Một số tính chất của môđun liên tục và u liên tục

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH TRỊNH THỊ PHƢƠNG LAN MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MễUN LIấN TC V U-LIấN TC Chuyên nghành : I SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học PGS.TS NGÔ SỸ TÙNG Nghệ An, 2011 MỤC LỤC Trang Mục lục……………….……………………………….……………… … Một số ký hiệu luận văn………………………………………… …2 Mở đầu………… ………………………… ………………………… ….3 Chƣơng I Kiến thức sở………… ………………………………… …5 1.1 Môđun cốt yếu, mơđun đóng phần bù…………… 1.2 CS-mơđun, (1-C1)-mơđun, môđun liên tục, môđun tựa liên tục, môđun u-liên tục môđun u-tựa liên tục…… ………… … 1.3 Chiều môđun… ……………………………….… …8 1.4 Môđun nội xạ, môđun tựa nội xạ môđun giả nội xạ… ….….8 Chƣơng II Một số tính chất mơđun liên tục u-liên tục… …… 11 2.1 Môđun liên tục tựa liên tục… ………….…… ………… 11 2.2 Môđun u-liên tục môđun u-tựa liên tục………………… 26 Kết luận……………………………………………………………….…….32 Tài liệu tham khảo………………………………………….… ………….33 MỘT SỐ KÝ HIỆU TRONG LUẬN VĂN N  M: N môđun môđun M N e M : N môđun cốt yếu môđun M N   M : N hạng tử trực tiếp môđun M A  B: Tổng trực tiếp môđun A môđun B  iI Mi : Tổng trực tiếp môđun Mi với tập số I Gdim(M): Số chiều mơđun M ∏i∊IMi: Tích Đềcác mơđun Mi với tập số I E(M): Bao nội xạ môđun M Z: Vành số nguyên ( Z - mơđun) □: Kết thúc chứng minh LỜI NĨI ĐẦU Cùng với lớp môđun xạ ảnh, lớp môđun nội xạ xem trụ cột nghiên cứu lý thuyết mơđun lý thuyết vành Chính mà lớp mơđun nội xạ nhà tốn học nghiên cứu mở rộng theo nhiều hướng khác Một hướng quan trọng đưa lớp môđun tựa nội xạ, liên tục, tựa liên tục, CS-môđun, (1-C1)-môđun Sự đời lớp CS-môđun có ứng dụng tốt nghiên cứu lý thuyết vành, thúc đẩy lý thuyết môđun phát triển mạnh mẽ Kết theo hướng N V Dung, Đ V Huynh, Smith, Wisbaure tổng kết lại sách chuyên khảo “Extending modules” Ta biết môđun gọi CS-mơđun mơđun đóng hạng tử trực tiếp Một mơđun gọi (1-C1)-mơđun mơđun đóng hạng tử trực tiếp Như vậy, lớp (1-C1)-là mở rộng thực lớp CS-môđun Hiện việc nghiên cứu lớp (1-C1)môđun để đặc trưng cho vành nhiều nhà tốn học nước ngồi nước quan tâm Thời gian gần đây, tác giả Ngô Sỹ Tùng Thiều Đình Phong đưa khái niệm mơđun u-liên tục chứng tỏ mơđun M có dạng M   iI U i (trong Ui môđun với i ∊ I) liên tục u - liên tục (Xem[3]) Mơđun M có tính chất hạng tử trực tiếp địa phương hạng tử trực tiếp mơđun đóng M có chứa mơđun M mơđun u-liên tục M môđun u-tựa liên tục Mục đích luận văn dựa vào tài liệu [3] [4] để hệ thống lại cách chi tiết tính chất mơđun u-liên tục Luận văn chia làm hai chương: Chương 1: Nêu lên số khái niệm tính chất sở cần thiết cho việc trình bày luận văn Chương 2: Trình bày số tính chất mơđun liên tục mơđun tựa liên tục Trình bày số tính chất mơđun u-liên tục mơđun u-tựa liên tục Luận văn bắt đầu thực từ tháng năm 2011, hướng dẫn PGS TS Ngô Sỹ Tùng Nhân dịp tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn, người định hướng nghiên cứu dành cho tác giả bảo tận tình, nghiêm khắc Cũng dịp này, tác giả xin cảm ơn đến PGS.TS Nguyễn Quý Dy, PGS.TS Nguyễn Thành Quang, PGS.TS Lê Quốc Hán, TS Nguyễn Thị Hồng Loan, TS Mai Văn Tư, thầy, cô giáo khoa Toán chuyên ngành Đại số Lý thuyết số Trường Đại học Vinh, khoa Sau Đại học nhiệt tình giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt q trình học tập hồn thành luận văn Cuối cùng, khả thân cịn hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận đóng góp q báu q thầy, giáo tất bạn đọc Nghệ An, tháng 10 năm 2011 Tác giả CHƢƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ Các vành ln giả thiết vành kết hợp có đơn vị, môđun vành hiểu mơđun phải unita (nếu khơng ghi thêm) 1.1 MƠĐUN CON CỐT YẾU, MƠĐUN CON ĐĨNG VÀ PHẦN BÙ 1.1.1 Định nghĩa Cho R vành, M R-môđun, N môđun M Môđun N gọi cốt yếu M, ký hiệu N  e M, với môđun K M, K K N Ta nói M mở rộng cốt yếu N Môđun M gọi (Uniform) M  hai môđun khác không A, B M ta ln có A  B  Mơđun N gọi đóng M N khơng có mở rộng cốt yếu thật Nói cách khác, N gọi đóng M với môđun e M mà N  K K = N K Mơđun K M gọi bao đóng môđun N M K môđun tối đại M cho N cốt yếu K Một môđun H M gọi phần bù (complement) N M H tối đại M mà H N = Một môđun H M gọi phần bù M tồn môđun N M cho H phần bù N M 1.1.2 Tính chất Cho M, N, K R-môđun phải với K N, N M, ta có: (i) Bao đóng mơđun N môđun M tồn (ii) Nếu K phần bù N, N phần bù M K phần bù M 1.1.3 Mệnh đề Cho M, N, K R - môđun phải với N e Nếu N / K  M / K N  e M M K N Chứng minh Lấy A M Nếu A = K A N cốt yếu M Nếu A K) N=K N=K e K , N/ K  M/ K nên (N/ K) Vì tồn phần tử n N; a A; k1, k2, k a + k + k2 Từ suy a = n + k1 – k – k2 ((A + K)/ K cho n + k1 = Do a N a 0, suy A N Vậy N cốt yếu M 1.1.4 Mệnh đề Nếu K môđun M L phần bù K (i) L đóng M (ii) L K mơđun cốt yếu M Chứng minh (i) Gọi N môđun M cho L cốt yếu N Nếu N L K = 0, L tối đại nên N N nên (N K) L=N K (K L) Mà N Vì K K L N L cốt yếu L = nên dẫn đến mâu thuẫn Vậy N = L, hay L đóng M (ii) Gọi N L = Do (N n L K M, giả sử N N L) (K L) = 0, suy N K = ( có n + l = k n = k –l, hay n N L, mà k – l = nên n = 0) Theo tính chất tối đại L N = L hay N = Điều mâu thuẫn với N hay K K = Vậy N (K L) 0, L môđun cốt yếu tromg M 1.2 CS-MÔĐUN, (1-C1) MÔĐUN, MÔĐUN LIÊN TỤC, MÔĐUN TỰA LIÊN TỤC, MÔĐUN U-LIÊN TỤC VÀ MÔĐUN U-TỰA LIÊN TỤC Cho M R - môđun phải Ta xét điều kiện sau: (C1) Mọi môđun M cốt yếu hạng tử trực tiếp M Nói cách khác, mơđun đóng M hạng tử trực tiếp M (C2) Nếu A B môđun M, A  B A hạng tử trực tiếp M B hạng tử trực tiếp M (C3) Nếu môđun A B hạng tử trực tiếp M A  B  A  B hạng tử trực tiếp M 1.2.1 Định nghĩa Một môđun M gọi CS-môđun M thoả mãn điều kiện (C1) Một môđun M gọi có tính chất (U) hay M (1-C1)-mơđun mơđun đóng M hạng tử trực tiếp M Một môđun M gọi liên tục thoả mãn điều kiện (C1) điều kiện (C2) Môđun M gọi u-liên tục M môđun liên tục mơđun đều, nghĩa M có tính chất (U) thoả mãn điều kiện (C2) Môđun M gọi tựa liên tục M môđun thoả mãn điều kiện (C1) điều kiện (C3) Môđun M gọi u-tựa liên tục M môđun tựa liên tục môđun đều, nghĩa M có tính chất (U) thỏa mãn (C3) Vành R gọi liên tục phải môđun RR liên tục Vành R gọi u-liên tục phải môđun RR u-liên tục 1.2.2 Tính chất 1.Mơđun M thoả điều kiện (C2) thoả điều kiện (C3) 2.Hạng tử trực tiếp CS-môđun CS-môđun 3.Nếu môđun M CS-môđun M (1-C1)-mơđun 1.2.3 Bổ đề Cho mơđun M, phát biểu sau tương đương: (i) M thoả mãn điều kiện (C3) (ii)Với hạng tử trực tiếp P, Q M, với P  Q = 0, tồn môđun P’ M cho M = P  P’ Q  P’ Chứng minh (i) suy (ii) Cho P, Q hạng tử trực tiếp M, với P  Q = Khi P  Q hạng tử trực tiếp M (theo (i)), hay M = P  Q  Q’’ với Q” môđun M Đặt P’ = Q  Q’’ M = P  P’ Q  P’ (ii) suy (i) Cho K, L hạng tử trực tiếp M cho K  L = Theo (ii), M = K  K’ với K’ môđun cho L  K’ Nhưng M = L  L’ với L’ môđun M Do K’ = L  (K’  L’), suy M = K  L  (K’ L’) Vậy K  L hạng tử trực tiếp M  1.3 CHIỀU ĐỀU CỦA MÔĐUN Một mơđun M vành R gọi có chiều (hay chiều Uniform) hữu hạn M không chứa tổng trực tiếp vô hạn môđun khác không M gọi có chiều vơ hạn trường hợp ngược lại Số hạng tử khác không lớn tổng trực tiếp môđun M mà cốt yếu M số bất biến, gọi số chiều (hay chiều Uniform) M kí hiệu Gdim (M) (hay Udim (M)) Cho R vành, ta gọi chiều phải R chiều RR chiều trái R chiều RR 1.4 MÔĐUN NỘI XẠ, MÔĐUN TỰA NỘI XẠ VÀ MÔĐUN GIẢ NỘI XẠ 1.4.1 Định nghĩa Cho R vành Môđun M gọi A-nội xạ (A-injective) với môđun X A, đồng cấu f: X  M mở rộng tới đồng cấu f *: A  M A X f f* M Môđun M gọi tựa nội xạ (quasi-injective) M M-nội xạ Môđun M gọi nội xạ (injective) M N-nội xạ, với R- môđun phải N Bao nội xạ (injective hull) R-môđun phải M, ký hiệu E (M) môđun nội xạ mở rộng cốt yếu M Hai R-môđun phải M, N gọi nội xạ lẫn (relatively in-jective) đồng thời M N-nội xạ N M-nội xạ 10 Môđun N gọi M-giả nội xạ (M-pseudo injective) môđun A M, đơn cấp : A  N mở rộng tới đồng cấu:  : M  N M A   N Môđun N gọi giả nội xạ (pseudo injective) N N-giả nội xạ Đơn cấu f: M  N R-môđun gọi chẻ Imf hạng tử trực tiếp N 1.4.2 Tính chất (i) Bao nội xạ E (M) tồn với R-môđun phải M (ii) Theo định nghĩa trên, lớp môđun giả nội xạ mở rộng thật lớp môđun tựa nội xạ 1.4.3 Mệnh đề Nếu N môđun M-giả nội xạ đơn cấu f: N  M chẻ Chứng minh i M f(N) f g N Giả sử f : N  M đơn cấu Khi f (N)  N, giả sử g : f (N)  N nghịch ảnh f Ta có f (N)  M N M-giả nội xạ nên tồn đồng cấu f  cho g = f  i Do cách xác định g nên ta có f  f = f  (if) = gf = idN Vậy theo tính chất đồng cấu môđun, f đơn cấu chẻ □ 1.4.4 Hệ Mơđun giả nội xạ thoả điều kiện (C2) Chứng minh Giả sử M môđun giả nội xạ, A, B  M, A  B A hạng tử trực tiếp M Ta chứng minh B hạng tử trực tiếp M 19 Khơng tính tổng qt, giả sử M '  M L  M Xét L mơđun đóng M2 (M2 (1-C1)-mơđun) Khi đó, M 2 L  L , với L  M Như M  M1  M  M1  L  L' , mà K  L  K' , K '  K   M1  L'  mơđun đóng M1  L' Ta chứng minh K '  M1 e K ' Thật vậy, dễ thấy L   K  M1  e K ,  L   K  M1   K ' e K '  K Nhưng rõ ràng K '  M1  K  M1 ,      L   K  M1   K '   L  K '  M1   K '  L  K '   K  M1   K '  M1   Vì K '  M1 e K ' Rõ ràng  K '  M1    K '  L'   M1  L'  K '  L'  Theo giả thiết, L' M1-nội xạ, M1  L'  M ''  L' , với M ''  M , K '  M '' (theo Bổ đề 1.4.5) Như M ''  M1 , (M1 1-C1)-môđun) K  mơđun đóng M  Vì K  hạng tử trực tiếp M  L K hạng tử trực tiếp M Vậy M (1-C1)-môđun □ 2.1.13 Hệ Nếu mơđun M liên tục tựa liên tục Chứng minh Dựa vào tính chất 1.2.2, mơđun thoả mãn điều kiện (C2) thoả mãn điều kiện (C3), hay M liên tục tựa liên tục □ * Nhận xét: Điều ngược lại hệ không Nghĩa là, mơđun tựa liên tục chưa liên tục Để minh hoạ, ta xét ví dụ sau Ví dụ Z - môđun Z tựa liên tục không liên tục Z môđun Thật vậy, gọi nZ mZ mơđun khác khơng Z n.m  nZ  mZ  ,  n, m  N , n  m * hai 20 Z thỏa mãn điều kiện (C1) Thật vậy, gọi A môđun Z , mà Z môđun nên A  nZ e Z với n  N * Mặt khác Z  Z  0, suy A e Z  Z (1) Z không thoả điều kiện (C2) Thật vậy, ta có nZ  Z  n  N * , n  1 theo (1), Z  Z Nhưng nZ không hạng tử trực tiếp Z , Z  nZ  mZ m.n  mZ  nZ  Suy m  , hay nZ  Z (mâu thuẫn) (2) Z thoả điều kiện (C3) Thật vậy, gọi A, B hai hạng tử trực tiếp Z cho A  B  Theo (2) suy A  0, B  Z, hay A  B   Z  Z (3) Từ (1), (2), (3) suy Z - môđun Z tựa liên tục không liên tục 2.1.14 Bổ đề Một mơđun M giả nội xạ CS-mơđun liên tục Chứng minh Do M CS-môđun nên thoả điều kiện (C1) Mặt khác M môđun giả nội xạ nên theo hệ 1.4.4, M thoả điều kiện (C2) Vậy M môđun liên tục □ 2.1.15 Mệnh đề Một CS-môđun M tựa liên tục M  M  M tổng trực tiếp hai mơđun M1, M2 M2 M1-nội xạ Chứng minh Giả sử M tựa liên tục M = M1  M2 Cho N  M với N  M  Vì M CS-mơđun nên tồn hạng tử trực tiếp N  M cho N e N ' Rõ ràng N '  M  (Vì N '  M  P  N  P  , điều mâu thuẫn với N  M  0) Theo Bổ đề 1.2.3, M  M '  M với M ' môđun cho N '  M ' Chú ý N  M ' , theo Bổ đề 1.4.5, M2 M1 tựa nội xạ Ngược lại, giả sử M2 M1 - tựa nội xạ M  M1  M Theo Bổ đề 1.4.5 Bổ đề 1.2.3, M thoả mãn điều kiện (C3) Vậy M tựa liên tục □ 21 2.1.16 Định lý Cho môđun M  M1  M   M n tổng trực tiếp hữu hạn môđun nội xạ lẫn M i 1  i  n  Khi đó, M CS-mơđun Mi CS-môđun với  i  n Chứng minh Giả sử M CS-môđun M  M  M   M n Theo tính chất 1.2.2 Mi CS-môđun với  i  n Ngược lại, giả sử Mi CS-môđun với  i  n ta chứng minh M CS-môđun cách quy nạp theo n Thật vậy, ta cần chứng minh với n = Giả sử M  M1  M K phần bù M Theo bổ đề Zorn, tồn môđun tối đại L K cho L  M1  L   K  M1   Rõ ràng L phần bù K Suy L phần bù M (theo Tính chất 1.1.2) Vì M1 M2-nội xạ nên tồn môđun M  M cho M  M1  M ' L  M ' (theo Bổ đề 1.4.5) Chú ý M '  M , khơng tính tổng qt cho M   M L  M Bây L phần bù M2 (mà M2 CS- môđun) nên M  L  L' , với L'  M Chú ý M  M  M  M  L  L K  L  K  , K   K  M  L  phần bù M  L  ( theo Tính chất 1.1.2) Bây ta giả thiết K   M  e K  , dễ kiểm tra L   K  M1  e K Vì  L   K  M1   K ' cốt yếu K '  K Nhưng rõ ràng K '  M1  K  M1 nên  L   K  M1   K '   L   K '  M1   K '   L  K '    K '  M1   K '  M1 Suy K '  M1 e K ' Mặt khác, K  M  K  L   M ' ' '  L'  nên ’ K '  L'  Theo giả thiết L M1 - nội xạ, theo Bổ đề 1.4.5, M1  L'  M ''  L' , với M '' môđun cho K '  M '' Rõ ràng M ''  M1 (là CS-môđun) K  phần bù M  Vì K  hạng tử trực tiếp M  L K hạng tử trực tiếp M Vậy M CS-môđun 22 2.1.17 Bổ đề Cho môđun M  M1  M tổng trực tiếp môđun nội xạ lẫn M1, M2 cho M2 tựa liên tục Cho K, L hạng tử trực tiếp M cho K  L  Nếu K  M1  K  L hạng tử trực tiếp M Chứng minh Theo Bổ đề 1.4.5, khơng tính tổng qt giả sử ’ K  M M  K  K ' , với K '  M Chú ý K K - nội xạ (Mệnh đề 2.1.15), K  M1  K '  - nội xạ Mà M  K   M1  K '  L  K  , sử dụng Bổ đề 1.4.5 lần ta M  K  K '' với K '' môđun cho L  K '' Theo giả thiết L hạng tử trực tiếp M, L hạng tử trực tiếp K’’ hay K ''  L  P Suy M  K  K ''  K  L  P Vậy, K  L hạng tử trực tiếp M □ 2.1.18 Mệnh đề Hạng tử trực tiếp môđun liên tục (hay tựa liên tục) môđun liên tục (hay tựa liên tục) Chứng minh Giả sử A hạng tử trực tiếp M, hay M  A  D , với D môđun M Ta chứng minh A liên tục Thật vậy, gọi B mơđun đóng A, theo Bổ đề 2.1.1 B đóng M Mà M liên tục nên B hạng tử trực tiếp M, hay M  B  C với C mơđun M Vì B  A nên theo luật Modular ta có A  B   A  C  , hay B hạng tử trực tiếp A Suy A thoả điều kiện (C1) (1) Gọi T, K hai môđun A cho K  T K hạng tử trực tiếp A hay A  K  N Với N môđun A Mà M  A  D , suy M  K  N  D , suy K hạng tử trực tiếp M Nhưng M liên tục K  T nên T hạng tử trực tiếp M hay M  T  T ' , với T’ mơđun M Vì T  A nên theo luật Modular A  T   A  T '  Suy T hạng tử trực tiếp A, hay A thoả điều kiện (C2) (2) Gọi T, K hai hạng trực tiếp A cho T  K  Ta có A  T  N mà M  A  D nên M  T  N  D Suy T hạng tử trực tiếp M Tương 23 tự, K hạng tử trực tiếp M Do M môđun tựa liên tục nên T  K hạng tử trực tiếp M hay M  T  K  L Mà T  K  A nên theo luật Modular A  T  K   A  L  Suy T  K hạng tử trực tiếp A hay A thoả điều kiện (C3) (3) Từ (1), (2) (3) suy A liên tục (tựa liên tục) □ 2.1.19 Định lý Cho M  M1   M n tổng trực tiếp hữu hạn môđun M i 1  i  n  Khi M tựa liên tục M1 Mn môđun tựa liên tục nội xạ lẫn Chứng minh Điều kiện cần, giả sử M  M1   M n M tựa liên tục Theo Mệnh đề 2.1.15, M1, M2, …Mn môđun nội xạ lẫn Theo Mệnh đề 2.1.18, M1, , Mn môđun tựa liên tục Ngược lại, giả sử M i 1  i  n  nội xạ lẫn tựa liên tục, ta chứng minh M  M1   M n tựa liên tục cách quy nạp theo n, tức cần chứng minh trường hợp n = Giả sử M  M1  M với M1 , M môđun tựa liên tục nên thoả mãn điều kiện (C1), hay M1, M2 CS-môđun Theo Định lý 2.1.16 suy M CS-môđun Cho K, L hạng tử trực tiếp M cho K  L  Theo tính chẩt 1.2.2, K CS-mơđun, K  K1  K2 với K1 , K mơđun K K  M1 e K1 Xét K2 , ý K2  M1  K2   K  M1   Theo Bổ đề 2.1.17, K  L hạng tử trực tiếp M Mặt khác,  K1  M    K  M1   kéo theo K1  M  Sử dụng Bổ đề 2.1.17, K  L  K1   K  L  hạng tử trực tiếp M Vậy M tựa liên tục □ 2.1.20 Hệ Tổng trực tiếp hữu hạn M  M1   M n tựa liên tục M i  M j tựa liên tục 1  i  j  n 24 Chứng minh Điều kiện cần, giả sử M  M1   M n tựa liên tục Theo Định lý 2.1.19 môđun M1, M2, , Mn tựa liên tục Mặt khác, M i  M j  i  j  hạng tử trực tiếp M nên theo Mệnh đề 2.1.18, M i  M j tựa liên tục Ngược lại, giả sử M i  M j tựa liên tục Ta chứng minh M  M1   M n tựa liên tục cách quy nạp theo n, tức cần xét trường hợp n = (hiển nhiên đúng) □ * Nhận xét: 1) Hạng tử trực tiếp mơđun liên tục liên tục (Mệnh đề 2.1.18) Nhưng tổng trực tiếp môđun liên tục chưa liên tục Ta lấy ví dụ minh hoạ sau: Ví dụ Cho Z vành số nguyên, xét trường F  Z /    FF  R   Khi R vành Artin, hai R-mơđun  0F   00  A   0F   FF  B    liên tục Tuy nhiên, R = A  B không liên tục  00  0F  mơđun AR đẳng cấu với môđun CR =    R, CR không  00  hạng tử trực tiếp RR (không thoả điều kiện (C2)) 2) Định lý sau cho ta điều kiện cần đủ để tổng trực tiếp môđun liên tục 2.1.21 Định lý Cho môđun M  M1   M n tổng trực tiếp hữu hạn môđun M i 1  i  n  Khi đó, M liên tục M1, Mn môđun liên tục nội xạ lẫn Chứng minh Điều kiện cần, giả sử M  M1   M n liên tục Theo Mệnh đề 2.1.15, môđun M1, M2, , Mn nội xạ lẫn Mặt khác theo Mệnh đề 2.1.18, hạng tử trực tiếp M1, M2, , Mn liên tục 25 Ngược lại, giả sử M  M1   M n , M i ,1  i  n môđun liên tục nội xạ lẫn Ta chứng minh quy nạp theo n, tức cần chứng minh cho trường hợp n = Giả sử M  M1  M , theo Định lý 2.1.16, M CS-môđun Cho K hạng tử trực tiếp M cho  : K  M đơn cấu Trường hợp 1: K  M1 ,   K   M Cho N    K   M , M CS-mơđun nên tồn hạng tử trực tiếp N  M2 cho N cốt yếu N  Xét biểu đồ: N i N’ khớp  1 K Trong i ánh xạ nhúng Vì K M2 -nội xạ nên tồn đồng cấu  : N '  K cho  N  1 Dễ kiểm tra N   N  ker  (vì  1 đẳng cấu) Vì N = N’ hạng tử trực tiếp M Trường hợp 2: K  M1 ,   K   M1  Theo Bổ đề 1.4.5, tồn môđun M ’ M cho M  M1  M '   K   M ' Rõ ràng M '  M ,   K  hạng tử trực tiếp M (theo trường hợp 1) Trường hợp 3: K  M1 Cho L  x  K :   x   M  Vì K CS-mơđun (theo tính chất 1.2.2) tồn hạng tử trực tiếp L’ K cho L cốt yếu L’ Chú ý   L  cốt yếu  L  Vì  L   M  Bây K  L'  L'' , với L’’ môđun K Rõ ràng   K     L'     L''  Vì   L'   M1  , theo trường hợp cho ta   L'  hạng tử trực M Mặt khác   L''   M  Bây M CS- 26 mơđun   L''  cốt yếu hạng tử trực tiếp P M Chú ý P  M  Cho 1 : M  M1 phép chiếu tắc  P đơn cấu Do 1  L''  cốt yếu 1  P  Nhưng M1 môđun liên tục nên  1 L  hạng tử trực tiếp  P  Vì  1 L    P hay  L   P hạng tử trực tiếp M Vì   K     L'     L''  ,   L'    L''  hạng tử trực tiếp Theo Bổ đề 2.1.17,   K  hạng tử trực tiếp M Trường hợp 4: Trường hợp tổng quát Cho K hạng tử trực tiếp M Nhắc lại K CS-mơđun theo Tính chất 1.2.2, tồn mơđun K1, K2 K cho K  M1 cốt yếu K1 K = K1  K2 Chú ý K1  M  K2  M1  Theo Bổ đề 1.4.5 trường hợp 3,   K1    K  hạng tử trực tiếp M Nhưng   K     K1    K2  , theo Bổ đề 2.1.17,   K  hạng tử trực tiếp M Vậy M môđun liên tục □ 2.2 MÔĐUN U-LIÊN TỤC VÀ MÔĐUN U-TỰA LIÊN TỤC 2.2.1 Hệ Mơđun M u-liên tục M u-tựa liên tục Chứng minh Giả sử M mơđun u-liên tục Theo Định nghĩa 1.2.1, M có tính chất (U) thoả điều kiện (C2) Theo Tính chất 1.2.2, M thoả điều kiện (C3) Vậy M môđun u-tựa liên tục □ 2.2.2 Bổ đề Nếu môđun M có tính chất (U) [u-liên tục, u-tựa liên tục] hạng tử trực tiếp M có tính chất (U) [u-liên tục, u-tựa liên tục] Chứng minh Giả sử mơđun M có tính chất (U) [u-liên tục, u-tựa liên tục] A hạng tử trực tiếp M Theo hệ 2.1.2, A có tính chất (U) Mặt khác theo giả thiết trên, M thoả điều kiện (C2) (C3) nên theo mệnh đề 2.1.18, A thoả điều kiện (C2) (C3) Vậy A có tính chất (U) [uliên tục, u-tựa liên tục] □ 27 2.2.3 Bổ đề Cho môđun M  iI Ui Ui mơđun i  I  Nếu A mơđun đóng M tồn tập F  I cho: A   iF Ui  e M Chứng minh Nếu A = M hiển nhiên tồn F   thoả mãn Nếu A  M A đóng nên tồn i  I cho A Ui  Lấy F tập tối đại I với tính chất A   iF U i   Đặt V1  iF Ui V2  iJ Ui J  I |F Do tính tối đại F nên A  V1  U k   với k  J Khi tồn a  A, a  cho a  x  u x V1 , u U k , u  , u  a  x  A  V1 , ta có U k   A  V1   với k  J Từ [4, Proposition 3.6] ta có A  V1 e M □ 2.2.4 Mệnh đề Cho M môđun u-liên tục (u-tựa liên tục), mơđun đóng có dạng X  U hạng tử trực tiếp M, với X hạng tử trực tiếp M U môđun Chứng minh Giả sử A  X U mơđun đóng M với X hạng tử trực tiếp M, U môđun Giả sử M  X  M1 với M1 mơđun M Xét phép chiếu  : M  M1 Khi X U  nên  U : U  M đơn cấu, suy  U   U ,  U  mơđun M1 Theo bổ đề 2.2.2, ta có M1 u - liên tục nên tồn môđun V hạng tử trực tiếp M1 mà  U  e V (ta thấy V môđun M1) Vậy X  U   1 V   X  V Do V nên ta thu A  X  U e X  V , mà A đóng nên A  X U  X V Từ M  X  M1 V hạng tử trực tiếp M1 nên suy X  V hạng tử trực tiếp M □ 28 2.2.5 Định lý Cho M mơđun có dạng M  iI Ui Ui mơđun i  I  Khi M mơđun liên tục M môđun uliên tục Chứng minh Nếu M mơđun liên tục theo tính chất 1.2.2, M môđun uliên tục Ngược lại, M môđun u-liên tục, ta chứng minh M môđun liên tục Do M mơđun u-liên tục nên có tính chất (C2), ta cần chứng minh M CS-mơđun Giả sử A mơđun đóng M Theo bổ đề 2.2.3, tồn môđun V1 M có dạng V1  iF Ui , F  I cho: A  V1 e M Đặt V2  iJ Ui với J  I \ F Kí hiệu  ,  phép chiếu M tương ứng lên V1, V2 Khi  U đơn cấu (do A V1  ) Đặt      1 A đồng cấu   A vào V1 Ta thấy A  x   x  x    A Ta  không mở rộng thực V2 Giả sử  : B  V1   A  B  V2 , mở rộng  V2 Đặt C  x    x  : x  B Từ A  V1 cốt yếu M ta có   A    A  V1  cốt yếu   M   V2 , suy   A cốt yếu B  V2 , A cốt yếu C Nhưng A đóng nên ta thu A = C, suy   A  B , nghĩa    Bây với k  J , ta đặt X k  U k    A Dễ dàng thấy X k  với k  J , Xk Đặt Ak  x    x  : x  X k  , ta có X k  Ak nên Ak mơđun A 29 Giả sử Ak e T  U k  V1 Từ Ak V1  ta có T V1  , suy  đơn cấu Đặt  K     Ak  T ,  không mở rộng thật V2 nên  k không mở rộng thật   Ak  Đặt f k  1  T  1 :  T   V1 , f k mở rộng  k  T     Ak  Mặt khác, từ  T đơn cấu Ak e T suy Ak  T Do Ak mơđun đóng nên Ak  M mà X k  Ak , theo tính chất (C2) ta có X k  M Do X k e U k  M U k nên X k  U k (với k  J ) Suy   A  V2  A  V2  A  M (do (C2)) □ 2.2.6 Hệ Cho M môđun với chiều hữu hạn Khi M mơđun liên tục M môđun u-liên tục Chứng minh Trước hết ta M có chiều hữu hạn mơđun u-liên tục M tổng trực tiếp hữu hạn môđun Do M có chiều hữu hạn nên tồn môđun X1 Gọi U1 bao đóng X1 M, U1 mơđun đều, tính u-liên tục M nên U1 hạng trực tiếp M, nghĩa M  U1  M1 với mơđun M1 M Theo Bổ đề 2.2.2 M1 môđun u-liên tục Lý luận M1 ta có M1  U  M , U2 mơđun đóng M1, M  U1  U  M Tiếp tục q trình ta có M  U1  U   U n  Do M có chiều hữu hạn nên tồn n để M  U1  U   U n U i môđun 1  i  n  Áp dụng định lý 2.2.5 ta có M môđun u-liên tục M môđun liên tục □ 30 2.2.7 Định lý Cho M môđun mà hạng tử trực tiếp địa phương M hạng tử trực tiếp M mơđun đóng M có chứa mơđun đều, M mơđun u-liên tục M môđun u-tựa liên tục Chứng minh Giả sử M u-liên tục theo hệ 2.2.1, M u-tựa liên tục Ngược lại, môđun u-liên tục mơđun u-tựa liên tục có tính chất (C3) nên ta cần chứng minh M CS-môđun Thật vậy, xét U mơđun đóng M, ta chứng minh U hạng tử trực tiếp M Theo giả thiết, tồn K  U , K hạng tử trực tiếp M, ta xét họ:   iI Ni : Ni  U N i , iI Ni hạng tử trực tiếp địa phương M} Theo Bổ đề Zorn, tồn iI Ni hạng tử trực tiếp địa phương tối đại  , suy N  iI Ni hạng tử trực tiếp M, ta chứng minh U  N Giả sử U  N , N hạng tử trực tiếp M suy M  N  X , theo luật Modular ta có U  N  Y , Y  X U Do X, U đóng M nên Y đóng M Nếu Y  , theo giả thiết Y có chứa môđun Y1 hạng tử trực tiếp M Khi N  Y1 phần tử họ  , mâu thuẫn với tính chất tối đại N Do Y = tức U = N hạng tử trực tiếp M Vậy M CS-môđun □ 2.2.8 Bổ đề Cho M môđun u-liên tục, M = U  V U V mơđun U V môđun nội xạ lẫn Chứng minh Ta chứng minh V U - nội xạ Lấy X môđun tuỳ ý U  : X  V đồng cấu Đặt X '  x    x  : x  X  , gọi Y bao đóng X’ M Ta có X ' V  , suy Y V  , Y  U Y  ,  U ánh xạ chiếu M lên U Bởi Y mơđun đóng M nên Y hạng 31 tử trực tiếp M Do M thoả mãn điều kiện (C2) nên  U (Y) hạng tử trực tiếp M, U môđun nên ta nhận U Y   U Gọi m  u  v, u U , v V Khi tồn c  Y cho U  c   u , suy c  u  v' , với v' V Ta có m  u  v   c  v'   v  c   v  v'   Y  V Như M  Y V Gọi  V : M  V phép chiếu M lên V ,   V U Khi x  X , ta có   x   V  x   V  x    x     x     x  (do x    x   Y ) Như  mở rộng  , hay V U - nội xạ Tương tự ta có U V - nội xạ □ 2.2.9 Bổ đề Cho M = U  V U  V mơđun liên tục Khi ta có phát biểu sau: i) Nếu A hạng tử trực tiếp khác M A  U ii) M thoả mãn điều kiện (C2) Chứng minh i) Nếu M  A  X với môđun X M Do U mơđun liên tục theo [3, Theorem 3.24], U có tính chất trao đổi nên ta có U  V  U  A1  X1 , A1  A X1  X Khi V  A1  X1 , mà V môđun nên A1 = X1 = Điều suy A  U ii) Giả sử A B môđun M với A  B A  M Theo (i), B  A  U , B mơđun có B U  B V  Nếu B V  B  U  B  ,  U phép chiếu M lên U Do B  U nên  U  B   U Theo cách chứng minh Bổ đề 2.2.8, ta thu B V  M nên B  M Tương tự, B U  ta có B  M □ 32 KẾT LUẬN Luận văn hoàn thành đƣợc nội dung sau: Hệ thống lại khái niệm (1-C1)-môđun, môđun liên tục, mơđun nội xạ số tính chất chúng Trình bày chứng minh chi tiết số tính chất (1-C1)-mơđun (Hệ 2.1.2, Bổ đề 2.1.3, Hệ 2.1.5, Mệnh đề 2.1.6) Trình bày số tính chất mơđun liên tục tựa liên tục Hệ thống lại khái niệm môđun u-liên tục, u-tựa liên tục số tính chất môđun 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO * Tiếng Việt [1] Nguyễn Tiến Dũng (2005), Tổng trực tiếp (1-C1)-mơđun, Luận văn Thạc sĩ Tốn học, Trường Đại học Vinh [2] Ngô Sỹ Tùng (1995), Một số lớp vành đặc trưng điều kiện liên tục lớp CS-mơđun, Luận án Phó Tiến sĩ Khoa học Tốn - Lý, Trường Đại học Vinh [3] Ngô Sỹ Tùng Thiều Đình Phong (2005), Một số kết Môđun uliên tục môđun u-tựa liên tục - Tạp chí KHĐH Vinh; tập 33 số 2A; 63-70 * Tiếng Anh [4] N.V.Dung - D.V.Huynh - P.F.Smith and R Wisbauer (1994), Extending modules, Pitman, London [5] A Harmanci and P.F Smith (1993), Finite dicrect sum of CS - modules, Houston Math J Vol 19, 523 - 532 [6] H Mohamed and J Muller (1990), Continuous and Discrete Modules, Cambridge University press ... M mơđun có dạng M  iI Ui Ui mơđun i  I  Khi M môđun liên tục M môđun uliên tục Chứng minh N? ?u M môđun liên tục theo tính chất 1.2.2, M mơđun uliên tục Ngược lại, M môđun u -liên tục, ta... (1-C1) -môđun, môđun liên tục, môđun tựa liên tục, môđun u -liên tục môđun u- tựa liên tục? ??… ………… … 1.3 Chi? ?u môđun? ?? ……………………………….… …8 1.4 Môđun nội xạ, môđun tựa nội xạ môđun giả nội xạ… ….….8 Chƣơng II Một. .. MƠĐUN, MƠĐUN LIÊN TỤC, MÔĐUN TỰA LIÊN TỤC, MÔĐUN U- LIÊN TỤC VÀ MÔĐUN U- TỰA LIÊN TỤC Cho M R - môđun phải Ta xét đi? ?u kiện sau: (C1) Mọi môđun M cốt y? ?u hạng tử trực tiếp M Nói cách khác, mơđun