Chiều goldie mạnh của môđun

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LÊ THỊ THANH HUỆ CHIỀU GOLDIE MẠNH CỦA MÔĐUN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An, 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LÊ THỊ THANH HUỆ CHIỀU GOLDIE MẠNH CỦA MÔĐUN Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS.TS NGÔ SỸ TÙNG Nghệ An, 2012 MỤC LỤC Trang LỜI NĨI ĐẦU CÁC KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN Chương KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Môđun cốt yếu, Môđun 1.2 Môđun nội xạ Chương CHIỀU GOLDIE MẠNH CỦA MƠĐUN 10 15 2.1 Chiều Goldie mơđun 15 2.2 Chiều Goldie mạnh môđun 21 KẾT LUẬN 26 TÀI LIỆU THAM KHẢO 27 LỜI NÓI ĐẦU Trong suốt luận văn này, tác giả giả thiết vành kết hợp có đơn môđun môđun phải unita Cho tập hợp X vành R, linh hóa tử trái X R : l(X) = {r ∈ R : rx = với x ∈ X} Lấy a ∈ R, viết l(a) thay cho l({a}) Các linh hóa tử phải định nghĩa tương tự Một R- mơđun M có chiều Goldie n (được viết G.dim M = n) có mơđun cốt yếu V e M tổng trực tiếp n môđun Mặt khác, số nguyên n tồn tại, người ta viết G.dim M = +∞ Người ta gọi R- môđun M có chiều Goldie hữu hạn chiều G.dim M < +∞ Vành R gọi có hữu hạn chiều phải hữu hạn chiều R- mơđun phải Các vành có chiều trái định nghĩa tương tự Một Rmơđun M có chiều Goldie mạnh n (được viết SG.dim M = n) sup{G.dim(M/N) | N ≤ M} = n Mục đích luận văn tìm hiểu trình bày chiều Goldie chiều Goldie mạnh môđun Cấu trúc luận văn chia thành hai chương : – Chương Trình bày số kiến thức chuẩn bị Các khái niệm đề cập chủ yếu chương môđun cốt yếu, môđun đều, môđun nội xạ, số tính chất, mệnh đề, định lí, bổ đề – Chương Trên sở xem xét môđun cốt yếu, môđun đều, môđun nội xạ tiếp tục trình bày chiều Goldie mơđun chiều Goldie mạnh mơđun, trình bày lại chứng minh định lí, mệnh đề hệ có liên quan Luận văn thực hoàn thành Trường Đại học Vinh Trường đại học Sài Gòn, gợi ý hướng dẫn nhiệt tình PGS.TS Ngơ Sỹ Tùng Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến Thầy giáo hướng dẫn, người trực tiếp động viên, dìu dắt tận tình, bảo nghiêm túc suốt trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Trong trình học tập viết luận văn, tác giả nhận giúp đỡ tận tình thầy cô Bộ môn Đại số Trường Đại học Vinh Tác giả xin chân thành cảm ơn quý thầy khoa Tốn học, Phịng đào tạo Sau đại học Trường Đại học Vinh bạn học viên cao học Toán khoá 18 Trường Đại học Sài Gòn hỗ trợ giúp đỡ tạo điều kiện để tác giả hoàn thành luận văn Nghệ An, tháng 09 năm 2012 Tác giả CÁC KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN A  M : A môđun môđun M A  e M : A môđun cốt yếu môđun M  o : quan hệ thứ tự A  M : A tập hợp tập M HomN ,M  : tập tất đồng cấu môđun từ N đến M  : tổng trực tiếp môđun f : N  M : phép tương ứng từ N đến M M N : môđun thương M N : phép nhúng  A : thu hẹp  A N  M : môđun N đẳng cấu với M G.dim M : Chiều Goldie môđun M SG.dim M : Chiều Goldie mạnh môđun M □ : kết thúc chứng minh CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 MÔĐUN CON CỐT YẾU VÀ MÔĐUN ĐỀU Trong luận văn này, ta xét vành R vành kết hợp có phần tử đơn vị, kí hiệu 1, tất môđun xét vành R R – môđun phải Unita (nếu khơng nói thêm) 1.1.1 Định nghĩa Cho M R – môđun phải A môđun M  Môđun A gọi mơđun cốt yếu M, kí hiệu A e M , với môđun X  M, X  A  X   Hay nói cách khác mơđun A M gọi môđun cốt yếu với môđun X M thoả mãn A  X  X =  Nếu A mơđun cốt yếu M M gọi mở rộng cốt yếu A 1.1.2 Định nghĩa Một môđun U gọi môđun (hay uniform) U  O A  B  O môđun khác không A, B U Hay nói cách khác mơđun U gọi môđun U  O môđun khác U cốt yếu U 1.1.3 Ví dụ :  Mọi mơđun M có M e M  Z-mơđun Z mơđun : Lấy A = mZ  Z , m  A = kZ  Z , k  Khi :  m.k  mZ  kZ □  Z-mơđun Q mơđun : Lấy  A , B  Q   Ta có : am = bm am = an m B n a A b m a A , B ( a, b, m, n  Z* ) b n Khi :  am A  B □  Mọi môđun khác không môđun 1.1.4 Mệnh đề Cho M R-môđun Khi ta có : (1) A  e M A  xR  , x  M , x  (2) Cho A  B  M A  e M A e B B e M i n (3) Nếu Ai e Bi , i  1, n Ai , Bi  M Đặc biệt, Ai e M i n Ai  i 1 i n Bi i 1 Ai e M i 1 (4) Cho A  B  M Nếu B A e M A B e M 1 (5) Nếu f : M  N đồng cấu mơđun A e N f ( A) e M Ai Mi môđun M, i I, (6) Cho M   M i , i  I , A  i I M i Ai e  M i Ai e M i Khi tồn i I iI Chứng minh (1) Giả sử A  e M , với  x  M  xR  0, xR  M hiển nhiên A  xR  (theo định nghĩa) Ngược lại, A  xR  , x  M , x  Khi giả sử  X  M Mà X  A  Do X   x  X , X  ta có :  ( X  A)  xR  A  (vô lý) Vậy X  A  hay A  e M □ (2) Giả sử A  e M Lấy  X  B  X  M  X  A  (do A  e M ) suy A e B Lấy  X  M  X  A   X  B  (vì A  B )  B e M Ngược lại, giả sử A e M Lấy  X  M B e M  X  B  Mà  X  B   B A e B , ( X  B)  A   A e M (3) Lấy  X  i n i 1 Do X  i n i 1 □ Bi  X  Bi mà Ai e Bi  X  Ai  Ai  Hay i n i 1 Ai  i n Bi i 1 □ (4) Lấy  X  M Giả sử X  B  suy tồn X  B ( X  A) / A  M / A Ta có Do B / A e M / A nên (( X  A) / A)  ( B / A)  Suy tồn x + a + A = b + A  b + a’ (a’  A) vô lý Vậy X  B   B e M (5) Lấy  X  M  Nếu f(X) =  X  f -1(A)   X  f 1 ( A)   X   Nếu f(X)  Vì A e N  A  f ( X )  Do tồn a 0, a  A a  f(X)  a = f(x) x  X, x  Suy x = f -1(a)  x  f -1(A)  X  f 1 ( A)  1 Vậy f ( A) e M □ (6) Trước hết ta chứng minh cho trường hợp I hữu hạn Dùng quy nạp, xét với n = 2, ta có : M = M1 + M , A1 e M1 , A2 e M tồn A1  A2 Theo (3) ta có ( A1  A2 ) e (M1  M ) hay e (M1  M )  M1  M  Do tồn tổng M1  M  : M M M Xét phép chiếu :  : M M M Do A  M   ( A )  (M  M ) (theo 5) Nhưng   ( A )  A  M  ( A  M )  (M e 1 2 1 1 1 1 e 1 2 2 e  M ) (1) Do A2 e M   21 ( A2 ) e (M1  M )  ( A2  M ) e (M1  M ) (2) Lấy giao vế (1) (2) ta có :   A1  M   ( A2  M ) e (M1  M )  ( A1  A2 ) e (M1  M ) Bây ta chứng minh cho trường hợp I vô hạn Lấy x   , ,iI M i ta biểu diễn x   , ,iF X i với F hữu hạn thuộc I, theo trường hợp tồn  M i biểu diễn iF M i ,  Ai e  M i (với F Tiếp theo lấy  X   M i    x  X mà x  i I iI iI iI Ai   X   Ai  hữu hạn thuộc I)  xR  i I iI Ai e  M i Vậy i I iI □ 10 1.1.5 Định nghĩa Cho M R-môđun  Môđun N gọi đóng M N khơng có mở rộng cốt yếu thực M Nói khác N gọi đóng M với môđun K M mà N  e K K = N ( tức N  e K  M  K = N)  Môđun K M gọi bao đóng mơđun N M K môđun tối đại M cho N cốt yếu K  Môđun K M gọi phần bù môđun B M K môđun tối đại số mơđun M có giao với B khơng, K gọi phần bù M K phần bù mơđun M 1.1.6 Mệnh đề Bao đóng mơđun N M tồn 1.1.7 Hệ i) Nếu N mơđun đóng M hạng tử trực tiếp N đóng M ii) Nếu N mơđun đóng hạng tử trực tiếp M N đóng M iii) Nếu N mơđun đóng X X đóng M N mơđun đóng M 1.1.8 Bổ đề Cho  : N  M đẳng cấu môđun R Khi mơđun L N cốt yếu N (L) cốt yếu M Chứng minh () Cho L  e N ,  L  X  Suy ra: X  M cho L   1  X    1  L  X    1 0  Do L e N nên  1  X    X  ( đẳng cấu) Vậy  L   e M () Cho  L   e M , Y  N cho L  Y  Do  đẳng cấu   1  L   Y    1  L   1  Y   L  Y    L   Y   Do  L   e M nên  Y    Y  Vậy L  e N 15 1.2.5 Mệnh đề Nếu M N – nội xạ A  N M A – nội xạ N A – nội xạ Chứng minh Trước hết ta chứng minh M A – nội xạ Thật vậy, lấy X  A f : X  M đồng cấu Ta có X  N , M N – nội xạ nên f mở rộng thành đồng cấu g : N  M Khi g A mở rộng f A hay M A – nội xạ Bây ta chứng minh M N A – nội xạ Lấy X A  N A  : X A  M đồng cấu Gọi  : N  N A Đặt    x X , ta N A X A Do đó, tồn đồng cấu  : N A  M cho     A   A   0  Suy ker   ker  Với N  Do M N – nội xạ nên  mở X rộng thành đồng cấu  : N  M Ta có:    i X đồng cấu tự nhiên  có  M  x  A   x    x   x    x  A Vậy,  mở rộng  hay M N A – nội xạ □ 1.2.6 Mệnh đề M N – nội xạ  N   M với   HomEN , EM  Chứng minh Vì E(N) mơđun nội xạ, ta cần chứng minh với   HomN , EM  đủ () Giả sử M N – nội xạ, với   HomN , EM  Đặt X   n  N :  n M  Dễ thấy X môđun N Vì M N – nội xạ,  X mở rộng thành đồng cấu :N M , ta chứng minh M     N   Thật vậy, giả sử có m M n N cho m     n Khi đó,  n   n  m  M nên n X 16 Như vậy, m   n   n   n   n  Vậy, M     N   M  e E M  nên  N    N   M  Giả sử có  N   M với   HomN , EM  Lấy X  N f : X  M đồng cấu Vì E(M) nội xạ, nên f mở rộng thành đồng cấu  : N  EM  Theo giả thuyết  N   M Vậy, f : X  M mở rộng thành đồng cấu  : N  M hay M N – nội xạ □ 1.2.7 Bổ đề Cho M1 M2 môđun M  M1  M Thế thì, M2 M1 – nội xạ với môđun N M mà N  M  tồn môđun K M cho M  K  M N  K Chứng minh  Giả sử M2 M1 – nội xạ với môđun N M mà N  M  Gọi  i : M  M i i  1,2 phép chiếu Đặt    N ,    N Vì N  M  nên  đơn cấu M M1 – nội xạ nên tồn đồng cấu  : M1  M cho    Lấy K   m1   m1  : m1  M1 Với n N n  m1  m2 Ta có  n   n hay  m1   m2 , từ ta suy n  m1   m1  K Do đó, N  K Nếu có m1  M m2  M cho m1   m1   m2 m1  m2   m1  M , nên m1 = m2 = Như vậy, K  M  Mặt khác, m  M , m  m1  m2  m1   m1   m2   m1  K  M Vậy M  K  M  Giả sử với môđun N M mà N  M  tồn môđun K M cho M  K  M N  K Lấy X môđun M f : X  M đồng cấu Đặt H   x  f x  : x  X  Khi H môđun M hiển nhiên H  M  Theo giả thiết, tồn môđun H’ M cho M  H 'M H  H ' Lấy  : M  H '  M  M phép chiếu Đặt g   M1 , x  X g x    x    x  f x   f x   f x  17 Vậy, g mở rộng f, hay M M1 – nội xạ □ 18 CHƯƠNG CHIỀU GOLDIE MẠNH CỦA MÔĐUN 2.1 CHIỀU GOLDIE CỦA MÔĐUN 2.1.1 Định nghĩa Một mơđun M vành R gọi có chiều Goldie (hay chiều đều) hữu hạn không tồn tổng trực tiếp vô hạn môđun khác không M Ngược lại, ta nói M có chiều Goldie (hay chiều đều) vô hạn 2.1.2 Mệnh đề Nếu M môđun khác không, không chứa tổng trực tiếp vơ hạn mơđun khác khơng, M chứa môđun Chứng minh - Nếu M môđun : chứng minh xong - Nếu M không mơđun Khi tồn  U1 , U  M mà U1  U  suy U1  U   M + Nếu U1 môđun : chứng minh xong + Nếu U1 khơng mơđun đều, tồn V1 ,V2  U1 ,V1 ,V2  Mà V1  V2  suy V1  V2   U1 suy tồn V1  V2  U   M Quá trình tiếp tục, M không chứa tổng trực tiếp vô hạn mơđun khác khơng, nên q trình phải dừng lại sau hữu hạn bước Vậy tồn môđun U k □ 2.1.3 Mệnh đề Cho môđun M khác khơng có tính chất mơđun chứa mơđun Thế tồn mơđun A tổng trực tiếp môđun A môđun cốt yếu M Chứng minh Gọi T = { i U i | U i đều, U i  M, i  I } I Xác định quan hệ thứ tự i Ui  j Vj  I  J V i = U i , i  I J I Theo giả thiết M chứa môđun U  có I U với |I| =  S  19 Ta có  Ui = U  U2   Un  suy iI  U k T cận k 1 Theo bổ đề Zorn, T tồn phần tử tối đại A =  Ui ta có A  e M iI A khơng môđun cốt yếu M suy tồn B  M , B  mà A  B  Theo giả thiết A chứa môđun V, suy A V  suy tồn A’ = A  V mà A  A’ , A  A’, mâu thuẫn với tính tối đại A Vậy A  e M □ 2.1.4 Bổ đề Giả sử M môđun chứa môđun cốt yếu dạng Ui, Ui mơđun i  I Khi mơđun N M cốt yếu M N  Ui  0, i  I Chứng minh Giả sử N  e M suy N  X  với X  M , X  suy N  U i  , i  I Ngược lại, giả sử N  M, N  Ui  0, i  I Đặt N i = N  U i , theo giả thiết Ni  0, i  I Vì U i môđun suy N i  e U i, i  I Do có  Ui , mà iI Ni  U i , i  I nên tồn tổng trực tiếp  Ni  Ni  e  Ui ( theo iI iI iI mệnh đề 1.1.4) Theo giả thiết  Ui  e M ta có  Ni  e  Ui  e M từ iI iI iI suy  Ni  e M (*) iI Mặt khác N i  N, i  I, N i  N  M Vì N  e M ( N khơng mơđun cốt yếu M suy tồn K  0, K  M mà N  K = suy K  i Ni = Mâu thuẫn với (*)) I □ 2.1.5 Định lý Cho môđun M, tồn môđun U i đều, i = 1,2,3, ,n i Ui  e M : I i) Mọi tổng trực tiếp môđun khác không M có nhiều n hạng tử 20 ii) Nếu tồn môđun Vi i = 1,2,3, ,k V1   Vk  e M n = k Chứng minh i) Giả sử tồn A1   An+1 , M Ta chứng minh An+1 = Do A1  (A2   An+1) = dẫn đến A2   An+1 không môđun cốt yếu M Theo bổ đề 2.1.4 tồn U i, 1 i  n để U i  (A2   An+1) = Khơng tính tổng qt, giả sử i = ta có U  (A2   An+1) = suy tồn U1  A2   An+1 Tiếp tục ta có (U1  A3   An+1)  U = suy U  A3   An+1 không môđun cốt yếu M Do tồn U2 để (U1  A2   An+1)  U2 = Suy tồn U1 U2 A3   An+1 Do U1 U U   Un côt yếu M suy An+1 = □ ii) Theo i) ta có k  n n  k suy n = k (do vai trò hai tổng trực tiếp n n i1 i1  U i  Vi nhau) Từ Định lý 2.1.5 ta rút số tự nhiên n mà U 1 U U3   U n cốt yếu M, U i với i = 1,2,3, ,n số bất biến ta có định nghĩa sau : 2.1.6 Định nghĩa Ta gọi dimM = n tồn tổng trực tiếp hữu hạn U1 U2 U3   U n  e M , với môđun U i đều, i = 1,2,3, , n n gọi chiều Goldie ( chiều đều) mơđun Tóm lại, R - mơđun M có chiều Goldie n, kí hiệu G.dim M = n có mơđun cốt yếu V  e M tổng trực tiếp n mơđun Mặt khác, khơng có số nguyên n tồn tại, người ta viết G.dim M = +∞ Người ta gọi R- mơđun M có chiều Goldie hữu hạn G.dim M < +∞ 21 Vành R gọi có hữu hạn chiều phải hữu hạn chiều R- mơđun phải Các vành có chiều trái định nghĩa tương tự 2.1.7 Một số tính chất chiều Goldie hữu hạn 2.1.7.1 Mệnh đề i) Nếu dim M <  dim A <  với A môđun M ii) Nếu A, B môđun M tồn A  B với dim (A  B) <  dim (A  B ) = dim A + dim B Chứng minh i) Giả sử A chứa tổng trực tiếp vô hạn môđun khác không Do A  M nên suy M chứa tổng trực tiếp vô hạn mơđun khác khơng Vậy M có chiều Goldie vô hạn Mâu thuẫn với giả thiết dim M <  Vậy A không chứa tổng trực tiếp vô hạn môđun khác không hay dim A < , với A môđun M □ ii) Do A, B  (A  B ), theo giả thiết dim (A  B ) < , nên theo i) dim A < n , dim B <  Đặt dim A = n, dim B = m Do A tồn  Ui  e A, i1 m B tồn  Vj  e B, với U i , V j đều, i = 1,2,3, ,n, j = j 1 1,2,3, ,m Do tồn A  B  U i  V j = với i,j, 1 i n,  j  m m n  U = (  Ui)  (  Vj) ta có U  e A B (theo mệnh đề 1.1.4) j 1 i1 Vậy dim (A  B) = n + m = dim A + dim B □ 2.1.7.2 Bổ đề Nếu A môđun cốt yếu M dim A = dim M Chứng minh n Giả sử dim M = n   U i  e M, với U i môđun với i = i1 1,2,3, ,n Do A  e M theo định 2.1.5 ta có A  U i  0, i = 1,2,3, ,n n Đặt Ai = A  U i, U i nên Ai i = 1,2,3, ,n có  Ui nên tồn i1 n n  Ai  Ai  e A i1 i1 Vậy dim A = n, từ dim A = dim M □ 22 2.1.7.3 Mệnh đề Cho K, M, L R - môđun Nếu h : K  M đồng cấu L e M h-1(L) e K 2.1.7.4 Hệ Cho K môđun môđun M  : M  M/K toàn cấu tắc Nếu (S) e (M) S + K  e M 2.1.7.5 Chú ý Điều ngược lại hệ khơng Điều có nghĩa tồn môđun M, hai môđun S K M thỏa mãn S e M (S) khơng cốt yếu M/K với  ánh xạ tắc từ M vào M/K 2.1.7.6 Ví dụ Lấy M = Z nhóm số nguyên, R = Z vành số nguyên, S=2Z, K=6Z M môđun R, hai môđun S K thỏa mãn S  e M 0 ,2 ,4 (S) =  (2Z) = 2Z / 6Z =    không cốt yếu  M K  Z6  0,3  0, 2, 2.1.7.7 Định lí Cho M có chiều Goldie hữu hạn K1 , K2 hai môđun M thỏa mãn K  K1 K2 phần bù Khi : dim K1  dim K2  dim K1  K2   dim K1 K2  Chứng minh Cho A phần bù K K1 B phần bù K K2 A  K e K1 B  K e K2   A  K  K e K1 K  B  K  K e K2 K Bây  K1 K    K K   K K2  (0) K Ta có : A B  K K   A  K  K   B  K  K e   A  B  K  K e  K1  K  K  A  B  K e K1  K2 (theo hệ 2.1.7.4.)  dim  A  B  K   dim  K1  K2  K1 K K1  K   K K K 23 Bây ta kiểm tra tổng A+B+K tổng trực tiếp Cho a + b + k = với a  A, b  B, k  K Kéo theo b = – a – k  K1 K2  K Khi b  B  K  , b = Lúc a  A  K  , a = k = Vì vậy, tổng A+B+K tổng trực tiếp Khi A  B  K e K1  K2 , ta có : dim  K1  K   dim  A  B  K  dim  K1  K   dim A  dim B  dim K dim  K1  K    dim K1  dim K    dim K  dim K   dim K dim  K1  K   dim K1  dim K  dim K dim  K1  K   dim K1  dim K  dim  K1  K  □ 2.2 CHIỀU GOLDIE MẠNH CỦA MƠĐUN 2.2.1 Định nghĩa Một R- mơđun M có chiều Goldie mạnh n, kí hiệu SG.dim M = n, Sup { G.dim ( M/N ) | N ≤ M } = n M gọi hữu hạn chiều mạnh SG.dim M < +∞ Vành R gọi có hữu hạn chiều phải mạnh hữu hạn chiều mạnh R- môđun phải Các vành có chiều hữu hạn trái mạnh định nghĩa tương tự 2.2.2 Ví dụ Nếu vành R hữu hạn chiều phải mạnh hữu hạn chiều phải Nhưng chiều ngược lại không đúng, R vành noether giao hoán Chứng minh Ví dụ Lấy R = Z , R vành noether giao hốn Nhưng khơng hữu hạn chiều mạnh Vì idean Z có dạng nZ với 24 n  p p Kí hiệu Zl  Z l Z , l số nguyên dương Khi dễ thấy mk k m1 Zn Z m p1   Z m pk k , điều có nghĩa G.dim Z n ≥ k Khi với n tùy ý SG.dim Z = +∞ □ 2.2.3 Mệnh đề Nếu N mơđun thương M, SG.dim N ≤ SG.dimM 2.2.4 Bổ đề Cho → A → B → C → dãy khớp mơđun Khi G.dim B ≤ G.dim A + G.dim C 2.2.5 Mệnh đề Cho → A → B → C → dãy khớp môđun Khi SG.dim B ≤ SG.dim A + SG.dim C Chứng minh Lấy K ≤ B, theo bổ đề : G.dim B A K BK A B  G.dim  G.dim  G.dim  G.dim K K A K A K A K K  SG.dim A  SG.dim B  SG.dim A  SG.dim C A Với K tùy ý, ta có SG.dim B ≤ SG.dim A+SG.dim C □ 2.2.6 Hệ SG.dim (A+B) ≤ SG.dim A + SG.dim B Chứng minh Khi → A → A + B → B / A∩B → dãy khớp, theo mệnh đề ta có : B SG.dim  A  B   SG.dim A  SG.dim  SG.dim A  SG.dim B □ A B 2.2.7 Hệ SG.dim  M1  M   M n   SG.dim M1  SG.dim M   SG.dim M n Chứng minh Ta cần chứng minh với n = 2, trường hợp khác tương tự Với môđun thương Ki M i , với i=1,2 Dễ thấy K1  K môđun thương M1  M Khi theo định nghĩa, SG.dim M1  SG.dim M  SG.dim  M1  M  Mặt khác, 25 SG.dim M1  SG.dim M  SG.dim  M1  M  theo hệ 2.2.6 □ 2.2.8 Chú ý Một môđun khác không gọi môđun khác không môđun cốt yếu Một môđun gọi dãy mơđun cấp tuyến tính cho phép lồng Dễ thấy mơđun dãy Nhưng điều ngược lại khơng Ví dụ, xem Z Zmơđun, Z không dãy Vành R gọi thứ tự phải RR tổng trực tiếp môđun dãy 2.2.9 Hệ Nếu R thứ tự phải, R có chiều hữu hạn phải mạnh SG.dim RR=G.dim RR 2.2.10 Chú ý Khi vành artin phải mà không thứ tự phải, vành hữu hạn chiều mạnh khơng thứ tự phải Dễ thấy SG.dim M ≥ với môđun M khác Nếu SG.dim M = 1, ta có : 2.2.11 Định lí Các phát biểu sau tương đương R- môđun M : (1) SG.dim M = (2) M dãy (3) Mọi mơđun thương khác khơng M Chứng minh Dễ thấy môđun thương môđun dãy dãy Do (2)  (3)  (1) Bây giả sử ta có (1), M khơng phải dãy, tồn hai mơđun khác A B M, với A không B B không tập A Khi rõ ràng mơđun khác khơng A B  A B A B thuẫn 2.2.12 Ví dụ A B A B A B M Do đó, có phép nhúng : A B M , điều có nghĩa SG.dim M ≥ 2, mâu A B □ 26  Một môđun M hữu hạn chiều mạnh khơng phải noether, cho dù SG.dim M = Chứng minh Ví dụ cho p số nguyên tố dương Khi M = { a/pn ∈Q | a ∈ Z n ∈ N} nhóm cộng Q với nhóm Z Có nghĩa nhóm thành phần M Z cho Z p Rõ ràng nhóm Z p cyclic cho 1/pn với n tùy ý, điều có nghĩa Z p dãy noether Z- môđun □  Một môđun M hữu hạn chiều mạnh khơng artin, cho dù SG.dim M = Ví dụ lấy Z[i] vành số nguyên Gauss , V = Z[i](2−i) địa phương hóa idean nguyên tố sinh − i, σ kết hợp phức R vành chuỗi lũy thừa đối xứng lệch : R    x1  x 2   V ,  j  [i ], j  1 , phép nhân cho quy tắc αx = xσ(α) Khi R dãy khơng phải artinian Cho M R-môđun K  họ môđun thật K ^ gọi đối độc lập với λ ∈ ∧ tập hữu I    K  iI Ki  M (nếu I tập rỗng, tập ∩ i∈IKi = M hạn M) Vì SG.dim M = n ≥ 2, ta có : 2.2.13 Định lí Với M R- mơđun mệnh đề sau tương đương : (1) SG.dimM = n (2) Sup { A A họ đối độc lập N, N mơđun môđun thương M} = n Chứng minh 27 (1) ⇒ (2) Giả sử tồn môđun khác không K môđun thương M họ đối độc lập {Ki, ≤ i ≤ m} K cho m ≥ n+1 Khi ta có phép nhúng tắc f :  với f k  m i 1 K  m i 1 Ki K K   K1 Km Ki    k  K1 , , k  K m  , k  K Bây ta đặt Ni  j i K j ,1  i  m Khi theo định nghĩa họ đối độc lập, Ki+N i = K, ≤ i ≤ m Vì i, f ( Ni ) khác không f  Ni    0, , x  K i , ,0 , x  Ni  K Do đó, f ( N1 )   f ( Nm ) tổng trực tiếp Khi f lồi, G.dim  m  m  i 1 Ki   điều G.dim   M    m  n , mâu thuẫn Ki  m i 1 (2) ⇒ (1) Nếu SG.dim M > n, tồn môđun thương khác không N M với họ {Ki, ≤ i ≤ m > n} môđun độc lập N Bây lấy Ni   k i Ki ,1  i  m Rõ ràng { N i, ≤ i ≤ m } họ đối độc lập  K , mâu thuẫn Vì vậy, i SG.dim M ≤ n Với giả thiết, tồn môđun A khác khơng, điều có nghĩa có môđun môđun thương B M Và A có họ đối độc lập {Ai, ≤ i ≤ n} môđun thật B Do theo cách xây dựng   n A i   B A  G.dim n n Vì SG.dim M  G.dim n i 1 Ai i 1 Ai chứng minh từ (1) ⇒ (2), G.dim  Vậy, SG.dim M = n A n i 1 □ 28 KẾT LUẬN Nội dung luận văn : Trình bày khái niệm mơđun cốt yếu, mơđun số tính chất chúng Trình bày khái niệm mơđun nội xạ , chứng minh số mệnh đề bổ đề liên quan đến mơđun nội xạ Trình bày chiều Goldie môđun số mệnh đề, định lí mơđun với chiều Goldie hữu hạn Trình bày chiều Goldie mạnh mơđun trình bày lại chứng minh định lí, mệnh đề hệ có liên quan 29 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Thiều Thị Quỳnh Lê (2011), lớp CS - môđun chiều môđun, Luận văn thạc sĩ toán học, Trường đại học Vinh, Vinh [2] Ngô Sỹ Tùng (1995), Một số lớp vành đặc trưng điều kiện liên tục lớp CS - mơđun, Luận án phó tiến sĩ khoa học Tốn - Lý, Trường đại học Vinh, Vinh [3] Dương Quốc Việt (2008), Cơ sở lý thuyết môđun, Nhà xuất Đại học Sư phạm, Hà Nội Tiếng Anh [4] R P Kurshan (1970), Rings whose cyclic modules have finitely genrated socle, J Algetra, 15, 376-386 [5] T Y Lam (1998), Lectures on Modules and Rings, Graduate Texts in Mathematics Vol 189, Springer-Verlag, New York [6] C Lomp(1999), On semilocal modules and rings, Comm Algebra, 27(4), 1921-1935 [7] Y V Reddy and BH Satyanarayana (1987), A note on modules, Proc Japan Acad, 63A, 208-211 [8] L Shen and J L Chen (2005), Strongly Goldie Dimension, arXiv:math/0510175v1 ... LUẬN VĂN Chương KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Môđun cốt yếu, Môđun 1.2 Môđun nội xạ Chương CHIỀU GOLDIE MẠNH CỦA MƠĐUN 10 15 2.1 Chiều Goldie mơđun 15 2.2 Chiều Goldie mạnh môđun 21 KẾT LUẬN 26 TÀI LIỆU THAM... □ 18 CHƯƠNG CHIỀU GOLDIE MẠNH CỦA MÔĐUN 2.1 CHIỀU GOLDIE CỦA MƠĐUN 2.1.1 Định nghĩa Một mơđun M vành R gọi có chiều Goldie (hay chiều đều) hữu hạn không tồn tổng trực tiếp vô hạn môđun khác không... hữu hạn chiều phải mạnh hữu hạn chiều mạnh R- mơđun phải Các vành có chiều hữu hạn trái mạnh định nghĩa tương tự 2.2.2 Ví dụ Nếu vành R hữu hạn chiều phải mạnh hữu hạn chiều phải Nhưng chiều ngược