Môđun con cốt yếu và (1 c1) môđun

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN TRẦN MỸ PHƯƠNG TRANG MÔĐUN CON CỐT YẾU VÀ ( – C1 ) MÔĐUN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH _ NGUYỄN TRẦN MỸ PHƯƠNG TRANG MÔĐUN CON CỐT YẾU VÀ ( – C1 ) MÔĐUN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH : ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ MÃ SỐ : 60 46 01 04 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS NGÔ SỸ TÙNG NGHỆ AN 2014 MỤC LỤC trang MỤC LỤC………………… …………………………………………………… MỞ ĐẦU………………… …………………………………………………… CHƢƠNG : KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Môđun cốt yếu môđun bé ………… ………………………… 1.2 Tính chất mơđun cốt yếu môđun bé .…………………… CHƢƠNG : MÔĐUN CON CỐT YẾU VÀ ( – C1) MÔĐUN 2.1 Các điều kiện (Ci) môđun………………… ………… ………………13 2.2 Tính chất ( – C1) mơđun.……….………… …… .14 2.3 Tổng trực tiếp môđun ……………………………………… ….18 KẾT LUẬN ………………… ……………………… .26 TÀI LIỆU THAM KHẢO …………… ……………………… 27 MỞ ĐẦU Môđun A môđun M đƣợc gọi cốt yếu (hay lớn) M với môđun khác không B M ta có : A  B  ( cách tƣơng đƣơng A  B = B = ) Khi ta nói M mở rộng cốt yếu A kí hiệu A * M Cùng với phát triển toán học đại nói chung, lý thuyết mơđun đƣợc nhà toán học quan tâm đạt đƣợc nhiều kết Trên sở yếu tố nội xạ, ngƣời ta mở rộng nhiều lớp môđun Các lớp môđun nhƣ: môđun giả nội xạ, môđun giả nội xạ cốt yếu đƣợc nghiên cứu S K Jain and S Singh (1967), M L Teply (1975), A A Tuganbaev (1978), Đinh Quang Hải, lớp môđun nội xạ cốt yếu đƣợc nghiên cứu phát triển He Qun Vào năm 1977, Chatters Hajarnavis đƣa khái niệm CS – môđun (Extending Module) Khi lớp CS – mơđun đời lý thuyết mơđun phát triển mạnh mẽ có nhiều ứng dụng quan trọng việc nghiên cứu lý thuyết vành Đặc biệt, Đinh Văn Huỳnh, P F Smith, R.Wisbauer, A Harmanci, Nguyễn Việt Dũng, Ngô Sỹ Tùng, ngƣời nghiên cứu đạt nhiều kết CS – môđun Dựa tài liệu tham khảo [2] [4], luận văn tìm hiểu lớp (1 – C1) mơđun sở kến thức môđun cốt yếu Vì đề tài luận văn chúng tơi có tên : “Mơđun cốt yếu ( – C1) mơđun” Mục đích luận văn dựa vào tài liệu tham khảo, trình bày lại số tính chất mơđun cốt yếu ( – C1) mơđun Ngồi phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung luận văn dự kiến chia thành chƣơng Trong chƣơng 1, chúng tơi trình bày lại số khái niệm sở Lý thuyết vành môđun nhƣ : môđun, mơđun tính chất dƣới dạng bổ đề hay định lý Ở chƣơng 2, nội dung Luận văn Chƣơng đƣợc chia thành tiết, tiết chúng tơi trình bày khái niệm ( – C1) môđun CS – môđun theo [1] [2] Tiết hai chúng tơi dùng để trình bày kết [2] tính chất ( – C1) môđun môđun cốt yếu tiết dành cho việc khảo sát tính chất CS tổng trực tiếp mơđun Luận văn đƣợc hồn thành trƣờng Đại học Vinh dƣới hƣớng dẫn tận tình Thầy PGS TS Ngơ Sỹ Tùng Nhân dịp tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy, Ngƣời hết lòng giúp đỡ chúng tơi suốt q trình học tập, nghiên cứu, đồng thời tác giả xin trân trọng cảm ơn Thầy PGS.TS Lê Quốc Hán, PGS.TS Nguyễn Thành Quang, Cô GVC.TS Nguyễn Thị Hồng Loan, Cô GV.TS Đào Thị Thanh Hà Thầy TS Thiều Đình Phong Tác giả xin cảm ơn quý Thầy Cô chuyên ngành Đại số Lý thuyết số khoa Tốn, Phịng Sau Đại học Trƣờng Đại học Vinh, Phòng QLKH&SĐH Trƣờng Đại học Đồng Tháp, bạn bè gần xa gia đình tạo điều kiện cho tác giả thực tốt luận văn Nghệ An, tháng năm 2014 CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong toàn luận văn này, vành ln đƣợc giả thiết vành có đơn vị, kí hệu mơđun ln hiểu môđun phải unita Trong chƣơng xin nêu số kiến thức môđun cốt yếu môđun bé 1.1 Môđun cốt yếu môđun bé 1.1.1 Định nghĩa (Môđun cốt yếu) a) Môđun A R – môđun M gọi cốt yếu (hay lớn) M với môđun khác không B M ta có A B  (một cách tƣơng đƣơng, A B  B  ) Khi đó, ta nói M mở rộng cốt yếu A kí hiệu A  *M b) Đồng cấu  : A  B đƣợc gọi cốt yếu Im    *B 1.1.2 Ví dụ 1) Với mơđun M, ta có M  *M 2) Vành số ngun Z xem nhƣ mơđun Khi đó, iđêan khác không Z tức môđun khác không Z - môđun Z cốt yếu Thật vậy, hai iđêan khác không aZ bZ ta có:  ab  aZ bZ (vì a, b  ) 1.1.3 Nhận xét Từ định nghĩa, ta có: M  A  *M A  1.1.4 Định nghĩa (Môđun bé) Môđun H M đƣợc gọi đối cốt yếu ( hay bé ) với môđun E  M ta có H + E  M ( cách tƣơng đƣơng, H + E = M  E = M ) Khi ta kí hiệu H  M 1.1.5 Ví dụ 1) Đối với mơđun M ta có  M 2) Trong Z – mơđun tự có mơđun tầm thƣờng đối cốt yếu 3) Mỗi môđun hữu hạn sinh QZ đối cốt yếu QZ Thật vậy, giả sử H môđun Q, sinh tập { q1, q2, q3, , qn }  Q Và E môđun Q cho H + E = Q Khi { q1, q2, q3, , qn }  E Là hệ sinh QZ thân E hệ sinh Q Do E = Q Điều chứng tỏ H  M  1.2 Một số tính chất mơđun cốt yếu mơđun bé Một số tính chất mơđun cốt yếu đƣợc thể thông qua bổ đề hệ sau 1.2.1 Bổ đề (Bổ đề 5.1.5 [3]) (a) Nếu môđun M có dãy mơđun A  B  C  M A  *M kéo theo B  *C (b) Nếu Ai  *M , i  1,2, , n n i 1 Ai  *M (c) Nếu  : M  N đồng cấu mơđun B  *N  1  B   *M (d) Cho  : A  B ,  : B  C đơn cấu cốt yếu Khi đó,  : A  C đơn cấu cốt yếu Chứng minh (a) Giả sử U  môđun C Khi U mơđun khác khơng M Ta có, A  *M  A U  Mà A  B  B U  Do B  *C (b) Ta chứng minh quy nạp theo n Với n  , mệnh đề theo giả thiết Giả sử mệnh đề với n  1, tức là: A  n 1 i 1 Ai  *M Giả sử U  môđun M Do An  *M , nên An Suy A A n U  0A Điều chứng tỏ A An  U  An  *M hay (c) Giả sử U  M U U  n i 1 Ai  *M  1  B   , suy B  U   Do  U   , B  *N Từ ta có: U  Ker     1  0   1  B   U  1  B   U  Điều dẫn đến  1  B   *M (d) Giả sử U  C Im    U  Do  đơn cấu, nên ta có:   1     1  Im    U    1  Im      1 U   Im    1 U  Mà Im    *B , nên suy  1 U    U  Do đó, Im     *C Theo giả thiết  ,  đơn cấu nên  đơn cấu cốt yếu  1.2.2 Bổ đề (Bổ đề 5.1.6 [3]) Cho A mơđun MR Khi ta có: A  *M  m  M , m  0, r  R 0  mr  A Chứng minh    Giả sử m  0, m  M , mR  Do A  *M nên A mR  Từ suy r  R cho mr  mr  A   Ngƣợc lại, giả sử B môđun khác không M Khi đó, lấy  m  B tồn r  R cho  mr  A Vì mr  B nên A chứng tỏ A  *M B  Điều  Từ bổ đề 1.2.2, ta suy số tính chất mơđun cốt yếu thông qua hệ sau 10 1.2.3 Hệ Giả sử M = M , Ai  M với I  i A = * i I A i = I Khi A * M M =  Ai I  Mi I Chứng minh Trƣớc hết ta chứng minh A * M cho trƣờng hợp I = { 1,2,…,n} phƣơng pháp quy nạp theo n Với n = mệnh đề theo giả thiết Giả sử mệnh đề cho n – 1, tức ( A1 + … + An-1 )  ( M1 + … + Mn-1 ) * Giả sử m  M phần tử khác không tùy ý, M = m1 + m2 + … + mn-1 + mn  Mi Nếu m1 + m2 + … + mn-1 + mn = m = mn  theo bổ đề tìm đƣợc r  R cho  mr = mnr  An Từ mrs  A Do tổng Ai tổng trực tiếp nên mrs  Điều chứng tỏ A * M Bây ta xét trƣờng hợp I tập tùy ý Khi với  m  M ta có biễu diễn hữu hạn M = mi1 + mi2 + … + Khơng tình tổng qt giả thiết M = m1 + … + m n  n M i 1 i = M0 Khi theo chứng minh đặt A0 * M0 theo bổ đề tìm đƣợc 15 CHƯƠNG MÔĐUN CON CỐT YẾU VÀ ( – C1) MƠĐUN Chƣơng phần nội dung luận văn, chúng tơi tìm hiểu trình bày điều kiện (Ci) mơđun, trình bày khái niệm số tính chất của ( – C1) môđun, nhƣ tổng trực tiếp mơđun dựa vào tính chất mơđun cốt yếu 2.1 Các điều kiện (Ci) môđun 2.1.1 Định nghĩa CS – môđun Cho M R – môđun phải Ta xét điều kiện sau : (C1 ) Mọi môđun M cốt yếu hạng tử trực tiếp M, hay nói cách khác mơđun đóng M hạng tử trực tiếp M (C2) Nếu A B môđun M đẳng cấu với A hạng tử trực tiếp M B hạng tử trực tiếp M (C3) Nếu A B hạng tử trực tiếp M A  B = A + B hạng tử trực tiếp M (1) Một môđun M đƣợc gọi CS – môđun (hay extending module), M thõa mãn điều kiện (C1) (2) Môđun M đƣợc gọi liên tục M thỏa mãn điều kiện (C1) (C2) (3) Môđun M đƣợc gọi tựa liên tục M thỏa mãn điều kiện (C1) (C3) 16 (4) Một vành R gọi CS – vành (liên tục, tựa liên tục) phải RR CS – môđun (liên tục, tựa liên tục) nhƣ R – môđun phải R Tƣơng tự ta có khái niệm CS – vành, vành liên tục tựa liên tục trái Ta chứng minh đƣợc M thỏa mãn (C2) thỏa mãn (C3) Tứ ta có phép kéo theo sau : Nội xạ  tựa nội xạ  liên tục  tựa liên tục  CS 2.1.2 Môđun Giả sử R vành, R – môđun phải U đƣợc gọi là (hay uniform) U  A  B  môđun khác khơng A, B U Hay nói cách khác, U U  môđun khác khơng cốt yếu U 2.2 Tính chất ( – C1) môđun 2.2.1 Định lý (Định lý 4.14 [2]) Giả sử R vành M R – môđun cho M   M i tổng trực tiếp iI mơđun Mi phân tích M bù hạng tử trực tiếp Giả thiết Mi không nhúng đẳng cấu thực vào Mj ,  i  j  I Khi phát biểu sau tương đương : i) M CS – môđun; ii) M ( – C1 ) – môđun; iii) M(J) M(K) – nội xạ, tập K J I cho KJ =  17 Chứng minh i)  ii) hiển nhiên ii)  iii) Để chứng minh M(J) M(K) – nội xạ, ta cần chứng minh M(J) Mk – nội xạ với k  K Giả sử U môđun Mk  : U  M(J) đồng cấu ta gọi X = { x –  (x) : x  U} Dễ thấy X  M(J) = 0, X nhúng đẳng cấu đƣợc vào Mk, X mơđun Ta có Mj  Mk phân tích bù hạng tử trực tiếp có khả xảy : 1) M(J)  k = X’  (J’) 2) M(J)  Mk = X’  M(i1)  Mk J’ J1 tập J Nếu khả 1) xảy ta có M(J)  Mk = X’  M(J’)  X’  M(J)  Mk Và X’  (J’) = X’  M(J) hay M( J) = X’  M(J) Từ ta phải có J = J’ Gọi  phép chiếu từ X’  M(J) đến M(J) gọi  ' =  |Mk Khi với x  Mk, x =  (x) + (x -  (x))  (x)  M(J) x  (x)  X’ Từ ta có  ’(x) =  ’[  (x) + ( x –  (x))] =  (x) Nghĩa  ’ mở rộng  Nếu khả 2) xảy Khi ta gọi  k : X’  M(J1)  K  Mk Là phép chiếu tự nhiên Giả sử A = (X’  M(J1))  M(J) 18 Nếu A  0, giả sử A  M(J)  với j  J Khi A mơđun cốt yếu M(J) Từ (X’  A)  (X’  M(J)) Mặt khác (U  M(J))  ( Mk  M(J)) ( U  M(J))  (X’  M(J)), (X’  M(J))  (Mk  M(J)) Từ suy X’  A cốt yếu Mk  M(J) Nhƣng Mk  (X’  A)  suy Mk  (X’  M(J1))  khơng thể đƣợc Mâu thuẩn chứng tỏ tồn số j  J cho Mj  A = Khi dễ dàng thấy Mj  Ker  k (Mj) = dẫn đến Mj   k (Mj) môđun Mk Bởi giả thiết Mj nhúng đẳng cấu thực vào Mk ,  k (Mj) = Mk Từ có X’  M(J1)  Mk = X’  M(J1)  Mj = X’  M( J2) Trong J2 = J1  {j} Điều chứng tỏ M(J)  Mk = X’  M(J2) Và sử dụng chứng minh nhƣ trƣờng hợp 1) ta chứng tỏ  có mở rộng thuộc HomR(Mk, M(J)) Bây giả sử A = 0, dễ thấy M(J1) = có M(J)  Mk = X’  Mk 19 Điều chứng tỏ tập J có phần tử, chẳng hạn j M(J)  Mk = Mj  Mk = X’  Mk Ta xét phép chiếu  k : X’  Mk  Mk X’  Mj = Mj   k (Mj) mô đun Mk, nhƣ có  k (Mj) = Mk Và từ M(J)  Mk = X'  Mj, lại đƣa trƣờng hợp 1) Vậy ii)  iii) đƣợc chứng minh hoàn toàn iii)  i) : Giả sử A mơđun đóng M Gọi J tập tối đại I cho A  M(J) = Dễ kiểm tra đƣợc ( A  M(J))  M Giả sử K = I – J  K  J phép chiếu từ M lên M(K) M(J) tƣơng ứng Bởi A  Ker  K = 0, Do  K |A đơn cấu nên tồn (  K |A)-1 Giả sử  =  J ( (  K |A) -1 :  K (A)  M(J) Khi dễ dàng kiểm tra đƣợc A = { x +  (x) : x   K (A) } Bởi giả thiết M(j) M(K) – nội xạ, tồn  : M(K)  M(J) Là mở rộng  Ta gọi A’ = { y +  (y) : y  M(K)} Từ tính cốt yếu A  M(J) M ta kiểm tra đƣợc  K (A) cốt yếu M(K) từ A cốt yếu A’ Bởi A đóng ta phải có A = A’ 20  K (A) = M( K) Từ suy M = A  M(J) Nghĩa A hạng tử trực tiếp M M môđun CS Định lý đƣợc chứng minh xong  2.3 Tổng trực tiếp môđun 2.3.1 Định nghĩa Môđun M đƣợc gọi ( – C1 ) môđun ( hay có tính chất CS cho mơđun đều), nói gọn M ( – C1 ) môđun hay M có ( – C1 ) mơđun M cốt yếu hạng tử trực tiếp M, xem thêm [2]) 2.3.2 Bổ đề Nếu M (1 – C1 )mơđun, hạng tử trực tiếp M ( – C1) môđun Chứng minh Giả sử N hạng tử trực tiếp M U mơđun đóng N Suy U đóng M Bởi M có ( – C1 ) môđun, U hạng tử trực tiếp M, nghĩa M=U  X Với mơđun X M Khi U  N nên ta có N = U ( K N ) Và U hạng tử trực tiếp N  21 2.3.3 Bổ đề Giả sử M   M i tổng trực tiếp mơđun Mi ( i  I ), iI môđun khác không M chứa môđun Chứng minh Giả sử A mơđun khác khơng M, tồn tập J tối đại I với tính chất A  M(J) = ( ta hiểu M(J) đƣợc kí hiệu M(J)  Mi ) jJ Chúng ta xét k  I\J giả sử  k : Mk  M(J)  Mk phép chiếu tự nhiên Gọi Ak = A  (Mk  M(J) ) Bởi tính tối đại J, Ak  Bởi Ak  M(J) = 0, nên có Ak   k (Ak )  Mk Vì Mk nên Ak Vậy A chứa môđun Ak   2.3.4 Hệ Giả sử M   M i với tất cà Mi Nếu M có ( – C1) iI mơđun đóng khác M chứa môđun hạng tử trực tiếp M Chứng minh Giả sử A mơđun đóng khác M Khi bổ đề 2.3.3, 22 A chứa mơđun U Gọi V bao đóng U A, A đóng M V mơđun đóng M Bởi M có ( – C1) V hạng tử trực tiếp M  2.3.5 Bổ đề Giả sử M ( – C1 ) môđun X  U mơđun đóng M, X hạng tử trực tiếp M U mơđun Khi X  U hạng tử trực tiếp M Chứng minh Bởi X hạng tử trực tiếp M, M = X  M1 Với mơđun M1 M Gọi  : M  M1 phép chiếu tự nhiên Giả sử V mở rộng cốt yếu  (U) M1 Bởi U  X =  |U đơn cấu, nên ta có  (U)  U Từ V mơđun đóng M1 Bây ta thấy  -1(V)   -1(  (U))  X  U (bởi  (X) = 0) Mặt khác x   -1(V)  (x)  V, mà x = x’ + m1 với x’  X, m1  M1  (x) = m1  V Nghĩa  -1(V)  X  V Do ta có X  U   -1(V)  X  V (1) Ta chứng minh X  U cốt yếu X  V Thật gọi Z = (X  U)  V Lấy x + u  X  U, u  Bởi (1) x + u  X  V hay x + u = x’+ v, 23 v = x – x’ + u, v  u  Điều chứng tỏ Z  Bởi V Z  V Từ có ( X  Z )  ( X  V) Nhƣng X  Z  X  U, ( X  U )  ( X  V) Bởi giả thiết X  U đóng, X  U = X  V Từ M = X  M1 V hạng tử trực tiếp M1 nên suy X  V hạng tử trực tiếp M, hay X  U hạng tử trực tiếp M  2.3.6 Hệ Giả sử M ( – C1 ) môđun Nếu M chiều Goldie hữu hạn, M tổng trực tiếp hữu hạn môđun Chứng minh Là hệ hiển nhiên bổ đề 2.3.2 bổ đề 2.3.3  2.3.7 Mệnh đề Giả sử M ( – C1 ) mơđun A mơđun đóng M Nếu A có chiều Goldie hữu hạn, A hạng tử trực tiếp M Chứng minh Nhƣ ta biết, mơđun đóng mơđun đóng mơđun đóng Do U đóng A, U đóng M Bởi giả thiết, U hạng tử trực tiếp M nên U hạng tử trực tiếp A Điều 24 chứng tỏ A ( – C1 ) mơđun hệ 2.3.7 ta có phân tích thành tổng trực tiếp hữu hạn A = A1   An Trong Ai (  i  n) Bây quy nạp theo n sử dụng bổ đề 2.3.5 ta nhận đƣợc A hạng tử trực tiếp M  2.3.8 Hệ Giả sử M ( – C1 ) môđun , mơđun đóng M có dạng A1   An tất Ai đều, hạng tử trực tiếp M Chứng minh Là hệ trực tiếp mệnh đề 2.3.7  2.3.9 Nhận xét Hệ 2.3.8 chúng tơi khơng cần địi hỏi M tổng trực tiếp môđun Ta thấy môđun CS ( – C1 ) môđun Ví dụ điều ngược lại không Nghĩa lớp ( – C1 ) môđun rộng thực lớp môđun CS 2.3.10 Ví dụ Tồn Z – mơđun ( – C1 ) môđun CS – mơđun, Z vành số ngun Chứng minh 25 Gọi F nhóm aben tự vô hạn sinh, nghĩa F Z – mơđun F =  Ui, iI Ui  Z  i  I I tập vô hạn Vì F nhóm aben chiều vơ hạn, F khơng phải mơđun CS Bây ta chứng minh F ( – C1 ) mơđun Giả sử U mơđun đóng F Bởi nhóm nhóm aben tự nhóm aben tự Từ U tổng trực tiếp với số lƣợng với tất đẳng cấu với Z Nhƣng U khơng phân tích đƣợc, U  Z từ U Z – mơđun xiclic Khi tồn số tự nhiên n cho U  U1  …  Un Trong { 1,…, n}  I Bởi U1  …  Un nhóm aben tự hạng hữu hạn nên U1  …  Un môđun CS Bởi mơđun đóng U1  …  Un Do U hạng tử trực tiếp U1  …  Un U hạng tử trực tiếp F Từ F ( – C1 ) môđun  2.3.11 Định nghĩa (U – liên tục) Một môđun M đƣợc gọi U – liên tục M ( – C1 ) môđun A B môđun M cho A  B A hạng tử trực tiếp M, B hạng tử trực tiếp M 26 2.3.12 Định nghĩa (Chiều Goldie) Một môđun M vành R gọi có chiều Goldie (hay chiều đều) hữu hạn không tồn tổng trực tiếp vô hạn môđun khác không M, M đƣợc gọi có chiều Goldie vơ hạn trƣờng hợp ngƣợc lại 2.3.13 Hệ Giả sử M mơđun có chiều Goldie hữu hạn, 1) Nếu M ( – C1 ) môđun M CS 2) Nếu M U – liên tục M liên tục Chứng minh Rõ ràng 2) đƣợc suy từ 1) Ta chứng minh 1) Giả sử M mơđun có chiều hữu hạn ( – C1 ) môđun, hệ 2.3.6 ta có M = U1  …  Un Trong Ui (  i  n) Bởi rõ ràng mơđun có chiều hữu hạn hạng tử trực tiếp địa phƣơng hạng tử trực tiếp Khi M mơđun CS  Để ý hệ 2.3.13, 1) không cần điều kiện M môđun không suy biến Từ ta có đặc trƣng sau ( – C1 ) mơđun có chiều Goldie hữu hạn 27 2.3.14 Hệ Một môđun M ( – C1 ) mơđun có chiều Goldie hữu hạn (i) M tổng trực tiếp hữu hạn môđun (ii) Mọi hạng tử trực tiếp M có chiều Goldie2 ( – C1 ) môđun  28 KẾT LUẬN Luận văn đề cập, tìm hiểu trình bày vấn đề sau : Khảo sát hệ thống khái niệm môđun cốt yếu mơđun bé, bên cạnh trình bày số tính chất chúng Sử dụng điều kiện liên tục lớp CS – môđun, Luận văn trình bày số tính chất lớp ( – C1) mơđun dựa tính chất mơđun cốt yếu Trình bày số tính chất tổng trực tiếp mơđun dựa khái niệm ( – C1) môđun môđun cốt yếu 29 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Tiến Quang – Nguyễn Duy Thuận ( 2001 ), Cơ Sở Lý Thuyết Vành Mô Đun, NXB Giáo Dục, Hà Nội [2] Ngô Sỹ Tùng ( 1995 ), Một số lớp vành đặc trưng điều kiện liên tục lớp cs – môđun, Luận án PTS Toán lý, ĐHVinh Tiếng Anh [3] F Kasch (1982), Modules and Rings Academic Press, London –NewYork [4] M A Kamal and B J Muller, (1988), The structure of extending modules over noetherian rings, Osaka J Math 25, 539 – 551 ... vành ln đƣợc giả thiết vành có đơn vị, kí hệu mơđun ln hiểu môđun phải unita Trong chƣơng xin nêu số kiến thức môđun cốt yếu môđun bé 1.1 Môđun cốt yếu môđun bé 1.1.1 Định nghĩa (Môđun cốt yếu) ... …………………………………………………… CHƢƠNG : KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Môđun cốt yếu môđun bé ………… ………………………… 1.2 Tính chất mơđun cốt yếu môđun bé .…………………… CHƢƠNG : MÔĐUN CON CỐT YẾU VÀ ( – C1) MƠĐUN 2.1 Các điều kiện (Ci) mơđun…………………... lớp (1 – C1) môđun sở kến thức môđun cốt yếu Vì đề tài luận văn chúng tơi có tên : “Mơđun cốt yếu ( – C1) mơđun” Mục đích luận văn dựa vào tài liệu tham khảo, trình bày lại số tính chất mơđun cốt