Một số tính chất của p môđun mở rộng

Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học Vinh --------- o0o ---------- võ duy tuấn Một số tính chất của p-môđun mở rộng Luận văn thạc sĩ toán học Vinh - 2008 Mục lục 1 Trang Lời nói đầu .2 Bảng kí hiệu .4 Chơng 1. Kiến thức cơ sở. .5 1.1. Các khái niệm cơ bản 5 1.2. Môđun nội xạ và các mở rộng 10 Chơng 2. Lớp môđun N nội xạ chính. .12 2.1. Môđun nội xạ chính 12 2.2. Môđun tựa nội xạ chính .15 Chơng 3. Một số tính chất của P môđun mở rộng . 17 3.1. Các mở rộng của P - nội xạ môđun 17 3.2. Một số tính chất của P- nội xạ môđun mở rộng 18 Kết luận .26 Tài liệu tham khảo 27 Lời nói đầu 2 Ngày nay, Toán học hiện đại thực sự phát triển mạnh mẽ. Lý thuyết môđun có nhiều bớc phát triển và có nhiều ứng dụng quan trọng trong việc nghiên cứu về Lý thuyết vành. Mở rộng các lớp môđun và nghiên cứu tính chất của các mở rộng đó là một vấn đề đang đợc các nhà nghiên cứu về Lý thuyết vành và môđun quan tâm. Trong [8], Nicholson W. K và Yousif. M. F đã giới thiệu và nghiên cứu cấu trúc của vành nội xạ chính, đa ra một số đặc trng của những lớp vành này theo những điều kiện nội tại của vành. Khái niệm môđun nội xạ chính đã đợc đa ra. Môđun M đợc gọi là nội xạ chính nếu mọi R đồng cấu từ một iđêan chính phải tới một môđun M có thể mở rộng tới R . Năm 2002, Wongwai .S ([9]) đã mở rộng khái niệm này khi thay iđêan chính phải bởi môđun con xyclic của M . Ta thấy cũng nh khái niệm môđun nội xạ, đối với môđun nội xạ chính, các mở rộng của nó đã thu hút nhiều sự quan tâm nghiên cứu của các nhà Lý thuyết vành và môđun trong những năm gần đây. Chính vì vậy, trong luận văn này chúng tôi sẽ tập trung nghiên cứu vào lớp vành và mô đun nội xạ chính và các mở rộng của nó. Luận văn đợc chia làm ba chơng : Chơng I. Kiến thức cơ sở. Trong chơng này, chúng tôi trình bày một cách hệ thống một số khái niệm và tính chất có liên quan đến luận văn. Chơng II. Lớp môđun N nội xạ chính. Nghiên cứu và trình bày khái niệm và tính chất của môđun nội xạ chính, môđun tựa nội xạ chính. Chơng III. Một số tính chất của P môđun mở rộng. Hệ thống và nghiên cứu một số tính chất của P môđun mở rộng. Luận văn đợc thực hiện và hoàn thành tại Trờng Đại học Vinh, dới sự hớng dẫn khoa học của thầy giáo PGS.TS. Ngô Sỹ Tùng. Tôi xin đợc bày tỏ lòng biết 3 ơn và kính trọng sâu sắc tới thầy, ngời đã hớng dẫn tận tình, chu đáo và động viên tôi rất nhiều trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Tôi xin cảm ơn các anh chị em trong Xêmina Lý thuyết vành và môđun đã đóng góp nhiều ý kiến bổ ích trong quá trình hoàn thành luận văn. Tôi xin trân trọng cảm ơn tới các thầy cô giáo khoa Toán, khoa Sau đại học Trờng Đại học Vinh và các bạn học viên Cao học 14 chuyên nghành Đại số Lý thuyết số đã động viên và có nhiều ý kiến đóng góp trong việc hoàn thiện luận văn. Tôi xin chân thành cảm ơn tới Ban giám hiệu và đồng nghiệp Trờng THPT_DTNT Tân Kỳ đã động viên và tạo mọi điều kiện cho tôi trong suốt thời gian học tập. Mặc dù có nhiều cố gắng, song luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận đợc những góp ý của quý thầy, cô giáo và các bạn đọc để luận văn đợc hoàn thiện tốt hơn. Vinh, tháng 10 năm 2008 Tác giả. Bảng kí hiệu 4 Kí hiệu chủ yếu dựa theo Anderson F. W - Fuller K. R. [1], P.F. Smith, R. Wisbauer; Dung N. V ; Huynh D. V. [3], Kamal M.A - Elmnophy O.A[5], Mohamed S. H - Muller B. J [7]. A M : A là môđun con của môđun M . e A M : A là môđun con cốt yếu của M . A M : A là hạng tử trực tiếp của của M . i i M : Tổng trực tiếp các môđun , i M i I . ( )End M : Vành các tự đồng cấu của môđun M . ( )E M : Bao nội xạ của môđun M . ( , ) R Hom N M : Nhóm cộng các đồng cấu từ R N vào R M . ( ) R r X ( ( ) R l X ): Linh hoá tử phải (tơng ứng, trái) của một tập hợp X . Chơng I. Kiến thức cơ sở. 5 Chơng này chúng tôi sẽ đa ra những định nghĩa và các kết quả cơ bản liên quan đến luận văn. Các khái niệm, tính chất cơ bản và ký hiệu chúng tôi chủ yếu dựa theo F.W. Anderson, K.R. Fuller [1]; N.V. Dung, D.V. Huynh, .[3]; S.H. Mohamed, B.J. Muller [7]. Trong suốt luận văn này, tất cả các vành là kết hợp, có đơn vị và các môđun là môđun phải unita trên vành R (ký hiệu là R M ) (nếu không nói gì thêm). Ta ký hiệu ( , ) R Hom M N là nhóm cộng tất cả các R - đồng cấu môđun từ M tới N . Vành tất cả các tự đồng cấu của M đợc ký hiệu là ( ) R End M 1.1. Các khái niệm cơ bản. 1.1.1. Môđun cốt yếu. a. Môđun con N của R môđun M đợc gọi là môđun con cốt yếu (essential) của M và kí hiệu là e N M nếu với mọi môđun con khác không L của M ta đều có 0L N . Khi đó ta nói M là mở rộng cốt yếu (essential extension) của N . b. Nếu mọi môđun con khác không của môđun M là cốt yếu thì M đợc gọi là môđun đều (uniform). 1.1.1.1. Mệnh đề. Nếu M là một R môđun, , 0 e L M N M thì e L N N . Chứng minh. Giả sử 0 A N A M . Vì e L M nên 0A L . Khi đó ( ) ( ) 0A L N A L N A L = = . Suy ra e L N N . W 1.1.1.2. Mệnh đề. Cho A là môđun con của môđun M trên R . Khi đó e A M khi và chỉ khi với mỗi phần tử 0 m M tồn tại r R sao cho 0 mr A . Chứng minh. Giả sử e A M . Với 0 m M 0mR và 0mR A . Suy ra tồn tại r R mà 0 mr A . 6 Ngợc lại, nếu B là môđun con khác không của M , lấy 0 m B và tìm đợc r R sao cho 0 mr A , thì do mr B nên 0B A . Do đó e A M . W 1.1.1.3. Hệ quả. Cho A là môđun con của môđun M trên R . Khi đó 0 e A M xR A với x M . Chứng minh. Giả sử e A M , với 0 x M 0xR . Theo định nghĩa ta có 0xR A . Ngợc lại, nếu 0xR A , , 0x M x , giả sử 0 X M mà 0A X = . Do 0X nên tồn tại 0 x X . Suy ra 0 0A X xR X = , vô lý. Do đó 0X A hay e A M . W 1.1.1.4. Mệnh đề. Cho :f M N là đồng cấu môđun. Nếu e A N thì ( ) 1 e f A M . Chứng minh. Giả sử X là môđun con khác không của M . Ta sẽ chứng minh 1 ( ) 0X f A . Thật vậy: - Nếu ( ) 0f X = thì 1 1 (0) ( )X f f A . Khi đó 1 ( ) 0X f A X = , ta suy ra 1 ( ) 0X f A . - Nếu ( ) 0f X , do e A N nên ta có ( ) 0f x A , nghĩa là tồn tại , 0x X x sao cho ( )f x a= với 1 , 0 ( )a A a x f A . Nh vậy 1 ( )x X f A , suy ra 1 ( ) 0X f A . Vậy ( ) 1 e f A M . W 1.1.2. Môđun đóng, bù giao. a. Môđun con N đợc gọi là đóng trong M nếu N không có một mở rộng cốt yếu thực sự. Nói khác đi N là đóng trong M nếu với mọi môđun con L của M mà e N L thì L N= . b. Cho A và B là hai môđun con của M . A đợc gọi là bù giao của B trong M nếu A là tối đại với tính chất 0A B = . 1.1.2.1. Tính chất. 7 a. Với mọi môđun con B của môđun M luôn tồn tại bù giao của B trong M . b. Khái niệm bù giao và khái niệm đóng là tơng đơng. c. Cho môđun M , và A M khi đó 0 A B M A M A B + = = . Chứng minh. a. Đặt { } , 0X X M X B = = . Dễ thấy vì tồn tại môđun 0 . Xét dãy 1 2 . . n X X X ; với , 1,2, ., , . i X i n = Đặt 1 i i C X C M = = U và có 0C B = . Suy ra C là cận trên. Do đó thỏa mãn bổ đề Zoóc, nên có phần tử tối đại. Gọi A là phần tử tối đại của , suy ra A là bù giao của B trong M . b. Điều kiện cần. Giả sử A là bù giao của B trong M A đóng trong M . Thật vậy: Giả sử , e A A M A A . Ta có ( ) ( ) 0A A B A B A = = (theo a ) 0A B = (do e A A ). Suy ra A A = (Do A tối đại sao cho 0A B = ). Vậy A đóng trong M . Điều kiện đủ. Giả sử A đóng trong M , suy ra tồn tại B là bù giao của A trong M (theo a). Do đó A là bù giao của B trong M . Thật vậy: Giả sử , , 0C M A C C B = . Nếu có D C sao cho 0D A = . Ta chứng minh 0D = , khi đó ( ) 0A B D = . Giả sử ( ) 0A B D , tức là tồn tại 0 , ,a A b B d D sao cho a b d= + b a d B C = ( do ,a A C d D C ). 0b = (do 0B C = ) 0 a d A D = (mâu thuẫn 0D A = ). Suy ra ( ) 0A B D = ( ). Kết hợp a) và ( ) ta có 0 0B D D = = . Vì e A C , A đóng trong M C A= . Do đó A là bù giao của B trong M . W Từ đó ta có các tính chất sau đây 1.1.2.2. Hệ quả. a. Nếu A là môđun con đóng trong M thì hạng tử trực tiếp của A cũng đóng trong M . 8 b. Nếu A là môđun con đóng trong hạng tử trực tiếp của M thì A cũng đóng trong M . c. Nếu A là môđun con đóng trong U và U đóng trong M thì A là môđun con đóng trong M . 1.1.3. Linh hóa tử và môđun suy biến. Cho X là tập con của R môđun phải M . Khi đó { } ( ) , 0 R ann X r R Xr= = là iđêan phải của R và đợc gọi là linh hóa tử phải của X trong R . Một phần tử m đợc gọi là phần tử suy biến (singular element) nếu iđêan phải ( ) R ann m cốt yếu trong R R . Tập tất cả các phần tử suy biến của M ký hiệu là ( )Z M . Ta có ( ) { , 0,Z M m M mE= = với e R E R nào đó} đợc gọi là môđun con suy biến của M . Nếu ( )Z M = 0 thì M đợc gọi là môđun không suy biến (nonsingular). Nếu ( )Z M = M thì M là môđun suy biến. 1.1.4. Vành các tự đồng cấu môđun. 1.1.4.1. Mệnh đề. Cho M là môđun trên vành R . Gọi ( )End M = { :f M M là tự đồng cấu}. Khi đó ( )End M là một vành với hai phép toán : ( ) ( ) ( ) ( ), .f g x f x g x x M+ = + ( ) ( ) . ( ) ( ) ,f g x f g x x M= . Chứng minh . i). ( )f g End M+ vì , ,x y M R Ta có: +). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f g x y f x y g x y f x f y g x g y+ + = + + + = + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f y g y= + + + ( ) ( ) ( ) ( )f g x f g y= + + + +). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f g x f x g x f x g x + = + = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f g x = + = + . 9 Vậy ( )f g End M + . ii). . ( )f g End M vì , ,x y M R ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f g x y f g x y f g x g y f g x f g y fg x fg y+ = + = + = + = + . ( ) ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f g x f g x f g x f g x fg x = = = = . Vậy . ( )f g End M . iii). ( )End M là vành có đơn vị. - ( )End M là nhóm cộng Aben. a. Phép cộng kết hợp : ( ) ( ), , , ( )f g h f g h f g h End M+ + = + + . b. Phép cộng giao hoán : , , , ( )f g g f f g h End M+ = + . c. Tồn tại phần tử không là đồng cấu không : M M , với ( ) 0x = Vì ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( )f x f x x f x f x + = + = + = nên , ( )f f f End M + = . d. Tồn tại phần tử đối ( )f của f với ( ) ( ) ( )f x f x = Vì [ ] ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0f f x f x f x+ = = . Nên ( ) 0, ( )f f f End M+ = . - ( )End M với phép nhân là một vị nhóm. a. Phép nhân kết hợp : ( ) ( ), , , ( )fg h f gh f g h End M= b. Vành ( )End M có đơn vị là đồng cấu đồng nhất :e M M , với ( )e x x= Vì , ( )fe f f End M= . Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng ( )f g h fg fh+ = + Thật vậy : ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( )f g h x f g h x f g x h x+ = + = + [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f g x f h x fg x fh x fg fh x= + = + = + Do đó ( )f g h fg fh + = + . W 1.1.4.2. Định nghĩa. Vành ( )End M nói trong Mệnh đề 1.1.4.1 đợc gọi là vành các tự đồng cấu của môđun M . 1.2. Môđun nội xạ và các mở rộng. 1.2.1. Mô đun nội xạ. 10 . tính chất của môđun nội xạ chính, môđun tựa nội xạ chính. Chơng III. Một số tính chất của P môđun mở rộng. Hệ thống và nghiên cứu một số tính chất của P môđun. 3.1. Các mở rộng của P - nội xạ môđun 17 3.2. Một số tính chất của P- nội xạ môđun mở rộng 18