Chiều goldie mạnh của môđun và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGÔ THỊ THUỶ CHIỀU GOLDIE MẠNH CỦA MÔĐUN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGÔ THỊ THUỶ CHIỀU GOLDIE MẠNH CỦA MÔĐUN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS.TS NGƠ SỸ TÙNG Nghệ An - 2016 MỤC LỤC Mục lục Mở đầu KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Hạng tử trực tiếp 1.2 Môđun cốt yếu môđun 1.3 Môđun nội xạ 12 CHIỀU GOLDIE MẠNH CỦA MƠĐUN 16 2.1 Chiều Goldie mơđun 16 2.2 Một số tính chất chiều Goldie hữu hạn 18 2.3 Chiều Goldie mạnh môđun 21 2.4 Đặc trưng vành chiều Goldie mạnh 25 Kết luận 28 Tài liệu tham khảo 29 MỞ ĐẦU Trong suốt luận văn này, tác giả giả thiết vành kết hợp có đơn môđun môđun phải unita Cho tập hợp X vành R, linh hóa tử trái X R là: l(X) = {x ∈ R : rx = 0, ∀x ∈ X} Lấy a ∈ R, viết l(a) thay cho l(a) Các linh hóa tử phải định nghĩa tương tự Một R- mơđun M có chiều Goldie n (được viết G.dimM = n) có mơđun cốt yếu V ≤e M tổng trực tiếp n mơđun Mặt khác, khơng có số nguyên n tồn tại, người ta viết G.dimM = +∞ Người ta gọi R- mơđun M có chiều Goldie hữu hạn chiều G.dimM < +∞ Vành R gọi có hữu hạn chiều phải hữu hạn chiều R- môđun phải Các vành có chiều trái định nghĩa tương tự Một R- mơđun M có chiều Goldie mạnh n (được viết SG.dim M = n) sup{G dim(M/N )|N ≤ M } = n Mục đích luận văn dựa vào báo "Strongly Goldie dimension" L.Shen and J.L Chen (2005) xem [5] để tìm hiểu trình bày chiều Goldie chiều Goldie mạnh môđun Cấu trúc luận văn chia thành hai chương : – Chương Trình bày số kiến thức chuẩn bị Các khái niệm đề cập chủ yếu chương môđun cốt yếu, môđun đều, mơđun nội xạ, số tính chất, mệnh đề, định lí, bổ đề – Chương Trên sở xem xét môđun cốt yếu, môđun đều, môđun nội xạ tiếp tục trình bày chiều Goldie môđun chiều Goldie mạnh môđun, đặc trưng vành chiều Golde mạnh, trình bày lại chứng minh định lí, mệnh đề hệ có liên quan Luận văn thực hoàn thành Trường Đại học Vinh gợi ý hướng dẫn nhiệt tình PGS.TS Ngơ Sỹ Tùng Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến Thầy giáo hướng dẫn, người trực tiếp động viên, dìu dắt tận tình, bảo nghiêm túc suốt trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Trong q trình học tập viết luận văn, tác giả nhận giúp đỡ tận tình thầy Bộ mơn Đại số Trường Đại học Vinh Tác giả xin chân thành cảm ơn quý thầy cô khoa Sư phạm Tốn học, Phịng đào tạo Sau đại học Trường Đại học Vinh bạn học viên cao học Toán khoá 22 Trường Đại học Vinh hỗ trợ giúp đỡ tạo điều kiện để tác giả hoàn thành luận văn Nghệ An, tháng 06 năm 2016 Tác giả CÁC KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN A ≤ M : A môđun môđun M A≤e M : A môđun cốt yếu môđun M A ⊆ M : A tập hợp tập M Hom (N, M ): tập tất đồng cấu môđun từ N đến M M /N : môđun thương M N →: phép nhúng φ|A : thu hẹp φ A G.dim M : Chiều Goldie môđun M SG.dim M : Chiều Goldie mạnh môđun M Z:tập số nguyên Q :tập số hữu tỷ : kết thúc chứng minh CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ Trong luận văn này, ta xét vành R vành kết hợp có phần tử đơn vị, kí hiệu 1, tất môđun xét vành R R – môđun phải unita (nếu không nói thêm) 1.1 Hạng tử trực tiếp 1.1.1 Định nghĩa Cho môđun M , môđun A M (A ≤ M ) gọi hạng tử trực tiếp M tồn môđun B M (B ≤ M ) để A ⊕ B = M , ký hiệu A ≤ M 1.1.2 Tính chất Nếu f : M −→ M tự đồng cấu môđun M f = f Imf hạng tử trực tiếp M , cụ thể M = Imf ⊕ kerf 1.2 Môđun cốt yếu môđun 1.2.1 Định nghĩa Cho M R–môđun phải A môđun M Môđun A gọi môđun cốt yếu M, kí hiệu A ≤e M , với môđun X ≤ M, X = A ∩ X = Hay nói cách khác môđun A M gọi môđun cốt yếu với môđun X M thoả mãn A ∩ X = X = Nếu A môđun cốt yếu M M gọi mở rộng cốt yếu A 1.2.2 Định nghĩa Một môđun U gọi môđun (hay uniform) U = A ∩ B = môđun khác khơng A, B U Hay nói cách khác môđun U gọi môđun U = môđun khác U cốt yếu U 1.2.3 Ví dụ Mọi mơđun M có M ≤e M Z-mơđun Z mơđun vì: Lấy A = mZ ≤ Z, m = A = kZ ≤ Z, k = Khi đó: = m.k ∈ mZ ∩ kZ Z-mơđun Q mơđun vì: ∗ Lấy = A, B ≤ Q ⇒ ∃ ab ∈ A, m n ∈ B(a, b, m, n ∈ Z ) Ta có: am = bm ab ∈ A; am = an m n ∈ B Khi đó: = am ∈ A ∩ B Mọi môđun khác không môđun 1.2.4 Mệnh đề Cho M R-mơđun Khi ta có: (1) A≤e M A ∩ xR = 0, ∀x ∈ M, x = (2) Cho A ≤ B ≤ M A≤e M A≤e B B≤e M i=n i=n Ai ≤ (3) Nếu Ai ≤e Bi , i = 1, n Ai , Bi ≤ M i=1 Bi i=1 i=n Đặc biệt, Ai ≤e M Ai ≤e M i=1 (4) Cho A ≤ B ≤ M Nếu B/A≤e M /A B≤e M (5) Nếuf : M → N đồng cấu mơđun A≤e N f −1 (A)≤e M (6) Cho M = Mi , A = ⊕ Ai Ai , Mi môđun M, i∈I i∈I Ai ≤e Mi , ∀i ∈ I Khi tồn ⊕ Mi ⊕Ai ≤e ⊕ Mi i∈I i∈I Chứng minh (1) Giả sử A≤e M với = x ∈ M ⇒ xR = 0; xR = M hiển nhiên A ∩ xR = (theo định nghĩa) Ngược lại, A∩xR = 0, ∀x ∈ M, x = Khi giả sử = X ≤ M Mà X ∩ A = Do X = ⇒ ∃x ∈ X, X = 21 ta có: = (X ∩ A) ⊃ xR ∩ A = (vô lý) Vậy X ∩ A = hay A≤e M (2) Giả sử A≤e M Lấy = X ≤ B ⇒ X ≤ M ⇒ X ∩ A = (doA≤e M ) suy A≤e B Lấy = X ≤ M ⇒ X ∩ A = ⇒ X ∩ B = (vì A ≤ B) suy B≤e M Ngược lại, giả sử A≤e M Lấy = X ≤ M B≤e M ⇒ X ∩ B = (X ∩ B) ≤ B A≤e B(X ∩ B) ∩ A = ⇒ A≤e M n (3) Lấy = X ≤ i=1 n Do X ∩ Bi ⇒ X ≤ Bi mà Ai ≤e Bi ⇒ X ∩ Ai = n i=1 n Ai ≤ Ai = hay i=1 Bi i=1 (4) Lấy = X ≤ M Giả sử X ∩ B = suy tồn X ⊕ B Ta có (X ⊕ A)/A ≤ M/A Do B/A≤e M/A nên ((X ⊕ A)/A) ∩ (B/A) = Suy tồn x + a + A = b + A ⇒ b + a (a ∈ A) Vô lý Vậy X ∩ B = ⇒ B≤e M (5) Lấy = X ≤ M Nếu f (X) = ⇒ X ⊂ f −1 (A) ⇒ X ∩ f −1 (A) = X = Nếu f (X) = Vì A≤e N ⇒ A ∩ f (X) = Do tồn a = 0, a ∈ A a ∈ f (X) ⇒ a = f (x) với x ∈ X, x = Suy x = f (a) ⇒ x ∈ f (A) ⇒ X ∩ f −1 (A) = Vậy f −1 (A)≤e M (6) Trước hết ta chứng minh cho trường hợp I hữu hạn Dùng quy nạp, xét với n = 2, ta có: M = M + M 2, A1 ≤e M1 , A2 ≤e M2 tồn A1 ⊕ A2 Theo (3) ta có (A1 ∩ A2 )≤e (M1 ∩ M2 ) hay 0≤e (M1 ∩ M2 ) ⇒ M1 ∩ M2 = Do tồn tổng M1 ⊕ M2 : M1 ⊕ M2 →M1 Xét phép chiếu: : M1 ⊕ M2 →M2 −1 Do A1 ≤e M1 ⇒ (A1 )≤e (M1 ∩ M2 ) (theo 5) Nhưng −1 (A1 ) = A1 ⊕ M2 ⇒ (A1 ⊕ M2 )≤e (M1 ∩ M2 ) (1) Do A2 ≤e M2 ⇒ −1 (A2 )≤e (M1 ∩ M2 ) ⇒ (A2 ⊕ M2 )≤e (M1 ∩ M2 ) (2) Lấy giao vế (1) (2) ta có: ⇒ (A1 ⊕ M2 ) ∩ (A2 ⊕ M2 )≤e (M1 ∩ M2 ) ⇒ (A1 ⊕ A2 )≤e (M1 ∩ M2 ) Bây ta chứng minh cho trường hợp I vô hạn Lấy x ∈ Mi ta biểu diễn x = Xi , i ∈ F với F hữu hạn thuộc i∈I I, theo trường hợp tồn ⊕ Mi biểu diễn i∈F Tiếp theo lấy = X ⊂ ⊕ Mi i∈I ⇒ ∃0 = x ∈ X mà x ∈ ⊕ Mi , ⊕ Ai ≤e ⊕ Mi (với F hữu hạn thuộc I) i∈I i∈I i∈I 10 ⇒ xR ∩ ⊕ Ai = ⇒ X ∩ ⊕ Ai = i∈I i∈I Vậy ⊕ Ai ≤e ⊕ Mi i∈I i∈I 1.2.5 Định nghĩa Cho M R-môđun Môđun N gọi đóng M N khơng có mở rộng cốt yếu thực M Nói khác N gọi đóng M với môđun K M mà N ≤e K K = N (tức N ≤e K ≤ M ⇒ K = N ) Môđun K M gọi bao đóng mơđun N M K môđun tối đại M cho N cốt yếu K Môđun K M gọi phần bù môđun B M K môđun tối đại số môđun M có giao với B khơng, K gọi phần bù M K phần bù mơđun M 1.2.6 Mệnh đề Bao đóng mơđun N M tồn 1.2.7 Hệ i) Nếu N mơđun đóng M hạng tử trực tiếp N đóng M ii) Nếu N mơđun đóng hạng tử trực tiếp M N đóng M iii) Nếu N mơđun đóng X X đóng M N mơđun đóng M 1.2.8 Bổ đề Cho ϕ : N → M đẳng cấu môđun R Khi mơđun L N cốt yếu N ϕ(L) cốt yếu M Chứng minh (⇒) Cho L≤e N ∀X ≤ M cho ϕ (L) ∩ X = Suy ra: L ∩ ϕ−1 (X) = ϕ−1 (ϕ (L) ∩ X) = ϕ−1 (0) = Do L≤e N nên ϕ−1 (X) = ⇒ X = (ϕ đẳng cấu) Vậy ϕ (L) ≤e M (⇐) Cho φ (L) ≤e M , ∀Y ≤ N cho L ∩ Y = Do ϕ đẳng cấu ⇒ ϕ−1 (ϕ (L) ϕ (Y )) = ϕ−1 (ϕ (L)) ϕ−1 (ϕ (Y )) = L ∩ Y = ⇒ ϕ (L) ∩ ϕ (Y ) = Do ϕ (L) ≤e M nên ϕ (Y ) = ⇒ Y = Vậy L≤e N 15 (⇐) Giả sử có ϕ (N ) ≤ M với ϕ ∈ Hom (N, E (M )) Lấy X ≤ N f : X → M đồng cấu Vì E(M ) nội xạ, nên f mở rộng thành đồng cấu ϕ : N → E (M ) Theo giả thuyết ϕ (N ) ≤ M Vậy f : X → M mở rộng thành đồng cấu ϕ : N → M hay M N-nội xạ 1.3.7 Bổ đề Cho M1 M2 môđun M = M1 ⊕ M2 Thế thì, M2 M1 -nội xạ với môđun N M mà N ∩ M2 = tồn môđun K M cho M = K ⊕ M2 vàN ≤ K Chứng minh (⇒) Giả sử M2 M1 -nội xạ với môđun N M mà N ∩M2 = Gọi πi : M → Mi (i = 1, 2) phép chiếu Đặt α = π1 |N β = π2 |N Vì N ∩ M2 = nên α đơn cấu M2 M1 -nội xạ nên tồn đồng cấu ϕ : M1 → M2 cho ϕα = β Lấy K = { m1 + ϕ (m1 ) : m1 ∈ M1 } Với n ∈ N n = m1 + m2 Ta có ϕα (n) = β (n) hay ϕ (m1 ) = m2 , từ ta suy n = m1 + ϕ (m1 ) ∈ K Do N ≤ K Nếu có m1 ∈ M1 m2 ∈ M2 cho m1 + ϕ (m1 ) = m2 thìm1 = m2 − ϕ (m1 ) ∈ M2 , nên m1 = m2 = Như K ∩ M2 = Mặt khác ∀m ∈ M, m = m1 + m2 = m1 + ϕ (m1 ) + m2 − ϕ (m1 ) ∈ K ⊕ M2 Vậy M = K ⊕ M2 (⇐) Giả sử với môđun N M mà N ∩ M2 = tồn môđun K M cho M = K ⊕ M2 N ≤ K Lấy X môđun M1 f : X → M2 đồng cấu Đặt H = { x − f (x) : x ∈ X} Khi H môđun M hiển nhiên H ∩ M2 = Theo giả thiết, tồn môđun H M cho M = H ⊕ M2 H ≤ H Lấy π : M = H ⊕ M2 → M2 phép chiếu Đặt g = π|M1 , ∀x ∈ X thì: g (x) = π (x) = π (x − f (x) + f (x)) = f (x) Vậy, g mở rộng f , hay M2 M1 -nội xạ 16 CHƯƠNG CHIỀU GOLDIE MẠNH CỦA MÔĐUN 2.1 Chiều Goldie môđun 2.1.1 Định nghĩa Một môđun M vành R gọi có chiều Goldie (hay chiều đều) hữu hạn không tồn tổng trực tiếp vô hạn môđun khác không M Ngược lại, ta nói M có chiều Goldie (hay chiều đều) vơ hạn 2.1.2 Mệnh đề Nếu M môđun khác không, không chứa tổng trực tiếp vô hạn môđun khác khơng, M chứa mơđun Chứng minh - Nếu M môđun đều: chứng minh xong - Nếu M khơng mơđun Khi tồn = U1 , U ⊂ M mà U1 ∩ U = suy (U1 ⊕ U ) ⊂ M + Nếu U1 môđun đều: chứng minh xong + Nếu U1 không môđun đều: Khi tồn V1 , V2 ⊂ U1 , V1 , V2 = Mà V1 ∩ V2 = suy (V1 ⊕ V2 ) ⊂ U1 suy tồn (V1 ⊕ V2 ⊕ U ) ⊂ M Q trình tiếp tục, M khơng chứa tổng trực tiếp vô hạn môđun khác khơng, nên q trình phải dừng lại sau hữu hạn bước Vậy tồn môđun Uk 2.1.3 Mệnh đề Cho mơđun M khác khơng có tính chất mơđun chứa mơđun Thế tồn môđun A tổng trực tiếp môđun A môđun cốt yếu M Chứng minh Gọi T = ⊕ Ui |Ui i∈I đều, với Ui ⊂ M, ∀i ∈ I 17 Xác định quan hệ thứ tự ⊕ Ui ⊆ ⊕ Vj ⇔ I ⊆ J Vi = Ui , ∀i ∈ I i∈I j∈J Theo giả thiết M chứa môđun U suy có ⊕ U với |I| = ⇒ S = Ta có ⊕ UI = U ⊆ U ⊆ ⊆ U n ⊆ suy i∈I I ∞ U k ∈ T cận k=1 Theo Bổ đề Zorn, T tồn phần tử tối đại A = ⊕ Ui ta i∈I có A≤e M A khơng môđun cốt yếu M suy tồn B ⊂ M, B = mà A ∩ B = Theo giả thiết A chứa môđun V, suy A ∩ V = suy tồn A = A ⊕ V mà A ⊂ A , A = A , mâu thuẫn với tính tối đại A Vậy A≤e M 2.1.4 Bổ đề Giả sử M môđun chứa môđun cốt yếu dạng Ui , Ui mơđun ∀i ∈ I Khi mơđun N M cốt yếu M N ∩ Ui = 0, ∀i ∈ I Chứng minh Giả sử N ≤e M suy N ∩ X = với X ⊂ M, X = suy N ∩ Ui = 0, ∀i ∈ I Ngược lại, giả sử N ⊂ M, N ∩ Ui = 0, ∀i ∈ I Đặt Ni = N ∩ Ui , theo giả thiết Ni = 0, ∀i ∈ I Vì Ui mơđun suy Ni ≤e Ui , ∀i ∈ I Do có ⊕ Ui , mà Ni ⊆ i∈I Ui , ∀i ∈ I nên tồn tổng trực tiếp ⊕ Ni ⊕ Ni ≤e ⊕ Ui (theo mệnh đề i∈I i∈I i∈I 1.1.4) Theo giả thiết ⊕ Ui ≤e M ta có ⊕ Ni ≤e ⊕ Ui ≤e M từ suy i∈I i∈I i∈I ⊕ Ni ≤e M (∗) i∈I Mặt khác, Ni ⊂ N, ∀i ∈ I, Ni ⊂ N ⊂ M Vì N ≤e M ( N khơng mơđun cốt yếu M suy tồn K = 0, K ⊂ M mà N ∩ K = suy K ∩ ⊕ Ni = Mâu thuẫn với (∗) i∈I 2.1.5 Định lí Cho mơđun M, tồn môđun Ui đều, ∀i = 1, 2, 3, n ⊕ Ui ≤e M thì: i∈I i) Mọi tổng trực tiếp môđun khác không M có nhiều n hạng tử 18 ii) Nếu tồn môđun Vi đều, ∀i = 1, 2, 3, k V1 ⊕ ⊕ Vk ≤e M n = k Chứng minh i) Giả sử tồn A1 ⊕ ⊕ An+1 M Ta chứng minh An+1 = Do A1 ∩ (A2 ⊕ ⊕ An+1 ) = dẫn đến A2 ⊕ ⊕ An+1 không môđun cốt yếu M Theo Bổ đề 2.1.4 ta có: ∃Ui , ≤ i ≤ n để Ui ∩ (A2 ⊕ ⊕ An+1 ) = Không tính tổng qt, giả sử i = ta có U1 ∩ (A2 ⊕ ⊕ An+1 ) = suy tồn U1 ⊕ A2 ⊕ ⊕ An+1 Tiếp tục ta có (U1 ⊕ A3 ⊕ ⊕ An+1 ) ∩ U2 = suy U1 ⊕ A3 ⊕ ⊕ An+1 không môđun cốt yếu M Do tồn U2 để (U1 ⊕ A2 ⊕ ⊕ An+1 ) ∩ U2 = suy tồn U1 ⊕ U2 ⊕ A3 ⊕ ⊕ An+1 Do U1 ⊕ U2 ⊕ U3 ⊕ ⊕ Un cốt yếu M suy An+1 = ii) Theo i) ta có k ≤ n n ≤ k suy n = k (do vai trò hai tổng n n i=1 i=1 trực tiếp ⊕ Ui ⊕ Vi nhau) Từ Định lý 2.1.5 ta rút số tự nhiên n mà U1 ⊕ U2 ⊕ U3 ⊕ ⊕ Un cốt yếu M, Ui với ∀i = 1, 2, 3, , n số bất biến ta có định nghĩa sau: 2.1.6 Định nghĩa Ta gọi S dim M = n tồn tổng trực tiếp hữu hạn U1 ⊕ U2 ⊕ U3 ⊕ ⊕ Un ≤e M , với môđun Ui đều, ∀i = 1, 2, 3, , n n gọi chiều Goldie (chiều đều) mơđun Tóm lại, R-mơđun M có chiều Goldie n, kí hiệu G.dimM = n có mơđun cốt yếu V ≤e M tổng trực tiếp n môđun Mặt khác, khơng có số ngun n tồn tại, người ta viết G.dimM = +∞ Người ta gọi R-môđun M có chiều Goldie hữu hạn G.dimM < +∞ Vành R gọi có hữu hạn chiều phải hữu hạn chiều R-mơđun phải Các vành có chiều trái định nghĩa tương tự 2.2 Một số tính chất chiều Goldie hữu hạn 2.2.1 Mệnh đề 19 i) Nếu S dim M < ∞ dim A < ∞ với A môđun M ii) Nếu A, B môđun M tồn A ⊕ B với S dim(A ⊕ B) < ∞ S dim(A ⊕ B) = S dim A + S dim B Chứng minh i) Giả sử A chứa tổng trực tiếp vô hạn môđun khác không Do A ⊂ M nên suy M chứa tổng trực tiếp vơ hạn mơđun khác khơng Vậy M có chiều Goldie vô hạn Điều mâu thuẫn với giả thiết S.dimM < ∞ Vậy A không chứa tổng trực tiếp vô hạn môđun khác không hay S.dimA < ∞, với A môđun M ii) Do A, B ⊂ (A ⊕ B), theo giả thiết S dim(A ⊕ B) < ∞, nên theo i) S dim A < ∞, S dim B < ∞ Đặt S dim A = n, S dim B = m Do n m A tồn ⊕ Ui ≤e A B tồn ⊕ Vj ≤e B với Ui , Vj đều, i=1 j=1 ∀i = 1, 2, 3, , n, ∀j = 1, 2, 3, , m Do tồn A ⊕ B ⇒ Ui ∩ Vj = với ∀i, j, ≤ i ≤ n, ≤ j ≤ m ⇒U = n n ⊕ Ui ⊕ ⊕ Vj i=1 j=1 ta cóU ≤e A ⊕ B (theo mệnh đề 1.1.4) Vậy §.dim(A ⊕ B) = n + m = S dim A + S dim B 2.2.2 Bổ đề Nếu A môđun cốt yếu M S dim A = S dim M Chứng minh n Giả sử S dim M = n ⇒ ⊕ Ui ≤e M , với Ui môđun với i=1 ∀i = 1, 2, 3, , n Do A ≤e M theo Định lý 2.25 ta có A ∩ Ui = 0, ∀i = 1, 2, 3, , n n Đặt Ai = A ∩ Ui , Ui nên Ai ∀i = 1, 2, 3, , n có ⊕ Ui n n i=1 i=1 i=1 nên tồn ⊕ Ai ⊕ Ai ≤e A Vậy S dim A = n, từ S dim A = S dim M 2.2.3 Mệnh đề Cho K, M, L R-môđun Nếu h : K → M đồng cấu L≤e M h−1 (L) ≤e K 2.2.4 Hệ Cho K môđun môđun M π : M → M/K tồn cấu tắc Nếu π (S) ≤e π (M ) S + K≤e M 20 2.2.5 Chú ý Điều ngược lại hệ khơng Điều có nghĩa tồn môđun M, hai môđun S K M thỏa mãn S ≤e M π(S) không cốt yếu M/K với π ánh xạ tắc từ M vào M/K 2.2.6 Ví dụ Lấy M = Z nhóm số nguyên, R = Z vành số nguyên, S = 2Z, K = 6Z M môđun R, hai môđun S K thỏa mãn S ≤ M π(S) = π(2Z) = 2Z/6Z = , , không cốt yếu M/K = Z6 = {¯0, ¯3} ⊕ {¯0, ¯2, ¯4} 2.2.7 Định lí M có chiều Goldie hữu hạn K1 , K2 hai môđun M thỏa mãn K = K1 ∩ K2 có phần bù K Khi đó: S dim K1 + S dim K2 = S dim (K1 + K2 ) + S dim (K1 ∩ K2 ) Chứng minh Cho A phần bù K K1 B phần bù K K2 A ⊕ K≤e K1 B ⊕ K≤e K2 ⇒ (A + K)/K≤e K1 /K (B + K)/K≤e K2 /K Bây (K1 /K) ∩ (K2 /K) = K 1K∩K2 = (0) +K2 Ta có: (A + B + K)/K = (A + K)/K ⊕ (B + K)/K≤e KK1 ⊕ KK2 = K1K ⇒ (A + B + K)/K≤e (K1 + K2 )/K ⇒ A + B + K ≤e K1 + K2 (theo Hệ 2.27.4.) ⇒ S dim (A + B + K) = S dim (K1 + K2 ) Bây ta kiểm tra tổng A + B + K tổng trực tiếp Cho a + b + k = với a ∈ A, b ∈ B, k ∈ K Kéo theo b = −a − k ∈ K1 ∩ K2 = K Khi b ∈ B ∩ K = 0, b = Lúc a ∈ A ∩ K = 0, a = k = Vì vậy, tổng A + B + K tổng trực tiếp Khi A ⊕ B ⊕ K≤e K1 + K2 , ta có: S dim (K1 + K2 ) = S dim (A ⊕ B ⊕ K) S dim (K1 + K2 ) = S dim A + S dim B + S dim K S dim (K1 + K2 ) = (S dim K1 − S dim K) + (S dim K2 − S dim K) + S dim K S dim (K1 + K2 ) = S dim K1 + S dim K2 − S dim K S dim (K1 + K2 ) = S dim K1 + S dim K2 − S dim (K1 ∩ K2 ) 2.2.8 Bổ đề Mọi mơđun khác khơng có chiều Goldie hữu hạn chứa môđun 21 Chứng minh Giả sử ngược lại rằng, M không chứa môđun Cụ thể, M khơng tồn mơđun khác không K1 , L1 M cho K1 ∩ L2 = Khi K1 khơng mơđun nên tồn môđun khác không K2 , L2 K1 cho K2 ∩ L2 = Ta lại có K2 khơng mơđun nên ta tiếp tục phân tích dẫn đến M chứa tổng trực tiếp vô hạn L1 ⊕ L2 môđun khác không M Suy M có chiều Goldie vơ hạn Điều mâu thuẫn với giả thiết M có chiều Goldie hữu hạn Vậy M chứa môđun 2.2.9 Hệ Mọi mơđun có chiều Goldie hữu hạn ln chứa mơđun tối đại Chứng minh Đặt F = {U ⊆ M } cho U môđun Trong F xác định quan hệ thứ tự bao hàm F = ∅ (vì U ∈ F ) xích tăng F có phần tử lớn Do theo Bổ đề Zorn, F có phần tử tối đại m chứa môđun tối đại 2.3 Chiều Goldie mạnh môđun 2.3.1 Định nghĩa Một R-mơđun M có chiều Goldie mạnh n, kí hiệu SG dim M = n, Sup {G dim (M/N |N ≤ M )} = n.M M gọi chiều mạnh hữu hạn SG dim M < +∞ Vành R gọi có chiều Goldie mạnh phải hữu hạn có chiều mạnh hữu hạn R- mơđun phải Các vành có chiều trái mạnh hữu hạn định nghĩa tương tự 2.3.2 Ví dụ Nếu vành R có chiều Goldie mạnh phải hữu hạn có chiều Goldie phải hữu hạn Nhưng chiều ngược lại không đúng, R vành noether giao hoán Chứng minh R có chiều Goldie mạnh hữu hạn phải R có chiều Goldie hữu hạn phải Điều ngược lại khơng đúng, ví dụ lấy R = Z, R vành noether giao hốn Nhưng khơng hữu hạn chiều mạnh Vì idean Z có mk dạng nZ với n = pm pk Kí hiệu Zl = Z/lZ, l số nguyên dương mk Khi dễ thấy Zn ≈ Zm p1 ⊕ ⊕ Zpk điều có nghĩa G.dimZ ≥ k Khi với n tùy ý G.dimZ = +∞ 22 2.3.3 Mệnh đề Nếu N mơđun thương M, SG dim N ≤ SG.dimM 2.3.4 Bổ đề Cho −→ A −→ B −→ C −→ dãy khớp mơđun, G dim B ≤ G dim A + G dim C 2.3.5 Mệnh đề Cho −→ A −→ B −→ C −→ dãy khớp mơđun, SG dim B ≤ SG dim A + SG dim C Chứng minh Lấy K ≤ B, theo bổ đề thì: B/K B G dim K ≤ G dim A+K K + G dim (A+K)/K A B = G dim A∩K + G dim A+K ≤ SG dim A + SG dim B A = SG dim A + SG dim C Với K tùy ý, ta có SG dim B ≤ SG dim A + SG dim C 2.3.6 Hệ SG dim(A + B) ≤ SG dim A + SG dim B Chứng minh Khi −→ A −→ A + B −→ B/A ∩ B −→ dãy khớp, theo mệnh đề ta có: B SG dim (A + B) ≤ SG dim A + SG dim A∩B ≤ SG dim A + SG dim B 2.3.7 Hệ SG dim (M1 ⊕ M2 ⊕ ⊕ Mn ) = SG dim M1 + SG dim M2 + + SG dim Mn Chứng minh Ta cần chứng minh với n = 2, trường hợp khác tương tự Với môđun thương Ki Mi , với i = 1, Dễ thấy K1 ⊕ K2 môđun thương củaM1 ⊕ M2 Khi theo định nghĩa: SG dim M1 + SG dim M2 ≤ SG dim (M1 ⊕ M2 ) Mặt khác, SG dim M1 + SG dim M2 ≥ SG dim (M1 ⊕ M2 ) theo Hệ 2.2.6 2.3.8 Chú ý Một môđun khác không gọi môđun khác không môđun cốt yếu Một môđun gọi môđun dãy mơđun cấp tuyến tính cho phép lồng Dễ thấy mơđun dãy Nhưng điều ngược lại khơng Ví dụ, xem Z Z-mơđun, Z khơng dãy Vành R gọi thứ tự phải RR tổng trực tiếp môđun dãy 23 2.3.9 Hệ Nếu R thứ tự phải, R có chiều hữu hạn phải mạnh SG dim RR = G dim RR 2.3.10 Chú ý Khi vành artin phải mà không thứ tự phải, vành hữu hạn chiều mạnh không thứ tự phải Dễ thấy SG dim M ≥ với môđun M khác Nếu SG dim M = 1, ta có: 2.3.11 Định lí Các phát biểu sau tương đương R- môđun M: (1)SG dim M = (2) M môđun dãy (3) Mọi môđun thương khác không M Chứng minh Dễ thấy mơđun thương mơđun dãy dãy Do (2) ⇒ (3) ⇒ (1) Bây giả sử ta có (1), M khơng phải dãy, tồn hai môđun khác A B M , với A không B A A∩B B B không tập A Khi rõ ràng A∩B M A B M mơđun khác khơng A∩B Do đó, có phép nhúng: A∩B ⊕ A∩B → A∩B , điều có nghĩa SG dim M ≥ 2, mâu thuẫn 2.3.12 Ví dụ Một mơđun M chiều mạnh hữu hạn khơng phải noether, cho dù SG dim M = Chứng minh Ví dụ cho p số nguyên tố Khi M = {a/pn ∈ Q|a ∈ Z, n ∈ N} nhóm cộng Q với nhóm Z Có nghĩa nhóm thành ∞ phần M/Z cho Z∞ p Rõ ràng nhóm Zp cyclic cho 1/pn với n tùy ý, điều có nghĩa Z∞ p dãy noether Z-môđun Một môđun M chiều mạnh hữu hạn khơng artin, cho dù SG.dim M = Ví dụ lấy Z[i] vành số nguyên Gauss, V = Z[i](2−i) địa phương hóa idean nguyên tố sinh − i, σ kết hợp phức R vành chuỗi lũy thừa đối xứng lệch: R = α0 + xα1 + x2 α2 + /α0 ∈ V,αj ∈ [i], j ≥ phép nhân cho quy tắc αx = xσ(α) Khi R dãy khơng phải artinian 24 Cho M R-môđun {Kλ }∧ họ môđun thật M {Kλ }∧ gọi họ đối độc lập với λ ∈ ∧ tập hữu hạn I ⊆ ∧/{λ}Kλ + ∩i∈I Ki = M (nếu I tập rỗng, tập ∩i∈I Ki = M Vì SG.dimM = n ≥ 2, ta có: 2.3.13 Định lí Với M R- mơđun mệnh đề sau tương đương: (1) SG.dimM = n (2) Sup { |A|/{A} họ đối độc lập môđun N mà N mơđun thương M} = n Chứng minh (1) ⇒ (2) Giả sử tồn môđun khác không K môđun thương M họ đối độc lập {Ki , ≤ i ≤ m} K cho m ≥ n + Khi ta có phép nhúng tắc f: K → KK1 ⊕ ⊕ KKm vớif (k + ∩m i=1 Ki ) ∩m i=1 Ki = (k + K1 , , k + Km ) , ∀k ∈ K Bây ta đặt Ni = ∩j=i Kj ≤ i ≤ m Khi theo định nghĩa họ đối độc lập, Ki + Ni = K, ≤ i ≤ m Vì i, f (Ni ) khác không f (Ni ) = (0, , x + K i , , 0) x ∈ Ni Do đó, f (N1 )+ +f (Nm ) tổng trực tiếp Khi f lồi, G dim ∩mKKi ≥ i=1 m điều G dim M ∩m i=1 Ki ≥ m > n, mâu thuẫn (2) ⇒ 1) Nếu SG.dimM > n, tồn mơđun thương khác khơng N M với họ {Ki , ≤ i ≤ m > n} môđun độc lập N Bây lấy Ni = k=i Ki , ≤ i ≤ m Rõ ràng {Ni , ≤ i ≤ m} họ đối độc lập Ki mâu thuẫn Vì SG.dimM ≤ n Với giả thiết, tồn mơđun A khác khơng, điều có nghĩa có mơđun mơđun thương B M Và A có họ đối độc lập {Ai , ≤ i ≤ n} môđun thật B Do theo cách xây dựng chứng minh từ (1) ⇒ (2), G dim ∩nA Ai ≥ n i=1 Vì SG dim M ≥ G dim ∩nB Ai ≥ G dim ∩nA Ai ≥ n i=1 i=1 Vậy SG.dimM = n 2.3.14 Bổ đề Nếu m mơđun có độ dài hữu hạn M = N0 > N1 > Np = chuỗi môđun m có chuỗi cấu trúc cho M mà có số hạng bao gồm N0 > N1 > Np = 25 2.3.15 Bổ đề Nếu M mơđun có độ dài hữu hạn SG dim M ≤ c(M ) N nửa vành đơn giản 2.3.16 Mệnh đề Nếu M mơđun có độ dài hữu hạn SG.dimM ≤ c(M ) SG.dim M = c(M ) < +∞ M nửa vành đơn giản Chứng minh Với môđun thương N M, c(N ) ≤ c(M ) theo Bổ đề 2.3.14 Vì theo Bổ đề 2.3.15, SG.dimM ≤ c(M ) Nếu M mơđun nửa vành đơn giản dễ dàng chứng minh SG.dimM = c(M ) < +∞ Ngược lại, S SG.dimM = c(M ) < +∞ tồn môđun thương N0 M cho G.dimN0 =SG.dim M= c(M ) Nhưng theo Bổ đề 2.3.14, c(N0 ) < c(M ) N0 không đẳng cấu với M Vì N0 phải đẳng cấu với M nên G.dim N0 = c(N0 ) Do đó, M đẳng cấu với N0 Một vành R gọi nửa vành artin phải R- mơđun phải có sở cốt yếu 2.4 Đặc trưng vành chiều Goldie mạnh 2.4.1 Định lí Một vành R artin phải R nửa vành artin phải có sở hữu hạn phải mạnh Chứng minh Nếu R artin phải nửa artin phải vành artin phải vành noether phải, RR có độ dài hữu hạn theo (1, mệnh đề 1.11) Theo mệnh đề trên, R có sở hữu hạn mạnh Mặt khác, R nửa vành artin phải có sở hữu hạn mạnh R-modun phải xiclic sinh hữu hạn phần tử Vì R artin phải theo Bổ đề lamor 2.4.2 Chú ý Từ Ví dụ 2.12 thấy điều kiện nửa vành atin phải điều kiện cần định lý 2.4.3 Ví dụ Tồn vành có sở hữu hạn phải mạnh mà khơng có sở trái mạnh phía vành artin nửa vành artin trái phải Theo Định lý 2.15 cần tìm vành artin phải mà artin trái 2.4.4 Định nghĩa Một vành R gọi F nội xạ phải với R-homorphism từ iean phải xây dựng cách hữu hạn tới RR mở rộng từ RR đến RR 26 R gọi FP-nội xạ phải với R-modun F tự phải R-modun N F sinh hữu hạn phân tử, R-homorphism f : N −→ R mở rộng tới R-homorphism g : F −→ R 2.4.5 Ví dụ Dễ thấy vành nội xạ FP- nội xạ phải vành F-nội xạ phải chưa biết vành F-nội xạ phải có phải FP-nội xạ phải hay không Vành F-nội xạ trái vành Fp-nội xạ trái định nghĩa tương tự 2.4.6 Bổ đề Một vành R vành F-nội xạ trái thỏa mãn điều kiện sau: (1) r(T ∩ T ) = r(T ) + r(T ) với idean trái T xây dựng hữu hạn T’ R (2) rl(a) với a thuộc R 2.4.7 Định lí Nếu R vành F-nội xạ trái có sở hữu hạn phải mạnh R sở hữu hạn trái Chứng minh Nếu R không sở hữu hạn trái tồn ∈ R, i = ∞ 1, 2, , cho Rai tổng trực tiếp Vì R F-nơi xạ trái theo bổ i=1 đề với số nguyên m tập hữu hạn I ⊂ N\m, R = r(0) = r(Ram ∩ i∈I Rai ) = r(am ) + r( i∈I Rai ) = r(am ) + ∩i∈I r(ai ) Ngoài ta dễ thấy r(i) = r(j), i = j Vì {r(ai ), i = 1, 2, 3, } tổ hợp độc lập RR Do theo Định lý 2.13, SG.dim(RR ) = +∞ mâu thuẫn 2.4.8 Định lí Giả thuyết Faith-Menal R có sở hữu hạn phải mạnh Chứng minh Vì R vành Jonns phải mạnh nên R FP-nội xạ trái Vì R sở hữu hạn trái theo định lý Vì R QF theo Hệ 1.3 2.4.9 Định lí R F-nội xạ phải nửa vành địa phương R có sở hữu hạn phải Chứng minh Nếu R nửa vành địa phương theo (7, Định lý 1.3, Hệ 3.2) RR không chứa tổ hợp độc lập vô hạn modun Khi theo chứng minh Định lý 3.2 ta có R có sở phải Ngược lại, R F-nội xạ phải nên R C2 phải (mọi iđêan phải cốt yếu 27 tổng trực tiếp RR ) theo (7, Mệnh đề 5.10) Vì R nửa vành địa phương, theo (8, Hệ C.3) 28 KẾT LUẬN Dựa vào tài liệu [5] luận văn hồn thành nội dung sau: Hệ thống số khái niệm tính chất chiều Goldie Mơđun Trình bày khái niệm chiều Goldie mạnh thơng qua chiều Goldie mơđun trình bày số tính chất chiều Goldie mạnh Trình bày số đặc trưng vành Artin, vành F-nội xạ 29 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Tiến Quang - Nguyễn Duy Thiện (2001), Cơ sở lý thuyết môđun vành, Nhà xuất Giáo dục [2] Ngô Sỹ Tùng (2006), Chiều uniform hữu hạn ứng dụng, Tạp chí khoa học Đại học Vinh, tập XII, 73-81 Tiếng Anh [3] F.Kasch (1982), Modules and rings, Academic press, London - New York [4] Mohamed and Muller (1990), Continuous and discrete Modules, London, Math-Soc-Lecture note series 147, Cambridge Univ Press [5] L Shen and J L Chen (2005), Strongly Goldie dimension, Southeast Asian Bulletin of Mathematics, Vol 35, 72-80 [6] Tung N S (1994), Some results on quasi-continuous Modules, Acta Math Vienamica, Vol.19 N.2, 13-21 ... xạ 16 CHƯƠNG CHIỀU GOLDIE MẠNH CỦA MÔĐUN 2.1 Chiều Goldie môđun 2.1.1 Định nghĩa Một môđun M vành R gọi có chiều Goldie (hay chiều đều) hữu hạn không tồn tổng trực tiếp vô hạn môđun khác không... M < +∞ Vành R gọi có chiều Goldie mạnh phải hữu hạn có chiều mạnh hữu hạn R- mơđun phải Các vành có chiều trái mạnh hữu hạn định nghĩa tương tự 2.3.2 Ví dụ Nếu vành R có chiều Goldie mạnh phải... tối đại m chứa môđun tối đại 2.3 Chiều Goldie mạnh môđun 2.3.1 Định nghĩa Một R -môđun M có chiều Goldie mạnh n, kí hiệu SG dim M = n, Sup {G dim (M/N |N ≤ M )} = n.M M gọi chiều mạnh hữu hạn SG