Một số tính chất của môđun phẳng

bộ giáo dục đào tạo Tr-ờng đại học vinh nguyễn bá thị lệ Một số tính chất môđun phẳng luận văn thạc sĩ toán học Vinh - 2009 giáo dục đào tạo Tr-ờng đại học vinh nguyễn bá thị lệ Một số tính chất môđun phẳng Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mà số: 60.46.05 luận văn thạc sĩ toán học Ng-êi h-íng dÉn khoa häc: TS ngun thÞ hång loan Vinh - 2009 Mục lục Trang Mở đầu Ch-ơng Kiến thức chuẩn bị 1.1 Môđun tù 1.2 Môđun xạ ảnh 1.3 Vành mô đun th-ơng 1.4 TÝch tenx¬ 1.5 Môđun xoắn 11 Ch-¬ng Môđun phẳng môđun hoàn toàn phẳng 13 2.1 Môđun phẳng 13 2.2 Mét sè tÝnh chÊt môđun phẳng 22 2.3 Môđun hoàn toàn phẳng 26 KÕt luËn 31 Tài liệu tham khảo 32 Mở đầu Trong toàn luận văn, môđun đ-ợc xét vành giao hoán, có đơn vị Cho P R- môđun dÃy R- môđun R- ®ång cÊu: f g O  M '   M   M ''  O (1) Cũng nh- địa ph-ơng hóa, cách tự nhiên, ng-ời ta hy vọng dÃy thu đ-ợc cách lấy tích tenxơ P với dÃy khớp trªn: id  f id  g p p O  P R M    P R M   P R M   O (2) còng khớp Tuy nhiên điều không tr-ờng hợp tổng quát Thật vậy, chẳng hạn dÃy - môđun f p O      O, p phép chiếu tắc, f cho bëi f (n)  2n, n  , lµ khíp Nh-ng d·y O f   id p   id 2  O không khớp Nh- vậy, tích tenxơ không bảo tồn dÃy khớp ngắn, hay nói cách khác hàm tử tenxơ P R với P R- môđun tùy ý, nói chung không hàm tử khớp Tuy nhiên hàm tử tenxơ P R khớp phải, nghĩa là, (1) dÃy khớp R- môđun ta lu«n cã d·y khíp: id  f id  g p p P R M '   P R M   P R M ''  O Việc nghiên cứu tính khớp dÃy (2) dẫn đến việc nghiên cứu lớp môđun có vai trò quan trọng đại số đại, lớp môđun phẳng, đ-ợc định nghĩa nh- sau: Một R- môđun P đ-ợc gọi môđun phẳng với dÃy khớp ngắn R- môđun f g O M   M   M   O , (3) d·y c¶m sinh id  f id  g p p O  P R M    P  M   P  M   O R R (4) dÃy khớp ngắn Nh- vậy, R- môđun P phẳng chØ nÕu hµm tư P R  lµ hµm tư khớp R- môđun P đ-ợc gọi hoàn toàn phẳng nÕu (3) lµ d·y khíp vµ chØ (4) dÃy khớp Do môđun hoàn toàn phẳng môđun phẳng nh-ng điều ng-ợc lại không Mục đích luận văn dựa vào tài liệu tham khảo để tìm hiểu môđun phẳng môđun hoàn toàn phẳng Nghiên cứu cho thấy môđun tự môđun phẳng Tổng quát môđun xạ ảnh môđun phẳng Điều ng-ợc lại nói chung không đúng, nghĩa tồn môđun phẳng nh-ng không môđun xạ ảnh Do lớp môđun phẳng chứa thực lớp môđun xạ ảnh Tuy nhiên, (R, m ) vành địa ph-ơng, M R- môđun hữu hạn sinh iđêan cực đại lũy linh M R- môđun tự M R- môđun phẳng Do M R- môđun xạ ảnh M R- môđun phẳng Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, nội dung luận văn đ-ợc viết thành hai ch-ơng Ch-ơng trình bày (không chứng minh) kiến thức sở Đại số giao hoán có liên quan đến kết chứng minh ch-ơng Ch-ơng trình bày nội dung luận văn Trong ch-ơng trình bày định nghĩa điều kiện t-ơng đ-ơng môđun phẳng môđun hoàn toàn phẳng Cũng ch-ơng này, trình bày số tính chất môđun phẳng môđun hoàn toàn ph¼ng Luận văn thực trường Đại học Vinh, hướng dẫn TS Nguyễn Thị Hồng Loan Nhân dịp này, tác giả bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến c« giáo hướng dẫn Tác giả xin bày tỏ lời cảm ơn tới PGS.TS Ngô Sỹ Tùng, PGS.TS Lê Quốc Hán, PGS TS Ngun Thµnh Quang, TS Chu Trọng Thanh, TS Mai Văn T-, giúp đỡ, giảng dạy tạo điều kiện cho chúng tơi q trình học tập lớp Cao học XV i s Tác giả xin bày tỏ lời cảm ơn tới Ban chủ nhiệm Khoa đào tạo Sau đại học, Khoa Toán đà tạo điều kiện cho thời gian học tập Tác giả xin cảm ơn tới bạn bè đồng nghiệp lớp cao học XV Đại số đà có nhiều động viên giúp đỡ trình học tập vừa qua Luận văn không tránh khỏi thiếu sót, mong nhận đ-ợc bảo quý thầy cô đồng nghiệp Vinh, tháng 12 năm 2009 Tác giả Ch-ơng Kiến thức chuẩn bị Trong ch-ơng này, trình bày (không chứng minh) số kiến thức sở phục vụ cho việc chứng minh kết ch-ơng sau Trong toàn luận văn, vành đ-ợc giả thiết giao hoán, có đơn vị 1.1 Môđun tự 1.1.1 Định nghĩa Tập S R- môđun M đ-ợc gọi tập độc lập tuyến tính, từ đẳng thức a1x1 + + anxn = với x1, , xn S đôi khác nhau, ta rót a1 = … = an = Nếu trái lại S đ-ợc gọi tập phụ thuộc tuyến tính Nếu môđun M có hệ sinh S độc lập tuyến tính đ-ợc gọi môđun tự tập S đ-ợc gọi sở M 1.1.2 Ví dụ (i) Mỗi không gian vectơ tr-ờng K K môđun tự do, có sở (ii) Vành tất lớp nguyên thặng d- theo môđun môđun Tuy nhiên, x  víi mäi x  nã (iii) - môđun , nên - sở - môđun tự môđun sở 1.1.3 Định lý Nếu M môđun tự vành giao hoán R hai sở M có lực l-ợng 1.1.4 Định lý R - môđun M tự tồn tập chØ sè I cho M  R(I) 1.1.5 Định lý (Tính phổ dụng môđun tự do) Cho M R - môđun tự với sở S N R - môđun Khi ánh xạ g: S N mở rộng đ-ợc thành đồng cấu f: M N 1.1.6 Định lý Mỗi R - môđun đẳng cấu với môđun th-ơng R - môđun tự 1.1.7 Hệ Một R - môđun hữu hạn sinh đẳng cấu với môđun th-ơng Rn, với n nguyên d-ơng 1.2 Môđun xạ ảnh 1.2.1 Định nghĩa Một R - môđun P đ-ợc gọi xạ ảnh với đồng cấu f: P  M" vµ mäi toµn cÊu g: M  M" R- môđun tồn đồng cấu h: P  M cho gh = f 1.2.2 NhËn xét Một R - môđun P xạ ảnh với toàn cấu R - môđun g: M M", ánh xạ cảm sinh g*: HomR(P, M) HomR(P, M") h gh toàn ánh Trong tr-ờng hợp vành R giao hoán Hom R(P, M) HomR(P, M") trở thành R - môđun Khi g* toàn cấu R - môđun 1.2.3 Mệnh đề Mọi môđun tự môđun xạ ảnh 1.2.4 Hệ Mọi R - môđun đẳng cấu với môđun th-ơng R - môđun xạ ảnh 1.2.5 Định lý Cho P R - môđun Khi đó, khẳng định sau t-ơng đ-ơng: (i) P xạ ảnh; (ii) Mọi dÃy khớp ngắn R - môđun f g   N   M   P  chẻ ra; (iii) P đẳng cấu với hạng tử trực tiếp R - môđun tự 1.2.6 Môđun nội xạ Một R - môđun I đ-ợc gọi nội xạ với đồng cấu : M ' I đơn cấu : M ' M R - môđun ®Ịu tån t¹i mét ®ång cÊu  : M  I cho    1.2.7 NhËn xÐt (i) Một R - môđun I đ-ợc gọi nội xạ với đơn cấu : M ' M , ánh xạ cảm sinh *: HomR ( M , I )  HomR ( M ', I ) toán ánh Trong tr-ờng hợp vành R giao hoán Hom (M , I ) vµ R Hom ( M ', I ) trở thành R- môđun Khi * toàn cấu R- môđun R Nói cách khác, R- môđun I nội xạ biểu ®å d¹ng    M '   M (khớp) I nhúng vào biểu đồ giao hoán M ' M (khớp) I (ii) Từ định nghÜa, ta thÊy mét tÝnh chÊt quan träng cña môđun nội xạ: Nếu I R- môđun nội xạ M ' M R- môđun đồng cấu R- môđun từ M đến I mở rộng thành đồng cấu R- môđun từ M đến I Tính chất đặc tr-ng cho môđun nội xạ 1.2.8 Định lí Mỗi R- môđun đẳng cấu với môđun Rmôđun nội xạ 1.2.9 Định lí Cho I R- môđun Khi đó, khẳng định sau t-ơng đ-ơng (i) I nội xạ; (ii) Mọi dÃy khớp ngắn R- môđun f g I   M   M ''  0 chẻ ra; (iii) I đẳng cấu với hạng tử trực tiếp R- môđun nội xạ 1.2.10 Định lí (Tiêu chuẩn Baer) Một R- môđun I nội xạ đồng cấu R- môđun từ J vào I, với J iđêan R mở rộng đ-ợc thành đồng cấu từ R vào I 1.3 Vành môđun th-ơng 1.3.1 Tập nhân đóng Cho S tập R S đ-ợc gọi tập nhân đóng vành R S S đóng kín phép nhân, tức với a, b S ab S 1.3.2 Quan hệ t-ơng đ-ơng R S Giả sử S tập nhân đóng vành R Trên tích Đêcác R S ta xÐt quan hƯ hai ng«i  nh- sau: (r, s),(r ', s ')  R  S , (r , s) (r ', s ') vµ chØ tån t¹i t  S cho t (rs ' sr ')  Quan hƯ  lµ quan hệ t-ơng đ-ơng R S Do R S đ-ợc chia thành lớp t-ơng đ-ơng Víi (r , s)  R  S ta kÝ hiệu r s lớp t-ơng đ-ơng chứa phần tử (r,s) S 1R tập th-ơng R S theo quan hÖ   S 1R  r | r  R, s  S s 18 (2)  (3) Gi¶ sư Tor1R  P, M  , với R- môđun M Theo định lý 1.1.7 ta cã d·y khíp ng¾n sau:  K  F  M  0, ®ã F môđun tự do, F / K M Khi ®ã, víi mäi n  , theo tÝnh chất môđun xoắn ta có dÃy khớp dài  TornR  P, K   TornR  P, F   TornR  P, M   TornR  P, K    P  M  §Ĩ chøng minh TornR  P, M   ta quy n¹p theo n Víi n  : TornR  P, M   (theo (2)) Giả sử mệnh đề với n  k  Theo gi¶ thiÕt quy n¹p ta cã: TorkR1  P, K   Do F môđun tự nên TorkR P, F   Khi ®ã, ta cã d·y khíp  TorkR  P, M   TorkR P, M VËy TornR  P, M   0, n  (3)  (1) Gi¶ sư f : M' M đơn cấu Khi đó, ta cã d·y khíp ng¾n: f p  M   M   M / Im f  Do theo tính chất môđun xoắn ta cã d·y khíp dµi:  Tor1R  P, M / Im f   P  M  P  M  P  M / Im f  Theo gi¶ thiÕt (3) ta cã d·y khíp  P  M  P  M  P  M / Im f  VËy p  f : P  M  P M đơn cấu theo (3) ta có P R- môđun phẳng 2.1.5 Hệ Cho R- môđun P Khi P R- môđun phẳng Tor1R P, R / I với iđêan hữu hạn sinh I cña R Chøng minh (  ) Suy t- định lý 2.1.4 ( ) Ta có d·y khíp ng¾n  I  R  R / I 0 19 D·y c¶m sinh Tor1R  P, R / I    I  P  P  P  R / I  khớp Do P môđun phẳng 2.1.6 Định lý Cho R- môđun P Khi đó, điều kiện sau t-ơng đ-ơng: (1) P R- môđun phẳng; (2) Với iđêan hữu hạn sinh I cña R, d·y  I  P  P khớp Nói cách khác, ta có I P IP ; (3) Với với R- môđun N dÃy khớp ngắn M M  P  th× d·y  M  N  M  N  P  N  khớp (4) Giả sử F môđun tù cho F / K  P Khi đó, với iđêan I R IF  K  IK ; (5) Víi mäi  R, xi  P 1  i  r  r I x tồn số nguyên s i i i phần tử bij  R vµ y j  P 1  j  s  cho  r a b  víi mäi j vµ i 1 i ij xi  i 1 bij y j víi mäi i s Chøng minh (1)  (2) Ta cã d·y khíp i p  I   R  R / I với iđêan hữu hạn sinh I cđa R Khi ®ã, ta cã d·y khíp: i 1  Tor1R  R, P   Tor1R  R / I, P   I  P RP Vì R P P Tor1R  R / I, P   Ker i 1p  , nªn i 1p : I  P  P đơn cấu Tor1R P, R / I   Tor1R  R / I, P Hơn nữa, ta có I  P  IP (1)  (3) Gi¶ sư ta cã d·y khíp f g  M   M  P  20 Khi đó, theo tính chất môđun xoắn, ta có dÃy khíp f 1N g 1N Tor1R  P, N   M  N   M  N  M N , với R- môđun N Do R- môđun P phẳng nên Tor1R P, N   VËy ta cã (3) (3)  (1) Giả sử N R- môđun ta cÇn chøng minh Tor1R  P, N   Gọi F môđun tự cho F / K  P XÐt d·y khíp ng¾n i p  K   F  P  Theo tính chất môđun xoắn ta lại có d·y khíp i 1N p1N    Tor1R  F, N   Tor1R  P, N    K  N   F  N PN Mặt khách theo giả thiết (3) ta cã Im  Ker  i  1N   vµ Ker  , suy Tor1R  P, N   ®èi víi mä môđun N R (1) (4) Thật vậy, từ d·y khíp ng¾n  K  F  P 0 Ta cã d·y khíp I  K  I  F  I  P  Do F môđun tự nên F môđun phẳng vµ dã I  K I  F trïng víi IK Do ®ã I  P  IF / IK Tõ (1)  (2) ta suy P phẳng IP IP / IK Mặt khác IP gồm phần tư d¹ng n n i 1 i 1  p  xi    p  xi p : F P xi  F,  I Nh- vËy: IP  p  IF   IF /  IF  K Do P môđun phẳng vµ chØ IF /  IF  K   IF / IK Do IK  IF  K , nªn IF  K  IK (1) (5) Giả sử P môđun phẳng r a x  XÐt d·y khíp: i 1 i i g f K   Rr  R 21 Với f : Rr R xác định bëi f  b1 , br    bi , bi  R, K  Kerf vµ g phép nhúng tắc Khi gP fP K  P   P  P lµ d·y khíp, với x1 , fP t1 , xác định bëi fp , tr    ti , ti  P Nh- vËy , xr   i 1  j  y j víi  j  K , y j  P Ta viÕt  j   b1 j , , brj  , bij R thu s đ-ợc kết cần chứng minh (5) (2) Thật vậy, đặt , , ar  I , xi , , xr  P cho theo gi¶ thiÕt xi   j 1 bij y j vµ s  r i 1  r a x  Khi ®ã, i 1 i i bij  Suy I  P ta cã: r s s  r  a  x  a  b y      i i i ij j   bij  y j   i 1 i 1 j 1 j 1 i r Định lý sau cho thấy tính chất phẳng môđun tính chất địa ph-ơng 2.1.7 Định lý Cho R- môđun P Các điều kiện sau t-ơng đ-ơng: (1) P R- môđun phẳng; (2) Pp môđun phẳng Rp ®èi víi mäi i®ªan nguyªn tè p ; (3) Pm môđun phẳng Rm iđêan tối đại m Chøng minh (1)  (2) Gi¶ sư P R- môđun phẳng ta có: C Rp Pp C  R p  Rp  R P   ( C  Rp Rp )  R P  C R P Do ®ã C R Pp lµ d·y khíp C lµ d·y khíp p (2) (3) Hiển nhiên (3) (1) Giả sử : M M đồng cấu R- môđun, m iđêan tối đại R Ta có đơn cấu m : Mm Mm đơn cấu Từ theo (3) suy m Rm pm : Mm Rm Pm  Mm Rm Pm đơn cấu 22 Do   Rm 1p  :  M  P m R m   M R P m còng đơn cấu Từ suy R p đơn cấu Vậy P môđun phẳng 2.2 Một số tính chất môđun phẳng 2.2.1 Định nghĩa Cho : R R đồng cấu vành Khi đ-ợc gọi đồng cấu phẳng R R- môđun phẳng Cho : R R đồng cấu vành, N R - môđun Khi N có cấu trúc R- môđun với phép nhân với vô h-ớng xác định nh- sau: r R, x N : rx :   r  x 2.2.2 Mệnh đề (tính chất bắc cầu) Cho : R R đồng cấu phẳng Khi N R - môđun phẳng N R- môđun phẳng Chứng minh Giả sử  M  M  M  (C) lµ dÃy khớp ngắn tùy ý R-môđun Ta cần chøng minh d·y C R N :  M R N  M R N  M R N dÃy khớp ngắn Thật vậy, ta cã: C R N  C R  R R N    C R R R N Vì đồng cấu phẳng nên R R- môđun phẳng Suy C R R dÃy khớp Mặt khác, N R- môđun phẳng nên C R R R , N lµ d·y khíp VËy C R N  lµ khíp Cho  : R  R đồng cấu vành, M R- môđun Ký hiệu M R M R R Khi M R R - môđun với phép nhân với vô h-ớng xác định nh- sau: với r  R, x  r  M R R r   x  r   x   r r  23 2.2.3 MƯnh ®Ị (tÝnh chất đổi sở) Cho : R R đồng cấu phẳng Giả sử P R- môđun phẳng Khi đó, PR P R R R - môđun phẳng Chứng minh Giả sử C :  N  N  N  dÃy khớp ngắn R - môđun Ta cÇn chøng minh C R PR :  N R PR  N R PR  còng dÃy khớp ngắn R - môđun Thật vậy, ta cã C R PR  C R  P R R  C R  R R P    C R R R P  C R P Vì C dÃy khớp R - môđun nên C dÃy khớp R- môđun Do P R- môđun phẳng nªn C R P khíp Suy C R PR khớp Vậy PR R- môđun phẳng 2.2.4 Mệnh đề P Pi môđun phẳng môđun Pi iI môđun phẳng 2.2.5 Ví dụ Mọi môđun xạ ảnh P phẳng Vì với R- môđun xạ ảnh P tồn R- môđun tự F R- môđun H cña F cho F  P  H Do F tự nên F phẳng Khi đó, từ mệnh đề 2.2.4 ta có P phẳng 2.2.6 Nhận xét Với R- môđun M ta có: M tự M xạ ảnh M phẳng Điều ng-ợc lại nói chung không Chẳng hạn theo ví dụ 2.1.3 2) - môđun phẳng nh-ng không xa ảnh vành nên môđun xạ ảnh môđun tự nh-ng, môđun tự Định lí sau cho ta điều kiện để môđun phẳng môđun tự 24 2.2.7 Định lí Cho (R,m) vành địa ph-ơng M R- môđun Giả sử m luỹ linh M R- môđun hữu hạn sinh Khi M môđun tự M môđun xạ ảnh M môđun phẳng Chứng minh.Ta cần chứng minh M môđun phẳng M môđun tự Chúng ta chứng minh r»ng mäi hƯ sinh tèi thiĨu cđa M ®Ịu sở M Nghĩa ta cần chứng minh r»ng nÕu x1 , , xn  M cho ¶nh cđa chóng x1 , , xn M/mM = M  R k ( k= R/m ) lµ độc lập tuyến tính k chúng độc lập tuyến tính R Chúng ta chứng minh điều b»ng qui n¹p theo n Víi n  : Giả sử a x = , y1 , , yr  M vµ b1 , , br  R cho abi   i vµ x =  bi yi Tõ ®ã ta cã x M/mM,với bi hữu hạn m Giả sử b1 m , b1 đơn vị R ab1 , a  n Gi¶ sư n > a x i i , y1 , , yr  M vµ bij  R 1  j  r  cho xi   bij y j vµ j a b i ij  Tõ ®ã ta cã xn  mM, ®ã bnj  m i Tõ a1b1 j   an bnj  vµ bnj đơn vị, có n b  an   ci  ci   ij  b nj   Suy n   xi  a1 x1  c1 xn    an1 xn1  cn1 xn  Tõ ®ã ta cã x1  c1 xn , , xn1 cn1 xn độc lập tuyến tính k Theo giả thiết qui nạp chóng ta cã : n 1 a1   an1  , vµ an   ci   25 2.2.8 MƯnh ®Ị Cho R vành, gọi S tập nhân đóng R Khi S R R- môđun phẳng Chứng minh Giả sử C: M   M  M   lµ mét dÃy khớp ngắn tùy ý R- môđun Do hàm tử địa ph-ơng hóa hàm tử khớp nên dÃy S 1 :  S 1M   S 1M  S 1M   C cịng lµ dÃy khớp Mặt khác ta có S C S 1R R C nªn d·y S 1R  :  S 1R R M   S 1R R M  S 1R R M   C dÃy khớp Do S 1R môđun phẳng 2.2.9 Mệnh đề Cho dÃy khớp R- môđun N N N với N R- môđun phẳng Khi đó, N R- môđun phẳng N R- môđun phẳng Chứng minh Với R- môđun M , theo tính chất môđun xoắn ta có dÃy khíp dµi  TornR  N, M   TornR  N, M   TornR  N, M   TornR1  N, M    N  M Do N R- môđun phẳng nên theo định lý 2.1.4 TornR N, M  víi mäi n  Tõ ®ã suy r»ng TornR  N, M   vµ chØ TornR  N, M   víi  mäi n  2.2.10 MƯnh ®Ị NÕu f : R  R vµ g : R R đồng cấu phẳng Khi h gf : R R đồng cấu phẳng Chứng minh Hiển nhiên h gf : R R đồng cấu vành, ta chứng minh R R- môđun phẳng Giả sử C dÃy khíp, ta cã: C R R = C R  R R R   C R R  R R Do R R- môđun phẳng R R- môđun phẳng nên dÃy C R R khớp Vậy R R- môđun phẳng 26 2.2.11 Mệnh ®Ị Cho  : R  R lµ mét ®ång cấu vành Khi điều kiện sau t-ơng đ-ơng (1) đồng phẳng; (2) P : Rp Rp phẳng với iđêan nguyên tố p R; (3) m : Rm Rm phẳng với iđêan tối đại m R Chứng minh (1) (2) Theo tính chất đổi sở mệnh đề 2.2.3 vành RP R RP phẳng RP với iđêan nguyên tố P R Do P đồng cấu phẳng với iđêan nguyên tố P R (2) (3) Hiển nhiên (3) (1) Suy từ định lý 2.1.7 2.3 Môđun hoàn toàn phẳng Ký hiệu: C : fi1 fi  Mi 1   Mi   Mi dÃy khớp tùy ý R- môđun C P: fi1 1P fi 1P Mi 1  P   Mi  P   Mi P dÃy thu đ-ợc cách lấy tích tenxơ C với R- môđun P 2.3.1 Định nghĩa.Cho R- môđun P Khi đó, ta gọi P hoàn toàn phẳng R (hoặc P R- môđun hoàn toàn phẳng) C khớp chØ C  P lµ khíp 2.3.2 Chó ý Một R- môđun P hoàn toàn phẳng P R- môđun phẳng với R- môđun N mà P R N N 2.3.3 VÝ dơ a) Cho F lµ mét R- môđun tự do, theo ví dụ 2.1.3 1) F Rmôđun phẳng Mặt khác với R- môđun M ta lu«n cã M R F  ThËt vËy, gi¶ sư M R F  Khi ®ã n x  M R F , x    xi  ci , xi  M , ci  F , n  N i 1 27 NÕu x  th× xi  0, i Do ®ã M  VËy F môđun hoàn toàn phẳng Do môđun tự môđun hoàn toàn phẳng b) Theo ví dụ 2.1.3 2) - môđun phẳng Tuy nhiên môđun hoàn toàn phẳng M n M nh-ng với r , x  M ta cã rx r r n  x   nx   M  n n Định lý sau điều kiện t-ơng đ-ơng môđun hoàn toàn phẳng 2.3.4 Định lý Cho P R- môđun Khi đó, điều kiện sau t-ơng đ-ơng: (1) P R- môđun hoàn toàn phẳng; (2) Với dÃy khớp ngắn R- môđun f g N N N (C) C khớp vµ chØ C R P khíp; (3) P R- môđun phẳng m P P , với iđêan cực đại m R Chứng minh (1) (2) (C) khớp nên C R P khớp P R- môđun phẳng Giả sử C R P khíp Ta cÇn chøng minh (C) khíp, tức ta cần chứng minh Hi C  , víi mäi i Ta cã C lµ mét phøc v× Im gf R P  Im  g  1 f  1  Im  Suy ra: Im gf R P  Do đó: Im gf (vì P hoàn toàn phẳng) Từ ta có gf Vậy C phức Vì (C) phức P R- môđun phẳng nên ta có Hi  C R P   Hi  C  R P 28 Suy Hi  C R P   , víi mäi i Do ®ã Hi  C   , víi mäi i (do P hoàn toàn phẳng) Vậy C d·y khíp (2)  (1) Tõ (C) khíp suy C R P khớp nên P R- môđun phẳng Giả sử N R- môđun tuỳ ý cho P R N  Suy d·y P R N khớp T-ơng đuơng với  N  khíp Suy N  Vậy P hoàn toàn phẳng (1) (3) Ta cã P / m P  P  R / m Do m  R nªn R / m P hoàn toàn phẳng nên P R R / m  Suy  P / m P  VËy P  m P 2.3.5 NhËn xÐt NÕu (R,m) lµ vành địa ph-ơng P R- môđun hữu hạn sinh điều kiện m P P hiển nhiên m P P theo bỉ ®Ị Nakayama ta cã P = Do ®ã P R- môđun phẳng, P Rmôđun hoàn toàn phẳng Một đồng cấu vành : R R đ-ợc gọi đồng cấu địa ph-¬ng nÕu  m R   m R víi iđêan cực đại m R vành R 2.3.6 Hệ Giả sử R, R hai vành địa ph-ơng : R R đồng cấu địa ph-ơng Cho P R- môđun hữu hạn sinh Khi P R- môđun phẳng P R- môđun hoàn toàn phẳng Chứng minh Vì P R- môđun nên P có cấu trúc R- môđun Điều kiện đủ Hiển nhiên Điều kiện cần Ta cần m R P  P ThËt vËy, ta cã m R P    m R  P  m R P  P (v× nÕu m R P  P theo bổ đề Nakayama ta có P = 0) Ta suy m R P  P Vậy P hoàn toàn phẳng 29 2.3.7 Mệnh đề P Pi môđun hoàn toàn phẳng môđun iI Pi môđun phẳng tồn i0 I cho Pi0 môđun hoàn toàn phẳng Chứng minh Với R- môđun N ta cã   P  N   Pi  N    Pi  N  iI iI (2.3.3) Theo mƯnh ®Ị 2.2.4 ta cã P Pi môđun phẳng iI môđun Pi môđun phẳng Do đó, ta phải chứng minh với R- môđun N , ta cã   P   N   i  I, P  N  iI i i0 Điều đ-ợc suy từ (2.3.3) 2.3.8 Mệnh đề Cho đồng cấu vành  : R  R NÕu P lµ R- môđun hoàn toàn phẳng PR R R P R- môđun hoàn toàn phẳng Chứng minh Theo mệnh đề 2.2.3 PR R R P R- môđun phẳng Mặt khác C R PR C R R R P    C R R R P  C R P Do ®ã C R PR d·y khíp C lµ d·y khíp vµ P môđun phẳng Với M R- môđun, ta cã M R PR  M R  R R P    M R R R P M R P 2.3.9 Định nghĩa Một đồng cấu vành : R R đ-ợc gọi đồng cấu hoàn toàn phẳng R R- môđun hoàn toàn phẳng 2.3.10 Mệnh đề Cho : R R đồng cấu hoàn toàn phẳng, ta có môđun P hoàn toàn phẳng R hoàn toàn phẳng R Chứng minh Theo mệnh đề 2.2.3 ta có P phẳng R Ta cần chứng minh với R- môđun N  th× N R P  ThËt vËy, ta cã N R P  N R  R R P    N R R R P   f g  R R đồng cấu vành Nếu gf phẳng 2.3.11 Mệnh đề Cho R g hoàn toàn phẳng f phẳng 30 Chứng minh Giả sử C dÃy khớp Do gf phẳng nên ta có C R R dÃy khớp Mặt khác C R R C R R  R R (2.3.7) Do g lµ hoµn toµn phẳng nên từ (2.3.7) ta có C R R d·y khíp  2.3.12 MƯnh ®Ị Cho  : R R đồng cấu vành Nếu môđun P hoàn toàn phẳng R đồng thời phẳng R R phẳng R Chứng minh XÐt d·y khíp C , ta chøng minh C R R dÃy khớp Thật vậy, P phẳng R nên C P dÃy khớp Mặt kh¸c C R P  C R  R R P    C R R R P Do P hoàn toàn phẳng R nên từ đẳng thức ta có C R R dÃy khớp 31 Kết luận Dựa vào tài liệu tham khảo, đà tìm hiểu, tổng hợp, từ trình bày cách có hệ thống môđun phẳng môđun hoàn toàn phẳng Cụ thể, luận văn đà hoàn thành đ-ợc việc sau: Trình bày định nghĩa điều kiện t-ơng đ-ơng môđun phẳng, môđun hoàn toàn phẳng Trình bày số tính chất môđun phẳng môđun hoàn toàn phẳng 32 Tài liệu tham khảo [1] M Atiyah and G Macdonald (1969), Introduction to commutative algebra, Adison - Wesley, Reading, Mass [2] H Matsumura (1970), Commutative algebra, W A Benjamin, Inc [3] D-¬ng Qc ViƯt (2008), Lý thut Module, Nxb Đại học S- phạm ... hiểu môđun phẳng môđun hoàn toàn phẳng Nghiên cứu cho thấy môđun tự môđun phẳng Tổng quát môđun xạ ảnh môđun phẳng Điều ng-ợc lại nói chung không đúng, nghĩa tồn môđun phẳng nh-ng không môđun. .. Do S 1R môđun phẳng 2.2.9 Mệnh đề Cho dÃy khớp R- môđun  N  N  N  víi N R- môđun phẳng Khi đó, N R- môđun phẳng N R- môđun phẳng Chứng minh Với R- môđun M , theo tính chất môđun xoắn... đơn cấu Vậy P môđun phẳng 2.2 Một số tính chất môđun phẳng 2.2.1 Định nghĩa Cho : R R đồng cấu vành Khi đ-ợc gọi đồng cấu phẳng R R- môđun phẳng Cho : R R đồng cấu vành, N R - môđun Khi N