Một số tính chất của môđun nội xạ chính

1 MỤC LỤC Mục lục Lời nói đầu Kiến thức sở 1.1 Các khái niệm 1.2 Môđun nội xạ số mở rộng Môđun nội xạ số ứng dụng 12 2.1 Mơđun nội xạ vành nội xạ 12 2.2 Một số đặc trưng vành quy von Neumann 16 Kết luận 19 Tài liệu tham khảo 20 LỜI NÓI ĐẦU Trong lý thuyết vành môđun, khái niệm nội xạ xạ ảnh xem hai khái niệm Từ hai khái niệm có nhiều hướng mở rộng khác đem lại nhiều kết thú vị Vì tính chất phong phú lớp môđun nội xạ (chẳng hạn có bao nội xạ phủ xạ ảnh không tồn tại), khái niệm nội xạ dành quan tâm đặc biệt xuất nhiều hướng mở rộng như: giả nội xạ, cốt yếu giả nội xạ, liên tục, tựa liên tục,v.v Nội xạ hướng mở rộng khái niệm nội xạ xuất phát từ tiêu chuẩn Bear: Mọi đồng cấu từ iđêan phải (trái) I R tới N mở rộng thành đồng cấu từ R tới N , cách thay điều kiện iđêan I điều kiện iđêan (lớp iđêan sinh phần tử) Thời gian gần đây, kết lớp môđun vành nội xạ cơng bố nhiều tạp chí như: Acta Mathematica Vietnamica, Rend Istit Mat Univ Trieste, Acta Math Univ Comenianae, v.v Đáng ý kết Roger Yue Chi Ming (Đại học Pari VII), tác giả thu nhiều kết đặc trưng số lớp vành thông qua lớp mơđun nội xạ có lớp vành quy theo nghĩa von Neumann (VNR) Sau tiếp cận nghiên cứu báo [4] [5] Roger Yue Chi Ming, mục tiêu đặt chúng tơi là: tìm hiểu kết liên quan đến mơđun vành nội xạ ứng dụng đặc trưng lớp vành quy Từ mục tiêu đặt trên, luận văn có tựa đề: "Một số tính chất mơđun nội xạ chính" trình bày chương 3 Chương Kiến thức sở Trong chương chúng tơi dành để trình bày khái niệm, định nghĩa lý thuyết vành có liên quan đến nội dung đề tài Chương Một số ứng dụng Trên sở kết [4], [5] [6] Chúng phát biểu lại cách có chọn lọc chứng minh tường minh kết Nội dung chương trình bày tiết: 2.1 Mơđun nội xạ - Vành nội xạ Ở tiết chúng tơi dành để trình bày kết lớp mơđun nội xạ vành nội xạ Các kết chương chủ yếu tham khảo [6] 2.2 Một số đặc trưng vành quy Có thể nói nội dung luận văn với kết đặc trưng lớp vành quy (VNR) thơng qua tính chất nội xạ Các kết chương tường minh kết [4] [5] theo hiểu biết chúng tơi Bên cạnh đó, chúng tơi chứng minh số nhận xét tác giả để làm phong phú thêm kết luận văn Luận văn bắt đầu thực từ tháng năm 2009, hướng dẫn PGS.TS Ngô Sỹ Tùng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới PGS.TS Ngô Sỹ Tùng, người định hướng nghiên cứu, tận tình giúp đỡ, thường xuyên quan tâm tạo điều kiện thuận lợi, với lời động viên khích lệ tác giả suốt q trình học tập, nghiên cứu Tác giả xin gửi tới thầy giáo, giáo tổ Đại số, khoa Tốn, khoa Đào tạo Sau đại học - trường Đại học Vinh, seminar "Lý thuyết vành Môđun" lời cảm ơn chân thành Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Ban giám hiệu bạn bè đồng nghiệp trường THCS Văn Thành, Yên Thành, Nghệ An, nơi trực tiếp tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ học viên 4 Cuối cùng, tác giả xin gửi lời chân thành cảm ơn giúp đỡ ủng hộ tinh thần lẫn vật chất gia đình, anh em bạn bè suốt thời gian qua dành cho tác giả Vinh, tháng 11 năm 2009 Lê Thị Hóa CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ Trong chương này, chúng tơi dành để trình bày khái niệm tính chất có liên quan đến luận văn Các thuật ngữ, khái niệm kí hiệu chúng tơi chủ yếu sử dụng theo tài liệu tham khảo [1], [2], [3] [7] Nếu khơng nói thêm, tất vành ln giả thiết vành kết hợp, có đơn vị môđun phải (hoặc trái) unita 1.1 Các khái niệm 1.1.1 Định nghĩa Cho R vành A tập R Iđêan phải (trái) bé R chứa A gọi iđêan phải (trái) sinh A (ideal generated by A) ký hiệu < A >R (t.ư 1.1.2 Nhận xét R < A >) • Iđêan phải (trái) sinh A giao tất iđêan phải (trái) R chứa A Nghĩa là: < A >R = ∩{I ⊂ R|I iđêan phải R, A ⊂ I} • Vành R có đơn vị nên viết: < A >R = {Σni=1 ri |n ∈ N, ri ∈ R, ∈ A} = AR 1.1.3 Định nghĩa Nếu iđêan phải (trái) I vành R sinh tập hữu hạn A ⊂ R, I gọi iđêan hữu hạn sinh (finitely generated) Đặc biệt, I sinh phần tử a ∈ R gọi iđêan phải (trái) (principal ideal) 6 1.1.4 Định nghĩa Cho vành R Một phần tử a ∈ R gọi là: ∗ lũy đẳng a2 = a ∗ lũy linh ak = 0, với k ∈ N∗ ∗ quy tồn b ∈ R cho aba = a Vành R gọi vành quy theo nghĩa von Neumann (VNR) phần tử R quy 1.1.5 Định nghĩa Một iđêan trái I vành R gọi là: iđêan trái tối tiểu I = không chứa thực iđêan trái khác không R iđêan trái tối đại I = R khơng chứa iđêan trái khác R nil iđêan trái phần tử I phần tử lũy linh iđêan lũy linh tồn k ∈ N∗ cho I k = iđêan lũy đẳng I = I Hoàn tồn tương tự, định nghĩa cho phía phải Vành R gọi rút gọn (reduced ring) khơng chứa iđêan lũy linh khác khơng 1.1.6 Định nghĩa Cho vành R • Một iđêan thực I R gọi iđêan nguyên tố (prime ideal) với iđêan A, B R thỏa mãn A.B ⊂ I ta có A ⊂ I B ⊂ I Iđêan I gọi iđêan nửa nguyên tố (semiprime ideal) giao iđêan nguyên tố • Căn nguyên tố (prime radical) vành R, ký hiệu N (R), giao tất iđêan nguyên tố R Trong trường hợp N (R) = ta gọi vành R vành nửa nguyên tố (semiprime ring) 1.1.7 Định nghĩa Cho vành R A tập khác rỗng R (1) Linh hóa tử trái (phải) A R tập hợp l(A) = {b ∈ R : ba = 0; ∀a ∈ A} (t.ư., r(A) = {b ∈ R : ab = 0; ∀a ∈ A}) 7 (2) Linh hóa tử A R tập hợp annR (A) = {l(A) ∩ r(A)} Chúng ta quan niệm linh hóa tử phần tử x ∈ R trường hợp đặc biệt A = {x} 1.1.8 Định nghĩa a) Môđun A R-môđun M gọi môđun thực A = A = M b) Một R-môđun M gọi môđun đơn M không chứa mơđun thực nào, nghĩa M có hai mơđun c) Một R-môđun M gọi môđun nửa đơn môđun M hạng tử trực tiếp 1.1.9 Định nghĩa a) Môđun N R-môđun M gọi môđun cốt yếu (essential submodule) M ký hiệu N M môđun K = M có giao khác khơng với N Khi ta nói M mở rộng cốt yếu (essential extension) N b) R-môđun M gọi môđun (uniform module) môđun khác khơng M cốt yếu 1.1.10 Ví dụ Mơđun K R-mơđun nửa đơn M môđun cốt yếu M K = M Với R-mơđun M ta có M Q Z-mơđun đều, đặc biệt nZ M Z Mọi môđun đơn môđun 1.1.11 Định nghĩa a) Môđun N R-mơđun M gọi đóng (closed) M N khơng có mở rộng cốt yếu thực Hay nói cách khác, N gọi đóng M với môđun K M thỏa mãn N K K = N b) Môđun K R-môđun M gọi bao đóng (closure) mơđun N M K môđun tối đại M cho N K Các khái niệm liên quan đến môđun suy biến (singular submodule) iđêan suy biến (singular ideal) 1.1.12 Định nghĩa • Cho M R- môđun phải Phần tử m ∈ M gọi phần tử suy biến M r(m) RR Tập tất phần tử suy biến M môđun M , ký hiệu Z(M ), gọi môđun suy biến M • Xét vành R R- mơđun phải ta có Z(RR ) iđêan R gọi iđêan suy biến phải (right singular ideal) Tương tự ta có Z(R R) iđêan suy biến trái (left singular ideal) • R- môđun M gọi môđun suy biến (không suy biến) Z(M ) = M (t.ư., Z(M ) = 0) Đặc biệt, vành R gọi vành không suy biến phải (trái) Z(RR ) = (t.ư., Z(R R) = 0) Đế phải MR , kí hiệu Soc(MR ), tổng trực tiếp môđun đơn MR , giao tất môđun cốt yếu M Nếu MR không chứa mơđun đơn Soc(MR ) = Căn phải MR , kí hiệu Rad(MR ), giao tất môđun tối đại MR , tổng tất môđun bé MR Nếu MR không chứa môđun tối đại ta định nghĩa Rad(MR ) = M Đặc biệt, biết Rad(RR ) = Rad(R R) = J(R) Do khơng sợ nhầm lẫn, ta ln kí hiệu J(R) (hoặc đơn giản J) để Jacobson vành R Radical RR 1.2 Môđun nội xạ số mở rộng 1.2.1 Định nghĩa R-môđun N gọi M -nội xạ với môđun X M , đồng cấu ϕ : X → N mở rộng thành đồng cấu ψ : M → N Môđun N gọi tựa nội xạ N N - nội xạ Môđun N gọi môđun nội xạ N A-nội xạ với A Mod-R Như có, mơđun N nội xạ N RR -nội xạ Mơđun N nội xạ thỏa mãn điều kiện tương đương sau: a) Với môđun A với môđun X A, đồng cấu f : X → N mở rộng thành đồng cấu từ A → N ; b)(Tiêu chuẩn Baer) Mọi đồng cấu từ iđêan phải I R tới N mở rộng thành đồng cấu từ R tới N ; c) Với R-môđun M , đơn cấu f : N → M chẻ Nghiã là, Im f hạng tử trực tiếp M ; d) R-mơđun N khơng có mở rộng cốt yếu thực 1.2.2 Định nghĩa Hai R-môđun M N gọi nội xạ lẫn M N -nội xạ ngược lại 1.2.3 Định nghĩa Nếu N môđun cốt yếu mơđun nội xạ E E gọi bao nội xạ hay R-bao nội xạ môđun N Kí hiệu E(N ) Đối ngẫu với khái niệm mơđun nội xạ có khái niệm mơđun xạ ảnh 1.2.4 Định nghĩa Môđun P gọi M -xạ ảnh với toàn cấu g : M → N đồng cấu f : P → N tồn đồng cấu h : P → M cho f = gh Môđun P gọi xạ ảnh P M -xạ ảnh với mơđun M thuộc Mod-R 10 Khái niệm nội xạ có nhiều hướng mở rộng khác nhau, chẳng hạn như: giả nội xạ, cốt yếu giả nội xạ v.v Ở tiết ta đặc biệt quan tâm hướng mở rộng tính chất nội xạ thơng qua điều kiện C1 , C2 , C3 Từ đó, có khái niệm CS-môđun, môđun liên tục, môđun tựa liên tục v.v Cho MR R- môđun phải Ta xét điều kiện sau: • (C1 ) : Mọi môđun MR cốt yếu hạng tử trực tiếp MR Hay nói cách khác, mơđun đóng MR hạng tử trực tiếp MR • (C2 ) : Nếu A B môđun MR đẳng cấu với A hạng tử trực tiếp MR B hạng tử trực tiếp MR • (C3 ) : Nếu A B hạng tử trực tiếp MR A ∩ B = A ⊕ B hạng tử trực tiếp MR • (1 − C1 ) : Nếu U mơđun đóng, MR U hạng tử trực tiếp MR Điều kiện (1 − C1 ) mở rộng điều kiện C1 từ điều kiện C2 suy điều kiện C3 1.2.5 Định nghĩa Môđun MR gọi CS-môđun (hay extending module) MR thỏa mãn điều kiện (C1 ) Môđun MR gọi liên tục (continuous) MR thỏa mãn điều kiện (C1 ) (C2 ) Môđun MR gọi tựa liên tục (quasi-continuous) MR thỏa mãn điều kiện (C1 ) (C3 ) Môđun MR gọi (1 − C1 )- môđun (uniform extending) MR thỏa mãn điều kiện (1 − C1 ) Từ định nghĩa có dãy kéo theo sau đây: Nội xạ ⇒ Tựa nội xạ ⇒ Liên tục ⇒ Tựa liên tục ⇒ CS ⇒ (1 − C1 ) 11 Sử dụng khái niệm cho vành R xét R R-mơđun có khái niệm tương ứng 1.2.6 Định nghĩa • Vành R gọi CS (liên tục, tựa liên tục) vành phải RR CS (liên tục, tựa liên tục) môđun phải • Vành R gọi C1 (C2 , C3 ) vành phải RR thỏa mãn tính chất C1 (t.ư., C2 , C3 ) Tương tự có khái niệm cho phía trái 12 CHƯƠNG MƠĐUN NỘI XẠ CHÍNH VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Nội dung chương kết liên quan đến lớp môđun nội xạ chính, tính chất ứng dụng tính chất nội xạ đặc trưng số lớp vành Sử dụng báo [4], [5] [6], làm sáng tỏ kết chứng minh cách tóm tắt, phát biểu dạng nhận xét khơng có chứng minh 2.1 Mơđun nội xạ vành nội xạ Chúng ta mở đầu tiết định nghĩa số tính chất mơđun nội xạ Các kết phần chủ yếu tham khảo [6] 2.1.1 Định nghĩa • R-mơđun trái M gọi nội xạ (principal injective), ký hiệu p -nội xạ với iđêan trái P R, R- đồng cấu trái từ P đến M mở rộng thành R- đồng cấu trái từ R tới M Hay nói cách khác, R-môđun trái M p - nội xạ với iđêan trái P R với R- đồng cấu trái f : P → M , tồn phần tử m ∈ M cho f (x) = xm, ∀x ∈ P • Vành R gọi vành p - nội xạ trái R R mơđun p -nội xạ • Vành R gọi PP-vành trái iđêan trái R 13 xạ ảnh Hay nói cách khác: Với a ∈ R, đồng cấu ϕ : R → Ra : r → chẻ ra, nghĩa Kerϕ = l(a) hạng tử trực tiếp R sinh phần tử lũy đẳng Chúng ta định nghĩa hoàn toàn tương tự cho phía phải 2.1.2 Nhận xét • Từ định nghĩa mơđun nội xạ thấy rằng, M R- mơđun trái nội xạ với đồng cấu f từ iđêan trái P đến M tồn m ∈ M cho f (x) = xm, ∀x ∈ P Điều có nghĩa là, đồng f = m phép nhân • Nếu M R-mơđun nội xạ M mơđun nội xạ Tuy nhiên, điều ngược lại khơng hồn tồn xác (xem [7]) Vành R quy R-mơđun trái nội xạ • Mọi vành tự nội xạ trái nội xạ trái Sau số tính chất vành mơđun nội xạ 2.1.3 Mệnh đề Các điều kiện sau tương đương vành R R nội xạ phải; lr(a) = Ra với a ∈ R; Nếu r(a) ⊆ r(b), a, b ∈ R, Rb ⊆ Ra; l[bR ∩ r(a)] = l(b) + Ra, với a, b ∈ R; Nếu γ : aR → R, a ∈ R đồng cấu γ(a) ∈ Ra Chứng minh • (1) ⇒ (2) : Trước hết, từ định nghĩa linh hóa tử ln có Ra ⊆ lr(a) (∗) Chúng ta phải chứng minh chiều ngược lại, nghĩa phải chứng minh lr(a) ⊆ Ra (∗∗) Thật vậy, b ∈ lr(a) r(a) ⊆ r(b) Xét đồng cấu γ : aR → R xác định sau: γ(ar) = br Từ giả thiết R vành P - nội xạ 14 phải, ta có tồn c ∈ R cho: γ(ar) = car = br b = ca ∈ Ra, (∗∗) chứng minh Từ (∗) (∗∗) ta có lr(a) = Ra với a ∈ R • (2) ⇒ (3) : Từ giả thiết r(a) ⊆ r(b) ta có b ∈ lr(a) Sử dụng kết chứng minh ta có b ∈ Ra, ta có điều phải chứng minh • (3) ⇒ (4) : Hiển nhiên có l[bR ∩ r(a)] ⊇ l(b) + Ra (∗) Xét x ∈ l[bR ∩ r(a)] Khi đó, r(ab) ⊆ r(xb) theo điều kiện (3) ta có xb = rab, với r ∈ R Suy x − ∈ l(b), điều chứng tỏ l[bR ∩ r(a)] ⊆ l(b) + Ra (∗∗) Từ (∗), (∗∗) ta có điều phải chứng minh • (4) ⇒ (5) : Xét γ : aR → R R-đồng cấu đặt γ(a) = d Khi r(a) ⊆ r(d) d ∈ lr(a) Hơn nữa, chọn b = điều kiện (4), ta có lr(a) = Ra d ∈ Ra • (5) ⇒ (1) : Xét γ : aR → RR Sử dụng giả thiết điều kiện (5) ta đặt γ(a) = ca, c ∈ R Từ γ = c ta có điều kiện (1) 2.1.4 Mệnh đề Cho R vành nội xạ phải giả sử rằng: Với a ∈ R Ra ⊆ aR l(a) ⊆ r(a) Khi đó, điều kiện sau tương đương: R VNR; J(R) = 0; R vành nửa nguyên tố; R vành rút gọn, nghĩa vành R không chứa iđêan lũy linh khác không 15 Chứng minh Trước hết thấy (1) ⇒ (2) (2) ⇒ (3) dễ dàng suy từ định nghĩa tính chất vành quy theo nghĩa von Neumann, vành nửa nguyên tố Jacobson Vấn đề lại chứng minh điều kiện (3) suy (4) (4) suy (1) (3) ⇒ (4) : Với a ∈ R, a2 = có điều phải chứng minh Ngược lại, a2 = 0, sử dụng điều kiện (3) chứng minh aRa = Thật vậy, theo giả thiết bổ đề ta thấy: • Nếu Ra ⊆ aR aRa ⊆ a(aR) = • Nếu l(a) ⊆ r(a) Ra ⊆ l(a) ⊆ r(a), aRa = Ta có điều phải chứng minh (4) ⇒ (1) : Với a ∈ R, ta phải chứng minh a ∈ aRa Trước hết có a2 r = ⇒ (ara)2 = ⇒ ara = ⇒ (ar)2 = ⇒ ar = Do r(a2 ) ⊆ r(a) Sử dụng kết Mệnh đề 2.1.3, R vành nội xạ phải nên a ∈ Ra2 • Nếu Ra ⊆ aR a ∈ Ra2 = (Ra)a ⊆ (aR)a • Nếu l(a) ⊆ r(a) đặt a = ra2 có (1 − ra) ∈ l(a) ⊆ r(a) Do a = ara Vậy có R vành quy theo nghĩa von Neumann Tiếp theo, có kết mối liên hệ vành nội xạ C2 vành 2.1.5 Định lý Mọi vành nội xạ phải C2 vành phải, điều ngược lại khơng Chứng minh Giả sử T iđêan phải R T ∼ = eR, e2 = e ∈ R Khi T = aR, với a R T xạ ảnh Do r(a) ⊆⊕ RR , với f = f ∈ R, có r(a) = f R Suy Ra = lr(a) = R(1 − f ) ⊆⊕ R R Điều chứng tỏ R C − vành phải Để chứng minh chiều ngược lại xét ví dụ sau 16 a v 2.1.6 Ví dụ Xét vành R = { a |a ∈ F, v ∈ V } Trong F trường, V khơng gian véc tơ chiều Khi đó, R vành giao hốn, địa phương, artin C2 khơng nội xạ u Chứng minh Đặt V = uF ⊕ wF ký hiệu u = 0 Khi ua wa uF uR = 0 f : uR → R : 0 → 0 R đồng cấu mở rộng từ R → R w khơng thuộc uF Do R khơng vành nội xạ Ta dễ thấy R vành địa phương, để chứng minh R C2 vành, cần chứng minh T ∼ = R, với T iđêan phải R T = R Thật vậy, f : R → T đẳng cấu T = xR, x = f (1) Mặt khác, r(x) = nên x phần tử khả nghịch Từ ta có điều phải chứng minh 2.2 Một số đặc trưng vành quy von Neumann Trong tiết này, chúng tơi chủ yếu dành để trình bày kết đặc trưng lớp vành quy theo nghĩa von Neumann (VNR) thơng qua lớp mơđun nội xạ Tài liệu tham khảo tiết kết báo [4] [5] Kết sau đặc trưng VNR 2.2.1 Bổ đề Cho R vành, điều kiện sau tương đương: (a) R VNR; (b) Mọi R- môđun trái nội xạ chính; (c) Mọi R- mơđun trái xiclic nội xạ Chứng minh • (a) ⇒ (b) : Giả sử M R- môđun trái, Rb iđêan trái f : Rb → M R- đồng cấu trái Theo giả thiết (a), vành R VNR nên tồn c ∈ R cho 17 b = bcb Đặt f (cb) = y ∈ M , với a ∈ R ta có: f (ab) = f (abcb) = abf (cb) = aby Như vậy, tồn y = f (cb) ∈ M thỏa mãn f (ab) = aby Sử dụng định nghĩa môđun P - nội xạ, điều chứng tỏ M mơđun nội xạ • (b) ⇒ (c) : Hiển nhiên • (c) ⇒ (a) : Từ giả thiết điều kiện (c), với b ∈ R, xét ánh xạ đồng i : Rb → Rb Do Rb mơđun nội xạ nên tồn c ∈ Rb cho i(ab) = abc, với a ∈ R Khi ta có, b = i(b) = bc Từ c ∈ Rb ta viết c = db, với d R Điều suy b = bdb R vành quy Chúng ta có (c) ⇒ (a) Tiếp theo đặc trưng khác vành quy thơng qua tính chất nội xạ lớp mơđun đơn 2.2.2 Mệnh đề Trên vành R, điều kiện sau tương đương: (a) R VNR không chứa phần tử lũy linh khác không; (b) Mọi R- mơđun đơn nội xạ iđêan trái R iđêan hai phía Chứng minh • (a) ⇒ (b) : Theo giả thiết điều kiện (a), R VNR không chứa phần tử lũy linh khác khơng iđêan trái R iđêan hai phía Sử dụng kết Bổ đề 2.2.1, R- môđun trái nội xạ chính, ta có R- mơđun đơn nội xạ • (b) ⇒ (a) : Để chứng minh R VNR không chứa phần tử lũy linh khác không, trước hết ta chứng minh rằng: Với b ∈ R, Rb + l(b) = R (2.1) 18 Giả sử ngược lại đẳng thức 2.1 không Đặt J iđêan trái tối đại chứa Rb + l(b) Định nghĩa ánh xạ f : Rb → R/J sau: f (ab) = a + J, ∀a ∈ R Nếu a1 b = a2 b (a1 − a2 )b = ⇒ a1 − a2 ∈ l(b) ⊆ J Điều có nghĩa f (a1 b) = a1 + J = a2 + J = f (a2 b) f định nghĩa R- đồng cấu Mặt khác, từ J iđêan tối đại nên R/J đơn, theo giả thiết ta có R/J mơđun nội xạ Suy tồn c ∈ R cho f (ab) = ab(c + J) với a ∈ R Hơn nữa, + J = f (b) = b(c + J) = bc + J Từ điều kiện mội iđêan trái iđêan phía ta có bc ∈ J, ∈ J Điều mâu thuẩn với giả sử trên, ta có đẳng thức 2.1 Từ đẳng thức suy = db + s, với d R, s ∈ l(b) Do ta có b = db2 + sb = db2 Điều chứng tỏ R vành quy khơng chứa phần tử lũy linh khác không Vành R gọi V-vành R- môđun đơn nội xạ Đặc biệt, trường hợp R vành giao hoán thu kết sau 2.2.3 Hệ Vành giao hoán R V-vành R môđun đơn nội xạ Chứng minh Nếu R V- vành M R- mơđun đơn, tính chất V - vành R ta có M nội xạ M nội xạ Ngược lại, cho R vành giao hốn R - mơđun đơn nội xạ Khi tính chất gioa hốn vành R mà iđêan trái R iđêan hai phía, nên vành R thỏa mãn điều kiện (b) Mệnh đề 2.2.2 R thỏa mãn điều kiện (a) Mệnh đề 2.2.2, nghĩa R VNR không chứa phần tử lũy linh khác không Lại áp dụng Bổ đề 2.2.1 ta thu R - mơđun nội xạ R mơđun đơn nội xạ Hay nói cách khác, R V - vành 19 KẾT LUẬN Sử dụng tài liệu tham khảo [4], [5] [6] chúng tơi trình bày nội dung luận văn sau: Trong 2.1, trình bày cách có chọn lọc chứng minh chi tiết kết mơđun nội xạ vành nội xạ (Mệnh đề 2.1.3, Mệnh đề 2.1.4) Ngồi ra, luận văn trình bày chứng minh tường minh mối liên hệ C2 vành lớp vành nội xạ (Định lý 2.1.5, Ví dụ 2.1.6) Sử dụng lớp mơđun nội xạ để trình bày đặc trưng lớp vành quy (VNR) (Bổ đề 2.2.1, Mệnh đề 2.2.2), từ trình bày đặc trưng lớp V - vành (Hệ 2.2.3) 20 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] F.W Anderson and K.R Furler (1974), Ring and Categories of Modules, Springer - Verlag, NewYork - Heidelberg - Berlin [2] F.Kasch and D.A.R Wallace (1982), Modules and Rings, Academic press [3] T Y Lam (1999), Lectures on Modules and Rings, GMT, Vol 189, Springer Verlag [4] Roger Yue Chi Ming (1974), On von Neumann regular rings, Proc Edinburgh Math Soc 19, pp 89-91 [5] Roger Yue Chi Ming (2003), On VNR rings and P-injective, Acta Mathematica Vietnamica, Volume 28, Number 3, pp 309-318 [6] W K Nicholson and M F Yousif (2003), Quasi- Frobenius Rings, Cambridge Univ Press, Vol 158 [7] R.Wisbauer (1991), Foundations of Module and Ring Theory, Gordon and Breach, Reading  ... 1.2 Môđun nội xạ số mở rộng 1.2.1 Định nghĩa R -môđun N gọi M -nội xạ với môđun X M , đồng cấu ϕ : X → N mở rộng thành đồng cấu ψ : M → N Môđun N gọi tựa nội xạ N N - nội xạ Môđun N gọi môđun nội. .. Nếu N môđun cốt yếu môđun nội xạ E E gọi bao nội xạ hay R-bao nội xạ mơđun N Kí hiệu E(N ) Đối ngẫu với khái niệm môđun nội xạ có khái niệm mơđun xạ ảnh 1.2.4 Định nghĩa Mơđun P gọi M -xạ ảnh... thỏa mãn tính chất C1 (t.ư., C2 , C3 ) Tương tự có khái niệm cho phía trái 12 CHƯƠNG MƠĐUN NỘI XẠ CHÍNH VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Nội dung chương kết liên quan đến lớp mơđun nội xạ chính, tính chất ứng