Môđun nội xạ và mở rộng của môđun nội xạ

CÁC KÝ HIỆU K ⊆ M : K là môđun con của M K ⊆ e M : K là môđun con cốt yếu của M K ⊆ ⊕ M : K là hạng tử trực tiếp của M ⊕ I M i : Tổng trực tiếp các môđun M i , i ∈ I End (M) : Vành các tự đồng cấu của môđun M E(M) : Bao nội xạ của môđun M B ⊥ : Lớp các môđun trực giao với môđun thuộc lớp B 2 LỜI NÓI ĐẦU Lớp môđun nội xạ có vai trò rất quan trọng, nó là công cụ để nghiên cứu về vành. Bên cạnh đó liên quan đến môđun lớp nội xạ còn có những lớp mở rộng như lớp môđun chia được, hay lớp môđun nội xạ với lớp môđun nào đó. Mở rộng lên người ta còn nghiên cứu đến môđun liên tục, môđun tựa liên tục. Đã có rất nhiều người nghiên cứu thành công các lớp môđun này và đưa vào ứng dụng trong toán học. Trong chương trình ở bậc đại học sinh viên bước đầu làm quen với những khái niệm cơ bản mở đầu về lý thuyết môđun, lớp môđun nội xạ và các lớp môđun mở rộng của nó là những nội dung mới đối với chương trình học tập. môđun nội xạ và mở rộng của nó là những nội dung hấp dẫn và bổ ích nếu có điều kiện tiếp tục đi sâu tìm hiểu. Nội dung của khoá luận được trình bày trong 2 chương: Chương 1. Những kiến thức cơ sở về môđun . Trong chương này chúng tôi tổng hợp một số kiến thức cơ bản về lý thuyết môđun. Chương 2. Môđun nội xạ và mở rộng của môđun nội xạ. Trọng tâm của chương này là đi sâu nghiên cứu lớp các môđun nội xạ và mở rộng của lớp môđun mở rộng của môđun nội xạ. Khóa luận được hoàn thành tại khoa Toán trường Đại học Vinh, dưới sự hướng dẫn của thầy giáo TS. Chu Trọng Thanh. Tôi xin trân trọng gửi lời cảm ơn tới thầy giáo TS. Chu Trọng Thanh các thầy cô trong khoa toán và tập thể lớp 47B-Toán đã giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và hoàn thành khoá luận Vinh, ngày 5 tháng 5 năm 2010 Sinh viên: Nguyễn Thị Lan 3 CHƯƠNG 1. NHỮNG KIẾN THỨC CƠ SỞ VỀ MÔĐUN Trong chương này chúng tôi tổng hợp một số kiến thức cơ sở về lý thuyết môđun. Chúng tôi giả thiết rằng mọi môđun được nói đến trong khoá luận này đều là môđun đơn nguyên (unitary) trên một vành có đơn R. Các kết quả trong chương này đều được tổng hợp từ bài giảng môđun và đại số nên chúng tôi không trình bày lại chứng minh của các mệnh đề và định lí. 1.1. MÔĐUN. MÔĐUN CON. MÔĐUN THƯƠNG. Định nghĩa 1.1.1. Giả sử R là vành giao hoán có đơn vị là 1 ≠ 0 và X là một tập hợp khác rỗng. X được gọi là môđun phải trên R nếu thoả mãn các điều kiện sau: 1. Trên X có một phép toán kí hiệu là + và (X, +) làm thành một nhóm aben, tức là: (i) ∀ x, y ∈ X: x+y = y+x. (ii) ∀ x, y, z ∈ X: (x+y)+z = x+(y+z) (iii) ∃ 0 ∈ X: 0+x =x, ∀ x ∈ X. (iv) ∀ x ∈ X: ∃ x' ∈ X: x+ x' = 0. 2. Có một phép nhân các phần tử của R với các phần tử của X cho kết quả là một phần tử thuộc X. Kết quả nhân phần tử α∈ R với phần tử x ∈ X được kí hiệu là x α . Phép nhân thoả mãn các điều kiện sau : (v) ∀ α , β ∈ R, ∀ x ∈ X: x( α + β ) = x α + x β (vi) ∀ α ∈ R, ∀ x, y ∈ X: (x+y) α = x α + y α (vii) ∀ α , β ∈ R, ∀ x ∈ X: x( α . β ) = (x α ) β (viii) ∀ x ∈ X: x.1 = x. Điều kiện (viii) trong định nghĩa trên được gọi là điều kiên đơn nguyên (hay còn gọi là điều kiện unita). Khi X là môđun phải trên vành R ta nói R là vành các vô hướng, nói riêng, mỗi phần tử của R được gọi là một vô hướng. 4 Người ta cũng định nghĩa khái niệm môđun trái trên vành R bằng cách viết các vô hướng phía bên trái trong tích của các phần tử của X với các vô hướng cùng một vài thay đổi trong cách phát biểu các điều kiện (v) – (viii) cho thích hợp. Ví dụ 1.1.2. (i) Mọi nhóm giao hoán kí hiệu theo lối cộng X là một Z- môđun. (ii) Với mọi vành giao hoán X , với đơn vị là 1 đều là một môđun trên vành con bất kì chứa 1 của X. (iii) Giả sử R là một vành giao hoán với đơn vị và S là một tập hợp khác rỗng. Kí hiệu : X= R S = X = R S = f : S→R. Ta xác định phép toán cộng trên X và phép toán nhân phần tử của R với phần tử của X như sau: ∀ f , g ∈ X, f+g xác định bởi: (f+g)(s) = f(s)+g(s), ∀s ∈ S. Phép nhân với các vô hướng cho như sau : (fα)(s) = f(s) α, ∀s ∈ S. Khi đó các tiên đề vể môđun được thoả mãn và X trở thành môđun trên R. Từ các ví dụ (i) và (ii) trên đây, chúng ta cũng nhận thấy rằng những nội dung của lý thuyết vành giao hoán có thể được xét như những vấn đề của lý thuyết môđun (trên vành Z) và những nội dung của lý thuyết vành có thể được xét như nội dung của lý thuyết môđun trên chính vành đó. Vì vậy về một phương diện nào đó có thể nói lý thuyết môđun là bao trùm, là sự khái quát hóa từ lý thuyết nhóm giao hoán và lý thuyết vành. Đối với một vành R cho trước, tập hợp tất cả các môđun trái trên R được kí hiệu là R-Mod và tập hợp tất cả các môđun phải trên R được kí hiệu là Mod- R. Trong khóa luận này ta chỉ xét các môđun thuộc Mod-R, do đó khi không nói gì thêm, thuật ngữ môđun M luôn được hiểu là một phần tử của Mod-R, tức là M là một môđun phải trên vành R (và giả thiết thêm rằng R có phần tử đơn vị 1≠ 0). Định nghĩa 1.1.3. Giả sử X là một môđun trên vành R và A là môt tập hợp con khác ∅ của X. Khi đó A được gọi là môđun con của X nếu A khép kín đối với 5 các phép toán cộng và nhân với các vô hướng của môđun X và với các phép toán đó cũng làm thành một môđun trên R. Ta dùng kí hiệu A ≤ X hoặc A ⊂ X để chỉ A là một môđun con của môđun X. Trong trường hợp này ta cũng nói X là một môđun mở rộng của môđun A. Môđun con A của môđun X được gọi là môđun con thực sự nếu A ≠ X. Mọi môđun X luôn tồn tại các môđun con đặc biệt là môđun con 0 (chỉ gồm phần tử 0) và môđun con X. Các môđun con này thường được gọi là môđun con tầm thường. Dựa vào sự tồn tại của các môđun con không tầm thường của một môđun, người ta định nghĩa khái niệm môđun đơn như sau: Một môđun M được gọi là môđun đơn nếu M không chứa môđun con thực sự khác 0. Mệnh đề 1.1.4. (tiêu chuẩn nhận biết môđun con) Tập con khác rỗng A của môđun X là một môđun con của R-môđun X nếu và chỉ nếu hai điều kiện sau đây được thoả mãn : a) ∀ x,y ∈ A: x+y ∈ A. b) ∀α∈ R, ∀ x ∈ A thì x α∈ A. Ví dụ 1.1.5. (i) Với mọi nhóm con của một nhóm aben cộng X đều là môđun con của X trên vành Z. (ii) Giả sử X là một vành giao hoán với đơn vị là 1 và A là một iđêan phải của X. Khi đó A môđun con của X khi xét X là môđun phải trên chính nó. (iii) Cho R là một vành và S là một tập khác rỗng tuỳ ý. Xét môđun X cho bởi X = R S = f : S→R và A=f∈X f(s) = 0, với tất cả các s∈S trừ nhiều lắm là một số hữu hạn. Khi đó A là một môđun con của X. Về khái niệm môđun con của một môđun M cho trước ta người ta còn xét những loại môđun con có những thuộc tính đặc biệt khác nhau. Sau đây chúng tôi hệ thống hóa lại một số loại môđun con được sử dụng nhiều trong các nghiên cứu về cấu trúc của vành. 6 Định nghĩa 1.1.6. (i) Môđun con A của môđun M được gọi là môđun con tối đại của M nếu A ≠ M và A không chứa trong một môđun con thực sự nào của M. (ii) Môđun con A của môđun M được gọi là môđun con cốt yếu của M nếu với mọi môđun con X ≠ 0 của môđun M luôn có A ∩ X ≠ 0. Kí hiệu A ≤ * M được sử dụng cho trường hợp A là một môđun con cốt yếu của M. (iii) Nếu mọi môđun con khác 0 của môđun M đều là môđun con cốt yếu của M thì ta nói M là một môđun đều (uniform). Áp dụng mệnh đề 1.1.4 ta chứng minh được mệnh đề sau : Mệnh đề 1.1.7. Giao của một họ khác rỗng những môđun con của R-môđun X là một môđun con của X. Xét họ các môđun của môđun X chứa một tập con U cho trước của X ta nhận được họ này khác rỗng (vì X là một phần tử của họ đó). Giao của họ này là một môđun con của X và hiển nhiên đó là môđun con bế nhất (theo quan hệ bao hàm) của X chứa U. Môđun con này được gọi là môđun con của X sinh bởi tập U và kí hiệu là <U>. Khi U là một tập hợp hữu hạn (chỉ có hữu hạn phần tử) thì <U> được gọi là môđun hữu hạn sinh của X. Nếu U chỉ gồm một duy nhất phần tử a, tức là U = a thì <U> được kí hiệu là <a> và gọi là môđun cyclic sinh bởi phần tử a. Nói riêng, nếu môđun X có một phần tử a nào đó sao cho <a> = <X> thì X được gọi là môđun cyclic.Ví dụ quen thuộc về môđun cyclic là Z-môđun Z vì Z = <1> = <-1>. Vì vành R được xét trong khóa luận này là vành có đơn vị nên ta có thể sử dụng mệnh đề 1.1.4. chứng minh được rằng, với phần tử a của môđun M, ta có <a> = aR = {ar | r∈ R}. Một cách tổng quát, khi U là một tập hợp hữu hạn của môđun M, tức là U = {a 1 , a 2 , . . . , a n } thì <U> = {a 1 r 1 + a 2 r 2 + . . . + a n r n | r i ∈R, i = 1, 2, . . ., n}. Trong trường hợp U là một tập hợp bất kì của M thì <U> là tập hợp tất cả các phần tử có dạng a 1 r 1 + a 2 r 2 + . . . + a n r n , trong đó các a i thuộc U và r i thuộc R, n là số nguyên dương. Liên quan đến các môđun con 7 sinh bởi một tập hợp, ta có khái niệm tổng của các môđun con như trình bày sau đây. Cho trước các môđun con A, B của R-môđun X. Tập hợp C gồm các phần tử c = a + b, trong đó a∈A, b∈B, cũng làm thành một môđun con của X. Môđun con này được gọi là tổng của các môđun con của A và B. Ta cũng có thể khái quát tình huống này cho họ tuỳ ý A i  i ∈ I các môđun con. Khi đó tập hợp các phần tử biểu diễn được dưới dạng một tổng hữu hạn phần tử, mỗi phần tử thuộc một môđun con nào đó của họ cũng của làm thành một môđun con của X. Môđun con này được gọi là tổng của họ đã cho và kí hiệu Σ i ∈ I A i . Tổng của một họ môđun con của môđun M là môđun con của M sinh bởi hợp của họ môđun con đó. Đối ngẫu với khái niệm môđun con cốt yếu của một môđun ta có khái niệm môđun con bé. Khái niệm này được định nghĩa như sau: Định nghĩa 1.1.8. Môđun con A của môđun M được gọi là môđun con bé trong M nếu với môđun con X bất kì của M, đẳng thức A + X = M xẩy ra khi và chỉ khi X = M. Kí hiệu A≤ ° M được dùng để chỉ A là một môđun con bé của M. Nếu môđun M có mọi môđun con thực sự đều là môđun con bé thì M được gọi là môđun hỗng (hollow). Một trường hợp đặc biệt của tổng các môđun con của một môđun M được định nghĩa như sau: Định nghĩa 1.1.9. Cho họ  A i  i ∈ I các môđun con của môđun X và Σ i ∈ I A i là tổng của họ đã cho. Tổng Σ i ∈ I A i được gọi là tổng trực tiếp nếu mỗi i ∈ I, A i ∩ Σ j ≠ i A j = 0. Khi đó ta sử dụng kí hiệu ⊕ i ∈ I A i . Môđun con A của M được gọi là hạng tử trực tiếp của môđun M nếu tồn tại môđun con B của M sao cho M = A ⊕ B. Trong tường hợp này ta cũng nói môđun M phân tích được thành tổng trực tiếp của các môđun con A và B. Về tổng và giao các môđun con cốt yếu và môđun con bé của một môđun ta có các mệnh đề sau đây: 8 Mệnh đề 1.1.10. Tổng Σ i ∈ I A i là tổng trực tiếp nếu và chỉ nếu mỗi phần tử của nó biểu diễn được một cách duy nhất dưới dạng tổng của hữu han phần tử,mỗi phần tử thuộc một môđun con A i nào đó của họ. Định nghĩa 1.1.11. Giả sử X là một môđun trên R, A là một môđun con của X. Khi đó A là nhóm con của nhóm cộng aben X (cũng là nhóm con chuẩn tắc). Xét nhóm thương (đối với phép cộng): Q = X / A =  x+A  x ∈ X  . Giả sử r ∈ R và x+A ∈ Q ta định nghĩa phép nhân : (x+A)r = xr + A. Khi đó các tiên đề môđun được thoả mãn và Q trở thành một môđun trên R. Môđun Q được gọi là môđun thương của môđun X trên môđun con A của nó. Chúng tôi kết thúc mục 1.1. bằng một số ví dụ minh họa cho một số khái niệm và mệnh đề được trình bày trong phần trên đây. Ví dụ 1.1.12. 1. Cho Z là Z- môđun khi đó 5Z ⊂ Z và Z/5Z là môđun thương của môđun Z trên môđun con 5Z. Môđun Z/5Z được kí hiệu là Z5 = {, , , , } 2. Z-môđun Z, 5Z, Z 5 là những Z-môđun không phân tích được. 3. Z-môđun Z 6 = Z/6Z = {, , , , , 5 } phân tích được thành tổng trực tiếp của các Z-môđun con A và B, trong đó A = {, } và B = {, , }. 1.2. ĐỒNG CẤU MÔĐUN Định nghĩa 1.2.1. Giả sử X , Y là các R- môđun. Khi đó ánh xạ f: X → Y được gọi là R đồng cấu môđun nếu 2 điều kiện sau đây thoả mãn: a) f(x1 + x2) = f(x1) + f(x2), ∀ x1 , x2 ∈ X b) f(x α ) = f(x) α , ∀ α∈ R, ∀ x ∈ X. Một đồng cấu môđun từ M đến N được gọi là đơn cấu nếu nó là đơn ánh, được gọi là toàn cấu nếu nó là toàn ánh; được gọi là đẳng cấu nếu nó là một song ánh. Môđun M được gọi là đẳng cấu với môđun N nếu tồn tại một 9 ánh xạ đẳng cấu f từ M đến N. Đồng cấu môđun từ M vào M được gọi là một tự đồng cấu. Tập hợp tất cả các tự đồng cấu môđun từ M vào M được kí hiệu là End(M). Tập hợp tất cả các tự đồng cấu môđun từ M đến N được kí hiệu là Hom(M, N). Các ví dụ sau đây chứng tỏ các tập hợp này luôn luôn khác rỗng. Ngoài ra ta còn thực hiện được các phép toán trên các tập hợp này để có các cấu trúc đại số như môđun hoặc vành. Ví dụ 1.2.2. 1) Cho M là một R- môđun. Khi đó ánh xạ đồng nhất trên M là một tự đẳng cấu môđun; ánh xạ cho mỗi x ∈ M ứng với phần tử 0 của M là một tự đồng cấu và được gọi là tự đồng cấu 0 hay tự đồng cấu tầm thường. 2) Cho M là một R- môđun và A là một môđun con của M.Khi đó ánh xạ nhúng i : A→M là một đơn cấu. Đơn cấu này được gọi là đơn cấu chính tắc hay là phép nhúng A vào M. Ánh xạ p: M →M/A cho bởi p(x) = a+A là một toàn cấu và được gọi là toàn cấu chính tắc hay phép chiếu tự nhiên của môđun M lên môđun thương M/A . 3. Cho M, N là các môđun, ánh xạ cho mọi x∈M ứng với 0 ∈N cũng là một đồng cấu môđun và được goi là đồng cấu 0. Về các đồng cấu môđun f : M→N ta có các định lí sau : Định lí 1.2.3. Cho f : M → N và g : N → P là các đồng cấu môđun (1) f(0 M ) = 0 N (2) f(-x) = -f(x), với mọi x ∈ M; (3) f(A) là môđun con của N, với mọi môđun con A của M; (4) f -1 (B) là môđun con của M, với mọi môđun con B của N; (5) Hợp thành các đồng cấu môđun f : M → N và g : N → P là một đồng cấu từ M → P. Nói riêng, nếu f và g như ở trên là đơn cấu thì g ° f cũng là đơn cấu; nếu f và g là toàn cấu thì g ° f cũng là toàn cấu; nếu f và g là những đẳng cấu thì g ° f cũng là một đẳng cấu. (6) Quan hệ đẳng cấu giửa các môđun là một quan hệ tương đương. Từ (3) và (4) của định lí trên ta suy ra rằng : 10