Một số ứng dụng và mở rộng của bất đẳng thức cauchy schwarz

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN VÕ NGUYEN PHƯƠNG DUNG _ X _X ?• _— — _ X MỘT SÔ ỨNG DỤNG VÀ MỞ RỘNG CỦA BAT ••• ĐẲNG THỨC CAUCHY-SCHWARZ LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Đinh - 2020 VÕ NGUYEN PHƯƠNG DUNG _ X _X ?• _— — _ X MỘT SƠ ỨNG DỤNG VÀ MỞ RỘNG CỦA BAT ••• ĐẲNG THỨC CAUCHY-SCHWARZ Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 846 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hưống dẫn: TS MAI THÀNH TAN Mục lục •• QUYET ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (bản sao) MỞĐẦU Bất đẳng thức đề tài hay giữ vai trò đặc biệt quan trọng tốn học Bất đẳng thức có ứng dụng tất lĩnh vực Số học, Hình học, Đại số, Lượng giác Giải tích Trong kì thi chọn học sinh giỏi, Olympic tốn sinh viên, toán bất đẳng thức thường xuyên sử dụng làm đề thi thường dạng khó nên chuyên đề quan tâm đặc biệt Một bất đẳng thức có ứng dụng rộng rãi bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Chính thế, tơi nhận thấy việc nghiên cứu bất đẳng thức Cauchy-Schwarz có ý nghĩa đặc biệt quan trọng Bởi vậy, lựa chọn đề tài "Một số ứng dụng mở rộng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz" Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, hay gọi vối tên dài bất đẳng thức Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz, thường viết tắt bất đẳng thức BCS, đặt theo tên ba nhà toán học Augustin-Louis Cauchy, Viktor Bunyakovsky Hermann Amandus Schwarz Trong suốt trình phát triển tốn học, nhà tốn học ln nghiên cứu phát triển bất đẳng thức Cauchy-Schwarz kết hay, khả ứng dụng ngày rộng rãi toán học Bố cục luận văn bao gồm chương: Chương 1: Chương tập trung nêu chứng minh bất đẳng thức CauchySchwarz dạng sơ cấp, dạng có nhiều ứng dụng giải tốn phổ thơng Trình bày số bất đẳng thức kinh điển thông qua bất đẳng thức Cauchy- Schwarz số toán ứng dụng Chương 2: Trình bày số dạng khác bất đẳng CauchySchwarz số mở bất sốđẳg bất thức đẳng Cauchy-Schwarz thức liên quan cho đặc hàmthức biệt số cho bất tục kỳrộng số lượng véctơ hàm số hai dạng rời rạc liên Luận văn hoàn thành dưối hưống dẫn tận tình TS Thầy Mai Thành Tấn Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Thầy Đồng thời, tác giả xin gửi lời cảm ơn đến toàn thể quý thầy giáo Khoa Tốn, Trường Đại Học Quy Nhơn, lốp Cao học Toán K21 quan tâm tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập, nghiên cứu thực đề tài Mặc thầy dù đãcô cố gắng trình thực luận văn, nghiên cứu điều khoa kiện học thời cịn gian nhiều có hạn hạn, chế trình nên luận độ văn khó nghiệm tránh quý khỏi nhiều thiếu bạn sót bè Rất để luận mong văn nhận được hồn góp thiện ýkinh tận tình Chương Bât đăng thức Cauchy-Schwarz so ứng dụng Trong chương này, chúng tơi tập trung trình bày bất đẳng thức Cauchy- Schwarz dạng sơ cấp có nhiều ứng dụng giải tốn phổ thơng Đồng thời chứng minh số bất đẳng thức khác thông qua bất đẳng thức Cauchy- Schwarz số ứng dụng đại số, hình học lượng giác 1.1 Bât đăng thức Cauchy-Schwarz Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz công cụ phần lốn toán chứng minh bất đẳng thức Nó tồn nhiều phiên khác nhau, nhiên mức độ phổ thông, quan tâm đến dạng phát biểu sơ cấp cách chứng minh bất đẳng thức đa dạng Sau đây, ta tìm hiểu số cách chứng minh thú vị Định lý 1.1.1 ([23]) (Bat thức Cauchy-SchLwarz) Ncu ai, a2, ,an Và b ,b , i ,bn số thực tùy ý, (aibi + a2b2 + • • • + anbn^ < (ai + a + • • • + a“n (bi + b2 + • • • + bn) Đang thức xảy khia = a' = • • • = a bi b2 n bn (1.1) Chứng minh Trong nhiều tài liệu, bất đẳng thức Cauchy-Schwarz thường chứng minh cách sử dụng tính chất tam thức bậc hai hay chứng minh thông qua số bất đẳng thức khác bất đẳng thức AM-GM, bất đẳng thức Jensen Nhưng đây, sử dụng phép biến đổiđại số sơ cấp đặc biệt sử dụng hình học để chứng minh bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Cách Sử dụng đẳng thức Ta có nn nn n n £ a? £ b2 i=1 abab i i j j i=1 nn nn =1 £ £(a b +a?b ) - ££ aibiaj b3 2 i=1 j=1 nn = 22 =2 i=1 j=1 ££ ££ '- ajbi) (a b - 2a b a bi+a b2) ?j i=1 j=1 nn ij j ? i=1 j=1 = (aibj - ajbi) , 1 |aibi + a2Ỉb2 + -akbk 2 Kết hợp đánh giá vối đánh giá trên, ta f a2^ akbk i=1 >( a1b1 a b >( 1 +a b + 22 • • • akbk +a b k+1 k+1 i=1 + a2b2 + + ak+1bk+1 ) > a1b1 + a2b2 + • • • + akbk + ak+1bk+1 Điều chứng tỏ bất đẳng thức ta cho n = k +1 Theo nguyên lý quy nạp, ta có vối n > Cách Chứng minh không sử dụng từ ngữ Trong [20], R Nelsen chứng minh bất đẳng thức Cauchy-Schwarz sau Hình 1.1: Chứng minh R.Nelsen 74 Trường hợp Vối p, q G R \ {0}, (2.48) + = -1, pq đó, bất đẳng thức (2.46) rút gọn thành dạng sau Hệ 2.3.7 ([17]) Với {aivà {b4” hai dãy số thực dương p + = i=1 -1, p,q G R \ {4 Khi + i=1 i=1 pq Ẻa.) "(ẳ b?) + ' (E bi) i=1 i=1 Ta xét mở rộng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz liên quan đến bốn tham số tự suy từ (2.41) Trong (2.41), cho m = k = định nghĩa nn 2iii i n n i=1 i i=1 nn G2(ai, bi) = bi +— \ ) +— \ ) bi nn (2.49) hệ số liên quan xác định phương trình ma trận sau: A1 B1 C1 M= p + s + ps + qr r(1 + p) (1 + ) q p p(p + 2) 2r(1 + s) n A B C 2 r2 A3 B3 C3 nn q(1 + s) q s( s + 2) nn E, , p + s + ps + qr ( i =1ai bi + -n -I 2_^ n (i> ) +(t nbộ T i=1 i =1 n ^(pani + n nn a+ n n i =1 i=1 i=1 qbi) ^[(p + 2)ai + qbi] i=1 n i=1 i=1 n s b +n E(rai+sbi) ^[rai + (s + 2)bi]ì i=1 i=1 i=1 (2.50) Hơn nữa, bất đẳng thức (2.49) tương đương Bất đẳng thức (2.49) trở thành bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Aj =Bj =Cj =0 (j=1,2,3) Đẳng thức xảy a = b (i = 1, ,n) Aj = Bj = Cj (j = 1,2,3) i i Tương tự, ta mở rộng cho tám tham số tự 2.4 MỞ rộng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho sô lương véctơ hàm sô Trong phần này, ta định nghĩa độ dài véctơ x sau: n x|| = ựx • x = Hàm độ dài thỏa mãn tính chất chuẩn gọi chuẩn Euclidean R n Khi đó, bất đẳng thức Cauchy-Schwarz viết sau ||a|| ||b|| > (aTb) vối a,b G R 2 n Nicholas J A Harvey [13] khái quát bất đẳng thức Cauchy-Schwarz liên quan đến bốn véctơ Định lý2.4.1 ([13]) Với a, b,c d véctơ trongR Khi n l|ah Hbh + I|CH2\\d\\ > 2a cb d + (a b) + (C d) — (a d) 2 T T T T T — (b C)2 (2.51) T Chứng minh Sử dụng đẳng thức Lagrange (1.2), ta có llall2llbll2 — (aTb)2 n = 22(aibj b) j i —a i,j=1 Bất đẳng thức (2.51) tương đương nn 22 (ữibj — ajbi) + 22 (Cidj — Cjdi) i,j=1 n i,j=1 — n aiCi i=1 n bjdj + i=1 n aidi + i=1 biCi > (2.52) i=1 Chú ý nn aiCi i=1 bj dj = j=1 aiCibj dj = i,j=1 aj Cj bidi (2.53) i,j=1 Do đó, nhân (2.52) vối sử dụng đẳng thức (2.53), ta n 2 ^(aibj ajbi) + (cidj Cjdi) i,j=1 — 2a,iCibjdj — 2ajCjbidi + 2aidiajdj + 2biCibj Cjộ > (2.54) Ta lại có (aibj - ajbi) + (cidjj - cjdi) - 2aicibjdj - 2ajcjbidi + 2aidiajdj + 2bicibjcj =ai bj + aj bi + Ci dj 2 + Cj di — 2aibjajbi — 2CidjCjdi — 2aiCibjdj — 2ajCjbidi 2 + 2aidiajdj + 2biCibjCj =(aibj — ajbi — Cidj + Cjdi) + 2(aidi — biCi)(ajdj — bjCj) Vì thế, (2.54) tương đương n Ợaibj — ajbi — Cidj + Cjdi) + 2(aidi — biCi)(ajdj — bjCj)) > i,j=1 2 2 hay Daeshik Choi [9] trình bày kết mạnh sau Định lý2.4.2 ([9]) Với a, b, c d véctơ trongR Khi n (2.55) ||a|| ||b|| + ||c|| ||d|| > (a b) + (c d) + 2|a cb d — a db c| 2 2 T T T T T T Đẳng thức xảy a bj - aj bi = Cidj - Cj d với i,j = 1, , n i i Chứng minh Sử dụng đẳng thức Lagrange (1.2), ta có 1n T ||a|| ||b|| - (a b) = 2 (aibj - ajbi) i,j=1 Do I|a|| ||b|| - (aTb) + ||c||2||d|| - (cTd) 2 2 1n > [(aibj - ajbi) + (cidj - cjdi) ] =2 i,j=1 1n =2 [(a«bj ajbi - c,dj + cjdi) + 2ía,bj - - ajbi)(cidj - cjdi)] i,j=1 nn Nhậnxét 2.4.1 Vì (a d) + (b c) T T > 2aTdbTc, (2.55) mạnh (2.51) Bây giờ, ta mở rộng Định lý 2.4.2 vối số lượng véctơ Định lý 2.4.3 ([9]) Với a(k), , a( ), b(k), , b( ), m > 2, véctơ trongR Khi m n m mm a b II (k) II2II (k) II2 > k=1 ^(a(fc)b(k)) k=1 + m—1 |a a b b a b b a (k) (i) (k) (i)- (k) (i) (k) (i)| 152(a(k)b(k))2 k=1 k=1 + m 52 \ Re(a(k)a(i)b(k)a(i)— a k)a(i)b k)a(i))\ ■ T T 1 2, ta có mm £ llfk B Bhk II > £f ,hk ) k=1 2 k=1 + ^2 £ k iXhfc i}- k i)( k )| |f ,f ,h f ,h h ,f 82 m- 1