Tính cực tiểu độ dài của đường trắc địa trên đa tạp riemann

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRẦN VĂN TOÀN TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRẦN VĂN TOÀN TRÊN ĐA TẠP RIEMANN TÍNH CỰC TIỂU ĐỘ DÀI CỦA ĐƯỜNG TRẮC ĐỊA KHĨA TÍNH CỰC TIỂU ĐỘ DÀI CỦA ĐƯỜNG TRẮC ĐỊA TRÊN ĐA TẠP RIEMANN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC KHĨA 25 Nghệ An 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRẦN VĂN TỒN TÍNH CỰC TIỂU ĐỘ DÀI CỦA ĐƯỜNG TRẮC ĐỊA TRÊN ĐA TẠP RIEMANN Chun ngành: Hình học Tơpơ Mã số: 8.46.01.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Duy Bình Nghệ An 2019 LỜI CẢM ƠN Luận văn thực hoàn thành Khoa sau Đại học Trường Đại Học Vinh hướng dẫn tận tình thầy giáo TS.Nguyễn Duy Bình Nhân nhịp này, tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành đến thầy cảm ơn thầy giáo tổ Hình học giảng dạy dẫn vấn đề có liên quan tới đề tài nghiên cứu trình học tập Qua tác giả xin chân thành cảm ơn tới thầy giáo, cô giáo làm Khoa Sau đại học, thầy khoa Tốn, BGH, đồng nghiệp, bạn bè gia đình tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình học tập Vinh, tháng năm 2019 Tác giả MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC MỞ ĐẦU NỘI DUNG Chương I: Liên thông đường trắc địa đa tạp Riemann 1.1 Đa tạp Riemann 1.2 Liên thông đa tạp Riemann 1.3 Đường trắc địa đa tạp Riemann 13 1.4 Phiếm hàm tác dụng Phiếm hàm độ dài 15 Chương II: Tính cực tiểu độ dài đường trắc địa 2.1 Đa tạp Riemann đầy trắc địa 18 18 2.2 Tính cực tiểu địa phương đường trắc địa 21 2.3 Đường trắc địa cực tiểu toàn cục 23 KẾT LUẬN 28 TÀI LIỆU THAM KHẢO 29 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Đường trắc địa đường đa tạp Riemann, nhiều nhà toán học quan tâm, có nhiều ứng dụng tốn học, vật lí thực tiển sống Lí thuyết đường đường trắc địa trình bày nhiều nhiều tài liệu hình học vi phân, kết nghiên cứu đạt mức độ khía cạnh khác nhau, việc tiếp tục tìm hiểu điều cần thiết, cho nên, đề tài không thực bổ ích cho tơi q trình học tập bước đầu làm quen với việc nghiên cứu.Vì lý đó, hướng dẫn thầy giáo TS Nguyễn Duy Bình, tơi chọn đề tài “ Tính cực tiểu độ dài đường trắc địa đa tạp Riemann” Tình hình nghiên cứu liên quan đến đề tài Đường trắc địa tính cực tiểu độ dài đường trắc địa đa tạp Riemann đề tài khơng thực mới, bổ ích q trình học tập nghiên cứu, nên nhiều người nghiên cứu vấn đề Mục đích nghiên cứu Đường trắc địa đường cong đặc biệt khơng gian, trường vectơ vận tốc trường song song hay trường gia tốc Đường trắc địa điểm tới hạn phiếm hàm tác dụng phiếm hàm độ dài Mục đích luận văn nghiên cứu tính chất đường trắc địa, đặc biệt tính cực tiểu độ dài đường trắc địa đa tạp Riemann Nhiệm vụ nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu luận văn nghiên cứu độ dài ngắn đường trắc địa đa tạp Riemann để đưa ví dụ áp dụng thực tế tìm đường ngắn Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu luận văn đường trắc địa đa tạp Riemann đặc biệt tính cực tiểu độ dài đường trắc địa đa tạp Riemann Phương pháp nghiên cứu Dựa vào số kết có đường trắc địa độ dài đường trắc địa, dùng phương pháp so sánh, khái qt hóa, để tìm kết Chương I: Liên thông đường trắc địa đa tạp Riemann 1.1 Đa tạp Riemann 1.1.1 Khái niệm đa tạp Riemann Cho M đa tạp khả vi, cấu trúc Riemann g M, ánh xạ p g p ; p  M Trong g p tích vơ hướng Tp M g p phụ thuộc khả vi vào p , nghĩa là: g (X, Y)( p)  g p (X p , Yp ) g hàm khả vi theo p Khi ( M, g) gọi đa tạp Riemann 1.1.2 Ví dụ a) Cho X, Y ∈ V(Rn), g (X, Y) = ( x, y ) X Y, với X Y tích vơ hướng thơng thường, ( x, y ) > hàm khả vi Khi đó, g cấu trúc Riemann Chứng minh: +) Giả sử X( X i ), Y( Yi ) n  g (X, Y) = ( x , y )  X i Yi i 1 n n i 1 i 1 Ta có: g (X, Y) = ( x, y )  X i Yi = ( x, y )  Yi X i = g (Y, X) n g (X, Y+ Z) = ( x, y )  X i (Yi  Zi ) ; i 1 n = ( x, y )  ( X i Yi  X i Zi ) i 1 n n i 1 i 1 = ( x, y )  X i Yi + ( x, y )  X i Zi Z( Z i ) = g (X, Y) + g (X, Z) n n i 1 i 1 +) g(fX,Y) = ( x, y )  fX i Yi =f ( x, y )  X i Yi = f g (X, Y) n +) g (X, X) = ( x, y )  X i  i 1 g (X, X) =  X i = i = 1,…,n  X= b) Kí hiệu H =  x, y   R y  0 với cấu trúc Riemann ,   can, đó:  : H  R;  x, y   , can cấu trúc Riemann tắc ( tích vơ hướng ) y2 , gọi nửa mặt phẳng Poincaré Khi (H, g) đa tạp Riemann hai chiều Chứng minh: H đa tạp với atlas: {U= H,   id } Thật vậy: id : H  H ( x1 , x2 ) ( x1 , x2 ) id ánh xạ đồng nên id đồng phơi Do (H,g) đa tạp hai chiều * g cấu trúc Riemann H Thật vậy: +) g( X, Y ) = 1 X.Y= Y.X= g( Y, X ) y y +) g( X, Y+Z ) = 1 1 X.( Y+Z ) = (XY+ XZ) = XY+ XZ y y y y = g(X,Y)+ g(X,Z) +) g(  X,Y) = +) g(X,X) = 1  X.Y=  X.Y=  g( X, Y ) y y 1 2 X =  X i2  y2 y i 1 g(X,X) =  X i = 0,  i= 1,2  X= Vậy (H,g) đa tạp Riemann hai chiều 1.1.3 Mệnh đề ( xem [1]) Cho M đa tạp khả vi, N đa tạp Riemann f : M  N dìm Ta đặt: g( X, Y) = h( f* X , f*Y ), h metric Riemann N Khi ( M, g) đa tạp Riemann Chứng minh: Ta cần chứng minh g metric Riemann +) g( X, Y) = h( f* X , f*Y ) = h( f* Y, f* X ) = g( Y, X) +) g (X, Y+ Z) = h( f* X , f* (Y  Z ) ) = h( f* X , f*Y  f*Z ) = h( f* X , f*Y ) + h( f* X , f*Z ) = g( X, Y) + g( X, Z) +) g( X,  Y) = h( f* X , f* ( Y ) ) =h( f* X ,  f*Y ) =  h( f* X , f*Y ) =  g( X, Y) +) g( X, X) = h( f* X , f* X )  ( h metric Riemann) g( X, X) =  f* X =  X= ( f dìm) Vậy g metric Riemann ( hay ( M, g) đa tạp Riemann) 1.1.4 Độ dài đường cong Trong đa tạp Riemann M với metric g Giả sử  đường cong khả vi cho tham số hóa :J M t  (t) với J khoảng mở (J= (a, b)) Độ dài  ký hiệu l () b xác định công thức: l ()   g (  ',  ')dt a Khoảng cách Riemann hai điểm x y đa tạp liên thông Riemann ( M, g), ký hiệu d(x,y), infimum độ dài cung d(x,y) tập hợp tất độ dài đường cong trơn khúc nối hai điểm x y 1.1.5 Ánh xạ đẳng cự Cho ánh xạ khả vi f : (M , g )  ( N , g ) gọi ánh xạ đẳng cự nếu: p  M ta có g f (p) ( f* p X p , f* pYp )  g p (X p , Yp );  X, Y  B(M ) ( f đẳng cự f*p bảo toàn tích vơ hướng p  M ) Ánh xạ f gọi vi phôi đẳng cự f ánh xạ đẳng cự f song ánh - Nếu f ánh xạ đẳng cự f phép nhúng - Nếu f ánh xạ đẳng cự f bảo tồn góc phương tiếp xúc f bảo toàn độ dài đường cong 15   (t),  ''(t)  1   ' '(t)   ''(t)   (t)   (t)   (t)  Vậy  '(t) trường vectơ song song dọc đường tròn lớn  (t) , tức  (t) đường trắc địa 1.3.4 Mệnh đề (xem [2]) Giả sử v  Tp M vectơ tiếp xúc p  M giả sử c  số Đường trắc địa  cv xác định t đường trắc địa  v xác định ct Khi  cv (t)   v (ct) Chứng minh Với p  M v  Tp M Xét đường trắc địa cực đại  v : I  M cho:  v (0)  p  'v (0)  v Đặt:  (t)   v (t),  t  c1 I Ta có :  (0)   v (0)  p  '(0)  c 'v (0)  cv Nên  '(t) '(t)  c '(ct) c '(ct)  c2  '(ct) '(ct)  Suy  (t) đường trắc địa vả  (c1t)   v (t) Mặt khác  cv (0)  p   (0)  'cv (0)  cv   '(0) Vậy  cv (t)   v (ct) 1.4 Phiếm hàm tác dụng phiếm hàm độ dài 1.4.1 Định nghĩa Giả sử  : I  M đường cong khả vi Một biến phân  ánh xạ khả vi:  :   ,   ∈ x I M , (s), cho 16 Nếu I   a, b biến phân  gọi riêng với ∈ t (a)   (a) t (b)   (b) Cho M đa tạp Riemann,  a  b  1;  : [a, b]  M đường cong khả vi b b Đặt E ( )    ' (t ) dt , L ( )    ' (t ) dt b a b a a a E ( )  E01 ( ), L( )  L10 ( ) E ab gọi hàm tác dụng Lba gọi hàm độ dài b  b b Từ   ( fg )dt    f dt. g dt hàm số f g, lấy f=1 g=  ' suy a a  a L b a ( )   (b  a).E ab ( ) Đặc biệt (a, b)=(0, 1) L2 ( )  E ( ) Dấu xảy g(t)=  ' (t )  const, tức tham số tỷ lệ với độ dài đường cong 1.4.2 Mệnh đề (xem [9]) Giả sử  M , g  đa tạp Riemann Một đường cong khả vi  : I  M đường trắc địa nếu: d Eab (t ) t 0  , với  biến dt phân riêng  a,b ,  a, b  I Chứng minh: Xét ánh xạ khả vi:  :   ,   x I M (t , s)  (t,s) 17    Y     trường vectơ dọc   s   t  Đặt X            Khi  X Y  Y X   X , Y  =    ,     =   ,    t    s t    s      Do  ,     X Y  Y X  s t  Giả sử  biến phân riêng b   a ,b , thì: b d b d d Ea (t )   g (X, X)ds   g (X, X) ds t 0 dt dt a dt a b b a a =  g (Y X, X)ds  2 g ( X Y, X) =   d  g (Y, X)  g(Y,  X X)  ds = g(Y,X) ds  a b b b a -  g (Y,  X X)ds a Do  biến phân riêng nên Y (a)  Y(b)  Mặt khác: X (0,s)  Nên:  (0,s)   '(s) s d b Ea (t )  t 0 dt  X X  Tức  đường trắc địa 1.4.3 Mệnh đề (xem [9]) Giả sử  M , g  đa tạp Riemann,  biến phân riêng đường cong  a,b ,  a, b  I Khi phép đổi tham số, đường trắc địa 18 Chương II: Tính cực tiểu độ dài đường trắc địa Trong chương sâu vào nghiên cứu tính cực tiểu độ dài đường trắc địa Đầu tiên chúng tơi trình bày loại đa tạp Riemann, tính cực tiểu đoạn trắc địa đủ bé ra, đa tạp Riemann đầy trắc địa 2.1 Đa tạp Riemann đầy trắc địa 2.1.1 Định nghĩa Cho p  M ,   Tp M , có khoảng tối đại chứa J ( )  R mà  : J ( )  M , t  (t ) đường trắc địa với  (0)  p,  '(0)   Đường ký hiệu  gọi đường trắc địa tối đại 2.1.2 Nhận xét a) Giả sử  : J ( )  M đường trắc địa tối đại qua p  '(0)   , ta xét ánh xạ : k : J ( )  M , t k  (kt); t  J ( ) , vậy: J (k  )  J ( ) Từ k Mệnh đề 1.3.4, suy k xác định đường trắc địa qua p, tiếp xúc với k b) Nếu  : J ( )  M , t  (t ) xác định đường trắc địa tối đại  tiếp xúc với  với t0  J ( ) , ta có J   '(t )   J ( )  t khoảng tối đại đường trắc địa  tiếp xúc với  '(t ) 2.1.3 Định nghĩa Đa tạp Riemann  M , ,  gọi đầy trắc địa đường trắc địa tối đại  : J  M xác định toàn R  J 19 2.1.4 Định lý (xem [5]).Cho M đa tạp Riemann, với hai điểm x, y thuộc M, đặt d ( x, y)  inf { d (  ),  đường cong nối x y} Thế d metric M ∈ Chứng minh +) Dễ thấy và x=y tương ứng đường cong đường cong nối x với y có độ dài nối y với x cho +) Tiếp theo, ta có ∈ , ngược lại, tức tồn x,y,z cho Thật vậy, giả sử , có để  Tồn đường cong nối x y cho cho d  y, z   Tồn đường cong nối x y cho cho d  y, z   Gọi đường cong nối x z hợp thành từ hai đường Khi + khơng gian metric   d  1   d  2  Do Vậy , Mâu thuẫn , ∈ Do d metric (M, d) 20 2.1.5 Định nghĩa Ánh xạ mũ đa tạp Riemann với liên thơng tuyến tính ánh xạ: exp :   M ; va exp(va )   (1, va ) Trong  đường trắc địa tối đại M   {va  Ta M ; a  M khoảng xác định J (va ) đường trắc địa tối đại  : J (va )  M ; t  (t, ); t  J( ) chứa đoạn  0,1 } Chú ý, exp định nghĩa ánh xạ khả vi Tại a  M , exp ký hiệu expa 2.1.6 Định lý Hopf-Rinow (xem 5 ) Đối với đa tạp Riemann liên thơng (M,g), tính chất sau tương đương : i) Ánh xạ exp xác định điểm ∈ ∈ ii) Mọi đường trắc địa tối đại xác định R iii) (M, d) không gian mêtric đầy đủ ( tức dãy Cauchy  M , d  hội tụ tức tập đóng, bị chặn  M , d  tập compact ) Ngoài với điểm p, q đa tạp Riemann liên thơng đầy trắc địa, có đường trắc địa cực tiểu nối p q ( dễ thấy điều ngược lại không đúng) Trường hợp đặc biệt: Mọi đa tạp Riemann liên thông, compact đa tạp Riemann đầy trắc địa Sau ta xét tính đầy trắc địa số đa tạp Riemann hai chiều: 2.1.7 Ví dụ a) Khơng gian Ơclit đa tạp Riemann đầy đủ, đường trắc địa tối đại đường thẳng 21 b) Mặt cầu không gian chiều đầy đủ, đường trắc địa tối đại đường tròn lớn (xác định R) 2.2 Tính cực tiểu địa phương đường trắc địa 2.2.1 Định nghĩa Cho  M , g  đa tạp Riemann, hai điểm x y thuộc M Một đường trắc địa nối x y gọi đường trắc địa cực tiểu độ dài với khoảng cách d ( x, y), tức độ dài đường trắc địa không lớn độ dài đường cong M nối x với y Một đa tạp Riemann lồi trắc địa điểm x nối với điểm y đường trắc địa cực tiểu 2.2.2 Hệ ( xem 5 ) Mọi đường cong khả vi M nối x với y có độ dài d (x, y) đường trắc địa qua phép đổi tham số 2.2.3 Định nghĩa Đường cong đa tạp Riemann M gọi cực tiểu địa phương hai điểm đủ gần đường cong, độ dài cung đoạn đường cong nối hai điểm khơng lớn độ dài đường cong M nối hai điểm Giả sử M đa tạp khả vi, TM phân thớ tiếp xúc M ánh xạ khả vi, lên là đường cong khả vi Ta có phiếm hàm tác động nhờ F sau: Ta tìm hiểu đường cực tiểu phiếm hàm A số đường cong chung hai điểm mút 22 Xét biến phân riêng tham số đường cong , cực tiểu phiếm hàm A tương ứng với biến phân ta có: 2.2.4 Định lý (xem [7]) Đường cong  thỏa mãn thỏa mãn phương trình d d F d F ( (t), (t))  ( (t), (t)), i  1, , n xi dt dt vi dt Phương trình gọi phương trình Euler- Lagrange Tính chất cực tiểu địa phương đường cong tương ứng với phiếm hàm xác định ánh xạ F cho 2.2.5 Định lý (xem [7]) Giả sử ma trận xác định dương x cố định Khi  , thỏa mãn phương trình Euler- Lagrange cực tiểu hóa  địa phương Tức là, với đoạn đủ nhỏ  a1 , b1   a, b , đường cong   a1 , b1  cực tiểu đường cong nối p1 =  ( a1 ) với q1 =  ( b1 ) Xét ánh xạ Kiểm tra trực tiếp ta có với g metric Riemann xác định dương Khi hàm tác dụng, ta có kết sau 2.2.6 Định lý (xem [7]) Giả sử cực tiểu hóa hàm tác dụng , tức đường cong nối hai điểm p, q với đường cong nối hai 23 điểm p q Khi đường trắc địa cực tiểu, tức có độ dài ngắn tất đường nối p q Từ định lý 2.2.5 2.2.6 suy 2.2.7 Hệ Trong đa tạp Riemann, đường trắc địa cực tiểu địa phương độ dài 2.3 Đường trắc địa cực tiểu toàn cục 2.3.1 Định nghĩa Đường cong đa tạp Riemann gọi cực tiểu toàn cục (độ dài) độ dài khơng lớn độ dài đường cong chung hai đầu mút 2.3.2 Định lý (xem [6]) Với p  M , tồn lân cận Wp  > cho với điểm thuộc Wp có đường trắc địa có độ dài bé  nối điểm 2.3.3 Định lý (xem [6]) Với W  thỏa mãn định lý 2.3.2 giả sử ánh xạ  :  0,1  M đường trắc địa nối điểm W có độ dài bé  ánh xạ  :  0,1  M đường cong khả vi khúc có chung đầu mút với  Khi ta có: 1   (t) dt    (t) dt , ' ' dấu xảy  0,1   0,1 24 2.3.4 Hệ (xem [6]) Giả sử  : 0,1  M đường cong với tham số tự nhiên  khơng dài đường cong M có chung hai đầu mút với  Khi  đường trắc địa Chứng minh: Xét đoạn đủ bé  để đoạn thuộc lân cận W (nói Định lý 2.3.2) xét đường trắc địa chung đầu mút với  lân cận có độ dài bé  Theo Định lý 2.3.3 giả thiết  suy đường trắc địa đoạn  lân cận có ảnh chung Do  tham số hóa tự nhiên nên  trùng với đường trắc địa lân cận W Từ  đường trắc địa tồn cục 2.3.5 Định lý (xem [6]) Giả sử M đa tạp Riemann compăc Khi tồn   cho với hai điểm M có khoảng cách bé  tồn đường trắc địa nối hai điểm đường trắc địa cực tiểu 2.3.6 Ví dụ Ứng dụng tính chất ta thấy đường trắc địa siêu cầu khơng gian Ơclit có ảnh nằm đường tròn lớn ( giao 2- phẳng qua tâm với siêu cầu) Thật vậy, giả sử p,q hai điểm gần thuộc đường trắc địa siêu cầu cho đoạn trắc địa cực tiểu nối p q Xét phép đối xứng không gian Ơclit qua 2- phẳng qua tâm siêu cầu p, q Qua phép đối xứng ảnh đoạn trắc địa trắc địa có độ dài Vì tính suy ảnh phải trùng với nó, từ đoạn trắc địa phải thuộc 2phẳng, thuộc đường trịn lớn ( giao 2- phẳng với siêu cầu ) Vậy toàn đường trắc địa có ảnh thuộc đường trịn lớn Để chứng minh tính cực tiểu tồn cục đoạn trắc địa, người ta sử dụng nguyên lý liên quan đến dạng vi phân, gọi nguyên lý dạng cỡ (xem [8]) Nội dung nguyên lý nói 1- dạng cỡ phát biểu 25 2.3.7 Nguyên lý dạng cỡ (xem [8]) Cho 1- dạng  (tức đa tạp Riemann, x (v x )  với vectơ đơn vị điểm x đa tạp Khi đó,  dạng vi phân độ dài đường cong qui có hướng T, tức  x (Tx )  với Tx vectơ tiếp xúc đơn vị x thuộc T, T có độ dài ngắn so với đường cong miền có chung điểm mút với T  gọi dạng cỡ đường cong T Chú ý: Theo bổ đề Poincare, miền đồng phôi với Rn, dạng vi phân đóng (vi phân ngồi dạng dạng 0) dạng vi phân 2.3.8 Ví dụ (Áp dụng nguyên lý dạng cỡ) Sử dụng nguyên lý dạng cỡ chứng minh tính cực tiểu tồn cục đường trắc địa số đa tạp Riemann a) Đoạn thẳng khơng gian Ơclit có độ dài ngắn đường cong chung điểm biên Thật vậy, phép đẳng cự bảo toàn độ dài đường cong, cần xét đoạn thẳng trục tọa độ không gian với hệ tọa độ trực chuẩn đủ dạng đúng, Ta có 1-dang vi phân xúc , với vectơ tiếp có , Mặt khác, vectơ tiếp xúc đơn vị đoạn thẳng xét Do theo nguyên lý dạng cỡ trên, đoạn thẳng trục dạng cỡ Vì độ dài đoạn thẳng ngắn số đường cong có chung hai đầu mút 26 b) Đoạn thẳng Lobasepxki nửa phẳng Poincare Ta biết rằng, đường trắc địa nửa phẳng Poincare gồm loại, nửa đường thẳng vng góc với trục x nửa đường trịn có tâm trục x (xem [5]) Trước tiên ta chứng minh tính chất cực tiểu đoạn trắc địa nửa đường thẳng vuông góc với trục x cực tiểu tồn cục Trong nửa phẳng Poincare với hệ tọa độ tắc (x,y) Xét 1-dạng vi phân Dễ thấy dạng đóng, nửa phẳng Poincare dạng Vectơ tiếp xúc đơn vị đoạn trắc địa điểm (x,y) đơn vị Xét vectơ tiếp xúc Ta có điểm ( sở tắc mặt phẳng Ơclit) Đối với tích vơ hướng nửa phẳng Poincare, từ Do đó, , dạng cỡ đoạn trắc địa, Theo nguyên lý dạng cỡ, ta có đoạn trắc địa cực tiểu toàn cục Đối với đoạn trắc địa thuộc nửa đường tròn tâm trục x Qua phép nghịch đảo đường tròn tâm trục x (là phép đẳng cự nửa phẳng Poincare) đoạn trắc địa biến thành đoạn trắc địa thuộc nửa đường thẳng vng góc với trục x (xem [4]) Vì phép đẳng cự bảo tồn độ dài đường cong nên tính cực tiểu đoạn trắc địa thuộc nửa đường thẳng suy tính cực tiểu đoạn trắc địa thuộc nửa đường tròn c) Cung mặt cầu Xét mặt cầu không gian Ơclit chiều cho tham số hóa r ( ,  )   x  cos cos,y= cos sin, z =sin  27 Tương ứng với hệ tọa độ  ,  ta có trường vectơ tọa độ  ( ,  )  r' ( ,  )    sin  c os, -sin.sin , cos     ( ,  )  r' ( ,  )   -cos sin , cos cos ,   Các hệ số metric mặt cầu tham số hóa E = r ' ( ,  ).r ' ( ,  )  F = r ' ( ,  ).r ' ( ,  )  G = r ' ( ,  ).r ' ( ,  )  cos2 Xét dạng vi phân tọa độ d Dạng d có d (  )  d (v)  a với  va   b   Nếu v vectơ đơn vị, tức v  a  b2cos2  1, ta có d (v)  a  Do d dạng cỡ cung nửa đường tròn lớn (kinh tuyến - đường tọa độ  ) Vì cung có độ dài nhỏ so với cung mặt cầu có chung điểm mút 28 KẾT LUẬN Trong luận văn làm kết sau: +) Trình bày số khái niệm đa tạp Riemann +) Trình bày khái niệm số tính chất liên thông Levi-Civita đa tạp Riemann, đường trắc địa đa tạp Riemann +) Trình bày cơng thức biến phân thứ nhất, công thức biến phân thứ hàm độ dài, công thức biến phân thứ hàm tác dụng tính chất, mệnh đề liên quan +) Trình bày khái niệm, cho ví dụ điều kiện tương đương đa tạp Riemann đầy trắc địa +) Trình bày khái niệm, tính chất tính cực tiểu địa phương đường trắc địa +) Trình bày khái niệm, tính chất đường trắc địa cực tiểu tồn cục, nguyên lý dạng cỡ áp dụng để chứng minh tính cực tiểu tồn cục đường trắc địa môt số đa tạp Riemann Hướng phát triển tiếp luận văn là: nghiên cứu sâu tính chất cực tiểu độ dài đường trắc địa đa tạp Riemann với mật độ 29 TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT [1] Khu Quốc Anh, Nguyễn Doãn Tuấn (2004), Lý thuyết liên thơng hình học Riemann,NXBGD [2] Lê Xuân Khoa (2007), Về đường trắc địa đa tạp Riemann, Luận văn cao học, Đại học Vinh [3] Nguyễn Thị Hồng Nhung (2013), Phép đẳng cự số đa tạp Riemann, Luận văn cao học, Đại học Vinh [4] Nguyễn Hữu Quang (2005), Cơ sở hình học đại, giảng cao học, ĐH Vinh [5] Đồn Quỳnh (2000), Hình học vi phân , NXB Giáo dục TIẾNG ANH [6] J Milnor ( 1963), Morse Theory, Based on Lecture notes by M.Spivak and R.Wells, Priceton, New Jersy, Priceton University Press [7] A.C.Silva (2001), Lectures on Symplectic Geometry, Springer [8] R.Harvey, H.B.Lawson (1982), Calibrated geometries, Acta Math, 148(1982), 47-157 TIẾNG NGA [9] A Fomenco (1980), Giáo trình Hình học vi phân tơpơ (bản tiếng Nga), Maxcova ... Trong đa tạp Riemann, đường trắc địa cực tiểu địa phương độ dài 2.3 Đường trắc địa cực tiểu toàn cục 2.3.1 Định nghĩa Đường cong đa tạp Riemann gọi cực tiểu toàn cục (độ dài) độ dài khơng lớn độ dài. .. Bình, tơi chọn đề tài “ Tính cực tiểu độ dài đường trắc địa đa tạp Riemann? ?? Tình hình nghiên cứu liên quan đến đề tài Đường trắc địa tính cực tiểu độ dài đường trắc địa đa tạp Riemann đề tài không... thông đường trắc địa đa tạp Riemann 1.1 Đa tạp Riemann 1.2 Liên thông đa tạp Riemann 1.3 Đường trắc địa đa tạp Riemann 13 1.4 Phiếm hàm tác dụng Phiếm hàm độ dài 15 Chương II: Tính cực tiểu độ dài