Một số tính chất của f môđun suy rộng

Bộ giáo dục và đào tạo trờng đại học vinh lu thuý hồng một số tính chất của f- môđun suy rộng luận văn thạc sĩ toán học Chuyên ngành: Đại số v lý thuyết số Mã số: 60. 46. 05 Ngời hớng dẫn khoa học t.s nguyễn thị hồng loan Vinh 2010 1 Mục lục Mục lục 1 Mở đầu 2 1 Kiến thức chuẩn bị 5 1.1. các khái niệm cơ sở 5 1.2. Kiểu đa thức . .9 1.3. Iđêan nguyên tố liên kết . .11 1.4. Dãy chính quy và độ sâu .11 1.5. Dãy chính quy lọc và f- độ sâu . .12 1.6. Môđun đối đồng điều địa phơng .12 1.7. Môđun Cohen Macaulay và môđun Cohen Macaulay suy rộng .13 1.8. Tập các iđêan nguyên tố gắn kết của môđun 14 2 f- môđun suy rộng 15 2.1. Dãy chính quy suy rộng và độ sâu suy rộng 15 2.2. f- môđun suy rộng 18 2.3. Đặc trng của f- môđun suy rộng thông qua số bội và môđun đối đồng điều địa phơng . 22 Kết luận 33 Tài liệu tham khảo 34 2 Mở đầu Trong suốt luận văn chúng tôi luôn giả thiết (R, m) là vành Noether địa phơng và M là R- môđun hữu hạn sinh với dim M = d. Năm 1978, Nguyễn Tự Cờng, P. Schenzel, Ngô Việt Trung [6] lần đầu tiên đa ra khái niệm dãy chính quy lọc (viết tắt là f-dãy) cho môđun nh sau: Một dãy các phần tử (x 1 , x 2 , . . ., x r ) của m đợc gọi là dãy chính quy lọc của môđun M nếu với mọi i = 1, ., r, x i p, p Ass (M/ (x 1 , ., x i-1 ) M)\{m}. Khái niệm này là một mở rộng thực sự của khái niệm dãy chính quy. Lớp môđun thoả mãn điều kiện mỗi hệ tham số là một dãy chính quy lọc đợc gọi là môđun lọc (hay f- môđun). Lớp môđun M thoả mãn điều kiện (H(M)) < với mọi i d đợc gọi là môđun Cohen-Macaulay suy rộng. Đây là lớp môđun quen thuộc trong Đại số giao hoán. Mỗi môđun Cohen-Macaulay suy rộng là một f-môđun và điều ngợc lại đúng khi R là vành thơng của một vành Cohen-Macaulay. Dãy chính quy lọc gần đây càng chứng tỏ là công cụ hữu ích trong Đại số giao hoán. Năm 2005, Lê Thanh Nhàn [8] đã đa ra khái niệm dãy chính quy suy rộng nh sau: Một dãy x 1 , . . ., x r các phần tử của m đợc gọi là một dãy chính quy suy rộng của M nếu x i p, p Ass (M/ (x 1 , . . ., x i-1 ) M) thoả mãn điều kiện dim R/p > 1. Khái niệm này là một mở rộng thực sự của dãy chính quy lọc nói trên. Lớp môđun M thoả mãn tính chất mọi hệ tham số của M đều là dãy chính quy suy rộng đã đợc L. T. Nhàn và M. Morales nghiên cứu trong [9] và họ gọi những môđun này là f-môđun suy rộng. Mục đích của luận văn là dựa vào bài báo [9] của Lê Thanh Nhàn và M. Morales để nghiên cứu f- môđun suy rộng. Chúng ta sẽ thấy rằng các f-môđun suy rộng có nhiều tính chất tốt và gần với tính chất của các f-môđun và môđun Cohen-Macaulay suy 3 rộng. Vì thế, việc làm rõ cấu trúc của các môđun này là điều thú vị và thực sự cần thiết. Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo luận văn đợc chia làm hai chơng. Chơng 1: Kiến thức chuẩn bị. Trong chơng này chúng tôi sẽ trình bày một số kiến thức cơ sở của Đại số giao hoán có sử dụng trong luận văn. Ngoài ra chúng tôi còn trích dẫn một số kết quả đã có nhằm phục vụ cho chứng minh ở phần sau. Chơng 2: f -môđun suy rộng. Trong chơng này chúng tôi trình bày ba phần. Phần 2.1 chúng tôi trình bày về khái niệm và các tính chất của dãy chính quy suy rộng và độ sâu suy rộng. Phần 2.2 và 2.3, chúng tôi trình bày các tính chất cơ bản của f-môđun suy rộng và các đặc trng của nó thông qua số bội và môđun đối đồng điều địa phơng. Nh một hệ quả tức khắc, ta thấy rằng khi vành R có chứa phức đối ngẫu, các f-môđun suy rộng chính là các môđun có quỹ tích không Cohen-Macaulay không quá 1 và tất cả các iđêan nguyên tố tối thiểu của nó đều có chiều d hoặc chiều 1 (xem Hệ quả 2.3.2), nhng nếu vành cơ sở R không chứa phức đối ngẫu thì cấu trúc của f-môđun sẽ phức tạp hơn. Luận văn đợc hoàn thành vào tháng 11 năm 2010 tại trờng Đại học Vinh dới sự hớng dẫn của cô giáo TS. Nguyễn Thị Hồng Loan. Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô, ngời đã hớng dẫn tận tình, chu đáo và nghiêm khắc trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Cũng nhân dịp này tác giả cũng xin trân trọng cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán, khoa Sau đại học, Ban giám hiệu Trờng Đại học Vinh, các đồng nghiệp, bạn bè đã tạo điều kiện thuận lơi và giúp đỡ trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn. 4 Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận đợc những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và đồng nghiệp. Tác giả 5 Chơng 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chơng này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ sở phục vụ cho việc chứng minh của chơng tiếp theo. Sau đây chúng tôi luôn giả thiết (R, m) là vành địa phơng và M là R-môđun hữu hạn sinh với dim M = d. 1.1. Các khái niệm cơ sở 1.1.1. Phổ của vành. Iđêan p của vành R đợc gọi là iđêan nguyên tố nếu p R và với mọi a,b R, ab p thì a p hoặc b p. Ký hiệu SpecR là tập tất cả các iđêan nguyên tố của vành R. Khi đó SpecR đợc gọi là phổ của vành R. Với mỗi iđêan I của R, ta ký hiệu V(I) = { p Spec R p I } . 1.1.2. Giá của môđun. Tập con Supp R M = {p SpecR M p 0} của SpecR đợc gọi là giá của môđun M. Với mỗi x M , ta ký hiệu Ann R (x) = {a R ax = 0 }, Ann R (M) = {a R ax = 0, x M }. Ta có Ann R (x) và Ann R (M) là những iđêan của M; Ann R (M) đợc gọi là linh hoá tử của môđun M. Hơn nữa nếu M là R-môđun hữu hạn sinh thì Supp R M = V(Ann R M). 1.1.3. Vành địa phơng đầy đủ theo tôpô m- adic. Cho (R, m) là một vành địa phơng. Ta xét R nh một vành tôpô với cơ sở lân cận của phần tử 0 là các iđêan m t , t = 0, 1, 2, . . . Chú ý rằng cơ sở lận cận của một phần tử tuỳ ý r R gồm các lớp ghép r + m t với t = 0, 1, 2, . . . Khi đó vành đầy đủ theo tôpô m- adic của R kí hiệu bởi đợc định nghĩa bằng cách thông thờng theo ngôn ngữ của dãy 6 Cauchy nh sau: Một dãy Cauchy trong R là một dãy (r n ) các phần tử của R sao cho với mọi t > 0, tồn tại số tự nhiên n 0 để r n - r m m t với mọi n, m > n 0 . Dãy (r n ) đợc gọi là hội tụ về dãy không nếu với mọi t > 0 tồn tại số tự nhiên n 0 để r n - 0 = r n m t với mọi n > n 0 . Hai dãy Cauchy (r n ) và (s n ) đợc gọi là tơng đơng, kí hiệu là (r n ) (s n ) nếu dãy (r n - s n ) là dãy không. Khi đó quan hệ trên tập các dãy Cauchy là quan hệ tơng đơng. Ta kí hiệu là tập các lớp tơng đơng của các dãy Cauchy. Chú ý rằng nếu (r n ) và (s n ) là các dãy Cauchy thì các dãy (r n + s n ), (r n s n ) cũng là các dãy Cauchy và lớp tơng đơng của các dãy (r n + s n ), (r n s n ) là không phụ thuộc vào việc chọn các đại diện của các lớp tơng đơng của các dãy Cauchy (r n ) và (s n ), tức là nếu (r n ) (r n ) và (s n ) (s n ) thì (r n + s n ) (r n + s n ) và (r n s n ) (r n s n ). Vì thế đợc trang bị 2 phép toán hai ngôi + và ., cùng với hai phép toán này, lập thành một vành. Mỗi phần tử r R có thể đồng nhất với lớp tơng đơng của dãy Cauchy mà tất cả các phần tử trong dãy đều là r. Vì thế ta có một đơn cấu tự nhiên giữa các vành R r , trong đó là dãy mà tất cả các phần tử của nó là r. Định nghĩa tơng tự cho môđun M với cơ sở lân cận của phần tử 0 là {m t M}. Khi đó là một - môđun với phép nhân vô hớng nh sau: Cho a= (a 1 , a 2 , .) , x = (x 1 , x 2 , .) . Ta có ax = (a 1 x 1 , a 2 x 2 , .) . 1.1.4. Chiều Krulll của môđun. Một dãy giảm các iđêan nguyên tố của vành R p 0 p 1 . . . p n đợc gọi là một xích nguyên tố có độ dài n. Cho p SpecR. Cận trên của tất cả các độ dài của các xích nguyên tố với p 0 = p đợc gọi là độ cao của p, ký hiệu là ht(p). 7 Cho I là một iđêan của R khi đó độ cao của iđêan I đợc định nghĩa nh sau: ht(I) = inf { ht(p) / p Spec R, p I }. Cận trên của tất cả các độ dài của các xích nguyên tố trong R đợc gọi là chiều Krull của vành R, ký hiệu là dim R. Cho M là một R-môđun. Khi đó dim(R/ Ann R M) đợc gọi là chiều Krull của môđun M, ký hiệu là dim M. Giả sử O M M M O là một dãy khớp ngắn các R-môđun. Khi đó dim M = max {dim M , dim M }. 1.1.5. Chiều Noether của môđun. Chiều Noether của M, ký hiệu bởi N- dim R M, đợc định nghĩa nh sau: Nếu M = 0 thì ta đặt N-dim R M = -1. Khi đó, bằng quy nạp theo d, với d 0 ta đặt N-dim R M = d nếu N-dim R M < d là sai và với mỗi dãy tăng M 0 M 1 . . . các môđun con của M, tồn tại một chỉ số n 0 sao cho N-dim R (M n /M n + 1) < d với mọi n > n 0 . Nh vậy, N-dim R M = 0 khi và chỉ khi M 0 và M là Noether. 1.1.6. Hệ tham số. Cho R là vành giao hoán, địa phơng, Noether với iđêan cực đại duy nhất m, M là R-môđun hữu hạn sinh có chiều Krull dim M = d > 0. (i). Một hệ gồm d phần tử := (x 1 , . . ., x d ) của m đợc gọi là một hệ tham số của M nếu (M/(x 1 , . . ., x d )M) < . (ii). Nếu := (x 1 , . . ., x d ) là một hệ tham số của môđun M thì hệ các phần tử (x 1 , . . ., x i ) đợc gọi là một phần hệ tham số với mọi i = 1, . . ., d . Các tính chất cơ bản của hệ tham số. 1. Hệ d phần tử := (x 1 , . . ., x d ) của m là hệ tham số của M khi và chỉ khi x i p, p Ass M/ (x 1 , . . ., x i-1 ) M thoả mãn dim R/p = d - i + 1. 8 2. Nếu := (x 1 , . . ., x d ) là một hệ tham số của môđun M và : = (n 1 , . . ., n d ) là bộ gồm d số nguyên dơng thì () = (x, . . ., x) cũng là một hệ tham số của môđun M. 3. Nếu := (x 1 , . . ., x d ) là một hệ tham số của môđun M thì dim M/(x 1 , . . ., x i ) M = d - i, i = 1, . . ., d. 4. Nếu := (x 1 , . . ., x d ) là một hệ tham số của môđun M thì cũng là hệ tham số của , trong đó là bao đầy đủ m adic của M. 1.1.7. Số bội. Cho R là vành giao hoán, địa phơng, Noether với iđêan cực đại duy nhất m, M là R- môđun hữu hạn sinh có chiều Krull dim M = d > 0. Một hệ các phần tử := (x 1 , . . ., x t ) của m sao cho (M/(x 1 , . . ., x t )M) < đợc gọi là một hệ bội của môđun M; ở đây nếu t = 0 thì ta có thể hiểu điều kiện này có nghĩa là (M) < . Chú ý rằng mỗi hệ tham số cũng là hệ bội nhng điều ngợc lại là không đúng. Khi đó kí hiệu bội e(x; M) của môđun M đối với hệ bội x đợc định nghĩa quy nạp theo t nh sau: Giả sử t = 0 tức là (M) < . Khi đó đặt e( ; M) = (M). Với t > 0 đặt 0: x 1 = {m mx 1 = 0}. Khi đó 0: x 1 là một môđun con của M. Vì (M/(x 1 , . . ., x t )M) < ta dễ dàng suy ra ( 0: x 1 )/(x 2 , . . ., x t ) (0: x 1 ) < , tức (x 2 , . . ., x t ) là hệ bội của môđun con 0: x 1 . Vậy theo giả thiết quy nạp thì e(x 2 , . . ., x t ; M / x 1 M) và e(x 2 , . . ., x t ; 0: x 1 ) đã đợc xác định. Khi đó ta định nghĩa: e(x 1 , x 2 , . . ., x t ; M) = e(x 2 , . . ., x t ; M / x 1 M) - e(x 2 , . . ., x t ; 0: x 1 ). Sau đây là một số tính chất cơ bản của số bội e(x; M). 1. 0 e(x 1 , x 2 , ., x t ; M) (M/(x 1 , x 2 , ., x t )M). Đặc biệt, nếu tồn tại i sao cho x i n M = 0 với mọi n là số tự nhiên nào đó thì e(x 1 , x 2 , . . ., x t ; M) = 0. 2. e(x 1 , x 2 , . . ., x t ; M) = 0 khi và chỉ khi t > d. 3. e(x, . . ., x; M) = n 1 . . . n t e(x 1 , . . ., x t ; M). 9 1.2. Kiểu đa thức 1.2.1. Định nghĩa. Cho x = (x 1 , . . ., x d ) là một hệ tham số của M và n 1 , . . ., n d > 0 là các số nguyên dơng. Đặt I (x 1 , . . ., x d ; M) = (M/x 1 , . . ., x d ) M) - n 1 . . . n d e (x; M). Xét I(x 1 , . . ., x d ; M) nh một hàm số nhận giá trị nguyên và xác định theo d biến nguyên dơng n 1 , . . ., n d . Chú ý rằng I (x 1 , . . ., x d ; M) luôn nhận giá trị không âm, nó không nhất thiết là đa thức theo biến n 1 , . . ., n d khi n 1 , . . ., n d đủ lớn, nhng nó đợc chặn trên bởi các đa thức. Đặc biệt, bậc nhỏ nhất của các đa thức theo các biến n 1 , . . ., n d chặn trên hàm I(x 1 , . . ., x d ; M) là độc lập với việc chọn hệ tham số x. Bậc nhỏ nhất này đợc gọi là kiểu đa thức của M và đợc kí hiệu bởi p(M). Chú ý rằng p(M) d - 1 và p(M) = p( ). 1.2.2. Bổ đề. Giả thiết rằng p (M) > 0. Khi đó p (M) = . Hơn nữa, nếu x p với mọi p Att (H (M))\ thì p (M/xM) = p (M) - 1. 1.2.3. Chú ý. Với mỗi hệ tham số x = (x 1 , . . ., x d ) của M và mỗi bộ d số nguyên n 1 , . . ., n d > 0 ta có I (x, . . ., x; M) n 1 . . . n d I (x 1 , . . ., x d ; M), và nếu n i m i với mọi i = 1, . . ., d thì I (x, . . ., x; M) I (x, . . ., x; M). Theo N.V. Trung [10], hệ tham số x đợc gọi là chuẩn tắc nếu I (x 1 , . . ., x d ; M) = I (x, . . ., x; M). Hơn nữa, nếu (x 1 , . . ., x d ) là chuẩn tắc thì với mọi số nguyên dơng n 1 , . . ., n d > 0 ta có 10