Mở rộng cốt yếu và bao nội xạ

Trờng đại học vinh Khoa Toán --- --- Nguyễn Thị Hoài Mở rộng cốt yếu và bao nội xạ Khóa luận tốt nghiệp đại học Ngành cử nhân khoa học toán Chuyên ngành: Đại số Cán bộ hớng dẫn KHóA LUậN: TS. Đào Thị Thanh Hà Sinh viên thực hiện: Nguyễn Thị Hoài Lớp: 47B - Toán 1 Vinh 2010 Mục lục Mục lục .1 Lời nói đầu 2 Chơng 1. Kiến thức cơ sở .4 1.1. Đồng cấu môđun 4 1.2. Môđun nội xạ .5 1.3. Bổ đề Zorn 5 Chơng 2. Mở rộng cốt yếu và bao nội xạ .6 2.1. Mở rộng cốt yếu 6 2.2. Bao nội xạ .14 Kết luận .21 Tài liệu tham khảo 22 2 LỜI NÓI ĐẦU Khái niệm môđun nội xạ được đưa ra bởi R. Bayer năm 1940 và sau đó là các khái niệm khác liên quan như bao nội xạ, giải nội xạ, chiều nội xạ, đối sinh nội xạ, . Chúng có nhiều ứng dụng đối với ngành Đại số nói chung và Đại số giao hoán nói riêng. Trên vành giao hoán Noether, mỗi môđun nội xạ được phân tích một cách duy nhất thành tổng trực tiếp của các môđun không phân tích dược, và vì vậy chúng ta biết rõ hơn về cấu trúc của chúng. Bao nội xạ là mở rộng cốt yếu cực đại và cũng là mở rộng nội xạ tối tiểu. Lớp môđun nội xạ là lớp môđun quan trọng trong Đại số hiện đại. Hiện nay người ta đã mở rộng các lớp môđun đó và đã thu được nhiều kết quả trong việc nghiên cứu đặc trưng vành. Trong phạm vi khóa luận này chúng tôi đi sâu nghiên cứu lớp môđun nội xạ với đề tài : “Mở rộng cốt yếu và bao nội xạ”. Khoá luận được chia làm 2 chương : Chương 1 : Kiến thức cơ sở. Trong chương này, chúng tôi giới thiệu một số khái niệm cơ bản liên quan đến phần nội dung chính của khoá luận. Cụ thể, chúng tôi tóm các khái niệm, ký hiệu và tính chất cơ bản của môđun và môđun nội xạ. Chương 2 : Mở rộng cốt yếu và bao nội xạ. Trong chương này chúng tôi đề cập đến hai nội dung chính. Nội dung thứ nhất trình bày chi tiết và hệ thống các khái niệm, chứng minh các tính chất về mở rộng cốt yếu của một môđun . Nội dung thứ hai là ứng dụng của môđun nội xạ và mở rộng cốt yếu của một môđun để định nghĩa bao nội xạ của môđun và chứng minh một số tính chất của bao nội xạ. Trong toàn bộ khóa luận vành luôn được giả thiết là giao hoán, có đơn vị. Khoá luận được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh, dưới sự hướng dẫn của cô giáo, Tiến sỹ Đào Thị Thanh Hà. Nhân dịp này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô, người đã hướng dẫn tận tình, chu đáo và động viên tôi rất nhiều trong suốt quá trình học tập cũng như hoàn thành khoá luận. 3 Tôi xin cảm ơn tất cả các thầy cô giáo, các cán bộ trong Khoa Toán, đặc biệt là các thầy cô tổ Đại số đã nhiệt tình giảng dạy, giúp đõ tôi trong suốt quá trình học tập. Xin cảm ơn các bạn sinh viên ngành Toán đã động viên giúp đỡ và có nhiều ý kiến đóng góp trong quá trình hoàn thành khoá luận. Do trình độ và thời gian có hạn nên khoá luận không tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong nhận đựơc sự góp ý chỉ bảo của các thầy cô giáo và các bạn. Vinh, tháng 05 năm 2010. Tác giả. 4 Chơng 1 Kiến thức cơ sở Trong chơng này chúng tôi đa ra các khái niệm và kết quả cần dùng cho các chứng minh ở chơng 2. 1.1 Đồng cấu môđun 1.1.1 Định nghĩa. Cho M và N là hai R-môđun . Một ánh xạ f : M N đợc gọi là đồng cấu môđun, hay còn gọi là R- đồng cấu, nếu nó thoả mãn hai điều kiện sau đối với mọi phần tử u, v M và x R: f(u+v) = f(u) + f(v). f(xu) = xf(u). 1.1.2 Chú ý. (i). Trong Định nghĩa trên M, N đều là môđun trên cùng 1 vành (ii). Nếu M N thì f đợc gọi là tự đồng cấu. (iii). f đợc gọi là đơn cấu, toàn cấu hay đẳng cấu môđun, nếu đồng cấu f tơng ứng là đơn ánh, toàn ánh hay song ánh. Hai môđun M và N đẳng cấu với nhau đợc ký hiệu là M N. (iv). ảnh: Im f = {f(u) | u M}= f(M). Hạt nhân: Ker f = {u M | f(u) = 0 N } = f -1 (0 N ). 1.1.3 Định lý. Mỗi đồng cấu R- môđun đều có thể phân tích đợc thành tích của một toàn cấu và một đơn cấu nghĩa là cho f: M N là một đồng cấu R-môđun. Khi đó ta có biểu đồ giao hoán sau đây: f = f o p f M N p f M/ Kerf Trong đó p : M M/ Kerf x a x + Kerf là toàn cấu chính tắc 5 và f : M/ Ker f N là đồng cấu cảm sinh của f. 1.1.4 Định lý. Cho M là một R - môđun, N và P là hai môđun con của M sao cho N P. Khi đó: M P M N P N 1.1.5 Định lý. Giả sử M là một R- môđun. Cho N và P là hai môđun con của M. Khi đó ta có: N P P + M N PI 1.2 Môđun nội xạ 1.2.1 Định nghĩa. Một R-môđun E đợc gọi là nội xạ nếu thỏa mãn tính chất mở rộng phổ dụng sau đây: với các R- đồng cấu f: N M và g: N E, trong đó f là đơn ánh, luôn tồn tại ít nhất một R- đồng cấu h: M E sao cho g = h o f, tức làm cho biểu đồ sau (với dòng trên khớp) là giao hoán f 0 N M g h E Khi đó ta nói h là một mở rộng của f. 1.2.2 Định lý. Mỗi R- môđun luôn đẳng cấu với môđun con của một R-môđun nội xạ. 1.2.3 Chú ý. Cho M là một R- môđun tuỳ ý, theo Định lý 1.2.2 tồn tại đơn cấu j: M E, với E là một R- môđun nội xạ. Khi đó có thể dễ dàng chứng minh đợc rằng tồn tại một mở rộng E của M (tức E là R- môđun và M E) và một R- đẳng cấu f: E E sao cho f(x) = j(x), x M. Hiển nhiên E cũng là môđun nội xạ. Vậy Định lý 1.2.2 có thể phát biểu lại dới dạng hay đợc sử dụng nh sau. Mỗi R- môđun luôn có ít nhất một mở rộng nội xạ. 1.3 Bổ đề Zorn. Nếu mỗi xích của một tập hợp đợc sắp thứ tự X đều có cận trên, thì X chứa ít nhất một phần tử cực đại. 6 Chơng 2 Mở rộng cốt yếu và bao nội xạ 2.1 Mở rộng cốt yếu 2.1.1 Định nghĩa. (i) Một R-môđun E đợc gọi là mở rộng cốt yếu của một R-môđun không tầm thờng M, nếu M E và với mỗi môđun con khác không N của E luôn có N I M 0. (ii) Một mở rộng cốt yếu E của R-môđun M đợc gọi là mở rộng cốt yếu cực đại của M, nếu mọi mở rộng thực sự E của E không thể là mở rộng cốt yếu của M. 2.1.2 Ví dụ. Xét Ô là  - môđun,  là  - môđun, khi đó Ô là mở rộng cốt yếu của  . 2.1.3 Bổ đề. Mỗi môđun luôn là một mở rộng cốt yếu của chính nó. Ngoài ra khái niệm mở rộng cốt yếu có tính bắc cầu: Nếu E là một mở rộng cốt yếu của M và M là mở rộng cốt yếu của N thì E là một mở rộng cốt yếu của N. Chứng minh. Rõ ràng mỗi môđun luôn là một mở rộng cốt yếu của chính nó. Nếu E là một mở rộng cốt yếu của M và M là một mở rộng cốt yếu của N thì E là một mở rộng cốt yếu của N. Thật vậy, Vì N M (M là một mở rộng cốt yếu của N) và M E (E là một mở rộng cốt yếu của M) nên N E. Với mỗi môđun con khác không Q của E ta có Q I M 0 (vì E là mở rộng cốt yếu của M). Mặt khác, Q I M M và Q I M . Với x Q I M thì x Q, x M và y Q I M thì y Q , y M. x + y Q (vì Q là môđun con của E) và x + y M (vì M là môđun con của E). Nên x + y Q I M. Ta lại có, với a R, x Q I M thì ax Q (vì Q là môđun con của E) và ax M (vì M là môđun con của E). Do đó, ax Q I M. Q I M là môđun con của M và Q I M 0. Do M là mở rộng cốt yếu của N nên (Q I M) I N 0 Khi đó (Q I N) I M 0 do đó Q I N 0. 7 Vậy E là một mở rộng cốt yếu của N. W 2.1.4 Bổ đề. E là một mở rộng cốt yếu của R-môđun M khi và chỉ khi với mỗi phần tử 0 x E luôn tồn tại phần tử a R sao cho 0 ax M. Chứng minh. Giả sử E là một mở rộng cốt yếu của R-môđun M, x 0 và x E thì khi đó xR 0 và M I xR 0. Từ đó suy ra sự tồn tại của a R mà 0 ax M. Ngợc lại, nếu B là môđun con khác không của E, lấy 0 x B và tìm đợc a R sao cho 0 ax M thì do ax B nên B I M 0. Vậy E là một mở rộng cốt yếu của R-môđun M. W 2.1.5 Hệ quả. E là một mở rộng cốt yếu của R-môđun M khi và chỉ khi Rx I M 0 với mọi x E. Chứng minh. Trớc tiên ta có nếu E là một mở rộng cốt yếu của R-môđun M với 0 x E suy ra: Rx 0. Theo Định nghĩa 2.1.1 ta có Rx I M 0. Ngợc lại, Nếu Rx I M 0, với mọi x E, x 0 ta giả sử 0 X E mà M I X=0. Do X 0 nên tồn tại x X mà x 0. Suy ra 0=M I X Rx I X 0. vô lý. Vậy X I M 0 hay E là một mở rộng cốt yếu của R-môđun M. W 2.1.6 Bổ đề. Cho M E v M E là những R-môđun. Giả sử ta có biểu đồ sau là giao hoán M j E f ' f M 'j E Trong đó j và j là các phép nhúng tự nhiên. Khi đó dễ dàng suy ra đợc rằng, nếu E là mở rộng cốt yếu của M thì E cũng là mở rộng cốt yếu của M. Chứng minh. Giả sử 0 x E ta sẽ chứng minh tồn tại phần tử a R sao cho 0 a.x M. Thật vậy, Vì f là đẳng cấu môđun từ E vào E nên tồn tại y E, y 0. sao cho f ( ) y =x mặt khác E là mở rộng cốt yếu của M nên a R sao cho 0 ay M. Ta có f o j ( ) ay = f ( j ( ) ay )= f ( ) ay = a. f ( ) y = a.x. Vì biểu đồ trên là giao hoán nên j o f = f o j . 8 j o f ( ) ay = f o j ( ) ay = ax. Suy ra f ( ) ay = ax nên ax M.Vậy với 0 x E luôn a R để 0 ax M. Do đó E là mở rộng cốt yếu của M. W 2.1.7 Mệnh đề. Cho (M i ) i I là một họ các R-môđun. Giả sử với mỗi i I, E i là một mở rộng cốt yếu của M i . Khi đó i I E i là một mở rộng cốt yếu của i I M i . Chứng minh. Đặt M= i I M i và E= i I E i . Để chứng minh E là mở rộng cốt yếu của M ta sử dụng Bổ đề 2.1.4. Cho x E là một phần tử tuỳ ý. Khi đó x = (x 1 , ., x n ), x k E ik . i 1 , i 2 ,, i n I. Vì E 1 i là một mở rộng cốt yếu của M 1 i nên tồn tại phần tử a 1 R sao cho 0 a 1 x 1 M 1 i . Xét tích 0 a 1 x = (a 1 x 1 , ., a 1 x n ) E. Nếu a 1 x 1 là thành phần khác không duy nhất của a 1 x thì a 1 x M và mệnh đề đợc chứng minh. Trái lại, giả sử p là số bé nhất sao cho a 1 x p 0 trong dãy a 1 x 2 ,.,a 1 x n . Lại vì E p i là mở rộng cốt yếu của M p i nên tồn tại phần tử a p R sao cho: 0 a p a 1 x p M p i . Lúc này ta cũng có a p a 1 x 1 M 1 i . Nếu a p a 1 x = (a p a 1 x 1 , a p a 1 x p ) thì đó chính là phần tử khác không nằm trong M cần tìm. Nếu vẫn cha đợc ta lại chọn một số q bé nhất sao cho a p a 1 x q 0 trong dãy a p a 1 x p +1 ,., a p a 1 x n . Tiếp tục quá trình trên, cuối cùng ta sẽ tìm đợc một phần tử a R sao cho 0 ax M. Điều này chứng tỏ E là một mở rộng cốt yếu của M. W 2.1.8 Bổ đề. Cho : 0 M f M g M 0 là một dãy khớp ngắn các R-môđun. Khi đó các mệnh đề sau là tơng đơng: (i) Dãy khớp ngắn là chẻ ra. (ii) Tồn tại một R- đồng cấu f 0 : M M sao cho f 0 o f = 1 M . (iii) Tồn tại một R- đồng cấu g 0 : M M sao cho g o g 0 = 1 M . Hơn nữa, khi các điều kiện tơng đơng trên đợc thoả mãn thì ta có M Imf Kerf 0 Kerg Img 0 M M. Chứng minh. (i) (ii). Theo định nghĩa của dãy khớp ngắn thì để dãy 0 M f M g M 0. 9 là một dãy khớp khi và chỉ khi ngoài điều kiện Kerg = Imf ta phải có f là đơn cấu và g là toàn cấu. Hơn nữa, trong trờng hợp này ta suy ra M đẳng cấu với môđun con Imf = Kerg của M và M ẳng cấu với R- môđun thơng M Kerg = M Imf . Bây giờ ta có thể giả sử M là một môđun con của M với đồng cấu f là phép nhúng tự nhiên . Vì dãy khớp ngắn chẻ ra nên theo Định nghĩa dãy khớp chẻ ra tồn tại môđun con L của M để M = M L. Khi đó phép chiếu chính tắc f 0 : M L = M M từ M lên M cho ta f o o f = 1 M . (ii) (i). Để chứng minh dãy khớp ngắn là chẻ ra ta chỉ cần chứng minh ra rằng M=Im f Ker f o . Thật vậy, với u M là một phần tử tuỳ ý ta đặt x=f 0 (u), u 1 =f(x) Imf và u 2 =u - u 1 . Khi đó f o (u 2 ) = f o (u-u 1 ) = f o (u) - f o (u 1 ) = f o (u) - f o ( f(x)) = f o (u) - (f o o f) (x) = f o (u) - (f o o f) (f o (u)) = f o (u) 1 M .f o (u) = f o (u) - f o (u) = 0. Tức u 2 Ker f o từ u 2 = u - u 1 suy ra: u = u 1 + u 2 .Suy ra M = Im f + Ker f o . Mặt khác, giả sử u Im f I Ker f o . Vì u Im f, tồn tại u M sao cho u = f(u). Ta suy ra u= f o o f(u) = f o (u) = 0. Điều này chứng tỏ Im f I Ker f o = 0. Vậy M = Im f Ker f o . (i) (iii). Giả sử M = Ker g L. Ký hiệu j: Ker g M là phép nhúng tự nhiên và h: L M là hạn chế của g lên L. Rõ ràng h là một toàn cầu và cũng là đơn cấu vì Ker g I L = 0, tức h là đẳng cấu. Ta đặt g o = j o h -1 : M M. Khi đó dễ dàng kiểm tra đợc g o g 0 = 1 M . 10