Môđun hữu hạn sinh trên vành chính và ứng dụng

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN MẠNH TIẾN MÔĐUN HỮU HẠN SINH TRÊN VÀNH CHÍNH V À ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC Nghệ An – 12.2011 Mục lục Trang Mục lục Mở đầu Chương Sự phân tích nhóm aben hữu hạn sinh 1.1 Sự phân tích nhóm xyclic 1.2 Mơđun tự nhóm aben tự 1.3 Sự phân tích nhóm aben hữu hạn sinh 11 Chương Mơđun vành 22 2.1 Môđun tự vành 22 2.2 Mơđun hữu hạn sinh vành 27 Kết luận 37 Tài liệu tham khảo 38 Mở đầu Mỗi nhóm aben có cấu trúc tự nhiên số nguyên – mơđun Mặt khác vành vành Vì lý thuyết mơđun vành áp dụng cho nhóm aben Tuy nhiên, đặc tính vành sở , ta thu mô tả sâu sắc cho lớp mơđun Cũng nói khái niệm mơđun mở rộng khái niệm nhóm aben khái niệm không gian véctơ Dựa vào tài liệu tham khảo, Luận văn trình bày số kết phân tích nhóm aben hữu hạn sinh số kết cấu trúc môđun vành Lý thuyết phân tích nhóm aben hữu hạn sinh trình bày hệ lý thuyết mơđun vành Tuy nhiên, luận văn này, chúng tơi trình bày kết nhóm aben trước Chúng ta thấy kỹ thuật soi sáng cho kỹ thuật lý thuyết mơđun vành Lý thuyết mơđun vành kế thừa nhiều thành lý thuyết nhóm aben Các kết mơđun vành trình bày luận văn nhìn nhận từ kết nhóm aben trình bày trước Từ kết mơđun vành chính, nhận lại kết nhóm aben hữu hạn sinh Mục đích luận văn dựa vào tài liệu tham khảo để trình bày lại số kết nhóm aben hữu hạn sinh số kết mơđun vành để từ thấy lý thuyết nhóm aben hữu hạn sinh trình bày độc lập suy từ lý thuyết mơđun vành Ngồi phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, Luận văn chia làm hai chương Chương 1: Nhóm aben hữu hạn sinh Trong chương này, chúng tơi trình bày kết cấu trúc nhóm aben hữu hạn sinh Kết biểu diễn nhóm aben hữu hạn sinh cách dạng tổng trực tiếp nhóm xyclic khơng phân tích Chương 2: Mơđun vành Trong chương chúng tơi trình bày mơđun vành Các kết chương nhìn nhận từ kết nhóm aben trình bày Chương Mặt khác từ kết chương này, suy kết tương ứng Chương hệ Luận văn hoàn thành vào tháng 12 năm 2011 trường Đại học Vinh hướng dẫn tận tình giáo TS Nguyễn Thị Hồng Loan Nhân dịp tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến cơ, người hướng dẫn tận tình, chu đáo suốt thời gian học tập nghiên cứu Cũng tác giả xin chân thành cảm ơn sâu sắc đến thầy PGS TS Ngô Sỹ Tùng; thầy PGS.TS Lê Quốc Hán; thầy PGS.TS Nguyễn Thành Quang; thầy cô giáo khoa Toán, trường Đại học Vinh, bạn bè lớp cao học Toán 17 – Chuyên ngành Đại số Lý thuyết số có ý kiến đóng góp quý báu để tác giả hoàn thành luận văn Mặc dù cố gắng luận văn không tránh khỏi sai sót Tác giả mong đóng góp ý kiến thầy giáo bạn học viên Nghệ An, tháng 12 năm 2011 Tác giả Chương Sự phân tích nhóm aben hữu hạn sinh Trong chương này, trình bày số kết cấu trúc nhóm aben hữu hạn sinh, tức lớp nhóm aben với hệ sinh hữu hạn Kết biểu diễn nhóm aben hữu hạn sinh cách dạng tổng trực tiếp nhóm xyclic khơng phân tích 1.1 Sự phân tích nhóm xyclic 1.1.1 Định nghĩa Một nhóm aben X gọi khơng phân tích X khơng thể biểu diễn dạng tổng trực tiếp hai nhóm khơng tầm thường 1.1.2 Mệnh đề Nhóm cộng số ngun khơng phân tích Chứng minh Giả sử có biểu diễn khơng tầm thường  X  Y với X, Y nhóm Khi tìm phần tử khác khơng a  X b Y Vì X, Y nhóm trái với điều kiện X  Y  0 Vậy , nên ab  X  Y Nhưng điều nhóm khơng phân tích  1.1.3 Mệnh đề Nếu p số nguyên tố m số nguyên dương, nhóm cộng số ngun mơđun pm khơng phân tích pm Chứng minh Giả sử  X  Y phân tích pm thành tổng pm trực tiếp nhóm khơng tầm thường Khi tồn hai số nguyên dương s, t nhỏ m cho X , Y nhóm xyclic sinh s t theo thứ tự p , p Bây tùy theo s  t hay s  t mà ta có X  Y hay X  Y Và điều kiện X  Y  0 khơng thể xảy ra, mâu thuẫn  1.1.4 Định nghĩa Một nhóm xyclic có cấp lũy thừa số nguyên tố gọi nhóm xyclic nguyên sơ 1.1.5 Định lí Giả sử số nguyên n  có phân tích tiêu chuẩn m m n  p pr r Khi n  m1   pmr p r Chứng minh Ta chứng minh quy nạp theo r Với r  1, định lí hiển nhiên m m m Giả sử r  Đặt p  p p r1 q  pr r Khi n  pq 1 p, q nguyên tố nhau, nên n p  q Theo giả thiết quy nạp m1   mr1 Vậy p p r1 n m1   mr1  pmr  p p r r1 p 1.1.6 Nhận xét Ta biết rằng, có hai loại nhóm xyclic nhóm xyclic cấp vơ hạn (mọi nhóm xyclic cấp vơ hạn đẳng cấu với nhóm cộng số nguyên ) nhóm xyclic cấp hữu hạn (mọi nhóm xyclic hữu hạn cấp m đẳng cấu với nhóm cộng m số ngun mơđun m) Từ kết ta suy có hai loại nhóm xyclic khác khơng phân tích nhóm nhóm xyclic vơ hạn nhóm xyclic ngun sơ Mọi nhóm nhóm xyclic hữu hạn khác phân tích thành tổng trực tiếp nhóm xyclic ngun sơ 1.2 Mơđun tự nhóm aben tự 1.2.1 Định nghĩa (i) Cho M R  môđun Một tập  xi iI , xi  M gọi hệ sinh M với phần tử x  M tổ hợp tuyến tính R hệ  xi iI , nghĩa với x  M x   xi ,  R, J  I , J   iJ (ii) Nếu M có hệ sinh gồm hữu hạn phần tử M gọi môđun hữu hạn sinh 1.2.2 Định nghĩa Tập S R  môđun M gọi tập độc lập tuyến tính, từ đẳng thức r1x1   rn xn  với x1 , , xn  S đôi khác nhau, ta rút r1   rn  Nếu trái lại S gọi tập phụ thuộc tuyến tính Nếu mơđun M mơđun M có hệ sinh S độc lập tuyến tính gọi mơđun tự tập S gọi sở M 1.2.3 Ví dụ Vành R mơđun tự với sở 1 Tổng quát hơn, với I tập số bất kì, R ( I ) R  môđun tự với sở ei | i  I  , ei có thành phần thứ i , thành phần lại Cơ sở gọi sở tự nhiên hay sở tắc R ( I ) Mỗi không gian vectơ trường K K  môđun tự do, ln có sở Ta biết nhóm aben - mơđun, ta có định nghĩa sau 1.2.4 Định nghĩa Cho G nhóm aben Khi đó: (i) G gọi nhóm aben tự G (ii) Mỗi sở - môđun tự - môđun tự G gọi sở nhóm aben G Hai sở khơng gian vectơ có lực lượng, điều có cịn mơđun tự hay khơng, ta có mệnh đề sau 1.2.5 Mệnh đề Nếu M mơđun tự vành giao hốn R hai sở M có lực lượng Chứng minh Giả sử m iđêan cực đại R Khi R/m trường, môđun thương M/mM R/m-môđun, tức R/m-không gian   vectơ Bây giả sử x sở M Với a  R x  M , i iI kí hiệu ảnh chúng R/m M/mM tương ứng a x Vì hai sở khơng gian vectơ có lực lượng nên để chứng minh Định   lý, ta cần chứng tỏ x sở R/m-không gian vectơ i iI   M/mM Rõ ràng x hệ sinh M/mM, ta phải chứng minh i iI độc lập tuyến tính Giả sử có đẳng thức iI a x  với  R i i với tất cả, trừ số hữu hạn i  I Khi iI xi  mM , tìm bi  m, với hầu hết i  I cho  a x   b x iI i i iI i i   Do x sở M, điều dẫn đến  bi , tức  với i iI   i  I Vậy họ x độc lập tuyến tính, chứng minh Định lý i iI hoàn thành  Chú ý kết khơng R vành khơng giao hốn Kết dẫn đến khái niệm sau đây, mở rộng khái niệm chiều không gian vectơ 1.2.6 Định nghĩa (i) Cho M môđun tự vành giao hốn R Khi lực lượng sở M gọi hạng M, ký hiệu r(M) (ii) Cho G nhóm aben tự Khi hạng - mơđun G gọi hạng nhóm aben G, kí hiệu r(G) Cấu trúc mơđun tự mô tả qua định lý sau 1.2.7 Định lý R-môđun M tự tồn tập số I cho M  R(I) Chứng minh Nếu có tập I đẳng cấu R – môđun f : R    I   M , kiểm tra khơng khó khăn M môđun tự với sở  f  ei  i  I  , ei i  I  sở tắc R     I       Ngược lại, giả sử M có sở S  s i  I , S hệ sinh độc i lập tuyến tính M, phần tử x  M biểu diễn dạng x  a s   a s với i i 1 in in  R, si  S, j  1, , n j j dẫn đến M  iI Rs Bây ta nhận thấy với i  I , tồn cấu R-mơđun i i : R  Rsi a asi đẳng cấu, tính độc lập tuyến tính si   I  Vậy M   Rsi  R  iI  1.2.8 Nhận xét Từ chứng minh định lý ta suy M R-mô đun tự với sở S M  R(S) Do đó, G nhóm aben với sở S G  (S) Đặc biệt nhóm aben tự hạng n đẳng cấu với n 1.2.9 Mệnh đề Cho M mơđun vành giao hốn R Khi tồn R  mơđun tự F tồn cấu R  mơđun f : F  M Ngoài ra, M hữu hạn sinh sinh n phần tử F R  mơđun tự với sở hữu hạn gồm n phần tử 1.2.10 Nhận xét Từ mệnh đề ta suy R-môđun đẳng cấu với thương R-môđun tự Đặc biệt, R-môđun hữu hạn sinh đẳng cấu với thương Rn với n số nguyên dương Do đó, nhóm aben với d phần tử sinh đẳng cấu với nhóm thương nhóm aben tự hạng d Sau kết đặc sắc nhóm nhóm aben tự 1.2.11 Định lý Cho F nhóm aben tự hạng n Khi nhóm G F có nhóm aben tự hạng r  G   m  n Hơn nữa, tồn 10     sở S  u , , un F sở T  v , , vm G cho 1 vi  tiui với i  1, , m t , , tm số nguyên dương thỏa mãn ti chia hết t với i  1, , m 1 i1 Chứng minh Ta chứng minh quy nạp theo n Với n  , định lý cách hiển nhiên Giả sử n  định lý chứng minh n thay n 1 Ta loại trừ trường hợp tầm thường G  coi G    Giả sử V  y , , yn sở F Khi phần tử g  G điều biểu diễn dạng g  k  g  y   kn  g  yn với 1 ki  g   , i  1, , n Và gọi k  g  số nguyên dương nhỏ tất   số nguyên dương tập k  g  , , kn  g  Với sở V F , ta đặt k V   k  g  g G Gọi  tập hợp tất sở G gọi t  k C  / C  Khi tồn v  G sở U cho t 1 hệ số biểu diễn v qua sở U Đánh số lại phần tử U , cần thiết, ta coi v  t x  k x   kn xn , 11 2 k , , kn  Chia k , , kn ki  t qi  ri ,  ri  t i  2, , n  1   Đặt U '  u , x , , xn sở F cho t , ta u  x  q x   qn xn , 1 2 mà theo sở ta có v  t u  r x   rn xn Vì  r  t i  2, , n  , nên từ cách xác định t i 1 11 2 ta suy ri  với i  2, , n Vậy v  t u 11 Bây gọi H nhóm F sinh phần tử x , , xn Rõ ràng H nhóm aben tự hạng n 1 Đặt K  H  G Theo giả thiết quy 25 Tác động phép chiếu pim vào tổ hợp tuyến tính ta m  pim   j bi j    m aim   j 1  Do R miền nguyên  m  nên aim  dẫn đến bim  Điều mâu thuẫn Vậy bi iI  lập thành sở M M R  mơđun tự  Mọi môđun tự xạ ảnh Điều ngược lại chưa hẳn Ta biết R  môđun P xạ ảnh P đẳng cấu với hạng tử trực tiếp R  môđun tự Xét vành , gọi M N  môđun  M  N Do M N môđun xạ ảnh Nhưng M N 6 sinh phần tử vµ  mơđun tự Trên vành chính, ta có hệ sau 2.1.2 Hệ Mọi mơđun xạ ảnh vành R mơđun tự Chứng minh Vì R  mơđun xạ ảnh hạng tử trực tiếp R  môđun tự mà theo Định lý 2.1.1 môđun R  môđun tự R  mơđun tự nên có điều phải chứng minh  Hệ sau suy từ Định lý 2.1.1, chứng minh phương pháp tương tự chứng minh Định lý 2.1.1 Hệ nội dung Định lý 1.2.11 nhóm aben tự trình bày Chương 2.1.3 Hệ Mọi nhóm nhóm aben tự hạng n nhóm aben tự hạng khơng vượt q n 2.1.4 Định lý Cho F môđun tự vành R M mơđun F có hạng hữu hạn n Khi tồn n phần tử 1 , , ,  n R sở F chứa n phần tử e1 , e2 , , en cho: 26 (i) Các phần tử 1e1 ,  2e2 , ,  nen lập thành sở M ; (ii)  i chia hết  i 1 với i  1, , n  Chứng minh Nếu M  kết tầm thường Ta chứng minh Định lý với M  Xem F  R( I ) , gọi G tập tất dạng tuyến tính F , ta nhận tập iđêan  f (M ) | f  G Giả sử f1 ( M ) phần tử tối đại tập Do R vành nên f1 (M )  R1 , gọi u phần tử M cho f1 (u)  1 Với g  G ta g (u)  R1 Thật vậy, đặt g (u)   giả sử R1  R  R , tồn  ,   R cho 1     Xét dạng tuyến tính f   f1   g , ta có f (u)   f1 (u)   g (u)  1      f (M ) Từ suy f (M )  R  R1 Do tính tối đại R1 , nên f (M )  R1 Do R1  R Điều dẫn đến   R1 Vậy với dạng tuyến tính g : F  R ta có g (u)  R1 Áp dụng kết vừa vào phép chiếu pi : R ( I )  R ( xi )iI xi Ta có pi (u)  R1 với i  I Điều có nghĩa tọa độ u phải bội 1 Giả sử u  (1 i )iI  1 ( i )iI Đặt e1  ( i )iI , ta có u  1e1 1  f1 (u)  1 f1 (e1 ) Vì R miền nguyên nên suy f1 (e1 )  Lấy F1  f11 (0) , ta chứng minh (a) F  Re1  F1 Cho x  Re1  F1 x  re1 , với r  R x  F1 nên f1 ( x)  ta có  f1 ( x)  f1 (re1 )  rf1 (e1 )  r.1  r Vậy x  , nên Re1  F1  0 Hiển nhiên Re1  F1  F 27 Với x  F ta viết dạng x  f1 ( x)e1  ( x  f1 ( x)e1 )  Re1  F1 f1 ( x)e1  Re1 , x  f1 ( x)e1  F1 f1 ( x  f1 ( x)e1 )  f1 ( x)  f1 ( x) f1 (e1 )  f1 ( x)  f1 ( x).1  Nên F  Re1  F1 suy F  Re1  F1 (b) M  R1e1  M1 với M1  M  F1 Ta có R1e1  M1  0 Re1  F1  0 Mặt khác, với x  M f1 ( x)  f1 (M )  R1 nên f1 ( x)  r1 , với r  R Ta viết x dạng x  f1 ( x)e1  ( x  f1 ( x)e1 )  r1e1  ( x  r1e1 ) Suy x  R1e1  M1 r1e1  R1e1 x  r1e1  M1 (do x  M , e11  u  M nên x  r1e1  M , f1 ( x  r1e1 )  f1 ( x)  r1 f1 (e1 )  r1  r1  nên x  r1e1  F1 suy x  r1e1  M  F1  M1 ) Vậy M  R1e1  M1 Ta giả sử g : F  R dạng tuyến tính tùy ý, ta cần chứng minh (c) g (M1 )  R1 Thật vậy, giả sử g (M1 )  R1 Ta chọn dạng tuyến tính f : F  Re1  F1  R cho f trùng với f1 Re1 trùng với g F1 f (M )  f ( R1e1  M1 )  R1  g (M1 ) Ù R1 Điều mâu thuẫn với tính tối đại iđêan R1 Vậy (c) chứng minh Như ta xác định phần tử 1 , e1 đồng thời có tổng trực tiếp (a) (b) Bây ta chứng minh Định lý quy nạp theo hạng M Giả sử định lý với n  Do F1 môđun tự do, M mơđun F1 có hạng n  1, nên theo giả thiết quy nạp tồn n  phần tử  , ,  n R sở F1 chứa n  phần tử e2 , , en cho  2e2 , ,  nen sở M , đồng thời  i chia hết cho  i 1 với 28 i  1, , n  Từ (a) (b) ta có 1e1 ,  2e2 , ,  nen  sở M e1 , e2 , , en  sở F Ta chứng minh 1 chia hết  Thật vậy, xét dạng tuyến tính g : F  R cho tập sở e2 , , en  F g (e2 )  g (e)  với e e3 , , en  Ta g (M1 )  R Nên theo (c) ta có R  R1 , suy 1 chia hết  Định lý chứng minh  2.2 Mơđun hữu hạn sinh vành Chúng ta biết môđun môđun hữu hạn sinh chưa hữu hạn sinh Chẳng hạn, xét vành đa thức vô hạn biến R  K[ x1 , x2 , , xn , ] với K trường Ta có R vành giao hoán, đơn vị nên R R  mơđun hữu hạn sinh có hệ sinh 1 Mỗi iđêan R R  môđun môđun R Xét iđêan I  ( x1 , x2 , , xn , ) Nó iđêan khơng hữu hạn sinh R mơđun khơng hữu hạn sinh Tuy nhiên, xét môđun hữu hạn sinh vành ta có kết sau 2.2.1 Định lý Nếu M mơđun hữu hạn sinh vành R mơđun hữu hạn sinh Chứng minh Do R vành nên R vành Noether Mà M R  môđun hữu hạn sinh vành Noether M R  môđun Noether Giả sử N môđun M Nếu N không hữu hạn sinh tồn dãy vơ hạn phần tử x1 , x2 , , xn , thuộc N cho đặt M m  i 1 Rxi ta có M j Ø M j 1 với j  Như ta có dãy tăng m vơ hạn khơng dừng môđun M1  M    M m   29 Mâu thuẫn với M R  môđun Noether, suy N phải hữu hạn sinh  Từ định lý ta có hệ sau 2.2.2 Hệ Mọi nhóm nhóm aben hữu hạn sinh nhóm aben hữu hạn sinh Mơđun mơđun xyclic nói chung môđun xyclic Thật vậy, ta xét R vành giao hốn có đơn vị mà R khơng vành Khi R R  môđun xyclic sinh 1 Tuy nhiên R khơng vành nên tồn iđêan I R khơng iđêan Do I R  môđun môđun xyclic Đối với mơđun vành chính, từ Định lý 2.2.1 ta có hệ sau 2.2.3 Hệ Trên vành môđun môđun xyclic môđun xyclic Chứng minh Cho M môđun xyclic vành R , giả sử M sinh phần tử x Theo Định lý 2.2.1 môđun N M hữu hạn sinh nên giả sử N có hệ sinh gồm n phần tử a1x , a2 x , , an x , với a1 , , an  R Mỗi y  N ta có y  b1a1x    bnan x  (b1a1    bnan ) x , (ai , bi  R, i  1, , n) Do R vành nên tồn UCLN (a1 , , an )  d ta có b1a1    bnan  (b1c1    bncn )d nên y  (b1c1    bncn ).dx UCLN (c1 , , cn )  Nên tồn phần tử 1 , , n  R cho 1c1    ncn  Như iđêan sinh (c1 , , cn ) chứa đơn vị nên R Từ suy N  R.dx , nghĩa N mơđun xyclic Vậy ta có điều phải chứng minh  Từ hệ ta có hệ sau 2.2.4 Hệ Mọi nhóm nhóm xyclic nhóm xyclic Nếu M mơđun hữu hạn sinh vành R 30 phân tích thành tổng trực tiếp môđun xyclic, kết xác định qua định lý sau 2.2.5 Định lý Mỗi môđun hữu hạn sinh M vành R tổng trực tiếp môđun xyclic Nghĩa là, R  mơđun M có hệ sinh n phần tử tồn phần tử a1 , a2 , , an  R cho Ra1  Ra2   Ran M  R / Ra1  R / Ra2    R / Ran Chứng minh Vì M mơđun vành R nên tồn R  môđun tự F với sở hữu hạn gồm n phần tử toàn cấu R  môđun f : F  M Đặt H : ker f Ta có M  F / H Theo Định lý 2.1.4, tồn sở  ei i 1 F phần tử n a1 , , an  R mà Ra1  Ra2   Ran H sinh a1e1 , , anen Do M  F / H  R / Ra1    R / Ran Như vậy, M môđun hữu hạn sinh vành R phân tích thành tổng trực tiếp môđun xyclic M  M1  M i  R / Rai , a1 ,  Mn , an  R chia hết 1 , i  1, , n 1  Từ định lý ta nhận Định lý 1.3.3 Chương 1: Mọi nhóm aben hữu hạn sinh phân tích thành tổng trực tiếp số hữu hạn nhóm xyclic khơng phân tích Giả sử M môđun miền nguyên R Tập   M  : m  M : r  R \ 0 , rm  0 phần tử xoắn M gọi 31   môđun xoắn M Nếu   M   M gọi mơđun khơng M xoắn; cịn   M   M M gọi mơđun xoắn Dễ thấy tổng trực tiếp hạng tử Mi ứng với  mơđun xoắn   M  M; tổng trực tiếp hạng tử Mi ứng với = cho ta môđun tự M Vì từ định lý ta có hệ sau giúp ta quy tốn phân loại mơđun hữu hạn sinh vành tốn phân loại môđun xoắn hữu hạn sinh 2.2.6 Hệ Cho M mơđun hữu hạn sinh vành R Khi (i) M    M   F với   M  môđun xoắn M F môđun tự (ii) M môđun tự khơng xoắn Chú ý từ hệ ta suy Hệ 1.3.4: Nếu X nhóm aben hữu hạn sinh (i) X    X   F , F nhóm aben tự X (ii) X nhóm aben tự   X   2.2.7 Định nghĩa Cho M môđun xoắn, hữu hạn sinh vành R (i) Khi x thuộc M , tập Ann( x)  r  R | xr  0 iđêan khác R nên tồn phần tử  khác để Ann( x)  R Phần tử  xác định (sai khác nhân tử khả nghịch) gọi cấp x , ký hiệu o( x) (ii) Do R vành nên Ann(M ) iđêan R nên tồn   R (sai khác nhân tử khả nghịch) để Ann(M )  R Ta gọi  số mũ M , ký hiệu exp(M) 32 2.2.8 Nhận xét (i) Rx  R / Ann( x)  R / Ro( x) (ii) Số mũ M chia hết cho cấp phần tử chia hết cho số mũ mơđun Nếu M môđun xyclic sinh phần tử x exp(M)= o(x) Từ Định lý Trung Hoa phần dư ta có kết sau 2.2.9 Bổ đề Cho R vành a  R phần tử khác không khả nghịch Giả sử a có phân tích tiêu chuẩn a = p1e pke Khi k R/ Ra  R / Rp1e   R / Rpke k Từ Định lý 2.2.5 bổ đề ta có kết sau Chú ý từ kết ta suy Mệnh đề 1.3.1, Chương nhóm aben hữu hạn sinh 2.2.10 Định lý Cho M môđun xoắn, hữu hạn sinh vành R Khi M có phân tích M  M1   Mn Mi mơđun xyclic có số mũ exp(M i )  piei lũy thừa phần tử bất khả qui pi R 2.2.11 Định nghĩa Cho M mơđun hữu hạn sinh vành R Mỗi phần tử bất khả quy p R ta ký hiệu C p ( M ) tập hợp tất phần tử M có cấp lũy thừa p Ta dễ dàng chứng minh C p ( M ) mơđun M Trong phân tích M Định lý 2.2.10 C p ( M ) tổng trực tiếp hạng tử Mi mà pi liên kết với p Như vậy, M phân tích thành tổng trực tiếp mơđun dạng C p ( M ) với p phần tử bất khả qui vành R Cũng giống trường hợp nhóm aben mà trình bày Chương 1, ta muốn chứng minh phân tích M Định lý 2.2.10 Để đơn giản, trước hết ta quy tốn trường 33 hợp M có số mũ lũy thừa phần tử bất khả quy Ta có định lý sau 2.2.12 Định lý Cho M mơđun xoắn hữu hạn sinh vành R e e với số mũ exp  M    có phân tích tiêu chuẩn   p p k Khi k M  C p  M    C p  M  , k e   exp  C p  M    p i với i  1, , k Hơn nữa, phân tích dạng i  i  M không kể đến thứ tự hạng tử Chứng minh Trước hết, theo Định lý 2.2.10 ta thấy ln viết M dạng M  C p  M    C p  M  k Giả sử M cịn có phân tích khác: M  Cq  M    Cq  M  , l q phần tử bất khả quy R, đôi không liên kết, j ' e   exp  Cq  M    q j j với j  1, , l Khi ta có j   e' e' e' l   j A  Ann  M   Ann  Cq  M    Aq j  Aq q l l j j1   j 1 l e' e' Suy   vq q l với v 1 Từ nhận k  l , đánh số lại cần l thiết, pi liên kết với qi với i  1, , k Do C p  M   Cq  M  i i ei  e'j với i  1, , k Điều chứng tỏ dạng phân tích đề cập M tồn Định lý chứng minh  34 Từ định lý ta thấy để chứng minh tính phân tích mơđun M Định lý 2.2.10 ta cần chứng minh trường hợp M có số mũ lũy thừa phần tử bất khả quy Trước hết ta cần đến bổ đề sau 2.2.13 Bổ đề Cho M, N hai môđun xoắn hữu hạn sinh đẳng cấu vành R với exp  M   exp  N   pe , p phần tử bất khả quy R Giả sử M N có phân tích thành tổng trực tiếp môđun xyclic M  M   M , k N  N   N l e' e   i exp Mi  p , exp  N j   p j với e   e e '   e ' k l     Khi k  l ei  e 'i với i  1, , k Chứng minh Giả sử Mi  Rxi N  Ry với i  1, , k, j  1, , l Khi j j e' e   i  xi  p   y j   p j Giả sử h : M  N đẳng cấu,   e zi  h xi Hiển nhiên N  Rz   Rz  zi  p i với i = 1, , k k       Ta có e' e' l l Rpe  Ann  N   Ann  Ry j   Rp j  Rp l ,   j 1 j1 e k Ann Rz  Rp Từ ta suy e  e  e ' Bây tương tự Rpe  i 1 i1     giả sử y  a z   a z với  R Do  y  pe , nên tập 11 k k số i mà ei  e phải có số i0 cho a nguyên tố i0 35 với p Không giảm tổng quát, ta coi a p nguyên tố Khi tồn r, s  R để  spe  Ta có   ry   spe z  r a z   z  z  z   z , 1 22 k k 22 k k hay z  ry  z   z Như y , z , , z hệ sinh 1 22 k k k N Hơn nữa,  k  b y  b2 z2   b z  Ry    Rz  , 11 k k  i2 k  y  a z   a z , ta nhận 11 k k     a b z  a b  b z   a b  b z  11 21 2 k k k Suy a b z  , pe a b Vì a nguyên tố với p, nên 11 11 pe b Từ ta có b y  Như N  Ry  Rz   Rz , từ ta 11 k thu Rz   Rz  Ry   Ry k l Bây sử dụng quy nạp ta dễ dàng suy điều phải chứng minh  2.2.14 Định lý Cho M  môđun xoắn hữu hạn sinh vành R giả sử exp  M   pe với p phần tử bất khả quy R Khi tồn dãy số nguyên e  e   e  môđun k e xyclic M , , M exp M  p i , 1  i  k  cho i k   M  M   M k Chứng minh Sự tồn phân tích suy từ Định lý 2.2.10 tính dãy số nguyên dương e  e   e  suy từ Bổ đề k 2.2.13  Từ Định lý 2.2.12 Định lý 2.2.14 ta có kết sau 36 2.2.15 Định lý Cho M  môđun xoắn hữu hạn sinh vành e e R với số mũ có phân tích tiêu chuẩn exp  M   p p k Khi tồn k dãy số nguyên dương ei  e  e   e , i  1, , k cho i1 i2 il e k li M    M , Mij mơđun xyclic có số mũ pi ij ij i1 j1 Từ Định lý 2.2.15 Định lý 2.2.5 ta suy định lý sau (chứng minh định lý làm tương tự chứng minh Định lý 1.3.9 Chương nhóm aben hữu hạn sinh) 2.2.16 Định lý Cho M  môđun xoắn hữu hạn sinh vành R, giả sử exp  M    Khi tồn nhất, sai khác nhân tử khả nghịch, dãy phần tử khác 0, không khả nghịch R 1, 2 , , n   với  i  i1, i  1, , n 1 cho M có phân tích n M  M , i 1 i   Mi mơđun xyclic M có số mũ exp M   với i i i  1, , n Từ kết trên, ta có định lý sau cho phép mơ tả hồn tồn cấu trúc môđun hữu hạn sinh vành R 2.2.17 Định lý Cho M mơđun hữu hạn sinh vành R Khi (i) Tồn số nguyên r dãy phần tử khác 0, không khả nghịch  . n R, sai khác nhân tử khả nghịch, với   i i 1 , i  1, , n 1 cho M  R / R   R / Rn  Rr 37 (ii) Tồn số nguyên r dãy lũy thừa e e phần tử bất khả quy p 1, , p k R, xác đến nhân tử k khả nghịch, cho e e M  R / Rp   R / Rp k  Rr k Từ định lý ta suy Định lý 1.3.6 Định lý 1.3.9 phân tích nhóm aben hữu hạn sinh mà chúng tơi trình bày Chương 38 Kết luận Dựa vào tài liệu tham khảo, Luận văn trình bày lại số kết nhóm aben hữu hạn sinh số kết mơđun vành để từ thấy lý thuyết nhóm aben hữu hạn sinh trình bày độc lập suy từ lý thuyết môđun vành Cụ thể luận văn này, chúng tơi trình bày vấn đề sau Trình bày số kết cấu trúc nhóm aben hữu hạn sinh Kết là: biểu diễn nhóm aben hữu hạn sinh cách dạng tổng trực tiếp nhóm xyclic khơng phân tích (Định lý 1.3.6 Định lý 1.3.9) Trình bày số kết mơđun tự vành mơđun hữu hạn sinh vành (Định lý 2.1.1, Định lý 2.1.4, Định lý 2.2.17) Các kết phần nhìn nhận từ kết nhóm aben trình bày phần trước Tuy nhiên chứng minh hoàn toàn độc lập từ kết phần này, suy kết tương ứng nhóm aben trình bày phần trước hệ 39 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Lê Quốc Hán (2008), Nhập môn lý thuyết nửa nhóm lý thuyết nhóm, Trường Đại học Vinh [2] Hồ Văn Sơn (2010), Một số tính chất miền iđêan chính, Luận văn thạc sĩ Tốn học, Trường Đại học Vinh [3] Dương Quốc Việt (chủ biên) (2008), Cơ sở lý thuyết module, Nhà xuất Đại học Sư phạm [4] Dương Quốc Việt (chủ biên) (2009), Bài tập lý thuyết module, Nhà xuất Đại học Sư phạm Tiếng Anh [5] M.F Atiyah and I.G Macdonald (1969), Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley Publishing Company [6] H Matsumura (1986), Commuatative ring theory, Cambridge University Press [7] R.Y.Sharp (1990), Steps in commutative algebra, Cambridge Univ Press ... Nếu M môđun hữu hạn sinh vành R mơđun hữu hạn sinh Chứng minh Do R vành nên R vành Noether Mà M R  mơđun hữu hạn sinh vành Noether M R  môđun Noether Giả sử N môđun M Nếu N không hữu hạn sinh. .. chứng minh  2.2 Mơđun hữu hạn sinh vành Chúng ta biết môđun môđun hữu hạn sinh chưa hữu hạn sinh Chẳng hạn, xét vành đa thức vô hạn biến R  K[ x1 , x2 , , xn , ] với K trường Ta có R vành. .. hữu hạn sinh có hệ sinh 1 Mỗi iđêan R R  môđun môđun R Xét iđêan I  ( x1 , x2 , , xn , ) Nó iđêan khơng hữu hạn sinh R mơđun khơng hữu hạn sinh Tuy nhiên, xét môđun hữu hạn sinh vành