1 Tr-ờng đại học vinh Khoa Toán - - tRầN tHị dIệP MộT Số TíNH CHấT CủA MÔĐUN TRÊN VàNH CHíNH Khóa luận tốt nghiệp đại học Ngành cử nhân khoa học toán Chuyên ngành Đại số Cán h-ớng dẫn KHóA LUậN: TS Nguyễn Thị Hồng Loan Trần Thị Diệp Lớp: 47B - Toán Sinh viên thực hiện: Vinh 2010 Tr-ờng đại học vinh Khoa Toán - - tRầN tHị dIệP MộT Số TíNH CHấT CủA MÔĐUN TRÊN VàNH CHíNH Khóa luận tốt nghiệp đại học Ngành cử nhân khoa học toán Vinh 2010 Mục lục Trang Mở đầu CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Vµnh chÝnh 1.2 Môđun xoắn 1.3 Linh hóa tử môđun 1.4 TÝch trùc tiÕp, tæng trùc tiÕp 1.5 D·y khíp 1.6 Môđun hữu hạn sinh 1.7 Môđun tự 1.8 Môđun nội xạ 1.9 Nguyªn lý Zermelo 1.10 Nguyên lý quy nạp siêu hạn 1.11 Sù ph©n tích môđun ch-ơng môđun vành 2.1 Môđun tự vành 2.2 Môđun hữu hạn sinh vµnh chÝnh 12 KÕt luËn 22 Tµi liƯu tham kh¶o 23 Mở đầu Môđun vành đề tài đà đ-ợc nghiên cứu nhiều từ tr-ớc đến Có thể thấy cấu trúc môđun xuất hầu hết lý thuyết toán học đại, có khả thống cách chất với cấu trúc vành, iđêan, nhóm Aben, không gian véctơvà có khả linh hoạt t-ơng đối lớn Ta thấy môđun nh-ng gắn với lớp vành sở khác cấu trúc có nhiều thay đổi Trong khóa luận tốt nghiệp này, sở kiến thức lý thuyết môđun đà đ-ợc học tìm hiểu tài liệu, trình bày số vấn đề lý thuyết môđun vành Ngoài phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, nội dung khóa luận đ-ợc chia làm hai ch-ơng Ch-ơng Kiến thức chuẩn bị: Trình bày (không chứng minh) kiến thức sở lý thuyết môđun có liên quan đến kết chứng minh Ch-ơng Ch-ơng Môđun vành chính: Trình bày số tính chất môđun vành chính, cụ thể môđun tự môđun hữu hạn sinh vành Đồng thời phân tích số môđun vành Khóa luận đ-ợc thực tr-ờng Đại học Vinh d-ới h-ớng dẫn tận tình, chu đáo TS Nguyễn Thị Hồng Loan Nhân dịp tác giả xin đ-ợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc cô giúp đỡ nhiệt tình góp ý thiết thực cho tác giả trình hoàn thành khóa luận Đồng thời tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban chủ nhiệm khoa Toán, thầy giáo, cô giáo khoa Toán, đặc biệt thầy cô tổ Đại số đà nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ suốt trình học tập Xin cảm ơn tập thể 47 B Toán đà động viên thời gian làm khóa luận Mặc dù đà có nhiều cố gắng nh-ng trình độ thời gian có hạn nên khóa luận nhiều thiếu sót Tác giả mong nhận đ-ợc lời bảo thầy cô giáo góp ý bạn đọc để khóa luận đ-ợc hoàn thiện Vinh, tháng 05 năm 2010 Tác giả CHNG KIN THC CHUN B Trong ch-ơng trình bày (không chứng minh) số khái niệm kết đ-ợc dùng Ch-ơng Trong toàn ch-ơng, vành đ-ợc giả thiết giao hoán có đơn vị 1.1 Vành 1.1.1 Định nghĩa Vành R đ-ợc gọi vành R l nguyên v mi iđêan R iđêan 1.1.2 Ví dụ Vành số nguyên vành 1.1.3 Mệnh đề Giả sử phần tử khác 0, không khả nghịch vành R có phân tích tiêu chuẩn l p1e pke Khi ®ã k R / R R / Rp1e1 R / Rpkek 1.2 Môđun xoắn 1.2.1 Định nghĩa Giả sử R miền nguyên M R-môđun Một phần tử x M đ-ợc gọi phần tử xoắn tồn phần tử ≠ a R cho ax = Tập phần tử xoắn M đ-ợc kí hiệu (M) 1.2.2 Mệnh đề Cho R miền nguyên M R-môđun Khi (M) môđun M 1.2.3 Định nghĩa Giả sử M môđun miền nguyên R Tập (M) phần tử xoắn M đ-ợc gọi môđun xoắn M Nếu (M) = {0M} M đ-ợc gọi môđun không xoắn Nếu (M) = M M đ-ợc gọi môđun xoắn 1.2.4 Mệnh đề Giả sử R miền nguyên M R-môđun Khi ta có khẳng định sau: (i) (M) R-môđun xoắn (ii) M / (M) R-môđun không xoắn 1.3 Linh hóa tử môđun 1.3.1 Định nghĩa Cho M R-môđun 6 (i) Với x M, ta kí hiệu Ann(x) = {a R| ax = 0} (ii) Linh hãa tử môđun M, kí hiệu Ann(M), tập tất phần tử a R cho ax = víi mäi x M Ann(M) = {aR | ax = 0, xM} 1.3.2.NhËn xÐt Ann(x) vµ Ann(M) iđêan vành R 1.4 Tích trực tiếp, tổng trực tiếp 1.4.1 Định nghĩa Cho I tập khác rỗng (M)I họ R-môđun số hóa I Kí hiệu M I M tích Đềcác (M)I Trên M trang bị phép cộng phép nhân với vô h-ớng nh- sau: x I y I x y I a x I ax I , , víi mäi a R vµ mäi x I ; y I M Khi hai phép toán vừa xác định làm cho M trở thành R-môđun M đ-ợc gọi tích trực tiếp họ Rmôđun (M)I Trong M I M ta lÊy tËp M bao gồm tất phần tử M với I thành phần hầu hết, trừ số hữu hạn Khi M I R-môđun đ-ợc gọi tổng trực tiếp họ môđun (M)I 1.4.2 Chó ý (i) NÕu Mα = N víi mäi αI th× ta kÝ hiƯu I M bëi NI (ii) NÕu Mα = N víi mäi αI th× ta kÝ hiÖu M bëi N(I) I 1.4.3 MÖnh đề Cho R vành giao hoán, có đơn vị, I J tập khác rỗng, (M)I (N)I họ R-môđun Khi HomA M , N I J , IxJ HomA M , N 1.4.4 Định lí Cho R-môđun M N môđun Khi N hạng tử trực tiÕp cđa M th× M / N F , F môt môđun M 7 1.5 DÃy khớp 1.5.1 Định nghĩa Một dÃy đồng cấu R-môđun fi fi M i M i 1 M i đ-ợc gọi dÃy khíp nÕu Im fi = Ker fi+1, víi mäi i Mét d·y khíp cã d¹ng f g M N P đ-ợc gọi dÃy khớp ngắn 1.5.2 Định nghĩa DÃy khíp f g M N P đ-ợc gọi chẻ M Im f = Ker g mét h¹ng tư trùc tiÕp cđa M NÕu mét d·y khớp chẻ môđun không hai đầu mút dÃy ta nói chẻ 1.5.3 Định nghĩa Cho R vành giao hoán có đơn vị Một tập khác rỗng S A đ-ợc gọi tập đóng nhân A S với a, b S ab S f g 1.5.4 MƯnh ®Ị Cho d·y khớp R-môđun N M L S tập đóng nhân A Khi ta có dÃy khớp S-1R-môđun sau: 1 s f s g S 1 N S 1M S 1L 1.6 Môđun hữu hạn sinh Cho M R-môđun S tập R-môđun M Khi giao tất môđun M chứa S môđun M Môđun đ-ợc gọi môđun M sinh S Nếu môđun sinh S M M ta bảo S hệ sinh M Nếu M có hệ sinh hữu hạn ta nói M môđun hữu hạn sinh Khi M có hệ sinh gồm phần tử M đ-ợc gọi môđun đơn sinh, hay môđun xyclic 1.7 Môđun tự 1.7.1 Định nghĩa Tập S R-môđun M đ-ợc gọi tập độc lập tuyến tính từ đẳng thức a1x1 + + anxn = víi x1, , xn S đôi khác nhau, ta rút a1 = = an = Nếu trái lại S đ-ợc gọi tập phụ thuộc tuyến tính Nếu môđun M có hệ sinh độc lập tuyến tính đ-ợc gọi môđun tự tập S đ-ợc gọi sở cđa M 1.7.2 VÝ dơ (i) Vµnh R lµ mét môđun tự với sở {1} Tổng quát hơn, với I tập số bất kỳ, R(I) R-môđun tự với sở {ei| i I} ei có thành phần thứ i 1, thành phần lại Cơ sở đ-ợc gọi sở tự nhiên hay sở tắc A(I) (ii) Mỗi không gian vectơ tr-ờng K K-môđun có sở (iii) Vành với x tất lớp số nguyên mod nên (iv) Xét vành R 6 -môđun Tuy nhiên x sở nên không môđun tự Gọi M N lần l-ợt R-môđun R sinh R Hai môđun không tự R 2.3 1.7.3 Định lý Nếu M R-môđun tự với sở S M R(S) 1.7.4 Định lý Một R-môđun hữu hạn sinh đẳng cấu với môđun th-ơng R n, với n số nguyên d-ơng 1.7.5 Mệnh đề DÃy khớp R-môđun M N F chẻ F môđun tự 1.7.6 Định nghĩa Cho M môđun tự vành giao hoán có đơn vị R Khi lực l-ợng sở M đ-ợc gọi hạng R-môđun M kí hiệu r(M) 1.7.7 Mệnh đề Cho R vành giao hoán M, N, P môđun tự vành R Khi có dÃy khớp ngắn R-môđun N M P 0 th× r(M) = r(N) + r(P) 1.8 Môđun nội xạ 1.8.1 Định nghĩa Một R-môđun I đ-ợc gọi nội xạ với đồng I đơn cấu : M ' M R-môđun, tồn đồng cấu : M ' I cho cÊu :M 1.8.2 Mệnh đề Nếu I R-môđun nội xạ M ' M R-môđun đồng cấu R-môđun từ M đến I mở rộng đ-ợc thành đồng cấu R-môđun từ M đến I 1.8.3 Định nghĩa Một nhóm Aben D đ-ợc gọi chia đ-ợc với d D mäi n 0, tån t¹i c D cho d = nc 1.8.4 MƯnh ®Ị Mét nhãm Aben chia đ-ợc môđun nội xạ 1.9 Nguyên lý Zermelo Mọi tập hợp thứ tự tốt 1.10 Nguyên lý quy nạp siêu hạn Giả sử (X, ) tập thứ tự tốt tính chất phần tử X thỏa mÃn hai điều kiện sau: (i) Phần tử có tính chất (ii) Nếu y X mà y < x (x X) cã tÝnh chÊt th× suy x cịng cã tính chất Khi phần tử X có tính chất 1.11 Sự phân tích môđun Một R-môđun M đ-ợc gọi không phân tích đ-ợc M biểu diễn đ-ợc d-ới dạng tổng trực tiếp hai R-môđun không tầm th-ờng 10 ch-ơng môđun vành 2.1 Môđun tự vành Ta biết rằng, vành bất kỳ, môđun môđun tự môđun tự Chẳng hạn, lấy R = R R-môđun tự Xét M R-môđun R sinh phần tử R M R-môđun tự (xem Ví dụ 1.7.2).Tuy nhiên vành tình hình khác hẳn, môđun môđun tự vành lại môđun tự Ta có định lý sau 2.1 Định lý Giả sử R vành Khi môđun Rmôđun tự R-môđun tự Chứng minh Giả sử T môđun tự vành R với sở I Khi T đẳng cấu với R-môđun tự R(I) theo nguyên lý Zermelo ta trang bÞ cho I mét thø tù tèt Bëi vËy, ta xem T = R(I) với I tập thứ tự tốt Giả sử M môđun khác môđun không T {ei}iI sở tự nhiên T Kí hiệu Ti môđun sinh {ej}j i đặt Mi = Ti M XÐt c¸c phÐp chiÕu R I R pi : xi xi iI Với i I ta có pi(Mi) iđêan R Do R vành nên tồn R để pi(Mi) = Rai LÊy bi Mi cho pi(bi) = với quy định rằng: = chọn bi = Khi ta thu đ-ợc họ {bi}iI Sử dụng nguyên lý quy nạp siêu hạn (xem Môc 1.10), ta chøng tá r»ng hä {b j}j i sinh Mi với i I Để làm đ-ợc điều ta chứng minh: a) Nếu i0 phần tử I b i sinh M i 0 Râ rµng < b i > M i Mặt khác bi M i suy bi Ti = < ei >, tồn a 0 R cho bi = aei 0 0 0 11 Gi¶ sư x < bi > Khi ®ã víi mäi b R th× x ≠ b bi = ab ei Ti nªn x M i , suy 0 0 M i0 < bi0 > VËy M i0 sinh bëi bi0 b) NÕu mäi k I mµ k < i (iI) ta cã Mk đ-ợc sinh {bj}j k Mi đ-ợc sinh bëi {bj}j i ThËt vËy, gi¶ sư x Mi, ®ã ta cã pi(x) = ai, R Do ta nhận đ-ợc pi(x - bi) = pi(x)- pi(bi) = - = Thành phần thø i cđa phÇn tư x - bi b»ng nªn x - bi Mk, víi k < i Theo giả thiết quy nạp x - bi , dÉn ®Õn x , suy Mi Do ®ã Mi = VËy Mi = víi mäi i I TiÕp theo ta sÏ chøng minh hä {bi}iI sinh M Dễ thấy với y M, tồn số tự nhiên m cho y viết đ-ợc d-ới dạng y 1ei1 2ei2 m eim víi i1 < i2 < < im Do y Ti thÕ y Mi bi iI Vậy M bi iI m m Đặt I ' i I bi 0 th× hä {bi}iI’ cịng lµ mét hƯ sinh cđa M Ta cần chứng minh họ độc lập tuyến tính Thật giả sử ng-ợc lại, tồn tỉ hỵp tun tÝnh 1bi 2bi mbi víi i1 < i2 < < im thuéc I’ vµ m m Tác động phép chiếu pi vào tổ hợp tuyến tính ta đ-ợc: m m pim j bi j ' m m j 1 Do R miền nguyên m nên , dẫn đến bi (mâu thuẫn) Vậy m m {bi}iI lập thành sở M M R-môđun tự 2.1.2 Định lý Giả sử T môđun tự vành R M môđun T có hạng hữu hạn n Khi tồn n phần tử 1 , , , n cña R sở T chứa n phần tử e1, e2, , en cho: 12 (i) C¸c phần tử e11, e22, , enn lập thành c¬ së cđa M (ii) i chia hÕt i 1 víi mäi i = 1, 2, , n-1 Chứng minh Nếu M = kết tầm th-ờng, ta chứng minh định lý với M Gọi I sở R, ta xem T = R(I) Gọi F tập hợp ánh xạ tuyến tính từ T vào R Khi ta nhận đ-ợc tập hợp iđêan {f(M) | f F} R Giả sử f1(M) phần tử tối đại tập Vì R vành nên tồn phần tử khác không R cho f1(M) = 1 Víi g F, ta sÏ chØ r»ng g (u ) R1 Thật vậy, đặt g(u) = giả sử R1 + R = R, tồn , R cho 1 + = XÐt d¹ng tuyÕn tÝnh f = f1 + g, ta cã: f(u) = f1(u) + g(u) = 1 + = f(M) Tõ ®ã suy f(M) R R1 Do tính tối đại R1 nên f(M) = R1 Do R1 = R Điều dẫn đến R1 Vậy dạng tuyến tính g: T R ta ®Ịu cã g (u ) R1 áp dụng kết vừa vào phÐp chiÕu pi: T = R(I) (xi)i I R xi Ta cã pi(u) R1 víi mäi i I Suy tọa độ u bội 1 Gi¶ sư u = (1i) i I = 1(i) i I Đặt e1 = (i) i I, ta có: u = 1e1 vµ 1 = f1(u) = 1 f1(e1) Vì R miền nguyên nên suy f1(e1) =1 Đặt T1 f11 (0) , ta chứng minh: a) T = Re1 T1 Gi¶ sư x Re1 T1 Khi ®ã x T1 f11 (0) nên f1(x) = Từ suy x = 0, tøc lµ Re1 T1 = {0} (1) Bây viết x T d-ới dạng 13 x = f1(x) e1 + (x - f1(x) e1) Ta có f1(x) e1 Re1 Mặt khác từ f1(x - f1(x) e1) = f1(x) - f1(x) f1(e1) = f1(x) - f1(x) = 0, ta rót x - f1(x) e1 T1 VËy T = Re1 T1 (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã T = Re1 T1 b) M = R1e1 M1 víi M1 = M T1 Tr-íc hÕt v× Re1 T1 = {0} nên R1e1 T1 = {0} Mặt khác, với x M, f1(x) f1(M) = R1, nên f1(x) = với R Ta viết x M d-ới dạng: x = f1(x) e1 + (x - f1(x) e1) = 1 e1+ x - 1 e1 Ta cã 1e1 R1e1, vµ x M, u = 1e1 M nªn x - e1 M Hơn f1(x - 1e1) = f1(x) - 1f1(e1) = 1 - 1 = nªn suy x-1e1 T1 Tõ ®ã ta cã: x - 1 e1 M T1 = M1 VËy M = R1e1 M1 Bây giả sử g: T R ánh xạ tuyến tính tùy ý, ta cần chøng minh r»ng: c) g(M1) R1 ThËt vËy, giả sử g(M1) R1, ta chọn ánh xạ tuyến tÝnh h: T = Re1 T1 R cho trùng với f1 Re1 trùng với g T1, th× h(M) = h(R1e1 M1) = R1 + g(M1) R1 Điều mâu thuẫn với tính tối đại iđêan R1 Vậy (c) đ-ợc chứng minh Trên ta đà xác định đ-ợc phần tử e1, đồng thời có đ-ợc tổng trực tiếp (a) (b) Bây ta chứng minh định lý quy nạp theo hạng M 14 Giả sử định lý với n -1 Vì T1 môđun tự do, M1 môđun T1 có hạng n - 1, nên theo giả thiết quy nạp, tồn n - phần tử 2, , n R sở B1 T1 chøa n - phÇn tư e2, , en cho {2e2, , nen} sở M1, ®ång thêi i chia hÕt i 1 víi mäi i = 2, , n-1 Tõ (a) ta có: {1e1, 2e2, , nen} sở cđa M vµ tõ (b) ta cã B = B1 { e1} sở T Để kÕt thóc ta cÇn chøng minh 1 chia hÕt 2 Thật vậy, xét ánh xạ tuyến tính g: T R cho tập sở B T g(e2)= vµ g(e) = víi mäi e B \ {e2} Ta đ-ợc g(M1) = R2 Vậy theo (c) ta cã R2 R1, suy 1 chia hết Định lý đ-ợc chứng minh 2.1.3 Mệnh đề Cho R vành giao hoán, có đơn vị iđêan R môđun tự R Khi vành R vành Chứng minh Giả sử I iđêan tùy ý cđa R Víi mäi phÇn tư a, b I, a ≠ 0, b ≠ 0, ta cã ab = ba hay ab - ba = Suy hai phần tử khác I phụ thuộc tuyến tính Vì sở I có phần tử Do I iđêan Vậy iđêan vành R iđêan nên để chứng minh R vành ta cần R miền nguyên Thật vậy, lấy a phần tử khác tùy ý R Vì iđêan Rmôđun tự nên tập {a} độc lập tuyến tính Tức Ann(a) = Từ suy R -ớc Do R miền nguyên Vậy R vành 2.2 Môđun hữu hạn sinh vành Trong mục này, tìm hiểu kết môđun hữu hạn sinh vành Tr-ớc hết ta có định lý sau mà thực chất xem nh- hệ Định lý 2.1.1 2.2.1 Định lý Cho M môđun sinh n phần tử vành R Khi môđun M có hệ sinh chứa không n phần tử Chứng minh Giả sử {x1, , xn} hệ sinh M Khi dễ thấy ánh xạ f : R n M 15 n a x cho bëi a1 , , an i 1 i i toàn cấu R-môđun Nếu N môđun M B = f-1(N) môđun Rn Do R vành nên B Rmôđun tự hạng s n Nếu lấy {y1, , ys} sở B rõ ràng {f(y1), , f(ys)} hƯ sinh cđa N Do ®ã N cã mét hƯ sinh chứa không n phần tử Từ định lý ta có hệ sau 2.2.2 Hệ Trên vành môđun môđun xyclic môđun xyclic Ta biết rằng, môđun môđun hữu hạn sinh không môđun hữu hạn sinh Thật vậy, cho R vành giao hoán có đơn vị Gọi A tích trực tiếp vô hạn vành R A Ri , Ri R, i I Khi ®ã A A-môđun hữu iI hạn sinh, sinh mét phÇn tư { e = ( ,1, ,1, )} Gäi B Ri , Ri R, i I iI Khi B A-môđun A Tuy nhiên B A-môđun hữu hạn sinh Vì, B có hệ sinh hữu hạn: b b 1i iI , b2 b2i iI , , bn bni iI , ta gäi k max i / i I , bmi 0, m 1, n Khi phần tử b = ( ,0, ,0,1,0, ) B (thành phần thứ k + tất thành phần khác 0) Dễ thấy b tổ hợp tuyến tính b1, , bn Điều mâu thuẫn với b1, , bn hệ sinh B Do B A-môđun không hữu hạn sinh Từ Định lý 2.2.1 ta có hệ sau 2.2.3 Hệ Trên vành môđun môđun hữu hạn sinh môđun hữu hạn sinh Định lý sau hệ Định lý 2.1.2 2.2.4 Định lý Giả sử M môđun hữu hạn sinh vành R Thế M đẳng cấu với R-môđun d¹ng R/ R1 R/ Rn, 16 ®ã 1, 2, , n thuéc R vµ i chia hÕt i 1 víi mäi i = 1, 2, , n-1 Chøng minh Gi¶ sư M cã hệ sinh gồm n phần tử Khi ta có M Rn/ N (theo Định lý 1.7.4) với N môđun Rn Vì Rn Rmôđun tự nên theo Định lý 2.1.2 tồn sở {e 1, e2, , en} Rn m phần tử 1, 2, , m cđa R víi m n cho {1e1, 2e2, , mem} lập thành së cđa N vµ i chia hÕt i 1 víi mäi i = 1, 2, , m-1 Ta ®Ỉt m + = = n = Khi ®ã: M Rn/N Re1/R1e1 Ren/ Rnen R/R1 R/ Rn Từ Định lý 2.2.4 ta lËp tøc suy hƯ qu¶ sau giúp quy toán phân loại môđun hữu hạn sinh vành toán phân loại môđun xoắn hữu hạn sinh 2.2.5 Hệ Cho M môđun hữu hạn sinh vành R Khi ®ã: (i) M = (M) F víi (M) môđun xoắn M F môđun tự (ii) M môđun tự M không xoắn Chứng minh: Từ Định lý 2.2.4, ta suy M môđun hữu hạn sinh vành R M phân tích đ-ợc thành tổng trực tiếp môđun xyclic M = M1 M2 Mn, ®ã Mi R / R i víi 1, 2, , n R vµ i chia hÕt i 1 víi mäi i = 1, 2, , n-1 DƠ thÊy r»ng tỉng trùc tiÕp cđa hạng tử Mi ứng với i môđun xoắn (M) M, tổng trực tiếp hạng tử M i ứng với i = cho ta môđun tự M Do (i) đ-ợc chứng minh Từ (i) ta thấy M không xoắn, tức (M) = 0, M = F môđun tự Ng-ợc lại, M môđun tự hữu hạn sinh nên M có sở hữu hạn, giả sử {1, 2, , n} Khi đó, x (M), tån t¹i a R, a ≠ cho ax = Gi¶ sư x ≠ 0, ta cã: = ax = a(x11 + x22 + + xn n) 17 Suy x1 = x2 = = xn = hay x = mâu thuẫn với giả sử x Vậy (M) = {0} Hệ đ-ợc chứng minh 2.2.6 Nhận xÐt Cã thĨ chøng minh 2.2.5 mét c¸ch trùc tiÕp mà không cần thông qua Định lý 2.2.4 Chứng minh Tr-ớc hết ta chứng minh (ii) Giả sử M R-môđun không xoắn với hệ sinh {x1, x2, , xn} Chän hƯ sinh nµy mét hƯ sinh độc lập tuyến tính cực đại {y 1, y2, , yk} Gọi N môđun M sinh bëi {y1, y2, , yk} V× {y1, y2, , yk} độc lập tuyến tính nên N R-môđun tự Lại {y1, y2, , yk} hệ độc lập tuyến tính cực đại {x1, x2, , xn} nªn víi mäi i = 1, 2, , n hä {y1, y2, , yk, xi} phô thuéc tuyÕn tính, tức tồn phần tử khác không R cho aixiN Đặt a = a1 an th× aixi N víi mäi i=1,2, , n Do ®ã aM N Tõ ®©y suy aM cịng Rmôđun tự Xét đồng cấu a : M aM cho bëi a(m) = am víi mäi m M Râ rµng a lµ mét toµn cấu Do M R-môđun không xoắn nên a đơn cấu, tức M aM Do M R-môđun tự Ta phải chứng minh (i) Chú ý M/(M) R-môđun không xoắn (xem Mục 1.2.4 (ii)), theo (ii) môđun tự Xét dÃy khớp ngắn M M M / M 0 Bëi Mệnh đề 1.7.5, dÃy khớp chẻ ra, tức M = (M) F với F môđun M Vì F M/(M) nên F môđun tự 2.2.7 Nhận xét Hệ 2.2.5 (i) không bỏ giả thiết hữu hạn sinh Chứng minh Đặt M pP p môđun xoắn N pP -môđun M p , tr-ớc tiên ta chứng minh r»ng N 18 ThËt vËy, nÕu a p pP M có số nguyên d-ơng n cho n a p pP , tøc lµ nap = P víi mäi p P V× (n, p) = víi p > n nên từ suy ap = víi mäi p > n Nh- vËy phÇn tử a p pP có hữu hạn thành phần khác 0, nghĩa a p pP N Đảo lại, giả sử a p pP N , ®ã cã tËp hữu hạn J P cho ap = với p J Đặt N pJ p th× dÏ thÊy r»ng n a p pP Do ®ã a p pP M VËy M N B©y giê ta sÏ chøng tỏ Hệ 2.2.5 (i) không bỏ giả thiết hữu hạn sinh cách N hạng tử trực tiếp M Để thực điều này, ta lần l-ợt chứng minh Hom ( , M) =0 vµ Hom ( , M/N) tập hợp số hữu tỉ Giả sử p số nguyên tố tùy ý, víi mäi f Hom ( , ) vµ mäi r , ta cã: f(r) = f (p(r|p))=p.f (r|p) = Tõ ®ã suy Hom ( , ) = Theo MƯnh ®Ị1.4.2 ta cã : p Hom ( ,M) pP Hom ( , ) = p §Ĩ chøng minh Hom ( , M/N) ≠ 0, tr-ớc tiên ta M/N nhóm Aben chia đ-ợc Thật vậy, giả sử n số nguyên khác (a p)pP+ N phần tử tùy ý M/N Với p > n , ảnh n tồn bp p p khả nghịch nên cho ap= nbp Đặt bp= với p n (ap)pP n(bp)pP hai phần tử M có hữu hạn thành phần khác nhau, (ap)pP + N = n[(bp)pP+N] Điều chứng tỏ M/N nhóm Aben chia đ-ợc Theo Mệnh đề 1.8.4, M/N -môđun nội xạ Với p P n Xét ánh xạ: p , kí hiệu n p ảnh n 19 M / N g: n Râ rµng g lµ mét n p pP N đồng cấu khác Vì M/N -môđun nội xạ nên theo M / N MƯnh ®Ị 1.8.2 g cã thĨ më rộng thành đồng cấu g1 : Nh- Hom ( , M/N) ≠ B©y giê nÕu N hạng tử trực tiếp M M/N đẳng cấu với môđun M (xem Mục 1.4.3) Do tồn đơn cấu h : M / N M Khi ®ã dƠ thÊy r»ng ®ång cÊu c¶m sinh h* : Hom , M / N Hom f ,M hf đơn cấu, nh-ng điều không thể, nh- ta vừa chứng minh trên, Hom ( ,M) = vµ Hom ( ,M/N) ≠ Từ Hệ 2.2.5, ta thu đ-ợc hệ sau 2.2.8 Hệ Một môđun vành có hạng môđun xoắn 2.2.9 Định lý Cho R vành chính, M R-môđun hữu hạn sinh N môđun M Khi M N có hạng M|N môđun xoắn Chứng minh Tr-ớc hết ta chứng minh N R-môđun M r(M) = r(N) + r(M/N) ThËt vËy, kÝ hiÖu S tập phần tử không -ớc R Xét dÃy khớp ngắn R-môđun N M M / N 0 , bëi MƯnh ®Ị 1.5.4, tõ d·y khíp ta thu đ-ợc dÃy khớp ngắn S -1R-môđun sau: 20 S 1 N S 1M S 1 (M / N ) Do M, N, M|N môđun có hạng nên S-1M, S-1N, S-1(M|N) S-1Rmôđun tự Khi ®ã theo MƯnh ®Ị 1.7.7, ta cã: r(S-1M) = r(S-1N) + r(S-1(M/N)) Do ®ã r(M) = r(N) + r(M/N) Từ suy r(M) = r(N) r(M/N) = theo Hệ 2.2.6, ta có M/N môđun xoắn 2.2.10 Định nghĩa Giả sử M môđun xoắn hữu hạn sinh vành R Với x M, tËp Ann(x) = {a R| ax = 0} lµ iđêan khác R Vì R vành chính, tồn phần tử R, ≠ cho Ann(x) = R PhÇn tử xác định nhất, sai khác nhân tử khả nghịch, đ-ợc gọi cấp x, kí hiệu 0(x) Cũng R vành chính, tồn nhất, sai khác nhân tử khả nghịch, phần tử khác không R cho Ann(M) = R Ta gäi lµ sè mị cđa M vµ kÝ hiƯu lµ exp(M) 2.2.11 NhËn xét Từ Định nghĩa 2.2.10, ta dễ dàng nhận thấy : (i) Sè mị cđa M chia hÕt cho cÊp phần tử (ii) Nếu M môđun xyclic sinh phần tử x exp(M) = 0(x) 2.2.12 Định lý Cho R vành M1, M2 môđun xyclic vành R với số mũ lần l-ợt , Khi M1 M2 R-môđun xyclic nguyên tố Chứng minh Giả sử M1 đ-ợc sinh phần tử x Khi M1 = Rx từ Nhận xét 2.2.11, ta cã Ann(x) = Ann(M1) = = Rα XÐt toµn cÊu f : R M1 cho bëi f(a) = ax víi mäi a R Ta thÊy Ker f = Ann(x) = R, theo Định lý đồng cấu cảm sinh ta có M1 R/R 21 T-¬ng tù M2 R/R Bëi vËy ta chØ cÇn chøng minh r»ng R/R R/R R-môđun xyclic nguyên tố Thật vậy, nguyên tố với Định lý Trung Hoa vÒ d- ta cã R/R R/R R/R R-môđun xyclic Để chứng minh điều ng-ợc lại, giả sử R/R R/R R môđun xyclic với phần tử sinh lµ (a + R , b + R ) Khi tồn s R cho s(a + R , b + R ) = (1 + R , + R ) vËy sa = + t víi t R Điều chứng tỏ a nguyên tố Mặt khác, sb R nªn ta suy | sb, ®ã | s Thay s = u (uR) vµo đẳng thức sa = + t ta đ-ợc = (au) - t Vậy nguyên tố 2.2.13 Mệnh đề Cho R vành M R-môđun xyclic với số mũ Khi M R|R mô đun tù Chøng minh LËp ln t-¬ng tù Mơc 2.2.12 ta cã M R/R Do ®ã M R/R -môđun tự 2.2.14 Định lý Mỗi môđun xoắn hữu hạn sinh M vành R có phân tích M = M1 M2 Mn, Mi môđun xyclic có số mũ exp(Mi) = pi e lũy thừa i phần tử bất khả quy pi R Chứng minh.Từ Định lý 2.2.4 ta có M môđun hữu hạn sinh vành R M đẳng cấu với R-môđun d¹ng R / R1 R / R R / R n , ®ã 1, 2, , n R vµ i chia hÕt i 1 víi mäi i = 1, 2, , n-1 Kết hợp điều với Mệnh đề 1.1.3, ta suy điều phải chứng minh Có thể chứng minh môđun xyclic Mi xuất phân tích M cho Định lý 2.2.14 Bây ta chứng minh dạng 22 M Để đơn giản, khuôn khổ khóa luận này, ta xét toán tr-ờng hợp M có số mũ lũy thừa phần tử bất khả quy 2.2.15 Định nghĩa Cho R vành Với phần tử bất khả quy p R, ta kí hiệu Cp(M) tập phần tử M có cÊp lµ mét lịy thõa cđa p DƠ thÊy tõ định nghĩa trên, Cp(M) môđun M 2.2.16 Định lý Cho M môđun xoắn hữu hạn sinh vành R với số mũ exp(M) = có phân tích tiêu chuẩn p1e p2e pke Khi ®ã k M C p1 ( M ) C pk ( M ) , ®ã exp C p M p e víi mäi i = 1, 2, , k i i i Hơn nữa, phân tích dạng M không kể đến thứ tự hạng tử Chøng minh DƠ thÊy r»ng ph©n tÝch cđa M cho Định lý 2.2.14, Cp(M) tổng trực tiếp hạng tử Mi mà pi liên kết với p Nh- vậy, M phân tích đ-ợc thành tổng trực tiếp môđun dạng C p(M) với p phần tử bất khả quy R, M viết đ-ợc d-ới dạng M C p1 ( M ) C pk ( M ) Bây giả sử M có phân tích M Cq ( M ) Cq ( M ) l qj phần tử bất khả quy R, đôi không liên kết exp Cq j M q j j , víi j = 1, 2, , l Khi ®ã ta cã: e' R Ann( M ) l j 1 Ann(Cq j ( M )) l Rq j j Rq1e '1 qle 'l e' j 1 Suy v.q1e ' qle ' với v | Từ nhận thấy đ-ợc k = l, đánh số lại cần l thiÕt, pi liªn kÕt víi qi víi mäi i = 1, 2, , k Do ®ã Cp M Cq M vµ ei = e’ i víi i i mäi i = 1, 2, , k Điều chứng tỏ dạng phân tích M tồn Định lý đà đ-ợc chứng minh 2.2.17 Mệnh đề Cho R vành Khi phát biểu sau (i) R R-môđun không phân tích đ-ợc 23 (ii) Tr-ờng th-ơng R R-môđun không phân tích đ-ợc (iii) Nếu p phần tử bất khả quy R e số nguyên d-ơng Rmôđun R|Rpe không phân tích đ-ợc Và ng-ợc lại, R môđun xyclic không phân tích đ-ợc, số mũ liên kết với lũy thừa phần tử bất khả quy R Chứng minh (i) Giả sử có phân tích R = X Y với X, Y môđun không tầm th-ờng R Khi tìm đ-ợc phần tử khác không xX yY Ta có xyXY, R miền nguyên nên xy suy XY {0}, mâu thuẫn (ii) Giả sử tr-ờng th-ơng F R có phân tích F= X Y, với X, Y môđun không tầm th-ờng F Chọn phần tử khác không a/bX c/dY ac =(bc).(a/b)=(ad).(c/d)XY Suy XY{0}, mâu thuẫn (iii) Giả sử ta có phân tích R/Rpe= X Y với X, Y R-môđun không tầm th-ờng R/Rpe Khi rõ ràng X, Y iđêan vành th-ơng R/Rpe Vì R vành nên X, Y R-môđun xyclic Giả sử a b hai phần tử R cho ảnh chúng R/Rpe lần l-ợt sinh X Y ViÕt a = ps.a1, b = pt.b1 víi (a1,p) = (b1,p) = Khi dễ thấy ảnh ps pt R/Rpe t-ơng ứng phần tử sinh X Y Bây tùy theo s t hay s > t mµ ta cã X Y hay X Y Nh- vËy kh«ng thĨ cã XY={0}, X, Y môđun không tầm th-ờng Ta gặp mâu thuẫn Vậy R/Rp e R-môđun không phân tích đ-ợc Để chứng minh khẳng định cuối cùng, giả sử M R-môđun xyclic không phân tích đ-ợc với số mũ exp(M) = 0.Khi ®ã dÔ thÊy M R/R (xem chøng minh Định lý 2.2.12) Giả sử u p1e pke phân tích tiêu chuẩn k thành tích nhân tử bất khả quy Bởi MƯnh ®Ị 1.1.3, ta cã R / R R / Rp1e1 R / Rpkek V× M không phân tích đ-ợc nên phải có k =1, liên kết với p1e 24 Kết luận Dựa vào tài liệu tham khảo, Khóa luận đà trình bày đ-ợc số tính chất môđun vành Cụ thể Khóa luận đà hoàn thành đ-ợc việc sau : Trình bày số tính chất môđun tự vành Trình bày số tính chất môđun hữu hạn sinh vành 25 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Tự C-ờng (2003), Giáo trình Đại số đại, nxb Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Bá Thị Lệ Hằng (2009), Một số tính chất môđun phẳng, Luận văn thạc sĩ toán học, Đại học Vinh [3] Hoàng Xuân Sính (1992), Đại số đại c-ơng, nxb Giáo dục [4] D-ơng Quốc Việt (2008), Cơ sở lý thuyết module, nxb đại học S- phạm ... thuyết môđun có liên quan đến kết chứng minh Ch-ơng Ch-ơng Môđun vành chính: Trình bày số tính chất môđun vành chính, cụ thể môđun tự môđun hữu hạn sinh vành Đồng thời phân tích số môđun vành Khóa... luận đà trình bày đ-ợc số tính chất môđun vành Cụ thể Khóa luận đà hoàn thành đ-ợc việc sau : Trình bày số tính chất môđun tự vành Trình bày số tính chất môđun hữu hạn sinh vành 25 Tài liệu tham... 1.7.2).Tuy nhiên vành tình hình khác hẳn, môđun môđun tự vành lại môđun tự Ta có định lý sau 2.1 Định lý Giả sử R vành Khi môđun Rmôđun tự R -môđun tự Chứng minh Giả sử T môđun tự vành R với sở I