Độ cong thiết diện của đa tạp riemann

1 giáo dục đào tạo Tr-ờng đại học vinh ==== ==== Trần Thị Quy Độ cong thiết diện đa tạp riemann Luận văn thạc sĩ toán học Chuyên ngành hình học - tôpô MÃ số: 60.46.10 Ng-ời h-íng dÉn khoa häc: PGS.TS Ngun H÷u Quang Vinh - 2009 LỜI NĨI ĐẦU Hình học Riemann đời từ kỉ 19 Thực chất Hình học Riemann nghiên cứu tính chất hình học Đa tạp Riemann Độ cong độ xoắn Đa tạp vấn đề Hình học Riemann Nó có nhiều ứng dụng ngành khoa học nh toán học v t l l thu ết tru ền th ng thực tiễn Trong lu n văn nà , ch ng t i trình bà tính chất độ cong thiết diện Đa tạp Riemann Đa tạp Riemann Nội dung lu n văn đ c trình bà ch ơng Chương 1: ĐỘ CONG CỦA ĐA TẠP RIEMANN Trong ch ơng ch ng t i trình bà chứng minh chi tiết tính chất liên th ng êvi-Sivita tính chất độ cong Đa tạp Riemann làm sở cho việc trình bà ch ơng nh : Sự t n du liên th ng êvi-Sivita đa tạp M (Mệnh đề 1.2 tính bất biến liên th ng êvi-Sivita tính bất biến độ cong Đa tạp Riemann qua ánh xạ vi ph i đ ng cự Mệnh đề 1.5 1.11 chứng minh chi tiết s tính chất độ cong Đa tạp Riemann ( đề 1.8 ệnh đề 1.9 1.1 Chương 2: ĐỘ CONG THIẾT DIỆN CỦA ĐA TẠP RIEMANN Trong ch ơng nà ch ng t i trình bà chứng minh s tính chất độ cong thiết diện Đa tạp Riemann Đa tạp Riemann con: hứng minh chi tiết s tính chất ánh xạ R ệnh đề 1.13 độ cong thiết diện Đa tạp Riemann Đa tạp Riemann không phụ thuộc sở Đ nh l 1.15 1.22), s tính chất khác đề 1.17 1.18 ệnh đề 1.19, 1.23) Ngoài ra, ch ng t i đ ví dụ độ cong m t c u m t xu ến cảm sinh , độ cong thiết diện siêu trụ v i cấu tr c Riemann u n văn đ d i h c hoàn thành ng d n th ch n thành cảm ơn gi p đ hoa Sau đại học - Tr ờng Đại học inh giáo P S-TS Ngu ễn Hữu Quang Tác giả xin bảo t n t m Th t p nghiên cứu Tác giả cảm ơn Th trình học giáo t Hình học đ giảng bảo cho tác giả trình học t p nghiên cứu Tác giả c ng xin chân thành cảm ơn Th khoa Sau đại học giáo c giáo khoa Toán an giám hiệu Tr ờng Đại học inh an giám hiệu nhà tr ờng THPT im iên đ ng nghiệp bạn b gia đình đ tạo điều kiện thu n l i cho tác giả q trình hồn thành lu n văn nà Vinh, T gi Chương ĐỘ CONG CỦA ĐA TẠP RIEMANN Trong ch ơng nà ta giả thiết: (M, g) Đa tạp Riemann thực có sở đếm đ c v i hệ đ {U  ,  }   I Ta kí hiệu: f:M  R, khả vi M}  F(M) = {f  B (M) = {X X tr ờng v c tơ tiếp x c khả vi M}  TpM = { h ng gian vectơ tiếp x c v i M p  M}   : Liên th ng tu ến tính Đa tạp M I LIÊN THÔNG LÊVI-SIVITA CỦA ĐA TẠP RIEMANN 1.1 Định nghĩa (xem [2]) iả sử  liên th ng tu ến tính Đa tạp M hi  đ c gọi liên thơng Lêvi-Sivita  thỏa m n hai điều kiện sau: (1) T  X, Y    X Y  Y X   X, Y   0; X, Y B (M), (2) Z  X.Y   Z X.Y  X.ZY; X, Y, Z  B (M) Nhận xét: iả sử M đa tạp khả song n - chiều v i tr ờng mục tiêu E1 ,E2 , ,En  n n i 1 j 1 X   X i Ei ; Y   Y j E j n Ta đ t :  X Y   X Yi  Ei i 1 hi  liên thơng Lêvi - Sivita M 1.2 Mệnh đề (xem [2]) Liên thông Lêvi - Sivita đa tạp M lu n t n du Chứng minh: Để chứng minh mệnh đề ta sử dụng b đề sau: Bổ đề: iả sử M đa tạp khả vi ω : B(M)  F(M) - dạng M ωp ; v i ω p dạng tu ến tính p  M Tức ω :Tp M  R, p hi t n du tr ờng vectơ A B(M) cho: ω  Z   A.Z; Z  B(M) (1) Chứng minh ổ đề: Ta c n chứng minh t n tính du A pM l n c n điểm tù iả sử Ei i 1 tr ờng mục tiêu đ đ a ph ơng U, x  hi v i n A B(M ta có biểu diễn:  n  A   i Ei , i  F(M), i  1, n i 1 Đ ng thức t ơng đ ơng v i: ω  Ei   A.Ei =  E E j j i j    ω  Ei    j gij ; v i gij  Ei E j , i, j  1, n (2) j Từ ta có đ h c hệ g m n ph ơng trình ẩn i ì dạng tích v ng g kh ng su biến nên v i q U , ta có det  gij  | q  Do từ xác đ nh du đ c  j  ch ng đ   Ei  g ij   j c ng khả vi Nh v xác đ nh cách du thỏa m n Chứng minh định lí: + Tính du  : iả sử  : B(M)  B(M)  B(M)  X, Y  XY c biểu th qua hàm khả vi tr ờng vectơ A khả vi A đ c liên thông Lêvi-sivita thỏa m n: (1) T  X, Y     X Y  Y X   X, Y   0, (2) Z  X.Y   Z X.Y  X.ZY; X, Y, Z B (M) Để chứng minh tính du ta chứng tỏ  X Y thỏa m n điều kiện thỏa m n ph ơng trình sau:  X Y.Z   X Y.Z   Y  Z.X   Z  X.Y   Z  X,Y   Y  Z, X   X Y, Z  Th t v (3) từ ta su ra:  X Y  Y X   X, Y  T ơng tự: Y Z  ZY  Y, Z  Z X   X Z   Z, X  (4) (5) (6) Từ ta có: Z  X.Y   Z X.Y  X.ZY T ơng tự: X Y.Z    X Y.Z  Y. X Z Y  Z.X   Y Z.X  Z.Y X t khác từ ta thu đ (7) (8) c: Y X.Z  Y  Z.X   Y Z.X (9) Do đó:  X Y.Z =  Y X   X,Y  Z (theo (4)) = Y X.Z   X,Y  Z = Y Z.X  Y  Z.X    X,Y .Z (theo (9)) =   ZY  Y,Z  X  Y  Z.X    X,Y .Z (theo (5)) = ZY.X  Y, Z  X  Y  Z.X    X,Y .Z = Z X.Y  Z  X.Y   Y, Z .X  Y Z.X    X,Y .Z (theo (2)) =   X Z   Z, X  Y  Z  X.Y   Y, Z .X  Y  Z.X    X, Y .Z (theo (6)) =  X Z.Y   Z, X  Y  Z  X.Y   Y, Z .X  Y  Z.X    X,Y .Z = X Y.Z    X Y.Z   Z, X .Y  Z  X.Y   Y, Z .X  Y  Z.X    X, Y .Z (theo (7))  2 X Y.Z  X Y.Z    Z, X  Y  Z  X.Y   Y, Z .X  Y  Z.X    X, Y .Z hia hai vế cho ta đ  X Y.Z  c:  X.Y.Z   Y  Z.X   Z  X.Y   Z  X,Y   Y  Z,X   X Y,Z    X Y thỏa m n ph ơng trình ta giả sử có liên th ng tu ến tính khác  thỏa m n điều kiện hi từ su ra: X Y.Z   X Y.Z   X Y   X Y  Z  0; X,Y,Z B(M)  X Y   X Y     tính du  đ + Sự t n  : c chứng minh i X, Y B(M) X t ánh xạ:  : B(M)  F(M) Z i ω Z   ω Z   X Y.Z   Y  Z, X   Z  X.Y   Z  X,Y   Y  Z.X   X Y, Z  hi ω ánh xạ F(M) - tu ến tính Th t v ta dễ dàng kiểm tra đ c tính cộng tính ω đ i v i biến Z t khác: ω  Z    X Y. Z   Y  Z.X    Z  X.Y   Y  Z, X   X.Y, Z  = ω  Z   = ω  Z    X  Y.Z   Y   Z.X   X  Y.Z   Y   X.Z  Áp dụng b đề t n du tr ờng vectơ A B(M), cho: ω  Z   A.Z; Z  B(M) Đ t:  X Y  A hi  liên th ng tu ến tính Th t v để kiểm tra  liên th ng tu ến tính ta c n kiểm tra qu tắc đạo hàm  Áp dụng (3) ta thu đ c:   X Y  Z  X Y.Z   Y  Z, X   Z  X.Y   Z  X, Y   Y  Z.X   X Y, Z  =  X Y  Z  X  Y.Z   Z   X.Y   X   Z.Y   Z   X.Y  =   X Y  Z  X  Y.Z    =  X Y  Z   X  Y.Z   =   X Y   X  Y  Z   X Y   X Y  X  Y; Z  B(M) ta kiểm tra tính chất  ì vai tr X, Y, Z nh nên từ (3) ta c ng có:  Z X.Y   Z  X.Y   X Y.Z   Y  Z.X   Y  Z, X   X Y, Z   Z  X,Y  (10)  Z Y.X   Z Y.X   Y  X.Z   X  Z.Y   X  Z,Y   Y  X, Z   Z Y, X  (11) ộng vế theo vế 11 su ra: Z X.Y  ZY.X  Z  X.Y   thỏa m n điều kiện liên th ng êvi-Sivita t khác c ng từ ta su ra: Y X.Z  Y  X.Z   X  Z.Y   Z Y.X   Z Y, X   X  Z,Y   Y  X, Z  (12) Trừ vế theo vế 12 ta đ c:  X Y.Z  Y X.Z  Z  X, Y     X Y  Y X   X, Y  Z  0; Z  B(M) Do đó:  X Y  Y X   X, Y   hay T  X, Y     thỏa m n điều kiện liên th ng êvi-Sivita lu n t n liên th ng êvi-sivita Đa tạp Riemann. Giả sử M Đa tạp Riemann v i liên thông Lêvi-Sivita  , M Đa tạp Riemann v i cấu trúc Riemann cảm sinh Nh ta đ biết X, Y B  M  thì:  X Y    X Y     X Y  T Trong   X Y  ,   X Y  l n l T N N t thành ph n tiếp xúc pháp dạng   X Y  M Ta có mệnh đề sau: 1.3 Mệnh đề (xem [3]) Ta đ t   X Y  =   X Y  hi  liên thơng Lêvi - Sivita M T Chứng minh: Dễ dàng kiểm tra  liên thơng tuyến tính Bây ta kiểm tra  thoả mãn hai điều kiện (2) Th t v : (1) T  X,Y     X Y  Y X   X, Y  =   X Y    Y X    X, Y  T T =   X Y  Y X    X, Y  T = (  X, Y  )T   X, Y    X, Y    X, Y   0;   X, Y  B  M  ; X, Y B  M   (2) Z  X.Y   Z X.Y  ZY.X; X, Y, Z B  M  10 =  X  T Z  Z X  N  Y   Y  T Z   ZY  N  X =  Z X  Y   Z X  Y   ZY  X   ZY  X T N T N = Z X.Y  ZY.X; Z X   Y, ZY   X N V N  liên thông Lêvi-Sivita M □ iả sử (M, g), (N, g’) Đa tạp Riemann, 1.4 Định nghĩa (xem [2]) f : M  N ánh xạ khả vi hi đó, f đ c gọi ánh xạ đ ng cự nếu: g  X, Y   g   f X, fY  ; X, Y  B(M) Ánh xạ f : M  N đ c gọi vi ph i đ ng cự f vi ph i ánh xạ đ ng cự Từ ta có mệnh đề sau: 1.5 Mệnh đề (xem [6]) iả sử f : M  N vi ph i đ ng cự  liên th ng êvi -Sivita M Ta đ t  f X fY  f   X Y  ; X, Y B(M) hi  liên thơng Lêvi - Sivita N Chứng minh: Th t v dễ dàng kiểm tra đ c  liên th ng tu ến tính Ở đ ta chứng minh  thỏa m n hai điều kiện liên th ng êvi - Sivita T  f X, fY  =  f X fY   fY f X   f X, fY  = f   X Y   f  Y X   f  X, Y  = f   X Y  Y X   X,Y  = f   = (theo B đề 1.11) 24 = ( h12 k2 h2 – h1k1 h22 ) R (X, Y, X, X) + ( h12 k22 – h1k1h2k2) R (X, Y, Y, X) +(h1 k1k2h2 - k12 h22 ) R (X, Y, X, Y) + (h1k1 k22 – k12 h2k2) R (X, Y, Y, Y) = ( h12 k2 h2 – h1k1 h22 ) R (X, X, X, Y) + ( h12 k22 – h1k1h2k2) R (X, Y, Y, X) - (h1 k1k2h2 - k12 h22 ) R (X, Y, Y, X) + (h1k1 k22 – k12 h2k2) R (Y, Y, X, Y) = (h1k2 - h2k1)2 R (X, Y, Y, X) = (h1k2 - h2k1)2R(X, Y, Y).X (1) t khác : X Y   X.Y  h1 X  k1Y h2 X  k2Y =   h1 X  k1Y  h2 X  k2Y  = ( h12 X2 + k12 Y2 + 2h1k1XY)( h12 X2 + k22 Y2 + 2h2k2XY) - (h1h2X2 + k1k2Y2 + (h1k2 + h2k1)XY)2 = h12 k22 X2Y2 + k12 h22 X2Y2 + 2h1k1h2k2(XY)2 - h12 k22 (XY)2- k12 h22 (XY)2 - 2h1k1h2k2 X2Y2 = X2Y2( h12 k22 + k12 h22 + 2h1k1h2k2) - (XY)2 ( h12 k22 + k12 h22 + 2h1k1h2k2) = (h1k2 - h2k1)2( X Từ , ta thu đ Y   X.Y  ) 2 X Y (2) c: R( X , Y , Y ).X K( δ p ) =   X Y   h1k2  h2k1  R(X, Y, Y)X = = 2 2 h k  h k ( X Y  X.Y )  2 1   1.16 Ví dụ Xét siêu trụ S r đ R(X, Y, Y).X X Y   X.Y   c xác đ nh tham s hoá: (u, v, t)  (sinu, cosu, vcost, vsint); (u, v, t) Trong , v i liên th ng Lêvi-Sivita cảm sinh, siêu trụ có độ cong thiết diện đ i v i sở 25 Th t v ta đ t: Ru=(cosu, -sinu, 0, 0) Rv=(0, 0, cost, sint) Rt=(0, 0, -vsint, vcost) Khi đó, ta tính đ c: Ruu=(-sinu, -cosu, 0, 0), Ruv=Rvu=0 Rtt=(0, 0, -vcost, -vsint)=-vRv, Rtv= Rvt=(0, 0, -sint, cost)= Rt v Rvv=0, Ruv= Rvu=0 R(Ru , Rv , Rv ).Ru Xét δ1 = { Ru, Rv }, K( δ1 )= Ru Rv   Ru Rv  2 Trong đó: R(Ru, Rv, Rv) =  Ru  Rv Rv   Rv  Ru Rv   Ru , Rv  R v   RvRv = (DRvRv)T = (Rvv)T = (1) RuRv = (DRuRv)T = (Ruv)T = (2) [Ru, Rv] = Ru Rv   Rv Ru  (3) Thay (1), (2), ta tính đ (a) c R(Ru, Rv, Rv)=0 Suy ra: K( δ1 ) = T ơng tự v i δ2 = { Ru, Rt }, δ3 = { Rv, Rt } Ta tính đ c: R(Ru, Rt, Rt) = (b) R(Rv, Rt, Rt) = (c) Từ suy ra: K( δ2 ) = 0; K( δ3 ) = ta x t v i δ = { α, β }; α = a1Ru+a2Rv+a3Rt, β = b1Ru+b2Rv+b3Rt Ta c ng thu đ c K( δ ) = R  α, β, β  α α β   α.β  2  Th t v : 26 Sử dụng tính chất tam tuyến tính phản xứng đ i v i biến đ u ta tính đ c: R  α, β, β  = R(a1Ru + a2Rv + a3Rt, b1Ru + b2Rv + b3Rt, b1Ru + b2Rv + b3Rt ) = (a1b2b1 - a2 b12 )R(Ru, Rv, Ru) + (a1b3b1 - a3 b12 )R(Ru, Rt, Ru) + (a2b3b1 - a3b1b2) R(Rv, Rt, Ru) + (a1b3b2 - a3b1b2)R(Ru, Rt, Rv) + (a1b2b3 - a2b1b3)R(Ru, Rv, Rt) = (a1b2b1 - a2 b12 )R(Ru, Rv, Ru) + (a1b3b1 - a3 b12 )R(Ru, Rt, Ru) + (2a1b2b3 - a2b1b3 - a3b1b2) R(Ru, Rv, Rt) + (a1b2b3 + a2b3b1 - 2a3b1b2) R(Rv, Rt, Ru)  R  α, β, β   = [(a1b2b1 - a2 b12 )R(Ru, Rv, Ru) + (a1b3b1 - a3 b12 )R(Ru, Rt, Ru) + (2a1b2b3 - a2b1b3 - a3b1b2) R (Ru, Rv, Rt) + (a1b2b3 + a2b3b1 - 2a3b1b2) R(Rv, Rt, Ru)] (a1Ru + a2Rv + a3Rt) = (a1b2b1 - a2b12)[a1 R (Ru, Rv, Ru, Ru) + a2 R (Ru, Rv, Ru, Rv) + a3 R (Ru, Rv, Ru, Rt)] + (a1b3b1 - a3 b12 )[a1 R (Ru, Rt, Ru, Ru) + a2 R (Ru, Rt, Ru, Rv) + a3 R (Ru, Rt, Ru, Rt)] + (2a1b2b3 - a2b1b3 - a3b1b2) [a1 R (Ru, Rv, Rt, Ru) + a2 R (Ru, Rv, Rt, Rv) + a3 R (Ru, Rv, Rt, Rt)] + (a1b2b3 + a2b3b1 - 2a3b1b2) [a1 R (Rv, Rt, Ru, Ru) + a2 R (Rv, Rt, Ru, Rv) + a3 R (Rv, Rt, Ru, Rt)]; (I) Do R (Ru, Rv, Ru, Ru) = R (Ru, Rt, Ru, Ru) = R (Ru, Rv, Rt, Rt) = R (Rv, Rt, Ru, Ru) = 0; (theo mệnh đề 1.13) R (Ru, Rv, Ru, Rv) = - R (Ru, Rv, Rv, Ru) = R(Ru, Rv, Rv).Ru = 0; (theo (a)) R (Ru, Rt, Ru, Rt) =- R (Ru, Rt, Rt, Ru) = R(Ru, Rt, Rt).Ru = 0; (theo (b)) R (Rv, Rt, Ru, Rv) = R (Ru, Rv, Rv, Rt) = R(Ru, Rv, Rv).Rt = 0; (theo (a)) R (Rv, Rt, Ru, Rt) =- R (Rv, Rt, Rt, Ru) = R(Rv, Rt, Rt).Ru = 0; (theo (c)) R (Ru, Rv, Rt, Rv) =- R (Ru, Rv, Rv, Rt) = R(Ru, Rv, Rv) Rt = 0; (theo (a)) R (Ru, Rt, Ru, Rv) = - R (Ru, Rv, Rt, Ru); (theo Mệnh đề 1.13 R (Ru, Rv, Ru, Rt) = - R (Ru, Rv, Rt, Ru); (theo Mệnh đề 1.13 27 M t khác: R  Ru , Rv , Rt    Ru  Rv Rt   Rv  Ru Rt   Ru , Rv  Rt  nên R (Ru, Rv, Rt, Ru) = Từ thay vào đ ng thức (I) ta tính đ c: R(α, β, β).α   K  δ    Bây ta ý đến ánh xạ : Pp: TpM TpM TpM TpM (X, Y, Z, T) Pp(X, Y, Z, T)=(Y.Z)(X.T) - (X.Z)(Y.T) Khi ta có b đề sau: 1.17.Bổ đề 1) Pp ánh xạ 4-tuyến tính 2) Pp thoả mãn điều kiện (1), (2), (3) mệnh đề (1.13) Chứng minh: 1) Tr c hết ta chứng minh Pp tuyến tính đ i v i X Th t v :  λ 1, λ  R; X1, X2, Y, Z, T  TpM , ta có: Pp( λ 1X1 + λ 2X2, Y, Z, T) = (Y.Z)(( λ 1X1+ λ X2 ).T)-(( λ 1X1 + λ X2 ).Z)(Y.T) = (Y.Z)( λ 1X1 T + λ X2 T) - ( λ 1X1Z + λ X2 Z)(Y.T) = λ 1(Y.Z)(X1 T) + λ 2(Y.Z) (X2 T) - λ (X1Z) (Y.T) - λ (X2 Z)(Y.T) = λ ((Y.Z)(X1 T) - (X1Z) (Y.T)) + λ ((Y.Z) (X2 T) - (X2 Z)(Y.T)) = λ 1Pp(X1, Y, Z, T) - λ Pp(X2, Y, Z, T) T ơng tự ta chứng minh đ c tính tu ến tính Pp đ i v i Y, Z, T 2) X, Y, Z, T TpM, ta có: (1) Pp(X, Y, Z, T) = (Y.Z)(X.T) - (X.Z)(Y.T) = - ((X.Z)(Y.T) - (Y.Z)(X.T)) = - Pp(Y, X, Z, T) (2) Pp(X, Y, Z, T) = (Y.Z)(X.T) - (X.Z)(Y.T) = - ((Y.T) (X.Z) - (X.T) (Y.Z) ) 28 = - Pp(X, Y, T, Z) (3) Pp(X, Y, Z, T) + Pp(Y, Z, X, T) + Pp(Z, X, Y, T) = Th t v ta có: Pp(X, Y, Z, T) = (Y.Z)(X.T) - (X.Z)(Y.T) Pp(Y, Z, X, T) = (Z.X)(Y.T) - (Y.X)(Z.T) = (X.Z)(Y.T) - (X.Y)(Z.T) Pp(Z, X, Y, T) = (X.Y)(Z.T) - (Z.Y)(X.T) = (X.Y)(Z.T) - (Y.Z)(X.T) Suy ra: Pp(X, Y, Z, T) + Pp(Y, Z, X, T) + Pp(Z, X, Y, T) = (Y.Z)(X.T) - (X.Z)(Y.T) + (X.Z)(Y.T) - (X.Y)(Z.T) + (X.Y)(Z.T) - (Y.Z)(X.T) =0. Chú ý: Ta xét p (M, g) 2-ph ng δ p TpM mà độ cong thiết diện K( δ p ) = Kp = Rp (X, Y, Y, X) X Y   X.Y   Hay R p(X, Y, Y, X) = Kp( X 2 ; X, Y TpM Y    X.Y  ) = Kp Pp(X, Y, Y, X) Ta đ t R p = Kp.Pp R p (X, Y, Y, X) = R p(X, Y, Y, X); X, Y TpM, p M ta x t ánh xạ : B(X, Y, Z, T) = R (X, Y, Z, T) - R p (X, Y, Z, T); X, Y, Z, T B (M) Do R , R p ánh xạ thoả m n điều kiện 1.13 R p (X, Y, Y, X) = R p (X, Y, Y, X) ; X, YB(M) nên B c ng thoả m n điều kiện (1.13) B(X, Y, Y, X) = 0; X, YB(M) Từ ta có b đề sau: 1.18 Bổ đề 1) X, Y, TB (M) thì: B(X, Y, X, T) = 29 2) X, Y, Z, TB(M) thì: B(X, Y, Z, T) = -B(Z, Y, X, T) Chứng minh: 1)X, YB(M): B(X, Y, Y, X) =  B(X, Y + T, Y + T, X) = 0; T  B(M)  B(X, Y, Y, X) + B(X, Y, T, X) + B(X, T, Y, X) + B(X, T, T, X) =  B(X, Y, T, X) + B(X, T, Y, X) = - B(X, Y, X, T) + B(Y, X, X, T) = - B(X, Y, X, T) - B(X, Y, X, T) =  B(X, Y, X, T) = Từ ta có: B(X + Z, Y, X + Z, T) = 0; ZB (M)  B(X, Y, X, T) + B(X, Y, Z, T) + B(Z, Y, X, T) + B(Z, Y, Z, T) =  B(X, Y, Z, T) + B(Z, Y, X, T) =  B(X, Y, Z, T) = - B(Z, Y, X, T).□ 1.19 Mệnh đề (xem [3]) X, Y, Z, TB (M) hi đó: R p (X, Y, Z, T) = R (X, Y, Z, T); X, Y, Z, TB (M) Chứng minh: Từ b đề để chứng minh mệnh đề ta c n chứng minh: B(X, Y, Z, T) = 0; X, Y, Z, TB(M) Th t v : Do B thoả m n điều kiện (1.13) nên ta có: B(X, Y, Z, T) + B(Y, Z, X, T) + B(Z, X, Y, T) =  B(X, Y, Z, T) - B(Z, Y, X, T) - B(Y, X, Z, T) = 0; 30 3 B(X, Y, Z, T) = 0; (do 2) B đề 1.18 tính chất phản xứng đ i v i biến đ u B)  B(X, Y, Z, T) = R p (X, Y, Z, T) = R (X, Y, Z, T); X, Y, Z, TB(M). II ĐỘ CONG THIẾT DIỆN CỦA ĐA TẠP RIEMANN CON Trong mục nà ta giả thiết: • N Đa tạp Riemann (n + 1) chiều v i liên th ng êvi - Sivita  • M Đa tạp Riemann n chiều đ nh h ng v i liên th ng êvi - Sivita cảm sinh  • n tr ờng v c tơ pháp tu ến đơn v M 1.2 Mệnh đề (xem [3]) X t ánh xạ l: B(M) B(M)  F(M) (X, Y) l(X, Y) =  X n.Y hi l ánh xạ song tu ến tính đ i xứng Chứng minh: Th t v ta có  X1, X2,Y B(M);  α, β  l  αX1  βX , Y   αX1  βX n.Y  α X1 n.Y  β X n.Y  αl  X1 , Y   β  X , Y  l  X, αY1  βY2    X n  αY1  βY2   α X n.Y1  β X n.Y2  αl  X, Y1   βl  X, Y2  t khác: l  X, Y    X n.Y Do n.Y =   X  n.Y    X n.Y  n. X Y  Suy ra: 31   l  X, Y    X n.Y  n. X Y  n Y X  Y, X   n.Y X  Y X  l Y, X  ; (do [Y, X].n = 0).□ 1.21 Định nghĩa (xem [3]) iả sử p điểm Đa tạp Riemann  M, g  Tp = { δ p δ p kh ng gian vectơ - chiều Tp} hi ánh xạ: k :Tp  R δp k( δ p ) = l  X, X  l Y, Y    l  X, Y   2 X Y Trong  X, Y  sở δ p , k( δ p đ   X.Y  2 c gọi độ cong Gauss - ph ng 1.22 Định lý (xem [3]) k( δ p ) kh ng phụ thuộc vào việc chọn sở  X, Y  δ p Chứng minh: iả sử{ X, Y } sở δ p v i X  h1 X  k1Y , Y  h2 X  k2Y n chứng minh: k( δ p ) = Th t v  l  X, X  l Y, Y   l  X, Y  X Y   X.Y    l  X, X  l Y, Y    l  X, Y   X Y   X.Y  2 ta có: l  X, X l Y , Y   l  X, Y   l h1 X  k1Y, h1 X  k1Y l h2 X  k2Y, h2 X  k2Y   l h1 X  k1Y, h2 X  k2Y   (h12l  X, X   2h1k1l  X, Y   k12l Y, Y ) (h22l  X, X   2h2k2l  X, Y   k22l Y, Y ) (h1h2l  X, X   (h1k2  h2k1 )l  X, Y   k1k2l Y, Y )2 32  h12 h22 (l  X, X  )2  ( 2h22h1k1  2h12h2k2 )l  X, X  l  X, Y   (h12k22  h22k12 )l  X, X  l Y, Y   4h1k1h2 k2  l  X, Y     2h1k1k22  2h2k2k12  l  X, Y  l Y, Y   k12k22 l Y, Y   2  (h12 h22 (l  X, X )2  (h1k2  h2k1 )2  l  X, Y    k12k22  l Y, Y    2h1h2 (h1k2  h2k1 )l  X, X  l  X, Y  2  2h1 h2 k1k2l  X, X  l Y, Y    2k1k2  h1k2  h2k1   l  X, Y  l Y, Y ) = (h12k22  h22k12 )l  X, X  l Y,Y   2h1 h2k1k2l  X, X  l Y,Y   (h1k2  h2k1 )2  l  X, Y   = (h12k22  h22k12 )(l  X, X  l Y, Y    l  X, Y   ) (1) t khác: X Y   X.Y  = h1 X  k1Y h2 X  k2Y - [(h1X + k1Y)(h2X + k2Y)]2 2 = ( h12 X2 + k12 Y2 +2h1k1XY) ( h22 X2 + k22 Y2 +2h2k2XY) - (h1h2X2 + k1k2Y2+(h1k2 + h2k1)XY)2 = h12 k22 X2Y2 + k12 h22 X2Y2 + 2h1k1h2k2(XY)2 - h12 k22 (XY)2- k12 h22 (XY)2 - 2h1k1h2k2 X2Y2 = X2Y2( h12 k22 + k12 h22 + 2h1k1h2k2) - (XY)2 ( h12 k22 + k12 h22 + 2h1k1h2k2) = (h1k2 - h2k1)2 ( X Từ c: ta thu đ k( δ p )  Y   X.Y  ) 2  l  X, X  l Y, Y   l  X, Y  ọi R,R l n l X Y   X.Y  (2)   l  X, X  l Y, Y    l  X, Y   X Y   X.Y  2 t độ cong Đa tạp Riemann M, N K,K l n l t độ cong thiết diện Đa tạp Riemann M, N ,  l n l t liên th ng êvi-Sivita Đa tạp Riemann M, N .□ 33 k độ cong auss Đa tạp Riemann M N hi ta có đ nh l sau: 1.23 Định lý Ga (xem [3]) i X, Y, Z, T B(M) Ta có: 1) R  X, Y, Z  T  R  X, Y, Z  T  l  X, Z  l Y, T   l Y, Z  l  X, T  2) K  X, Y   K  X, Y   k  X, Y  ; (X, Y độc l p tu ến tính Chứng minh: Để chứng minh đ nh l ta sử dụng b đề sau i X, Y, Z, T B(M) Ta có: Bổ đề:  1) Y Z  N  l Y, Z  n 2)  X l Y, Z  n  T  l Y, Z  l  X, T      3) X, YZ T  X, YZ T Chứng minh ổ đề:  Ta có: Y Z  Y Z    Z T Y N  , đó: Y Z  N = α.n t khác: Z.n   Y  Z.n   Y Z.n  Y n.Z   Y Z.n  Y n.Z  l Y, Z    Y Z.n  Y Z   Y Z  N  T  n  Y Z  N  n  Y Z  N n  l Y, Z   α  l Y, Z  n 2)  X l Y, Z  n   X l Y, Z  n  l Y, Z   X n   X l Y, Z  n  T  X l Y, Z  n.T  l Y, Z   X n.T  l Y, Z   X n.T  l Y, Z  l  X, T  ; (vì X l Y, Z  n.T  )    Ta có:  X,Y  Z T    X,Y Z     T Z X, Y   N  T  34       X,Y  Z T  T   X,Y Z   N   X,Y  Z T; (do  X,Y  Z T  N T  ) Chứng minh định l : R  X, Y, Z  T  (  X Y Z  Y  X Z   X,Y Z).T   X Y Z.T  Y  X Z.T   X,Y Z.T Ta có: Y Z  Y Z  l Y, Z  n;  (theo Mệnh đề 1.3    X Y Z   X  Y Z    X  l Y, Z  n      X Y Z  l X, Y Z n  X  l Y, Z  n        X Y Z T   X Y Z.T  l X, Y Z n.T  X  l Y, Z  n  T   X Y Z.T l Y, Z  l  X, T  ;   (do l X, Y Z n.T  T ơng tự ta thu đ  (a) đề c:  Y  X Z T  Y  X Z.T  l  X, Z  l Y, T  (b)  (c) Từ a X, Y b    Z T  X, YZ T c su ra: R  X, Y, Z  T   X Y Z.T  Y  X Z.T   X,Y Z.T     X Y Z.T  l Y, Z  l  X, T  Y  X Z.T  l  X, Z  l Y, T    X,Y  Z T    (  X Y Z Y  X Z   X,Y  Z ).T  l Y, Z  l  X, T   l  X, Z  l Y, T   R  X, Y, Z  T  l Y, Z  l  X, T   l  X, Z  l Y,  R  X, Y, Z  T  R  X, Y, Z  T  l  X, Z  l Y, T   l Y, Z  l  X, T  2) Thay T = X, Z = Y vào đ ng thức ta có đ ng thức  35 ẾT LU N L ận n đ đ t đư nh ng t a : Trình bà chứng minh chi tiết tính chất liên thông Lêvi – Sivita (Mệnh đề 1.2 1.3 1.5 độ cong Đa tạp Riemann (Mệnh đề 1.9 1.11 độ cong thiết diện Đa tạp Riemann (Mệnh đề 1.13 1.15 1.19 Đa tạp Riemann (Mệnh đề 1.22, Đ nh lí 1.23 36 Phát biểu chứng minh tính chất tam tu ến tính độ cong Đa tạp Riemann ( đề 1.8 Phát biểu chứng minh tính chất phản xứng đ i v i biến thứ ba ánh xạ đề 1.18 Áp dụng c ng thức xác đ nh đ , độ cong siêu trụ c độ cong m t c u m t xu ến v i cấu tr c Riemann cảm sinh í dụ 1.12, 1.16) Trong thời gian t i ch ng t i s tiếp tục nghiên cứu độ cong thiết diện §a tạp giả Riemann TÀI LIỆU THAM HẢO T i liệ Ti ng Việt [1] Khu Qu c Anh - Nguyễn Doãn Tuấn, Lý uyế l ê Hì c Riemann, NXB ĐHSP Hµ Néi, (2005) [2] Nguyễn Hữu Quang, Mở đầu Hì cRe a , ài giảng chu ên đề Sau đại học Vinh, (2005) [3] Đồn Quỳnh, Hì c v p â , NXB Giáo dục, (2000) 37 [4] Đồn Quỳnh, Bà ập ì c v p â , NXB Giáo dục, (2000) [5] Nguyễn th Diệu Thuý, Độ co bả rê Đa ạp Riemann, Lu n văn thạc sĩ, (2006) [6] Nguyễn th Quỳnh Xuân, Tenxơ cong, tenxơ xoắ độ co ế dệ Đa ạp Riemann, Lu n văn thạc sĩ, (2004) [7] Gromoll.D, Klingenberg.W, Meyer.W (1971), Hì c Re a tồn cục, Bản d ch từ tiếng Nga, ng ời d ch Tr ơng Đức Hinh T i liệ Ti ng Anh [8] Neill.B.O, Elementary Differential Geometry Academic Preess, New York- London, 1966 MỤC LỤC Trang LỜI NÓI ĐẦU .1 Chương 1: ĐỘ CONG CỦA ĐA TẠP RIEMANN I LIÊN THÔNG LÊVI-SIVITA Đ TẠP RIE II ĐỘ ON NN .10 Đ TẠP RIE NN Chương 2: ĐỘ CONG THIẾT DIỆN CỦA ĐA TẠP RIEMANN 20 38 I ĐỘ ON THIẾT DIỆN Đ TẠP RIE NN 20 II ĐỘ ON THIẾT DIỆN Đ TẠP RIE NN ON .29 ẾT LU N 35 TÀI LIỆU THAM HẢO 36 ... chất độ cong Đa tạp Riemann ( đề 1.8 ệnh đề 1.9 1.1 Chương 2: ĐỘ CONG THIẾT DIỆN CỦA ĐA TẠP RIEMANN Trong ch ơng nà ch ng t i trình bà chứng minh s tính chất độ cong thiết diện Đa tạp Riemann Đa. .. Chương 1: ĐỘ CONG CỦA ĐA TẠP RIEMANN I LIÊN THÔNG LÊVI-SIVITA Đ TẠP RIE II ĐỘ ON NN .10 Đ TẠP RIE NN Chương 2: ĐỘ CONG THIẾT DIỆN CỦA ĐA TẠP RIEMANN 20 38 I ĐỘ ON THIẾT DIỆN Đ TẠP RIE...   X.Y  2 t độ cong Đa tạp Riemann M, N K,K l n l t độ cong thiết diện Đa tạp Riemann M, N ,  l n l t liên th ng êvi-Sivita Đa tạp Riemann M, N .□ 33 k độ cong auss Đa tạp Riemann M N hi