Nửa vành eculid và nửa vành chính quy cộng tính

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH TRẦN THỊ THÚY LIỄU NỬA VÀNH EUCLID VÀ NỬA VÀNH CHÍNH QUY CỘNG TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC VINH – 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH TRẦN THỊ THÚY LIỄU NỬA VÀNH EUCLID VÀ NỬA VÀNH CHÍNH QUY CỘNG TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ & LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.01.04 Ngƣời hƣớng dẫn khoa học PGS TS LÊ QUỐC HÁN VINH – 2012 Mục lục Trang Mục lục Lời nói đầu Chƣơng Nửa vành thƣơng cấu xạ nửa vành 1.1 Nửa vành thương 1.2 Cấu xạ nửa vành 1.3 Hạt nhân cấu xạ nửa vành 14 Chƣơng Nửa vành thƣơng Nửa vành Euclid Nửa vành quy cộng tính 2.1 Nửa vành thương 21 2.2 Nửa vành Euclid 26 2.3 Nửa vành quy cộng tính 37 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 43 LỜI NÓI ĐẦU Vành Euclid vành quy lớp vành có nhiều ứng dụng lý thuyết vành nói riêng Tốn học đại nói chung Do đó, với xuất lý thuyết nửa vành vào kỷ hai mươi, lớp nửa vành Euclid nửa vành quy nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu Tuy nhiên, nửa vành, nhiều phần tử khác khơng nói chung khơng có phần tử khả nghịch cộng tính, nên việc chuyển kết biết vành Euclid vành quy sang lớp nửa vành tương ứng gặp nhiều khó khăn ý tưởng lẫn kỹ thuật Nhưng việc vượt qua khó khăn tạo ý tưởng kết khác biệt chất làm phong phú cho lý thuyết nửa vành Luận văn dựa sách The Theory of semirings with applications in mathematics and theoretical computer science J.S Golan (1992) để tìm hiểu lớp nửa vành Euclid nửa vành quy cộng tính với vấn đề liên quan nửa vành thương, cấu xạ nửa vành nửa vành thương Luận văn gồm hai chương: Chương Nửa vành thương cấu xạ nửa vành Trong chương chúng tơi trình bày số khái niệm tính chất nửa vành thương, cấu xạ nửa vành hạt nhân cấu xạ nửa vành Chương Nửa vành thương Nửa vành Euclid Nửa vành quy cộng tính Trong chương chúng tơi trình bày số khái niệm tính chất nửa vành thương, nửa vành Euclid nửa vành quy cộng tính Luận văn hồn thành hướng dẫn PGS TS Lê Quốc Hán Nhân dịp tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn dành cho tác giả hướng dẫn nhiệt tình, chu đáo suốt trình nghiên cứu Tác giả xin chân thành cảm ơn phòng Đào tạo Sau Đại học, thầy Khoa Tốn học chuyên ngành Đại số Lý thuyết số tạo điều kiện giúp đỡ tác giả trình học tập hoàn thành luận văn Tác giả xin cảm ơn Trường Đại học Đồng Tháp Mặc dù cố gắng, song luận văn không tránh khỏi thiếu sót, chúng tơi mong nhận đóng góp q báu từ thầy, giáo bạn học viên Vinh, ngày tháng năm 2012 Tác giả Trần Thị Thúy Liễu Chƣơng NỬA VÀNH THƢƠNG VÀ CẤU XẠ NỬA VÀNH 1.1 Nửa vành thƣơng 1.1.1 Định nghĩa Một nửa vành tập hợp khác rỗng R mà xác định hai phép toán cộng nhân cho điều kiện sau thỏa mãn: (i) ( R, ) vị nhóm giao hốn với đơn vị (ii) ( R,.) nửa nhóm (iii) Phép nhân phân phối phép cộng, nghĩa a(b+c)=ab+ac (a+b)c=ac+bc với a,b,c  R (iv) 0r=0=r0 với r  R Nếu ( R,.) vị nhóm với đơn vị R gọi nửa vành với đơn vị Để nửa vành R  0 , ta quy ước  1.1.2 Định nghĩa Giả sử R nửa vành Khi quan hệ tương đương  R gọi tương đẳng R thỏa mãn điều kiện: từ (r,r’)  (s,s’)   suy (r+s,r’+s’)   (rs,r’s’)   Với nửa vành R xác định hai tương đẳng: tương đẳng đồng id R cho (a,b)  idR a=b; tương đẳng phổ dụng cho (a,b)   với a,b  R Các tương đẳng khác R gọi tương đẳng thực 1.1.3 Ví dụ Giả sử I iđêan nửa vành R Khi quan hệ Bourne  I cho (r,r’)   I tồn a,a’  R cho a+r = a’+r’ tương đẳng R Giả sử R nửa vành đơn với đơn vị (nghĩa r+1=1 với r  R) Với a  R, kí hiệu: S(a)= 0  r  R | r  a  1 Thế quan hệ  R cho (a,b)   S(a)=S(b) tương đẳng R Thật vậy, giả sử a,b,c,d  R (a,c)   , (b,d)   Nếu r  R, r  r  S(a+b)  r+a+b=1  r+a  S(b)  r+a S(d) (vì(b,d)  )  r+a+d=1  r+d  S(a)  r+d  S(c) (vì (a,c)  )  r+c+d=1  r  S(c+d) S(a+b)=S(c+d) Mặt khác, S(ab)=S(a)  S(b)=S(c)  S(d)=S(cd) nên (ab,cd)  Dễ thấy  quan hệ tương đương R nên  tương đẳng R 1.1.4 Chú ý Giả sử  tương đẳng nửa vành R Với r  R, kí hiệu r   r '  R | (r ', r )   R   r  | r  R Nếu  tương đẳng thực ta xây dựng nửa vành thương R  cách đặt r   r '   (r  r ')  (r  )(r '  )  (rr ')  Trong Ví dụ 1.1.3 (1), ta thấy iđêan I nửa vành R xác định tương đẳng Bourne  I Khi nửa vành thương R  kí hiệu R I 1 -lớp chứa r kí hiệu r I Nửa vành R I gọi nửa vành thương Bourne R I 1.1.5 Ví dụ Giả sử R nửa vành giao hoán P họ khác rỗng iđêan nguyên tố mạnh R Trên R xác định quan hệ  cho (a,b)   P  P , a,b  P a,b  P Thế  tương đẳng R Thật vậy, theo định nghĩa,  quan hệ tương đẳng R Nếu (a,a’)   (b,b’)   P  P , có a+b  P  a,b P  a’,b’  P  a’+b’ P tương tự ab P  a  P b  P  a’  P b’  P  a’b’  P (a+b,a’+b’)   , (ab,a’b’)  nên  tương đẳng R Giả sử 1