắc địa không gian liên thông trắc địa không gian liên thông trắc địa chưa không gian lồi trắc địa Ta thấy ví dụ minh họa cho nhận xét mục 1.3 1.1.7 Định lí: Cho  x, y   y, z  đoạn trắc địa nối từ x đến y từ y đến z không gian metric X Khi đó, tập  x, y    y, z  đoạn trắc địa nối từ x đến z X d  x, z   d  x, y   d  y, z  Chứng minh: ) Điều kiện cần: Giả sử  x, y    y, z  đoạn trắc địa nối từ x đến z , tức có cung trắc địa  :  a; c   X cho   a   x ,   c   z Vì y   x, y    y, z  nên tồn b   a; c  cho:   b   y  d  x, z   c  a  c  b  b  a  d  y, z   d  x, y  ) Điều kiện đủ: Giả sử có d  x, z   d  x, y   d  y, z  Gọi  :  a; b  X  : b; c   X cung trắc địa từ x đến y từ y đến z    t  ; t   a; b   t ;  t  b ; c       Xét hàm  :  a; c   X cho   t    Khi với a  s  t  c ta có trường hợp sau: +) Nếu t  b d   s  ,   t    d   s  ,  t    t  s - 10 - +) Nếu b  s d   s  ,   t    d    s  ,   t    t  s +) Nếu s  b  t : d   s  ,   t    d   s  ,   b    d   b  ,   t    d   s  ,   t    d   s  ,  b    d    b  ,   t    d   s  ,   t    b  s  t  b  t  s Mặt khác: d    a  ,   c    d    a  ,   s    d    s  ,   t    d   t  ,   c    d    s  ,   t    d   a  ,   c    d   a  ,   s    d   t  ,   c    d   s  ,   t    d  x, z    s  a    c  t   d   s  ,   t    d  x, y   d  y, z    s  a    c  t   d   s  ,   t    b  a  c  b  s  a  c  t  t  s Suy d    s  ,   t    t  s   hàm bảo toàn khoảng cách  a; c    a   x,   c   z   cung trắc địa từ x đến z mà ảnh   x, y    y, z  Vậy  x, y    y, z  đoạn trắc địa nối từ x đến z 1.1.8.Mệnh đề: Đoạn trắc địa nối điểm x , y không gian metric X tập hợp  x, y    z  X : d  x, y   d  x, z   d  z, y  Chứng minh: Thật vậy, đặt A   z  X : d  x, y   d  x, z   d  z, y  ta có: +) z   x, y  theo định lí 1.1.7 d  x, y   d  x, z   d  z , y   z  A   x, y   A +) Giả sử z  A  d  x, y   d  x, z   d  z, y  Vì  x, y  đoạn trắc địa nối điểm x, y nên  x, y  ảnh cung trắc địa  :  a; b  X cho   a   x,  b   y  b  a  d  x, y   d  x, z   d  z, y   b  d  x, z   a  d  z, y  - 29 n y    j y j ,  j  ,  j  0, y j  A ; j  1, n j 1 Với    0;1 : z   x  1    y  i  0, 1     j  n n i 1 j 1 n  j 1 j 1  i xi   1     j y j Ta có : n n     1     i i 1 j 1 j    1     Suy z tổ hợp lồi phần tử xi , y j  A  z  B  B tập lồi Suy co  A  B Vậy B  co  A 2.1.9 Mệnh đề: 1) Nếu A, B tập lồi khơng gian vectơ V co  A  B   0 1  A  1    B 2) Nếu x  co  A co  A  x   co  A Chứng minh : 1) Đặt C  0 1  A  1    B ta chứng minh C  co  A  B  +) Lấy c  C c   a  1    b với    1, a  A, b  B  a, b   A  B   a, b  co  A  B  mà co  A  B  tập lồi Suy c   a  1    b  co  A  B   C  co  A  B  +) Lấy x  co  A  B  theo định lí 2.1.7 ta có: x  n  a    b i 1 i  , i  0,  A; i  1, n với n m     i 1 i j 1 j , m i i  j  ,  j b0  , j B  j; j 1 j j vàm1 ,  Ta xét trường hợp sau : n )  i  x tổ hợp lồi phần tử b j  B mà B tập lồi i 1 nên x  B Mặt khác B  C ( ứng với   )  x  C - 30 m )   j  , tương tự trường hợp suy x  A  x  C j 1 n m i 1 j 1 )  i    o    1    j    n Suy x   i 1 m j i  1     bj    j 1   A; i  1, n   i  A ; i 1  n m Suy m j     j 1 n Ta có i 1 b j  B ; j  1, m j    b  B  x   A  1    B  C  co  A  B   C j 1 j Vậy C  co  A  B  2) Giả sử x  co  A   A  x   co  A  co  A  x   co  A Ngược lại A   A  x   co  A  co  A  x   coA  co  A  x  2.1.10 Định lí: Giả sử A, B  V , b V thì: 1) co  kA  kco  A , k  2) co  A  b   co  A  b 3) co  A  B   co  A  co  B  4) co   A   B   co  A  co  B  ,  ,   Chứng minh: n n  1) co  kA   i xi i  0, xi  kA; i  1, n ,  i  1 i 1  i 1  n n    i  kai  i  0,  A; i  1, n ,  i  1 i 1  i 1  n  n   k  i i  0,  A; i  1, n ,  i  1 i 1  i 1  i   1 - 31 n Vì n   a  co  A với   0, a  A; i  1, n ,    nên co  kA  kco  A i 1 i i i i i 1 i kco  A  kx x  co  A n  n   k  i i  0,  A; i  1, n ,  i  1 i 1  i 1  n n    i  kai  i  0,  A; i  1, n ,  i  1 i 1  i 1  n n    i xi i  0, xi  kA; i  1, n ,  i  1 i 1  i 1  Suy kco  A  co  kA  co  kA  kco  A , k  n n  2) co  A  b    i xi i  0, xi  A  b; i  1, n ,  i  1 i 1  i 1  n n    i   b  i  0,  A; i  1, n ,  i  1 i 1  i1  n n    i  b i  0,  A; i  1, n ,  i  1 i 1  i 1  Suy co  A  b   co  A  b n n  co  A  b   i  b i  0,  A; i  1, n ,  i  1 i 1  i 1  n n n    i    i b i  0,  A; i  1, n ,  i  1 i 1 i 1  i1  n n    i   b  i  0,  A; i  1, n ,  i  1 i 1  i1  Suy co  A  b  co  A  b   co  A  b   co  A  b n n  3) co  A  B    i xi i  0, xi  A  B ; i  1, n ,  i  1 i 1  i 1  - 32 n n    i   bi  i  0,  A, bi  B; i  1, n ,  i  1 i 1  i 1  n n n    i    i bi i  0,  A, bi  B; i  1, n ,  i  1 i 1 i 1  i 1  Suy co  A  B   co  A  co  B  Mặt khác co  A  co  A  B  B   co  A  B   co  B  Suy co  A  co  B   co  A  B   co  A  B   co  A  co  B  4) Từ (1) (3) suy (4) 2.2 Tập lồi trắc địa bao lồi trắc địa 2.2.1 Định nghĩa: Giả sử X không gian metric Tập A  X gọi tập lồi trắc địa với x, y thuộc A đoạn trắc địa  x, y   A 2.2.2 Ví dụ: 1) Cho x, y hai điểm phân biệt không gian metric X Đoạn trắc địa  x, y  tập lồi trắc địa Thật vậy,  x, y  đọan trắc địa X nên ảnh cung trắc địa  :  a; b  X cho   a   x   b   y Khi với u, v   x, y  , tồn s, t   a; b , s  t cho   s   u ,   t   v Gọi   hạn chế   s   s  u ,   t    t   v Với  s; t     liên tục m, n   s; t  ta có: d    m  ,   n    d   m  ,  n    m  n    bảo toàn khoảng cách  s; t  hay   cung trắc địa từ u đến v  u, v  đoạn trắc địa u, v     s; t     s; t    a; b   x, y  Vậy  x, y  tập lồi trắc địa không gian metric X 2) Cho X khơng gian Oclit đoạn trắc địa X đoạn thẳng X tập lồi trắc địa X tập lồi ta nhắc đến mục 2.1 - 33 - 3) Nửa cầu đóng S tập lồi trắc địa Thật , giả sử H nửa cầu đóng S với biên đường trịn lớn S Lấy x, y hai điểm phân biệt thuộc H Ta xét trường hợp: +) Nếu x, y  S cung nhỏ S nối x đến y đoạn trắc địa H   x, y   H +) Nếu x, y khơng thuộc S x, y khơng thể đối xứng tâm  Có đường tròn lớn S ' S chứa x y    x, y    Suy cung nhỏ S ' nối x đến y nằm H   x, y   H Vậy H tập lồi trắc địa 4) Hình cầu mở không gian metric X chưa tập lồi trắc địa Ví dụ, x   1 1 1 1 ,   lấy x   ;  , y   ;   , z  1;0  Ta có : 2 2 2 2 1 1  sup  ;    1, y 2 2 Mặt khác d  x, y   x  y Suy z   d  x, z   x  z  d  z, y   z  y   1 1  sup  ;      x, y  B  0,1 2 2  sup 0;1   1  sup   ;    2 1 1  sup  ;   2 2 d  x, y   d  x, z   d  z, y   z   x, y  z  B  0,1  sup 1;0   B  0,1 không tập lồi trắc địa 2.2.3.Định lí: Giao khác rỗng họ tùy ý tập lồi trắc địa tập lồi trắc địa Chứng minh: Giả sử  Ai iI họ tập lồi trắc địa không gian metric X Đặt Ai Khi x, y  A  x, y  Ai ; i  I Theo giả thiết Ai tập A iI - 34 - lồi trắc địa  đoạn trắc địa  x, y   Ai ; i  I   x, y   A  A tập lồi trắc địa Cho x, y, z điểm không cộng tuyến cầu S , khơng có điểm điểm x, y, z đối xứng tâm Gọi S  x, y  đường tròn lớn S chứa x y ; H  x, y, z  nửa cầu đóng S với S  x, y  biên z thuộc phần Tam giác cầu với đỉnh x, y, z định nghĩa : T  x, y, z   H  x, y, z  H  y, z, x   H  z, x, y  Z H (x,y) Z x y S (x,y) x y T (x,y,z) Hình vẽ 2.2.1 2.2.4 Hệ : Tam giác cầu tập lồi trắc địa 2.2.5 Định lí : Ảnh nghịch ảnh tập lồi trắc địa qua phép đẳng cự tập lồi trắc địa Chứng minh : Gọi  X , d X  Y , dY  không gian metric với metric tương ứng Ánh xạ f : X  Y phép đẳng cự từ X vào Y Khi f đơn ánh Thật vậy, u  f  X  tồn x  X cho f  x   u Giả sử có x '  X cho f  x '  u  dY  f  x  , f  x '   dY  u, u   Mặt khác, f đẳng cự nên dY  f  x  , f  x '   d X  x, x '  d X  x, x '   x  x '  f đơn ánh - 35 - ) Giả sử A tập lồi trắc địa X Ta có u, v  f  A tồn x, y  A cho f  x   u , f  y   v Do x, y  A A tập lồi trắc địa nên có cung trắc địa  :  a; b  X cho   a   x ,   b   y   t   A; t   a; b Xét hàm  :  a; b  Y cho   t   f   t   ; t   a; b   hàm bảo toàn khoảng cách  hợp thành phép đẳng cự Ngoài :     a   f   a    f  x   u      b   f   b    f  y   v Suy  cung trắc địa Y nối từ u đến v Vì   t   A; t   a; b nên   t   f   t    f  A ; t   a; b Suy đoạn trắc địa u, v   f  A  f  A tập lồi trắc địa ) Giả sử B tập lồi trắc địa Y Khi x, y  f 1  B  ta có f  x   u  B f  y   v  B  có cung trắc địa  :  a; b  Y cho    a   u    b   v     t   B ; t   a; b  Xét hàm  :  a; b  X cho   t   f 1    t   1 1    a   f    a    f  u   x Suy  (vì f đơn ánh) 1 1    b   f    b    f  v   y  s, t   a; b : d X   s  ,  t    d X f 1    s   , f 1    t       dY f  f 1   s   , f  f 1   t   (vì f đẳng cự)  dY    s  ,   t    s  t Suy  cung trắc địa từ x đến y - 36 - Mặt khác   t   B; t   a; b    t   f 1    t    f 1  B  ; t   a; b  Suy đoạn trắc địa  x, y   f 1  B   f 1  B  tập lồi trắc địa 2.2.6 Định lí: Nếu khơng gian vectơ X không gian định chuẩn , A tập lồi trắc địa X A tập lồi Chứng minh: Nếu X không gian định chuẩn X xác định metric d  x, y   x  y Để chứng minh A tập lồi, ta chứng minh x, y  A,   0;1 z   x  1    y  A Thật vậy, A tập lồi trắc địa nên x, y  A đoạn trắc địa  x, y   A Khi đó: d  x, z   d  z, y   x  z  z  y  x    x  1    y    x  1    y  y  1    x  1    y   x   y  1    x  y   x  y  x  y  d  x, y  Suy z   x, y   A  A tập lồi Chú ý: Ví dụ 2.2.2.4 cho thấy mệnh đề đảo định lí khơng 2.2.7 Định lí: Nếu X khơng gian vectơ Ơclit A tập lồi X A tập lồi trắc địa Chứng minh: Lấy x, y  A z thuộc đoạn trắc địa  x, y  , z  x, z  y , ta chứng minh z  A Thật vậy, z   x, y  nên d  x, y   d  x, z   d  z, y   x  y  x  z  z  y  x  y, x  y  x  z, x  z  z  y, z  y Bình phương vế ta có: x  y, x  y  x  z , x  z  z  y , z  y  x  z z  y  x, x  x, y  y, x  y, y  x, x  x, z  z, x  z, z  z, z  z , y  y, z  y, y  x  z z  y   x, z  x, y  z, z  z, y   x  z z  y - 37 -  x  z, z  y  x  z z  y  Suy t  : x  z  t  z  y   z  t x y mà A tập lồi  z  A t 1 t 1 Vậy A tập lồi trắc địa 2.2.8 Định nghĩa: Bao lồi trắc địa tập A không gian metric X giao tất tập lồi trắc địa X chứa A , kí hiệu d  co  A Như theo định lí 2.2.3, bao lồi trắc địa tập lồi trắc địa A tập lồi trắc địa d  co  A  A 2.2.9 Mệnh đề: Nếu x  d  co  A d  co  A  x   d  co  A Chứng minh: Ta có: x  d  co  A   A  x   d  co  A  d  co  A  x   d  co  A Mặt khác A   A  x   d  co  A  x   d  co  A  d  co  A  x  Vậy d  co  A  x   d  co  A 2.3 Hàm lồi không gian metric 2.3.1 Định nghĩa: Cho A tập lồi trắc địa không gian metric X Ta nói hàm f : A  hàm lồi trắc địa f  z   d  y, z  d  x, z  f  x  f  y; d  x, y  d  x, y  x, y  A , x  y, z   x, y  2.3.2 Định lí: Cho A tập lồi trắc địa Hàm f : A  hàm lồi trắc địa A hợp thành f với cung trắc địa xác định khoảng J có ảnh A hàm lồi J (theo nghĩa thông thường) Chứng minh: Giả sử  :  a; b  A cung trắc địa có ảnh A    t   A; t   a; b Đặt   a   x ,   b   y  x, y  A z   x, y  : z    t  , t   a; b Vì  a; b  tập lồi nên t  1    a  b,     t  a    b  a  - 38 -   t a bt    Khi f : A  ba ba  f  z  hàm lồi trắc địa d  y, z  d  x, z  f  x  f  y d  x, y  d  x, y     f   1    a  b    f   1    a  b   b t t a f   a    f  b   ba ba bt t a f  a  f  b  ba ba  f   1    a  b   1    f   a    f   b   f  hàm lồi  a; b  2.3.3 Định lí: Nếu f , g hàm lồi trắc địa   f  g  f hàm lồi trắc địa Chứng minh: Giả sử A tập lồi trắc địa không gian metric, f , g : A  hàm lồi trắc địa   Với x, y  A , x  y, z   x, y  ta có: f  z  d  y, z  d  x, z  d  y, z  d  x, z  f  x  f  y  g  z   g  x  g  y d  x, y  d  x, y  d  x, y  d  x, y  Suy ra:  f  g  z   f  z   g  z     f  g  z   Và d  y, z  d  x, z   f  x   g  x    f  y   g  y  d  x, y  d  x, y   d  y, z  d  x, z   f  g  x    f  g  y  d  x, y  d  x, y   f  z    f  z      f  z   d  y, z  d  x, z  f  x   f  y d  x, y  d  x, y  d  y, z  d  x, z   f  x    f  y  d  x, y  d  x, y  Vậy f  g  f hàm lồi trắc địa - 39 - 2.3.4 Định nghĩa: Giả sử A tập lồi trắc địa không gian metric X f : A hàm F   x  A : f  x     lồi trắc địa A Tập hợp gọi tập mức hàm lồi f 2.3.5 Định lí: Tập mức F hàm lồi f tập lồi trắc địa Chứng minh: Giả sử A tập lồi trắc địa f : A  Với x, y  F , x  y ta có f  x   hàm lồi trắc địa A f  y    Mặt khác x, y  A   x, y   A Khi z   x, y  z  A f  z   f  z  d  y, z  d  x, z  d  y, z  d  x, z  f  x  f  y    d  x, y  d  x, y  d  x, y  d  x, y  d  y , z   d  x, z  d  x, y     d  x, y  d  x, y  Suy z  F   x, y   F  F tập lồi trắc địa ;   2.3.6 Định nghĩa : Cho  X , d  không gian với metric d Metric d gọi metric F x, y  X    0;1 tồn z  X cho:   d  x, z    d  x , y    d  y, z   1    d  x, y  2.3.7 Định lí: Giả sử  X , d  khơng gian metric F , A tập lồi trắc địa X f : A  hàm lồi trắc địa Khi f nửa liên tục x0  A với   tồn   cho x  A ta có: f  x0   f  x    d  x, x0    f  x0   f  x    d  x, x0  d  x, x0     Chứng minh: +) Ta có f hàm nửa liên tục x0  A      cho d  x, x0    f  x0     f  x  - 40 - +) Giả sử d  x, x0    x  x0 Đặt    d  x, x0     Vì d  d  x, z   1    d  x, x0   d  x0 , z    d  x, x0    metric F nên tồn z  A cho  Ta có: f  x0   f  z     d  x0 , z  d  x, x0  f  x  d  x, z  f  x0    d  x, x0   f  x0   f  z      f  x   1    f  x0    Suy  f  x0    f  x     f  x0   f  x   Hiển nhiên x  x0 f  x0   f  x      f  x   d  x, x0     d  x, x0   2.3.8 Định lí: Giả sử  X , d  không gian metric F , A tập lồi trắc hàm lồi trắc địa x0  A Nếu có lân cận V địa X , f : A  x0 cho f  x0   f  x  x V f  x0   f  x  x  A Chứng minh: Giả sử y  A \ V f  y   f  x0  Vì V tập mở nên có hình cầu mở B  x0 ,   V Mặt khác, d metric F nên tồn  đủ bé để  d  x0 , y    Khi z  X thỏa mãn d  x0 , z    d  x0 , y     z  B  x0 ,   V   cho:  d  x0 , z    d  x0 , y     d  x0 , z   d  z , y   d  x0 , y   z   x0 , y   d z , y    d x , y         Vì f hàm lồi trắc địa nên f  z   d  x0 , z  d  z, y  f  x0   f  y d  x0 , y  d  x0 , y    Suy f  z   1    f  x0    f  y   f  x0    f  x0   f  y  Theo giả   sử f  y   f  x0    f  x0   f  y    f  x0   f  z  mâu thuẫn với giả thiết f  x0   f  z  z V Vậy f  x0   f  x  x  A - 41 - 2.3.9 Định nghĩa: Giả sử A tập lồi trắc địa không gian metric, f : A hàm lồi trắc địa x0  A Ta định nghĩa hàm f  bởi: f   x0   lim inf f  x   f  x0  d  x, x0  x x0 2.3.10 Định lí: Cho A tập lồi trắc địa không gian metric, f : A hàm lồi trắc địa x0  A Nếu f   x0   f  x0   f  x  x  A Chứng minh: Gọi N x0 tập lân cận mở x0 f   x0   lim inf f  x   f  x0  x x0 d  x, x0  Suy có V  N x0 cho inf xV \ x0    f  x   f  x0    sup  inf  0 d x , x NN x0 xN \ x0   0   f  x   f  x0  d  x, x0  f  x   f  x0  d  x, x0   0  x V \  x0  Suy f  x   f  x0   x V \ x0   f  x0   f  x  x V Theo định lí 2.3.8: f  x0   f  x  x  A - 42 - KẾT LUẬN Trong luận văn đạt kết sau: * Trình bày chi tiết khái niệm cung trắc địa, đoạn trắc địa, đường trắc địa số tính chất chúng * Trình bày khái niệm độ dài cung khơng gian metric nói chung, từ đoạn trắc địa đường cong có độ dài ngắn nối hai điểm không gian metric * Tập hợp chứng minh chi tiết số tính chất tập lồi khơng gian vectơ * Trình bày định nghĩa chứng minh số tính chất tập lồi trắc địa khơng gian metric * Trình bày định nghĩa chứng minh số tính chất hàm lồi trắc địa không gian metric Trong thời gian tới, chúng tơi tiếp tục nghiên cứu thêm tính chất tập lồi trắc địa hàm lồi trắc địa không gian với metric khác - 43 - TÀI LIỆU THAM KHẢO 1.Tiếng Việt: [1] Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải (2000), Giải tích lồi, Nhà xuất Khoa học kĩ thuật [2] Đỗ Văn Lưu, Tôpô đại cương, Nhà xuất Khoa học kĩ thuật [3] Phạm Ngọc Bội, Tập giảng Giải tích lồi hình học, Đại học Vinh 2.Tiếng Anh: [4] Lâm Đông Hiền (1996), Convexity in Metric Space, Đại học Trung Nguyên ,Trung Quốc [5] Jonh G.Ratcliffe (2006), Foundations of Hyperbolic Manifolds [6] V.Klee (1971), What is convex set? , American Mathematical Monthly [7] Rockafellar, R.Tyrrell (1970), Convex analysis, Princeton, N.J., Princeton University Press [8] Valentine, F.A (1964), Convex sets, New York ect, Mx Graw – Hill Book Comp ... gian lồi trắc địa 1.1.6 Định nghĩa: Không gian metric X không gian liên thông trắc địa cặp điểm phân biệt x , y X nối đoạn trắc địa X Suy không gian metric lồi trắc địa không gian liên thông trắc. .. 1;0   B  0,1 không tập lồi trắc địa 2.2.3.Định lí: Giao khác rỗng họ tùy ý tập lồi trắc địa tập lồi trắc địa Chứng minh: Giả sử  Ai iI họ tập lồi trắc địa không gian metric X Đặt Ai ... Chương 1 .Đường trắc địa không gian metric 1.1 Cung trắc địa, đường trắc địa 1.2 Độ dài cung 10 1.3 Đường trắc địa mặt cầu 13 Chương Tập lồi không gian metric? ??………………………