Chiều của đa tạp afin

bộ giáo dục đào tạo Tr-ờng đại học vinh Nguyễn thị giang chiều đa tạp afin luận văn thạc sĩ toán học Vinh - 2009 giáo dục đào tạo Tr-ờng đại học vinh nguyễn thị giang chiều đa tạp afin Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mà số: 60.46.05 luận văn thạc sĩ toán học Ng-ời h-ớng dẫn khoa học: TS nguyễn thị hång loan Vinh - 2009 môc lôc Trang Lêi nói đầu Ch-¬ng Tập đại số 1.1 Tập đại số 1.2 Tập đại số bất kh¶ quy 10 1.3 Kh«ng gian t«p« noether 13 1.4 Iđêan liên kết 17 Ch-ơng Chiều đa tạp afin 25 2.1 ChiỊu Krull cđa vµnh 25 2.2 ChiÒu đa tạp afin 27 2.3 Sù ph©n tích nguyên sơ iđêan đơn thức vành đa thøc 29 2.4 Mét sè vÝ dô 30 KÕt luËn 35 Tài liệu tham khảo 36 Lời nói đầu Hình học đại số môn toán học dùng công cụ đại số để nghiên cứu hình học Để làm đ-ợc điều ng-ời ta dùng đồ thị ph-ơng trình để mô tả hình hình học.Có thể xem hình hình học không gian n-chiều tập nghiệm hệ ph-ơng trình đa thức n ẩn số Quan niệm (tuy không xác) có thuận lợi lớn việc xét mối quan hệ hình h×nh häc cã thĨ quy vỊ viƯc xÐt tËp nghiƯm hệ ph-ơng trình Lúc ta dùng công cụ đại số để nghiên cứu hình hình học Cho K tr-ờng tuỳ ý có vô hạn phần tử Ng-ời ta gọi không gian Đề K n không gian afine n-chiều K ký hiệu AKn Tập nghiệm hệ ph-ơng trình n ẩn số với hệ số K đ-ợc gọi tập đại số AKn Cho V tập đại sè AKn , kÝ hiƯu IV lµ tËp tÊt đa thức vành đa thức n biến K  x1 , , xn  triƯt tiªu trªn V Khi IV iđêan K x1 , , xn đ-ợc gọi iđêan liên kết tập đại số V Ta xác định cấu trúc tôpô AKn cách lấy phần bù tập đại số làm tập mở Tôpô đ-ợc gọi tôpô Zariski Ta nói tập khác rỗng V không gian tôpô AKn bất khả quy V không phân tích đ-ợc thành hai tập thực sự, nghĩa V V1 V2 với V1 ,V2 tập đóng V suy V1 V V2 V Tập đóng bất khả quy (với tôpô cảm sinh) không gian AKn đ-ợc gọi đa tạp afin Chiều khái niệm quan trọng hình học đại số đại số giao hoán Thông qua khái niệm chiều đà đặc tr-ng đ-ợc hệ ph-ơng trình đa thức có hữu hạn nghiệm Trong luận văn nghiên cứu khái niệm chiều đa tạp afin, với mục đích đặc trưng độ lớn tập nghiệm hệ ph-ơng trình đa thức Luận văn đ-ợc hoàn thành d-ới h-ớng dẫn nhiệt tình, tận tâm cô giáo, TS Nguyễn Thị Hồng Loan Nhân dịp xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô giáo Tôi xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo tổ Đại số bạn học viên khoá đà động viên hoàn thành luận văn Tác giả xin trân trọng tỏ lòng biết ơn tới tất thầy cô giáo khoa Toán, khoa Sau đại học Tr-ờng Đại học Vinh đà quan tâm giúp đỡ tác giả trình học tập nh- việc hoàn thành luận văn sau Nhân dịp này, tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Ban giám hiệu Tr-ờng Đại học Vinh, Ban chủ nhiệm khoa Toán, khoa Sau đại học phòng ban liên quan đà tạo điều kiện thuận lợi thời gian tác giả học tập nghiên cứu tr-ờng Mặc dù đà có nhiều cố gắng, song luận văn tránh khỏi thiếu sót, mong nhận đ-ợc đóng góp quý báu từ thầy, cô giáo bạn đồng nghiệp Vinh, tháng 12 năm 2009 Tác giả ch-ơng Tập đại số 1.1.Tập đại số Hình học đại số môn toán học dùng công cụ đại số để nghiên cứu hình học Để làm đ-ợc điều ng-ời ta dùng đồ thị ph-ơng trình để mô tả hình hình học Để tìm hiểu khái niệm tập đại số tr-ớc hết ta xét sè vÝ sau 1.1.1 Mét sè vÝ dô VÝ dô 1) Trong mặt phẳng hình hình học đ-ờng cong, th-ờng đ-ợc xác định đồ thị ph-ơng trình hai ẩn số f  x, y   , hµm f x, y th-ờng đa thức hai biến Ví dụ ph-ơng trình tổng quát đ-ờng thẳng có dạng ax by c , hệ số a, b không đồng thời không; ph-ơng trình tổng quát ®-êng cong bËc hai cã d¹ng ax2  bxy  cy  dx  ey  f  , a, b, c không đồng thời không 2) Trong không gian, mặt cong th-ờng đ-ợc xác định đồ thị ph-ơng trình ba Èn sè f  x, y, z   Ví dụ mặt phẳng không gian đ-ợc xác định đồ thị ph-ơng trình tuyến tÝnh ax  by  cz  d  a, b, c không đồng thời không.Tuy nhiên hình hình học không gian mô tả ph-ơng trình Khác với đ-ờng thẳng mặt phẳng, đ-ờng thẳng không gian đ-ợc xác định hệ ph-ơng trình tuyến tính : a1x b1 y  c1z  d1   a2 x  b2 y  c2 z  d  Điều ứng với việc đ-ờng thẳng giao mặt phẳng ph-ơng trình tuyến tính Có thể xem hình hình học không gian n - chiều tập nghiệm hệ ph-ơng trình n ẩn số Quan niệm (tuy không xác) có thuận lợi lớn việc xét mối quan hệ hình h×nh häc cã thĨ quy vỊ viƯc xÐt tËp nghiƯm hệ ph-ơng trình Lúc ta dùng công cụ đại số để nghiên cứu h×nh h×nh häc VÝ dơ Ta h·y xÐt mƯnh đề hình học nói đ-ờng thẳng cắt ®-êng cong bËc hai ë nhiỊu nhÊt lµ hai ®iĨm Tập giao điểm đ-ờng thẳng đ-ờng cong bËc hai cho tr-íc chÝnh lµ tËp nghiƯm cđa hệ hai ph-ơng trình có dạng ax by  c   2 dx  exy  fy  gx  hy  i   Gi¶ sư a  ( a, b không đồng thời không) Từ ph-ơng trình thứ ta cã x 1  by  c  a Dùng biểu thức để x vào ph-ơng trình thứ hai ta nhận đ-ợc ph-ơng trình bậc hai y Ph-ơng trình có nhiều hai nghiệm ứng với nghiệm ta có nghiệm x Do hệ ph-ơng trình ban đầu có nhiều hai nghiệm Thông th-ờng ng-ời ta xét đa thức có hệ số hữu tỷ, số thực số phức Tổng quát ng-ời ta xét hệ ph-ơng trình ®a thøc víi hƯ sè thc mét tr-êng nµo ®ã với nghiệm số thuộc tr-ờng 1.1.2 Định nghĩa tập đại số 1.1.2.1 Định nghĩa Cho K tr-ờng có vô hạn phần tử Ng-ời ta gọi không gian Đề K n không gian afine n-chiều K , ký hiệu AKn Tập nghiệm hệ ph-ơng trình đa thức n ẩn số với hệ số K đ-ợc gọi tập đại số AKn 1.1.2.2 Một số ví dụ tập đại số Ví dụ Không gian AKn tập đại số AKn tập nghiệm ph-ơng trình  VÝ dơ TËp hỵp chØ gåm mét ®iĨm   1, , n   AKn tập đại số AKn tập nghiệm hệ ph-ơng trình x1 a1    x  a  n n Ví dụ Tập rỗng tập đại số tập nghiệm ph-ơng trình Chú ý Trong không gian afin 1-chiều AK1 tập đại số AK1 , tập hữu hạn AK1 tập rỗng Điều có thĨ dƠ dµng suy tõ viƯc tËp nghiƯm cđa đa thức f biến AK1 (nếu f đa thức không), tập hữu hạn AK1 (nếu f có bậc d-ơng) tập rỗng (nếu f phần tử khác không AK1 ) Tõ vÒ sau ta sÏ ký hiƯu K lµ mét tr-êng vµ K  x  vành đa thức n biến K x1, , xn tr-ờng K 1.1.3 Định nghĩa Cho S tập hợp đa thức K x Ta gọi hệ ph-ơng trình f ( x)  0| f  S  lµ hệ ph-ơng trình S Tập V S     AKn | f    0, f S đ-ợc gọi tập nghiệm S AKn tập đại số đ-ợc xác định S Nếu S gồm đa thức f dùng ký hiệu V f V f đ-ợc gọi siêu mặt 1.1.4 Ví dụ Ví dụ V    AKn VÝ dô NÕu f  a0  a1x    an xn V f siêu phẳng AKn sau phép biến đổi toạ độ ta giả sử f xn Khi V  f    a1, , an   AKn | an  0 cã thĨ ®ång nhÊt víi kh«ng gian AKn1 VÝ dơ NÕu S  x1  a1, , xn  an  th× V  f  chØ gåm mét ®iĨm   1, , n  VÝ dô V  K x điểm AKn nghiệm hệ ph-ơng trình    VÝ dô NÕu f  x, y   x  y  K  x, y  th× V  f    ,  |   K   VÝ dô NÕu f  x, y   x3  y  K  x, y  th× V  f    ,  |   K 1.1.5 Các tính chất tập đại số 1.1.5.1 Bổ đề Cho S1 S hai tập hỵp t ý AKn NÕu S1  S2 th× V  S1   V  S2  Chøng minh Do S1  S2 nªn mäi nghiƯm S1 nghiệm S Điều nµy cã nghÜa lµ V  S1   V S2 1.1.5.2 Định lý Cho S K  x  Gäi I   S iđêan sinh S Khi V I  V S  Chøng minh Do I  S nªn V  I   V  S Đảo lại, V S vµ f  h1 f1    hr f r tổ hợp tuyến tính đa thøc f1, , f r  S th× f    h1   f1      hr   f r    f1      f r Từ ta suy  V  I  Do ®ã V  S   V  I  Suy điều phải chứng minh 1.1.5.3 Bổ đề Hợp hệ hữu hạn tập đại số tập đại số Chứng minh Ta cần chứng minh hợp hai tập đại số tập đại số Cho S1 S hai tập hợp tuỳ ý K  x  Gäi T lµ tập đa thức có dạng fg , với f  S1 vµ g  S2 Ta sÏ chøng minh r»ng V  S1  V  S2   V T  Do mäi nghiƯm cđa hc S1 S2 nghiệm T nên V S1  V  S2   V T  Đảo lại, giả sử nghiệm T Nếu không nghiệm S1 ta cã mét ®a thøc f  S1 cho f    Do f   g    fg    víi mäi g  S2 nªn g    V× vËy, V  S1  V  S2   V T  VËy V  S1  V  S2   V T  Chó ý Hợp tập vô hạn tập đại số không thiết tập đại số Chẳng hạn, tập hợp gồm phần tử a K tập đại số, nh-ng tập thực K có vô hạn phần tử tập đại số 1.1.5.4 Bổ đề Giao hệ tuỳ ý tập đại số tập đại số Chứng minh Cho S i iI hệ tập đa thức K x Đặt S Si iI Ta sÏ chøng minh r»ng V  Si   V  S  iI ThËt vËy, Si  S , i I nên theo Bổ đề 1.1.5.1 ta cã V  Si   V  S  , i  I Suy V  Si   V  S  iI 23 Suy g ph¶i chia hÕt cho g1 g r , cã nghÜa lµ g   h  1.4.8 Mệnh đề IV iđêan Chứng minh Ta cần chứng minh IV IV Dõ ràng IV IV Ng-ợc lại, giả sử f IV Khi ®ã m  N cho f m  IV ®ã  V Suy f  IV V× vËy f m    víi mäi IV  IV Nh- vËy IV IV 1.4.9 Định lý Giả sử K tr-ờng đóng đại số Cho I iđêan tuỳ ý K x V  V  I  Ta cã IV  I Chứnh minh Theo Mệnh đề 1.4.8 I IV Ng-ợc lại, cho f đa thức tuỳ ý IV Ta xét iđêan J   I , xn1 f  1 vµnh ®a thøc K  x1, , xn , xn1  NÕu J  K  x1, , xn , xn1  th× J sÏ cã nghiƯm AKn1 theo định lý nghiệm Hilbert Giả sử a1, , an , an1   AKn1 lµ mét nghiƯm cđa J Đặt a1, , an Ta cã an1 f     vµ  lµ mét nghiƯm cđa I Do  V  I   V vµ f  IV nên f dẫn đến điều vô lý Vậy ta phải cã J  K  x1, , xn , xn1  Do ®ã ta cã thĨ viÕt I  g  h  xn1 f  1 , víi g đa thức nằm iđêan sinh I K  x1, , xn , xn1  Giả sử bậc g theo xn1 d ta coi f d g đa thøc cña x1, , xn , y  xn1 f Do ®ã ta cã thĨ viÕt f d g  u  y  1  v  u  xn1 f  1  v , víi v I Từ suy f f d g  f d h  xn1 f  1   f d h  u   xn1 f v 24 Đẳng thức với giá trị xn1 Vì đa thức f v không chứa biến xn1 nên ta đặt xn1 ta nhận đ-ợc f d v I Suy f f  I Do ®ã IV  I Vậy ta có điều phải chứng minh Ta biết iđêan I K x đ-ợc gọi iđêan nguyên tố từ điều kiện fg I ta suy đ-ợc f I g I Chẳng hạn iđêan iđêan nguyên tố K x ; iđêan h sinh đa thức bất khả quy h iđêan nguyên tố Thậy vậy, fg   h  th× fg  ah víi a  K  x  Do mäi ®a thức phân tích cách thành tích đa thức bất khả quy nên f hay g ph¶i chia hÕt cho h Suy f   h  hay g   h Chú ý iđêan nguyên tố I iđêan f m I ta phải có f I theo định nghĩa iđêan nguyên tố Ta nhận biết tập đại số có bất khả quy hay không thông qua tính chất iđêan liên kết nhờ định lý sau 1.4.10 Định lý Một tập đại số V bất khả quy IV iđêan nguyên tố Chứng minh Giả sử V tập đại số bất khả quy fg IV Đặt I IV , f  vµ J   IV , g  Ta cã V  I  ,V  J   V  IV   V Suy V  I  V  J   V Mặt khác, IJ IV2 IV f  IV g   gf   IV nªn V  I  V  J   V  IJ   V  IV   V V× vËy V V I  V J Do V tập bất khả quy nên V  V  I  hay V  V  J  Suy I  IV hay J I , dẫn đến I IV J IV Điều có nghĩa f IV hay g IV Đảo lại, giả sử IV iđêan nguyên tố Nếu V không tập bất khả quy V V1 V2 với V1 V2 tập đại số thực V Gọi 25 iđêan liên kÕt cđa V1 vµ V2 lµ I1 vµ I Ta cã I1  IV vµ I  V theo Bổ đề 1.1.5.1 I1 IV I  IV Chän f  I1 vµ g  I cho f , g  IV Ta cã fg  I1I Theo Bæ ®Ị 1.1.7, (i) th× V  I1I   V  I1  V  I   V1 V2  V Do ®ã I1I  IV theo Bỉ ®Ị 1.4.4(i) Suy fg  IV Điều vô lý IV iđêan nguyên tố Vậy V phải tập bất khả quy Ví dụ Không gian AKn tập bất khả quy I Kn iđêan nguyên tố 1.4.11 Nhận xét Mối t-ơng ứng tập đại số (t-ơng ứng, tập bất khả quy) iđêan (t-ơng ứng, iđêan nguyên tố) lúc t-ơng ứng 1-1 Thật vậy, iđêan nguyên tố cũng iđêan liên kết IV tập đại số V AKn Để làm rõ nhận xét ta xét ví dụ sau: Ví dụ Ta xét iđêan I   x  1 R  x  Do x  kh«ng cã nghiƯm R nên x phân tích đ-ợc thành tích hai đa thức bậc Suy x đa thức bất khả quy I iđêan nguyên tè NÕu I  IV víi mét tËp V Kn ta phải có V V I Điều vô lí I R I Vậy I iđêan liên kết tập đại số Chú ý Nếu K tr-ờng hữu hạn ta tìm thấy đa thức khác không K x triệt tiêu toàn AKn ThËt vËy, gi¶ sư K  a1, , an Đặt f x1 a1   xn  an  Râ rµng f  vµ f cã tËp nghiƯm lµ toµn bé AKn 26 CHƯƠNG Chiều đa tạp afin Trong ch-ơng này, nghiên cứu độ lớn tập nghiệm hệ ph-ơng trình đa thức đà xét tới Ch-ơng I Nếu không nói khác, K đ-ợc giả sử tr-ờng đóng đại số 2.1 CHIềU KRULL CủA VàNH 2.1.1 Định nghĩa Giả sử R vành giao hoán, có đơn vị ; M R môđun Một iđêan nguyên tố P R đ-ợc gọi iđêan nguyên tố liên kết cđa M nÕu tån t¹i x  M cho: P  AnnR  x   a  R | ax Tập tất iđêan nguyên tố liên kết M đ-ợc ký hiệu AssR M (hoặc AssM ta không để ý đến vành R ) 2.1.2 Ví dụ Giả sử P iđêan nguyên tố vành R Xét vành th-ơng R P nh- R môđun Khi P iđêan nguyên tố liên kết môđun R P ThËt vËy, víi x  x  p  R P , x  R, x  P Ta cã Ann  x   a  R | ax  0  a  R | ax  P  a  R | a  P P Từ chứng minh ta suy P iđêan nguyên tố liên kết môđun R / P Do AssR R / P P 2.1.3 Định nghĩa Cho R vành giao hoán Một dÃy iđêan nguyên tè cña R : P0  P1   Pn đ-ợc gọi xích nguyên tố có độ dài n (i) Cho p iđêan nguyên tố R Chặn độ dài tất xích nguyên tố với Pn P đ-ợc gọi độ cao p , ký hiệu ht( p ) ht( p ) = sup{ độ dài xích nguyên tố với Pn P } (ii) Chặn độ dài tất xích nguyên tố R đ-ợc gọi chiều Krull vành R , ký hiƯu lµ dim R VËy: dim R  supht  p  \ p  specR 27 (iii) Cho M R - môđun Khi dim R / AnnR M đ-ợc gọi chiều Krull R-môđun M ký hiệu dim R M ( dimM ta không để ý đến vành R ) Nh- dim R vô hạn ht p vô hạn vµ dim M  dim R 2.1.4 VÝ dơ Từ dÃy iđêan nguyên tố: x1    x1, x2     x1, , xn  , suy dim  K  x1, , xn   n  dim K 0, dim Từ định nghĩa ta cã hƯ qu¶ sau: 2.1.5 HƯ qu¶ (i) Ký hiệu R tập tất iđêan cực đại R Khi dim R  supdim Rm \ m   R  (ii) Nếu R S I vành th-ơng vành S dim R supdim R / P | P  I , P  specS 2.1.6 Chú ý (i) Cho M R-môđun Khi ®ã dim M  Maxdim R Pi | Pi AssM (ii) Giả sử R vành Noether; I iđêan R Vì R Noether nên theo Định lý phân tích nguyên sơ Lasker, tồn phân tích nguyên sơ thu gọn I lµ I  q1   qn , víi qi pi - nguyên sơ Ass R I   p1, p2 , , pn  Do ®ã, theo (i), ta cã dim  R I   max dim R pi | pi  Ass  R I  (iii) Cho K lµ mét tr-êng; B miền nguyên K -đại số hữu hạn sinh Khi chiều B chiều tr-ờng th-ơng K (B) B K Ngoài ra, iđêan nguyên tố p B th× height p  dim B / p dim B 28 2.2 chiều đa tạp afin Trong Mục 1.1.6, Ch-ơng ta đà trang bị tôpô cho không gian afin AKn tôpô đ-ợc gọi tôpô Zariski 2.2.1 Định nghĩa Tập đóng bất khả quy (với tôpô cảm sinh) AKn đ-ợc gọi đa tạp afin Tập mở đa tạp afin đ-ợc gọi đa tạp giả afin 2.2.2 Định nghĩa Cho X không gian tôpô, ta ®Þnh nghÜa chiỊu cđa X , kÝ hiƯu dim X , cận tất số tự nhiên n cho tồn chuỗi V0 V1 Vn tập đóng bất khả quy phân biệt Chiều đa tạp afin tập đại số chiều xét nh- không gian tôpô Đây khái niệm mở rộng khái niƯm cđa kh«ng gian tun tÝnh Nh- vËy chiỊu cđa tập đại số V I đo độ lớn tập không điểm 2.2.3 Ví dụ Chiều không gian A1 Thật vậy, tập đóng bất khả quy A1 toàn không gian điểm đơn lẻ A1 Chiều tập hữu hạn An Nếu I iđêan đơn thức, chứng tỏ tập đại số V I hợp số hữu hạn không gian afin chiỊu cđa nã lµ sè lín nhÊt sè chiỊu không gian afin Nh- tr-ờng hợp khái niệm chiều (tổ hợp) trùng với chiều hình học giải tích 2.2.4 Định nghĩa Cho V tập đại số AKn Vành th-ơng K x / IV , IV iđêan liên kết V , đ-ợc gọi vành toạ độ tập đại số V , kÝ hiƯu lµ K V  2.2.5 VÝ dơ Cho V    1 , , n  Khi vành tọa độ: K V K  x / IV  K ThËt vËy, ta xác định đồng cấu vành : K x K nh- sau: với đa thức f  K  x : f   x1  1  h1    xn   n  hn  a f , a f K 29 ta xác định f a f Khi toàn cấu vµ   x1  1, , xn   n  IV Suy K V   K x / IV K 2.2.6 Định lý Giả sử V tập đại số không gian afin AKn Khi ®ã, chiỊu cđa V b»ng chiều vành toạ độ K V Chứng minh Gọi IV iđêan liên kết V Do V tập đại số không gian AKn nên tập đóng bất khả quy V t-ơng ứng với iđêan nguyên tố A K x1, , xn  chøa IV , t-¬ng øng víi iđêan nguyên tố K V Vì chiều V độ dài chuỗi dài tập đóng bất khả quy V nên độ dài chuỗi dài iđêan nguyªn tè K V  Suy chiỊu V chiều vành toạ độ K V 2.2.7 Mệnh đề Chiều AKn n Chứng minh Ta có chiều vành đa thức K x1, , xn n , nên theo Mệnh đề 2.1.5 ta suy đ-ợc chiều AKn n 2.2.8 Mệnh đề Nếu Y đa tạp giả afin dimY dimY Chøng minh NÕu Z0  Z1   Zn dÃy tập đóng phân biệt Y th× Z0  Z1   Z n dÃy tập đóng phân biệt Y , nhvËy chóng ta cã dimY  dimY Đặc biệt dim Y hữu hạn nên chọn dÃy cực đại Z0 Z1   Zn , víi n  dimY Thật vậy, tr-ờng hợp Z điểm P th× d·y P  Z0  Z1  Z n dÃy cực đại Nếu P t-ơng ứng tới iđêan cực đại m vành toạ độ A Y Y Z i t-ơng ứng với iđêan nguyên tố đ-ợc chứa m, nh- vËy ht  m   n  Mặt khác, P điểm không gian afin, A Y m K Hơn nữa,   n  dim A Y  dim Y Nh- vậy, dimY dimY 30 2.2.9 Định lý Một đa tạp Y AKn có chiều n  nÕu vµ chØ nÕu nã lµ tËp không điểm V f đa thức bất khả quy khác A K x1, , xn  Chøng minh NÕu f lµ đa thức bất khả quy, thấy đ-ợc V f đa tạp Iđêan sinh iđêan nguyên tố p   f  Do ®ã ht  p   Suy ra, V  f  có chiều n Ng-ợc lại, đa tạp có chiều n t-ơng ứng với iđêan nguyên tố có độ cao Vành đa thức A miền nhân tử hoá nhất, p iđêan đ-ợc sinh đa thøc bÊt kh¶ quy f Nh- vËy Y  V f 2.3 Sự phân tích nguyên sơ iđêan đơn thức vành đa thức 2.3.1 Định nghĩa Cho I iđêan vành đa thức K  x1, , xn  Khi ®ã I đ-ợc gọi iđêan đơn thức I đ-ợc sinh đơn thức 2.3.2 Mệnh đề Giả sử m, n hai đơn thức không chứa biến chung m1, m2 , , mr đơn thức ®ã:  m1, m2 , , mr , mn    m1, m2 , , mr , m  m1, m2 , , mr , n  Chøng minh Bao hàm thức hiển nhiên Bây ta chứng minh bao hàm thức ng-ợc lại "  " Gi¶ sư f   m1, m2 , , mr , m   m1, m2 , , mr , n u đơn thức xt hiƯn biĨu diƠn chÝnh t¾c cđa f Do f   m1, m2 , , mr , m  , vµ f   m1, m2 , , mr , n nên có hai khả xảy ra: (i) Tồn mi i  r  cho u chia hÕt cho mi Khi ®ã ta cã u   m1, m2 , , mr , mn  (ii) u kh«ng chia hÕt cho mi , víi mäi i  1, , r Khi ®ã u chia hÕt cho m n Do m, n nguyên tố nên u chia hết cho mn Từ ta suy u   m1, m2 , , mr , mn  31 Nh- vËy, c¶ hai khả ta có f m1, m2 , , mr , mn  VËy bæ đề đ-ợc chứng minh 2.3.3 Chú ý Cho I iđêan đơn thức vành đa thức K x1, , xn Khi đó: (i) I iđêan nguyên tố I sinh biến; (ii) I iđêan bất khả quy chØ I sinh bëi luü thõa c¸c biÕn; (iii) I iđêan nguyên sơ có tập biến Y cho đơn thức sinh tèi thiĨu cđa I chØ chøa c¸c biÕn Y với x Y Y chứa luỹ thừa x 2.4 Một số ví dụ 2.4.1.Ví dụ Cho V tập đại số AK3 cho iđêan liên kết V lµ IV   x12 , x22 , x1x2 x3   R  K  x1 , x2 , x3 Khi vành tọa độ V lµ K V   K  x1, x2 , x3 IV áp dụng Định lý 2.2.6 ta cã: dimV  dim K  x1, x2 , x3  IV Theo Chó ý 2.1.6, tr-íc hÕt ta t×m Ass K  x1, x2 , x3  IV áp dụng Mệnh đề 2.3.2, ta có IV  x12 , x22 , x1  x ,x ,x  x ,x ,x    x , x   x , x   x , x , x Đặt q x , x  ; q   x , x  ; q   x , x , x  Khi ®ã q , q , q 2 1 2 nguyên sơ với 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 iđêan q1 x1, x2 p1 ; q2   x1, x2   p2 ; q3   x1, x2 , x3   p3 Do I q1 q2 q3 phân tích nguyên sơ iđêan I Chú ý phân tích không thu gọn Đặt q1' q1 q2 x1x2 , x12 , x22  Ta cã q1  q2   x1, x2  q1'   x1 , x2  Khi ®ã I  q1' q3 phân tích thu gọn cđa I Do ®ã AssR  R IV  P1, P3 Đặt A R I V , A R-môđun Theo Chú ý 2.1.6, ta có: 32 dim A  Max dim R P1 ,dim R P3  Max 1,0 1 VËy dim A  Do ®ã dimV  dimV   dim R IV  2.4.2 VÝ dơ Cho V lµ tập đại số AK3 cho iđêan liên kết cđa V lµ IV   x12 , x1x2 , x1x22 x3   R  K  x1, x2 , x3 Khi vành tọa độ V lµ K V   K  x1, x2 , x3 IV áp dụng Định lý 2.2.6 ta cã: dimV  dim K  x1, x2 , x3  IV Theo Chó ý 2.1.6, tr-íc hÕt ta t×m Ass K  x1, x2 , x3  IV áp dụng Mệnh đề 2.3.2, ta có IV   x12 , x1, x1x22 x3  x ,x ,x x x  2 2 x ,x Đặt q x ; q   x , x  Khi ®ã q , q   x1  1 2 2 2 lµ iđêan nguyên sơ với: q1 x1  p1 ; q2   x1, x2   p2 Do IV q1 q2 phân tích nguyên sơ iđêan I Hơn ta có AssR R IV P1, P2 Đặt A R I , A R -môđun Theo Chú ý 2.1.6, ta có: dim A  Max dim R P1 ,dim R P2   Max 2,1 2 VËy dim A  Suy dimV  dimV   dim R IV  2.4.3 VÝ dơ Cho V lµ tËp đại số AK3 cho iđêan liên kết V lµ IV   x1x22 , x2 x3 , x12 x34   R  K  x1, x2 , x3 Khi vành tọa độ V lµ K V   K  x1, x2 , x3 IV áp dụng Định lý 2.2.6 ta cã: 33 dimV  dim K  x1, x2 , x3  IV Theo Chó ý 2.1.6, tr-íc hÕt ta t×m Ass K  x1, x2 , x3 IV áp dụng Mệnh đề 2.3.2, ta có IV   x1x22 , x2 , x12 x34  x x ,x ,x x   x ,x ,x x  x ,x ,x x  x x ,x   x ,x  x ,x x  x x ,x   x ,x  x ,x  x ,x  x ,x  x ,x   x ,x  x ,x  x ,x  x ,x Đặt q x , x  ; q   x , x  ; q   x , x  ; q   x , x  Khi ®ã 1 2 2 2 4 2 2 2 2 2 3 2 3 2 2 2 3 2 2 3 q1, q2 , q3 , q4 iđêan nguyên sơ với: q1 x1 , x2  p1; q2   x2 , x3   p2 q3   x2 , x3   p3 ; q4   x1 , x3   p4 Do ®ã I  q1  q2  q3 q4 phân tích nguyên sơ iđêan I Hơn ta có AssR R IV P1, P2 , P4 Đặt A R I V , A R -môđun Theo Chó ý 2.1.6, ta cã: dim A  Max dim R P1 ,dim R P2 ,dim R P4   Max 1,1,1 1 VËy dim A  Suy dimV  dimV   dim R IV  2.4.4 Ví dụ Cho V tập đại số AK3 cho iđêan liên kết V lµ IV   x13 x24 , x1x33 , x x32 , x12 x22 x3   R  K  x1, x2 , x3  Khi ®ã vành tọa độ V K V K  x1, x2 , x3  IV ¸p dụng Định lý 2.2.6 ta có: dimV dim K  x1, x2 , x3  IV Theo Chó ý 2.1.6, tr-íc hÕt ta t×m Ass K  x1, x2 , x3  IV 34 ¸p dơng MƯnh ®Ò 2.3.2, ta cã: IV   x13 x24 , x1 x33 , x x32 , x12 x22 x3    x1 , x x32    x1 , x    x1 , x    x1 , x    x1 , x    x1 , x    x1 , x  x ,x x ,x x ,x x x  x ,x  x ,x  x ,x x ,x x x  x ,x  x ,x  x ,x x ,x x x  x ,x  x ,x  x ,x x ,x  x ,x x ,x x  x ,x  x ,x  x x ,x  x ,x x  x ,x  x ,x  x ,x  x ,x  x ,x  x ,x  x ,x  x ,x  x ,x  x ,x  x ,x  3 2 2 3 3 3 2 2 3 3 2 3 2 2 3 3 2 3 3 3 2 3 3 3 1 3 3 3 2 3 3 2 2 2 2 2 Đặt: q1 x1, x  , q2   x1 , x32  , q3   x33 , x2  , q4   x13 , x3  , q5   x24 , x3  , q6   x32 , x22 Khi q1, q2 , q3 iđêan nguyên sơ với: q1 x1, x2   p1 ; q2   x1, x3   p2 ; q3   x2 , x3   p3 ; q4   x1, x3   p4 ; q5   x2 , x3   p5 ; q6   x2 , x3   p6 VËy I  q1  q2  q3 q4 q5 q6 phân tích nguyên sơ iđêan I Chú ý phân tích không thu gọn q3  q5  q6   x2 , x3  Đặt: q1' q3 q5 q6  x33 , x2  x ,x  x ,x   x x ,x ,x x ,x  x ,x   x x ,x x ,x x ,x ,x x ,x ,x x ,x x    x x , x x , x x , x , x x , x , x x  Ta cã 3 3 3 2 2 3 3 2 4 3 2 2 3 3 2 2 3 2 2 3 q1'   x2 , x3  Khi ®ã I  q1  q2  q1' lµ mét sù phân tích thu gọn I Hơn ta cã AssR  R I V   P1, P2 , P3 35 Đặt A R I V , A R -môđun Khi ta có: dim A  Max dim R P1 ,dim R P2 dim R P3  Max 1,1,1 1 VËy dim A  Do ®ã dimV  dimV   dim R IV  36 KÕt luËn Tãm l¹i, luËn văn này, đà hoàn thành đ-ợc việc sau: Tìm hiểu khái niệm tập đại số, tập đại số bất khả quy Tìm hiểu khái niệm iđêan liên kết Tìm hiểu mối liên hệ iđêan liên kết tập đại số Tìm hiểu chiều đa tạp afin 37 Tài liƯu tham kh¶o [1] Atiyah, M.F and Macdonal, I.G,(1969) Introduction to Commutative Algebra, Addison - Wesley, Reading, Mass [2] Hartshorne, R.,(1977) Algebraic Geometry, Springer - Verlag, New York Inc [3] Matsumura, H.,(1970) Commutative Algebra, W A Benjamin Co., New York [4] Sharp, R Y.,(1990) Steps in Commutative Algebra, Cambridge University Press [5] Ngô Việt Trung, Bài giảng hình học đại số [6] Lê Tuấn Hoa,(2002) Đại số máy tính sở Grobner; NXB Đại học Quốc gia Hà Nội ... quy (với tôpô cảm sinh) AKn đ-ợc gọi đa tạp afin Tập mở đa tạp afin đ-ợc gọi đa tạp giả afin 2.2.2 Định nghĩa Cho X không gian tôpô, ta định nghĩa chiều cđa X , kÝ hiƯu dim X , lµ cËn tất số... 17 Ch-ơng Chiều đa tạp afin 25 2.1 ChiỊu Krull cđa vµnh 25 2.2 Chiều đa tạp afin 27 2.3 Sự phân tích nguyên sơ iđêan đơn thức vành đa thức 29 2.4... Khi chiều B chiều tr-ờng th-ơng K (B) B K Ngoài ra, iđêan nguyên tố p B height p  dim B / p  dim B 28 2.2 chiều đa tạp afin Trong Mục 1.1.6, Ch-ơng ta đà trang bị tôpô cho không gian afin