Một số tính chất của f môđun suy rộng

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LƯU THUÝ HỒNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA f- MƠĐUN SUY RỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC CHUN NGÀNH: ĐẠI SỐ Và LÝ THUYẾT SỐ MÃ SỐ: 60 46 05 Người hướng dẫn khoa học T.S NGUYỄN THỊ HỒNG LOAN VINH 2010 Mục lục Mục lục Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các khái niệm sở 1.2 Kiểu đa thức 1.3 Iđêan nguyên tố liên kết 11 1.4 Dãy quy độ sâu 11 1.5 Dãy quy lọc f- độ sâu .12 1.6 Môđun đối đồng điều địa phương 12 1.7 Môđun Cohen Macaulay môđun Cohen Macaulay suy rộng .13 1.8 Tập iđêan nguyên tố gắn kết môđun 14 f- mơđun suy rộng 15 2.1 Dãy quy suy rộng độ sâu suy rộng 15 2.2 f- môđun suy rộng 18 2.3 Đặc trưng f- môđun suy rộng thông qua số bội môđun đối đồng điều địa phương 22 Kết luận 33 Tài liệu tham khảo 34 Mở đầu Trong suốt luận văn giả thiết (R, m) vành Noether địa phương M R- môđun hữu hạn sinh với dim M = d Năm 1978, Nguyễn Tự Cường, P Schenzel, Ngô Việt Trung [6] lần đưa khái niệm dãy quy lọc (viết tắt f-dãy) cho môđun sau: Một dãy phần tử (x1, x2, , xr) m gọi dãy quy lọc mơđun M với i = 1, , r, xi p, p  Ass (M/ (x1, , xi-1) M)\{m} Khái niệm mở rộng thực khái niệm dãy quy Lớp môđun thoả mãn điều kiện hệ tham số dãy quy lọc gọi môđun lọc (hay f-môđun) Lớp môđun M thoả mãn điều kiện ℓ(Him(M)) <  với i ≠ d gọi môđun Cohen-Macaulay suy rộng Đây lớp môđun quen thuộc Đại số giao hốn Mỗi mơđun Cohen-Macaulay suy rộng f-môđun điều ngược lại R vành thương vành Cohen-Macaulay Dãy quy lọc gần chứng tỏ cơng cụ hữu ích Đại số giao hốn Năm 2005, Lê Thanh Nhàn [8] đưa khái niệm dãy quy suy rộng sau: Một dãy x1, , xr phần tử m gọi dãy quy suy rộng M xi p,  p  Ass (M/ (x1, , xi-1) M) thoả mãn điều kiện dim R/p > Khái niệm mở rộng thực dãy quy lọc nói Lớp mơđun M thoả mãn tính chất hệ tham số M dãy quy suy rộng L T Nhàn M Morales nghiên cứu [9] họ gọi môđun f-môđun suy rộng Mục đích luận văn dựa vào báo [9] Lê Thanh Nhàn M Morales để nghiên cứu f-môđun suy rộng Chúng ta thấy f-môđun suy rộng có nhiều tính chất tốt gần với tính chất f-mơđun mơđun Cohen- Macaulay suy rộng Vì thế, việc làm rõ cấu trúc môđun điều thú vị thực cần thiết Ngoài phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo luận văn chia làm hai chương Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương chúng tơi trình bày số kiến thức sở Đại số giao hốn có sử dụng luận văn Ngồi chúng tơi cịn trích dẫn số kết có nhằm phục vụ cho chứng minh phần sau Chương 2: f -môđun suy rộng Trong chương chúng tơi trình bày ba phần Phần 2.1 chúng tơi trình bày khái niệm tính chất dãy quy suy rộng độ sâu suy rộng Phần 2.2 2.3, chúng tơi trình bày tính chất f-mơđun suy rộng đặc trưng thơng qua số bội môđun đối đồng điều địa phương Như hệ tức khắc, ta thấy vành R có chứa phức đối ngẫu, f-mơđun suy rộng mơđun có quỹ tích khơng Cohen-Macaulay khơng q tất iđêan nguyên tố tối thiểu có chiều d chiều (xem Hệ 2.3.2), vành sở R không chứa phức đối ngẫu cấu trúc f-mơđun phức tạp Luận văn hoàn thành vào tháng 11 năm 2010 trường Đại học Vinh hướng dẫn cô giáo TS Nguyễn Thị Hồng Loan Nhân dịp tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cơ, người hướng dẫn tận tình, chu đáo nghiêm khắc suốt trình học tập nghiên cứu Cũng tác giả xin trân trọng cảm ơn thầy giáo, cô giáo khoa Toán, khoa Sau đại học, Ban giám hiệu Trường Đại học Vinh, đồng nghiệp, bạn bè tạo điều kiện thuận lơi giúp đỡ suốt q trình học tập hồn thành luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng, song luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp thầy giáo, cô giáo đồng nghiệp Tác giả Kiến thức chuẩn bị Chương Trong chương chúng tơi trình bày số kiến thức sở phục vụ cho việc chứng minh chương Sau giả thiết (R, m) vành địa phương M R-môđun hữu hạn sinh với dim M = d 1.1 Các khái niệm sở 1.1.1 Phổ vành Iđêan p vành R gọi iđêan nguyên tố p ≠ R với a,b  R, ab  p a  p b  p Ký hiệu SpecR tập tất iđêan nguyên tố vành R Khi SpecR gọi phổ vành R Với iđêan I R, ta ký hiệu V(I) = { p  Spec R p  I } 1.1.2 Giá môđun Tập SuppR M = {p SpecR  Mp ≠ 0} SpecR gọi giá môđun M Với x  M , ta ký hiệu AnnR (x) = {a  R  ax = }, AnnR (M) = {a  R ax = 0, x  M } Ta có AnnR (x) AnnR (M) iđêan M; AnnR (M) gọi linh hoá tử môđun M Hơn M R-môđun hữu hạn sinh SuppR M = V(AnnR M) 1.1.3 Vành địa phương đầy đủ theo tôpô m- adic Cho (R, m) vành địa phương Ta xét R vành tôpô với sở lân cận phần tử iđêan mt, t = 0, 1, 2, Chú ý sở lận cận phần tử tuỳ ý r  R gồm lớp ghép r + mt với t = 0, 1, 2, Khi vành đầy đủ theo tơpơ  m- adic R kí hiệu R định nghĩa cách thông thường theo ngôn ngữ dãy Cauchy sau: Một dãy Cauchy R dãy (rn) phần tử R cho với t > 0, tồn số tự nhiên n0 để rn - rm  mt với n, m > n0 Dãy (rn) gọi hội tụ dãy không với t > tồn số tự nhiên n0 để rn - = rn  mt với n > n0 Hai dãy Cauchy (rn) (sn) gọi tương đương, kí hiệu (rn) ∽(sn) dãy (rn - sn) dãy khơng Khi quan hệ ∽ tập dãy  Cauchy quan hệ tương đương Ta kí hiệu R tập lớp tương đương dãy Cauchy Chú ý (rn) (sn) dãy Cauchy dãy (rn + sn), (rnsn) dãy Cauchy lớp tương đương dãy (rn + sn), (rnsn) không phụ thuộc vào việc chọn đại diện lớp tương đương dãy Cauchy (rn) (sn), tức (rn) ∽ (r’n) (sn) ∽ (s’n) (rn  + sn) ∽ (r’n + s’n) (rnsn) ∽ (r’ns’n) Vì R trang bị phép tốn hai  ngơi + , với hai phép toán này, R lập thành vành Mỗi phần tử r R đồng với lớp tương đương dãy Cauchy mà tất phần tử dãy r Vì ta có đơn cấu tự nhiên vành  R R r  (r) , (r) dãy mà tất phần tử r Định nghĩa tương tự cho môđun M với sở lân cận phần tử   {mtM} Khi M R- mơđun với phép nhân vô hướng sau:    Cho a= (a1, a2, )  R, x = (x1, x2, )  M Ta có ax = (a1x1, a2x2, )  M 1.1.4 Chiều Krulll môđun Một dãy giảm iđêan nguyên tố vành R p0  p1   pn gọi xích ngun tố có độ dài n Cho p  SpecR Cận tất độ dài xích nguyên tố với p0 = p gọi độ cao p, ký hiệu ht(p) Cho I iđêan R độ cao iđêan I định nghĩa sau: ht(I) = inf { ht(p) / p  Spec R, p  I } Cận tất độ dài xích nguyên tố R gọi chiều Krull vành R, ký hiệu dim R Cho M R-mơđun Khi dim(R/ AnnR M) gọi chiều Krull môđun M, ký hiệu dim M Giả sử O  M’ M  M’’  O dãy khớp ngắn R-mơđun Khi dim M = max {dim M’, dim M’’} 1.1.5 Chiều Noether môđun Chiều Noether M, ký hiệu N-dimR M, định nghĩa sau: Nếu M = ta đặt N-dimR M = -1 Khi đó, quy nạp theo d, với d ≥ ta đặt N-dimR M = d N-dimR M < d sai với dãy tăng M0  M1  môđun M, tồn số n0 cho N-dimR (Mn/Mn + 1) < d với n > n0 Như vậy, N-dimR M = M ≠ M Noether 1.1.6 Hệ tham số Cho R vành giao hoán, địa phương, Noether với iđêan cực đại m, M R-mơđun hữu hạn sinh có chiều Krull dim M = d > (i) Một hệ gồm d phần tử x := (x1, , xd) m gọi hệ tham số M ℓ(M/(x1, , xd)M) <  (ii) Nếu x := (x1, , xd) hệ tham số mơđun M hệ phần tử (x1, , xi) gọi phần hệ tham số với i = 1, , d Các tính chất hệ tham số Hệ d phần tử x := (x1, , xd) m hệ tham số M xi  p,  p  Ass M/ (x1, , xi-1) M thoả mãn dim R/p = d - i + Nếu x := (x1, , xd ) hệ tham số môđun M n n n : = (n1, , nd) gồm d số nguyên dương x ( n ) = (x11, , xdd) hệ tham số môđun M Nếu x := (x1, , xd) hệ tham số mơđun M dim M/(x1, , xi) M = d - i,  i = 1, , d Nếu x := (x1, , xd ) hệ tham số môđun M x   hệ tham số M, M bao đầy đủ m – adic M 1.1.7 Số bội Cho R vành giao hoán, địa phương, Noether với iđêan cực đại m, M R- môđun hữu hạn sinh có chiều Krull dim M = d > Một hệ phần tử x := (x1, , xt) m cho ℓ(M/(x1, , xt)M) <  gọi hệ bội môđun M; t = ta hiểu điều kiện có nghĩa ℓ(M) <  Chú ý hệ tham số hệ bội 10 điều ngược lại không Khi kí hiệu bội e(x; M) mơđun M hệ bội x định nghĩa quy nạp theo t sau: Giả sử t = tức ℓ(M) <  Khi đặt e(∅; M) = ℓ(M) Với t > đặt 0: M x1 = {m  mx1 = 0} Khi 0: M x1 mơđun M Vì ℓ(M/(x1, , xt)M) <  ta dễ dàng suy ℓ(0: M x1 )/(x2, , xt) M (0: x1 )< , tức (x2, , xt) hệ bội môđun 0: M x1 Vậy theo giả thiết quy nạp e(x2, , xt; M / x1M) e(x2, , xt; 0: M x1) xác định Khi ta định nghĩa: e(x1, x2, , xt; M) = e(x2, , xt; M / x1M) - e(x2, , xt; 0: M x1) Sau số tính chất số bội e(x; M)  e(x1, x2, , xt; M)  ℓ(M/(x1, x2, , xt)M) Đặc biệt, tồn i cho xinM = với n số tự nhiên e(x1, x2, , xt; M) = e(x1, x2, , xt; M) = t > d n n e(x11, , xt t; M) = n1 nte(x1, , xt; M) 1.2 Kiểu đa thức 1.2.1 Định nghĩa Cho x = (x1, , xd) hệ tham số M n1, , nd> số nguyên dương Đặt n n n n n n I (x1 1, , xd d; M) = ℓ(M/x1 1, , xd d) M) - n1 nde (x; M) Xét I(x1 1, , xd d; M) hàm số nhận giá trị nguyên xác định n n theo d biến nguyên dương n1, , nd Chú ý I (x1 1, , xd d; M) ln nhận giá trị khơng âm, khơng thiết đa thức theo biến n1, , nd n1, , nd đủ lớn, chặn đa thức Đặc biệt, bậc nhỏ n n đa thức theo biến n1, , nd chặn hàm I(x1 1, , xd d; M) 22 = dim (Rq/q’ Rq) + dim R/q = dim Mq + dim R/q = d = htM (m) □ (iv)  (iii): Hiển nhiên Kết sau suy từ Mệnh đề 2.2.3, (i)  (iv) kết Cuong-Trung-Schenzel [6] 2.2.4 Hệ Giả thiết R vành thương vành Cohen-Macaulay Với kí hiệu Mệnh đề 2.2.3, phát biểu sau tương đương: (i) M f-môđun suy rộng; (ii) Mp môđun Cohen-Macaulay suy rộng với p Supp M\{m} dim R/p = d với p  T(M); (iii) Mp môđun Cohen-Macaulay với p  T(M), dim R/p = d với p  T(M)  2.2.5 Mệnh đề Kí hiệu M môđun đầy đủ m-adic M Các phát biểu sau  i) Nếu M f-môđun suy rộng M f-mơđun suy rộng ii) Giả thiết R vành thương vành Cohen-Macauhay Nếu M  f-mơđun suy rộng M f-mơđun suy rộng Chứng minh (i) Cho (x1, , xd) hệ tham số M Theo giả thiết ta có dim(x1, , xi - 1) M: Mxi/((x1, , xi - 1) M)   = dim((x1, , xi - 1) M : M xi/(x1, , x1 - 1) M) ≤1 với i = 1, , d Vì x1, , xd dãy quy suy rộng M 23 Vậy, M f-môđun suy rộng    (ii) Cho p  Supp M thoả mãn tính chất dim R/p > Khi đó,   p suy MP môđun Cohen-Macaulay Hơn nữa, lấy      Supp M thoả mãn tính chất dimR/ p >1 Khi p  Ass R/pR với  iđêan nguyên tố p  Ass M Chú ý p =p  R, p  Supp M dim R/p > Vì dim R/p = d (theo Mệnh đề 2.2.3, (i)  (iv)) Hơn nữa, R vành thương vành Cohen-Macaulay nên ta có    dim R/p = dim R/p R= dim R/p = d  Suy M f-môđun suy rộng (theo Hệ 2.2.4) □ Mệnh đề sau đặc trưng f-môđun suy rộng thông qua khái niệm độ sâu suy rộng 2.2.6 Mệnh đề Giả thiết dim M > Khi M f-mơđun suy rộng gdepth(p; M) = d - dim R/p với p  Supp M thoả mãn tính chất dim R/p > Chứng minh Giả thiết M f-môđun suy rộng Lấy p  Supp M cho dim R/p = d - r >1 Khi dim M/pM = d - r Vì dãy quy suy rộng độ dài khơng q d - phần hệ tham số M nên ta có gdepth(p; M) ≤ r Hơn nữa, tồn phần hệ tham số (x1, , xr) M p Vì M f-mơđun suy rộng nên (x1, , xr) dãy quy suy rộng Vì 24 gdepth(p; M) = d - dim R/p Ngược lại, giả sử với p  Supp M thoả mãn tính chất dim R/p > xảy đẳng thức gdepth(p; M) = d - dim R/p Khi d - dim R/p ≥ depth Mp ≥ gdepth(p; M) = d - dim R/p Vì M f-mơđun suy rộng (theo Mệnh đề 2.2.3, (iii)=>(i)) □ 2.3 Đặc trưng f-môđun suy rộng thông qua số bội môđun đối đồng điều địa phương 2.3.1 Định lý.(i) Các phát biểu sau tương đương: (a) N-dimR (Him (M)) ≤ với i < d; (b) p(M) ≤ 1; (c) Tồn hệ tham số (x1, , xd) M, số nguyên dương k  {1, , d} cho 2 I(x12, ,xk-1 , xk, xk+1 , , xd2; M) = I(x1, , xd; M); (d) Tồn hệ tham số x = (x1, ,xd) M, số nguyên dương k  {1, , d}, số Cx cho với số nguyên dương n1, , nd > 0, ta có n n I(x11, , xđd; M) ≤ nkCx (ii) Nếu phát biểu (a), (b), (c), (d) M f-mơđun suy rộng (iii) Giả thiết R vành thương vành Cohen-Macaulay Khi M f-mơđun suy rộng phát biểu (a), (b), (c), (d) Chứng minh Chúng ta chứng minh (i) (a)  (b) suy từ Bổ đề 1.2.2 25 (a)  (c) Trường hợp d = hiển nhiên Cho d > Lấy x1  m cho x1  p với p(  Att(Him(M))) \ {m} i=1 i=d Khi p(M/x1M) ≤ (theo Bổ đề 1.2.2), tức M/x1M môđun CohenMacaulay suy rộng Vì tồn hệ tham số chuẩn tắc (x2, , xd) M/x1M Từ cách chọn phần tử x1 ta ℓ(0: M x1) < ∞ Vì I(x1, , xd; M) = I(x2, , xd; M/x1M) = I(x22, , x2d; M/x1M) = I(x1, x22, , x2d; M) Vậy (x1, , xd) thoả mãn tính chất (c) ứng với k = (c)  (d) Trường hợp d = hiển nhiên Lấy d > Gọi (x1, , xd) hệ tham số M thoả mãn tính chất (c) Khơng tính tổng qt giả thiết k = d, tức I(x1, , xd; M) = I(x12, , x2d-1, xd; M) Ta có I(x1, , xs; M) = I(x1, , xd-1; M/xdM) + e (x1, , xd-1; 0: M xd) ; 2 I(x12, , xd-1 , xd; M) = I(x12, , xd-1 ; M/xdM) +2d-1 e(x1, , xd-1; 0: M xd) Chú ý I(x1, , xd-1; M/xdM) ≤ I(x21, , x2d-1; M/xdM) Vì e(x1, , xd-1 ; 0: Mxd) = I(x1, , xd-1; M/xdM) = I(x21, , xd-1 ; M/xdM) Suy M/xdM Cohen-Macaulay suy rộng (x1, , xd-1) hệ tham số chuẩn tắc M/xdM Vì e (x1, ,xd-1; 0: Mxd) = nên dim (0: M xd) < d-1 Do 26 n n n n d-1 I(x11, , xdd; M) ≤ nd I(x11, , xd-1 , xd; M) n n d-1 = nd I(x11, , xd-1 , xd; M/xdM) = nd I(x1, , xd-1; M/xd M) = nd I(x1, , xd; M) với số nguyên dương n1, , nd > (d)  (b) suy từ định nghĩa kiểu đa thức p(M) M   (ii) Giả sử điều kiện (a) thoả mãn Đặt m = mR Khi đó, tồn đẳng cấu i  (Hm (M))  Him (M)  R-mơđun với i ≥ Vì i  i  N-dimR (Hm (M)) = N-dimR (Him (M)), với i < d Suy N-dimR (Hm (M)) ≤  với i < d Chúng ta khẳng định M f-môđun suy rộng Thật vậy,  cho (x1, , xd) hệ tham số M Ta chứng minh quy nạp theo d  x1, , xd dãy quy suy rộng M Trường hợp d ≤    hiển nhiên Cho d > Lấy p  Ass M Đặt dim R/p= k Ta suy 27  k p  AttR (Hm (M)) Đặt  k ak = AttR (Hm (M))   Khi p  ak Vì ta có  k  N-dimR (Hm (M))= dim (R/ak) ≥ dim (R/p) = k Nếu k < d k ≤ k N-dimR (Hm (M))     Do dim R/p = d dim R/p≤ với p  Ass M  Điều suy x1 phần tử quy suy rộng M Do dim(0: M x1) ≤ Vì i  i  Hm (M)  Hm (M/(0: M x1)) với i ≥ Từ dãy khớp  x1    M/(0: M x1)  M  M/x1M  ta nhận dãy khớp i  i   i+1  Hm (M)  Hm (M/x1M)  H (M)   m 28 với i ≥ Vì i  i  N-dimR (Hm (M)) ≤ với i < d nên ta có  N-dimR (Hm (M/x1M)) ≤ với i < d -1 Do áp dụng giả thiết quy nạp cho môđun     M/x1M, nhận x2, , xd dãy quy suy rộng M/x1M  Suy x1, , xd dãy quy suy rộng M Vì thế, khẳng định chứng minh Bây giờ, áp dụng Mệnh đề 2.2.5 (i) ta suy M f-môđun suy rộng  (iii) Giả thiết M f-mơđun suy rộng Khi M f-mơđun suy rộng (theo Mệnh đề 2.2.5, (ii)) Vì thế, ta thu dim  i  Hm (M))) ≤ R (R/Ann( với i < d Vì thế, ta có N-dimR (Him (M)) ≤ với i < d □ Kí hiệu NC(M) quỹ tích khơng Cohen-Macaulay M, tức NC(M) = {p  Spec R : Mp không Cohen-Macaulay} Chú ý R chứa phức đối ngẫu, quỹ tích khơng Cohen-Macaulay NC(M) M tập đóng SpecR theo tơppơ Zariski Vì dim(NC(M)) xác định (theo nghĩa chiều không gian tôpô) Đặt 29 a(M) = a0(M) ad-1(M), ai(M) = AnnR (Him (M)) với i ≤ d - 2.3.2 Hệ Giả thiết R chứa phức đối ngẫu Các phát biểu sau tương đương: (i) M f-môđun suy rộng; (ii) dim R/a(M) ≤ 1; (iii) Tồn hệ tham số (x1, , xd) M, số nguyên 1≤ k ≤ d số Cx, Dx cho n n I (x11, , xdd; M) = nkCx + Dx với số nguyên dương n1, , nd ≥ 1; (iv) dim NC(M) ≤ dim R/p = d với iđêan nguyên tố p  Supp M thoả mãn tính chất dim R/p ≠ Chứng minh (i)  (ii) Ta có p(M) ≤ (xem Định lý 2.3.1, (iii)) Hơn nữa, N.T Cuong [5] chứng minh dim R/a(M) = p(M) Vì ta có kết (ii)  (iii) Tồn hệ tham số (x1, , xd) M thoả mãn tính chất xi  a(M/(xi+1, , xd)M) với i = 1, , d Theo [5], hệ tham số gọi hệ tham số p-chuẩn tắc M, p(M) ≤ 1, hệ tham số p-chuẩn tắc M thoả mãn điều kiện (iii) (iii)  (i) Theo giả thiết ta có p(M) ≤ Vì thế, kết suy từ Định lý 2.3.1, (ii) (i)  (iv) suy từ Hệ 2.2.4 với ý Supp M catenary □ Chú ý tồn môđun M với quỹ tích khơng CohenMacaulay thoả mãn tính chất dim (NC(M)) ≤ 1, M không f-môđun 30 suy rộng Chẳng hạn, lấy R = K[[x, y, z, t, s]] vành chuỗi lũy thừa hình thức biến trường K Đặt M = R/ (x, y, z)  R/ (t,s) Khi p = (x, y, z) R  Supp M; dim R/p = < = dim M Vì M không f-môđun suy rộng Dễ kiểm tra thấy dim NC(M) = Theo Định lý 2.3.1 Hệ 2.3.2, vành sở R có phức đối ngẫu f-mơđun suy rộng mơđun có quỹ tích khơng CohenMacaulay khơng q iđêan nguyên tố tối thiểu chiều chiều d Tuy nhiên R không chứa phức đối ngẫu, vấn đề trở nên phức tạp nhiều Ví dụ sau f-vành suy rộng minh họa điều này, giả thiết vành chứa phức đối ngẫu Mệnh đề 2.2.5, (ii) Định lý 2.3.1 thực cần thiết 2.3.3 Ví dụ Tồn miền Noether địa phương (R,m) thỏa mãn tính chất: (i) dim R = R khơng catenary;  (ii) R f-vành suy rộng, R không f-vành suy rộng; (iii) N-dimR (H2m(R)) = dim (R/AnnR (Hm2 (R))) = 3;  (iv) p(R) = = p (R);   (v) dim R/a (R) = dim R/a(R) = Chứng minh Gọi S miền Noether quy excellent chiều xây dựng M Brodmann [4] cho S Q - đại số có iđêan tối đại m1, m2 thỏa mãn tính chất sau đây: (a) ht m1 = ht m2 = 3; (b) Các ánh xạ Q  S/m1 Q  S/m2 đẳng cấu; (c) m1  m2 không chứa iđêan nguyên tố khác không S 31 Đặt R = Q + (m1  m2) Khi R miền Noether địa phương với dim R = 3, m = m1  m2 iđêan tối đại R (xem [4]) Vì R f-vành suy rộng Theo cách xây dựng miền nguyên S R, tồn iđêan nguyên tố p  Supp R cho dim R/p + ht(p) = Vì R khơng catenary Hơn nữa, [7], chứng minh N-dimR (H2m (R)) = 2; dim (R/AnnR (H2m (R))) = Suy dim R/a(R) = Hơn nữa, N-dimR (Hm1 (R)) ≤ nên theo Bổ đề 1.2.2 ta có p(M) = Theo kết [5] ta có    dim R/a(R) = p(R) = p (R) = 2,  R khơng f-vành suy rộng (xem Định lý 2.3.1) □ 2.3.4 Hệ Giả thiết R chứa phức đối ngẫu Ký hiệu K(M) mơđun tắc M Khi phát biểu sau (i) Nếu M f-mơđun suy rộng K(M) f-mơđun suy rộng (ii) Giả sử dim M ≤ Khi mơđun tắc K(M) M f-mơđun suy rộng M khơng trộn lẫn M nhúng vào f-môđun suy rộng (iii) Nếu Mi f-mơđun suy rộng có chiều d chiều không với i =1, , n M = ni=1 Mi f-mơđun suy rộng (iv) Cho (x1, , xd-1) phần hệ tham số M Khi M f-mơđun suy rộng (x1, , xd-1) M f-môđun suy rộng Chứng minh (i) Lấy p  Supp K(M) cho dim R/p ≥ Khi dim Mp = d-dim R/p Mp mơđun Cohen-Macaulay (theo Mệnh đề 2.2.3) Vì K(Mp) Cohen-Macaulay Vì (K(M))p  K(Mp) nên K(M)p mơđun Cohen-Macaulay Do K(M) f-mơđun suy rộng theo Hệ 2.2.4 32 (ii) Trường hợp d ≤ hiển nhiên Cho d = Vì K(M) thoả mãn điều kiện Serre (S2) nên ta có: dim (R/Ann (Him (M))) ≤ với i = 1,2 Suy K(M) f-mơđun suy rộng theo Định lý 2.3.1 Vì d ≤ nên K(K(M)) f-môđun suy rộng Khi M khơng trộn lẫn, M nhúng vào K(K(M)) (iii) Theo Định lý 2.3.1 ta có N-dimR (Hjm (Mi)) ≤ với i = 1, , n j < d Vì N-dimR (Hjm (M)) ≤ với j < d Theo Định lý 2.3.1 ta suy M f-môđun suy rộng (iv) Đặt N = (x1, , xd-1)M Khi dim M/N = Từ dãy khớp  N  M  M/N  ta nhận N-dimR (Him (M)) ≤ 1, i < d N-dimR (Him (N)) ≤ 1, i < d □ Vì thế, sử dụng Định lý 2.3.1 ta có kết 2.3.5 Hệ Cho T = R[[X]] (tương ứng S = R[X]) vành chuỗi luỹ thừa hình thức (tương ứng vành đa thức) theo biến X R Đặt n = (m, X)S iđêan tối đại nhất S Các phát biểu sau (i) Nếu R vành Cohen-Macaulay suy rộng T Sn f- vành suy rộng (ii) Giả sử R vành thương vành Cohen-Macaulay T Sn f-vành suy rộng Khi R vành Cohen-Macaulay suy rộng Chứng minh Trước hết, lấy x = (x1, , xd) hệ tham số tuỳ ý R Khi (x1, , xd, X) hệ tham số T Ta có: n n n n ℓT (T/(x11, , xdd, Xm)T) = mℓR(R/(x11, , xdd) R) 33 với số nguyên dương n1, , nd, m > Vì X phần tử quy T nên ta có (*) n n n n I(x11, , xdd, Xm; T) = mI(x11, , xdd; R) Bây ta chứng minh Hệ (i) Vì R vành Cohen-Macaulay suy rộng nên p(R) ≤ Vì ta nhận từ cơng thức (*) p(T) ≤ Suy từ Định lí 2.3.1 T f-vành suy rộng (ii) Giả thiết T f-vành suy rộng Khi đó, theo Định lí 2.3.1, p(T) ≤ n n Do hàm I(x11, , xdd, Xm; T) bị chặn đa thức theo biến n1, , nd, m có bậc khơng q Vì thế, theo cơng thức (*) ta suy hàm n n I(x11, ,xdd; R) bị chặn số không phụ thuộc vào n1, , nd Do p(R) ≤ 0, tức vành Cohen-Macaulay suy rộng Phần lại hệ suy cách hoàn toàn tương tự □ 2.3.6 Chú ý Kí hiệu T, S n Hệ 2.3.5 Ta biết R vành Cohen-Macaulay T Sn vành Cohen-Macaulay Theo Hệ 2.3.5 ta suy R vành thương vành CohenMacaulay R vành Cohen-Macaulay T Sn vành Cohen-Macaulay suy rộng Vì thế, vành T Sn khơng vành Cohen-Macaulay vành Cohen-Macaulay suy rộng 34 Kết luận Dựa vào báo [9] L T Nhàn M Morales, luận văn hoàn thành việc sau đây: Trình bày khái niệm f-mơđun suy rộng số tính chất f-mơđun suy rộng liên quan đến độ sâu, độ cao, tính đầy đủ m-adic mơđun, Trình bày đặc trưng f-môđun suy rộng thông qua số bội môđun đối đồng điều địa phương Từ đặc trưng ta có khẳng định R có chứa phức đối ngẫu, f-mơđun suy rộng mơđun có qũy tích khơng Cohen-Macaulay khơng q tất iđêan nguyên tố tối thiểu có chiều d chiều 35 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Tự Cường (2003), Giáo trình đại số đại, Nhà xuất ĐHQG Hà Nội [2] Trần Anh Tuấn (2006), Dãy quy suy rộng mơđun vành giao hốn, Luận văn thạc sỹ toán học, Trường Đại học Vinh [3] Dương Quốc Việt (2008), Cơ sở lý thuyết module vành, Nhà xuất ĐHSP Hà Nội Tiếng Anh [4] M Brodmann (1978), A particular class of regular domains, J Algebra, 54, 366-373 [5] N T Cuong (1995), p-standard systems of parameters and pstandard ideals in local rings, Acta Math Vietnam, 20, 145-161 [6] N T Cuong, P Schenzel and N V Trung (1978), Verallgemeinerte Cohen- Macaulay module, Math Nachr, 85, 57-73 [7] N T Cuong, N T Dung, L T Nhan (2007), Top local cohomology and the catenary of the unmixed part of support of a finitely generated module, Comm Algebra, 35(5), 1691-1701 [8] L T Nhan (2005), On Generalized Regular Sequences and the finiteness for associated primes of local cohomology modules, Comm Algebra, 33, 793-806 36 [9] L T Nhan and M Morales (2006), On generalized f-modules and associated primes of local cohomology modules, Comm Algebra, 34 [10] N V Trung (1986), Toward a theory of generalized CohenMacaulay modules, Nagoya Math J, 102, 1–49 ... 2.2 f- môđun suy rộng 2.2.1 Định nghĩa M gọi f- môđun suy rộng hệ tham số M dãy quy suy rộng Một vành gọi f- vành suy rộng f- mơđun suy rộng 2.2.2 Ví dụ (i) Mỗi f- môđun f- môđun suy rộng (ii) Mỗi môđun. .. sau (i) Nếu M f- môđun suy rộng K(M) f- mơđun suy rộng (ii) Giả sử dim M ≤ Khi mơđun tắc K(M) M f- môđun suy rộng M khơng trộn lẫn M nhúng vào f- môđun suy rộng (iii) Nếu Mi f- môđun suy rộng có chiều... Morales để nghiên cứu f- môđun suy rộng Chúng ta thấy f- mơđun suy rộng có nhiều tính chất tốt gần với tính chất f- mơđun mơđun Cohen- Macaulay suy rộng Vì thế, việc làm rõ cấu trúc môđun điều thú vị