Một số tính chất của cs môđun và cess môđun

3 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH HUỲNH THANH TƢỜNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA CS-MƠĐUN VÀ CESS-MƠĐUN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGHỆ AN, 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH HUỲNH THANH TƢỜNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA CS-MÔĐUN VÀ CESS-MÔĐUN Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học PGS.TS NGÔ SỸ TÙNG NGHỆ AN, 2012 MỤC LỤC NỘI DUNG TRANG LỜI NÓI ĐẦU Chƣơng 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Hạng tử trực tiếp 1.2 Môđun suy biến 1.3 Môđun cốt yếu, môđun đều, chiều 1.4 Môđun tối đại, mơđun đóng, bao đóng mơđun, bù giao 1.5 Môđun đơn, môđun nửa đơn 11 1.7 Môđun nội xạ, môđun xạ ảnh 12 Chƣơng MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA CS-MƠĐUN VÀ CESS-MƠĐUN 2.1 CS-mơđun: 13 2.2 CESS-môđun: 27 KẾT LUẬN 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO 35 LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết mơđun góp phần khơng nhỏ đến phát triển chuyên ngành Đại số Lý thuyết số Trong lý thuyết môđun, hai lớp môđun đƣợc nhà khoa học quan tâm nghiên cứu lớp môđun nội xạ lớp môđun xạ ảnh Trên sở tƣơng tự dựa yếu tố nội xạ, ngƣời ta mở rộng nhiều lớp môđun Các lớp môđun nhƣ: môđun tựa nội xạ, môđun giả nội xạ đƣợc nghiên cứu S K Jain and S Sigh (1967), M L Teply (1975), H Q Dinh (2005),…; Các lớp CS-môđun, môđun liên tục đƣợc Đinh Văn Huỳnh, Nguyễn Việt Dũng, M Okado, S H Mohamed and P J Muler,… phát triển, xây dựng mối quan hệ lớp môđun mở rộng với đƣa nhiều kết hữu ích việc phát triển lý thuyết môđun Luận văn dựa báo “CESS-MODUNLES Tr.J.of Mathematics 22 (1998), 69-75, C Celik” (xem [2]), nhằm tìm hiểu tổng qt hóa CS-mơđun cụ thể CESS-môđun, CS-môđun yếu, môđun thỏa mãn điều kiện (P) tìm hiểu số tính chất nhƣ mối liên hệ lớp mơđun Ngồi phần mở đầu, mục lục, tài liệu tham khảo Luận văn đƣợc chia làm hai chƣơng Chƣơng Trình bày định nghĩa, ví dụ tính chất có liên quan đến chƣơng sau luận văn nhƣ: tổng trực tiếp, môđun tối đại, môđun cốt yếu, mơđun đóng, mơđun đơn, mơđun nửa đơn, mơđun đều, bao đóng mơđun, mơđun nội xạ, mơđun xạ ảnh… Chƣơng Trình bày có hệ thống chứng minh chi tiết số tính chất CS- mơđun CESS- mơđun Luận văn đƣợc hồn thành Trƣờng Đại học Vinh dƣới hƣớng dẫn PGS.TS Ngô Sỹ Tùng Nhân dịp tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy, ngƣời hƣớng dẫn tận tình, chu đáo nghiêm khắc suốt trình học tập nghiên cứu Tác giả trân trọng cảm ơn thầy giáo, cô giáo Bộ môn Đại số Lý thuyết số, Khoa Tốn học Phịng Đào tạo Sau đại học thuộc Trƣờng Đại học Vinh giúp đỡ suốt trình học tập hồn thành luận văn Tác giả xin cảm ơn anh chị, bạn lớp cao học 18 chuyên ngành Đại số Lý thuyết số giúp đỡ, động viên tác giả suốt q trình học tập Mặc dù có nhiều cố gắng, song luận văn khơng tránh khỏi sai sót Tác giả mong nhận đƣợc ý kiến đóng góp q thầy giáo, giáo bạn đọc để luận văn đƣợc hoàn thiện Nghệ An, tháng 10 năm 2012 Tác giả Chƣơng KIẾN THỨC CƠ SỞ Trong chƣơng chúng tơi trình bày (khơng chứng minh) số kiến thức sở Đại số liên quan đến việc trình bày Chƣơng 2, chủ yếu dựa tài liệu [1] [6] Trong suốt tồn luận văn, vành R ln đƣợc giả thiết vành có đơn vị ký hiệu môđun môđun phải unita 1.1 Hạng tử trực tiếp Định nghĩa Môđun A M gọi hạng tử trực tiếp (direct summand) M, ký hiệu A  M tồn môđun B M cho A  B  A  B  M Khi đó, ta viết M  A  B Môđun A  đƣợc gọi khơng phân tích A hạng tử trực tiếp A 1.2 Môđun suy biến Định nghĩa Cho M R- môđun Đặt Z(M)={m M\mI =0, với I iđêan phải cốt yếu R} i) Ta có Z(M) mơđun M gọi môđun suy biến M ii) Các phần tử Z(M) gọi phần tử suy biến iii) M đƣợc gọi môđun suy biến M=Z(M) M đƣợc gọi môđun không suy biến Z(M)=0 1.3 Môđun cốt yếu, môđun đều, chiều 1.3.1 Định nghĩa Môđun N đƣợc gọi cốt yếu (essential) R-môđun M với môđun K khác khơng M ta có N  K  (Một cách tƣơng đƣơng, N  K  K=0) Nếu N mơđun cốt yếu M ta nói M mở rộng cốt yếu (essential extension) N kí hiệu N e M Sau số ví dụ cụ thể mơđun cốt yếu 1.3.2 Ví dụ a) Đối với mơđun M ta có M e M b) Xem vành số nguyên nhƣ môđun khác không khác không -mơđun Khi đó, cốt yếu Thật vậy, giả sử N môđun , lấy K mơđun khác khơng đó, N có dạng a , K có dạng b Khi với a, b số nguyên khác  ab  a  b hay N  K  Vậy N môđun cốt yếu Từ định nghĩa môđun cốt yếu, ta có số tính chất sau: 1.3.3 Mệnh đề a) Nếu mơđun M có dãy môđun A  B  C A e C B e C b) Nếu Ai e M , i  1,2,3, , n n i 1 Ai e M c) Nếu  : M  N đồng cấu môđun B e N  1 ( B) e M d) Cho M R- môđun A môđun M Khi A e M phần tử m khác không M tồn r R cho  mr  A e) Nếu A e B B A suy biến Chứng minh a) Giả sử E môđun khác C M có dãy mơđun A  B  C A e C , ta cần chứng minh B e C hay ta cần chứng minh E  B  Thật vậy, E mơđun khác C A e C nên E  A  , E  B  Điều chứng tỏ B e C b) Ta tiến hành chứng minh quy nạp theo n Với n  , ta có M e M mệnh đề theo giả thiết Giả sử mệnh đề với n-1, 10 tức A  n 1 i 1 Ai e M Ta cần chứng minh mệnh đề với n Thật vậy, giả sử E  môđun M Do An cốt yếu M nên An  E  Vì A cốt yếu M nên A  ( An  E )  0, suy ( A  An )  E  0, A  An e M c) Giả sử E môđun M E   1 ( B)  , ta cần chứng minh  1 ( B) e M hay E=0 Thật vậy, E   1 ( B)  nên B   ( E )   ( E )  (do B e N ) Từ đó, ta có E  Ker   1 ( B) suy E  E   1 ( B)  Điều chứng tỏ  1 ( B) e M d) (  ) Nếu m  mR  A e M nên A  mR  Từ suy tồn r  R mà  mr  A (  ) Giả sử B mơđun khác M Khi đó, lấy  m  B theo giả thiết điều kiện cần ta tìm đƣợc r  R cho  mr  A Vì mr B nên B  A  Điều chứng tỏ A e M e) Giả sử A e B ta cần chứng minh B A suy biến Thật vậy, đặt  B  B / A Xét phần tử bất kì: b  B \ Ta phải chứng tỏ rằng: ann(b)   x  R : bx  A e RR (*) Giả sử y  R \ ann(b) Khi đó, by  A nên từ A e B ta suy có phần tử z  R cho byzA \ 0 Do  yz  ann(b) Ta suy (*) thỏa mãn, theo (d) Ta có điều phải chứng minh 1.3.4 Định nghĩa Môđun U gọi mơđun (uniform) mơđun A B khác khơng U A  B  , hay môđun khác không U môđun cốt yếu U 11 1.3.5 Ví dụ a) -mơđun Thật vậy, cho  A, B  ta có A=n , B=m , với n, m * Khi A  B  [n, m]  0, suy A e M Vậy b) Xét -mơđun –mơđun Khi đó, môđun Thật vậy, lấy  A, B  a n Tồn   A   B , với a, b, n, k  * Khi đó, ta có b k an  nb a n , suy an  A ; an  ak , an  B , nghĩa b k  an  A  B hay A  B  Vậy -môđun 1.3.6 Định nghĩa Số tự nhiên n đƣợc gọi chiều (uniform dimension) môđun M, tồn hữu hạn n môđun Ui M n cho U i cốt yếu môđun M, ký hiệu i 1 udim(M)=n Khi M  ta quy ƣớc udim(M)=0 1.4 Mơđun tối đại, mơđun đóng, bao đóng mơđun, phần bù giao 1.4.1 Định nghĩa Môđun A M đƣợc gọi tối đại (maximal) A  M khơng chứa môđun thực M Tức A  B  M A  M B  A B  M 1.4.2 Định nghĩa Cho R-môđun M N  M đƣợc gọi đóng (closed) M N khơng có mở rộng cốt yếu thực M Nói khác N đƣợc gọi đóng M với môđun K khác không M mà N e K N=K 1.4.3 Ví dụ A B hai môđun M thỏa mãn M  A  B mơđun B đóng M 12 1.4.4 Định nghĩa Môđun K đƣợc gọi bao đóng (closure) mơđun N M, ký hiệu E(K) K môđun tối đại M cho N cốt yếu K 1.4.5 Định nghĩa Cho R-môđun M A, B hai môđun M Môđun B đƣợc gọi bù giao (complement) A M B môđun tối đại M thỏa mãn A  B  Môđun B đƣợc gọi bù giao M, ký hiệu B c M tồn môđun A M cho B bù giao A M 1.4.6 Bổ đề Zorn Cho A tập thứ tự Nếu tập thứ tự tồn phần A có cận A A có phần tử tối đại 1.4.7 Mệnh đề Khái niệm đóng bù giao tương đương (tức K mơđun đóng K bù giao M ngược lại) Chứng minh (  ) Giả sử K đóng M Ta chứng minh K bù giao M Xét    X  M X  K  0 Do  Suy    Khi đó, ta kiểm tra đƣợc thứ tự theo quan hệ bao hàm  thỏa mãn Bổ đề Zorn, suy  có phần tử tối đại ký hiệu A Từ đó, ta chứng minh đƣợc K bù giao A M (  ) Giả sử K bù giao M Ta chứng minh K đóng M Thật vậy, giả sử K e X  M Ta chứng minh X  K Thật vậy, K bù giao M nên tồn môđun A M cho K tối đại M K  A  Khi đó:  Ta có X  A  Thật vậy, giả sử ngƣợc lại X  A  0, suy tồn a  X cho a  A a  Khi aR  X ; aR  A Do K e X , suy aR  K  0, A  K  (vơ lí K  A  )) Vậy X  A  24 Chứng minh Chú ý M có chiều Lấy S mơđun nửa đơn M Khi đó: Nếu S khơng mơđun đơn S cốt yếu M Nếu S mơđun đơn Khi đó, S  (a  p , p2b  p3 ), với a,b số nguyên cho  a, b  p  Nếu a  , S cốt yếu hạng tử trực tiếp L   ( p3 ) M Nếu a  0, M  S  L Nghĩa S cốt yếu hạng tử trực tiếp M Vậy M CS-môđun yếu 2.1.21 Mệnh đề Cho M UC-môđun Nếu M CS-mơđun yếu hạng tử trực tiếp M CS-môđun yếu Chứng minh Cho K  M N môđun nửa đơn K Từ M CS-môđun yếu nên tồn hạng tử trực tiếp M M cho N e M1 Gọi L bao đóng N K cho N e L c K Khi đó, ta có L c M Nhƣ vậy, N e M1 c M N e L c M Vì vậy, từ M UC- mơđun có L  M1 Từ bao đóng L N K hạng tử trực tiếp K điều cho thấy K CS-môđun yếu 2.1.22 Mệnh đề Cho M  M1  M , với M1, M CS-môđun yếu M M - nội xạ M CS-môđun yếu Chứng minh Cho N môđun nửa đơn M Ta chứng minh N cốt yếu hạng tử trực tiếp M hai trƣờng hợp sau:  Trường hợp N  M1  Trong trƣờng hợp theo [5, lemma 5] tồn hạng tử trực tiếp C M cho C đẳng cấu với M , N  C M  M  C Khi đó, C CS-mơđun yếu N e K  C với K  C nhƣ đòi hỏi  Trường hợp N  M1  Lấy N’ môđun N cho 25 N  ( N  M1 )  N ' Từ M CS-môđun yếu nên N  M1 e K1  M1  K1  K2 , với K1 K2 môđun M Từ N ' M1  , nhƣ Trƣờng hợp 1, tồn C1  M cho C1 đẳng cấu với M , N '  C1, M  C1  M1 C1  C2  C3 với N ' e C2 , với C2 C3 môđun C1 Từ ta có K1  C2  M hay M CS-môđun yếu 2.1.23 Định nghĩa Đế môđun M ký hiệu Soc(M) tổng trực tiếp mơđun đơn M Nếu M khơng có mơđun đơn Soc(M)=0 2.1.24 Ví dụ a) Cho -mơđun Khi Soc( )=0 Thật vậy, giả sử A mơđun khác , A =m , với m  Mà mơđun có dạng nm , với n  môđun khác khơng mơđun m Vì khơng có mơđun đơn Do đó, Soc( )=0 b) Giả sử n  p11 p22 pkk , với pi số nguyên tố, i 1;2; ; k Khi đó, r r mơđun đơn r n có dạng m n Thật vậy, n  m nên n  mq Xét ánh xạ: f: m n Xác định f ( x)  mx  mq , toàn cấu, ker f  q Khi đó, m n  q  q Do đó, mơđun đơn m n có dạng n , với n  mq , q ƣớc nguyên tố n Suy q  pi m  n pi , với i 1;2; ; k Mặt khác, d ƣớc chung lớn (ƯCLN) số nguyên 26 m1 , m2 , , mk , (n p1 ,n p2 , , n k  mi  d Vì vậy, từ i 1 pk ) n p1 p2 pk ƯCLN , suy  (( n ) )   (n p ) i pi    i 1 Soc( n )   n  n i 1    k k Soc( k n)   i 1  ((n p1 p2 pk ) ) n pi 2.1.25 Mệnh đề Soc(M )  C , C chạy khắp mơđun cốt yếu M Chứng minh Trƣớc hết, ta chứng minh Soc( M )  C e M C Thật vậy, giả sử x  Soc(M ), C môđun cốt yếu tùy ý M Khi đó, x   Ni , Ni môđun đơn M, i 1;2; ; n Với xi tồn n i 1 ri  R cho  xi ri  C (vì C e M ) Nhƣng N i môđun đơn xi ri  Ni nên xi R  Ni  xi ri R  C, với i 1;2; ; n Do x  C Suy x  C e M C Vậy Soc( M )  C e M C (1) Tiếp theo, ta chứng minh chiều ngƣợc lại ta cần chứng minh môđun K  C e M C e M C  Soc( M ) , muốn C tổng mơđun đơn M Thật vậy, giả sử D  K , D’ bù giao D M, ta có D  D ' e M Do K  C  D  D ' Vì D  K nên C e M theo luật Modular ta có: K  K  ( D  D ')  D  ( K  D ') 27 Nhƣ vậy, môđun D K hạng tử trực tiếp K, K tổng K C e M môđun đơn M Vì C  Soc(M ) (2) Từ (1) (2) suy Soc(M )  C 2.1.26 Mệnh đề Cho M  M1  M UC-môđun cho Soc  M1  e M1 Soc  M   Khi Hom  K , M1   0, với K  M j , với {i;j}={1;2} Chứng minh Lấy K môđun M , ta thấy f : K  M1 đồng cấu khác khơng Thế thì, từ Soc  M1  e M1 suy f ( K ) chứa môđun đơn U Xét L= f 1 (U )  ker f Khi đó, L mơđun tối đại f 1 (U ) Nếu L khơng cốt yếu f 1 (U ) f 1 (U )  L  L1 , với L1 môđun đơn M Điều mâu thuẫn với Soc  M   Vậy L phải cốt yếu f 1 U  1 Tuy nhiên, từ ( f (U ) )  f 1 (U ) nhúng M1  M  M L Điều mâu thuẫn với Bổ đề 2.1.16 (iii) Vậy Hom  K , M1   Mặt khác, K  M1 từ chứng minh [3, lemma 2.3] ta có Hom  K , M   2.1.27 Hệ Cho M  M1  M UC-môđun cho Soc  M1  e M1 Soc  M   Khi đó, M CS-mơđun yếu M1 M CS-môđun yếu Chứng minh Điều đƣợc suy từ Bổ đề 2.1.20, Bổ đề 2.1.25 Mệnh đề 2.1.21 28 2.1.28 Hệ Cho M  M1  M UC-môđun cho Soc  M1  e M1 Soc  M   Khi đó, M CS-môđun M M CS-môđun Chứng minh Điều đƣợc chứng minh từ Bổ đề 2.1.25 [3,Theorem 8] n 2.1.29 Mệnh đề Cho M  M i tổng trực tiếp hữu hạn môđun i 1 Mi M Giả sử phần bù giao K M có tồn i cho K  M i  Nếu M UC-mơđun M CS-mơđun Chứng minh Giả sử K phần bù giao M, khơng tính tổng qt giả sử K  M1  Theo Bổ đề 2.1.16 (ii) K  M1 c M1 Vì M1 mơđun nên K  M1  M1 Nhƣ K  M1  ( K  (M   M n )) theo Bổ đề 2.1.16 (ii), ta có K  (M   M n ) c M   M n Nếu đặt L  (M   M n )  K , từ M   M n thỏa mãn giả thiết trên, Nếu L  0, có L  M i  , với i lớn L  M i  M i  K Lặp lại lý luận trên, ta có M  K K  M Vậy M CS-môđun 2.1.30 Hệ Mỗi -môđun xạ ảnh hữu hạn sinh CS-môđun Chứng minh Theo kết quen thuộc Đại số nhóm aben hữu hạn sinh (nghĩa -mơđun hữu hạn sinh) tổng nhóm khơng có xoắn với hạng hữu hạn nhóm xoắn Theo thuật ngữ Lý thuyết vành mơđun kết đƣợc hiểu là: “Mỗi -mơđun hữu hạn sinh tổng trực tiếp môđun xạ ảnh 29 môđun suy biến” Vậy nên theo Mệnh đề 2.1.14, ta suy “Mỗi -môđun xạ ảnh hữu hạn sinh CS-môđun” 2.1.31 Mệnh đề Ta có mối quan hệ: (a) (b ) liên tục   CS  tựa liên tục  Chứng minh Phép kéo theo (b) hiển nhiên theo định nghĩa môđun tựa liên tục Phép kéo theo (a) đƣợc suy từ định nghĩa môđun liên tục, tựa liên tục Mệnh đề 2.1.2 (do điều kiện (C 2) kéo theo điều kiện (C3)) 2.2 CESS- môđun 2.2.1 Định nghĩa Môđun M đƣợc gọi CESS-môđun (complement in M with essential socle is a direct summand of M) phần bù giao M với đế cốt yếu hạng tử trực tiếp M Và sau ví dụ cụ thể CESS-mơđun: 2.2.2 Ví dụ (1) Cho R-môđun M cho Soc  M   Khi đó, M CESS-mơđun Thật vậy, gọi môđun A bù giao M cho Soc( A) e A Vì A  M nên Soc( A)  Soc(M )  0, Soc  A  Vì Soc( A) e A nên A  Do đó, A hạng tử trực tiếp M Vậy M CESS-môđun (2) Mọi -môđun tự CESS-môđun Thật vậy, giả sử M -mơđun tự Khi đó, M  Z i , Z i  iI , i  I Ta có Soc( )  0, Theo ví dụ (1) M CESS-mơđun (3) Xét -mơđun M   Khi M CESS-mơđun Thật vậy, giả sử K bù giao M với Soc(K)  e K Vì Soc  M   mơđun 30 đơn M nên ta có Soc(M)=Soc(K) K mơđun Do K  , K  M Vậy M CESS-môđun (4) Cho p số nguyên tố, xét M ( -môđun p )( p3 ) Khi đó, M khơng CESS-mơđun (Xem Ví dụ 2.2.4) Nhƣ vậy, biết khái niệm: CS-môđun, CESS-môđun, CS-mơđun yếu Thế thì, chúng quan hệ với nhƣ nào? Để trả lời câu hỏi này, xét mệnh đề sau: 2.2.3 Mệnh đề Mọi CS-môđun CESS-môđun, CESS-môđun CS-môđun yếu Chứng minh Trƣớc hết CS-môđun CESS-môđun (theo định nghĩa) Tiếp theo, cho M CESS-môđun ta chứng minh M CS-môđun yếu Thật vậy, giả sử N môđun nửa đơn M, suy N tổng môđun đơn, Soc  N   N Mặt khác, N phần bù giao M (với môđun tồn phần bù giao) Khi đó, theo định nghĩa CESS-mơđun ta có N hạng tử trực tiếp M Vậy M CS-môđun yếu 2.2.4 Nhận xét Mỗi CESS-môđun với đế cốt yếu CS-môđun Chứng minh Giả sử M CESS-môđun với Soc( M ) e M Ta chứng minh M CS-môđun Thật vậy, giả sử A bù giao M, ta chứng minh A hạng tử trực tiếp M Vì M CESS-mơđun nên muốn chứng minh A hạng tử trực tiếp M ta cần chứng minh Soc( A) e A Thật vậy, giả sử L mơđun A Khi đó, xét 31 Soc( A)  L   ( A  Soc( M ))  L   ( A  L)  Soc( M )   A L   L  0, suy Soc( A) e A Vậy M CS-môđun Nhƣ vậy, biết đƣợc mối quan hệ CS-môđun, CESS-môđun CS-môđun yếu Câu hỏi tự nhiên chiều ngƣợc lại Mệnh đề 2.2.3 có ln khơng? Ví dụ sau nói chiều ngƣợc lại Mệnh đề 2.2.3 nói chung khơng 2.2.5 Ví dụ a) Cho p số nguyên tố, xét M ( p -môđun ) Khi đó, M CESS-mơđun nhƣng khơng CS-mơđun Tiếp theo, ví dụ sau CS-mơđun yếu nhƣng không CESS- môđun b) Cho p số nguyên tố, xét -môđun M ( p )( p3 ) Khi đó, M CS-mơđun yếu nhƣng khơng CESS-môđun Chứng minh Trƣớc hết, ta chứng minh M không CESS-mơđun Thật vậy, ý M có đế cốt yếu từ Ví dụ 2.1.5 (4) ta đƣợc M khơng CS-mơđun Do đó, M khơng CESS-mơdun Mặt khác, từ Ví dụ 2.1.20 ta lại có M CS-môđun yếu 2.2.6 Bổ đề Mỗi hạng tử trực tiếp CESS-môđun CESSmôđun 32 Chứng minh Hiển nhiên theo định nghĩa Trong Mệnh đề 2.2.3 nói Mọi CS-môđun CESS-môđun, CESS-môđun CS-môđun yếu Tuy nhiên, Ví dụ 2.2.5 chiều ngƣợc lại Mệnh đề 2.2.3 nói chung không Câu hỏi tự nhiên phải thêm kiện xãy chiều ngƣợc lại Mệnh đề 2.2.3 Để trả lời câu hỏi này, tìm hiểu Mệnh đề sau: 2.2.7 Mệnh đề Cho M UC-mơđun với đế cốt yếu Khi đó, điều kiện tương đương: i) M CS-môđun yếu; ii) M CESS-môđun; iii) M CS-môđun Chứng minh (i)  (ii) Lấy A môđun M cho A bù giao M (nghĩa tồn B  M để A  B  A tối đại M) Soc  A e A Vì Soc(A) nửa đơn nên theo (i) tồn môđun N M cho Soc  A e N  M Do M UC-mơđun nên A  N (vì A tối đại M N đóng M), A  M Vậy M CESS-mơđun (ii)  (iii) Lấy X  M , X phần bù giao M (phần bù giao ln tồn tại) Xét Soc(X), M UC-mơđun nên Soc  X  e X Vậy M CS-môđun (iii)  (i) Hiển nhiên theo định nghĩa 2.2.8 Mệnh đề Cho M R-môđun cho M CESS-môđun M CS-môđun Soc  M  đơn Khi M 33 Chứng minh Giả sử M CESS- môđun K phần bù giao M Vì M Soc  M  đơn nên Soc(M) môđun tối đại M Do đó, K  Soc(M ) K  Soc  M   M Trong trƣờng hợp đầu từ M CESS- mơđun, ta có K  M Trong trƣờng hợp sau, tồn môđun B Soc(M) cho: Soc(M )  ( K  Soc(M ))  B Khi đó, M  K  Soc(M )  K  B Vậy M CS-môđun 2.2.9 Định nghĩa Một R-môđun M đƣợc gọi thỏa mãn điều kiện (P) (satisfy condition (P)) cho mơđun N M có tồn hạng tử trực tiếp K M cho Soc  K   N  K 2.2.10 Ví dụ (1) Xem nhƣ -mơđun Khi đó, mơđun thỏa mãn điều kiện (P) (2) Cho -mơđun M  ( ) Khi M không thỏa mãn điều kiện (P) Thật vậy, trƣớc hết ta thấy M có chiều đƣợc biết M khơng CS-mơđun (xem [7]) Giả sử ngƣợc lại, M thỏa mãn điều kiện (P) Cho K c M , tồn hạng tử trực tiếp L M cho Soc( L)  K  L Nếu L=M K hạng tử trực tiếp M Nếu L  M, L có chiều K e L Do đó, K=L K  M Khi đó, M CS-mơđun, nhƣng mâu thuẫn Từ Ví dụ 2.2.10, ta thấy M có chiều M khơng thỏa mãn điều kiện (P) Tuy nhiên, Ví dụ 2.2.2 M CESS-môđun Bây ta chứng minh kết tổng quát Mệnh đề sau: 2.2.11 Mệnh đề Cho M R- môđun với udim(M) =2 cho Soc(M) hạng tử trực tiếp khác không M M không CS-mơđun Khi đó: 34 i) M khơng thỏa mãn điều kiện ii) M CESS-môđun (P) Chứng minh i) Theo giả thiết M  Soc(M )  T , T mơđun khác khơng M Giả sử ngƣợc lại, M thỏa mãn điều kiện (P) Lấy K bù giao M nhƣng không hạng tử trực tiếp M Khi đó, tồn môđun L, L1 M cho: Soc(M )  K  L  M  L  L1 Bây giờ, xét hai trƣờng hợp sau:  Trường hợp L=M Soc( M )  K  M Soc(M )  K Từ K  T  0, ta có Soc(M )  ( K  T )  K Vì udim(M) =2 nên K e M Nhƣ K=M, điều mâu thuẫn  Trường hợp L  M Ở L môđun đều, từ K  L K c M , kéo theo K=L hạng tử Điều mâu thuẫn, cho thấy M không thỏa mãn điều kiện (P) ii) K bù giao M với Soc( K ) e K Từ Soc(M )  M , ta có Soc( K )  M K  Soc( K )  M 2.2.12 Định lí Cho M UC-mơđun Khi đó, điều kiện sau tương đương: i) M thỏa mãn điều kiện (P); ii) M CESS-môđun; iii) M CS-môđun yếu Chứng minh (i)  (ii) Cho K c M với Soc( K ) e K Theo (i) tồn hạng tử trực tiếp L M cho Soc( L)  K  L Khi đó, theo [8, Proposition 10] ta có M  M1  M với Soc(M1 ) e M , M1 35 CS-môđun Soc  M   Từ Soc( K )  Soc( L)  M1 Từ M1 CS-mơđun, ta tìm hạng tử trực tiếp U M cho Soc( K ) e U Khi đó, M UC-mơđun, có K=U K  M Vậy M CESS-môđun (ii)  (i) Theo [9, Corollary 1.6], ta có M  M1  M , với M CS-môđun, Soc( M1 ) e M1 Soc  M   Cho K bù giao M, ta xét hai trƣờng hợp sau:  Trường hợp Soc  K   Từ Soc  M   Soc  M1  e M1, ta có K  M  Hơn nửa, K  M e M theo Mệnh đề 2.2.7.(ii) Khi đó, tồn V  M cho V  ( K  M ) e M Khi đó, M1  (V  K )  (M1  V )  K  Điều kéo theo M1  ( K  M )  K  M  Trường hợp Soc (K )  Soc( K )  ( Soc( M1 ))  K  K  M1 Theo Mệnh đề 2.2.7.(ii), ta có K  M1 c M1 Từ M CS-môđun ta đƣợc K  M1  M1 , M1  ( K  M1 )  L với L môđun M Đặt T  K  ( L  M ) ta có K  ( K  M1 )  T Khi đó, T bù giao M Soc T   Nhƣ Trƣờng hợp 1, chứng minh T đƣợc chứa M Nhƣ K  ( K  M1 )  M  M với Soc(( K  M1 )  M )  K Hay M thỏa mãn điều kiện (P) (ii)  (iii) Suy từ Mệnh đề 2.2.3 (iii)  (ii) Cho K bù giao M với Soc( K ) e K Khi đó, tồn hạng tử trực tiếp L M cho Soc( K ) e L theo (iii) Từ M UC- môđun suy K=L, hạng tử trực tiếp nhƣ yêu cầu 36 37 KẾT LUẬN Nội dung luận văn trình bày có hệ thống số nội dung dựa vào báo C Celik (1998), [2] Cụ thể chúng tơi hồn thành cơng việc sau: Trình bày có hệ thống số kết chứng minh chi tiết số tính chất CS-mơđun CESS-mơđun nhƣ đƣa ví dụ minh họa khái niệm (Ví dụ 2.1.5, Ví dụ 2.2.2) Đặc biệt, để hiểu thêm CS-môđun CESS-môđun, chúng tơi cịn trình bày khái niệm UC-mơđun, CS-mơđun yếu, môđun thỏa mãn điều kiện (P) chứng minh chi tiết Mệnh đề 2.2.3; Nhận xét 2.2.4; Ví dụ 2.2.5; Mệnh đề 2.2.7 nói mối liên hệ lớp mơđun nói mà tài liệu khơng chứng minh chứng minh chƣa chi tiết Luận văn chắn cịn có vấn đề tồn tại, kính mong đƣợc góp ý bảo tận tình quý Thầy giáo, Cô giáo bạn 38 IV TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT [1] Nguyễn Tiến Quang – Nguyễn Duy Thuận (2001), Cơ sở lý thuyết môđun vành, NXB Giáo dục TIẾNG ANH [2] C Celik (1998), CESS-modules, Tr J of Mathematics, 22, 69-75 [3] C Celik, A Harmanc and P F Smith (1995), A generalization of CSmodules, Comm Algebra, 23, 5445-5460 [4] N V Dung, D V Huynh, P F Smith and R Wisbauer (1994), Extending Modules, Pitman Research Notes in Mathematics series 313, Longman, Harlow, UK [5] Harmanci A and Smith P F (1993), Finite direct sums of CS-modules, Houston J Math., 19, 523-532 [6] S H Mohamed and B J Muller (1990), Continuous and Discrete Modules, London Math Soc Lecture Notes Series147, Cambridge Univ Press, Cambridge [7] Smith P F., Modules for which ever submodule has a unique closure, in Ring Theory (Editors, S K Jain, S T Rizvi (1993), World Scientific, Singapore), 303-313 [8] Al-Khazzi I and Smith P F (1991), Modules with chain conditions on superfluous modules, Comm Alg., 19(8), 2331-2351 [9] Smith P F (1990), CS-modues and Weak CS-modules, Noncommutative Ring Theory, Springer LNM 1\448, 99-115 ... đề Mọi CS- môđun CESS -môđun, CESS -môđun CS- môđun yếu Chứng minh Trƣớc hết CS- môđun CESS -môđun (theo định nghĩa) Tiếp theo, cho M CESS -môđun ta chứng minh M CS- môđun yếu Thật vậy, giả sử N môđun. ..4 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH HUỲNH THANH TƢỜNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA CS- MƠĐUN VÀ CESS- MÔĐUN Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ... giao hoán P h A g f B 16 Chƣơng MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA CS- MƠĐUN VÀ CESS- MƠĐUN Trong chƣơng chúng tơi trình bày có hệ thống chứng minh chi tiết số tính chất CS- mơđun CESS- mơđun, chủ yếu dựa tài liệu